Нормальное строение и дополняемость подгрупп в конечных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

•; ;, ОД 1 О МАР 19П0

На ирппях рукописи

КУЛЕШОВ Николаи Иосифович

НОРМАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ И ДОПОЛНЯЕМОСТЬ ПОДГРУПП В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ

Специальность 01.01.06 — аттематнческая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание умелой стеноп» кандидата фпзико-матеяатнчсскнх наук

Москва 1996

Работа выполнена и Брянском государственном педагогическом университете юг. академика И. Г. Петровского па кафедре алгебры.

Научные р у к о в о д и т е л и:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕДЕРНИКОВ В. А.,

кандидат физико-математических наук, профессор РУСАКОВ С. А.

Официальные оппоненты:

доктор фп;ип;о-математпческпх наук, профессор ГЛУХОБ М. М.,

кандидат физико-математических наук, доцент ЧУБАРОВ И. А.

Ведущая организация — Гомельский государственный университет.

Защита состоится «...<§'......».^^^А.'г^..'^*... 1096 года в 1&....... часов

в аудитории 301 на заседании диссертационного Сонета К (153.0!.02 в Московском педагогическом государственном университете имени 15. И. Ленина но адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 1-4, МИГУ им. В. II. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ: 119435, Москва, Малая Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина.

Автореферат разослан «.....г.

Ученый секгИ^рьлцЛ-сертацнониого Совета / V 7 У КАРАПЕВ Г. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Тема предлагаемой диссертационной работы связана,с одной стороны, с изучением групп с заданной системой подгрупп, а с другой - с описанием выделенных классов групп через подпрямые произведения групп, имеющих достаточно простое строение.

Изучение групп с заданной системой подгрупп определяет в настоящее время одно из перспективных направлений в развитии теории групп. В результате такого рода исследований были выделены и детально описаны многие классы групп, без которых нельзя представить современную теорию групп: группы Дедекинда, группы Фробениуса, группы ПМидта, вполне факторизуемые группы, ■^группы и так далее. Вместе с тем это направление обогатило абстрактную теорию групп важными общими результатами. Отмечая важность таких исследований, С.Н.Черников в монографии "Группы с заданными свойствами системы подгрупп" подчеркивает: "Выделение и конструктивное описание всех типов групп, в которых система подгрупп должна иметь заданные свойства, является главной целью исследований в рассматриваемом направлении". Этой целью и определяется содержание диссертационной работы.

Большое внимание в изучении групп с заданной системой подгрупп уделяется исследованию групп, в которых на некоторую систему подгрупп накладывается либо условие дополняемости, либо условие нормальности. Такими исследованиями занимались С.А.Чунихин, С.Н.Черников, Н.В.Черникова, Ю.М.Горчаков, Л.А.Шеметков, Д.И.Зайцев, Я.Г.Веркович, М.И.Каргаполов, В.Л.Ведерников, С.А.Русаков, Ф.Холл, В.Гашюц, Б.Хупперт, Ц.Ян-ко и другие алгебраисты.

Известно, что любую конечную группу можно представить в виде подпрямого произведения групп, неразложимых в такое произведение. Поэтому конструктивное описание групп, неразложимых в подпрямое произведение,и полное описание классов групп через подпрямые произведения групп с хорошо изученными свойствами составляет одно из важнейших направлений в изучении прямых произведений групп. Прямые и подпрямые произведения постоянно привлекали и привлекают внимание многих алгебраистов. Интен-

сивше исследования последних десятилетий классов груш, замкнутых относительно гомоморфных образов и подпрямых произведений, привели к возникновению теории формаций груш. Значительные результаты в исследовании этих произведений получены О.Ю.Шмидтом, Р.Ремаком, А.Г.Курошем, Л.Фуксом, Л.Я.Куликовым, С.Н.Черниковым, Ю.М.Горчаковым, Л.А.Шеметковым, В.А.Ведерниковым, А.Н.Скибой и другими.

Цели диссертационного исследования:

1. Конструктивное описание классов групп, обладающих некоторой системой дополняемых или добавляемых подгрупп;

2. Конструктивное описание класса групп, обладающих определенной системой нормальных подгрупп и характеризация таких групп через системы дополняемых и добавляемых подгрупп;

3. Характеризация рассмотренных классов групп через подпрямые произведения монолитических групп.

Метода исследования. Результаты работы получеш систематическим использованием теоретико-групповых методов исследования непростых конечных групп, в частности, тс-метода С.А.Чуни-хина и метода разложения групп в подцрямые произведения.

Новизна результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них:

1. Получено описание конечных х-сверхразрепшмых групп с абелевыми силовскими тс-подгруппами через систему дополняемых примарных тс-подгрупи, которые дополняемы в содержащих их силовских тс-подгрушах. Установлено, что такие группы являются подпрямыми произведениями примарных циклических тс-групп и групп Фробениуса, ядрами которых являются примарные циклические тс-подгруппы. Для этих групп найдена система образующих отношений;

2. Получено описание конечных ти-сверхразрешимых групп через систему добавляемых примарных циклических тс-подгрупп, которые добавляемы в содержащих их силовских тс-подгруппах. Приведена характеризация таких групп с помощью подпрямых произведений монолитических групп с определенной системой образующих элементов;

3. Получено описание конечных, тс-разрешмых -групп

через подпрямое произведение определенных групп Фробениуса и найдена характеризация таких групп посредством систем дополняемых и добавляемых подгрупп.

Теоретическое и практическое значение. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы дои дальнейшего изучения классов групп по заданным системам дополняемых подгрупп, а также при чтении специальных курсов в высших учебных заведениях, где ведутся исследования в области теории групп.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались и оСсукдались на семинарах по теории групп: академика АН БССР С.А.Чунихина при Гомельском отделении Института математики АН БССР; член-корреспондента АН БССР Л.А.Ше-меткова при Гомельском университете; член-корреспондента АН УССР С.Н.Черникова при Институте математики АН УССР; кафедры алгебры Брянского госпедуниверситета, руководимом профессором В.А.Ведерниковым, а также на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Черкассах (1978г.); на VIII Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Сумах (1982г.); на XVII Всесоюзной алгебраической конференции в Минске (1983г.); на международной конференции по проблемам алгебры и кибернетики, посвященной памяти академика С.А.Чунихина в Гомеле (1995г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 114 страницах машинописного текста и состоит из введения (стр. 3-15) и трех глав, включающих в себя восемь параграфов (стр.16-Ш). Список литературы содержит 61 наименование .

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается аналитический обзор изученности темы, обосновывается ее актуальность, формулируются цели и задачи диссертационной работы и приводятся основные полученные результаты.

Глава I. Перечень определений, обозначений и известных результатов. Эта глава полностью носит реферативный характер. В §1 приводятся необходимые определения и обозначения. В §2 формулируются известные теоремы, которые используются при доказательстве результатов диссертационной работы.

В диссертации рассматриваются только конечные группы. В дальнейшем, % - некоторое множество простых чисел; %' дополнение тс до множества всех простых чисел; группа & называется тс-групгой, если ее порядок делится только на простые числа из %; (&) -• наибольшая нормальная -подгруппа группы й.

Следуя Л. А. Шеметкову, подгруппу Н группы Б назовем тс-дополнявмой в С, если в ней существует подгруппа К такая, что НК = в и Н л К есть %'-группа. Группу, в которой все подгруппы тс-дополняемы, назовем вполне тс-факторизуемой.

Подгруппу Н группы С назовем добавляемой в С, если в группе С существует собственная подгруппа К такая, что нк = С.

Глава 2. Конечные группы с тс-дополняемыми и добавляемыми подгруппами.В этой главе приводится конструктивное описание трех классов групп: I) вполне тс-факторизуемых групп; 2) ^-разрешимых групп с абелевыми силовскими тс-подгрушами, в которых дополняемы все 1цэимарные циклические тс-гогруппы, дополняемые в содержащих их силовских тс-подгруппах; 3) тс-разре-шимых групп, в которых добавляемы все примарные циклические тс-подгрушш, добавляемые в содержащих их силовских подгруппах.

Ф.Холл(1937 г.) показал, что класс конечных групп, в которых дополняемы все подгруппы (вполне факторизуемые группы), совпадет с классом конечных сверхразрешимых групп с элементарными абелевыми силовскими подгруппами. В последствии Н.В.Черникова получила полное описание произвольных вполне факторизу-емых груш. Основным результатом §3 является теорема 3.2, усиливающая соответствующие результаты Ф.Холла и Н.В.Черниковой для конечных групп.

Теорема 3.2. Пусть % - некоторое множество простых чисел. Следующие условия эквивалентны:

- 7 -

1. О - вполне тс-факторизуемая груша.

2. В груше 0 дополняема любая примерная тс-подгруппа.

3. Факторгруппа й/О^, (О есть подпрямое произведение транзитивных груш подстановок степени р, где р пробегает множество %.

4. Для всех р из тс в груше в дополняема любая под-груша порядка р.

5. Груша й удовлетворяет следующим трем условиям:

а) каждый главный фактор группы О типа

б) все подгруппы из Б обладают свойством Ер, (р е %);

в) для всех р из % силовские р-подгруппы из С эле-ментарше абелевы.

6. Если И - цоколь группы С* = С/Ор,(С), то

а) И - прямое произведеше простых транзитивных груш подстановок степени р;

б) С "/Л - абелева груша, порядки элементов которой не делятся на квадраты простых чисел из %;

в) все подгруппы из О обладают свойством Ер, (реп ),

Если % - множество всех простых чисел, то из теоремы

3.2 получаем соответствующие характеризации сверхразрешимых груш с элементарными абелевыми силовскими подгруппами. Поэтому вполне естественна постановка задачи аналогичного описания тс-сверхразрешимых груш с абелевыми силовскими тс-подгрушами. С.Н.Черников(1979 г.) получил описание сверхразрешимых груш с абелевыми силовскими подгруппами через систему дополняемых примарных циклических подгрупп, которые дополняемы в силовских подгруппах, их содержащих.

Основной целью §4 является

Теореиа 4.1. Пусть % - некоторое множество простых чисел. Следующие условия эквивалентны:

1. С - тс-сверхразрешимая груша и все ее силовские тс-подгруппы абелевы.

2. а - ти-разрешимая груша с абелевыми силовскими тс-под-грулпами и в ней дополняема любая примерная циклическая тс-под-груша, дополняемая в содержащей ее силовской подгруппе.

3. й/СЬ,(О - подпрямое произведение циклических д-групп

(Я е 1С) и груш ФроСениуса Р X К, ядрами Фробениуса которых являются циклические р-группы Р (р <= тс).

4. С/0Х, (О -Ах В, где А - г-подгруша, разлагащаяся в прямое призведеше В-допустимых примарных циклических р-под-груш Р таких,что централизатор С^,(Р) содержит силовскую р-подгруппу из В, а В - абелева группа.

При %, совпадающем с множеством всех простых чисел, из этой теоремы следуют соответствующие результаты С.Н.Черникова.

Теорема 4.1 позволяет получить описание сверхразрешимых груш с абелевыми силовскими подгруппами через систему определяющих соотношений.

Теорема 4.3. Всякая сверхразрешимая груша может быть задана системами образующих элементов

з^, ».., Эд (1)

и Ь1, Ь2, Ьт (2)

и определяющими соотношениями

|а1| = (1 = 1,2,..., п)

1Ц| = (3 = 1. 2.....т)

а1,' % а1, = 2..... п)

(3,. = 2, .... в)"

Ь^ индуцирует на < а^ > автоморфизм ¡3^ порядка q*íJ (к3 < б3) такой, что (31^(а1) = где

I, если ^ 1 (той

(3)

I или ¡^1}, если = 1 (той д^)

здесь g - первообразный корень по модулю

Обратно, всякая груша, заданная системами (I) и (2) образующих элементов и системой (3) определяющих соотношений,

является сверхразрешимой грушой с абелевыми силовскими подгрушами.

Как показывает пример группы SL(2, 3>, снять условие абелевости для силовских подгрупп в теореме 4.1 нельзя. Однако ослабление требования дополняемости до добавляемое™ позволяет получить соответствующее описание тс-сверхразрешимых групп с произвольными силовскими тс-подгруппами. Это описание проводится в §5, основной целью которого является

Теорема 5.2. Пусть % - некоторое множество простых чисел. Следующие условия эквивалентны:

1. G - тс-сверхразрешимая груша.

2. G - тс-разрешимая группа и в ней добавляема любая примерная циклическая тс-подгрупла, добавляемая в содержащей ее силовской х-подгруппе группы G. Если 2 е то требование неразрешимости можно снять.

3. G/Qjj-, (G) - подпрямое произведение монолитических групп вида Р \ К, где Р - р-подгруппа ( р е i ), содержащая систему образующих элементов х^, х2.....таких,

что все подгруппы < х^ > являются К-дону стишки, а К -циклическая подгруппа ( возможно К = 1 ) и ее порядок | К | делит р - 1.

4. d/0%, (G) = АВ, где А - нильпотентная тс-подгруппа, каждая силовская подгруппа которой содержит систему образующих элементов а^, а^, ап таких, что все подгруппы < > являются В-допустимыми, а В - абелева подгруппа.

Из эквивалентности условий I и 2 следует, что группа G является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда в ней добавляема всякая примарная циклическая подгруппа, добавляемая в содержащей ее силовской подгруппе группы G. Отметим, что эквивалентность условий I и 2 была получена автором совместно с В.А.Ведерниковым.

Из эквивалентности условий I и 3 следует, что полное описание конечных сверхразрешимых групп сводится к описанию монолитических р-групп, то есть р-групп с циклическим центром. Класс таких групп довольно широк. Он содержит циклические и экстраспевдальные р-группы, обобщенные группы ква-

тернионов, диэдральные и квазидиэдральные 2-группы, грудш

тша Мд/р) = < х, у | хр = ур= 1, х1+р >, а также их центральше произведения.

Глава 3. Группы с транзитивной нормальностью для некоторых подгрупп. Эта глава посвящена изучению тс-разрешимых групп с условием транзитивности для тс-ограниченных подгрупп. Подгруппа Н называется ^-ограниченной в группе Б, если в О существует подгруппа К такая, что Н <3 К <3 О и К/Н есть х-группа. Группу, в которой каждая тс-ограниченная подгруппа нормальна, назовем ^-группой. При тс, совпадающем с множеством всех простых чисел, понятие ^-группы совпадает с понятием *-группы, в.Гашвд(1957 г.) описал разрешимые ^-группы. И.Н.Абрамовский и М.И.Каргаполов(1958 г.) исследовали группы, в которых кавдая подгруппа является 1-группой.

Результаты §6 имеют вспомогательный характер. Здесь устанавливаются некоторые свойства степенных автоморфизмов и изучаются группы с квазицентральной силовской р-подгруппой. Напомним, что автоморфизм а группы в называется степенным, если он оставляет все подгруппы группы & неподвижными. Подгруппа Н группы Сг называется квазицентральной в ней, если все ее подгруппы нормальны в О. Из результатов этого параграфа отметим следующий:

Теорема 6.2. Пусть а - р'автоморфизм абелевой р-груп-пы Р и Ф(Р) - ее подгруппа Фраттини. Если а индуцирует на факторгруппе Р/Ф(Р) степенной автоморфизм, то а есть степенной автоморфизм и группы Р.

Эта теорема является аналогом известной теоремы Бернсайда о тождественном р*автоморфизме. На неабелевы группы эта теорема не переносится.

Основной теоремой в §7 является

Теорема 7.2. Пусть % - некоторое множество простых чисел. Следующие условия эквивалентны:

1. О - тс-разрешимая ^-группа.

2. (С) - годпрямое произведение дедекиндовой тс-грушы а и груш ФроОениуса Р^ х ( 1 = 1, 2, ..., г ), удовлетворяющих следующим условиям:

- II -

а) ядро Фробениуса Р.^ является квазицентральной р1-нодгрушой в Р1 х К1;

б) рА е

в) { рр |А| ) = 1;

г) если 1 ^ то ( р1ш |Р3 х ) = 1;

д) если А содержит группу кватернионов, то |К1| не делится на 4.

3. (й) = Н х К, где Н - холловская квазицентральная 5-подгруппа (5 с тс), а К - дедекиндова группа.

При %, совпадающем с множеством всех простых чисел, из этой теоремы следуют соответствующе результаты В.Гашюца, М.И.Каргаполова и И.Н.Абрамовского. Отметим, что получено уточнение одного из результатов последних авторов.

В §8 приводится характеризация р-разрешимых -1р-групп через систему циклических р-подгрупп, дополняемых или добавляемых в содержащих их силовских р-подгруппах. Для дополняемости эта характеризация выражается следующим образом:

Теорема 8.3. Пусть С - р-разрешимая группа. Тогда и только тогда О является 1р-группой, когда силовская р-под-группа Р из С дедекиндова и для любой циклической р-под-группы из Р и дополняемой в ней в группе в существует подгруппа К такая, что РК = в и РпК = Р1- При р = 2 группа Б не должна содержать группу БЬ(2, 3).

Если в формулировке этой теоремы слово "дополняемой" заменить словом "добавляемой", то требование отсутствия группы БЬ(2, 3) снимается.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Кулешов Н. И. Конечные вполне ти-факторизуемые группы // ДОКЛ. АН БССР. 1977. Т. 21, № 5. С. 393-394.

2. Кулешов Н. И. Вполне тс-факторизуемые группы // Конечные группы. - Минск: Наука и техника. 1978. С. 38-44.

3. Кулешов Н. И. Конечные тс-разрешимне группы с тс-максималь-но сенситивными подгруппами // Конечные группы. - Минск: Наука и техника. 1978. С. 31-38.

4. Кулешов Н. И. Конечные ^-группы // VI Всесоюзный сим-

позиум по теории групп. Тезисы докладов. - Киев: Наукова думка. 1978. 0. 33-34.

5. Кулешов Н. И. О конечных ^-группах // Подгрупповое строение конечных групп. - Минск: Наука и техника. 1981. С. 44-55.

6. Кулешов Н. И. р-сверхразрешимые группы с абелевыми силов-скими р-подгруппами // VIII Всесоюзный симпозиум по теории груш. Сумы, 25-27 мая 1982. Тезисы докладов. - Киев: Ин-т математики АН УССР. 1982. С. 67-68.

7. Ведерников В. А., Кулешов Н. И. Критерий тс-сверхразреши-мости конечных груш // VIII Всесоюзный симпозиум по теории груш. Сумы, 25-27 мая 1982. Тезисы докладов. - Киев: Ин-т математики АН УССР. 1982. С. 21-22.

8. Кулешов Н. М. О р-сверхразрешимых конечных грушах // XVII Всесоюзная алгебраическая конференция. Минск, 14-18 сентября 1983 г. Тезисы сообщений. - Минск. 1983. С. 120.

9. Ведерников В. А., Кулешов Н. И. О конечных сверхразрешимых грушах // Брянский гос. пед. ин-т, Брянск, 1995. 8 с. Биб-лиогр. 9 назв. ( Рукопись деп. в ВИНИТИ 16 января 1995 г.,

№ I54-B95 ).

10. Кулешов Н. И. Конечные тс-сверхразрешимые группы с абелевыми силовскими тс-подгруппами // Брянский гос. пед. ин-т, Брянск, 1995. 15 с. Библиогр. II назв. ( Рукопись деп. в ВИНИТИ 16 января 1995 г., JÉ I55-B95 ).

11. Кулешов Н. И. Характеризация конечных сверхразрешимых груш с абелевыми силовскими подгруппами // Вопр. алгебры. - Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1995. Вып. 8. С.68-80.

12. Кулешов Н. И. О конечных тс-сверхразрешимых группах // Проблемы алгебры и кибернетики. Материалы меадунар. конф., посвящ. памяти акад. С. А. Чунихина. Часть I. Алгебра и теория чисел. - Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1995. с. 91.