Вложения конечных групп в бесконечные группы с условиями конечности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

САБОДАХ ИРИНА ВАЛЕРЬЕВНА

ВЛОЖЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП В БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С УСЛОВИЯМИ КОНЕЧНОСТИ

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 4 СЕН

Красноярск-2014

005552229

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном бюджетном учреждении высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Лыткина Дарья Викторовна.

Официальные оппоненты:

Ревин Данила Олегович,

доктор физико-математических наук, доцент,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Институт математики им. С.Л. Соболева

Сибирского отделения Российской академии наук,

лаборатория теории групп,

ведущий научный сотрудник;

Филиппов Константин Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет», кафедра теоретические основы экономики, доцент.

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева».

Защита состоится 09 » октября 2014 года в 15 : 30 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университета. по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. 8-06.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке и на сайте http://www.sfu-kras.ru.

Автореферат разослан «<¿5-» Ои^'ЩС/Г'^ 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федченко Дмитрий Петрович

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Структура бесконечной периодической группы в значительной степени зависит от наличия в ней множеств конечных групп с заданной структурой и с заданными свойствами вложения этих групп в исходную группу. Одним из понятий, позволяющих эффективно использовать упомянутые выше соображения для установления структуры исследуемой группы, является понятие насыщенности. По определению, группа G насыщена группами из множества групп X, если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из X [18].

Например, простые группы лиева типа над локально конечными полями могут быть охарактеризованы как локально конечные группы, насыщенные группами из множества конечных простых групп лиева типа ограниченного лиева ранга [2].

Из результатов И.Г. Лысенка [7] и C.B. Иванова [21] следует, что берн-сайдовы группы В(т, п) для достаточно больших четных п не локально конечны и насыщены прямыми произведениями конечных групп диэдра. Далее, А.К. Шлепкин и А.Г. Рубашкин [15] показали, что периодическая группа Шункова, насыщенная группами диэдра, локально конечна, и периодическая группа ограниченного периода, насыщенная группами диэдра, конечна. Более того, Б. Амберг и Л. Казарин [20] доказали, что периодическая группа, насыщенная группами диэдра, локально конечна. В работах [3, 4] доказана локальная конечность групп, насыщенных группами из множеств 2Л = {¿2(2ш) х /»i|m, п € N, m > 2}, где In - элементарная абелева 2-группа порядка 2", и ЭТ = {i2(2m) х V}, где V - циклическая группа без инволюций. В работах [11,12] доказана локальная конечность групп, насыщенных груп-

пами из множеств 91 = {¿2(5) х 1п\п = 1,2,...}, где 1п = Z2 х Z2 х - ■ • х Z2,

71 раз

И = {¿2(2") х (tm)\n = 1,2,..., m = 1,2,...}, где (|L2(2")|, |ira|) = 1, и Û\ = {¿2(5) х (ii)}, где |u| = 2k, к = 1,2,... . Таким образом, актуальной является поставленная в [6, проблема 3] задача изучения групп, насыщенных прямыми произведениями различных конечных групп.

Примеры периодических не локально конечпых групп, насыщенных конечным множеством конечных групп (даже одной группой простого порядка р), хорошо известны - это В(т,р) при m > 2 и р > 665 [1]. Однако для случая, когда X состоит из конечного множества конечных простых неабелевых групп, аналогичные примеры не локально конечных групп неизвестны.

В Коуровской тетради [9] А.К. Шлепкиным поставлен вопрос 18.113: Пусть ЯЛ - конечное множество конечных простых групп. Верно ли, что периодическая группа, насыщенная группами из ÜJI, изоморфна одной из групп множества ЯЯ ? Особенно интересен случай, когда 9JI одноэлементно.

Обозначим через 5 множество всех конечных простых неабелевых групп, в которых централизатор силовской 2-подгруппы содержит нетривиальный элемент нечетного порядка. Как показали A.C. Кондратьев и В.Д. Мазуров [5], множество 5 состоит в точности из групп G следующих двух типов:

1. G ~ L{{q), где 5 = ±, q нечетно, k = 2h + ... + 2'", 0 < h < ... < ts, s > 2, и С = Ci х ... х Ся_ 1, где Q - циклическая группа порядка (q — ¿1)2' при 1 < i < s — 2 и порядка (q — <51)2'/(<7 — 61, к)? при г = s — 1.

2. G ~ Eß(q), где q нечетно, и С - циклическая группа порядка (g-51)2-/(3, 9-il).

Здесь и Ьк (д) означает, соответственно, простые группы Ь^) и

£4(<?), а Е£(д) и Е¿"(7) - группы £"6(д) и 2£,6((7).

В [17] доказан следующий результат: Пусть периодическая группа С? насыщена группами из конечного множества конечных простых неабелевых групп ОТ, имеющего пустое пересечение с 3\ Тогда С? конечна и изоморфна некоторой группе множества 1К. Это утверждение показывает, что если периодическая группа С? насыщена группами из конечного множества ОТ, состоящим из конечных простых неабелевых групп, то в большинстве случаев С? конечна и изоморфна одной из групп насыщающего множества ®Я.

В работе [16] описаны периодические группы, насыщенные конечным подмножеством множества 6 всех конечных простых групп 5, обладающих тем свойством, что нечетные порядки элементов централизатора силовской 2-подгруппы из 5 не превосходят числа 3.

Как вытекает из [5], множеству & принадлежит любая конечная простая группа, за исключением групп типа Ьп, [/,,, Ев, 2Ее над некоторыми полями нечетного порядка. В частности, множеству & не принадлежит бесконечное множество групп типов и £/3 над некоторыми полями нечетных характеристик, и в [8] дана классификация периодических групп, насыщенных конечным множеством групп вида ¿з(д) и £/3(9), где д нечетно.

В [13] доказано, что периодическая группа, насыщенная множеством, состоящим из групп ¿г(р") (соответственно 5Ь2(р")), где р и га не фиксируются, изоморфна 1/2(0) (соответственно 51/2(<3)), где С} - локально конечное поле.

Таким образом, актуальным становится обобщение указанных результатов на случай, когда группа насыщена множеством групп, состоящим из

различного рода расширений групп Ь2(р") и 312(рп), в частности, множеством {вЬ2(рп)\п = 1, 2,...}.

В [10, 14, 22] получены некоторые результаты, касающиеся строения силовской р-подгруппы группы (7, насыщенной {СЬ2(рп)\п = 1,2,...}, где р - фиксированное простое число, а также доказано, что локально конечная группа, насыщенная группами из множества{СЬ2{рп)\п = 1,2,...}, локально конечна и изоморфна СЬ2(Р) для локально конечного поля Р характеристики р.

Как известно, структура централизатора инволюции при изучении конечных простых неабелевых групп имеет важное значение для их строения. Аналогичная ситуация складывается и при изучении бесконечных периодических групп, насыщенных конечными простыми неабелевыми группами. Известно, что централизатор инволюции в Ьз(д) изоморфен С^гЫ- Поэтому для изучения групп, насыщенных Ьз(д), необходимо установить структуру централизатора инволюции, который, как нетрудно показать, насыщен Отсюда вытекает актуальность еще одного вопроса, поставленного в [6, проблема 6]: как устроена группа (3, насыщенная группами

ым?

Цель диссертации. Исследование групп, насыщенных расширениями конечных групп.

Методы исследований. Используются методы абстрактной теории групп.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертационной работы являются новыми. Они носят теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории групп и её приложениях.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2011 г.), на 43-й Всероссийской молодежной школе-конференции (Екатеринбург, 2012 г.), на Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2013 г.), на Международной конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения» (Казань, 2014 г.). Результаты диссертации обсуждались на Красноярском городском алгебраическом семинаре (СФУ) и на семинаре «Математические системы» (КрасГАУ).

Основные результаты диссертации.

1. Пусть Sj - конечное непустое множество конечных групп, в каждой из которых силовская 2-подгруппа содержит свой централизатор.

Доказано, что периодическая группа G, насыщенная группами из Sj, принадлежит множеству Sj (теорема 1).

2. Обозначим через 21 множество всех конечных простых неабелевых групп, 33 - множество конечных простых неабелевых групп, у которых в централизаторе силовской 2-подгруппы есть элементы нечетного порядка I, и

положим D = 21\25. Пусть {Li,L2.....Ln} - фиксированный конечный набор

элементов множества D, и пусть группа L = Ly х ... х L; х ... х Ln - прямое произведение групп L( (г = 1,п).

Доказано, что периодическая группа G, насыщенная группой L, изоморфна L (теорема 2).

3. Пусть £3 = {Lz(q),Uz(q)\q нечетно}, 6 - множество всех конечных простых групп 5, обладающих тем свойством, что нечетные порядки элементов централизатора силовской 2-подгруппы из S не превосхо-

дят числа 3, (£ - множество конечных элементарных абелевых 2-групн и ОТ = {Ь х Е\Ь е 6 и £3, Е е <£}.

Доказано, что периодическая группа С7, насыщенная группами из конечного подмножества ОТ, принадлежит множеству ОТ (теорема 3).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [23] -[31], из них две работы опубликованы в изданиях из перечня ВАК [23,24].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы (47 наименований), занимает 57 страницы текста, набранного в пакете ЖЩХ. Нумерация теорем и лемм сквозная.

Содержание работы

В первой главе диссертации собраны вспомогательные результаты, используемые в доказательстве основных результатов. Некоторые из них были получены в процессе работы и приведены с доказательствами.

Во второй главе диссертации изучаются группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелепых групп.

Получены следующие результаты:

Теорема 1. Пусть 5} - конечное непустое множество конечных групп, в каждой из которых силовская 2-подгруппа содержит свой централизатор. Если С - периодическая группа, насыщенная группами ;о55, то С (Е $).

Обозначим через 21 множество всех конечных простых неабелевых групп, © - множество конечных простых неабелевых групп, у которых в централизаторе силовской 2-подгруппы есть элементы нечетного порядка I, и положим 2) = 21\23. Пусть {¿1, ¿2, •••, ¿п} ~ фиксированный конечный набор

8

элементов множества 2), и пусть группа Ь = Ь\ х ... х х ... х Ьп - прямое произведение групп Ьг (г = 1,?г).

Теорема 2. Пусть периодическая группа С насыщена группой Ь. Тогда

В третьей главе диссертации изучаются группы, насыщенные конечным множеством групп, каждая из которых является прямым произведением двух групп, одна из них принадлежит множеству 6 и £з, где £з = нечетно}, (5 - множество всех конечных простых групп

Б, обладающих тем свойством, что нечетные порядки элементов централизатора силовской 2-подгруппы из 5 не превосходят числа 3, а другая принадлежит множеству <£ конечных элементарных абелевых 2-групп.

Положим = {Ь х Е\Ь £ в и £3 ,Е £ £}.

Получен следующий результат:

Теорема 3. Если С - периодическая группа, насыщенная конечным множеством групп из Ш, то С € ПЛ.

В четвертой главе изучаются периодические группы Шункова, насыщенные полными линейными группами размерности два над конечными полями.

Напомним, что под группой Шункова (сопряженно бипримитивно конечной группой [19]) понимается группа, в которой любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу и это свойство сохраняется при переходе к факторгруппе по конечной подгруппе.

Доказаны следующие результаты:

Пусть р - фиксированное простое число, Ор = {(З^г(/•"")Iм 6

9

Теорема 4. Пусть G - периодическая групп а Шункова, насыщенная группами из множества и К - подгруппа из G, изоморфная группе из Тогда Z(K) С Z{G) и Z(G) - локально циклическая группа.

Пусть р - фиксированное простое число, Зр = [PG L2(pn)\n G N).

Теорема 5. Периодические группы Шункова, насыщенные группами из множества 3,,, изоморфны PGLi{Q) для подходящего локально конечного поля характеристики р.

Теорема 6. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из множества {GL2(pn)\n £ N}, изоморфна GL^iQ), где Q - локально конечное поле характеристики р.

Теоремы 1, 2 получены в нераздельном соавторстве с A.A. Шлепки-ным и опубликованы в работах [23,25]. Теорема 3 получена автором лично и опубликована в работах [24,30]. Теоремы 4, 5 получены в нераздельном соавторстве с A.A. Шлепкиным. Теорема 4 опубликована в работе [29]. Теорема 5 опубликована в работе [31]. Теорема 6 получена автором лично.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Д.В. Лыткиной за постановку задачи, помощь в работе и постоянное внимание. Отдельная благодарность А.К. Шлёпкину за ценные советы и полезные замечания при обсуждении работы, за доброжелательность и внимательное отношение.

Литература

1. Адян С.И. Проблема Бериеайда и тождества в группах. - М.: Наука, 1975. - 335 с.

2. Беляев D.D. Локально конечные группы Шевалле // Исследования по теории групп. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. - С. 39-50.

3. Дуж A.A., Шлепкин A.A. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп // Владикавказ, мат. журн. - 2012. - Т. 14. № 2. - С. 35-38.

4. Дуж A.A. Периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями элементарных абелевых 2-групп и простых групп Lo{2m) // Сиб. электронные мат. известия. - 2013. - Т. 10. - С. 558-5G1.

5. Кондратьев A.C., Мазуров В.Д. 2-сигнализаторы конечных простых групп // Алгебра и логика. - 2003. - № 5. - С. 594-623.

6. Кузнецов A.A., Филиппов К.А. Группы, насыщенные заданным множеством групп // Сиб. электронные мат. известия. - 2011. - Т. 8. - С. 230-246.

7. Лысёнок И.Г. Бесконечные берпсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. матем. - 1996. - Т. 60. - С. 4-5.

8. Лыткина Д.В., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных конечным множеством конечных простых групп // Сиб. мат. жури. - 2008. - Т. 49. № 2. - С. 394-399.

9. Нерешенные вопросы теории групп Коуровская тетрадь / Рос. академия наук, Сиб. отделение, Ин-т математики. - Изд. 18-е, доп., включ. Архив решенных задач. - Новосибирск, 2014. - 252 с.

10. Панюшкин Д.Н. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями различных групп: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 2010. - 66 с.

11. Пашошкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О группе Шункова, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп // Тр. ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16. № 2. - С. 177-185.

12. Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы Ь2{5) // Вест. НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. - 2010. - Т. 10. № 1. - С. 88-92.

13. Филиппов К.А., Рубашкин А.Г. О периодических группах, насыщенных Ь2{рп) И Сиб. мат. жури. - Новосибирск, 2005. - № 6. - С. 1388-1392.

14. Шлепкин A.A. О группах, насыщенных GL2(pn) // Вест. СибГАУ. -2013. - № 1. - С. 100-108.

15. Шлепкин А.К., Рубашкин А.Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика. - 2005. - Т. 44. № 1. - С. 110-119.

16. Шлепкин А.К., Рубашкин А.Г. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45. № 6. - С. 1397-1400.

17. Шлепкин А.К., Рубашкип А.Г. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми группами // Мат. системы. - Красноярск, 2004. - № 2. - С. 96-100.

18. Шлепкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // Сб. тез. 3-й междунар. конф. по алгебре. - Красноярск, 1993. - 363 с.

19. Шупков В.П. Об одном классе групп // Алгебра и логика. - 1970. - № 4. - С. 484-49G.

20. Amberg В., Kazarin L. Periodic groups saturated by dihedral subgroups // International Algebraic conference dedicated to 70-th birthday of Anatoly Yakovlev, 19-24 june 2010. - Saint-Petersburg, 2010.

21. Ivanov S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Int. J. of Algebra and Computation. - 1994. - P. 2.

22. Shlyopkin A.A. Periodic groups saturated by the groups GL,2{pn) // Book of abstracts of the international conference on algebra. - Kyiv, 2012. - P. 144.

Работы автора по теме диссертации

23. Сабодах И.В., Шлепкин А.А. Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелевых групп // Вест. НГУ. Серия: математика, механика, информатика. - 2012. - Т. 12. № 2. - С. 123-126.

24. Сабодах И.В. О периодических группах, насыщенных конечным множеством групп // Сиб. электронные мат. известия. - 2014. - Т. 11. - С. 321-326.

25. Sabodakh I.V., Shlepkin A. A. Groups saturated by direct products of finite non-abelian simple groups // Journal of mathematical sciences. - New York, May 7, 2014. - V. 198. - № 5. - P. 621-624.

26. Сабодах И.В., Шлепкин А.А. Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелевых групп // Студент и научно-технический прогресс: материалы XLIX междунар. науч. студ. конф. 16-20 апреля 2011 / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2011. - С. 21.

27. Сабодах И.В., Шлепкин А.А. Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелевых групп // Мат. системы / Крас-нояр. гос. аграр. ун-т. - Красноярск, 2011. - Вып. 9. - С. 161-164.

28. Сабодах И.В., Шлепкин А.А. Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелевых групп // Современные проблемы математики: тез. 43-й Всерос. молодежной школы-конф. / Ин-т математики и механики УрО РАН, 25 января - 5 февраля 2012. - Екатеринбург, 2012. - С. 82.

29. Sabodakh I.V., Shlyopkin А.А. About Shunkov group center with one saturation condition // International conference Mal'tsev meeting. -Novosibirsk, 2013. - P. 124.

30. Сабодах И.В. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Международная конференция: Алгебра и математическая логика: теория и приложения, Казань, 2-6 июня 2014. - С. 125.

31. Shlyopkin A.A., Sabodakh I.V. About Shunkov groups saturated by PGL2(pn) // Международная конференция: Алгебра и математическая логика: теория и приложения, Казань, 2-6 июня 2014. - С. 131.

Подписано в печать 08.08.2014 г. Печать плоская. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 2063.

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а. Тел./факс: 8 (391) 206-26-49; тел.: 8 (391) 206-26-67. E-mail: print_sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru