Слабо дополняемые подгруппы и перестановочные инволюции конечных простых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЙ) в Х'гт РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 512.54

Лихарев Анатолий Григорьевич

СЛАБО ДОПОЛНЯЕМЫЕ ПОДГРУППЫ

И ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ ИНВОЛЮЦИИ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата, физико-математических наук

Красноярск 2006

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Левчук В. М.,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Шунков В. П., кандидат физико-математических наук, профессор Ларин С. В.

Ведущая организация: Томский государственный

университет

Защита состоится 2 ^cio-k га._ 2007 г. в

на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан_/ дое&^уаАЯ_2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, * доцент _Голованов М. И.

Общая характеристика работы1

Актуальность темы. В диссертации исследуется вопрос о конечных слабо факторизуемых группах. Наряду с гипотезой о слабо факторизусмых конечных простых группах, исследуется и вопрос ограниченности числа конечных простых групп с заданным числом инволюций, сопряженных и перестановочных с фиксированной инволюцией.

По известной теореме Р. Брауэра существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [1]. Зависимость порядка конечной простой группы от заданных подмножеств централизатора инволюций исследовалась в й ~[5].

Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем т в группе б обозначаем через т°, а централизатор т в С — через Сс(т). В.П. Шунков [2] разрабатывает обобщение теоремы Брауэра, исходя из предположения:

Существует только конечное число конечных простых групп с заданным параметром вложения инволюции .

Параметр вложения инволюции т в группе С? определяется равенством:

ЦС,т) = тах\дСс(т)П(тагс)\.

деС

1Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код гранта № 06-01-00824).

С другой стороны, В. М. Левчук [3] высказал следующую гипотезу.

Гипотеза А. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп G с инволюцией т такой, что

\Сс(т)Птв\<М.

Как отмечается в [4], из справедливости гипотезы А следует справедливость и предположения Шункова. Число \Cq(t) П тв | называют сопряженно-коммутативной шириной инволюции г в группе G и обозначают через ccw(G, т). В терминах ширины неравенство из гипотезы А можно заменить неравенством ccw(G, т) < М.

Справедливость гипотезы известна для знакопеременных групп, для групп лиева типа ранга 1 и для групп PSL„(q) ( = Ln(q)) с четными q, [4], [5].

По модулю классификации конечных простых групп гипотезу остается подтвердить для бесконечных семейств классических линейных групп и для исследуемых в диссертации групп Шевалле исключительных типов лиева ранга > 1.

Центральное место в диссертации занимают исследования вопроса о конечных слабо факторизуемых группах и гипотезы о слабо факторизуемых конечных простых группах.

Напомним, что подгруппу М называют дополняемой в группе G, если в G существует дополнение к ней, то есть подгруппа К

такая, что М П К = 1 и МК = £?. Слабо дополняемой в (7 называют подгруппу, которая дополняема в некоторой большей (по включению) подгруппе или совпадает с С?. Группы с дополняемыми подгруппами, называемые вполне факторизуемыми, изучены в работах Ф. Холла, Н. В. Баевой (Черниковой) и С. Н. Черникова (см. например [6]). Их исчерпывают полупрямые произведения FX.fi подгрупп .Р и К, разложимых в прямое произведение циклических групп простых порядков, причем все сомножители в F можно выбрать нормальными в группе.

Более широкий класс образуют слабо факторизуемые группы, то есть группы со слабо дополняемыми подгруппами. В частности, к ним относятся конечные группы простого показателя; существенность условия конечности показывает пример бесконечной р - группы Ольшанского с максимальными подгруппами простого порядка р. Как показывает пример группы .£/2(7), класс конечных слабо факторизуемых групп, в отличие от класса вполне факторизуемых групп, включает даже простые неабелевы группы. Вопрос 8.31 из Коуровской тетради об описании конечных слабо факторизуемых групп остается открытым более двадцати лет.

В диссертации исследуется следующая гипотеза В. М. Левчука к вопросу 8.31, высказанная в 2003 году в статье [8].

Гипотеза В. Группа ¿2 (7) - единственная конечная простая неабелева группа со свойством слабой факторизуемости.

Цель работы: Исследовать гипотезы А и В для конечных простых групп.

В диссертации используются стандартные методы теории групп. Диссертация носит теоретический характер.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми и могут применяться в теориях конечных и бесконечных групп.

Апробация диссертации. Результаты диссертации были представлены на международных конференциях "Intermediate problems of Model Theory and Universal Algebra" (Новосибирск — Эрлогол, 2003 г.), "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2003, 2004 гг.), "Алгебра и кибернетика" (Иркутск, 2004 г.). Они докладывались на научно-исследовательских семинарах Красноярского государственного университета и Томского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] — [20].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы. Нумерация теорем, определений и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

Содержание диссертации

В диссертации получены следующие основные результаты:

— доказано, что группа является единственной конечной простой неабелевой группой со свойством слабой факторизуемости (подтверждение гипотезы В)

— доказано, что ¿2(7), ¿г(11) или ¿5(2) единственные среди простых конечных неабелевых групп в которых каждая максимальная подгруппа дополняема;

— доказана конечность числа простых групп исключительного лиева типа над конечными полями четных порядков с любым наперед заданным числом инволюций, сопряженных и перестановочных с фиксированной инволюцией.

В § 1.1 первой главы диссертационной работы содержатся предварительные сведения о группах лиева типа. В § 1.2 приводятся определение и некоторые известные свойства ширины инволюций.

Основным результатом главы 1 является следующая, опубликованная в [20] теорема; она подтверждает гипотезу А для групп Шевалле исключительных типов над конечными полями характеристики 2.

Теорема 1.2.1. Существует только конечное число групп Шевалле исключительного типа над конечными полями четных порядков, у которых сопряженно-коммутативная ширина инволюций ограничена произвольным наперед заданным числом.

В доказательстве теоремы 1.2.1. существенно используется работа Ашбахера и Зейтса [9] и др. о централизаторах и сопряженных классах инволюций, а также представления из [10] унипотентных подгрупп групп Шевалле.

В главе 2 полностью подтверждается гипотеза В о слабо факторизуемых конечных простых группах. К главным результатам диссертации можно отнести следующую теорему.

Теорема 2.2.2. Группа Ьг(7) является единственной конечной простой неабелевой группой со свойством слабой факторизуемости.

Наряду с известными подгрупповыми описаниями в доказательстве этой теоремы существенно используются максимальные факторизации конечных простых групп. Начало рассмотрению максимальных факторизаций положила работа Н. Ито [11] 1953 года, а их современное состояние отражает монография [13] 1990 года.

Ясно, что для максимальных подгрупп свойства дополняемости и слабой дополняемости совпадают. Оказывается, что уже в классе конечных простых групп свойство дополняемости максимальных подгрупп не совпадает со свойством слабой факторизуемости. Это показывает

Теорема 2.2.1. Если в конечной простой неабелевой группе каждая максимальная подгруппа дополняема, то группа изоморфна Ь2(7), Ь2(11) или Ь5(2).

Для групп лиева типа малых рангов и для ряда спорадических групп теоремы доказаны автором в [15] — [18]. Полное доказательство теорем 2.2.1 и 2.2.2 приведено в нераздельном соавторстве с В. М. Левчуком в работе [19]. Независимое доказательство теорем 2.2.1 и 2.2.2 приводит В. Н. Тютянов [14].

Автор благодарен д.ф.-м.н., профессору В.М. Левчуку за постановку задач и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Брауэр Р. О строении групп конечного порядка / / Международ, математический конгресс в Амстердаме 1954.— Москва: Физматгиз, 1961 — 23 — 35 с.

2. Шунков В. П. Группы с инволюциями // В сб. тезисов докл. международ, семминар по теории групп. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН,- 2001. - С. 245.

3. Levchuk V.M. Growth of the intersection of the centralizer of an involution and its class of conjugated elements in finite simple groups// Proc. Int. Conf. "Antalya Algebra Days VIII". — Istanbul: Bilgi Univ, 2006,- P. 26.

4. Голованова O.B, Левчук В.М. Зависимость порядков конечной простой группы и пересечения централизатора п класса сопряженных элементов инволюции // Известия Гомельского гос. университета - 2006 — Т. 3. - № 36 — С. 124 — 130.

5. Голованова О.В. Параметры вложения инволюций конечных простых групп лиева типа ранга 1 // Вестник КрасГУ. Красноярск: КрасГУ. — 2006. — № 4. — С. 49 - 54.

6. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. // Москва: Наука. 1980.

7. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). 14-е изд. Новосибирск: ИМ СО РАН. 1999.

8. Левчук В.М. О слабо факторизуемых группах. //Мат. заметки. 2003. Т. 73, №4. С. 565-572.

9- Aschbacher М. and Seitz G.M. Involutions in chcvalley groups over fields of even order // Nagoya Math. J. - 1976. — V. 63. - P. 1 - 91.

10. Левчук B.M., Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиева типа малых рангов Шевалле // Алгебра и логика—1990. — Т.29. — № 2. — (Ч. I) - С. 141-161.

11. Ito N. On the factorizations of the linear fractional group LF(2,pn). // Acta Sci.Math. 1953. V. 15. №1. P. 79-84.

12. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A. and Wilson R.A. An ATLAS of finite groups. // Oxford univ. press. 1985.

13. Liebeck M. W., Praeger C.E., Saxl J. The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups. // Amer. math, society. 1990. V. 86. №432.

14. Тютянов В.Н., Конечные группы с дополняемыми подгруппами // Известия Гомельского гос. университета.—2006. — Т.36. — Я« 3. - С. 178-182.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

15. Лихарев А.Г. О слабо факторизуемых группах лиева типа малых рангов и спорадических группах. // Algebra and model Theory 4. Новосибирск: НГТУ. 2003. С. 56-61.

16. Лихарев А.Г. О конечных слабо факторизуемых группах . // Международ, алгебраическая конференция. Тезисы докладов. Москва: Мех.-мат. МГУ. 2004. С. 88-89.

17. Лихарев А.Г. О слабо факторизуемых группах лиева типа малых рангов. - Int. Conf. "Алгебра, логика и кибернетика". Иркутск: ИГПУ, 2004, С. 243.

18. Лихарев А.Г. Простые конечные слабо факторизуемые группы . // Международ, алгебраическая конференция. Тезисы докладов. Екатеринбург: УГУ. 2005. С. 58-59.

19. Левчук В.М., Лихарев А. Г. Конечные простые группы с дополняемыми максимальными подгруппами // Сиб. мат. журнал, Т.47, №4 (2006), с.798-810.

20. Лихарев А.Г. Ограниченность сопряженно-коммутативной ширины инволюции в группах Шевалле.// Препринт №4.-Красноярск. ИВМ СО РАН. 2006.

Отпечатано ООО ТПК "Старатель" г. Красноярск, ул Марковского 43, т. 27-50-92 Заказ 2467, тираж 100

Введение

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1. Конечные простые группы с заданным числом сопряженных и перестановочных инволюций

§11. Предварительные сведения.

§ 1 2. Гипотеза о сопряженных и перестановочных инволюциях конечных простых групп

§ 1.3 Исследование гипотезы А для групп Шевалле исключительных типов над полями характеристики

Глава 2. Конечные слабо факторизуемые группы

§ 2 1. Постановка задачи и основные результаты

§ 2.2 Некоторые свойства и известные результаты

§ 2 3. Слабо факторизуемые группы Шевалле малых рангов

§ 2 4 Максимальные факторизации групп Ln(q)

§ 2 5 Исследование гипотезы В для групп Шевалле

§ 2.6. Случай знакопеременных и спорадических групп

В диссертации исследуется вопрос о конечных слабо факторизуемых группах Наряду с гипотезой о слабо факторизуемых конечных простых группах, исследуется и вопрос ограниченности числа конечных простых групп с заданным числом инволюций, сопряженных и перестановочных с фиксированной инволюцией.

По известной теореме Р Брауэра существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [2] Зависимость порядка конечной простой группы от заданных подмножеств централизатора инволюций исследовалась в работах [4], [5], [21]

Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем т в группе G обозначаем через т°, а централизатор tbG — через Cg(t). В. П Шунков ввел параметр вложения инволюции г в группе G, определяя его равенством т) = так\дСс(т)П(тст°)\. geG

Он разрабатывает обобщение теоремы Брауэра, исходя из предположения:

Существует только конечное число конечных простых групп с заданным параметром вложения инволюции (/21]).

С другой стороны, В. М Левчук высказал следующую гипотезу в [34]

Гипотеза А. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп G с инволюцией т такой, что

Се(т) П rG\ < М.

Справедливость гипотезы известна для групп PSLn(q) (краткое обозначение Ln(q)) с четными q, для знакопеременных групп и для групп лиева типа ранга 1 [4], [5]. По модулю классификации конечных простых групп гипотезу остается подтвердить для бесконечных семейств групп лиева типа.

Как отмечается в [4], из справедливости гипотезы 1 следует справедливость и предположения Шункова Число |Сд(т) П тс | называют сопряженно-коммутативной шириной инволюции т в группе G и обозначают через ccw(G,t). В терминах ширины неравенство из гипотезы А можно заменить неравенством ccw(G, т) <М

В диссертации гипотеза А исследуется для групп Шевалле исключительных типов

Центральное место в диссертации занимают исследования вопроса о конечных слабо факторизуемых группах Наряду с гипотезой о слабо факторизуемых конечных простых группах.

Напомним, что подгруппу М называют дополняемой в группе G, если в G существует дополнение к ней, то есть подгруппа К такая, что М П К = 1 и МК = G Слабо дополняемой в G назовем подгруппу, которая дополняема в некоторой большей (по включению) подгруппе или совпадает с G

Группы с дополняемыми подгруппами, называемые вполне факторизуемыми, изучены в работах Ф Холла [30] , Н В Баевой (Черниковой) [1] и С. Н Черникова [20], [19] Они исчерпываются полупрямыми произведениями F X К подгрупп F и К, разложимых в прямое произведение конечных циклических групп простых порядков, причем все сомножители в F можно выбрать нормальными в группе

Более широкий класс образуют слабо факторизуемые группы, то есть группы со слабо дополняемыми подгруппами К ним относятся, например, конечные группы простого показателя, существенность условия конечности показывает пример бесконечной р — группы Ольшанского с максимальными подгруппами простого порядка р Более двадцати лет остается открытым вопрос 8 31 из Коуровской тетради об описании конечных слабо факторизуемых групп

Как показывает пример группы 1/2(7), класс конечных слабо факторизуемых групп включает даже простые неабелевы группы, в отличие от класса вполне факторизуемых групп В диссертации исследуется следующая гипотеза к вопросу 8 31, которую В. М Левчук высказал в 2003 году

Гипотеза В. Группа 1/2(7) - единственная конечная простая неабелева группа со свойством слабой факторизуемости.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы Нумерация теорем, определений и др включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе

1. Баева Н.В. Вполне факторизуемые группы // Докл АН СССР- 1953 — Т 92 — №5 — С 877-880

2. Брауэр Р О строении групп конечного порядка // Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 — М Физматгиз, 1961.- С. 23 35.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы IV-VI). — М : Мир, 1982

4. Голованова О В, Левчук В М Зависимость порядков конечной простой группы и пересечения централизатора и класса сопряженных элементов инволюции // Известия Гомельского государственного университета — 2006 — Т 3 — N° 36 — С 124- 130

5. Голованова О В. Параметры вложения инволюций конечных простых групп лиева типа ранга 1 // Вестник КрасГУ Красноярск КрасГУ 2006 - № 4 - С. 49 - 54

6. Джекобсон Н. Алгебры Ли — М. Мир, 1964

7. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю И. Основы теории групп 4-е изд М. Наука, 1996

8. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). 14-е изд Новосибирск: ИМ СО РАН 1999.

9. Левчук В М, Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика-1990 Т29 - № 2. - (Ч I) -С 141-161.

10. Левчук В.М. Нужин Я.Н. О строении групп Ри //Алгебра и логика 1985 - Т 24. - №1 - С 26-41.

11. Левчук В.М Об аппроксимируемости свободных групп группами PSL(3,q) при нечетном q // Сб Алгебра Вложение группАлгоритмические вопросы Красноярск. ИФ СО АН СССР — 1970 С. 71-93.

12. Левчук В.М. О слабо факторизуемых группах. //Мат. заметки.— 2003. Т. 73. - №4 - С 565 -572

13. Нужин Я. Н. О строении групп лиева типа ранга 1 // Мат заметки 1984 - Т 36. - №.- С 149-158

14. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли — М Мир, 1969

15. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле — М • Мир, 1975

16. Сыскин С. А. Абстрактные свойства простых спорадических групп // Успехи матем наук.— 1980 — Т. 35 — №5(215).— С 181212.

17. Тютянов В.Н., Конечные группы с дополняемыми подгруппами // Известия Гомельского гос.университета —2006 — Т 3 — № 36 -С 178 182.

18. Холл М. Теория групп М. ИЛ,1962

19. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп — М. Наука. 1980.

20. Черников С.Н. Группы с системами дополняемых подгрупп // Матем.сб 1954 - Т 35(77).- №1 - С 93-128

21. Шунков В.П Группы с инволюциями // В сб тезисов докл. международ сем по теории групп. — Екатеринбург ИММ УрО РАН.- 2001 С 245.

22. Aschbacher М. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent Math 1984 - V. 76 - P 469-514.

23. Aschbacher M, Seitz G.M. Involutions m chevalley groups over fields of even order 11 Nagoya Math J 1976 - V 63 - P 1-91

24. Bloom D The subgroups of PSL(3, q) for odd q // Trans Amer Math. Soc 1967.- V. 127,- №1- P. 150-176

25. Carter R. Simple groups of Lie type — New York Wiley and Sons, 1972

26. Conway J.H., Curtis R T, Norton S.P., Parker R.A. and Wilson R A. An ATLAS of finite groups // Oxford univ. press — 1985.

27. Enomoto H The conjugace classes of Chevalley groups of type (G2) over finite fields of characteristic 2 or 3 // Fac Sci Univ Tokyo.— 1970. Vol.16 - P.497—512

28. Guterman. A characterization of the groups ^4(2") //J. Alg —1972 -V. 20,- P 1-23.

29. Hartley R. W Determination of the ternary eollineation groups whose coefficients lie in the GF(2n) //Ann Math 1925 - V 27 - P. 140-158

30. Hall Ph. Complemented groups //J. London Math Soc —1937 — V 12. P 201-204.

31. Ito N. On the factorizations of the linear fractional group LF(2,pn). 11 Acta Sci.Math 1953.- V 15 - №1 - P. 79-84

32. Key J. D. Some maximal subgroups of PSL(n,q), n > 3, q = 2r. // Geom. de die 1975.- V. 4 - №2-4 - P 377-386

33. Kleidman P., Liebeck M. W. The subgroup structure of the finite classical groups // London math soc lecture notes, Cambridge university press — 1990 — №129

34. Levchuk V.M. Growth of the intersection of the centralizer of an involution and its class of conjugated elements in finite simple groups// Proc Int Conf. "Antalya Algebra Days VIII". — Istanbul Bilgi Univ.- 2006 P 26

35. Liebeck M W., Praeger С E, Saxl J. The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups // Amer math society -1990 V 86 - №432

36. Mitchell H.H Determination of the ordinary and modular ternary linear group // Trans Amer Math Soc — 1911 — V 19. — K°2 P 207-242

37. Mwene В On the subgroups of the group PSL(4,2m). // J Alg -1976 V. 41. - P. 79-107.

38. Parrot G A characterization of the Ree groups 2Fi(q) //J. Alg — 1973.-V 27-P 341- 357.

39. Suzuki M On a class of doubly transitive groups. //Ann Math — 1962 V 75.- №1 - P. 105-145

40. Thomas G. A characterization of the group G2(2n) // J Alg —1969 — V 13.- P 87-118

41. Tits J. Theoreme de Bruhat et sous-groupes paraboliques C. R Acad Sci Paris -1962 - 294.- No 16 P. 2910-2912РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

42. Лихарев А Г. О слабо факторизуемых группах лиева типа малых рангов и спорадических группах. // Algebra and model Theory 4 Новосибирск НГТУ- 2003.- С. 56-61.

43. Лихарев А Г О конечных слабо факторизуемых группах . // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета Тезисы докладов. М.: Мехмат МГУ.- 2004 С 88-89

44. Лихарев А Г О слабо факторизуемых группах лиева типа малых рангов. Int Conf. "Алгебра, логика и кибернетика". Иркутск ИГПУ — 2004 —С 243.

45. Лихарев А Г. Простые конечные слабо факторизуемые группы // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100 — летию П. Г Конторовича и 70 — Л. Н. Шеврина Тезисы докладов. Екатеринбург. УГУ — 2005.— С 58-59

46. Левчук В М, Лихарев А Г Конечные простые группы с дополняемыми максимальными подгруппами // Сиб мат журнал 2006 - Т47- №4. - С.798-810

47. Лихарев А.Г. Ограниченность сопряженно-коммутативной ширины инволюции в группах Шевалле // Препринт №4 -Красноярск ИВМ СО РАН 2006.