Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп

Шлепкин, Алексей Анатольевич

Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Шлепкин, Алексей Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп»

Автореферат диссертации на тему "Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп"

На правах рукописи

ШЛЕПКИН АЛЕКСЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

ГРУППЫ, НАСЫЩЕННЫЕ ПРЯМЫМИ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4 АПР 2013

Красноярск-2013

005051375

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Красноярский государственный аграрный университет».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Лыткина Дарья Викторовна

Официальные оппоненты;

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Омский государственный университет имени Ф. М. Достоевского »

Защита состоится 26 апреля 2013 г. в 11 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.099.02, ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета, 660041, г. Красноярск пр. Свободный, 79/10.

Автореферат разослан 4А" марта 2013 г. Ученый секретарь

Махнев Александр Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, Институт математики и механики УрО РАН, отдел алгебры и топологии, заведующий

Сучков Николай Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, Сибирский федеральный университет, кафедра высшей математики-4, профессор

диссертационного совета

Бущуева Наталья Александровна

Общая характеристика работы

Актуальность темы. За последние два десятилетия в теории групп получило развитие направление^ связанное с понятием насыщенности [19].

Пусть X — некоторое множество групп. Группа С насыщена группами из X (или насыщена множеством X), если любая конечная подгруппа из (? содержится в подгруппе группы С, изоморфной некоторой группе из X.

В первоначальных исследованиях периодических групп с условием насыщенности предполагалось, что X - некоторое множество конечных простых неабелевых групп. Это привело к постановке вопроса 14.101 в Коуровской тетради [5]:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

При решении этого вопроса возникла необходимость характеризации групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп. А.К. Шлёп-кин в [20], изучая периодическую группу С, насыщенную конечными простыми группами Де(3"), вначале рассматривал централизатор инволюции х из С7. Как оказалось, Са(х) насыщен прямыми произведениями конечных групп вида ¿2(3") х ¿?2, где ¿?2 — группа порядка два. Используя этот факт, удалось показать, что Сс(х) ~ £г(<5) х ¿Гг, где <2 — локально конечное поле характеристики три, а затем и доказать требуемый изоморфизм С ~ В.е{С2). Из результатов С.В. Иванова [27] и И.Г. Лысенока [9] следует, что бернсай-довы группы В(т, п) достаточно большого четного периода п не локально конечны и насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе, причем число множителей прямого произведения может быть сколь угодно большим. Далее, Б. Амберг и Л.С. Казарин [23] доказали, что периодическая группа, насыщенная группами диэдра, локально конечна. Таким образом, актуален общий вопрос о локальной конечности периодической группы, насыщенной прямыми произведениями различных конечных групп.

Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, изучались А.И. Созутовым, К.А. Филипповым, В.Д. Мазуровым, Д.В. Лыткиной, Д.Н. Панюшкиным [10-15,17].

В обзоре [8] приведена библиография работ, в которых исследовались группы с условием насыщености, в частности группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, и сфорулированы основные проблемы, связанные с изучением групп, насыщенных группами из заданного множества групп.

В 1954 году Б. Нойман опубликовал работу [28], в которой, в частности, доказал свою знаменитую лемму о том, что если группа покрывается конечным числом смежных классов по нескольким подгруппам, то индекс одной из этих подгрупп конечен. В том же году в [29] Б. Нойман специально рассмотрел вопрос о покрытии групп конечным числом п смежных классов и показал, что в случае, когда такое покрытие является несократимым, все участвующие в нем подгруппы имеют конечные индексы, ограничив сверху эти индексы функцией, зависящей только от п (теорема Ноймана).

Значение этих результатов Ноймана в исследованиях групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп, связано с тем, что они гарантируют существование в группе нормальной подгруппы конечного индекса при условии, что группа обладает конечным покрытием. Д.В. Лыткина и К.А. Филиппов в [10] исследовали периодическую группу (7, насыщенную множеством прямых произведений конечных групп вида Ьп{т>п) х В том случае, когда С содержит нормальную нетривиальную подгруппу, й ~ х г2,

где <3 — локально конечное поле характеристики 2. В противном случае, то есть когда С — простая группа, возникает целый класс периодических не локально конечных групп с указанным выше насыщающим множеством, существование которого представляет отдельную задачу в теории периодических групп [10-12]. В связи со сказаннным выше, доказательство существования в группе, насыщенной прямыми произведениями конечных групп, конечных несократимых покрытий является актуальной задачей.

образующими получили название свободных бернсайдовых групп и обозначение В(т,п). Перечислим известные к настоящему времени результаты по данным группам. Группа В(т,п) конечна для п = 2 (тривиальный случай), п = 3 (У. Бернсайд, 1902 [24]), п- 4 (при m = 2: У. Бернсайд, 1902 [24], для m > 2: И.Н. Санов, 1940 [16]), п = 6 (М. Холл, 1958 [26]). В(тп, п) бесконечна для нечетных п > 665 (С.И. Адян, П.С. Новиков, 1975 [1]) и для достаточно больших четных п (C.B. Иванов, 1994 [27], И.Г. Лысенок, 1996 [9]). Для других периодов, наименьший из которых равен 5, вопрос о конечности В(т, п) остается открытым.

В 1950 году В. Магнусом была поставлена еще одна проблема, известная как «ослабленная проблема Бернсайда». В ней требовалось выяснить, существует ли максимальная конечная периодическая группа Въ(т,п) с данным числом m порождающих элементов и фиксированным периодом п. Связь ослабленной проблемы Бернсайда с основной проблемой сводится к тому, что если \В{т, тг)| < оо, то В(т,п) = Во(т,п). Решение ослабленной проблемы Бернсайда для периода 5 приведено в [4]. Наибольший интерес представляет группа f?(2,5), поскольку эта группа имеет наименьший период и наименьшее число порождающих элементов в сравнении с другими бернсайдовыми группами, конечность которых не определена. Отметим вопрос о подгруппах группы В(2,5) при условии ее бесконечности, поставленный Ч. Симсом [30], ответ на который к настоящему времени не известен.

Вопрос 1: Существуют ли в В(2,5) деупорождениые нециклические подгруппы, неизоморфные В(2,5) ?

Ч. Симсом в [30] были получены два соотношения длины 30 (соотношения 1, 2 из таблицы 1) как необходимые условия существования в 5(2,5) конечных нециклических подгрупп порядка 25. Однако сами эти подгруппы он не указывает. A.A. Кузнецов в своей докторской диссертации приводит ряд тождеств, минимальное из которых имеет длину 47, являющихся достаточными условиями существования вВ(2,5) подгрупп порядка 25 [6, теорема 11]. Для каждого из полученных соотношений он указал соответствующую подгруппу. Более того, A.A. Кузнецов и А.К. Шлёпкин показали, что невыполнение соотношений длины 30 из таблицы 1 влечет бесконечность В{2,5) [7].

Таким образом, результаты Ч. Симса, A.A. Кузнецова и А.К. Шлёпкина

позволяют сформулировать следующую гипотезу.

Если в В(2,5) есть подгруппы порядка 25, то 73(2,5) конечна.

В свете высказанной гипотезы нахождение условий существования (несуществования) прямых произведений в В(2,5) является актуальной задачей.

Цель диссертации. Исследовать группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп со следующей структурой множителей: конечные простые неабелевы группы, элементарные абелевы 2-группы, циклические группы нечетного порядка, сплетенные группы. Установить строение исследуемых групп.

Методы исследований. Используются методы абстрактной теории групп и компьютерные вычисления.

Научная новизна и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Все основные результаты являются новыми, они могут быть использованы в дальнейших подобных исследованиях групп, а также при чтении спецкурсов по теории групп.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на международной студенческой конференции «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, 2010 г.), на школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011 г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова «Алгебра и математическая логика» (Казань, 2011 г.), на международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2011 г.), на международной студенчекой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2012 г.), на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Н. Черникова (Киев, 2012 г.). Результаты диссертации обсуждались на Красноярском городском алгебраическом семинаре и на семинаре «Математические системы» в КрасГАУ.

Основные результаты диссертации.

1. Установлено существование и строение периодической части группы Шункова, насыщенной группами вида Ь2(2п) х 1т, где 1т - элементарная абелева 2-группа порядка 2т (здесь натуральное п фиксируется, а т не фиксируется) (теорема 1).

2. Дано описание периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп вида ¿2(2") х V, где V — конечная циклическая группа нечетного порядка, натуральное пи |У| не фиксируются (теорема 2).

3. Дано описание бесконечной 2-группы, насыщенной сплетенными группами (теорема 6).

4. Получено новое доказательство теоремы Ноймана, на основе которого установлена связь между индексами подгрупп из несократимых покрытий в теореме Ноймана с элементами последовательности Сильвестра (теорема 9).

5. Получены достаточные условия существования в В{2,5) нециклических двупорожденных подгрупп, неизоморфных 5(2,5) (теорема 10).

Публикации. Результаты опубликованы в работах [31-41], из них шесть работ в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Нумерация теорем и лемм общая. Текст диссертации содержит 80 страниц, включая таблицы, список литературы содержит 54 наименования.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения и пяти глав.

Во введении рассматривается актуальность темы диссертационного исследования и формулируются основные результаты.

В первой главе рассматриваются известные факты и вспомогательные утверждения.

Во второй главе изучаются группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп.

В пункте 2.1 исследуются группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп и групп £2(2П).

Напомним, что группой Шункова называется группа С, в которой любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную группу, и это свойство сохраняется при переходе к факторгруппам по конечным подгруппам [21]. В настоящее время известно много примеров периодических групп Шункова, не являющихся не только локально конечными, но и бинарно

конечными, например, конструкции A.B. Рожкова, А.И. Созутова, В.А. Середы. Более того, группа Шункова, порожденная элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп (A.A. Череп [18]). Поэтому для таких групп актуален вопрос о расположении в них элементов конечных порядков.

Пусть Э? = {L2{q) х In | п е N}, где q = 2к — фиксированное число, 1п — прямое произведение п экземпляров группы порядка 2.

Доказана следующая

Теорема 1. Группа Шункова, насыщенная группами из множества 3?, обладает периодической частью, которая изоморфна L2(q) х I, где I — группа периода 2.

В пункте 2.2 исследуются группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями линейных групп размерности два на циклические группы. Пусть (Я - некоторое непустое множество неизоморфных циклических групп нечетного порядка, а Ш - некоторое непустое множество неизоморфных групп L2(2m). Положим, X = {X х Y | X € Ш, Y е ОТ}. Таким образом, множество X состоит из набора конечных групп, каждая из которых является прямым произведением двух групп X и У, где X берется из множества ОТ, а У — из множества 9t.

В работе [14] была доказана локальная конечность периодической группы Шункова, насыщенной группами из множества X при дополнительном ограничении: |F|) = 1 для любого элемента (X х Y) е X. Оказалось, что от этого ограничения можно избавиться.

Теорема 2. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из множества X, локально конечна и изоморфна прямому произведению L х V, где L ~ L2(Q) для некоторого локально конечного поля Q характеристики два, а V — локально циклическая группа без инволюций.

В пункте 2.3 исследуются группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелевых групп.

Пусть М — конечная простая неабелева группа, 3 — множество конечных групп Mfc, являющихся прямыми произведениями конечного числа групп Аг,

i = 1,..., к, каждая из которых изоморфна М. Более точно, Мк = Ai х А2 х ... х А, х ... х Ait, г = 1,..., fc,

где Д ~ М, а

С = {Mk\k = 1,2,...}.

Таким образом, множество 3 состоит из всевозможных прямых произведений конечного числа групп Д, каждая из которых изоморфна М.

Очевидно, что бесконечная прямая степень Р группы М, т.е. прямое произведение бесконечного числа групп, каждая из которых изоморфна М, насыщена множеством 3-

Теорема 3. Существует счетная группа, насыщенная множетвом 3 и не изоморфная Р.

Теорема 4. Пусть £ - конечное непустое множество конечных групп, в каждой из которых силовская 2-подгруппа содержит свой централизатор. Если G — периодическая группа, насыщенная группами из то G £ £.

Пусть множество Т состоит из всех конечных простых неабелевых групп, в которых централизатор силовской 2-подгруппы не является 2-группой.

Обозначим через £! множество всех конечных простых неабелевых групп и положим # = Д—%. Пусть {Li, L2,..., Ln} — фиксированный набор элементов множества £ и L = Li х ... х L, х ... х Ln — прямое произведение групп L, (г = 1,п). С использованием результата, доказанного в теореме 4, в работе получено следующее утвеждение.

Теорема 5. Пусть периодическая группа G насыщена группой L. Тогда G-L.

Теорема 1 получена автором лично и опубликована в совместной работе с A.A. Дуж [31]. Теорема 2 получена в нераздельном соавторстве с A.A. Дуж. Она опубликована в [33]. Теорема 3 получена автором лично и опубликована в [32]. Теоремы 4, 5 — получены в нераздельном соавторстве с И.В. Сабодах. Они опубликованы в [32].

являются силовскими 2-подгруппами некоторых конечных простых групп, а именно групп £3(9) при q = 1(тпойА) и при д = — 1(тодА). В работе [25] доказано, что других конечных простых групп со сплетенной силовской 2-подгруппой нет. Таким образом, изучение 2-групп, насыщенных сплетенными группами, является необходимым этапом в изучении групп, насыщенных простыми группами £3(д) и 11з(д). Доказаны следующие результаты.

Теорема 6. Бесконечная 2-группа, насыщенная сплетенными группами, изоморфна сплетению бесконечной локально циклической 2-группы и группы порядка 2.

Построен Пример 1, показывающий, что теорема 6 для произвольных периодических групп неверна. Однако для некоторых классов групп, в частности для локально конечных групп и групп Шункова, такое обобщение возможно.

Теорема 7. Пусть <3 — локально конечная группа, насыщенная сплетенными группами. Тогда С? = (Ах В) X (у), где Л" = В, А — локально циклическая группа и \у\ = 2.

Теорема 8. Пусть в — периодическая группа Шункова, насыщенная сплетенными группами. Тогда в = (Ах В)\ (и), где А" = В, А — локально циклическая группа и |г>| — 2.

Теоремы 6-8 получены автором лично и опубликованы в [36].

В четвертой главе рассматриваются группы, предствимые в виде объединения конечного числа смежных классов по различным подгруппам. Дается другое доказательство теоремы Ноймана. В нем оценки индексов напрямую связываются с последовательностью Сильвестра.

Напомним, что последовательностью Сильвестра называется числовая последовательность VI, у2,..., ип,..., где VI = 2,уп = - уп_г + 1 при п > 1.

Теорема 9. Пусть группа (3 представима в виде объединения конечного числа смежных классов по подгруппам Яь • • • , Нп,

в = а1Нг и а2Н2 и • • • и апНп = и щЩ

¿=1

= и щЩ Ф С «=1,

для любого

Тогда

(а) существует такой г, что

\С : Щ\ < п;

(б) для любого г

: Щ\ <уп- 1,

где уп — п-й член последовательности Сильвестра.

Приведенное доказательство теоремы Ноймана (теоремы 9) является новым, получено автором лично и опубликовано в [34].

В пятой главе исследуются подгруппы свободной 2-порожденной бернсай-довой группы периода 5. Получены достаточные условия положительного ответа на упомянутый выше вопрос 1. Обозначим через 0,1 порождающие элементы В(2,5).

Теорема 10. Пусть в 5(2,5) выполнено хотя бы одно соотношение из таблицы 1. Тогда в В(2,5) существуют нециклические двупорожденные подгруппы, неизоморфные В(2,5).

Фрагмент таблицы 1 из диссертации:

1 011010010110010101100101101001 = 101010011001101010011001101010

2 010101100110010101100110010101 = 100101101001101010011010010110

22 01010110011010100110100101100101 = 10010110010110100110010101100110

23 01011001011010011010100110010101 = 10011001010110011010010110010110

Теорема 10 получена автором лично и опубликована в [35]. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Дарье Викторовне Лыткиной за внимание и помощь при работе над данной диссертацией.

Литература

[1] Адян, С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах / С.И. Адян. — М.: Наука, 1975. - 335 с.

[2] Беляев, В.В: Группы с почти регулярной инволюцией / В.В. Беляев // Алгебра и логика. — 1987. — Т. 26, № 5. — С. 531-536.

[3] Кондратьев, A.C. 2-сигнализаторы конечных простых групп / A.C. Кондратьев, В.Д. Мазуров // Алгебра и логика. — 2003. — Т. 42, № 5. — С. 594-623.

[4] Кострикин, А.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5 /А.И. Кострикин // Изв. АН СССР. Сер. Матем. — 1995. — Т. 19, № 3. - С. 233-244.

[5] Коуровская тетрадь, Нерешенные вопросы теории групп. 16-е изд., — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2006.

[6] Кузнецов, А. А. Комплекс алгоритмов моделирования дискретных алгебраических систем: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.09 / Кузнецов Александр Алексеевич. — Красноярск, 2009. — 191 с.

[7] Кузнецов, А. А. О различии бернсайдовых группД)(2,5) и В(2,5) / A.A. Кузнецов А.К. Шлепкин //Труды ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 2. — С. 133-138.

[8] Кузнецов, А. А. Группы, насыщенные заданным множеством групп / A.A. Кузнецов К.А.Филиппов //Сибирские электронные математические известия. — 2011. — № 8. — С. 230-246.

[9] Лысёнок, И.Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода / И.Г. Лысёнок // Изв. РАН. Сер. матем., - 1996. - Т.60, № 3. - С. 3-224.

[10] Лыткина, Д.В. О периодических группах, насыщенных Ь^ц) и её центральными расширениями /Д.В. Лыткина, К.А. Филиппов // Матем. системы. — Красноярск: Изд-во КрасГАУ. — 2006. — № 5. — С. 35-45.

[11] Лыткина, Д.В. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых групп /Д.В. Лыткина// Сиб. мат. журнал. - 2011. - Т. 52, № 2. - С. 340-349.

[12] Лыткина, Д.В. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых групп. II /Д.В. Лыткина// Сиб. мат. журнал. - 2011. - Т. 52, № 5. - С. 1096-1112.

[13] Панюшкин, Д.Н. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы ¿2 (5) / Д.Н. Панюшкин, Л.Р. Тухватуллина, К.А. Филиппов // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. — 2010. — Т. 10, № 1. — С. 88-92.

[14] Панюшкин, Д.Н. О группе Шункова, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп / Д.Н. Панюшкин, Л.Р. Тухватуллина, К.А. Филиппов // Труды ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 177-185.

[15] Панюшкин, Д.Н. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями различных групп: дис.... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Панюшкин Денис Николаевич. — Красноярск, 2010. — 66 с.

[16] Санов, И.Н. Решение проблемы Бернсайда для периода 4 / И.Н. Санов // Учен, записки ЛГУ. Сер. Матем. — 1940. — № 55. — С. 166-170.

[17] Филлипов, К.А. Группы с условиями насыщенности: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.06 / Филиппов Константин Анатольевич. — Красноярск, 2012. - 121 с.

[18] Череп, A.A. О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно конечной группе /A.A. Череп// Алгебра и логика. - 1987. — Т. 26, № 4.

- С. 518-521.

[19] Шлепкин, А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы / А.К. Шлепкин // Сб. тезисов 3-й междунар. конф. по алгебре. — Красноярск, 1993. — С. 363.

[20] Шлепкин, А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.06 /Шлепкин Анатолий Константинович. — Красноярск, 1998. — 163 с.

[21] Шунков, В.П. Об одном классе р-групп /В.П. Шунков// Алгебра и логика. — 1970. - Т. 9, № 4. - С. 484-496.

[22] Шунков, В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией / В.П. Шунков // Алгебра и логика. — 1972. — Т. 11, № 4. —

C. 470-494.

[23] Amberg, В. Periodic groups saturated by dihedral subgroups / B. Arnberg, L. Kazarin // Book of abstracts of the international algebraic conference dedicated to 70-th birthday of Anatoly Yakovlev. Saint-Petersburg, — 2010.

- P. 79-80.

[24] Burnside, W. On an unsettled question in the theory of distonctinupns groups /W. Burnside // J. Pure Appl. Math. — 1902. — № 33. — P. 230-238.

[25] Alperin, J.L. Finite simple groups of 2 - rank two /J.L. Alperin, R. Brauer,

D. Gorenstein // Scripta math. — 1973. — V. 29, № 3-4. — P, 191-214.

[26] Hall, M. Jr. Solution of the Burnside problem for exponent six /М. Hall// Illinois J. of Math. — 1958. — V. 2, issue 4B. — P. 764-786.

[27] Ivanov, S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents / S.V. Ivanov // Int. J. of Algebra and Computation. - 1994. — № 4. — P. 1-308.

[28] Neumann, B.H. Groups with finite classes of conjugate elements /В.Н. Neumann// Proc. London Math. Soc. — 1951. - V. 1(3), № 1. — P. 178-187.

[29] Neumann, B.H. Groups covered by finitely many cosets /В.Н. Neumann// Publl. Math. Debrecen. - 1954. — V. 3 - P. 227-242.

[30] Sims, C.C. The Knuth-Bendix Procedure for Strings as a Substitute for coset Enumeration /С.С. Sims// Journal of symbolic computation. — 1991.

- V. 12, issue 4-5. - P. 439-442.

Работы автора по теме диссертации, опубликованные в изданиях из перечня ВАК

[31] Дуж, A.A. О периодической группе Шункова, насыщенной прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп и ¿2(2") / A.A. Дуж, A.A. Шлепкин // Труды ИММ УрО РАН. — 2011. - Т. 17, № 4. - С. 83-87.

[32] Сабодах, И.В. Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых пеабелевых групп. /И.В. Сабодах A.A. Шлепкин// Вестник НГУ. Серия: математика, механика и информатика. — 2012. — Т. 12, № 2. - С. 123-126.

[33] Дуж, A.A. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп. /' A.A. Дуж, A.A. Шлепкин // Владикавказкий математический журнал. - 2012. - Т. 14, № 2. - С. 35-38.

[34] Шлепкин, A.A. О лемме Ноймана и последовательности Сильйестра. /A.A. Шлепкин // Сибирские электронные математические известия.'

- 2012. - Т. 9. - С. 439-444.

[35] Шлепкин, A.A. О подгруппах свободной двупорожденной бернсайдовой группы периода пять /A.A. Шлепкин// Вестник СибГАУ. — 2012. — № 4.

- С. 70-75.

[36] Шлепкин, A.A. Периодические группы, насыщенные сплетенными группами /A.A. Шлепкин // Сибирские электронные математические известия. — 2013. - Т. 10. - С. 56-64.

Прочие работы автора по теме диссертации

[37] Кузнецов, A.A. Компьютерный анализ соотношений в бернсайдовых группах / A.A. Кузнецов A.A. Шлепкин // Молодежь и современные информационные технологи: сборник трудов VIII всероссийской научно-практической конференции. — НИТГГУ. — Томск, 2010. — С. 119-120.

[38] Сабодах, И.В Группы, насыщенные прямыми произведениями линейных групп размерности два /И.В. Сабодах A.A. Шлепкин// Современные проблемы математики: тезисы 42-й всероссийской молодежной школы-конференции. — ИММ УрО РАН. — Екатеринбург, 2011. — С. 240.

[39] Сабодах, И.В. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями группы Ь2{5) /И.В. Сабодах A.A. Шлепкин// Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова. К(П)ФУ. — Казань, 2011. — С. 159-160.

[40] Шлепкин, А. А О группах, пред ставимых в виде объединения конечного числа смежных классов. /A.A. Шлепкин// Студент и научно-технический прогресс. Математика: материалы 50-й международной научной студенческой конференции. НГУ. — Новосибирск, 2012. — С. 23.

[41] Shlyopkin, A.A. Periodic groups saturated by the groups GL2(3™)/A.A. Slyopkin// Book of abstracts of the international conference on algebra, dedicated 100th anniversary of S.M. Chernikov. Dragomanov National pedagogical university. — Kyiv, Ukraine, 2012. — P. 144.

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 24.49.04.953.П. 000381.09.03 от 25.09.2003 г. Подписано в печать 15.03.2013. Формат 60x84/16. Бумага тип. № 1. Печать - ризограф. Усл. 1,0 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 433 Издательство Красноярского государственного аграрного университета 660017, Красноярск, ул. Ленина, 117

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шлепкин, Алексей Анатольевич, Красноярск

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ „КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИ1

ШЛЕПКИН АЛЕКСЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

ГРУППЫ, НАСЫЩЕННЫЕ ПРЯМЫМИ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

04201356866

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, доцент Д.В. Лыткина

Красноярск-2013

Оглавление

Введение 1 3

1 Известные факты и вспомогательные утверждения 13

2 Группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп 19

2.1 О периодической части группы Шункова, насыщенной прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп

и групп Ь2{2п) ............................19

2.2 Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями линейных групп размерности два на циклические группы.....29

2.3 Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелевых групп .......................33

3 Периодические группы, насыщенные сплетенными группами 41

4 Группы, представимые в виде объединения конечного числа смежных классов 55

5 Подгруппы свободной двупорожденной группы периода пять 64 Литература 74

Введение

Актуальность темы. За последние два десятилетия в теории групп получило развитие направление связанное с понятием насыщенности [30].

Пусть X — некоторое множество групп. Группа (7 насыщена группами из X (или насыщена множеством X), если любая конечная подгруппа из С содержится в подгруппе группы С, изоморфной некоторой группе из X.

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничишь в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

При решении этого вопроса возникла необходимость характеризации групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп. А.К. Шлёп-кин в [33], изучая периодическую группу (7, насыщенную конечными простыми группами Де(3"), вначале рассматривал централизатор инволюции х из С. Как оказалось, Сс(х) насыщен прямыми произведениями конечных групп вида Ь2{Зп) х где ^ — группа порядка два. Используя этот факт, удалось показать, что Сс(х) ~ ($) х где ф — локально конечное поле характеристики три, а затем и доказать требуемый изоморфизм С ~ Яе(С}). Кроме того, как показали С.В. Иванов [40] и И.Г. Лысенок [17], бернсай-довы группы В(т, п) достаточно большого четного периода п не локально

конечны и насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе, причем число множителей прямого произведения может быть сколь угодно большим. Далеее, Б. Амберг и Л.С. Казарин [36] доказали, что периодическая группа, насыщенная группами диэдра, локально конечна. Таким образом, актуален общий вопрос о локальной конечности периодической группы, насыщенной прямыми произведениями различных конечных групп.

Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, изучались А.И. Созутовым, К.А. Филипповым, В.Д. Мазуровым, Д.В. Лыткиной, Д.Н. Панюшкиным [18-20,22-24,27].

В обзоре [16] приведена библиография работ, в которых исследовались группы с условием насыщености, в частности, группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, и сфорулированы основные проблемы, связанные с изучением групп, насыщенных группами из заданного множества групп.

В 1954 году Б. Нойман опубликовал работу [41], в которой, в частности, доказал свою знаменитую лемму о том, что если группа покрывается конечным числом смежных классов по нескольким подгруппам, то индекс одной из этих подгрупп конечен. В том же году в [42] Б. Нойман специально рассмотрел вопрос о покрытии групп конечным числом п смежных классов и показал, что в случае, когда такое покрытие является несократимым, все участвующие в нем подгруппы имеют конечные индексы, ограничив сверху эти индексы функцией, зависящей только от п (теорема Ноймана).

Значение этих результатов Ноймана в исследованиях групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп, связано с тем, что они гарантируют существование в группе нормальной подгруппы конечного индекса при условии, что группа обладает конечным покрытием. Д.В. Лыткина и К.А. Филиппов в [18] исследовали периодическую группу С, насыщенную множеством прямых произведений конечных групп вида Ь2(рп) х В том случае, когда С содержит нормальную нетривиальную подгруппу, С ~ Ь^((2) х Z2,

где Q — локально конечное поле характеристики 2. В противном случае, то есть когда G — простая группа, возникает целый класс периодических не локально конечных групп с указанным выше насыщающим множеством, существование которого представляет отдельную задачу в теории периодических групп [18-20]. В связи со сказаннным выше, доказательство существования в группе, насыщенной прямыми произведениями конечных групп, конечных несократимых покрытий является актуальной задачей.

Одной из известных проблем теории групп является проблема Бернсайда о периодических группах фиксированного периода, поставленная английским математиком У. Бернсайдом в 1902 году [37]. Пусть G — группа, порожденная m ^ 2 элементами, в которой каждый элемент в степени п равен единичному элементу группы. Будет ли такая группа конечной? Впоследствии свободные группы из соответствующего многообразия групп периода пет, образующими получили название свободных бернсайдовых групп и обозначение В(т,п). Перечислим известные к настоящему времени результаты по данным группам. Группа В(т, п) конечна для п — 2 (тривиальный случай), п = 3 (У. Бернсайд, 1902 [37]), п = 4 (при m = 2: У. Бернсайд, 1902 [37], для m > 2: И.H. Санов, 1940 [25]), п = 6 (М. Холл, 1958 [39]). В(т,п) бесконечна для нечетных п > 665 (С.И. Адян, П.С. Новиков, 1975 [1]) и для достаточно больших четных п (C.B. Иванов, 1994 [40], И.Г. Лысенок 1996 [17]). Для других периодов, наименьший из которых равен 5, вопрос о конечности В(т,п) остается открытым.

группа В(2,5), поскольку эта группа имеет наименьший период и наименьшее число порождающих элементов в сравнении с другими бернсайдовыми группами, конечность которых не определена. Отметим вопрос о подгруппах группы 5(2,5) при условии ее бесконечности, поставленный Ч. Симсом [43], ответ на который к настоящему времени не известен.

Вопрос 1: Существуют ли в В (2, 5) двупорожденные нециклические подгруппы, неизоморфные В(2,5) ?

Ч. Симсом в [43] были получены два соотношения длины 30 (соотношения 1, 2 из таблицы 1) как необходимые условия существования в В(2, 5) конечных нециклических подгрупп порядка 25. Однако сами эти подгруппы он не указывает. A.A. Кузнецов в своей докторской диссертации приводит ряд тождеств, минимальное из которых имеет длину 47, являющихся достаточными условиями существования в В(2, 5) подгрупп порядка 25 [12, теорема 11]. Для каждого из полученных соотношений он указал соответствующую подгруппу. Более того, A.A. Кузнецов и А.К. Шлёпкин показали, что невыполнение соотношений длины 30 из таблицы 1 влечет бесконечность В(2,5) [15].

Таким образом, результаты Ч. Симса, A.A. Кузнецова и А.К. Шлёпкина позволяют сформулировать следующую гипотезу.

Если в В(2,5) есть подгруппы порядка 25, то В(2,5) конечна.

Основные результаты диссертации.

1. Установлено существование и строение периодической части группы Шункова, насыщенной группами вида ¿2(2") х

Imi где Im элементарная абелева 2-группа порядка 2т (здесь натуральное п фиксируется, а т не фиксируется) (Теорема 1).

2. Дано описание периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп вида L2(2n) xV, где V — конечная циклическая группа нечетного порядка, натуральное п и |У| не фиксируются (Теорема 2).

3. Дано описание бесконечной 2-группы, насыщенной сплетенными группами (Теорема 6).

5. Получены достаточные условия существования в 5(2,5) нециклических двупорожденных подгрупп, неизоморфных В(2,5) (Теорема 10).

Диссертация состоит из введения и пяти глав.

В первой главе рассматриваются известные факты и вспомогательные утверждения.

Во второй главе изучаются группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп.

В пункте 2.1 исследуются группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп и групп ¿2(2").

Напомним, что группой Шункова называется группа G, в которой любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную группу и это свойство сохраняется при переходе к факторгруппам по конечным подгруппам [34]. В настоящее время известно много примеров периодических групп Шункова, не являющихся не только локально конечными, но и бинарно конечными, например, конструкции A.B. Рожкова, А.И. Созутова, В.А. Середы. Более того, группа Шункова, порожденная элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп (A.A. Череп [28]). Поэтому для таких групп актуален вопрос о расположении в них элементов конечных порядков.

Пусть = {L<2(q) х In | п 6 N}, где q = 2к — фиксированное число, 1п — прямое произведение п экземпляров группы порядка 2. Доказана следующая

Теорема 1. Группа Шункова, насыщенная группами из множества обладает периодической частью, которая изоморфна Ь2(д) х I, где I — группа периода 2.

В пункте 2.2 исследуются группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями линейных групп размерности два на циклические группы. Пусть ОТ - некоторое непустое множество неизоморфных циклических групп нечетного порядка, а 9Л - некоторое непустое множество неизоморфных групп 1/2 (2т). Положим Э£ = {X х У | X £ 9Я, У € 01}. Таким образом, множество X состоит из набора конечных групп, каждая из которых является прямым произведением двух групп X и У, где X берется из множества Ш1, а У — из множества ОТ.

В работе [23] была доказана локальная конечность периодической группы Шункова, насыщенной группами из множества X при дополнительном ограничении: (|Х|, |У|) = 1 для любого элемента (X х У) 6 X. Оказалось, что от этого ограничения можно избавиться.

Теорема 2. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из множества X, локально конечна и изоморфна прямому произведению Ь х V, где Ь ~ Ь2(0) для некоторого локально конечного поля ф характеристики два, а V — локально циклическая группа без инволюций.

В пункте 2.3 исследуются группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелевых групп.

Пусть М — конечная простая неабелева группа, 3 — множество конечных групп Мк, являющихся прямыми произведениями конечного числа групп А{, г = 1,..., /с, каждая из которых изоморфна М. Более точно,

Мк = Л\ х А2 х ... х Аг х ... х Ак, г = 1,..., к,

где Аг ~ М, а

^ = {Мк\к — 1,2,...}.

Таким образом, множество 3 состоит из всевозможных прямых произведений конечного числа групп Aiy каждая из которых изоморфна М.

Очевидно, что бесконечная прямая степень Р группы М, т.е. прямое произведение бесконечного числа групп, каждая из которых изоморфна М, насыщена множеством Z-

Теорема 3. Существует счетная группа, насыщенная множетвом 3 и не изоморфная Р.

Пусть множество X состоит из всех конечных простых неабелевых групп, в которых централизатор силовской 2-подгруппы не является 2-группой.

Обозначим через П множество всех конечных простых неабелевых групп и положим $ = О—Т. Пусть {Li, L2,..., Ln} — фиксированный набор элементов множества ^ и L — L\ х ... х Li х ... х Ln - прямое произведение групп Li (г = 1 ,п). С использованием результата, доказанного в теореме 4, в работе получено следующее утвеждение.

Теорема 5. Пусть периодическая группа G насыщена группой L. Тогда G-L.

Теорема 1 получена автором лично и опубликована в совместной работе с A.A. Дуж [44]. Теорема 2 — совместный результат с A.A. Дуж. Он опубликован в [46]. Теорема 3 получена автором лично. Теоремы 4, 5 — совместные результаты с И.В. Сабодах. Они опубликованы в [45].

В третьей главе рассматриваются периодические группы, насыщенные сплетенными группами. Сплетенной группой называется сплетение конечной циклической группы и группы порядка 2. Известно, что сплетенные 2-группы являются силовскими 2-подгруппами некоторых конечных простых групп, а именно, групп L^(q) при q = l(mod4) и Us(q) при q = — l(mod4). В работе [38] доказано, что других конечных простых групп со сплетенной силовской

2-подгруппой нет. Таким образом, изучение 2-групп, насыщенных сплетенными группами, является необходимым этапом в изучении групп, насыщенных простыми группами и £/з(<?). Доказаны следующие результаты.

Построен Пример 1, показывающий, что теорема 6 для произвольных периодических групп неверна. Однако для некоторых классов групп, в частности, для локально конечных групп и групп Шункова такое обобщение возможно.

Теорема 7. Пусть С — локально конечная группа, насыщенная сплетенными группами. Тогда С = (А х В)Х < V >, где Ау = В, А — локально циклическая группа и |г>| = 2.

Теорема 8. Пусть С — периодическая группа Шункова, насыщенная сплетенными группами. Тогда (7 = (А х В)\ < V >, где А° — В, А — локально циклическая группа и |г;| = 2.

Теоремы 6-8 получены автором лично и опубликованы в [49].

Напомним, что последовательностью Сильвестра называется числовая последовательность г»1, г>2,..., уп, ..., где У\ = 2, уп = — ип-\ + 1 при п > 1.

Теорема 9. Пусть группа представима в виде объединения конечного числа смежных классов по подгруппам Н\, ■ ■ ■ , Нп,

С = а\Н\ и а2Я2 и ■ • • и апНп = а{Щ

г=1

^ = и а{Нг Ф в

г=1, г¥=3

для любого ]. Тогда

(а) существует такой г, что

\в : Щ < щ

(б) для любого г

: Щ <уп-1,

где уп — п-й член последовательности Сильвестра.

Приведенное доказательство теоремы Ноймана (теоремы 9) является новым, получено автором лично и опубликовано в [47].

Теорема 10. Пусть в В{2, 5) выполнено хотя бы одно соотношение из

таблицы 1. Тогда в В{2,5) существуют нециклические двупорожденные

подгруппы, неизоморфные В(2, 5).

Фрагмент таблицы 1 из диссертации:

1 011010010110010101100101101001 = 101010011001101010011001101010

2 010101100110010101100110010101 = 100101101001101010011010010110

22 01010110011010100110100101100101 = 10010110010110100110010101100110

23 01011001011010011010100110010101 = 10011001010110011010010110010110

Теорема 10 получена автором лично и опубликована в [48]. Результаты диссертации докладывались автором на международной сту-

денческой конференции «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, 2010 г.), на школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011 г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова «Алгебра и математическая логика» (Казань, 2011 г.), на международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2011 г.), на международной студенче-кой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2012 г.), на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Н. Черникова (Киев, 2012 г.). Результаты диссертации обсуждались на Красноярском городском алгебраическом семинаре и на семинаре «Математические системы» в КрасГАУ.

Глава 1

Известные факты и

вспомогательные

утверждения

Определение 1. [30] Пусть X — некоторое множество групп. Группа С насыщена группами из множ�