Теоремы о вложениях и группы с условиями конечности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В.ЛОМОНОСОВА ___I-

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 512.543

ОБРАЗЦОВ Вячеслав Николаевич

ТЕОРЕМЫ О ВЛОЖЕНИЯХ И ГРУППЫ С УСЛОВИЯМИ КОНЕЧНОСТИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учено? • степени кандидата физико-математических наук

Москва -1990

Работа выполнена на кафедре выошей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор А.Ю.Ольшанский.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, доцент Ю.В.Кузьмин,

кандидат физико-математических наук В.С. Губа.

Ведущая организация - Киевский государственный

университет

Защита диссертации соотоится " У^" "/У 1990 г. в -16 час. 00 мин. на заседании специализированного совета /Д.053.05.05/ по математике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинокие горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

Автореферат разослан 1930 г.

С диооертацией мояно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета М1У.

Ученый секретарь

специализированного совета по математике Д.053.05.05. при (ЛГУ доктор физико-математических наук,

доцент В.Н.Чубарик

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. При изучении групп, особенно бесконечных, большое значение имеет вопрос о свойствах системы подгрупп в изучаемых группах. При этом возникли новые подходы к изучению бесконечных групп, например, выделение объектов исследования с помощью условий конечности. В самом широком смысле под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существуют бесконечные группы, которые этим свойством не обладают. Примеры свойств такого рода - периодичность, локальная конечность, артиновость, нетеровость и др. В настоящей диссертации рассматриваются некоторые вопросы комбинаторной теории групп, в которых изучаются группы с теми или иными условиями конечности, в первую очередь, артиновы, нетеровы и конечной ширины.

Изучению групп с этими условиями конечности посвящены работы многих авторов. В частности, С.Н.Черников описал локально разрешимые артиновы группы, а В.П.Шунков - локально конечные группы, удовлетворяющие этому условию.

Идея диссертации заключается в изучении групп с условиями конечности с помощью конструкций впонекий групп. Однако, известные способы вложений при помощи свободных конструкций или сплетений приводят к появлению в надгруппе многих "больших" подгрупп, никак не связанных с вкладываемой группой. Для решения же некоторых теоретико-групповых задач потребовались более "экономные" конструкции влоканий групп.

Цель работы. Получить конструкции влокений групп, позволяющие строить бесконечные простые группы, множества подгрупп

- г -

которых можно опиоать явным образом, что позволяет строить новые группы с условиями конечности; установить независимость слабых уоловий минимальности и максимальности для подгрупп, а такие на множестве несчетных групп - артиновости и конечности ширины; построить несчетные артиновы группы и группы Йоноона; доказать, что произвольная абедева группа является автоцентром некоторой группы.

Методика иооледования. В основных конструкциях диссертации проводится индуктивное наложение дополнительных соотношений на элементы свободных групп или свободных произведений. В связи с этим отметим, что впервые индуктивные построения в комбинаторной теории групп встретились в известных теоремах П.С.Новикова и С.И.Адяна^ .

Доказательства главных результатов диссертации используют геометрический метод интерпретации с помощью диаграмм ван Камдена и изучение следствий определяющих соотношений в группах в той форме, которая была предложена А.Ю.Ольшанским в ра-ботах^'4^ и обобщена в книге^.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты ^юсертации являются новыми и имект теоретический характер,

-'■'Новиков П.С. О периодических группах. - ДАК СССР, 1959. т. 127, с. 749-752.

^'Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах, 1.Л.Ш. - Изв. АН СССР, сер.матем., 1968, т. 32, 1,2,3, с! ¿12-244, о. 251-524, с. 709-731.

"^ОльшандкийД.Ю. О теореме Новикова-Аляна.-Матем.об., 1982, т. 118(160), № 2, с. &3-235.

■^Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами проотого порядка. - Алгебра и логика, 1982, т. 21, № 5, о. 553-618.

'Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.-М.: Наука, 1989, 448 с.

они применимы в теории групп, теории полугрупп и могут использоваться в специальных курсах по теории групп.

Апробация. Результаты диссертации докладовались на научно-исследовательском семинаре по алгебре п на семинаре "Теория групп" при МГУ (1987-1990), а также на XIX Всесоюзной алгебраической конференции (г. Львов, 1987).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора /11-/Ы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура заботы. Диссертация состоит из введения и 3-х глав, разбитых на 13 параграфов. Текст диссертации изложен на 150 страницах. Список литературы содержит 54 наименования.

С0ДЕР1АШЗ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, сформулированы основные результаты диссертации и опиоана структура диссертации.

Касаясь результатов главы I, дадим необходимые определения. Назовем свободной амальгамой_[][ ^ групп Д. Де I, такое множество, которое равно У , причем = в

при ф . Отображение | Ш* & называется вложе-ниэм_аыальгамы ЭД1 в группу ^ , если оно иньективно и его сужение на группы Д являются гомоморфизмами. Основным результатом главы I является Теорема 2.1. Пусть ^ = \А " конечное или счетное множество неединичных групп без инволюций конечной или счетной мощности, П- произвольное достаточно большое нечетное фикс и-

рованное число (например, п. > 10®^). Тогда свободная амальгама групп вложима в счетную простую группу || со следующими свойствами:

1) если Y . У е Н, причем Х€АМ^.У€ H\AV • Д™

некоторого i е | , то группа ЭД порождается парой ) ;

2) любая ооботвенная подгруппа группы ЭД является циклической группой порядка, делящего ГС , или сопряжена с подгруппой некоторой группы^ ;

3) две различные максимальные подгруппы группы ЭД име ют тривиальное пересечение.

Беоконечная группа, у которой все собственные подгруппы конечны, называется квазиконечной. В работе Г.С.Дерябиной ' показано, что любую конечную группу нечетного порядка можно вложить в некоторую квазиконечную группу. Уоилением этого результата является

Следотвие 2.1.1. Существует квазиконечная группа (j , в которую вложима любая конечная группа нечетного порядка.

Любая счетная группа вложима в группу о двумя образующими^ Не было известно, существует ли собственное многообразие групп такое, что любая счетная группа из этого многообразия влокима в группу с 2 образующими, 1 У/ 2, из этого же многообразия.

Следствие 2.1.2. Пусть П - произвольное достаточно большое нечетное число (например, П> Ю80). Тогда всякая очетная группа из многообразия Бернсайда fy (т.е. группа Д о тождеством ОС* = i) изоморфно вложима в некоторую 2-

б^Дерябина Г.С. О влокимости конечных групп нечетного порядка

в квазиконечные группы. - Деп. в ВИНИТИ, № 4179-84 Деп.,48 с. 7)<Nwman 6. ïlwmonn В Н., Ilwmami Ц. âuotcuiwu) \faptm

порожденную группу из

Непосредственно из утверждения теоремы 2.1 имеем Следствие 2.1.3. Если в условии теоремы 2.1 вое группы^ артиновы, то и содержащая их группа }} артинова.

В ответ на вопрос В.П.Шункова^ (вопрос 9.81) о существовании артиновой группы, обладающей неединичной квазициклической подгруппой, в частном случае имеем

Следствие 2.1.4. Для любого нечетного простого р ква-зициилическая группа С р— влокима в проотую группу с условием минимальности для подгрупп.

о)

В обзоре^' А.Г.Курошем и С.Н.Черниковым поставлена известная проблема о существовании несчетных артиновых групп. (Счетность локально конечных артиновых групп следует из теоремы В.П.Щункова^) ). Ее ресает

Следотвие 2.1.5. Существует простая группа (} первой несчетной мощности ^ с условием минимальности для подгрупп.

Группа (} удовлетворяет слабому ¿словив минимальности ¿максимальности) для подгрупп, если в н«й не существует бесконечной убывавшей (возрастающей) цепочки подгрупп (З^эС^о ... ( ^ • ••)« Удовлетворяющей следующему условию: ин-

ден0 [ : С*^] подгРуп™ Ьк+1 в гР?ппе &к]

подгруппы в группе у ) бесконечен (К=1,2,...).

'Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп, 10-е {, 1986.

щ

изд., Новосибирск,

'Курош А.Г., Черников С.Н. Разрешимые и нильпотентные группы.-УМН, 1947, Т. 2, № 3, С. 18-59.

^Щунков В.П. О проблеме минимальности для локально конечных групп. - Алгебра и логика, 1970, т. 9, № 2, с. 220-248.

Д.И.Зайцев6^ (вопроо 10.14.а) поставил вопрос о существовании артиновых групп, не удовлетворяющих слабому условию максимальности для подгрупп, и, более того, не было примеров, показывающих, что слабые условия ыиниыальнооти и максимальности для подгрупп различны. (В работах*^ доказано, что эти условия равносильны в класоах воех разрешимых групп или всех локально конечных групп).

Спедотвие 2.1.6. Существует счетная простая группа Д (конечного периода), удовлетворяющая условию минимальности для подгрупп, но не удовлетворяющая слабому условию мнксималь-ности для подгрупп.

то\

Как известно-1-0', операция взятия подгруппы Зраттини и прямого произведения коммутировали бы всегда в том и только в том олучае, еоли бы не существовало простой группы без максимальных подгрупп. Первый пример бесконечной (одной несчетной) простой группы без максимальных подгрупп найден Шелахом14^. Там ве ставится вопрос о существовании очетной простой группы без максимальных подгрупп.

Спедотвие 2.1.7. Существует счетная простая группа без максимальных подгрупп (конечного периода).

- Замечание I. Результат следствия 2.1.7 независимо и иначе подучен С.В.Ивановым*^.

ПТ

-i

12)

.в

Daw Штлшахсли^м.- fflaM. CWi., 4965, bd -П5,

Зайцев Д.И. 0 группах, которые удовлетворяют слабому условию минщальности.-ртем.сб., 1969, т.78,. о. ,323-331., , ,

^Иванов С.В. Два замечания о гоуппах конечного периода.- В сб."XIX Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений. Часть 2", Львов, 1987, с. 105.

Перейдем к содержанию главы П.

Пусть ^ = {А.}.в1 , | ] |> \ , - произвольное множество нетривиальных групп без инволюций, - свободная амаль-групп из^, • Перенумеровав произвольным

гама

образом элементы из ^ , получим = ^ ; ^ €

функцию | : 2й1 \ 2 назовем об£азуодвй_на

множестве , еоли выполняются следующие уоловия: ""~1)Гсли С Ця-^-^сц^ сЩ.то }(С)-<ач....А>чЧ,

если (Х^ 6 для некоторого 1€ I , к (подгруппы

берутся в соответствующих группах из в противном случае

| (0 = Ь ~ к0нечн06 или счетное подмножество множеотва Щ, такое, что а.сб, кЬк, и если а^ , ... Ь,

то Ь;

2) если С-IX к множество (] бесконечно, то положим |(С) = и | (^ц ' — Где о^вД®16™0 берется по

всевозможным конечным подмножествам множества (). Основным результатом главы П является Теорема 6.1. Пусть ^ = ^ >•!,- произвольное

множество нетривиальных групп без инволюций, П^1 - свободная амальгама групп из = €О'| , | - про-

извольная образущая на множестве функция, Ц0 - доста-

точно большое нечетное число (например, П. > Ю^) или П =оо

1 о о

Тогда (Л вложима в проотую бесконечную группу с множеством порождающих такую, что

I) всякая собственная подгруппа группы является циклической группой порядка, делящего П0 , (бесконечной циклической группой в случае П0 = со ) или сопряжена с одной из . групп вида £с«< С, Се , причем € ^ тогда

и только тогда, когда

2) пересечения подгрупп группы К] описываются следующим образом:

=т-^„с1И(сл .-и

ИС^ и о-ествует ]€ (<с такой, что

2 * ИЛИ К "ГРТ ' ' если °УщвотвУют

Т€^С1И такие, что ' 'где

Р - максимальная подгруппа группы Д. такая, что

и1 с

.или Р = ^ 1 ^ в противном случае;

б) если Xе КИХ не СОПРЯЖ0Н 0 элементами из IX . то ¿1>(\Т%1 * I ^ ) тогда и только тогда,

в) 80ли < П < * } . Т0 ЛИб0А' В^АС'И' либо существует С € ^ такой, что ^ £ •

Глава Ш посвящена применению конструкции из теоремы 6.1 и некоторых ее видоизменений для решения ряда теоретико-групповых задач.

Группа называется совершенней, если она без центра и все ее автоморфизмы внутренние. Любая счетная группа может быть вложена в 2-порожденную совершенную группуЭта конструкция вложений оодержит "много" подгрупп, кроме вкладываемой и оопряженных с ней. Поэтому представлял интерео получение аналога теоремы 2.1 для случая вложения свободной амальгамы конечных или счетных групп в совершенную группу (теорема 3.1).

Отметим одно из оледствий теоремы 9.1, дающее ответ на

Им С.7. Миср р.ё б^Шта иЛо ■Йсснал ииш. ЩЬа, ¿917' с.р. 441-4116. 3 '

вопрос, высказанный Н.С.Черниковым, о существовании квазиконечных совершенных групп.

Следствие 9.1.1. Существует простая совершенная квазиконечная группа, в которую вложима любая конечная группа нечетного порядка.

Замечание 2. Утверждение следствия 9.1.1 нельзя обобщить на случай, когда система вкладаваемых групп содержит группу четного порядка, т.к. элемент квазиконечной группы, имеющий порядок вида 2Л I лежит в еэ центре*7^.

Множество элементов группы 0 » остающихся неподвижными при действии всех ее автоморфизмов, называется автоцентром группы . В докладе Д.Зайголда на Ш Международной конференции по теории групп и смежным вопросам в Канберре (Австралия) поставлена следующая проблема: будет ли произвольная абелева группа автоцентром некоторой группы? Там же было отмечено, что ответ положительный для любой элементарной абелевой 2-группы.

Теорема 9.2. Произвольная абелева группа }{ является автоцентром некоторой группы (} .

Теорема 10.1. Для произвольного достаточно большого нечетного числа П0 (например, для П0> 1080)или П. = со существует группа (} экспоненты П.0 (без кручения в случае П0 = оо ), удовлетворяющая условию максимальности для подгрупп, ко не удовлетворяющая слабому условию минимальности для подгрупп.

Тем самым, даются положительные ответы на вопрос Д.И.Зайцева8^ (вопрос 10.14.6 ) о существовании нетеровых групп, не

Г|,,Шунков В.П. К теории периодических групп. - ДАН СССР, 1967, т. 175, № 6, с. 1236-1237.

удовлетворящих слабому условию минимальности для подгрупп, и вопрос Л.Н.Шеврина^ (проблема ^ 7) о существовании периодических нетеровых, но не артиновых групп.

С помощью теоремы 2.1 удалооь произвольное не более чем очетное множеотво конечных или счетных артиновых групп без инволюций вложить в счетную артинову группу (следствие 2.1.3), а также построить артинову группу модности (следствие

2.1.5). Но вопрос о существовании артиновых групп большей мощности оставался открытым. Он тесным образом связан с вопрооом о существовании групп йоноона данной бесконечной мощное тио^.

Модель Ц. со счетным языком, не имеющая элементарных подмоделей той же мощности, называется моделью Йонсона. (язык_ модели - это множество операций I/ ^множество предикатов ^ У ^ множество констант 1 .^Алгебра Ц. называется_ал-геброй_Йонсона мощности , если Ц, не имеет собственных подмоделей мощности оС.»

Ответ на вопроо о существовании алгебр Ионсона мощности существенным образом зависит от выбора аксиом теории множеств.

та)

В-13' показано, что в предположениях обобщенной континуум гипотезы (ОКГ) для любого бесконечного кардинала

£ существует алгебра Йонсона (с одной бинарной операцией) мощности где - наименьший кардинал, больший «¿Г. Без использо-

вания ОКГ для любого там же была построена модель йон-

сона мощнооти , и, более того, показано, что для любого бесконечного кардинала

с/

из существования модели Йонсона мощности следует существование модели Йоноона мощности

ТНТ

Шеврин Л.Н. Некоторые условия конечности в теории полугрупп. - Изв. АН СССР, сер.матем., 1965, т. 29, № 3, с. 553-566.

Представляет интерес перенесение вышеупомянутых результатов работы^ на класс групп. Некоторые результаты в этом направлении были получены Шелахом где в предположениях

ОКГ для любого бесконечного кардинала Л была построена группа Йонсона мощности сС. а также без использования ОКГ построена группа Йонсона мощности Н|Аи отмечено (без доказательства), что с помощью предложенного в^ метода возможно построение группы йонсона мощности гл , но для любой мощности

II 2

Pi , fizjj^j, ситуация не ясна.

Теорема 12.1. Пусть ^ = {J^}. j , | | |> I, - произвольное множество артиновых групп без инволюций такое, что сумма мощностей ^Г J = для некоторого . Тогда овобод-

ная амальгама 1111 групп из Ä вложила в простую артинову

г и U

группу у мощности П .

Следствие I2.I.I. Для любого существует простая ар-

тинова группа (} мощнооти экспоненты П0, где П-0-

произвольное достаточно большое нечетное число (например, П0>

4О00).

Следствие I2.I.2. Для любого натурального П_ существует группа йонсона мощности

Теорема 12.2. Пуоть = > I I I ^ " произволь-

ное множество нетривиальных групп без инволюций такое, что сумма мощностей |А-| = ^ для некоторого и для любого ie| |Ail ^ Hl" Тогда QB060»1^1 амальгама [] А групп из вложима в простую группу йонсона ß( мощности ^ .

Теорема 12.3. Пусть для бесконечного кардинала существует артинова группа Ц без инболюций мощности оС. Тогда

1У) folk. Ь äc

uaal U. Ск а. рnMtm. d & lotwn..- ball, (had

олАШМ. Шк. ШшШ.,ть, v.я л/ч, р ¿Q-is

_ группа ЭДвложима в простую артинову группу мощности Л. без инволюций. Кроме того, если группа имеет конечный период, то и - группа конечного периода.

Аналогичный результат справедлив и для групп Йонсона (теорема 12.4).

Согласно1®^ ш£Иной группы называется наименьшая мощность Уп = Ш.(^«)такая, что всякая подгруппа, порожденная конечным множеством элементов из ф , порождается его подано-жеотвом мощности^ т.

С понятием ширины группы тесно связано понятие независимого множества элементов. (Подглножество ^ алгебры Ц называется независимом, если для любого ДСС £) ОС не принадлежит подалгебре, порожденной множеством ^ЗС^ ). Ясно, что если группа ^ обладает независимым подолнокеством из к элементов, то т(6|)>К.

Представляет интерес нахождение всех бесконечных кардиналов оС. , для которых существует группа конечной ширины мов-ностио^ В19> отмечено, что из теоремы Куратовского20^ следует, что для любого произвольная алгебра, множество операций которой конечно и все они имеют конечную арность, мощности обладает независимым подмножеством из П. элемег{-

1 п.

тов.

Без использования результатов работы2^ доказывается

пцвдлидвние ю.^. дди /шиит нагууальниги и. нриизииль-ная группа мощности ^ имеет ширину |гш(2,п).

Следствие 13.1.1. Группа у1 мощности сС.

1 'со

С. Ы Iш слтИшаксп (к аЦк*--Зши1. ЛкС, ¿951, я. 36 , р.

имеет ширину rn(G,)=0°.

Теорема 13.3. Пуоть ^ = {AiVuI > III* ~ аР0ИЗ~ вольное множество нетривиальных групп без инволюций конечной ширины,A-J=00 » L £ 1 . такое, что сумма мощностей

IAJ = для некоторого ^Uiol. Тогда если сущест-ul \ I

вует ГП= ГШ^Х (Г^Ц) > то овободная амальгама групп из ^вло-

жима в простую группу мощности ^ ширины т.

тах(т, п. + з), причем в случае п= о m(Q)= тах(пг, 2).

Следотвие 13.3.1. Для любого существует группа мощности|р^конечной ширины.

В19> доказано, что для любогоГ1>2 , существует алгебра мощности (с одной бинарной коммутативной опера-

цией), не имеющая независимого подмножества из Я +1 элементов. Возникает вопрос о получении аналога этого утверждения для ширины групп.

Кроме того, как отмечено в^, из результатов работы*^ вытекает, что для локально конечных групп условие минимальности для подгрупп и конечность ширины эквивалентны. в23)Д5) бы_ ло показано, что ужа на множестве счетных групп связи между этими понятиями нет. Оказывается,что для любого такой

овязи нет и на множестве групп мощности ^ .

Предложение 13.4. Для любого и любого достаточно

большого простого числа ГЪ_ (например, для П.0> ю80;

-^Шеврин Л.Н. Одна общая теорема о полугруппах с некоторыми уоловиями конечности. - Матем.заметки, 1974, т. 15, № 6, 0. 925-935.

'Шунков З.П. О локально конечных группах с условием минимальности для абелевых подгрупп.-Алгебра и логика, 1970,т.9,№ 5, с. 579-615.

'Дерябина Г.С. О бесконечных ?-группах с циклическими подгруппами. - Матем.сб., 1934, т.124, % 4, с. 495-504.

шествуют

а) группа ^ мощности ^ экспоненты П-е ширины m^Ljs max (2,n) , удовлетворяющая условию минимальности

для подгрупп;

б) группа L ^ мощности ^{^экспоненты П.0 ширины тох (2, П-) > не удовлетворящая уоловию минимальнос-

ти для подгрупп.

Автор выражает глубокую благодарность А.Ю.Ольшанскому за руководство работой, а также А.Л.Шмелькину и С.В.Иванову за благотворное влияние.

Работы автора по теме диссертации:

1. Образцов В.Н. О квазиконечных группах. - В сб. "Тезисы докладов 10-го Всесоюзного симпозиума по теории групп", Минск, 1986, с. 164.

2. Образцов В.Н. Теорема о вложении групп и ее следствия. - В сб. "Тезисы сообщений XIX Всесоюзной алгебраической конференции. Часть I", Львов, 1987, с. 2СЗ.

3. Образцов В.Н. Теорема о вложениях групп и ее следствия. - Матем.сб., 1989, т.180, Я 4, о. 529-541.

4. Образцов В.Н. О слабом условии минимальности для подгрупп. - В сб. "Тезисы сообщений ii Всесоюзного симпозиума по теории групп", Свердловск, 1989, с. 89.

5. Образцов В.Н. Конструкции вложений групп и некоторые их применения. - Деп. з ВИНИТИ 08.02.90, й 724-ВЭО, 50 с.