Конечные группы с плотной системой f-субнормальных подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ОБОЗНАЧЕНИЙ И

ИЗВЕСТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

§ I. Необходимые определения и обозначения

§ 2„ Формулировки известных результатов

ГЛАВА П. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ПЛОТНОЙ СИСТЕМОЙ

СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП.

§ 3., Общие свойства конечных групп с плотной системой ¿/^-субнормальных подгрупп

§ 4., Конечные группы с плотной системой

С^р/ О^р -субнормальных подгрупп.

§ 5., Конечное группы с плотной системой

-субнормальных подгрупп.

ГЛАВА Ш. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ^-ПЛОТНОЙ СШТЕМОЙ

П0Д1ТУПП.

§ 6., Разрешимые группы с ^-плотной системой подгрупп.

§ 7. Неразрешимые группы с ^Р-плотной системой подгрупп.

Одним из основных направлений в теории конечных групп является изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп. При изучении групп по заданным свойствам системы их подгрупп были выделены и описаны многие важные классы конечных групп, например, группы Миллера-Морено, группы Шмидта и другие. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

В связи с возникновением и развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных

-подгруппами, ¿/-субнормальными или ^/^абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков [т] - [з] , Гашюц [4] , Картер [д] , Шмидт [б] , [7], Хоукс [в] , [я] и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Систему подгрупп группы С? » обладающих некоторым свойством О- , называют плотной, если для любых двух подгрупп , из которых первая не максимальна во второй, в группе Сл существует ¿2-подгруппа /V , для которой А -М-В .

С.Н.Черниковым были изучены группы с плотной системой дополняемых подгрупп [10] , а Манном [п] и В.В.Пылаевым [12] , [13] -группы с плотной системой субнормальных подгрупп.

В монографии Л.А.Шеметкова "Формации конечных групп" было предложено направление, содержание которого состоит в следующем: развить теорию ^"-субнормальных подгрупп, аналогичную теории субнормальных подгрупп. В этом направлении Л.А.Шеметковым автору была предложена задача изучить конечные группы с плотной системой {/-субнормальных подгрупп, где г - непустая формация. Решению этой задачи посвящена настоящая диссертация. Получены следующие результаты: найдены общие свойства конечных групп с плотной системой ^субнормальных подгрупп;

2) дано описание конечных црупп с плотной системой ^субнормальных подгрупп в случаях, когда ¿/^ - формация всех сверхразрешимых групп, формация всех р -нильпотентных групп и формация всех р -замкнутых групп;

3) описаны конечные группы с ^-плотной системой подгрупп. Выяснено, что понятие плотной системы ^субнормальных подгрупп наиболее эффективно в тех случаях, когда известно строение минимальных не ^г-рупп.

В диссертации рассматриваются только конечные группы. Основными понятиями теории формаций являются понятия У^ко-радикала, а также ¿/^нормальной и с/^абнормальной подгрупп. Приведем вначале эти определения. Пусть с/* - непустая формация. Обозначим через и назовем сТ^-корадикалом группы С пересечение всех тех нормальных подгрупп М. из Сг , для которых . Максимальная подгруппа П группы Сг называется с/^нормальной, если Н — Сг^ и ¿/'-абнормальной, если

• Подгруппа $ группы О называется ¿^субнормальной в С[ , если существует максимальная (Сг ~ -цепь = £>о Э ^ Э г $т= $ , у которой ^-нормальна в для любого ¿>/ { Важно заметить, что если

- формация всех сверхразрешимых групп и подгруппа $ «/"^-субнормальна в О , то в группе О существует (G ~ ¡>) -цепь О - $ с простыми индексами /^

Одной из основных задач, решаемых в диссертации, является изучение строения групп с ^-плотной системой подгрупп (]Р -множество всех простых чисел), т.е. групп, удовлетворяющих следующему условию: для любых двух собственных подгрупп А СВ группы Ст , из которых первая не максимальна во второй, в группе Ц найдется такая подгруппа /V , что и существует (СЦ-цепь с простыми индексами. Задача и определение предложены Л.А.Шеметковым.

Разрешимая группа имеет ]Р-плотную систему подгрупп тогда и только тогда, когда С? является группой с плотной системой с/^-субнормальных подгрупп, где

- формация всех сверхразрешимых групп (для неразрешимых групп такое утверждение не верно). Так как сверхразрешимая группа Н является р -замкнутой для наибольшего простого делителя //// и £ -нильпотентной для наименьшего цростого делителя //// » то возникает естественная необходимость в изучении разрешимой группы с плотной системой

•субнормальных подгрупп, где

- формация всех р -нильпо-тентных групп, либо формация всех £ -замкнутых групп.

В первой главе приводятся необходимые оцределения и обозначения, а также формулировки необходимых теорем, которые будут использоваться при доказательстве новых результатов.

1. Шеметков Л.А. О формационных свойствах конечных групп. -ДАН СССР, 1972, т. 204, № б, с. 1324-1327.

2. Шеметков Л.А. О дополняемости ¿/-корадикала и свойствах ¿/-гиперцентра конечной группы. ДАН БССР, 1974, т. 18, № 3,с. 204-206.

3. Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп. Матем.сб., 1974, т. 94, № 4, с. 628-648.

4. Geschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen.-Math. Z., 1963, v. 80, N 4, p. 300-305.

5. Garter R., Hawkes T. The f-normalizers of a finite solub'e group. J. Algebra, 1967, v. 5, N 2, p. 175-202.

6. Scbmid P. Formationen und Automorphismengruppen. J. London Math. Soc., 1973, v. 7, N 1, p. 83-94.

7. Schmid P. Lokale Formationen endlicher Gruppen. Math. Z., 1974, v. 137, N 1, p. 31-48.

8. Hawkes Т.О. On formation subgroups of a finite soluble group. J.London Math.Soc., 1968, v. 44, N 2, p. 243-250.

9. Hawkes Т.О. On Fitting formations. Math. Z., 1970, v. 117, N 1-4, p. 177-182.

10. Черников C.H. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп. В кн.: "Некоторые вопросы теории групп", Киев, "Ин-т математики АН УССР", 1975, с. 5-29.

11. Mann A. Groups with dense normal subgroups. Israel J. Math., 1968, v. 6, N 1, p. 13-25.

12. Пылаев B.B. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп. В кн.: "Некоторые вопросы теории групп", Киев, "Ин-т математики АН УССР", 1975, с. 197-217.

13. Пылаев B.B. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп. В кн.: "Исследования по теории групп", Киев, "Ин-т математики АН УССР", 1976, с. III-I38.

14. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М., "Наука", 1978.

15. Закревская Л.Н. Конечные группы со строго плотной системой ¿/^-субнормальных подгрупп. ДАН БССР, 1981, т. 25, № II, с. 967-970.

16. Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой ^субнормальных подгрупп. ХП Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов, Киев, 1982, с. 38-39.

17. Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой cí- субнормальных подгрупп. ДАН БССР, 1983, т. 27, № 9. с. 783-786.

18. Закревская Л.Н. Конечные группы с .Р -плотной системой подгрупп. ХУЛ Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов, ч. П, Минск, 1983, с. 79.

19. Загфевская Л.Н. Конечные группы с плотной системой f-субнормальных подгрупп. В кн. "Исследование нормального и подгруп-пового строения конечных групп", Минск, "Наука и техника", 1984, с. 71-88.

20. Семенчук В.Н. Минимальные не ¿^-группы. Алгебра и логика, 1979, т. 18, № 3, с. 348-382.

21. Huppert В. Endliche Gruppen, I. Berlin-Heidelberg-NewYork, Springer, 1967.

22. Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. Минск, "Наука итехника", 1964.

23. Ito И, Hote on (LH)-groups of finite orden. Kodai Math. Seminar Report, 1951, p. 1-6.

24. Каргалолов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. -М., "Наука", 1977.25« Szep J., Zappa G. Sui gruppi trifattorizzable. Kota I. -Atti Accad.naz.Lincei, 1968, v. 45, H 3-4, p. 113-116.

25. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные. -Матем. сб., 1924, т. 31, с. 366-372.

26. Thompson J.G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order. Proc. Hat. Acad. Sei. USA, 1959, v. 45, U 4, p. 578-581.

27. Монахов B.C. 0 влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы. Матем. зам., 1972, т. II, № 2, с.183-190.

28. Магнус В., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. -М., "Наука", 1974.

29. Ito И. On the faktorisations of the linear fractional group LF(2,pn). -Acta scient., 1953, v. 15, p. 79-84.

30. Huppex't B. Normalteiler und maximale Untergrouppen endlicher Gruppen. Math.Z., 1954, 60, p. 409-434.

31. Doerk K. Minimal nicht überauflösbare, endliche Gruppen. -Math. Z., 1966, 91, p. 198-205.

32. Carter R., Fischer В., Hawkes T. Extreme classes of a finite soluble groups. J.Algebra 1968, v. 9, H 3, p. 285-313.

33. Чунихин С.A. 0 ^Г-свойствах конечных групп. Матем.сб., 1949, т. 25, № 3, с. 321-346.

34. Нагребецкий В.Т. 0 конечных минимальных несверхразреши-мых группах. В кн. "Конечные группы", Минск, "Наука и техника", 1975, с. 109-120.

35. Glauberman G. Factorizations in local subgroups of finite groups. CBMS. Amer.Math.Soc., 1978, v. 33, p. 138-153.

36. Монахов B.C. Произведение сверхразрешимой и циклической или цримарной групп. В кн. "Конечные группы", Минск, "Наука и техника", 1978, с. 50-63.

37. Монахов B.C. Произведение разрешимой и циклической групп. -В кн. "У1 Всесоюзный симпоз. по теории групп. Сб.науч.тр.", Киев, "Навукова думка", 1980, с. 188-195.

38. Leon J., Wales D. Simple groups of order 2 3 p with cyclic Sylow p-groups. J.Algebra, 1974, 29, U 2, p. 246-254.

39. Brawer R., Suzuki M. On finite groups of even order whose 2-Sylow groups is a quaternion group. Proc. Nat Acad, Soc. USA, 1959, v. 45, N 12, p. 1757-1759.

40. Кондратьев А.С. Конечные простые группы, силовские 2-под-группы которых имеют циклический коммутант. Сб.матем.ж., 1976, т. 17, № I, с. 85-90.

41. Кондратьев А.С. Конечные простые группы, силовская 2-под-группа которых есть расширение абелевой группы посредством группы ранга 2. Алгебра и логика, 1975, т. 14, № 3, с. 288-303.

42. Монахов B.C. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп. Матем.зам., 1978, т. 23, № 5, с. 641-649.

43. Кондра.тьев А.С. Конечные простые группы с силовскими 2-подгруппами порядка 2 . Изв. АН СССР, Сер.матем., 1977, т. 41, № 4, с. 752-767.

44. Walter J.H. The characterization of finite groups with abelian Sylow 2-subgroups. Annals, of Math., 1969, v. 83, N 3, p. 405-514.

45. Gorenstein P., Walter J.H. On finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups. Illinois J. Math., 1962, v.6, N 4,p. 553-593.

46. Wieland H. Sylow grouppen und Kompositions strukture. -Ach. Math. Sem. Univ. Kamburg, 1958, p. 215-228.