Группы с условиями насыщенности

Филиппов, Константин Анатольевич

Группы с условиями насыщенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Филиппов, Константин Анатольевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Группы с условиями насыщенности»

Автореферат диссертации на тему "Группы с условиями насыщенности"

Ои"-

На правах рукописи

Филиппов Константин Анатольевич

Группы с условиями насыщенности

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени

доктора физико-математических наук

-8 НОЯ 2012

Екатеринбург - 2012

005054835

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Красноярский государственный аграрный университет".

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор,

Сучков Николай Михайлович.

Официальные оппоненты: Зенков Виктор Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики и механики УрО РАН, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии

Казарин Лев Сергеевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ГОУ ВПО "Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова", зав. кафедрой алгебры и математической логики

Антонов Владимир Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский государственный университет", профессор кафедры общей математики

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Защита состоится "я^аХк?^ 20/^ г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН по адресу: г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, д. 16.

Автореферат разослан

Учёный секретарь диссертационного совета

Белоусов И. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В теории бесконечных групп значительное место занимают исследования бесконечных групп с различными условиями конечности, т.е. групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп. Результаты исследований, представленные в данной работе, связаны с условием насыщенности группы заданным множеством групп.

Группа G насыщена группами из множества групп % если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из £*t

Понятие насыщенности впервые появилось и оформилось в работах А.К. Шлёпкина [21-29] и было обусловлено следующим обстоятельством.

При изучении групп с различными условиями минимальности (для всех подгрупп, абелевых подгрупп, примарных подгрупп и т.п.), как правило, необходимо было установить строение некоторой периодической группы с заданной системой конечных простых неабелевых подгрупп. Анализ этой системы подгрупп приводил в большинстве случаев к тому, что такая группа оказывалась локально конечной. Поэтому естественно было рассмотреть произвольную группу, содержащую данное множество конечных простых неабелевых подгрупп, в качестве самостоятельного условия конечности.

Как оказалось, "насыщенность" является естественным обобщением понятия покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторовича [5,6]. В конце 60-х годов П.Г. Конторович, A.C. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [8]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [8]. В начале 80-х годов В.В. Беляев [2] и независимо A.B. Боровик [3], С. Томас [36], Б. Хартли и Г. Шют [33] доказали следующую теорему:

Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, состоящим из множества подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.

Напомним понятие локального покрытия. Множество Ш подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = \J X и для любых

х&т

X,Y в Ш найдется такой элемент Z е Ж что X С Z и Y С Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества

конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Конструкция периодических произведений С.И. Адяна [1] позволяет строить периодические группы, насыщенные конечными множествами групп, содержащими любые конечные наборы групп нечётного порядка. Подобными свойствами обладают и примеры групп А.Ю. Ольшанского (см. [16-18]). И.Г. Лысёнок [11] и C.B. Иванов [31] показали, что группы В(т, п) при достаточно больших чётных п насыщены прямыми произведениями групп диэдра. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена группами из конечного множества. То же самое справедливо и для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как они обладают бесконечными локально конечными подгруппами [22].

В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возник следующий вопрос, поставленный А.К. Шлёпкиным и вошедший в Коуровскую тетрадь [12] под номером 14.101:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

Решением вопросов, связанных с понятием "насыщенности", посвящены работы Б. Амберга, JI.C. Казарина, A.A. Кузнецова, Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, Д.Н. Панюшкина, А.Г. Рубашкина, А.И. Созутова, JI.P. Тухватулли-ной, А.К. Шлёпкина (см. обзор [39]). При этом в качестве групп насыщающего множества рассматривались не только простые группы. К направлению "насыщенности" относится и настоящая диссертационная работа.

Цель диссертации. Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шункова, насыщенных различными множествами конечных групп, а также изучению групп периода 5.

Методы исследования. В работе используются методы локального анализа конечных групп, адаптированные к исследованию периодических групп. Кроме того, используются компьютерные вычисления для установления строения некоторых групп.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы как в дальнейших исследованиях групп, насыщенных тем или иным множеством групп, так и в других вопросах теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Апробация диссертации. Результаты диссертации в период с 2005 по

2011 год были представлены на международных конференциях в Екатеринбурге, Красноярске, Нальчике, Новосибирске. В частности, на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011), автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах КрасГАУ "Математические системы", СФУ "Городской алгебраический семинар" и семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН. Основные результаты опубликованы с полными доказательствами в работах [37,46-51] и принадлежат лично диссертанту.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Доказано существование периодической части в группах Шункова, насыщенных группами вида £2(?) (соответственно, 5Х2(5)), установлен её изоморфизм с группой ¿г(<5) (соответственно, 5^2(<3)) над подходящим локально конечным полем С? (теоремы 2.4.1, 2.5.1).

2. Доказано, что периодическая группа Шункова, насыщенная множеством простых трёхмерных унитарных групп £/3(д) над конечными полями, изоморфна группе £/з((2) над подходящим локально конечным полем <3 (теорема 3.6.1).

3. Доказано, что если периодическая группа С насыщена конечными простыми неабелевыми группами и в любой её конечной 2-подгруппе К все инволюции лежат в центре К, то (7 изоморфна одной из следующих групп: А,Ь2{С}),В.е(д),из(С}),Зг(д) для подходящего локально конечного поля <2 (теорема 3.7.1).

4. Установлено строение периодической группы Шункова й, насыщенной прямыми произведениями X х У, где X принадлежит множеству групп вида Ь2(рп), 5г(22т+1), Яе(32з+1) и содержит элемент фиксированного простого порядка и нечетным порядком его централизатора, а У принадлежит некоторому множеству конечных 2-групп. Доказано, что <? = Дх 02{С\ ще Я изоморфна одной из групп Ь2(Р), 5г(Р), Не(Е) для подходящих локально конечных полей Р, Е (теорема 4.4.1).

5. Получено описание централизатора инволкггивного автоморфизма <р универсальной конечной бернсайдовой группы периода 5 с двумя образующими: .Во (2,5) = (х, у), переставляющего её образующие. Доказано, что его порядок равен 517; 3 — минимальное число порождающих, ступени нильпотентности и разрешимости равны 6 и 3 соответственно; получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов (теорема 5.2.1).

6. Вычислен диаметр Кэли и получена функция роста для подгруппы Н =

(ху,ух) группы Во(2,5) = {х,у) (теорема 5.4.1).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37-76], из них 16 работ опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Она изложена на 121 страницах текста, набраного в редакционно-издательской системе latex, библиография содержит 98 наименований.

Содержание работы

Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий), а также определений, предложений и таблиц сквозная внутри параграфа и состоит из трёх цифр: первая - номер гаавы, вторая - номер параграфа и третья - порядковый номер внутри параграфа.

Введение

В данном разделе приведена характеристика результатов работы.

Глава 1. Известные факты

В гааве 1 приведены известные определения и факты, использующиеся далее в доказательстве основных результатов диссертации (главы 2—5). Часть из них приведена с доказательствами.

Глава 2. Группы, насыщенные L^q) и центральными расширениями группы порядка 2 при помощи £2(9)

В данной главе исследованы группы Шункова, а также периодические группы, насыщенные центральными расширениями группы Z2 при помощи Ьг{К), где К - конечное поле.

Произвольная группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу. Подчеркнём, что группа Шункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп [20]. Поэтому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях её элементов конечных порядков, в частности, составляют ли они характеристическую подгруппу T(G) — периодическую часть?

Под периодической частью T(G) группы G понимается подгруппа, порожденная всеми элементами конечных порядков из G, при условии, что она периодическая.

Основными результатами этой пгавы являются следующие две теоремы.

Пусть I означает множество индексов, Ка — конечное поле для любого ае1. Пусть т = {Ь2{Ка)\а £/}и51= 6 /}. Отметим, что

для различных а и /3 характеристики полей Ка и Кр могут быть различными.

Теорема 2.4.1. Группа Шункова С?, насыщенная группами из множества обладает периодической частью Т(0), изоморфной прости группе Ь2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Теорема 2.5.1. Группа Шункова (7, насыщенная группами из множества

обладает периодической частью Т(0), изоморфной группе 5Ь2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Данные результаты являются авторскими и опубликованы в [46].

Отметим, что эти результаты дополняют следующие две теоремы, полученные в работе [44] совместно с А.Г. Рубашкиным.

Теорема 2.1.1. Периодическая группа О, насыщенная труппами из множества % изоморфна простой группе Ь2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Теорема 2.2.1. Периодическая груша й, насыщенная грушами из множества изоморфна груше 5Х2(-Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Глава 3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами

В данной пиве продолжены исследования по частичному решению вопроса 14.101 из Коуровской тетради, упомянутому выше. Изучаются группы Шункова и произвольные периодические группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами.

Теорема 33.1. Периодическая груша, насыщенная некоторым множеством груш вида Ь2 (рт), 5г(22п+1), изоморфна Ь2 (Р) или Бг(С}) для подходящих локально конечных полей Р, С}.

Данный результат опубликован в [62].

В приводимых ниже теоремах изучаются бесконечные периодические группы и периодические группы Шункова, насыщенные конечными простыми трёхмерными унитарными группами.

Теорема 3.4.1. Пусть бесконечная периодическая груша в насыщена грушами из множества К = {[/3(9)}, где д — степени числа 2. Тоща О изоморфна груше Щ{0) над локально конечным полем С} характеристики 2.

Отказаться от условия, что <? — степени числа 2, в теореме 3.4.1 для периодических групп пока не удалось. Но для периодических групп Шункова это сделано.

Основными результатами этой главы являются две следующие теоремы 3.6.1, 3.7.1, опубликование в [48,49] и доказанные автором лично.

Пусть 91 - множество всех простых трёхмерных унитарных груш /Уз (g) над конечными полями.

Теорема 3.6.1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из 91, локально конечна и изоморфна Uz (Q) для некоторою локально конечного nonxQ.

В теореме 2 из [19] доказывается, что бесконечная периодическая группа G с абелевыми силовскими 2-подгруппами, насыщенная конечными простыми группами, локально конечна и изоморфна либо Re(P), либо £г(<3) над подходящими локально конечными полями Р и Q.

Следующая теорема имеет более общий характер.

Теорема 3.7.1. Пусть периодическая группа G насыщена конечными простыми неабелевыми группами и в любой её конечной 2-подгруппе К все инволюции лежат в центре К. Тогда G изоморфна одной из следующих групп: JuL2{Q), Re(Q), Uz{Q), Sz(Q) для подходящего локально конечного поля

Глава 4. Группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп

А.Г. Рубашкин и А.К. Шлёпкин [28] рассматривали периодические группы, насыщенные группами диэдра. Как оказалось, такие группы ограниченного периода локально конечны. Б. Амберг и JI.C. Казарин [30] показали, что произвольная периодические группа (без ограничения на период), насыщенная группами диэдра, локально конечна. Отметим, что это неверно, если насыщающее множество состоит из прямых произведений групп диэдра (даже ограниченного периода). А именно, как отмечалось выше, И. Г. Лысёнок [11] и C.B. Иванов [31] показали, что группы В (m, п) для достаточно большого чётного периода п насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе (причём число множителей может быть сколь угодно большим). Таким образом, актуальным становится изучение групп насыщенных прямыми произведениями различных групп.

Сформулируем основной результат данной главы.

Пусть р - фиксированное простое нечётное число. Множество Хр состоит из групп вида L = M х Q, где Q - конечная 2-группа, a M - группа из множества Yp, которое является объединением следующих трёх множеств: А = {Sz(22k+1)\k G I С N}, В = {Ле(32т+1)|ш 6 J С iV} и С = {X2(ps)|s £ К С N,p G Т С D - множество всех простых чисел} и при этом, каждая группа M е Ур содержит элемент a порядка р, для которого См (а) не содержит инволюций.

Теорема 4.4.1. Если периодическая группа Шункова С насыщена группами из множества Хр, то все её элементы конечных нечетных порядков порождают в й локально конечную подгруппу В., изоморфную одной из групп 12(П Яе(Р), Яг(Е) для подходящих локально конечных полей Р, Р, Е ив = Ях 02(С?).

Данный результат опубликован в [50].

Глава 5. Группы, насыщенные конечными группами периода 5

Свободной бернсайдовой группой периода пет образующими называется группа В(т, п) = где - свободная группа ранга ти^-ее подгруппа, порожденная всеми п-ми степенями элементов из Рт.

Универсальной конечной бернсайдовой группой периода пет образующими называется группа В0{т, п) = Рт/и{т, п), где £/(т, п) - пересечение всех нормальных подгрупп N < Ет> для которых Рт/Н - конечная группа периода п. А.И. Кострикин показал, что В0(т, п) конечна, если п -простое число [7]. Е.И. Зельманов обобщил эту теорему А.И. Кострикина на случай, когда п — степень простого числа [4]. Отсюда и из результатов Ф. Холла и Г. Хигмэна с использованием классификации конечных простых групп вытекает конечность В0(т, п) для произвольных тип [32].

Поскольку В{2,5) является "наименьшей" из бернсайдовых групп, для которых не решён вопрос об их конечности, любые сведения о ней и, в частности, о В0(2,5), интересны. А.И. Кострикин установил границы для порядка группы В0(2,5): 531 <| В0{2,5) |< 534 [7]. В 1974 г. Хавас, Уолл и Уэмсли в [34] при помощи компьютерных вычислений нашли определяющие соотношения, определили точный порядок группы В0(2,5), который равен 534, и ступень нильпотентности данной группы, она равна 12. В нашей работе эти соотношения используются для исследования строения централизаторов автоморфизмов Во (2,5).

Рассмотрим автоморфизм ф группы В0(2,5) = {х,у), действующий на образующих следующим образом: х^ - я-1, уф — у-1.

Пусть СВо(2,5)(Ф) — централизатор автоморфизма ф в В0(2,5). Обозначим Св0(2,5)М через С*.

Теорема 5.1.1. Для Сф имеют место следующие утверждения:

1. = 51в.

2. Сф— X х (х5), где (х5) - центр группы В0{2,5), X = {х\,х2,х3, х4) - группа со следующими свойствами:

a. X имеет нормальную абелеву подгруппу Н2 и \Н2\ = 511.

b. Х/Н2 = (цЯз) х <х2Я2) х <х3Я2) х {х4Я2).

с. \Х\ = 515.

3. 5 — минимальное число порождающих Сф.

4. Ступени разрешимости и нильпотентности для Сф равны 2 и 4 соответственно.

5. Получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов X = (х\,х2, хз, xi).

Коммутаторы веса 1; 1 = х\, 2 = Х2, 3 = хз, 4 = Коммутаторы веса 2:

5 = [2,1], 6 = [3,1], 7 = [4,1], 8 = [4,2], 9 = [4,3]. Коммутаторы веса 3: 10= [4,1,4], 11 = [4,2,4], 12 = [4,3,4]. Коммутаторы веса 4:

13 = [4,1,4,4] = h9> 14 = [4,2,4,4] = Л10,15 = [4,3,4,4] = hn.

Ниже приведены нетривиальные соотношения для базисных коммутаторов:

[2.1] = 5, [3,1] = 6, [3,2] = 54 - б4 ■ 102 • II4 -122 • 133 ■ 143 • 15, [4,1] = 7,

[4.2] = 8, [4,3] = 9, [5,4] = 132, [6,4] = 144, [7,2] = 13, [7,3] = 142, [7,4] = 10, [8,1] = 134, [8,3] = 15, [8,4] = 11, [9,1] = 143, [9,2] = 154, [9,4] = 12, [10,4] = 13, [11,4] = 14, [12,4] = 15.

Данный результат был получен в равном соавторстве с A.A. Кузнецовым и опубликован в [38].

Основными результатами этой главы являются две следующие теоремы, опубликованные в [37,47].

Рассмотрим автоморфизм ¡р группы Bq(2, 5) = (х,у), переставляющий её образующие.

Пусть Cb0{2,5)(v) — централизатор автоморфизма в -Во (2,5). Обозначим СВо(2,б)М через Су,.

Теорема 5.2.1. Для Cv имеют место следующие утверждения:

1. |Ср| = 517.

2. Ступени нильпотентности и разрешимости для Cv равны 6 и 3 соответственно.

3. 3 — минимальное число порождающих С ¡р.

4. Получено коммутаторное представление и найдены соотношения дня базисных коммутаторов С = {кг, , кз).

Коммутаторы веса 1:1 = к\, 2 = 3 = к3.

Коммутаторы веса 2:4 = [2,1], 5 = [3,1], 6 = [3,2].

Коммутаторы веса 3: 7 = [4,1], 8 = [4,2], 9 = [5,1].

Коммутаторы веса 4:10 = [7,1], 11 = [7,2], 12 = [8,2], 13 = [9,1].

Коммутаторы веса 5:14 = [10,2], 15 = [11,2].

Коммутаторы веса 6:16 = [14,1], 17 = [14,2].

Нетривиальные соотношения для базисных коммутаторов:

[2.1] = 4, [3,1] = 5, [3,2] = 6, [4,1] = 7, [4,2] = 8, [4,3] = 72 ■ 83 • 102 • 122 ■ 14 • 152 • 162 • 17, [5,1] = 9, [5,2] = 74 • 83 • 92 • 103 ■ 11 • 123 • 13 • 144 • 152 • 163 • 173, [5,3] = 72 ■ 84 • 93 • II3 ■ 133 • 144 • 15 ■ 16, [5,4] = 143 • 16 • 172, [6,1] = 72 • 92 • 10 • И • 12 ■ 13 • 144 • 163 ■ 174,

[6.2] = 73 • 83 • 94 • 103 ■ II4 • 123 • 134 • 144 • 153 • 164 • 174, [6,3] = 73• 84• 9■ 102• И4■ 122• 134• 14■ 153• 163• 17, [6,4] = 14-164-174, [6,5] = 144 • 164 • 17, [7,1] = 10, [7,2] = 11, [7,3] = 102 • II3 ■ 142 • 154 • 16 • 173,

[7.4] = 14 • 16 • 174, [7,5] = 143 ■ 163 • 172, [7,6] = 143 • 163 • 172, [8,1] = 11-14-152>173, [8,2] = 12, [8,3] = 112-123-142-15-162-173, [8,4] = 152,

[8.5] = 15 • 16 • 172, [8,6] = 15 • 162 • 174, [8,7] = 162 ■ 174, [9,1] = 13, [9,2] = 104-113-132-144-154-162, [9,3] = 102• II4■ 133• 143• 154• 162• 172, [9,4] = 143 • 16 • 172, [9,5] = 144 ■ 163 ■ 17, [9,6] = 144 ■ 163 • 17, [9,8] = 164 • 173, [10,1] = 16, [10,2] = 14, [10,3] = 143 • 164 • 173, [10,4] = 16, [10,5] = 163, [10,6] = 163, [11,1] = 142 • 164 • 174, [11,2] = 15, [11,3] = 144 • 153, [11,4] = 162, [11,5] = 16, [11,6] = 16, [12,1] = 153 • 17, [12,2] = 16, [12,3] = 15 • 163 ■ 173, [12,4] = 164, [12,5] = 162, [12,6] = 162, [13,1] = 164, [13,2] = 143 • 16 • 173, [13,3] = 144 ■ 162 • 173, [13,4] = 163, [13,5] = 164, [13,6] = 164, [14,1] = 16, [14,2] = 17, [14,3] = 162 • 173, [15,1] = 162 • 172, [15,2] = 162, [15,3] = 174.

Рассмотрим в Во(2,5) = (х,у) подгруппу Н0 - (кик2), ще = ху, Ь,2 = ух. В [9] вычислены порядок группы Но, который равен 514, и коммутаторные соотношения данной группы. Изучение структуры группы Во(2,5) затруднено из-за её большого порядка. Приводимая ниже теорема позволяет изучать структуру группы В0(2,5), используя группу Я0, которая имеет существенно меньший порядок.

Теорема 5.4.1. Диаметр Кэли группы Но относительно порождающих {^1, Лг} равен 45.

Функция роста группы Щ приведена в таблице 1, её график изображен на рисунке, а в таблице 2 приведена часть элементов максимальной длины 45 в формате минимальных слов, где к\ соответствует символ 0, а /12 соответствует символ 1.

Таблица 1: Функция роста

Длина Элементы Длина Элементы Длина Элементы

0 1 16 37254 32 561801464

1 2 17 70751 33 779044350

2 4 18 134224 34 936055279

3 8 19 254321 35 954336955

4 16 20 481252 36 831332170

5 30 21 909349 37 618248452

б 58 22 1714866 38 367604796

7 112 23 3226931 39 151894200

8 214 24 6055431 40 34898104

9 410 25 11319139 41 3181218

10 784 26 21039700 42 69158

11 1495 27 38795471 43 800

12 2847 28 70686385 44 316

13 5417 29 126432849 45 158

14 10303 30 219647100 Всего 6103515625

15 19602 31 364201879

Таблица 2: Фрагмент массива элементов максимальной длины 45

1 000010001001110001010000111100111001101010011

2 000010001001011100001101111000100110100011011

3 000010000100110011000101011100110001001110111

4 000010000101010110100110010101110001011000111

5 000010000101110001011110011010001101100010011

6 000010000101110011010010001111010100011001011

7 000010000101010011100111011001100001010010111

8 000010000101001011000100110101100111001100111 9 000010000100011011100101110011000110011010011

90Ш9М 90099909 7000900$ 4000090» • 1

•

• •

(

• •

♦ И 1 -

" 13 Я » п 33 М 41 31

Дяиммаютто«

Рис. 1: График функции роста.

Доказательство теорем 5.1.1, 5.2.1, 5.3.1 и 5.4.1 проводилось с использованием компьютерных вычислений, которые были проведены с использованием суперкомпьютера Сибирского федерального университета (СФУ).

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту профессору Н.М. Сучкову за помощь в работе и внимание с его стороны.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 10-01-00509-а, 09-01-00717-а) и аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/3023).

Библиография

1. С. И.Адян, Периодические произведения групп, Теория чисел, матема-

тический анализ и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его восьмидесятипятилетию, Тр. МИАН СССР, 142 (1976), 3-21.

2. В. В. Беляев, Локально конечные группы Шевалле, в сб.: Исследования

по теории групп, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1984,39-50.

3. A.B. Боровик, Вложения конечных групп Шевалле и периодические ли-

нейные группы, Сиб. мат. журнал, 24, № 6 (1983), 26—35.

4. Е.И.Зельманов, Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-

групп, Матем. сб., 182, № 4 (1991), 568-592.

5. П. Г. Канторович, Инвариантно покрываемые группы, Матем. сб.,8(50),

№ 3 (1940), 423-436.

6. П. Г. Конторович, Инвариантно покрываемые группы П, Матем. сб.,

28(70), № 1 (1951), 79-88.

7. А. И. Кострикин, Решение ослабленной проблемы Бернсайда для пока-

зателя 5, Изв. АН. СССР. Сер. матем, 19, №3 (1955), 233-244.

8. П. Г. Конторович, А. С.Пекелис, А. И. Старостин, Структурные вопро-

сы теории групп, Матем. зап. Уральск, ун-та., 3 (1961), 3-50.

9. А.А.Кузнецов, Об одной подгруппе бернсайдовой группы Во(2,5),Тр.

ИММ УрО РАН, 17, № 4 (2011), 176-180.

10. А.Г.Курош, Теория групп, Москва, Наука, 1967.

11. И. Г. Лисёнок, Бесконечные бернсайдовы группы четного периода, Изв.

РАН. Сер. матем., 60, №3 (1996), 3-224.

12. В.Д.Мазуров, Е.И. Хухро, Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы

теории групп. Издание 16-е, Новосибирск, ИМ СО РАН, 2010.

13. П.С.Новиков, С.И.Адян, О бесконечных периодических группах. I,

Изв. АН СССР, Сер. матем., 32, № 1 (1968), 212-244.

14. П.С.Новиков, С.И.Адян, О бесконечных периодических группах. П,

Изв. АН СССР, Сер. матем., 32, № 2 (1968), 251-524.

15. П. С. Новиков, С.И.Адян, О бесконечных периодических группах. III,

Изв. АН СССР, Сер. матем., 32, № 3 (1968), 709-731.

16. А.Ю. Ольшанский, Бесконечные группы с циклическими подгруппами

ДАН СССР, 245, № 4 (1979), 785-787.

17. А. Ю. Ольшанский, Бесконечная группа с подгруппами простых поряд-

ков, Изв. АН СССР, Сер. матем., 44, № 2 (1980), 309-321.

18. А.Ю. Ольшанский, Группы ограниченного периода с подгруппами про-

стых порядков, Алгебра и логика, 21, № 5 (1982), 553-618.

19. А. И. Созутов, А. К. Шлёпкин, О некоторых группах с конечной инво-

люцией, насыщенных конечными простыми подгруппами, Мат. заметки, 72, № 3 (2002), 433—447.

20. А. А. Череп, О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно

конечной группе, Алгебра и логика, 26, №4 (1987), 518-521.

21. А. К. Шлёпкин, Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержа-

щие конечные неразрешимые подгруппы, Ш межд. конф. по алгебре, тезиы докладов, Красноярск, 1993.

22. А. К. Шлёпкин, О некоторых периодических группах, насыщенных ко-

нечными простыми группами, Мат. труцы, 1, № 1 (1998), 129—138.

23. А. К. Шлёпкин, О сопряжённо бипримитивно конечных группах, насы-

щенных конечными простыми подгруппами, Алгебра и логика 37 № 2 (1998), 224-245.

24. А. К. Шлёпкин, О сопряжённо бипримитивно конечных ipynnax, насы-

щенных конечными простыми подгруппами ¡7з(2п), Алгебра и логика, 37, № 5 (1998), 606-615.

25. А. К. Шлёпкин, О периодической части некоторых групп Шункова, Ал-

гебра и логика, 38, № 1 (1999), 96-125.

26. А. К. Шлёпкин, Группы Шункова с дополнительными ограничениями,

Дис. док. физ.-мат. наук, Красноярск, 1998.

27. А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин, О некоторых периодических группах,

насыщенных конечными простыми группами, Математические системы, 2 (2004), 96-100.

28. А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин, Об одном классе периодических групп,

Алгебра и логика, 44, № 1 (2005), 114—125.

29. А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин, О группах, насыщенных конечным мно-

жеством групп, Сиб. мат. журнал, 45, № 6 (2004), 1397—1400.

30. B.Amberg, LS.Kazarin, On periodic groups saturated by dihedral

subgroups, Proceedings Ischia Group Theory Conference, 2010.

31. S. VIvanov, The free Burnside groups of sufficiently large exponents, Int.

J. of Algebra and Computation, 4 (1994), 1-308.

32. P. Hall, G.Higman, On the p-length of p-soluble groups and reduction

theorems for Burnside's problem, Proc. London Math. Soc., 6, No. 3 (1956), 1-42.

33. B. Hartley, G. Shute, Monomorphisms and direct limits of finite groups of

Lie type, The Quaterly Journal of Mathematics Oxford, Ser. 2, 35, No. 137 (1984), 49-71.

34. G.Havas, G. Wall, J. Wamsley, The two generator restricted Burnside group

of exponent five Bull. Austral. Math. Soc., 10 (1974), 459-470.

35. B.Huppert, Endliche Gruppen. I., Springer Verlag, 1979.

36. S. Thomas, The classification of the simple periodic linear groups, Arch.

Math, 41 (1983), 103-116.

Работы автора по теме диссертации, опубликованные в изданиях из перечня ВАК

37. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, Об одном инволютивном автоморфиз-

ме бернсайдовой группы Во (2,5), Сиб. журнал индустр. мат., 13, № 3(43) (2010), 68-75.

38. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, Об одном автоморфизме порядка 2 берн-

сайдовой группы В0 (2,5), Влад. мат. журнал, 12, № 4 (2010), 44-49.

39. А.А.Кузнецов, К.А. Филиппов, Группы, насыщенные заданным множе-

ством групп, Сибирские электронные математические известия, 8 (2011), 230-246.

40. Д.В.Лыткина, Л.Р.Тухватуллина, К.А.Филиппов, О периодических

группах, насыщенных конечным множеством конечных простых групп, Сиб. мат. журнал, 49, № 2 (2008), 395^400.

41. Д.В.Лыткина, Л.Р.Тухватуллина, К. А. Филиппов, Периодические

группы, насыщенные конечными простыми группами Us(2m), Алгебра и логика, 47, № 3 (2008), 288-306.

42. Д. Н. Панюшкин, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодической

группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы Ь2(5), Вестник НГУ. Математика, механика, информатика, 10, № 1 (2010), 88-92.

43. Д. Н. Панюшкин, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О груше Шунко-

ва, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп, Тр. ИММ УрО РАН, 6, № 2 (2010), 177-185.

44. А. Г. Рубашкин, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных

группами L2(pn), Сиб. мат. журнал, 46, № 6 (2005), 1388-1392.

45. К. А. Филиппов, О централизаторах автоморфизмов бернсайдовой груп-

пы В0{2,5), Сиб. электр. мат. известия, 9 (2012), 185-189.

46. К. А. Филиппов, О периодической части группы Шункова, насыщенной

£2(р"), Вестник СибГАУ, 1(41) (2012), 67-72.

47. К, А. Филиппов, О диаметре Кэли одной подгруппы группы В0(2,5),

Вестник СибГАУ, 1(41) (2012), 234-236.

48. К. А. Филиппов, О периодических группах Шункова насыщенной про-

стыми трёхмерными унитарными группами, Вестник СибГАУ, 2(42) (2012), 78-80.

49. К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных конечными

простыми группами, Сиб. маг. журнал, 53, № 2 (2012), 430-438.

50. К. А. Филиппов, О прямых произведениях конечных групп в группах

Шункова, Вестник КрасГАУ, 4 (2012), 56-62.

51. К. А. Филиппов, О группах Шункова с одним условием насыщенности,

Журнал СФУ. Математика и физика, 5, № 3, 430-436.

Прочие работы автора по теме диссертации

52. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, О локальней конечности периодических

групп, насыщенных группами диэдра, Математические системы, 3 (2005), 34-35.

53. A.A.Кузнецов, Д.А.Кузьмин, Д.В.Лыткина, Л.Р. Тухватулли-

на, К. А. Филиппов, Компьютерные алгоритмы теоретико-множественного анализа сложных алгебраических систем. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2009.

54. А. А. Кузнецов, Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, Груп-

пы с условием насыщенности. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2010.

55. А. А. Кузнецов, И. В. Сабодах, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов,

Т.А.Ширяева, Алгоритмы компьютерных вычислений в группах. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2011.

56. А. А. Кузнецов, И. В. Сабодах, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов,

А.А.Шлёпкин, А.КШлёпкин, Группы с условием примарной минимальности. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2011.

57. Д. В. Лыткина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных

L2 (q) и её центральными расширениями, Математические системы,

5 (2006), 35—45.

58. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К.А.Филиппов, О периодических

группах, насыщенных группой £з(11), Математические системы,

6 (2007), 84-88.

59. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических

группах, насыщенных группой 1>з(27), Математические системы, 6 (2007), 89-92.

60. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических

группах, насыщенных группами из конечного множества линейных групп размерности 3, Математические системы, 6 (2007), 93—98.

61. А.Г.Рубашкин, К. А. Филиппов, О группах Шункова, насыщенных ко-

нечными простыми Z-группами,Математические системы, 3 (2005), 72-79.

62. К.А.Филиппов, Группы Цассенхауза с бесконечной силовской 2-

подаруппой, Математические системы, 4 (2005), 109-110.

63. К. А. Филиппов, О группах Шункова, насыщенных 2") х Z2, Мате-

матические системы, 4 (2005), 111-115.

64. К. А. Филиппов, О периодических группах с конечной силовской 2-

подгруппой, насыщенных конечными простыми Z-группами, Вестнику КрасГАУ, 5 (2005), 89-95.

65. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, О локальной конечности периодиче-

ских групп, насыщенных группами диэдра, Студент и научно-технический прогресс: Математика: Мат-лы XLII междунар. науч.-студен. конф., Новосибирск: НГУ, 2004.

66. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, А. К. Шлёпкин, Об одном инволютивном

автоморфизме группы Ва(2,5), Тезисы международной конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2010.

67. Д.В.Лыткина, Л.Р.Тухватуллина, К.А.Филиппов, О периодических

группах, насыщенных группами £4(2П). Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, тезисы докладов, Москва, 2008.

68. Д. В. Лыткина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных

центральными расширениями линейных групп размерности 2, Материалы ХЫУ МСНК «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ, 2006.

69. Д. В. Лыткина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных

её центральными расширениями, Тезисы международной конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2006.

70. А. И. Созутов, А.А.Дуж, К. А. Филиппов, О группах Шункова с одним

условием насыщенности, Международная конференция Алгебра, логика и приложения, Красноярск, 2010.

71. А.И. Созутов, А.А.Дуж, К.А. Филиппов, О группах Шункова с одним

условием насыщенности, Материалы всеросийской конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Эдельмана, Красноярск, 2010.

72. Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насы-

щенных группами £з(3"). Международная конференция «Алгебра и её приложения», тезисы докладов, Красноярск, 2007.

73. К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группами Цас-

сенхауза, Мат-лы регион, науч.-техн. конф., Красноярск: КрасГАСА 2005.

74. К. А. Филиппов, О периодических группах насыщенных ¿2(2") х ¿Г2,

Международная алгебраическая конференция: К 100-летию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-леппо Л.Н. Шеврина, Екатеринбург, 2005.

75. К. А. Филиппов, О периодической части в группе Шункова, Тезисы меж-

дународной конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2011.

76. К.А.Филиппов О периодической группе Шункова, насыщенной про-

стыми трёхмерными унитарными группами, Тезисы Международной конференции "Алгебра и линейная оптимизация", посвящённой 100-летию со дня рождения С.Н. Черникова, Екатеринбург, 2012.

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 24.49.04.953.П. 000381.09.03 от 25.09.2003 г. Подписано в печать 11.05.2012. Формат 60x84/16. Бумага тип. № 1. Печать - ризограф. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ № 1747 Издательство Красноярского государственного аграрного университета 660017, Красноярск, ул. Ленина, 117

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Филиппов, Константин Анатольевич, Красноярск

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 512.5

и= Г . ; =

Филиппов Константин Анатольевич

ГРУППЫ С УСЛОВИЯМИ НАСЫЩЕННОСТИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание учёной степени

доктора физико-математических наук

Научный консультант доктор физ.-мат. наук профессор Н. М. Сучков

Красноярск, 2012

Содержание

Введение 3

Глава 1. Известные факты 12

Глава 2. Группы, насыщенные ¿2(9) и центральными расширениями группы порядка 2 при помощи Ь2{я) 25

§ 2.1. Периодические группы, насыщенные ¿2(<7) ...................25

§ 2.2. Периодические группы, насыщенные БЬ^) ..................28

§2.3. Периодические группы, насыщенные Ь2(Ка) х22...............29

§ 2.4. Группы Шункова, насыщенные ¿2(9).......................38

§ 2.5. Группы Шункова, насыщенные ¿^(д)......................43

§2.6. Группы Шункова, насыщенные центральными расширениями группы порядка 2 при помощи ¿2(9)..............................43

Глава 3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами 48

§ 3.1. Группы Шункова, насыщенные группами Ь2(рп), 5,г(22п+1)..........48

§3.2. Периодические группы с конечной силовской 2-подгруппой, насыщенные

группами Ь2{рп), Бг{22п+1)..........................................................53

§ 3.3. Периодические группы с бесконечной силовской 2-подгруппой насыщенные

группами Ь2(рп), 5г(22п+1)..........................................................53

§3.4. Периодические группы, насыщенные конечными простыми группами £/з(2п) 55 § 3.5. Периодические группы, насыщенные конечным множеством конечных простых неабелевых групп..............................................................62

§ 3.6. Периодическая группа Шункова, насыщенная простыми трёхмерными унитарными группами. . . . ........................................................64

§ 3.7. Периодические группы, насыщенные конечными простыми группами.....68

Глава 4. Группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп 75 §4.1. Группы Шункова, насыщенная прямыми произведениями конечных 2-групп

на группу Ь2(5) ......................................................................75

§ 4.2. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями циклических групп

на линейные группы размерности два.......................79

§4.3. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями циклических 2-

групп на группу Ь2{Ъ)................................................................82

§ 4.4. Группы Шункова с одним условием насыщенности...............86

Глава 5. Группы, насыщенные конечными группами периода 5 91 § 5.1. Автоморфизм порядка 2 бернсайдовой группы В0(2,5), переводящий образующие в обратные..................................................................91

§5.2. Автоморфизм порядка 2 бернсайдовой группы 50(2,5), действующий симметрично на образующих..............................102

§ 5.3. Централизатор четверной группы автоморфизмов бернсайдовой группы В0(2,5) 106 § 5.4. Диаметр Кэли одной подгруппы группы В0(2, 5)................111

Библиография 117

Введение

В теории бесконечных групп значительное место занимают исследования бесконечных групп с различными условиями конечности, т.е. групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп. Результаты исследований, представленные в данной работе, связаны с условием насыщенности группы заданным множеством групп.

Группа G насыщена группами из множества групп £К, если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из

Понятие насыщенности впервые появилось и оформилось в работах А.К. Шлёпкина [38-46] и было обусловлено следующим обстоятельством.

Как оказалось, "насыщенность" является естественным обобщением понятия покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторо-вича [12,13]. В конце 60-х годов П.Г. Конторович, A.C. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [14]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [14]. В начале 80-х годов В.В. Беляев [2] и независимо A.B. Боровик [3], С. Томас [60], Б. Хартли и Г. Шют [55] доказали следующую теорему:

Если локально конрчнпя группа G обладает локальным покрытием, состоящим из множества подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.

Напомним понятие локального покрытия. Множество Ш подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = [J X и для любых X, Y € найдется такой

хеш

элемент Z € 9TÎ, что X С Z и Y Ç Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Конструкция периодических произведений С.И. Адяна [1] позволяет строить периодические группы, насыщенные конечными множествами групп, содержащими любые конечные наборы групп нечётного порядка. Подобными свойствами обладают и примеры групп А.Ю. Ольшанского (см. [29-31]). И.Г. Лысёнок [19] и C.B. Иванов [53] показали, что группы В(т, п) при достаточно больших чётных п насыщены прямыми произведениями групп диэдра. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена группами из конечного множества. То же самое справедливо и для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как они обладают бесконечными локально конечными подгруппами [40].

В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возник следующий вопрос, поставленный А.К. Шлёпкиным и вошедший в Коуровскую тетрадь [25] под номером 14.101:

Решением вопросов, связанных с понятием "насыщенности", посвящены работы Б. Амберга, J1.C. Казарина, A.A. Кузнецова, Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, Д.Н. Панюшки-на, А.Г. Рубашкина, А.И. Созутова, JI.P. Тухватуллиной, А.К. Шлёпкина (см. обзор [63]). При этом в качестве групп насыщающего множества рассматривались не только простые группы. К направлению "насыщенности" относится и настоящая диссертационная работа.

Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шун-кова, насыщенных различными множествами конечных групп, а также изучению групп периода 5. При этом используются методы локального анализа конечных групп, адаптированные к исследованию периодических групп. Кроме того, используются компьютерные вычисления для установления строения некоторых групп.

Результаты диссертации в период с 2005 по 2011 год были представлены на международных конференциях в Екатеринбурге, Красноярске, Нальчике, Новосибирске. В частности, на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011), автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах КрасГАУ "Математические системы", СФУ "Городской алгебраический семинар" и семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН. Основные результаты опубликованы с полными доказательствами в работах [61,70-75] и принадлежат лично диссертанту.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Доказано существование периодической части в группах Шункова, насыщенных группами вида Lz(q) (соответственно, S,L2(<7)), установлен её изоморфизм с группой L^iQ) (соответственно, SLziQ)) над подходящим локально конечным полем Q (теоремы 2.4.1, 2.5.1).

2. Доказано, что периодическая группа Шункова. насыщенная множеством простых трехмерных унитарных групп Us(q) над конечными полями, изоморфна группе U%{Q) над подходящим локально конечным полем Q (теорема 3.6.1).

3. Доказано, что если периодическая группа G насыщена конечными простыми неабеле-выми группами и в любой её конечной 2-подгруппе К все инволюции лежат в центре К, то G изоморфна одной из следующих групп: Jb Li(Q), Re(Q), U3(Q), Sz(Q) для подходящего локально конечного поля Q (теорема 3.7.1).

4. Установлено строение периодической группы Шункова G, насыщенной прямыми произведениями X х Y, где X принадлежит множеству групп вида L2(pn), Sz(22m+1), Re(32s+1) и содержит элемент фиксированного простого порядка и нечетным порядком его централизатора, а Y принадлежит некоторому множеству конечных 2-групп. Доказано, что G = R х Ог(С?), где R изоморфна одной из групп L2(F), Sz(P), Re(E) для подходящих локально конечных полей F, Р, Е (теорема 4.4.1).

5. Получено описание централизатора инволютивного автоморфизма <*р универсальной конечной бернсайдовой группы периода 5 с двумя образующими: В0(2, 5) = (х, у), переставляющего её образующие. Доказано, что его порядок равен 517; 3 — минимальное число порождающих, ступени нильпотентности и разрешимости равны б и 3 соответственно; получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов (теорема 5.2.1).

6. Вычислен диаметр Кэли и получена функция роста для подгруппы Я = (ху, ух) группы В0{2,5) — {х,у) (теорема 5.4.1).

Перейдём к более подробному изложению содержания диссертации, которая состоит из пяти глав и списка литературы из 127 наименований.

Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий), а также определений, предложений и таблиц сквозная внутри параграфа и состоит из трёх цифр: первая - номер главы, вторая - номер параграфа и третья - порядковый номер внутри параграфа.

Введение

В данном разделе приведена характеристика результатов работы.

Глава 1. Известные факты

В главе 1 приведены известные определения и факты, использующиеся далее в доказательстве основных результатов диссертации (главы 2—5). Часть из них приведена с доказательствами.

Глава 2. Группы, насыщенные Ь2(д) и центральными расширениями группы порядка 2 при помощи Ь2(д)

В данной главе исследованы группы Шункова, а также периодические группы, насыщенные центральными расширениями группы Z2 при помощи Ь2(К), где К - конечное поле.

Произвольная группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу. Подчеркнём, что группа Шункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп [36]. Поэтому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях её элементов конечных порядков, в частности, составляют ли они характеристическую подгруппу Т(С) — периодическую часть?

Под периодической частью Т(С) группы (7 понимается подгруппа, порожденная всеми элементами конечных порядков из С, при условии, что она периодическая.

Основными результатами этой главы являются следующие две теоремы.

Пусть I означает множество индексов, Ка — конечное поле для любого а 6 /. Пусть = {¿2(Ка)\а 6 /} и ОТ = {вЬ2(Ка)\а € /}. Отметим, что для различных а и ¡3 характеристики полей Ка и могут быть различными.

Теорема 2.4.1. Группа Шункова С, насыщенная группами из множества ОТ, обладает периодической частью Т{С), изоморфной простой группе Ь2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Теорема 2.5.1. Группа Шункова (7, насыщенная группами из множества ОТ, обладает периодической частью Т(С?), изоморфной группе ЗЬ2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Данные результаты являются авторскими и опубликованы в [70].

Отметим, что эти результаты дополняют следующие две теоремы, полученные в работе [68] совместно с А.Г. Рубашкиным.

Теорема 2.1.1. Периодическая группа С, насыщенная группами из множества '¡Я, изоморфна простой группе Ь2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Теорема 2.2.1. Периодическая группа С, насыщенная группами из множества ОТ, изоморфна группе ЗЬ2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Глава 3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами

В данной главе продолжены исследования по частичному решению вопроса 14.101 из Коуровской тетради, упомянутому выше. Изучаются группы Шункова и произвольные периодические группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами.

Теорема 3.3.1. Периодическая группа, насыщенная некоторым множеством групп вида L2(pm), Sz(22n+1), изоморфна L2(P) или Sz(Q) для подходящих локально конечных полей Р, Q.

Данный результат опубликован в [86].

Теорема 3.4.1. Пусть бесконечная периодическая группа G насыщена группами из множества Ш, = {U^{q)}, где q — степени числа 2. Тогда G изоморфна группе Us(Q) над локально конечным полем Q характеристики 2.

Отказаться от условия, что q — степени числа 2, в теореме 3.4.1 для периодических групп пока не удалось. Но для периодических групп Шункова это сделано.

Основными результатами этой главы являются две следующие теоремы 3.6.1, 3.7.1, опубликованые в [72,73] и доказанные автором лично.

Пусть 01 - множество всех простых трёхмерных унитарных групп ?7з(д) над конечными полями.

Теорема 3.6.1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из 91, локально конечна и изоморфна Uz(Q) для некоторого локально конечного поля Q.

В теореме 2 из [33] доказывается, что бесконечная периодическая группа G с абеле-выми силовскими 2-подгруппами, насыщенная конечными простыми группами, локально конечна и изоморфна либо Яе(Р), либо L2{Q) над подходящими локально конечными полями Р и Q.

Следующая теорема имеет более общий характер.

Теорема 3.7.1. Пусть периодическая группа G насыщена конечными простыми неабелевыми группами и в любой её конечной 2-подгруппе К все инволюции лежат в центре К. Тогда G изоморфна одной из следующих групп: Ji, L2(Q), Re(Q), U^iQ), Sz(Q) для подходящего локально конечного поля Q.

Глава 4. Группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп

А.Г. Рубашкин и А.К. Шлёпкин [46] рассматривали периодические группы, насыщенные группами диэдра. Как оказалось, такие группы ограниченного периода локально конечны. Б. Амберг и JI.C. Казарин [49] показали, что произвольная периодические группа (без ограничения на период), насыщенная группами диэдра, локально конечна. Отметим, что это неверно, если насыщающее множество состоит из прямых произведений групп диэдра (даже ограниченного периода). А именно, как отмечалось выше, И. Г. Лысёнок [19] и C.B. Иванов [53] показали, что группы В(т, п) для достаточно большого чётного периода п насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе (причём число множителей может быть сколь угодно большим). Таким образом, актуальным становится изучение групп насыщенных прямыми произведениями различных групп.

Сформулируем основной результат данной главы.

Пусть р - фиксированное простое нечётное число. Множество Хр состоит из групп вида L — M х Q, где Q - конечная 2-группа, a M - группа из множества Yp, которое является объединением следующих трёх множеств: А = {Sz(22k+1)\k Е I с N}, В = {Яе(32"1+1)|т е J с N} и С = {L2(ps)|s е К с N,p 6 Т с D-множество всех простых чисел} и при этом, каждая группа M 6 Yp содержит элемент о порядка р, для которого См(о.) не содержит инволюций.

Теорема 4.4.1. Если периодическая группа Шункова G насыщена группами из множества Хр, то все её элементы конечных нечетных порядков порождают в G локально конечную подгруппу R, изоморфную одной из групп L2(F), Re(P), Sz(E) для подходящих локально конечных полей F, Р, Е и G — R х 02(G).

Данный результат опубликован в [74].

Глава 5. Группы, насыщенные конечными группами периода 5

Свободной бернсайдовой группой периода пет образующими называется группа В(т, п) = Fm/F™, где Fm — свободная группа ранга т и FT" — ее подгруппа, порожденная всеми n-ми степенями элементов из Frn.

Универсальной конечной бернсайдовой группой периода пет, образующими называется группа В0(т,п) = Fm/U(m,n), где U(т, п) — пересечение всех нормальных подгрупп N < Fm, для которых Fm/N — конечная группа периода п. А.И. Кострикин показал, что В0(т,п) конечна, если п - простое число [15]. Е.И. Зельманов обобщил эту теорему А.И. Кострикина на случай, когда п — степень простого числа [9]. Отсюда и из результатов Ф. Холла и Г. Хигмэна с использованием классификации конечных простых групп вытекает конечность Во(т,п) для произвольных тип [56].

Поскольку В(2,5) является "наименьшей" из бернсайдовых групп, для которых не решён вопрос об их конечности, любые сведения о ней и, в частности, о В0(2,5), интересны. А.И. Кострикин установил границы для порядка группы В0(2,5): 531 <| В0(2,5) |< 534 [15]. В 1974 г. Хавас, Уолл и Уэмсли в [57] при помощи компьютерных вычислений нашли определяющи