Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями различных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

т

004616314

На правах руко^:

ПАНЮШКИН ДЕНИС НИКОЛАЕВИЧ

ГРУППЫ ШУНКОВА, НАСЫЩЕННЫЕ ПРЯМЫМИ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ РАЗЛИЧНЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ДЕК 2010

Красноярск-2010

004616314

Работа выполнена в Красноярском государственном аграрном университете

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Кузнецов Александр Алексеевич

Официальные оппоненты:

Защита диссертации состоится 17 декабря 2010 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан "_" ноября 2010 г.

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Мазуров Виктор Данилович

доктор физико-математических наук, профессор Беляев Виссарион Викторович

Ведущая организация:

Институт вычислительного моделирования СО РАН

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Результаты, представленные в диссертации, относятся к традиционному для созданной В.П. Шунковым школы направлению, связанному с исследованием групп с различными условиями конечности и, в частности с такими, ставшими уже классическими, объектами, как группы Шункова:

Группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе, включая единичную, любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу.

При этом в этих исследованиях используется понятие насыщенности бесконечной группы заданным множеством групп. Понятие насыщенности группы некоторыми системами групп ввел в 1993 г. А.К. Шлепкин [14]:

Группа G насыщена группами из множества SOT, если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из SJt. Пусть группа G насыщена группами из некоторого множества Ш, и для любой группы X £ Ш в G найдется подгруппа L, изоморфная X. В этом случае будем говорить, что G насыщена множеством групп Ш, а само множество Ш будем называть насыщающим множеством групп для G.

Изучение периодических групп, насыщенных множеством, состоящим из конечных простых неабелевых групп, связано с попыткой обобщить известный результат Кегеля, Беляева, Боровика, Хартли и Томаса о локально конечных группах, обладающих локальными покрытиями группами лиева типа на произвольные периодические группы [1]. В терминах насыщенности это обобщение оформлено в виде вопроса 14.101 в Коуровской тетради [2], который поставил А.К. Шлепкин:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

Частичным решениям этого вопроса посвящен ряд работ О.В. Васильевой, Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, А.Г. Рубашкина, А.И. Созутова, JI.P. Тухватуллиной, К.А. Филиппова, А.К. Шлепкина [4-12,14-21].

Понятие насыщенности оказалось востребованным и в том случае, когда насыщающее множество состоит не обязательно из конечных простых неабелевых групп. В частности, Бернсайдовы группы В(т,п) достаточно большого четного периода п не локально конечны и насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе [3,22].

А.Г. Рубашкиным и К.А. Филипповым [8] изучалась периодическая группа G, насыщенная конечными группами диэдра. Доказана локальная конечность такой группы при условии, что она либо ограниченного периода, либо финитно-аппроксимируема. В случае, если G не локально конечная группа, установлена следующая её факторизация G = ABC = АС В = ВС А = СБА, где А - локально конечный диэдр, а В, С - локально циклические подгруппы. Вопрос о существовании такой группы до сих пор открыт. В связи с этим А.К. Шлепкиным был поставлен следующий вопрос:

Локально конечны ли группы конечного периода и конечного 2-ранга, насыщенные прямыми произведениями групп диэдра?

Изучение периодических групп, насыщенных прямыми произведениями различных групп, с одной стороны, продиктовано потребностями характери-зации локально конечных простых групп лиева типа в связи с упомянутым выше вопросом 14.101 из Коуровской тетради. С другой стороны, эти исследования оказались интересными и востребованными в связи с указанными

выше направлениями комбинаторной теории групп и вопросом А.Ю. Ольшанского:

Существует ли периодическая не локально конечная группа, насыщенная прямыми произведениями циклических групп простого порядка?

Цель работы. Исследование периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями проективных специальных линейных групп размерности два на абелевы группы.

Основные результаты.

1. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями циклических 2'-групп на группы Ь2(2") (теорема 1).

2. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями циклических 2-групп на группу ¿2(5) (теорема 2).

3. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп на группу 5) (теорема 3).

4. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп на группы Ьг (р) (теорема 4).

5. Описано строение нормализатора силовской 3-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной общими линейными группами размерности два над полями характеристики 3 (теорема 5).

Методы исследования. Методы локального анализа конечных групп адаптируются для исследования строения периодических групп.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертационной работы являются новыми. Они носят теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории групп и её приложениях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на "Мальцевских чтениях" (г, Новосибирск, 2009, 2010), на ХЬА/ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (г. Новосибирск, 2009), на Международной конференции "Алгебра, логика и приложения" (г. Красноярск, 2010). Результаты диссертации обсуждались на Красноярском городском алгебраическом семинаре (СФУ) и на семинаре "Математические системы" (КрасГАУ).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [23] - [28].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы (34 наименования), занимает 66 страниц текста, набранного в пакете ЩеХ. Нумерация теорем и лемм сквозная.

Содержание работы

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе собраны вспомогательные факты, используемые в доказательстве основных результатов. Некоторые из них были получены в процессе работы и приведены с доказательствами.

Во второй главе диссертации изучаются периодические группы Шун-кова, насыщенные прямыми произведениями циклических групп на группу гДе Я ~ Получены следующие результаты:

Теорема 1. Бесконечная периодическая группа Шункова й, насыщенная группами из множества = {¿2(9) х (Ьт) | ? = 2"; п = 2, ...;тп = 1,2,...}, где (|£,2(д)|, |£т|) = 1, локально конечна и изоморфна прямому произведению Ь XV, где Ь ^ для некоторого локально конечного поля <5, аУ — локально циклическая группа без инволюций.

Теорема 2. Бесконечная периодическая группа Шункова С?, насыщенная группами из множества 5? = {¿2(5) х {«)}, где |г>| = 2к, к — 1,2,..., локально конечна и изоморфна Ь XV, где Ь а. ¿2 (5), а V — локально циклическая 2-группа.

В третьей главе диссертации изучаются периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями ¿2(9) на конечные элементарные абелевы 2-групгш. Ранее К.А. Филипповым доказана локальная конечность периодической группы Шункова, насыщенной группами из множества Ж = (¿2(9) х ¿?2}, где — группа порядка 2, д = рп, р — нефиксированное [13]. Попытка обобщить этот результат на произвольные периодические группы пока успехом не увенчалась. Как оказалось, для случая, когда К = {Ьг(?) х I Я = 2"; п— 1,2,...} , возник контрпример, противоречивость которого доказать не удается. Поэтому естественно рассмотреть группу,

группу, насыщенную похожими множествами групп, в каждой из которых силовская 2-подгруппа элементарная абелева либо содержит элементарную абелеву 2-группу сколь угодно большого ранга. Доказаны следующие результаты:

Пусть 1п — 22 х х • • • х Тогда верны следующие теоремы.

4 V

п раз

Теорема 3. Бесконечная периодическая группа Шункова О, насыщенная группами из множества = {¿2(5) х 1п | п = 1,2,...}, локально конечна и изоморфна 1^(5) х где N — бесконечная группа периода 2.

Теорема 4. Бесконечная периодическая группа Шункова насыщенная группами из множества 3? = {¿2| п — 1,2,...}, гдер — ±3(той8) — фиксированное простое число, локально конечна и изоморфна ¿г(р) х М, где N ~ бесконечная группа периода 2.

В четвертой главе изучаются группы Шункова, насыщенные группами £¿2(3"). Хорошо известно, какую роль играет структура централизатора инволюции при характеризации конечных простых неабелевых групп. Аналогичная ситуация складывается и при изучении бесконечных периодических групп, насыщенных конечными простыми неабелевыми группами. При изучении периодических групп, насыщенных группами Ьз(3"), оказалось необходимым установление структуры централизатора инволюции. Как выяснилось, централизатор инволюции насыщен группами СЛ^З").

Теорема 5. Пусть бесконечная периодическая группа Шункова С? насыщена группами из множества 3? = {СЬъ^) | <? = 3";п = 1,2,...}, 5 — силовская 3-подгруппа группы С. Тогда:

1. 5 — счетная элементарная абелева 3-группа.

2. Cg(S) = S x D, где D — бесконечная локально циклическая группа и тгР)Птг(5) = 0.

3. Nq(S) = S\(DxR), где R — бесконечная локально циклическая группа, изоморфная группе D и Ng{S) = Ca{S) X R.

4- S \ R — группа Фробениуса с неинвариантным множителем R, действующим регулярно и транзитивно на множестве неединичных элементов группы S.

Доказательство теоремы 1, за исключением леммы 1, принадлежит автору. Доказательство теоремы 2, за исключением леммы 3, принадлежит автору. Теоремы 3, 4, 5 доказаны автором самостоятельно.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю A.A. Кузнецову за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны. Отдельная благодарность сотрудникам кафедры прикладной математики КрасГАУ: Л.Р. Тухватуллиной, К.А. Филиппову и A.A. Дуж, за ценные советы и полезные замечания при обсуждении моей работы, за доброжелательность и внимательное отношение.

Литература

[1] Беляев В.В. Локально конечные группы Шевалле // Исследования по теории групп. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. - С. 39-50.

[2] Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. - Изд-е 17-е.

- Новосибирск. - 2010. - 218 с.

[3] Лысёнок И.Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. матем. - 1996. - Т. 60. - С. 4-5.

[4] Лыткина Д.В. Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4 // Матем. сист. - Красноярск: КрасГАУ, 2005. - №4.

- С. 602-617.

[5] Лыткина Д.В. Периодические группы, насыщенные группой 1/з(9) // Матем. сист. - Красноярск: КрасГАУ, 2006. - №5. - С. 32-34.

[6] Лыткина Д.В., Мазуров В.Д. Периодические группы, насыщенные группами ¿3(2т) // Алгебра и логика. - 2007. - Т. 46, №5. - С. 520-535.

¡7] Лыткина Д.В., Филиппов К. А. О периодических группах, насыщенных ¿2(9) и ее центральными расширениями // Матем. сист. - Красноярск: КрасГАУ, 2006. - №5. - С. 35-45.

[8] Рубашкин А.Г., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных ¿2(Р") // Сиб. матем. журн. - 2005. - Т. 46, №6. - С. 1388-1392.

10

[9] Созутов А.И. О некоторых группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. сист. - Красноярск: КрасГАУ, 2004. - №3. - С. 101-110.

[10] Созутов А.И., Шлепкин А.К. О некоторых группах с конечной инволюцией, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. заметки. - 2002. - Т. 72, №3. - С. 433-447.

[11] Тухватуллина Л.Р., Лыткина Д.В., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных конечным множеством конечных простых групп // Сиб. матем. журн. - 2008. - Т. 49, №2. - С. 395-400.

[12] Тухватуллина Л.Р., Лыткина Д.В., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных группами 11%{2п) //Алгебра и логика. - 2008. -Т. 47, №3. - С. 288-306.

[13] Филиппов К.А. Группы, насыщенные конечными неабелевыми группами и их расширениями: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 2006.

[14] Шлепкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // Сборник тезисов III меж-дунар. конф. по алгебре, 23-28 авг. 1993. - Красноярск, 1993. - С. 369.

[15] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Алгебра и логика. -1998. - Т. 37, №2. - С. 224-245.

[16] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами U${2n) // Алгебра и логика. - 1998. - Т. 37, №5. - С. 606-615.

[17] Шлепкин А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: дис.... д-ра. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1998. - 163 с.

[18] Шлепкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. труды. - 1998. - Т. 1, №1. - С. 129-138.

[19] Шлепкин А.К., Рубашкин А.Г. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простым группами // Матем. сист. - Красноярск: КрасГАУ, 2004. - №2. - С. 96-100.

[20] Шлепкин А.К., Рубашкин А.Г. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Сиб. матем. журн. - 2004. - Т. 45, №6. - С. 1397-1400.

[21] Шлепкин А.К., Рубашкин А.Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика. - 2005. - Т. 44, №1. - С. 11-119.

[22] Ivanov S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Int. J. of Algebra and Computation. - 1994. - V. 4. - P. 2.

Работы автора по теме диссертации

[23] Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы Ьг(5) // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. - 2010. - Т. 10, вып.1. - С. 88-92.

[24] Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О группе Шункова, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп // Труды ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 6, №2. - С. 177-185.

[25] Панюшкин Д.Н. Строение нормализатора силовской 3-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной конечными простыми группами 2(3") // Матем. сист. - Красноярск: КрасГАУ, 2009. -№7. - С. 48-51.

[26] Панюшкин Д.Н. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы 12(р) // Матем. сист. - Красноярск: КрасГАУ, 2009. - №3. - С. 68-73.

[27] Панюшкин Д.Н. Строение нормализатора силовской 3-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной группами (?1.2(3П) // Сборник тезисов матем. Х1ЛЩ междунар. науч. студ. конф. - НГУ. - Новосибирск, 2009. - С. 117.

[28] Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп

/'/ Сборник тезисов VII междунар. школы-конф., посвященной 75-В.А. Белоногова. - ЮУрГУ. - Челябинск, 2008. - С. 90.

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 24.49.04.953.П. 000381.09.03 от 25.09.2003 г. Подписано в печать 10.11.2010. Формат 60x84/16. Бумага тип. № 1 Печать - ризограф. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ № 865 Издательство Красноярского государственного аграрного университета 660017, Красноярск, ул. Ленина, 117

Введение

Глава 1. Используемые результаты

Глава 2. Группы, насыщенные прямыми произведениями циклических групп

2.1. О группе Шункова, насыщенной прямыми произведениями циклических групп посредством линейных групп размерности два.

2.2. О периодической группе Шункова, насыщенной прямыми произведениями циклических 2-групп посредством группы Ь2 (5).

Глава 3. Группы, насыщенные прямыми произведениями элементарных абелевых 2-групп

3.1. О периодической группе Шункова, насыщенной прямыми произведениями конечных 2-групп посредством группы Ь2( 5).

3.2. О периодической группе Шункова, насыщенной прямыми произведениями конечных 2-групп посредством группы Ь2{р).

Глава 4. Строение нормализатора силовской 3-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной группами <3£2(3П)

Результаты, представленные в диссертации, относятся к традиционному для созданной В.П. Шунковым школы направлению, связанному с исследованием групп с различными условиями конечности и, в частности, с такими, ставшими уже классическими, объектами, как группы Шункова:

Группа называется группой Шункова, если в камсдом ее сечении по конечной подгруппе, включая единичную, любая пара сопряоюенных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу.

При этом в этих исследованиях используется понятие насыщенности бесконечной группы заданным множеством групп. Понятие насыщенности группы некоторыми системами групп ввел в 1993 г. А.К. Шлёпкин [19]:

Группа £ насыщена группами из множества Ш, если любая конечная подгруппа из С содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из 9Л. Пусть группа С насыщена группами из некоторого множества ШТ., и для любой группы X €Е Ш1 в С найдется подгруппа Ь, изоморфная X. В этом случае будем говорить, что насыщена множеством групп а само множество будем называть насыщающим мноэюеетвом групп для С.

Изучение периодических групп, насыщенных множеством, состоящим из конечных простых неабелевых групп, связано с попыткой обобщить известный результат Кегеля, Беляева, Боровика, Хартли и Томаса о локально конечных группах, обладающих локальными покрытиями группами лиева типа на произвольные периодические группы [1]. В терминах насыщенности это обобщение оформлено в виде вопроса 14.101 в Коуровской тетради, который поставил А.К. Шлепкин:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

Частичным решениям этого вопроса посвящен ряд работ О.В. Васильевой, Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, А.Г. Рубашкина, А.И. Со-зутова, JI.P. Тухватуллиной, К.А. Филиппова, А.К. Шлепкина. [7-9,14-17,19-21,23-26].

Понятие насыщенности оказалось востребованным и в том случае, когда насыщающее множество состоит не обязательно из конечных простых неабелевых групп. В частности, Бернсайдовы группы В(т, п) достаточно большого четного периода п не локально конечны и насы-„ щенны прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе.

А.Г. Рубашкиным и К.А. Филипповым изучалась периодическая группа G, насыщенная конечными группами диэдра. Доказана локальная конечность такой группы при условии, что она либо ограниченного периода, либо финитно-аппроксимируема. В случае, если G не локально конечная группа, установлена следующая её факторизация G = ABC = АС В = ВС А = С В А, где А - локально конечный диэдр, а, В, С -локально циклические подгруппы. Вопрос о существовании такой группы до с Pix пор открыт. В связи с этим А.К. Шлепкиным был поставлен следующий вопрос:

Локально конечны ли группы конечного периода и конечного 2-ранга, насыщенные прямыми произведениями групп диэдра?

Изучение периодических групп, насыщенных прямыми произведениями различных групп, с одной стороны, продиктовано потребностями характеризации локально конечных простых групп лиева типа в связи с упомянутым выше вопросом 14.101 из Коуровской тетради. С другой стороны, эти исследования оказались интересными и востребованными в связи с указанными выше направлениями комбинаторной теории групп и вопросом А.Ю. Ольшанского:

Существует ли простая периодическая не локально конечная группа, насыщенная прямыми произведениями циклических групп простого порядка?

Продолжению исследований групп, насыщенных прямыми произведениями различных групп, и посвящена данная диссертация.

Основные результаты:

1. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями циклических 2'-групп на группы 1/2 (2П) (теорема 1).

2. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями циклических 2-групп на группу £2(5) (теорема 2).

3. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями конечных элементарных абеле-вых 2-групп на группу £/2(6) (теорема 3).

4. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями конечных элементарных абеле-вых 2-гругш на группы ¿2 (р) (теорема 4).

5. Описано строение нормализатора силовской 3-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной общими линейными группами размерности два над полями характеристики 3 (теорема 5).

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе собраны вспомогательные факты, используемые в доказательстве основных результатов. Некоторые из них были получены в процессе работы и приведены с доказательствами.

Во второй главе диссертации изучаются периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями циклических групп на группу гДе Я. ~ Получены следующие результаты:

Теорема 1. Бесконечная периодическая группа Шункова С, насыщенная группами из множества К = {1/2 (г/) х (¿т) | г/ = 2П; •• п = 2,.; тп = 1, 2,где \Ьт\) = 1, локально конечна и изоморфна прямому произведению Ь х V, где Ь ~ Ь2{0), для некоторого локально конечного поля (3, а V — локально циклическая группа без инволюций. '

Теорема 2. Бесконечная периодическая группа Шункова С?, насыщенная группами из множества = (Ь2(5) х (г;)}, где |г>| = 2к, к = 1,2,.локально конечна и изоморфна Ь х V, где Ь ~ /у2(5); а V — локально циклическая 2-группа.

В третьей главе диссертации изучаются периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями 1/2 (#) на конечные элементарные абелевы 2-группы. Ранее К.А. Филипповым доказана локальная конечность периодической группы Шункова, насыщенной группами из множества = {^{я) х ^2}, где ^ — группа порядка 2, д = рп, р — нефиксированное [18]. Попытка обобщить этот результат на ироизвольные периодические группы пока успехом не увенчалась. Как оказалось, для случая, когда = {-£/2(4) х | Ч = 2П; п = 1,2,.} , возник контрпример, противоречивость которого доказать не удается. Поэтому естественно рассмотреть группу, насыщенную похожим множеством групп, в каждой из которых силовская 2-1Юдгруина элементарная абе-лева либо содержит элементарную абелеву 2-группу сколь угодно большого ранга. Доказаны следующие результаты:

Пусть 1п = х ^ х ■ • ■ х Z2|. Тогда верны следующие теоремы.

4 V ' п раз

Теорема 3. Бесконечная периодическая группа Шункова С, насыщенная группами из множества = {¿2(6) х1п\п = 1, 2,локально конечна и изоморфна 1/2 (5) х И, где N — бесконечная группа периода 2.

Теорема 4. Бесконечная периодическая группа Шункова С, насыщенная группами из множества = {^(р) х 1п\п = 1,2,.}, где р = ±3(тос18) — фиксированное простое число, локально конечна и изоморфна Ьч(р) х N) где N — бесконечная группа периода 2.

В четвертой главе изучаются группы Шункова, насыщенные группами ОС2(Зп). Хорошо известно, какую роль играет структура централизатора инволюции при характеризации конечных простых неабелевых групп. Аналогичная ситуация складывается и при изучении бесконечных периодических групп, насыщенных конечными простыми иеабеле-выми группами. При изучении периодических групп, насыщенных группами 1/з(Зп), оказалось необходимым установление структуры централизатора инволюции. Как выяснилось, централизатор инволюции насыщен группами С1/2(3П).

Теорема 5. Пусть бесконечная периодическая группа Шункова G насыщенна группами из множества 9е? = {GL2(q)\q = 3П\п— 1,2, S — силовская 3-подгруппа группы G. Тогда:

1. S — счетная элеменарная абелева 3-группа.

2. Cg(S) = S х D, где D — бесконечная локально циклическая группа и тг(£>) П tt(S') = 0.

3. Ng(S) = S X (D x R), где R — бесконечная локально циклическая группа, изоморфная группе D и Nq{S) — Cg{S) X R.

4. S X R — группа Фробениуса с неинвариантным мноэюителем R, действующим регулярно и транзитивно на мноэюеетве неединич-иых элементов группы S.

Основная часть доказательства теоремы 1, за исключением леммы 1, принадлежит автору. Доказательство теоремы 2, за исключением леммы 3, принадлежит автору. Теоремы 3, 4, 5 доказаны автором самостоятельно.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю A.A. Кузнецову за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны. Отдельная благодарность сотрудникам кафедры прикладной математики КрасГАУ: Л .Р. Тухватуллиной, К.А. Филиппову и A.A. Дуж, за ценные советы и полезные замечания при обсуждении моей работы, - за доброжелательность и внимательное отношение.

Результаты диссертации докладывались автором на "Мальцев-ских чтениях" (г. Новосибирск, 2009, 2010), на XLV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (г. Новосибирск, 2009), на Международной конференции "Алгебра, логика и приложения" (г. Красноярск, 2010). Результаты диссертации обсуждались на Красноярском городском алгебраическом семинаре (СФУ) и на семинаре "Математические системы" (КрасГАУ).

1. Беляев В.В. Локально конечные группы Шевалле // Исследования по теории групп. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. - С. 39-50.

2. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы.- М.: Наука, 1968. 180 с.

3. Горенстейн Д. Конечные простые группы. М.: Мир, 1985. - 560 с.

4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.В. Основы теории групп.- М.: Наука, 1982. 288 с.

5. Каргаполов М.И. О проблеме О.Ю. Шмидта // Си. матем. журн.- 1963. Т. 4, №1. - С. 232-235.

6. Лысёпок И.Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. - Т. 60. - С. 4-5.

7. Лыткина Д. В. Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4 // Матем. сист. Красноярск: КрасГАУ, 2005.- Ш. С. 602-617.

8. Лыткина Д.В. Периодические группы, насыщенные группой £/з(9) // Матем. сист. Красноярск: КрасГАУ, 2006. - №5. - С. 32-34.

9. Лыткина Д.В., Мазуров В.Д. Периодические группы, насыщенные группами Ь3(2т) // Алгебра и логика. 2007. - Т. 46, № 5. - С. 520-535.

10. Лыткина Д.В., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных и ее центральными расширениями // Матем. сист.-Красноярск: КрасГАУ. 2006. - №5. - С. 35-45.

11. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976. - 320 с.

12. Рубашкин А.Г., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных Ь2(рп) // Сиб. матем. журн. 2005. - Т. 46, № 6. - С. 1388-1392.

13. Санов'И.Н. Решения проблем Бернсайда для периода 4 // Учен, записки ЛГУ. Сер. матем. 1940. - №10. - С. 166-170.

14. Созутов А.И. О некоторых группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ. -2004. № 3.- С. 101-110.

15. Созутов А.И., Шлепкин А.К. О некоторых группах с конечной инволюцией, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. заметки. 2002. - Т. 72, № 3. - С. 433-447.

16. Тухватуллина Л.Р. О периодических группах, насыщенных конечным множеством конечных простых групп / Д.В. Лыткина, Л.Р. Тухватуллина, К.А. Филиппов // Сиб. матем. журн. 2008. - Т. 49, № 2. - С. 395-400.

17. Тухватуллина Л.Р. О периодических группах, насыщенных группами £/з(2п) / Д.В. Лыткина, Л.Р. Тухватуллина, К.А. Филиппов // Алгебра и логика. 2008. - Т.47, №3. - С. 288-306.

18. Филиппов К.А. Группы, насыщенные конечными неабелевыми группами и их расширениями: дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2006.

19. Шлёпкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // Сб. тез. III меж-дунар. конф. по алгебре, 23-28 авг. 1993. Красноярск,1995. -С. 369.

20. Шлёпкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Алгебра и логика. 1998,- Т. 37, № 2. - С. 224-245.

21. Шлёпкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами и^(2п) // Алгебра и логика. 1998. - Т. 37, № 5. - С. 606-615.

22. Шлёпкин А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: дис. . д-ра физ.-мат. наук. Красноярск, 1998. - 163 с.

23. Шлёпкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. труды. 1998.- Т. 1, № 1. - С. 129-138.

24. Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простым группами // Матем. сист. -Красноярск: КрасГАУ, 2004. № 2,- С. 96-100.

25. Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Сиб. матем. журн. 2004. - Т. 45, № 6. - С. 1397-1400.

26. Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика. 2005. - Т. 44, № 1. - С. 110-119.

27. Шунков В.П. О периодическх группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. 1972,- Т. 11, № 4. - С. 470-494.

28. Ivanov S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Int. J. of Algebra and Computation. 1994. - V. 4. - P. 2.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

29. Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы ¿2(5) // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. - Т. 10, вып.1.- С. 88-92.

30. Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О группе Шункова, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. - Т. 6, №2. - С. 177-185.

31. Панюшкин Д.Н. Строение нормализатора силовской З-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной конечными простыми группами <31/2(3П) // Матем. сист. Красноярск: КрасГАУ, 2009. - №7. - С. 48-51.

32. Панюшкин Д.Н. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы Ь2(р) // Матем. сист. Красноярск: КрасГАУ, 2009. - №8.- С. 68-73.

33. Панюшкин Д.Н. Строение нормализатора силовской З-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной группами СЬ2(3П) // Сборник тезисов матем. ХЬУП междунар. науч. студ. конф. -НГУ. Новосибирск, 2009. - С. 117.