Формационная субнормальность в теории конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Гомельский государственный университет юл. Ф.Скорши

Р Г 5 Ой УДК 512.542 I О ЯНВ 19УЙ

АВДАИКОВА ЛЮДМИЛА ПАВЛОВНА

ФОШАЦИОННАЯ СУШОРШЫШЬ В ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУШ

01.01.06 -математическая логика, алгебра и теория чисел.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гомель, 1595г.

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины

Научный руководитель -

член-корреспондент АН Беларуси, доктор физико-математических нар, профессор 11ШЕТК0В Леонид Александрович

Официальные оппонента:

доктор физико-матеыатЕчэскш: наук, профессор ВЗДЕРНШЮВ Виктор Александрович кандидат фшпко-матеггаииеских наук ВАСИЛЬЕВА Татьяна Ивановна

Ошгоппрущая организация - Украинский государственный

педагогический университет им. М.П.Драгоманова

Защите состоится " /Л»" АмЬоирА. 1996 года ка зпседанлл совета но защите диссертаций Д 02.12.01 в Гомельском государственном университете имени Ф.Скорины по адресу: 246699 г. Гомель, ул. Советская, 104. Качало е> 1ц.оо.

С диссертацией мошо ознакомиться в си&таотвкз Гомельского государственного университета им. Ф. Скор;шн,

Автореферат разослан " /■/ " ^еккх&рЯ 1995 года.

Учений секретарь

соввгз по защите диссертаций,

кандидат физико-математических

профессор

В.С.МОНАХОВ

ОБ0АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тем диссертации. Субнормальная подгруппа - одно из наиболее естественных обобщений понятия нормальной подгруппы, состоящее в том, что подгруппа и груша могут быть соединены конечной цепочкой вложенных друг в друга подгрупп, кзэдая предыдущая из которых нормальна в последующей. Основные результата о субнормальных подгруппах конечных групп были получены Х.Вкландтсм еще в конце 30-х годов. В далъкейпем в работах Вияандта, Еегеля, Орэ, Сена, Хупперта н. др. были подучены новые содеркаталыше рз-зультатн о субнормальных подгруппах конечных групп. Послоду'^зо развитие этих результатов осуществлялось как пухе:; отказа от условия конечности группы ( Д.Робинсон, Роузблзйдs С.Стоукхкэр и др.), так и в рамках теории конечных груш с помощью обоб'дэцнй самого понятия субнормальности (0.Кегель [1], Л.А.Шеметков {2]).

Завершение в конце 70-х - начале 80-х годов класс1гф;а-:ац!:;г конечных простых групп еще более оживало интерес к шучетао непростых конечных групп, в частности, в направлении конструирования составных групп из простых составляющих ( см. обзорный дохлад Виландта [3] на конференции в Санта-Круз в 1979 г.). Иссяедовягля субнормал.ных подгрупп пошло в тесной связи с теорией классов конечных групп. При этом особенно плодотворной оказалась идея использовать понятие формации групп, т.е. класса груш, ззгкнутог относительно гомоморфных образов и подпрямых пронзпэденпй с конечным числом множителей. Введенное В.Гашецом в 19S3 году в срязл с разработкой общих методов нахождения каношпеских систем пол-групп в конечных разрешимых группах, это понятна позволяет ош-динить многие теоремы, условия которых некоторым образом свяэзны с конкретными формациями ( например, с формаций яильлогентшх групп ). В процессе реализации этой идеи возникли обобщения в виде ^-субнормальной и ^-достижимой подгрупп, сзойства которых существенным образом занизят от выбора формации 3 и котораз придаю? указанным выше вопросам особую значимость, Олагодаря появлений

¡¡псих задач, присущи теории формаций. Напомни.!, что подгруппа Я конэчпой группы в называется:

!) у-субнормальной, если либо II = С, либо существует максимальная цопь подгрупп С = С с С с...ей = Я такая, что С3 с

1 О 1 п 1-1

: для I = 1.....п;

") '¿'--субнормальной в'сшсле Кэгеля или д-достшшой, если ,;•;•;:стсуот цепь подгрупп С = Со с С( с...с = И такая, что для •■••тп'о I г-. 1,..,,п либо С. нормальна б либо С^ с С.

рз (';■' обозначается 3-корадикал группы С, т.е. пересечение всех г .-¡дальних подгрупп К из С?, для которых С/Я í д.

Шкятпз у-субнормальной подгруппы в классе конечных разрешила групп введено Р.Картером и 'Г.Хоуксом в работе [41, в произ-гслыюм случае - Л.А.Шеметковым в работе [2], который вперЕые в г'оиог^а^ли [51 поставил задачу развития теории ^-субнормальных 1юд1'рупп. Он, в частности, отмечает: "...понятие д-субнормаль-ности является расширением понятия субнормальности. Естественно попытаться развить теорию $-субнормальных подгрупп, аналогичную теории субнормальных подгрупп'' (стр.93).

Понятие д-достшшой подгруппы введено впервые в работе И]. О.Кегель в этой работе указывает на важность развития теории тагах подгрупп и отмечает, что "...представляет интерес некоторые теоремы о субнормальных подгруппах доказать в подходящей форде для ^-субнормальных подгрупп" ([1], стр.228).

13 последшз годы в работах зарубежных и отечествешшх алгебраистов реиеш, либо близки к завершению ряд проблем теории 3-субнормальных и д-достшжмых подгрупп. Так, в работах [6,71 С.Ф.Каморшжовш исследованы связь д-субнормалыюсти и перестановочности подгрупп. В работе 18] А.Ф.Васильевым, С.Ф.Каморниковым и В.Н.Семенчуком описаны наследственные локальные формации, обладающие роиеточным свойством для ^-субнормальных подгрупп, т.е. такие формации, для которых множество указанных подгрупп образует розетку в любой конечной грушш.

Указанные примеры показывают, что теория ^-субнормальных подгрупп на настоящем этапе имеет достаточно высокий уровень раз-

вития. В то г.э время проблема намдення иулторизь g-субнормальности подгрупп к настоящему врежш йш далека от завершения. Имелись лишь единичные работа, носвявдшшз этому кол -росу. Так, в ¡9] А.Баллестер-Болшке и 1.1.Д.Иерец-Рамои и в 1101 К.Дерк и М.Д.Пврец-Рамош получили критерий 'Д-субиор.чалмюстц в коночных разрешимых грушах. Что г:а касается $-достишш подгрупп, то к настоящему времени но было дако ни одного достаточного признака 3-достижимости.

Оплетал, что и в теории субнормальных подгрупп проблема'нахождения критериев' субнормальное«! подгрупп занимает одно из центральных мест. Этому вопросу посшиузы работы Х.Валаидта, О.Оре, Дк.Сепа.

Нахождению признаков '¿¡-суСасршьности и Я-досшпкоста иод-групп конечных групп посвящена настоящая работа.

Связь работы с крупными научным?! программами, т^нг.у-п. Развитие теории g-субнормапышх и З-д^татш* подгрупп групп является одним из направлений, разрабатываемых ь госбюджетной теш кафедры алгебры и геогатраи Гомельского университета "Развитие формациошш кетодов теории груш и другая алгебраических систем", которая входит в перечень вагзю&зпх по Республике Беларусь. Настоящая работа сила шюлкенч при финансовой поддерхке Иевдународаой Соросовской Прогры.г.ц образования в области точных наук.

11уь_и_зазачи^ссло£дванип^ Целью диссертации является нахождение новых свойств 3-достиш.шх и '^-субнормальных подгрупп. Для этого решаются следукдае задачи: нахождение характериза;:.' ; 3-корадикала для формаций, замкнутых относительно расширений описание строения ренета 3-субнормальных подгрупп, где 3 - формация, замкнутая относительно расширений; развитие методов пост-рое шш радикалышх операторов Виландта на субнормальных подгруппах; нахождение нормализаторных свойств З-достишлых подгрупп; нахождение признаков З-субнормвльносш и g-достижимости для трупа с системой д-кодостикшшх подгрупп; решение задачи К.Дерка о ха растеризации ^-субнормального зашкания.

Научная новизна полученных результатов. Полученные разуль-таты связаны с изучением свойств ^-субнормальных и ^-достижимых чодгрупп конечных групп. В работе найдены неизвестные ранее описание строения решетки ^-субнормальных подгрупп любой группы для наследственных, замкнутых относительно расширений формаций; достаточный признак ^-достижимости подгрупп в группах с системой перестановочны! З-кодостишмых подгрупп и критерий Э-досгашюста подгрупп в грушах с системой ^-кодосшашых подгрупп для формаций 3, обладаниях решеточным свойством для д-достгашшх подгрупп; критерий З-еубнормапьностк подгрупп для разрешимых наследственных формаций 2'; серия классов Сигишга, вддуцирущих радикальный оператор Виландта на субнормальных подгруппах. Полученные результат« и значительной степени дополняют и развивают соответствующие результаты Х.Вшандта, К.Дерка, А.Баллестера-Болинше, М.Д.Перец-Рамош, Л.А.Ф&мэткова , С.Ф.Каморникова. Они показывают, что техника теории «-субнормальных подгрупп монет быть применена при исследовании строения не только разрешимых, но и произвольных конечных групп.

0Е®теская__значимость_^ Работа

имеет'теоретический характер. Ее результаты могут быть использо-паны для дальнейшего исследования вопросов теории ^-субнормальных и $-достш-тшх подгрупп конечных групп, в частности, при изучении свойств многократно факторизуемых групп, при изучении строения конечных групп с заданной системой $-субнормальных и $-достишшх подгрупп, при изучении свойств подгрупп, пороздащихся системой ьубнормалыш подгрупп. Полученные результаты- могут быть исполь-ьоваш такке при чтении спецкурсов в университетах и пединс-• титутах.

Основные положения диссертации, выносимые на задщту;

1) Получшш характеризация 3-корадикала группы для наследст-ышш, замкнутых относительно расширений формаций.

2) описано строение решетки ^-субнормальных подгрупп для на-оледственких формаций, замкнутых относительно расширений.

3) Развиты метода построения радикальных операторов Виландта

lia субнормальных подгруппах.

4) Найдены новые нормализаторные свойства д-доегижмых подгрупп.

5) Получены признаки g-достикимости подгрупп в группах с системой g-кодостикишх подгрупп.

6) Для разрешимых наследственных формаций g нвйдэн критерий g-субнормальности подгрупп в конечных грушах.

7) Решена задача К.Дёрка о характеризации ¿-субнормальной, замыкания для разрешимых локальных наследственных формаций д.

Личный вклад соискателя.' Все основные результаты получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на Международной математической конференции, посвященной 200-лэтию. со дня рождения H.H. Лобачевского (Минск, 1993 г.), на третьей Международной конференции по алгебре памяти М.И. Каргаполова ( Красноярск, 1993 г.), на ','зздународной математической конференции, посвященной 25-летию Гомельского госуниверситета им.Ф.Скорины ( Гомель, 1994 г.), на Международной конференции по алгебре и анализу памяти Р.Г. Чеботарева ( Казань, 1994 г.), на Международной конференции згакщш-математиков (Воронеж, 1995 г.), на Международной конференции "Алгебра и кибернетика", посвященной памяти академика С.А.Чунихина ( Гомель, 1995 г.), на семинарах кафедры алгебры и геометрии Гомельского госуниверситета им. Ф.Скорины.

Опублшоващость_результатовл Основные результаты диссертации опубликованы в 2-х статьях, 1 препринте и 6 тезисах международных конференций.

Сщктура_^бъем_£иссертацш. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, шести глав основной части, выводов и списка не пользованных источников в порядке их шгаировяняя в колич'/стг1 ! .. наименований. Объем диссертации - 72 страниц?!.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В работе все рассматриваемые грушш предполагаются конечными; используются определения и обозначения, принятые в книгах [5,11].

В главе 3 работы приводятся свойства множества s^G) всех 3-субнормальных подгрупп грушш G , где g - наследственная формация, замкнутая относительно расширений.

3.2.3. Теорема. Пусть $ = ¿f -.непустая наследственная формация, G - группа. Если %(G) с х(д), то справедливы следующие ут-вэрздения:

1) множество Sg(G) является подрешеткой решетки s(G);

2) в (G) — s(G/G®);

3) если G = AB, где A, В - ¿¡-субнормальные 3-подгруппы группы G, то G € д.

3.2.4. Следствие. Пусть <3 - формация всех разрешимых груш. Тогда s(G) « s(G/G6) для любой группы G.

Доказательство теоремы опирается на характеризацию g-кора-дикала, полученную по аналогии с соответствующим результатом Ви-ландта [12] для формации 6 всех разрешимых груш.

3.1.3.' Теорема. Пусть.g = g2 - непустая наследственная формация, G - группа. Если u(G) с 1(3), то справедливо равенство:

= < D | D <о G, D = Ds, В v-неприводима >.

Напомним, что груша G называется V-неприводимой, если из того, что G = <И,К>, H м G, К G всегда следует, что либо H = G, либо К = G.

Упомянутый выше результат Виландта [12] является следствием теоремы 3.1.3. Кроме того, из теоремы 3.1.3 следует, что для любой группы G равенство

G^ = < D I D « G, D = г", D V-неприводима >

справедливо в тех случаях, когда:

1) 3 - 2Г6 ~ наследственная формация, содержащая все нильпо-тентнне груши;

2)3- формация всех тс-разрешишх групп;

3)3- формация всех гс-отделимых групп;

4) д - формация всех а-обособлепных групп.

Глава 4 посвящена развитию теории операторов Вгшвдта. В работе [13] X. Вилзндт ввел понятие оператора, которое оказалось полезным при изучении решетки ш(С) субнормальных подгрупп группы в; В последнее время идеи Вапандта получила развита в двух направлениях. С одной стороны, в работах [14,15,16] били найдены новые серии операторов Виландта на субнормальных подгруппах. О другой стороны, подучила развитие сама идея оператора таким образом, что стали рассматриваться операторы не только на решетке вп(С), но и на других подрешетках решетки з(й) всех подгрупп группы (? ( СМЛ6,17] ).

В общем виде идея Виландта может быть внражша следущш определением.

. 4.1.1.Определение. Пусть в кавдой группе б зафиксирована некоторая подреиетка в(6) решетки з(С). Пусть ш - функция, которая переводит 8-подгруппу из б в некоторую 6-подгруппу из б, т.е. ш: 8(0) -» 6(С). Функция ш называется оператором Виландта на решетке 0-подгрупп ( или, более коротко, оператором Виландта на 0-подгрушгах), если выполняются следующие условия:

1) если Н и К из 9(6), то <ЯД>Ш =

2) если Н € 6(0, то ¡А £ 6(6) и (й")а = (Яа)и для любого изоморфизма а группы 0.

4.1.2. Определение. Оператор Виландта ы называется радикальным, если вместе с условиями 1) и 2) выполнено также следующее условие:

3) если, А и В из 8 (С) и А - субнормальная подгруппа группы В, то А.

Существует:прямая зависимость между радикальными операторами и классами Фигтинга. Употребление слова "радикальный" не случай-

но. Оно отражает связь операторв с радикальными классами. Напомним, что класс групп 2 называется радикальным или классом Фиттин-га, если он нормально наследственен и из того, что G = АВ, где А и В - нормальные i'-подгруппы из G, всегда следует G е J. В леммах 4.1.8 и 4.1.4 показано, что если ы - радикальный оператор Виландта на субнормальных подгруппах, то множество $ = { Н \ it3 = И } является классом Фиттинга и &3 совпадает с g-радикалом Gg группы G ( g-радикал G^ - это произведение всех нормальных 3-подгрупп из G ).

Обратно, каждому непустому классу Фиттинга $ соответствует функция rad„: G -» G„, и можно исследовать, в каких случаях функ-

п Ti

цкя radg являйся оператором Виландта.

Центральном результатом главы 4 является следующая теорема.

4.2.G. .Теорема, Пусть g - непустой класс Фиттинга, причем каждая группа из g не содершт абелевых композиционных факторов. Тогда гасЦ является радикальным оператором Виландта на субнормальных подгруппах.

Частный случай теоремы 4.2.6, когда $ - наименьший класс Фиттинга, содержащий некоторое множество неабелевых простых групп, был рассмотрен X. Виландтоы в Í14J; в этом случае Виландт доказал, что rad^ является оператором Виландта на субнормальных подгруппах (следствие 4.2.7)

В работах [13,141 X. Виландт установил, что теория операторов позволяет установить новые свойства субнормальных подгрупп. СледуяВиландту, будем говорить, что подгруппы Н и К группы G ко-субнормалыш, если какдая из них субнормальна-в подгруппе <Н,К>. С помощью операторов Виландт доказал, что если конечная группа G поровдается перестановочными попарно косубнормалышми подгруппами Gi,...,Gn, то каждая подгруппа G. субнормальна в G. В разделе 5.1 главы 5 мы расширяем этот результат Виландта на ^-достижимые подгруппы, где 3 - некоторая формация.

' По аналргии с работой [14] будем говорить, что А а В являются З-кодосшамыми, ее.та подгруппы А и В. являются ^-достижимыми в roAi'pynna <л,В>. Рассматривая вместо решетки субнормальных под-

груш' решетку д-достишмых подгрупп, мы доказываем следующее обобщение теоремы Виландта из [14] о косубнорлалышх подгруппах.

5.2.5.Теорема. Пусть д - разрешимая формация, содержащая формацию Я всех нильпотентннх груш и обладающая решеточным свойством для д-достишмих подгрупп. Пусть в - груша, пороченная перестановочными попарно д-кодостишлыми подгрушами

Тогда кавдая подгруша б. д-досттшма в груше б. .

' Понятно, что теорема Виландта из 1141 вытекает из теоремы 5.2.5 в случае, когда 3 = Я.

Приведем следствия теорем 5.2.5.

5.2.6. Следствие! Пусть формация $ содержит формацию 51 всех нильпотентннх груш и имеет еид $ = Б^и.^©^ ), где П = р

I

для всех к и I из I. Если б - /руша, порожденная поцврно д-кодостшимыми подгрушами б^,..,.^, то для каждого I е {1,...,п> выполняются следующие условия:

1)6? - д-достикимая подгруша группы б;

2) б. - д-достшЕмая подгруша групш б.//, где и -<б*.....

Заметим, что ввиду [8] если в кавдой разрешимой груше Есе д-субнорлалыше подгрушш образуют решетку, то формация д имеет вид как в условии следствия 5.2.6.

5.2.7. Следствие. Пусть д - формация всех разрешимых х-разлошшх груш. Пусть б - груша, порожденная перестановочными попарно д'-кодостакишми подгруппами С1,...,Сп. Тогда каздоя подгруппа б. д-достижима в груше 'б.

В разделе 5.3 доказывается теореиа 5.3.2, устанавливающая признак д-достижимости подгруш в ■ грушах с системой д-кодости-«имих подгруш.

5.3.2. Теорема. Пусть формация д содержит все нильпотентнне грутшы и имеет вид д - 1)о (И.еГ ), где тск Л = 0 для всех к и

I.

I из I. Пусть С - группа, порожденная попарно д-кодостижишми'

подгрушами Тогда справедливы следующие ут-

верждения:

1) для любого фиксированного 3 из { 1,..,,п} подгруппа б. является д-достижимой в груше й тогда и только тогда, когда для кавдого гомоморфизма <р группы С, отображающего все 0. на разрешите ^-группы (к е Г и к одинаково для всех О, .подгруппа д-достижима в груше

2) все подгруппы б. д-достижимы в груше в тогда и только тогда, когда для каждого гомоморфизма <р из 1) группа Ф1 является разрешимой -группой (к с I).

Б.3.3, Следствие. Пусть форшда д содержт все нильпотент-1ше группы и имеет вид д = И0(И1С1 ), где т^ Л ^ = ф для

I

всех к I из I. Пусть груша С порождается собственными попарно д-кодостикимыми подгруппами О ,,..,С , причем в - простая гоабе-лева груша. Тогда все подгруппы С. являются , разрешимыми 1^-грушами для некоторого к из I.

Для доказательства теоремы 5.2.5 потребовалось изучить нор-мализаторше свойства д-достижимых подгрупп. В работе [18] Х.Ви-ландт доказал, что нормализатор любой субнормальной шдгрушы конечной группы С содержит цоколь этой группы. Напомним, что цоколь группы С - это подгруппа, порожденная веешь минимальными нормальными подгруппами группы £?. В разделе 5.1 доказывается:

5.1.3. Теорема. Пусть д - непустая наследственная формация. Тогда нормализатор любой д-достижимой подгруппы группы С содержит всякую минимальную нормальную подгруппу группы в, совпадающую со своим д-корадикалом.

Отметим, что при д = (1) теорема 5.1.3 превращается в упомянутую теорему Виландта.

5.1.4. Следствие. Пусть 8 - непустая наследственная формация. Тогда нормализатор любой ^-достижимой подгруппы группы б содержит ^-корадикал цоколя этой группы.

Напомним, что субнормальным замыканием <И"а> ( д-субнор-мальшм замыканием 5с(Н,д) ) подгруппы й группы С называется пересечешь всех субнормальных ( д-суСнормальных ) подгрупп группы С, содержащих й. В 119] Д.Бартельс предложил следующее описание субнормального зашкания подгруппы Н группы в:

и

<Д"°> = < л» I 6 6 <н,н9> >.

В связи с результатом Д.Бартельса К.Дерк в [101 выдвинул га-югезу о. том, ,что д-субнормальное замыкание (//,$) подгруппы II ^уппы 0 совпадает с подгруппой < 8 е б (вей <Н,НЯ>3 ">. В ра-Зоте [91 А.Баллестер-Болинше и М.Д.Перец-Рамош показали, что ги~ ютеза К.Дерн!а верна для групп с разрешимым д-корадикалом' ( $ -грследственная локальная формация, содержащая формацию 81 всех шльпотентных груш). В случае, когда д = 91, существуют примеры, юказываицие, что гшотеза К.Дерка неверна для произвольных ко-тчных груш.

В главе 6 доказывается следующая теорема, которая описывает ^-субнормальное замыкание подгрупш произвольной конечной группы 5 случае, когда $ - разрешимая наследственная локальная формация.

6.2.2, Теорема. Пусть $ - разрешимая наследственная локаль-шя формация, Я - подгруппа произвольной группы С. Тогда

= е в | 8 € Н <й,й»>а> Ф,

Доказательство разанного результата опирается на следующую юмму, представляющую самостоятельный интерес, поскольку дает сритерий д-субнормальности подгруш для разрешимых наследственных формаций д.

6.1.1. Лемма. Пусть д - разрешимая наследственная формация, ) = и Я - подгруша групш в. Тогда следующие утверждения швносильны:

1) Н д-субнормальна в в;

2) Н д-субнормальна в <Н,х>Ф для каждого х ь £?;

3) Н д-рубнормальна в для каждого х € С;

4) если Г -подгругащ группы 0 такая, что Т содершся в :<И,Т>Ф)\ то Г с Н\

Б) из х е б и х (, (<Я,х>с5)а следует, что х £ Я;

6) из х ({? и х е «Н,1!*>Ф)* следует, что х € В;

'П В .З'-субпорм&льна в <В,ВК> для кавдого х е С и к содераи

Ф.

В скуад, когда формация 3 локальна и содержит все нильпо-тонта группы, в С - разрешимая группа, аналогичный результат получен в 191.

выводи

В диссертации получены следующие результаты.

1. Описано строение рошеткн ^-субнормальных подгрупп любой груша б для наследственных, замкнутых относительно расширений формаций. В частности, доказано, что реиетко всех З-субнормаль-шх тюдпруш любой конечной группы изоморфна решетке всех подгрупп факторгруппы грушш С по её ^-корадикалу.

2. Для наследственных, замкнутых относительно расширений фо-рст£2 получена хорактеризацкя ^-корадикала произвольной конечной груши С субнормальными У-нецриводишя подгруппа®, совпадавдш,ш со шш ^-корадикалом.

•3, Найдена серия классов Фиттинга, индуцирующих радикальный оператор Виландта на субнормальных подгруппах.

■4. Для формаций, обладающих решеточным свойством для $-ДОстшшх подгрупп, найдены достаточный признак ^-достижимости подгрупп в грушах с системой перестановочных $-кодостиш.шх под-груш и критерий д-досишшости подгруш в грушах с системой д-кодостикшшх подгрупп.

5. Исследованы нормализаторов свойства $-достижимых подгруш.

6. Для разрешимых наследственных формаций $ получен критерий. $"субнормаль'яости подгруш.

Для разрешимых локальных наследственных формаций $ получена формула субнормального замыкания подгруппы произвольной конечной группы.

13

ЛИТЕРАТУРА

i»

1. Kegel 0. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die don Subnormaltellerverband echt enthalten // Arch. Math.- 1978.--Vol. 30, Jß.- SJ 225-228.

2._Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп // Матем. сб.-1974.- Т. 94,- М.- С. 628-648.

3. Wlelandt Н. Zusamengesetze Gruppen: Holders Program .: heute // Proc. Symp. Pure Math.- 1980.- Vol. ЭТ.- P. 161-173.

4. Carter R., Hawkes T. The $-normalisera of a finite soluble group // J. Algebra.- 1967,- Vol. 5, YS..- P. 175-202.

Ь'. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. И.: Наука, 1978.272 с.

6. Наморников С.Ф. Перестановочные субнормальные подгруппы коночных груш // ДАН БССР.- 1989.- Т.ЗЗ, I 5.- С. 396-399.

7. Наморников С.Ф. Перестановочность подгрупп и $-досж;и-мость.- Препринт / Гомельский госуниверситет.- Гомель, 1993,- & 3.- 23 с.

8. Васильев А.Ф., Наморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетка* подгрупп конечных групп // Сб. Бесконечные группы и примыкащко алгебраические системы.- Киев: Ин-т математики АН Украины.-1993.- С. 27-54.

9. Ballester-Bolinches A., Perez-Ramos M.D. ^-subnormal closure И J. Algebra.- 1991.- Vol. 138, P. 91-98.

10. Ballester-Bollnchea A., Doerk K., Perez-Ramos M.D. A criterion for 3-subnormallty II J. Algebra.- 1989.- Vol. 120.-. P. 416-421.

11. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups.- Berlin - lion York: Walter de Gruyter, 1992.- 898 p.

12. Wlelandt H. Subnormal subgroups and permutation groups II Lecture Notes. Ohio.- 1971.

13. Wlelandt H. Vertauschbare nachinvariante Untergruppen J<

Abh. Math. Sem. Univ.- Himburg.- 1957.- Vol. 21, £1-2.- S. 55-6?. ii

14: Wlelandt H. Uber das Erzeugnis paarweise kosubnorr.-i

Ier Untergruppen // Arch. Math.- 1980.- Vol. 35, J51-2.- P. 1-7.

15. Каюрншсов С.Ф., Шеметков Л.А. О перестановочности субнормальна подгрупп в конечных группах,- Препринт /Гомельский госуняверсктет .- Гомель, 1993 .- JfS.- 19 с. ,

16. Кеморников С.®. Об операторах Виландта // Алгебра и анализ: Тез.* докл. конф.- Казань, 1994.- С. 43.

17. Ксиорнжсов С.Ф. Об одной задаче Кегеля // Матем. заметки.- 1952.- Т. 51, й 5.- 0. 51-56.

18. WIelanc.lt; Н. Uber den Noraalisator. der subnonaalen Untergruppen // Kath. Z.- 1958.- Vol. 69, КЗ.- P. 463-455.

19. Bartels D, Subnomallty and Invariant relations on con-Jugacy classes in ilnlte groups // Matii.Z.- 1977.- Vol.- P.13-17.

РАБОТН АВТОРА ПО ТИ1Е ДИССЕРТАЦИИ

20. Авдашкова Л.П, Характеризация 52-корадшша // Меадуна-родная конференция, посвященная 200-летшо со дня рокдения Н.И.Лобачевского: Тез. докл. Ч. 1.- Минск, 1993.- С. 4

21. Avdashkova I.P. On residuals of ilnlte groups // III Мэ-гуцгаародная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова: Тез. докл.- Красноярск, 1993.- С. 380-381.

22. Авдашкова Л.П., Каморников О.Ф. Об одном свойстве д-достшимых пода'рупп // Международная конференция по алгебре и анализу, посвященная памяти Н.Г.Чеботарёва: Тез. докл. - Казань, 1994.-,С.- 43.

23. Авдашкова Л.П. О группах с системой ^-субнормальных подгрупп // Международная математическая конференция, посвященная 25-летию Гомельского госуниверситета : Тез. докл. - Гомеле

1994.- 4.1.- С. 19.

24. Авдашкова Л.П, Радикальные операторы Врандта // III Международная конференция женщин-математиков: Тез. докл.- Воронен,

1995.- С. 64.

25. Авдашкова Л.П. Операторы Виландта на решетках подгруш конечных групп.- Препринт / Гомельский госуниверситет.- Гомель,

1995.- й 27.- 29 с.

26.. Авдашкова Л.П. Об одной гипотезе К.Дерка*// Мевдународ ная конференция,' посвященная памяти академика С.Л.Чупихина: Тез. докл. - Гомель, 1995.- 4.1.- С. 11-12.

27. Авдашкова Л.П. О корадикалах конечних групп // Вопроси алгебры.- Гомель, 1995.- Вып. 8.- С. 5-10.

28. Авдашкова Л.П., Каморников С.Ф. О нормализатора д-достжшмых подгрупп // Изв. АН Беларуси. Сер. фнз.-мат. наук.-

1996.- I 1.- С. 3-7.

РЗЗШЕ

АУдашкова Люда1ла Паулауна Фармацыйная субнармальнасць у тэоры! канечнах груп Ключавыя словы: канечная група, субнармзльная падгрупа, ла-кальная фармацыя, клас Ф1тынга, карадакал, д-субнаркальная падгру-па, д-дасягальная падгрупа, рашотка, аператар В1ланта.

У днсертацы1 з дапамогай метадау агульнай тэоры! груп, мета-даУ тзоры1 фармацый 1 класаУ Ф1тннга знойдзены новыя Уласц1васп] д-субнармальных 1 д-дасягальных падгруп. Для спадчышшх фармацый, як1я з'яуляюцца замкнутым!. адносна пашнрэнняу, ап!сана будова ра-шотк! д-субнармальных падгруп любой груш, -а таксама атрымана ха-рактарызацыя д-карадыкала адвольнай груш. Знойдзена серыя апера-тарау В1ланта, як!я 1ццуцыруюць радикальны аператар В1ланта на субнармальных падгрупах. Для фармацый, як1я валодаюць рашоткавым1 Уласц1васцям1 для д-дасягальных падгруп, знойдзены прыкметн д-дасягальнасц1 У групах з с!стэмай д-кадасягальных падгруп. Да-следаваш нармал1затарныя Уласц1васц1 д-субнармальных падгруп. Для вырашальных спадчынных фармацый д атрнмэн крытэрый д-субнармальнасц! падгруп. Атрымана формула д-субнармяльнага замыкания падгруш адвольнай канечнай груш.

Усе асно$шя вын1к1 з' я^ляюцца новнм1, маюць тэарэтычны ха . ■ ;щ) 1 иогуцъ бит ьшшристш у двследаваннях па тэоры! фарма-:>•»*, а таксьма ара выкладанн! спецкурса? • .ва ун1верс1тэтах 1 •д!кстытутах.

■РЕЗНЕ

Дьдоц;коБа Людмила Павловна

Сор^зциошшл субиормальность в теории конечных групп

¡{тчвыю ояоьз: коночная груша, субнормальная подгруппа, ■ыыан формация, класс Фиттинга, корадикал, ^-субнормальная

рупаа, д-достшшмзя подгруппа, решетка, оператор Виландта^

В диссертации с помощью методов абстрактной теории груш, -зходов теории формаций конечных груш и классов Фиттинга найдены свойства 3-субнормальных и д-достикимых подгрупп. Для несходственных замкнутых относительно расширений формаций описано :;>7шкие решетки 3-субнормальных подгруш любой конечной группы, ь: также получена характеризация д-корадикала произвольной конечно!) группы..Найдена серия операторов Виландта, индуцирующих радикальный оператор Виландта на субнормальных подгруппах. Найдены признаки ^-достижимости в грушах с системой д-кодостижимых подгруш! для формаций, обладающих решеточным свойством для $-достижимых подгрупп. Исследованы нормализаторные свойства д-достикимых подгруш. Для разрешимых наследственных формаций $ получен критерий д-субнормальности подгруш. Получена характери-';ащ!я субнормального замыкания подгруппы произвольной конечной I рупгш.

Все основ те результаты являются новыми. Они имеют теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях по теории фориадий, а также при чтении спецкурсов в университетах и

17

SUIBIARY

Avdashlcova Lyu&Tilla Pavlovna

Format Ion subnormal Ity In. the theory of finite group.1)

Key words: finite group» nubnonnal i/ubgroup, looal foliation, Fitting class, residual, ^-aubnoraal subgroup, ^-subnormal in Kegel senoe ¡subgroup, lattice, Wlelandt operator.

New properties of ¿jj-subnonnal and Jf-cubnortnal In Kegel eunoi1 subgroups are found by the methods of abstract group theotv and the methods of formation and Pitting olasa theory. For i>-olouctl formations the building of the ^-residual of any finite group has been described and character teat Ion of the '^-re-f! I dual of any finite group has been obtained. The series of Wlelimdt operator on the subnormal subgroups has been found. Indication« of g-eubnorniallty In Kegel Genoa subgroups In the groups with the system of g-ooeubnoraal In, Kegel senoe subgroups for the formations having the lattlcc property for ^-subnormal In Kegel aenoe subgroup has been _ found. The normalleator properties of ^--subnormal In Kegel eence Bubgroups has been Investigated. For soluble G-oloBcd formation g the criterion of ^-oubnormallty subgroups has been obtained.

All the main results of the thesis are new. They are of elg-nlfloant theoretloal value and can be used In the Investigations oonneoted with formations and Pitting olasBeB theory of finite groups as well as for teaching students at universities.