Группы с системами дополняемых подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Савичева, Галина Владимировна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Брянск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2009
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Савичева Галина Владимировна
ГРУППЫ С СИСТЕМАМИ ДОПОЛНЯЕМЫХ ПОДГРУПП
Специальность 01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
2 8 2009
Москва - 2009
003471249
Работа выполнена на кафедре алгебры физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского.
Научный руководитель
Доктор физико-математических наук, профессор ВЕДЕРНИКОВ Виктор Александрович
Официальные оппоненты
Доктор физико-математических наук, профессор БЕЛЯЕВ Виссарион Викторович
Ведущая организация Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины
диссертационного Совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г.Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.
V.
1Ш11Д11Ди1 1.^11 Л11\и .4111^.441*1 1 1.-^ пи^П, дицч.111
ЧУБАРОВ Игорь Андреевич
Защита состоится 15 июня 2009 года в
часов на заседании
Автореферат разослан « » мая 2009 г.
Ученый секретарь /ч/у
Диссертационного совета // МУРАВЬЕВА О.В.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В теории групп одним из наиболее перспективных и интересных направлений является изучение групп с заданными свойствами системы подгрупп. Начало таким исследованиям было положено работами У. Бернсайда, Р. Дедекинда, Г. Миллера и Г. Морено, Ф.Г. Фробениуса и О.Ю. Шмидта. Появившись сначала в области конечных групп, это направление распространилось затем на бесконечные группы. При этом появились новые подходы к изучению групп, а также важные новые понятия теории групп.
Ясно, что для рассмотрения точного строения определенного вида групп с заданными свойствами подгрупп,-необходимы сильные ограничения для подгрупп. Большое значение здесь имеет проблема исследования групп, обладающих в том или ином смысле широкой системой дополняемых подгрупп. Напомним, что подгруппа А группы в называется дополняемой в группе в, если в в существует такая подгруппа В, что 0=АВ и АпВ=1. При этом В называется дополнением к А в в. Понятно, что на строение группы и ее свойства существенно влияют условия дополняемости, наложенные на подгруппы из той или иной системы подгрупп. Так в 1937г. Ф. Холлом показана разрешимость конечной группы, в которой дополняемы все силовские примарные подгруппы. В связи с этим естественно возникла задача изучения конечных групп, в которых дополняемы все подгруппы. В том же году в другой работе Ф. Холлом был получен следующий интересный результат: в конечной группе в каждая подгруппа дополняема тогда и только тогда, когда группа в является сверхразрешимой группой с элементарными абелевыми примарными подгруппами.
Исследованию свойств произвольных групп (как конечных, так и бесконечных), в которых дополняемы все подгруппы, посвящены работы Н.В. Черниковой (1953). В ее работах группы, в которых дополняемы все подгруппы, получили укрепившееся за ними название вполне
факторизуемых. В 1956 году Н.В. Черниковой получен критерий для вполне факторизуемых групп.
Общая задача изучения групп с некоторой заданной системою дополняемых подгрупп была сформулирована С.Н. Черниковым. Изучались группы с дополняемыми абелевыми (неабелевыми, элементарными абелевыми) подгруппами, нормальными (неинвариантными), бесконечными (бесконечными абелевыми, бесконечными неабелевыми), примарными (непримарными, нормальными непримарными) подгруппами. Впоследствии в этом направлении работали и получили многие важные результаты Я.Г. Беркович, Ю.М. Горчаков, Д.И. Зайцев, Б. Хупперт, B.C. Чарин, Н.С. Черников, С.А.Чунихин и др.
В 70-х гг. появился новый подход к обобщению вполне факторизуемых групп, связанный с понятием сепарирующей подгруппы. Это понятие было введено С.Н. Черниковым. Согласно его работе собственная подгруппа Н группы G называется А-сепарирующей, если любая подгруппа группы G, не содержащаяся в Н, обладает свойством А. Такой подход использовали в своих работах Н.С. Черников, С.А. Довженко, A.B. Спиваковский, В.А. Крекнин и др. Так A.B. Спиваковским изучались конечные группы, обладающие хотя бы одной дополняемой сепарирующей подгруппой, когда в качестве свойства А рассматривается свойство дополняемости подгруппы. Автором такие группы были названы сепараторно-факторизуемыми. Была доказана их разрешимость и получено структурное описание.
Напомним, что подгруппой Фраттини <I>(G) называется подгруппа группы G, являющаяся пересечением всех максимальных подгрупп группы G, если они существуют. Если в группе G нет максимальных подгрупп, то считаем <D(G)=G. Ясно, что для достаточно широкого класса групп подгруппа Фраттини O(G) занимает «значительную часть» группы G. В частности, если Р - конечная р-группа, то Р/Ф(Р) является элементарной абелевой р-группой, а квазициклическая р-группа совпадает со своей подгруппой Фраттини. Поэтому одним из существенных ослаблений условия
дополняемости всех подгрупп в группе является условие дополняемости всех подгрупп, не содержащихся в подгруппе Фраттини Ф(С) группы в. Группы, в которых дополняемы все подгруппы, не содержащиеся в Ф(в) и Ф(С)ДЗ, получили название нефраттинисво факторизуемых. В 1999 году в работах С.А. Довженко и Н.С. Черникова получены критерии для нефраттиниево факторизуемых конечных, локально конечных и примарно ступенчатых групп.
Исследование групп с дальнейшими ослаблениями условия дополняемости подгрупп является актуальной и перспективной задачей. Пусть 0(6) - подгруппа группы в, порожденная всеми подгруппами из в, не имеющими дополнений в в. Если группа С является вполне факторизуемой, то считаем, что Э(0)=1. Так как каждая циклическая подгруппа из подгруппы Фраттини Ф(0 не имеет дополнений в в, то ясно, что Ф(0)сВ(О. Таким образом, в работах С.А. Довженко и Н.С. Черникова получен результат для групп, у которых 0(С)=Ф(С)^С. Оказалось, что в этом случае 0(С)сг(С). Естественно было рассмотреть группы, в которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(0) и центра группы в, то есть группы, для которых выполняются условия 0(С)£Ф(С)2(0) и Б(С)#3. Такое ослабление условий дополняемости для подгрупп приводит к существенному расширению класса рассматриваемых групп. В частности, при условии В(ОсФ(С)7(0) этот класс содержит все абелевы группы и класс всех групп, совпадающих со своей подгруппой Фраттини. В данной диссертации исследованы конечные, локально конечные, локально почти разрешимые, примарно ступенчатые группы и произвольные 2-группы с указанными системами дополняемых подгрупп, а также произвольные нецентрально факторизуемые группы, то есть группы, у которых дополняемы все подгруппы, не содержащиеся в центре группы.
Цель и задачи исследования. Основной целью работы является полное описание примарно ступенчатых 1рупп, у которых все
недополняемые подгруппы содержатся в произведении Ф(0)г(О погруппы Фраттини на центр группы в. Для реализации данной цели были поставены следующие задачи:
• Исследовать конечные неабелевы р-группы, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении Ф(СЩС).
• Исследовать конечные группы, удовлетворяющие такому же условию: 0(С)сФ(0ЩС).
• Исследовать нецентрально факторизуемые группы.
• Исследовать локально почти разрешимые и примарно ступенчатые группы, для которых выполняется условие 0(С)с Ф(0)2(С).
Объектом исследования являются группы, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении Ф(0^(0) подгруппы Фраттини на центр группы в, а также нецентрально факторизуемые группы.
Предметом исследования являются свойства групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении Ф(СЩС) центра группы в на подгруппу Фраттини, а также свойства нецентрально факторизуемых групп.
Методы исследования. В диссертации используются методы абстрактной теории групп, а также теории линейных групп.
Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми. Важнейшие из них:
• Доказано, что в произвольной конечной группе в все недополняемые подгруппы содержатся в произведении Ф(С)7(0) тогда и только тогда, когда группа в является либо конечной абелевой группой, либо конечной ненильпотентной вполне факторизуемой группой, либо представляет собой прямое произведение групп Р и А, где Р - 0<р>-группа, то есть неабелева р-группа порядка р3, ехр(Р)=р при р>2 и Р - диэдральная группа при р=2; А -конечная абелева группа с элементарными абелевыми силовскими подгруппами или А=1.
• Установлено, что произвольная группа в является нецентрально факторизуемой в том и только том случае, если в является либо абелевой группой, либо вполне факторизуемой неабелевой группой, либо представляет собой прямое произведение В<р>-группы и вполне факторизуемой абелевой группы.
• Доказано, что для примарно ступенчатой группы в условие СтФ(0)<Ф(С)2(С) выполняется лишь в том случае, если группа в представляет собой либо прямое произведение циклической р-группы порядка больше р и вполне факторизусмои абелевой группы, либо прямое произведение 0<р>-группы и вполне факторизуемой абелевой группы, либо группа в является вполне факторизуемой неединичной группой.
• Показано, что для произвольной 2-группы условие (35Ф(С)<Ф(02(С) выполнятся тогда и только тогда, когда группа в представляет собой либо прямое произведение циклической 2-группы порядка >2 и элементарной абелевой 2-группы или единичной группы, либо прямое произведение диэдралыюй группы порядка 8 и элементарной абелевой 2-группы или единичной группы, либо О является элементарной абелевой 2-группой.
Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории групп, в частности, при дальнейшем изучении групп с той или иной системой дополняемых подгрупп. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и педагогических институтах для студентов математических специальностей.
На защиту выносятся следующие положения
1) Описание конечных групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(О) на центр 2(0) группы в.
2) Описание произвольной нецентрально факторизуемой группы.
3) Описание примарно ступенчатых групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(в) на центр 'ДО) группы в.
4) Описание произвольной 2-группы, у которой все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(в) на центр 2(й) группы в.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
• Семинарах кафедры математики, физики и информатики филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове;
• Семинарах кафедры алгебры Брянского государственного университета;
• Международной конференции «Актуальные проблемы науки и образования» (Новозыбков, 2004 г.);
• Международной алгебраической конференции «Классы групп и алгебр», посвященная 100-летию со дня рождения С.А. Чунихина (Гомель, 2005 г.);
• Международной конференции «Классы алгебр, групп и их приложения», посвященной 70-летию со дня рождения профессора Л.А. Шеметкова (Гомель, 2007 г.);
• Международной конференции «Алгебра и ее приложения», посвященной 75-летию профессора В.П. Шункова (Красноярск, 2007 г.).
Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы с полными доказательствами в четырех работах [1, 2, 3,4], а также в тезисах и материалах научных конференций [6, 7, 8].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, четырех глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 101 наименования. Объем диссертации - 84 страницы.
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обусловлена актуальность исследований и важность рассмотренных вопросов, сформулирована цель исследований, изложено содержание работы.
Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации. Глава 2 состоит из двух разделов. В первом из них приводится аналитический обзор изученности темы, и освещаются основные результаты, полученные ранее другими авторами в этой области. Во втором разделе собраны некоторые известные результаты, используемые в основном тексте диссертации.
-Глава 3 посвящена описанию'строения конечных групп,"для которых
0(С)с2(0)Ф(0. Эта глава состоит из 3 разделов.
В разделе 3.1 устанавливается ряд результатов общего характера относительно свойств В-сепарирующих подгрупп, то есть подгрупп группы в, содержащих подгруппу Э(С).
Теорема 3.2.1 раздела 3.2 дает полное описание конечных неабслевых р-групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении 2(Р)Ф(Р).
3.2.1. ТЕОРЕМА. Пусть Р - конечная неабелева р-группа. Тогда и только тогда 0(Р)?^7(Р)Ф(Р), когда Р=С?хА, где А - конечная элементарная абелева р-группа или А=1, 0 - 0<р>-группа, то есть неабелева р-группа порядка р3, ехр((2)=р при р>2 и С2 - диэдральная группа при р=2. Данная теорема является лишь частным случаем главного результата главы 3 теоремы 3.3.1, которая дает полное описание произвольной конечной группы, у которой все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фратгини Ф(О) на центр 2(0 группы О.
3.3.1. ТЕОРЕМА. Пусть в - конечная группа. Тогда и только тогда 0(0)£Ф(СЩ0), когда в является группой одного из следующих типов:
1) в - конечная абелева группа;
2) 0=РхА, где Р - 0<р>-группа, А=1 или А - конечная абелева группа с элементарными абелевыми силовскими подгруппами;
3) С - конечная ненильпотентная вполне факторизуемая группа. Теорема 3.3.1 существенно используется при доказательстве основных
результатов главы 4.
Сравним этот результат с критерием нефраттиниевой факторизуемости конечных групп полученным С.А. Довженко. Первого типа нефраттиниево факторизуемые группы будут только циклическими р-группами порядка больше р. Если в - нефраттиниево факторизуемая группа второго типа, то подгруппа А в разложении группы С может быть только единичной. Таким образом, можно сделать вывод, что класс рассматриваемых групп расширяется.
Цель главы 4 дать полное описание строения примарно ступенчатой группы в, для которой 0(0)с7(0)Ф(0). Эта глава состоит из 5 разделов.
Предварительные результаты, необходимые для доказательства основных результатов главы 4 приведены в разделе 4.1. Одним из главных результатов этой главы является теорема 4.2.1 раздела 4.2, описывающая полное строение нецентрально факторизуемых групп, то есть групп, для которых О(0сг(0).
4.2.1. ТЕОРЕМА. Пусть О - произвольная группа. Тогда и только тогда 0(0)с2(С), когда в - группа одного из следующих типов:
1)0- абелева группа;
2) 0=РхА, где Р - 0<р>-группа и А - вполне факторизуемая абелева группа;
3) О - вполне факторизуемая неабелева группа.
4.2.2. СЛЕДСТВИЕ. Пусть О - произвольная группа. Тогда и только тогда С^0(С)с2(С), когда в - группа одного из следующих типов:
1) С=АхВ, где А - циклическая р-группа порядка больше р и В -вполне факторизуемая абелева группа;
2) С=РхВ, где Р - 0<р>-группа и В - вполне факторизуемая абелева группа;
3) в - вполне факторизуемая неединичная группа.
Как при доказательстве теоремы 4.2.1, так и при доказательстве, вытекающего из нее следствия 4.2.2, используется теорема 3.3.1.
Основным результатом следующего раздела 4.3 является описание строения локально почти разрешимых групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы фраттини Ф(С) на центр 2(0) группы С.
4.3.2. ТЕОРЕМА. Пусть в - локально почти разрешимая группа. Тогда и только тогда 0(ОсФ(С)2(С), когда в - группа одного из следующих типов:
1) 0=Ф(0)2(О;
2) 0=РхА, где Р - 0<р>-группа, А - вполне факторизуемая абелева группа;
3) в - вполне факторизуемая неабелева группа.
4.3.4. СЛЕДСТВИЕ. Пусть С - локально почти разрешимая группа. Тогда и только тогда 0^0(С)с:Ф(С)2(С), когда в - группа одного из следующих типов:
1) С=АхВ, где А - циклическая р-группа порядка больше р и В -вполне факторизуемая абелева группа;
2) С=РхВ, где Р - 0<[)>-группа и В - вполне факторизуемая абелева группа;
3) в - вполне факторизуемая неединичная группа.
Как оказалось, теорема 4.3.2 является частным случаем основного результата главы 4 - теоремы 4.4.3, которая описывает строение примарно ступенчатой группы с 0(С)сФ(0)2(С).
4.4.3. ТЕОРЕМА. Пусть О - примарно ступенчатая группа. Тогда и только тогда 0/0(С;)<Ф(0)7(С), когда в - группа одного из следующих типов:
1) 0=АхВ, где А - циклическая р-группа порядка больше р и В -вполне факторизуемая абелева группа;
2) 0=РхВ, где Р - 0<р>-группа и В - вполне факторизуемая абелева группа;
3)0- вполне факторизуемая неединичная группа.
Открытым остается вопрос описания строения произвольной группы, для которой все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(в) группы в на центр 2(0), и 0(0)?КЗ. Другими словами, можно ли в формулировке теоремы 4.4.3 опустить условие примарной ступенчатости группы в? Для 2-групп этот вопрос решается с помощью теоремы 4.5.1, приведенной в последнем разделе 4.5 главы 4. 4.5.1. ТЕОРЕМА. Пусть О - 2-группа. Тогда и только тогда С?Ф(С)<Ф(ОЩО), когда в группа одного из следующих типов:
1) 0=АхВ, где А - циклическая 2-группа порядка больше 2, а В либо элементарная абелева 2-группа, либо В=1;
2) С=РхВ, где Р - диэдральная группа порядка 8, а В либо элементарная абелева 2-группа, либо В=1;
3)0- элементарная абелева 2-группа.
Задача исследования групп с указанной системой дополняемых подгрупп далека до завершения. В настоящее время еще не получено описание строения конечной группы О с условием Б(0)ДЗ. Большой интерес представляет вопрос описания строения произвольной группы О, обладающей собственной подгруппой Э(0).
- ю-
выводы
В настоящей диссертации получено:
1) описание конечных групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттшш Ф(в) на центр Х(С) группы в;
2) описание произвольной нецентрально факторизуемой группы;
3) описание примарно ступенчатых групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(0 на центр 2(0 группы О, и 0(С)ДЗ;
4 )_описание__строения_произвольной_2-группы,_у__которой_все
недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(в) на центр 2(0) группы в, и Б(С)#3.
Список опубликованных работ по теме диссертации
1. Ведерников, В.А. О конечных группах, близких к вполне факторизуемым [Текст] / В.А. Ведерников, Г.В. Савичева // Дискретная математика. - М.: Наука, 2007. - Т. 19, вып. 2. - С. 7884. - 0,41 п.л. (авт. вклад 50%)
2. Ведерников, В.А. Примарно ступенчатые группы с системами дополняемых подгрупп [Текст] / В.А. Ведерников, Г.В. Савичева И Сибирский математический журнал. - Новосибирск: Изд-во инта мат-ки, 2008. - Т.43, № 3. - С. 515-527. - 0,81 п.л. (авт. вклад 50%)
3. Ведерников, В.А. Конечные группы с дополняемыми системами подгрупп [Текст] / В.А. Ведерников, Г.В. Савичева // Вестник Московского городского педагогического университета. - М.: МГПУ, 2007. - №2 (15). - С. 19 - 26. - 0,47 п.л. (авт. вклад 50%)
4. Савичева, Г.В. О конечных р-группах, близких к вполне факторизуемым [Текст] / Г.В. Савичева // Актуальные проблемы науки и образования: Сборник материалов VIII международной научно-практической конференции (г. Новозыбков, Брянская обл., 27-28 октября 2005 г.): в 2-х ч. / Ред. кол. В. Н. Пустовойтов, С. Н. Стародубец, А. В. Шлома. - Брянск: РИО БГУ, 2005. - 4.1. - С.41-45. - 0,28 п.л.
5. Савичева, Г.В. Группы с заданными свойствами системы дополняемых подгрупп [Текст] / Г.В. Савичева // Сборник научных трудов преподавателей филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове. Вып.2. - Брянск: РИО БГУ, 2005. - С. 52-55.-0,14 п.л.
6. Ведерников, В.А. Примарно ступенчатые группы с системами дополняемых подгрупп [Текст] / В.А. Ведерников, Г.В. Савичева // Международная конференция, посвященная 70-летию со дня
рождения проф. Л.А. Шеметкова: Тез. докл. - Гомель, 2007. - С. 5758. - 0,06 п.л. (авт. вклад 50%)
7. Ведерников, В.А. Локально почти разрешимые группы с системами дополняемых подгрупп [Текст] / В.А. Ведерников, Г.В. Савичева II Международная конференция «Алгебра и се приложения», посвященная 75-летию проф. В.П. Шункова: Тез. докл. - Красноярск, 2007. - С. 28-29. - 0,06 п.л. (авт. вклад 50%)
8. Ведерников, В.А. О конечных группах, близких к вполне Ляктппи^еммм ГТект.т1 / В А йрттрпникгт Г Я Сяпиирпя ,//
т------1----^--------- I------' ------""I ----1 ------
Международная алгебраическая конференция «Классы групп и алгебр», посвященная 100-летию со дня рождения С.А. Чунихина: Тез. докл. - Гомель, 2005. - С. 49. - 0,06 п.л. (авт. вклад 50%)
Подп. к печ. 23.04.2009 Объем 1 п.л. Заказ №. 89 Тир 100 экз. Типография МПГУ
\ь
ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ Г Л А В А ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Г Л А В А ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
2.1. О Б З О Р ЛИТЕРАТУРЫ
2.2. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Г Л А В А КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ СИСТЕМАМИ ПОДГРУПП
3.1. СВОЙСТВА D-СЕПАРИРУЮЩИХ ПОДГРУПП
4.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
4.2. НЕЦЕНТРАЛЬНО ФАКТОРИЗУЕМЫЕ ГРУППЫ
0ПРЕДЕЛЕ1-1ИЕ 15. Бинарно конечная группа это группа, каждая пара элементов которой порождает в ней конечную подгруппу. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Локально ступенчатой фуппой называется группа, в которой каждая неединичная конечнопорожденная подгруппа имеет собственную подгруппу конечного индекса. Единичная группа считается локально ступенчатой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Группа G называется бинарно ступенчатой, если в ней каждые два элемента порождают локально ступенчатую подгруппу. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Группа G называется бинарно разрешимой, если в ней каждая пара элементов порождает разрешимую подгруппу. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. (Н.С. Черников, [43]). Группа G называется примарно ступенчатой, если в произвольной ее подгруппе, порожденной двумя сопряженными примарными элементами, любая неединичная подгруппа конечного индекса обладает собственной подгруппой конечного индекса. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Группа называется финитно аппроксимируемой, если пересечение всех ее инвариантных подгрупп конечного индекса равно единице. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. RN-группой называется группа G, обладающая субнормальной системой с абелевыми факторами. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. Нормальным замыканием в группе G непустого множества ее элементов М называется подгруппа, порожденная всеми сопряженными с М в G множествами
Актуальность темы диссертации, В теории групп одним из наиболее перспективных и интересных направлений является изучение групп с заданными свойствами системы подгрупп. Начало таким исследованиям было положено работами У. Бернсайда, Р. Дедекинда, Г. Миллера и Г. Морено, О.Ю. Шмидта и др. Появившись сначала в области конечных групп, это направление распространилось затем на бесконечные группы и дало при этом многие новые подходы к их изучению, а также важные понятия теории групп. Среди наиболее значительных объектов исследований были выделены классы локально конечных групп, периодических групп, локально разрешимых и локально нильпотентных групп, локально ступенчатых групп, классы групп Куроша-Черникова. В этом направлении работали многие авторы: СИ. Адян, Р. Бэр, Б.А. Вэрфриц, X. Виланд, Дж. Вильсон, Ю.М. Горчаков, В.М. Глушков, Д. Горенстейн, Р.И. Григорчук, Д.И. Зайцев, М.И. Каргополов, О. Кегель, А.И. Кострикин, Л.Г. Курош, Л.А. Курдаченко, А.И. Мальцев, Ю.И. Мерзляков, А.Ю. Ольшанский, П.С. Новиков, Б.И. Плоткин, Д.Ю. Робинсон, А.В. Рожков, А.И. Созутов, Д. Томпсон, В. Фейт, Г. Хайнекен, Б. Хартли, Ф. Холл, B.C. Чарин, Н.С. Черников, Н. Черников, А. Чунихин, Л.А. Шеметков, В.П. Шунков и др.Ясно, что для рассмотрения строения определенного вида групп с заданными свойствами подгрупп, необходимы существенные ограничения для подгрупп. Большое значение здесь имеет проблема исследования групп, обладаюш,их в том или ином смысле широкой системой дополняемых подфупп. Напомним, что подгруппа А группы G называется дополняемой в группе G, если в G существует такая подгруппа В, что G=AB и АпВ=1. При этом В' называется дополнением к А в G. Понятно, что на- строение группы и ее свойства существенно влияют условия дополняемости, налагаемые на подгруппы из той или иной системы подгрупп. Так, в 1937 году Ф. Холлом была показана разрешимость конечной группы, в которой дополняемы все силоБские примарные подгруппы. В связи с этим возникла потребность изучения конечных групп, в которых дополняемы все подгруппы. В этом направлении Ф. Холлом получен следующий критерий: в конечной группе G каждая подгруппа дополняема тогда и только тогда, когда G является сверхразрешимой группой с элементарными абелевыми примарными подгруппами. Первоначальному исследованию свойств произвольных групп с системой дополняемых подгрупп, удовлетворяющей тем или иным условиям, посвящены работы Н. В. Черниковой [23, 88]. Ею было получено полное конструктивное описание вполне факторизуемых групп, то есть групп, в которых дополняемы все подгруппы. Из теоремы Н.В.Черниковой [23] следует, что в группе G каждая подгруппа дополняема тогда и только тогда, когда G=[A]B, где А разлагается в прямое произведение нормальных в G подгрупп простых порядков или А=1, а В разлагается в прямое произведение подгрупп простых порядков или В=1.Общая задача изучения групп с некоторой заданной системой дополняемых подгрупп была сформулирована Н. Черниковым в работах [85,86]. Изучались группы с дополняемыми абелевыми (неабелевыми, элементарными абелевыми) подгруппами, нормальными (неинвариантными), бесконечными (бесконечными абелевыми, бесконечными неабелевыми), примарными (непримарными, нормальными непримарными) подгруппами.Впоследствии в этом направлении работали и получили многие важные результаты Ю.М. Горчаков, М.И. Каргаполов, Д.И. Зайцев, B.C. Чарин и др. (школа Н. Черникова), Н.С. Черников, Н.М. Сучков и др. (школа В.П. Шункова), К. Кристенсеном. А.С. Кондратьевым, Л.С. Казариным, В.А. Ведерниковым, B.C. Монаховым, М. Курцио, О. Бечтеллом и др.В 70-х гг. было введено понятие сепарирующей подгруппы, и в связи с этим появился новый подход к обобщению вполне факторизуемых групп. В этом направлении были получены результаты в работах Н.С. Черникова, А. Довженко, Д. Кеппига, B.C. Чарина, А.В. Спиваковского, В.А. Крекнина и др.Одним из наиболее естественных ослаблений условия дополняемости всех подгрупп в группе является условие дополняемости подгрупп, не содержащихся в ее подгруппе Фраттини - нефраттиниевых подгрупп. Такие группы с дополняемыми нефрахтиниевыми подгруппами были полностью описаны А. Довженко в работах [40-44]. Исследование групп с дальнейшими ослаблениями условия дополняемости подгрупп является актуальной и перспективной задачей. Так, кюжно рассмотреть группы, в которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(0) и центра Z(G) группы G. Такое ослабление условия дополняемости приводит к существенному расширению класса рассматриваемых групп, в частности, этот класс содержит все абелевы группы. В данной диссертации исследованы конечные, локально конечные, локально почти разрешимые, примарно ступенчатые группы с указанными системами дополняемых подгрупп, а также произвольные нецентрально факторизуемые группы, то есть группы, у которых дополняемы все нецентральные подгруппы и произвольные 2-группы.Цель и задачи исследования. Основной целью работы является полное описание конечных и примарно ступенчатых групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении Ф{G)Z{G) погруппы Фраттини на центр группы О. При реализации данной цели были решены следующие задачи: • Исследование конечных неабелевых р-групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении Ф(0)2(0). • Исследование конечных фупп, удовлетворяющих, такому же условию:; D(G)cO(G)Z(G)i • Исследование нецентрально факторизуемых групп. • Исследование локально почти разрешимых и примарно ступенчатых групп, для которых выполняется условие D(G)c 0(G)Z(G).Объектом исследования являются: группы^ у которых все недополняемые подгруппы содержатся В'произведении 0(G)Z(G) подгруппы Фраттини>на центр rpynnbiG, а также нецентрально факторизуемые группы.Предметом исследования являютсяп свойства групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в. произведении; 0(G)Z(G): центра группы G на^ подгруппу Фраттини, а также свойства нецентрально; факторизуемых групп.Методы исследования. В диссертации используются; методы абстрактной-теории групп, а также теории линейных групп;.Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории, групп, в частности, при дальнейшем изучении групп с той или иной системой дополняемых подгрупп. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и педагогических институтах для студентов математических специальностей.Основные положения диссертации, выносимые на защиту, 1) Описание конечных групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини 0(G) на центр Z(G) группы G.2) Описание произвольной нецентрально факторизуемой группы.3) Описание локально почти разрешимых и локально конечных групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении 0(G)Z(G).4) Описание примарно ступенчатых групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(0) на центр Z(G) группы G.5) Описание произвольной 2-группы, у которой все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(0) на центр Z(G) группы G.Личный вклад соискателя. Диссертационная работа выполнена соискателем лично под руководством профессора, доктора физико-математических наук Ведерникова Виктора Александровича. Научным руководителем были поставлены задачи и предломсена методика их исследования. В совместных работах основные идеи и методы принадлежат научному руководителю, а реализованы соискателем.Апробания результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на: • Семинарах кафедры математики, физики и информатики филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове; • Семинарах кафедры алгебры Брянского государственного университета; • Международной конференции «Актуальные проблемы науки и образования» (Новозыбков, 2004 г.); • Международной алгебраической конференции «Классы групп и алгебр», посвященная 100-летию со дня рождения А. Чунихина (Гомель, 2005 г.); • Меледународной конференции «Классы алгебр, групп и их приложения», посвященной 70-летию со дня рождения профессора Л.А. Шеметкова (Гомель, 2007 г.); • Международной конференции «Алгебра и ее приложения», посвященной 75-летию профессора В.П. Шункова (Красноярск, 2007 г.).Опублико ванна сть результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях [27, 32, 34, 69] и тезисах конференций [28, 31, 33].Структура и объем диссертаиии. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, четырех глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 101 наименования. Объем диссертации - 84 страницы.Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании диссертации.
выводы
В настоящей диссертации получено: описание конечных групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини O(G) на центр Z(G) группы G; описание произвольной нецентрально факторизуемой группы; описание локально почти разрешимых и локально конечных групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении 0(G)Z(G); описание примарно ступенчатых групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(О) на центр Z(G) группы G; описание строения произвольной 2-группы, у которой все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(О) на центр Z(G) группы G.
1. Ballester-Bolinches, A. C-supplemented subgroups of finite groups Text. / A. Ballester-Bolinches, Y. Wang, G. Xiuyun // Glasgow Math. J. 2000. -42.-P. 383-389.
2. Chernikov, N.S. A generalization of completely factorizable groups Text. / N.S. Chernikov, V.A. Kreknin, O.O. Trebenko // Matematychni Studii. -2005. 23, №2. - P. 129-135.
3. Dedekind, R. Uber Gruppen, deren samtliche Teiler Normalteiler sind Text. / R. Dedekind // Math. Ann. 1897. - 48, №4. - S. 548-561.
4. Gao Jinxin. Completely c-permutable minimal subgroups Text. / Gao Jinxin. // Международная конференция, посвященная 70-летию со дня рождения проф. JI. А. Шеметкова: Тез. докл. Гомель, 2007. - С. 1618.
5. Gaschutz, W. Zur Erweiterungsteorie der endlichen Gruppen Text. / W. Gaschutz // J. Reine und angew. Math. 1952. - 190, №1. - P. 93-107.
6. Hall, Ph. A characteristic property of soluble groups Text. / Ph. Hall // J. London Math. Soc. 1937. - 12, №47. - S. 198-200.
7. Hall, Ph. Complemented groups Text. / Ph. Hall // J. London Math. Soc. -1937. 12, №47. - S. 201-204.
8. Hall, Ph. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem Text. / Ph. Hall, G. Higman // Proc. London Math. Soc. 1956. - Vol. 6, №21 - S. 1-42.
9. Hu Bin. C-Semipermutable Subgroups of Finite Groups Text. / Hu Bin, Guo Wenbin // Международная конференция, посвященная 70-летию74со дня рождения проф. JI. А. Шеметкова: Тез. докл. — Гомель, 2007. — С. 12-14.
10. Huang Jianhong, Guo Wenbin. S-Conditionally Permutable Subgroups of Finite Groups Text. / Huang Jianhong, Guo Wenbin // Международная конференция, посвященная 70-летию со дня рождения проф. JI. А. Шеметкова: Тез. докл. Гомель, 2007. - С. 14-16.
11. Huppert, В. Endliche Gruppen I Text. / В. Huppert. Berlin-New-Jork: Springer-Verlag, 1967.-793 s.
12. Kegel, O.Ii. Locally finite groups Text. / O.H. Kegel, B.A.F. Wehrfriz. -Amsterdam; London: North-Holland Publ., Co, 1973. 210 p.
13. Kurosch, A. Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen Text. / A. Kurosch // Math. Ann. -1934. 109, №1. - S. 647660.
14. Miller, G. Non-abelian groups in which every subgroup is abelian Text. / G. Miller, H. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. 1903 - 4, №3. - P. 398404.
15. Robinson, D.J.S. Finiteness conditions and generalized soluble groups. Pt. 1 Text. / D.J.S. Robinson. Berlin etc.: Springer, 1972. -210 s.
16. Robinson, D.J.S. Finiteness conditions and generalized soluble groups. Pt. 2 Text. / D.J.S. Robinson. Berlin etc.: Springer, 1972. - 254 s.
17. Trebenko, O.O. On locally graded groups with a C-separating subgroup Text. / O.O. Trebenko //Abstracts of Talks. VI International Algebraic Conference in Ukraine (Kamyanets-Podilsky, July 1-7, 2007). 2007. - P. 201.
18. Wang, Y. C-normality of groups and its properties Text. / Y. Wang // J. Algebra. 1996. - 180. - S. 954-965.
19. Wang, Y. Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c-supplemented Text. / Y. Wang // J. Algebra. 2000, 224. - S. 467-478.
20. Wehrfritz, B.A.F. Infinite linear groups Text. / B.A.F. Wehrfriz. Berlin etc.: Springer, 1973.-229 s.
21. Алексеева, Э.С. Бесконечные непримарно факторизуемые группы Текст. / Э.С.Алексеева // Некоторые вопросы теории групп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975.-С. 123-140.
22. Алексеева, Э.С. Конечные непримарно факторизуемые группы Текст. / Э.С.Алексеева // Группы с системами дополняемых подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972. - С. 147-179.
23. Баева, Н.В. Вполне факторизуемые группы Текст. / Н.В. Баева. — ДАН СССР, 1953. 92, №5. - С. 877-880.
24. Барышовец, П.П. Бесконечные группы с дополняемыми коммутантами всех бесконечных подгрупп Текст. / П.П. Барышовец // Исследования по теории групп. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976.-С. 45-62.
25. Барышовец, П.П. Конечные неабелевы группы, в которых дополняемы коммутанты всех собственных подгрупп Текст. / П.П. Барышовец // Группы с заданными свойствами подгрупп. Киев: Инт математики АН УССР, 1973. - С. 15-77.
26. Барышовец, П.П. Локально разрешимые неабелевы группы, в которых дополняемы коммутанты всех собственных подгрупп Текст. / П.П. Барышовец // Исследование групп по заданным свойствам подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1974. - С. 131-166.
27. Ведерников, В.А. Конечные группы с дополняемыми системами подгрупп Текст. / В.А. Ведерников, Г.В. Савичева // Вестник Московского городского педагогического университета. М.: МГПУ, 2007.-№2 (15).-С. 19-26.
28. Ведерников, В.А. О группах с определенными свойствами для подгрупп Текст. / В.А. Ведерников // ДАН СССР 1971. - 198, №2. -С. 266-268.
29. Ведерников, В.А. О конечных группах с перестановочными подгруппами Текст. / В.А. Ведерников // ДАН БССР 1967. - XI, №12.-С. 1057-1059:
30. Ведерников, В.А. О конечных группах, близких к вполне факторизуемым Текст. / В.А. Ведерников, Г.В. Савичева // Дискретная математика. М.: Наука, 2007. - Т. 19, вып. 2. - С. 78-84.
31. Ведерников, В.А. Примарно ступенчатые группы с системами дополняемых подгрупп Текст. / В.А. Ведерников, Г.В. Савичева // Сибирский математический журнал. Новосибирск: Изд-во ин-та мат-ки, 2008. - Т.43, № 3. - С. 515-527.
32. Горчаков, Ю.М. О примарно факторизуемых группах Текст.4 / Ю.М. Горчаков // Укр. мат. журн. Киев: Изд-во ин-та мат-ки АН УССР, 1962.- 14, №1.- С. 3-9.
33. Горчаков, Ю.М. Примитивно факторизуемые группы Текст. / Ю.М. Горчаков. ДАН СССР, 1960. - 131, №6. - С. 1243-1246.
34. Горчаков, Ю.М. Примитивно факторизуемые группы Текст. / Ю.М. Горчаков. Уч. зап. Пермского ун-та, 1960. - 17, №1. - С. 15-31.
35. Горчаков, Ю.М. Примитивные тс-факторизуемые группы Текст. / Ю.М. Горчаков. ДАН СССР, 1962. - 146, №1. - С. 14-16.
36. Горчаков, Ю.М. Конечные группы, все неинвариантные подгруппы которых дополняемы Текст. / Ю.М. Гочаков, В.А. Шериев // Сиб. мат. журн. — Новосибирск, Изд-во ин-та мат-ки, 1965. — 6, №6. С. 1234-1253.
37. Довженко, С.А. К теореме Н.В. Черниковой о вполне факторизуемых группах Текст. / С.А. Довженко // Укр. мат. журн. — Киев: Изд-во инта мат-ки, 1999. -51, №6. С. 854-855.
38. Довженко, С.А. Локально конечные и локально почти разрешимые группы с дополняемыми нефраттиниевыми подгруппами Текст. / С.А. Довженко // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского унта, 1999. - вып. 15. - С. 84-89.
39. Довженко, С.А. Нефраттиниево факторизуемые группы: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 Текст. / С.А. Довженко. Брянск: РИО БГУ, 1999.-77с.
40. Довженко, С.А. Примарно ступенчатые группы с дополняемыми нефраттиниевыми подгруппами Текст. / С.А. Довженко, Н.С. Черников // Укр. мат. журн. Киев: Изд-во ин-та мат-ки, 1999. - 51, №10.-С. 324-333.
41. Зайцев, Д.И. Группы с дополняемыми абелевыми подгруппами непростых порядков Текст. / Д.И. Зайцев, О.Н. Зуб // Группы сзаданными свойствами подгрупп. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1973.-С. 105-126.
42. Зайцев, Д.И. Группы с некоторой системой дополняемых абелевых подгрупп Текст. / Д.И. Зайцев, JI.M. Кляцкая // Группы с системами дополняемых подгрупп. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972. -С. 180-222.
43. Зенков, В.И. Аналог фраттиниевой факторизации конечных групп Текст. / В. И. Зенков, В. С. Монахов, Д. О. Ревин // Алгебра и логика Новосибирск: Сибирский фонд алгебры и логики, 2004. — 43, №2. -С. 184-196.
44. Зуб, О.Н. Группы, нециклические подгруппы которых дополняемы Текст. / О.Н. Зуб // Группы с ограничениями для подгрупп. — Киев: Наукова думка, 1971.-С. 134-158.
45. Каргаполов, М.И. Некоторые вопросы теории нильпотентных и разрешимых групп Текст. / М.И. Каргополов. ДАН СССР, 1959. -127, №6. -С. 1164-1166.
46. Каргаполов, М.И. О проблеме О. Ю. Шмидта Текст. / М.И. Каргополов // Сиб. мат. журн. Новосибирск: Изд-во ин-та мат-ки, 1963.-4,№2.-С. 232-235.
47. Каргополов, М.И. Основы теории групп Текст. / М.И. Каргополов, Ю.И. Мерзляков; Издание 3-е. М.: Наука, 1982. - 288 с.
48. Кляцкая, Л.М. Абелевы группы, в которых дополняемы все максимальные подгруппы фиксированного ранга Текст. / Л.М. Кляцкая // Группы с ограничениями для подгрупп. Киев: Наукова думка, 1971.-С. 159-184.
49. Кондратьев, А.С. Конечные непримарные группы с дополняемыми бипримарными подгруппами четного порядка Текст. / А.С. Кондратьев. Мат. зап. Уральского гос. ун-та, 1975. - 9(3), №1. - С. 44-52.
50. Крекнш, В.А. Локально ступшчасп 2-групи з наддоповнюваною циюнчною пщгрупою Текст. / В.А. Крекшн // зб. Праць 1н-ту математики НАН Укра'ши. 2005. - 2, №3. - С.137-209.
51. Курош, А.Г. Теория групп Текст. / А.Г. Курош. М.: Наука, 1967. -648 с.
52. Лозбень, Т.М. Локально компактные группы с некоторой системой дополняемых подгрупп Текст. / Т.М. Лозбень // Группы с ограничениями для подгрупп. Киев: Наукова думка, 1971. - С. 199206.
53. Монахов, B.C. О конечных группах с некоторыми подгруппами простых индексов Текст. / В. С. Монахов, В. Н. Тютянов // Сиб. матем. журн. — Новосибирск: Изд-во ин-та мат-ки, 2007. Т. 48, №4. -С. 833-836.
54. Монахов, B.C. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами Текст. / B.C. Монахов // Матем. заметки М.: Наука, 1983. - 34, №3. с. 337-340.
55. Новиков, П.С. О бесконечных периодических группах. I Текст. / П.С. Новиков, С.И. Адян. Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1968. - 32, №1. -С. 212-244.
56. Новиков, П.С. О бесконечных периодических группах. II Текст. / П.С. Новиков, С.И. Адян. Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1968. - 32, №2.-С. 251-524.
57. Новиков, П.С. О бесконечных периодических группах. III Текст. / . П.С. Новиков, С.И. Адян. Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1968. - 32,3.-С. 709-731.
58. Ольшанский, А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков Текст. / А.Ю. Ольшанский. Изв. АН СССР Сер. мат., 1980. - 44, №2. - С. 309-321.
59. Ольшанский, А.Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами Текст. / А.Ю. Ольшанский. Докл. АН СССР, 1979. -245, №4.-С. 785-787.
60. Ольшанский, А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах Текст. / А.Ю. Ольшанский. М.: Наука, 1989. - 448 с.
61. Петравчук, А.В. Бесконечные группы с дополняемыми нециклическими непримарными подгруппами Текст. / А.В. Петравчук // Группы и системы их подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. - С. 73-79.
62. Петравчук, А.В. Конечные группы, в которых дополняемы нециклические непримарные подгруппы Текст. / А.В. Петравчук // Препринт 82.29. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. - 46 с.
63. Петравчук, А.В. Конечные группы, в которых дополняемы надсиловские подгруппы Текст. / А.В. Петравчук // Строение групп и свойства их подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. - С. 74-82.
64. Савичева, Г.В. Группы с заданными свойствами системы дополняемых подгрупп Текст. / Г.В. Савичева // Сборник научных трудов преподавателей филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове. Вып.2. Брянск: РИО БГУ, 2005. - С. 52-55.
65. Спиваковский, А.В. О строении сепараторно-факторизуемых конечных групп Текст. / А.В. Спиваковский // Укр. мат. журн. -Киев: Изд-во ин-та мат-ки АН УССР, 1985. 37, №4. - С. 519-523.
66. Херстейн, И. Некоммутативные кольца Текст. / И. Херстейн. М.: Мир, 1972. - 190 с. ,
67. Холл, М. Теория групп Текст. / М. Холл. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.-468 с.
68. Черников, Н.С. Группы, разложимые в, произведение перестановочных подгрупп Текст. / Н.С. Черников. Киев: Наукова думка, 1987.-206 с.
69. Черников, Н.С. Локально конечные соаА-факторизуемые группы Текст. / Н.С. Черников // Исследования по теории групп. Киев: Инт математики АН УССР, 1976. - С. 63-110.
70. Черников, Н.С. О группах с дополняемыми бесконечными абелевыми подгруппами Текст. / Н.С. Черников // Мат. зам. М.: Наука, 1980. -28,№5.-С. 665-674.
71. Черников, Н.С. О дополняемости коммутантов бесконечных подгрупп в бесконечных группах Текст. / Н.С. Черников // Строение групп и свойства их подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978. - С. 80-99.
72. Черников, Н.С. Группы, в которых все ненормальные подгруппыпорождают собственную подгруппу Текст. / Н.С. Черников, С.А.82
73. Довженко // Сиб. мат. журн. Новосибирск: Изд-во ин-та мат-ки, 2006. - 47, №1.-С. 211-235.
74. Черников, Н.С. Об одном условии дополняемости Текст. / Н.С. Черников, А.П. Петравчук // Строение групп и свойства их подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978. - С. 131-147.
75. Черников, С.Н. Бесконечные локально разрешимые группы Текст. / ' С.Н. Черников // Мат. сб. М.: Наука, 1940. - 7(49), №1. - С. 35-64.
76. Черников, С.Н. Бесконечные специальные группы Текст. / С.Н. Черников // Мат. сб. М.: Наука, 1939. - 6(48), №2. - С. 199-214.
77. Черников, С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп Текст. / С.Н. Черников. М.: Наука, 1980. - 384 с.
78. Черников, С.Н. Группы с системами дополняемых подгрупп Текст. / С.Н. Черников. ДАН СССР, 1953. - 92, №5. - С. 891-894.
79. Черников, С.Н. Группы с системами дополняемых подгрупп Текст. / С.Н. Черников // Мат. Сб. М.: Наука, 1954. - 35, №1. - С. 93-128.
80. Черников, С.Н. Группы, имеющие сепарирующие подгруппы Текст. / С.Н. Черников // Группы с заданными свойствами подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1973. - С. 6-14.
81. Черникова, Н.В. Группы с дополняемыми подгруппами Текст. / Н.В. Черникова // Мат. сб. М.: Наука, 1956. - 39, №3. - С. 273-292.
82. Черникова, Н.В. К основной теореме о вполне факторизуемых группах Текст. / Н.В. Черникова // Группы с системами дополняемых подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972. - С. 49-58.
83. Черникова, Н.В. К вопросу о локально вполне факторизуемых группах Текст. / Н.В. Черникова, Н.С. Черников // Строение групп и свойства их подгрупп. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978. — С. 114-120.
84. Чунихин, С.А. О разрешимых группах Текст. / С.А. Чунихин // Изв. научно-иссл. ин-та матем. и мех. Томского гос. ун-та. 1938. - 2. — С. 220-223.
85. Шеметков, JI.A. Дополнения и добавления к нормальным подгруппам конечных групп Текст. / Л.А. Шеметков // Укр. мат. журн. Киев: Изд-во ин-та мат-ки АН УССР, 1971. - 23, №5. - С. 678-689.
86. Шеметков, Л. А. Факторизации конечных групп Текст. / Л.А. Шеметков. ДАН СССР, 1968. - 178, №3. - С. 559-562.
87. Шериев, В.А. Группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами Текст. / В.А. Шериев // Сиб. мат. журн. Новосибирск, Изд-во ин-та мат-ки, 1967. - 8, №4. - С. 893-912.
88. Шериев, В.А. Конечные 2-группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами Текст. / В.А. Шериев // Сиб. мат. журн. Новосибирск, Изд-во ин-та мат-ки, 1967. - 8, №1. - с. 195-212.
89. Шмидт, О.Ю. Абстрактная теория групп Текст. / О.Ю. Шмидт. -Киев, 1916; 2е изд., Москва, 1933; Избранные труды, математика, Москва, 1959.-С. 17-175.
90. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные Текст. / О.Ю. Шмидт//Мат. сб. -М.: Наука, 1924.-31, №3-4. С. 366-372.
91. Шунков, В.П. О вложении примарных элементов в группе Текст. / В.П. Шунков. Новосибирск: ВО Наука, 1992. - 132 с.
92. Шунков, В.П. О локально конечных группах конечного ранга Текст. / П.П. Шунков // Алгебра и логика. — Новосибирск, Сибирский фонд алгебры и логики, 1971.-10, №2. С. 199-225.
93. Шунков, В.П. О локально конечных группах с условием минимальности для абелевых подгрупп Текст. / В.П. Шунков // Алгебра и логика. Новосибирск, Сибирский фонд алгебры и логики, 1970.-9, №5.-С. 579-615.
94. Шунков, В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией Текст. / В.П. Шунков // Алгебра и логика. -Новосибирск, Сибирский фонд алгебры и логики, 1972. 11, №4. - С.470.493.
