Группы с системами фробениусовых подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

п п>

и ¡-I

/ и .¡3 -

" Нд правах рутзяпяся

СОЗУТОВ Анатолий Ильич

ГРУППЫ С СИСТЕМАМИ ФРОБЕНИУСОВЫХ ПОДГРУПП

(01.01.00 — математическая логика, -алгебра п теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ диссертация иа соясхлнне учепоз степепа /тестера фяявгсо-всахеи&тгггесгсвх плуте

Кресш>*рск - 1995

Работа выполнена в Красноярском ннженерна-сгроцтелыкш пне туте.

Официальные оппоненты —

доктор физ.-мат. наук, профессор Левчук В.М. доктор фиэ.-ыат. наук, профессор Мазуров В.Д. доктор физ.-мат. наук, профессор Ольшанский А.К

Ведущая организация —

Институт математики и механики Уральского Отделения РАН

Защита состоится " " 0 2-_ 1996 г. т, час

на заседании Специализированного Сосета Д.004.С1.02 при Красно? ском государственном университете по адресу: г. Красноярск, щ спскт Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского 1 суд?.уственного университета.

Автореферат разослан п "_&/_ 1996 г.-

Учеиыи секретарь Специализированного Совета , . ,4 /

доктор физ.-мат. наук С. -' л Г^ С.В.Зиамснск

Актуальность темы. За последние десятилетия а теории бесконечных групп решены многие старые проблемы, предложены различные конструкции (периодических) групп, построено много серий примеров [1, 4, 6, 11, 12, 15,16, 17]. Эти примеры убедительно продемонстрировали, как радикально могут отличаться свойства произвольной (периодической) группы от свойств (лохалыхо) конечпых групп.

Известные примеры бесконечных ¿-порожденных р-групп с конечными (с1 - 1)-порожденными подгруппами [4] показывают," что между классом локально конечпых групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. За последние три десятилетия в теории бесконечных групп сформирова-пось новое направление, в рамках которого исследуются периодические я смешанные группы со слабыми условиями конечности. Центральным методом исследования групп со слабыми условиями конечности в настоящее время является метод фробеииусовых подгрупп (см., например, [18,19,22,31, 32,34,35,36,53,55,57,64]). Большинство основных результатов настоящей диссертации посвящено развитию и примене-1иям данного метода. Выделение групп с системами фробениусовых гашрупп в самостоятельный объект исследования было решающим монетой в развитии этого метода.

Большое значение в исследованиях групп с условиями конечности 1меют признаки непростоты групп, обладающих системами фробениусовых подгрупп с фиксированным циклическим неинвариантным мно-кителеи (см. теоремы 2.1.3, 2.4.2, 3.1.3, 8.1.2, 8.2.2 диссертации). От-шчительной чертой этих теорем является то, что в их формулировках гет никаких других ограничений на исходную группу, т.е. она может

з

быть н группой без кручения (потенциально), и смешанной группой, и бесконечной периодической, и конечной. Так, например, теоремы 2.1.3, 8.1.2 представляют несомненный интерес для конечных групп: частные случаи теоремы 2.1.3 и только для конечных групп доказывались Б.Фишером и М.Ашбахерсм [3?, 41, 42].

В локально конечных группах, теория Которых развивается более полувека, конечные подгруппы составляют локальную систему, что позволяет широко использовать аппарат теории конечных групп (локальный анализ) и получать в некоторых случаях почти исчерпывающую информацию о строении группы. Другая ситуация в группах с конечными элементами. Там зачастую приходится исследовать группу С, исходя только из строения подгрупп вида Ь3 = (а, а3), где а — фиксированный элемент. Тем не менее, в некоторых случаях такой бинарный анализ приводит к глобальным заключениям о строении исходной группы (см., например, основные результаты из [30, 35, 36] и многие теоремы .настоящей диссертации).

К бинарному анализу можно отнести такие глубокие результаты, как теорема В.П.Шуикова о группах с почти регулярной инволюцией [30], 2*-теорема Д.Глаубермаиа [45], результаты В.Фишера [43], М.АпЗахсра [38] и Ф.Тиммссфельда о группах с нечетными транспозициями и корневыми инволюциями, результаты Д.Томпсона о группах с квадратичной парой [5] и др.

Теория групп изначально неразрывно связана с другими областям« математики [9, 14]. Совместные решения ослабленной и неограниченной проблем Берпсавда и соответствующих проблем теории колец — ярк-,к: примеры плодотворности связей между группами и кольцах« [4, 11, 12]. Основные результаты глав 7, 9, 10 диссертации также до казываютса, благодаря связям групп с ассоциативными нильалгебраш и алгебрами Ли.

В диссертации много внимания уделено решениям конкретных вопро сов, актуальных для групп с различными условиями конечности. Пол ностыо решены 2 вопроса из Коуровской тетради (вопросы 1.39, 6.54 и даны решения 4 вопросов в классах групп (вопросы 1.24, 2.75, 6.53 10.00 ш [13]).

Перечисляй основные условия конечности, встречающиеся в диссер тации (отметим, что под условием конечности, в отличие от [25], здес понимается наличие в группе определенных систем конечных под1 рупл).

(1) Группа б содержит бесконечный веер конечных подгрупп —1 множество конечных подгрупп с нетривиальным пересечением [21].

(2) Группа (7 содержит такие несдиничпне элементы а и 6, что (почти) для всех элементов ¥ подгруппы Ь3 — {а,Ь7} конечны [57].

(3) Группа С? обладает конечным элементом а: все подгруппы £у = {а,ав) в С конечны [32].

(•1) Группа О слабо сопряженно бипримитпивно конечна: все ее эле-мепты простых порядков конечны [53].

(5) Группа С слабо бипршштивно конечна: в О лгабые два элемента одного и того же простого порядка порождают конечную подгруппу [53].

(6) С — СР-группа: дла любой конечной подгруппы Я ^ б в Ас(Я)/Я найдутся иседипичннс элементы а и 6, дла которых подгруппы вида {а, Ь3) конечны [57].

(7) Группа б сопряженно бипримитпено конечна: любая факторгруппа Мс{Н)/Н по конечной подгруппе Я слабо сопряженно бзь примитивно конечна [32]. •

(8) Группа О бипримитивно конечна-, любая факторгруппа Лс(Я)/Я по конечной подгруппе Н слабо бипртштивно конечна [29].

(9) Группа й сопряженно п-арио конечна; в С любые тг сопряженных элементов порождают копечпуга подгруппу [63].

(10) Группа в п-арно конечна: в.<? любые п элементов порождают конечную подгруппу [4] (отметим также, что абстрактные -бинарно конечные группы первыми, по-видимому, начала изучать Ш.С.Кемхадзе [10] и С.П.Струнков [21]).

Вышеперечисленные условия конечности, за исключением двух последних, не предполагают периодичности группы С. Поэтому для нее, наряду с другим вопросами, актуален следующий: обладает ли группа <? периодической частью, т.е. составляют ли периодические элементы в б подгруппу? Нетривиальность ответа на этот вопрос в каждом конкретном случае подчеркивается тем, что известны примеры [24] разрешимых бипримитивпо конечных групп, не обладающих терподической частью.

Понятно, что изучение групп из вышеперечисленных классов возможно только при наложении дополнительных условий; покажем, что усматриваемые в диссертации дополнительные условия продиктованы логикой развития теории периодических групп. Все известные юнетрукпки периодических групп можно разбить па два больших клас-

са: группы, заданные непредставлениями, и группы, заданные пред ставлениями [17]. Мы обратимся к более важному для нас первом] классу (группы из этого класса широко используются в диссерташш I качестве примеров). Для многих групп из данного класса справадлнвс хотя бы одио из следующих свойств:

(1.) насыщенность парами Фробениуса (((?, 11) — пара Фробениуса если Я — собственная подгруппа. группы С и Я П Н3 = 1дл$ любого д £ С? ч /Г);

(2) расщегыяемостъ или "почти" расхцепляемость;

(3) отсутствие /-локальных подгрупп, т.е. бесконечных подгрупп < нетривиальным локально конечным радикалом..

Строение лтнх групп напоминает строение свободных групп, свободных произведений [14]. Современные комбинаторные методы в теорш периодических групп эффективно работают с достаточно "болыпиш: соотношениями" "глобального характера", причем анализ этих соотношений ■ очень сложен [1, 18]. Большинство известных конструкщи периодических групп реализованы в классах групп без инволюций, т.к инволюция в периодической группе является конечным элементом, г любой конечный элемент, если он не содержится в конечном нормальном делителе группы, дает бесконечное множество соот нэшений, трудно учитываемых современными комбинаторными методами.

Вполне естественно при изучении групп с условиями конечности вышеперечисленные 3 свойства накладывать в качестве дополнительны}! ограничений, тем более что становление теории локально копечньи групп также начиналось с изучения груди с данными условиями [2, 25] а классическая теорема Фробениуса и результаты о конечных расщепляемых групп лежат в фундаменте современной теории конечны; групп [3, 5, 23].

Цель работы. 1) Получить обобщения теоремы Фробениуса на классы групп с условиями конечности.

2) Описать строение нормального замыкания элемента о с ¡а| > 2 I группе й, обладающей достаточно большими системами фробениусо еых или близких к фробениусовым подгрупп с дополнительным множителем (а).

3) Исследовать строение расщепляемых групп с допустимой нормальной подгруппой (в частности, групп Фробениуса), удовлетворяют® условиям конечности.

4) Доказать существование бесконечных /-локальных и абелевых под

рупп в бесконечных группах .с условиями гспечзюста. 5) Обобщить примеры пили дгсбр и р-групя Е.С.Голоза и разделить лассы групп с ЕшпсперечислеПкыли условиями Г'аяечпастге. 6 ) Показать эффективность метода фробенпуссзых подгрупп в званиях групп с дополняемыми подгруппами. 7) Исследовать группы с епмплектичесхлмп З-тралспозицялш? и свр-шньте с ними алгебры Ля.

Общая методика исследований. Пркх'езшгатся метопы теории групп, хоциативных колец и алгебр Ли.

Научная новизна. Вса основные результаты диссертации являются

ззыш1.

Практическая ценность. Диссертация косит теоретически! хар&к-sp. Результаты и методы работы могут быть использованы в теориях ■точных и бесконечных групп, ассоциативных колец и алгебр Ли. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 5 -Всесоюзных симпозиумах по теории групп, на 13 - 18 Всесоюзных 1гебралчеашх конференциях, на 2 - 3 Международных конференциях з алгебре. Оки неоднократно обсуждались па заседаниях семинаров Алгебра и логика", "Теория групп", "Теория колец" (ИМ СО РАН н ГУ), на алгебраических сешшарах в МГУ, PIMM УрО РАН, в Крас-эярсксм государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовали в раг->тах [53] - [67].

Обьеы и стрз^тура работы. Диссертационная работа состоит из вве-шия, десяти глав и списка литературы (178 палменззаиий), занимает >1 страницу текста, набранного на Ш^Ке. Нумерация тройная: но-jp главы, номер параграфа и главе, номер пункта а параграфе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Вначале сделаем одно замечание о принятой з диссертации термино->гии. В большинстве результатов диссертации определяется строе-iе нормального замыкания (а°) нееаинмчкого элемента а в группе G >и условии, что все подгруппы вида L, = (а, а5), где jGGv NG((a)) ш <7 G G \ Я, а Я — собственная подгруппа (очень существенный основной случай), имеют вполне определенное строение. В дкссер-щин такой элемент а называется по типу подгрупп Lf. конечным /-конечным), если все подгруппы L„ конечны; фробениусовым (Н~ эобениусовым), если все подгруппы Ls являются группами Фробени-

уса с неднвариадтннлт множителем (о); почта Я-фробениусоиьш, есл Ьд — группы Фробениуса. с лшшЕаригштньш множителем {а) почт для асга алгмшпоз а*, где д 6 С? V И; фрсбгниуса-абелевьш, если пщ группы или группа Фрсбеяиуса, пли абелевы и тл.

Основными результатами диссертации можно считать следующие.

— Доказано существование в груше <7 периодического нормально! дополнения Р к собственной подгруппе Я, составляющей с группе С? пару Фробениуса (й, Я) к обладающей Я-конечиьш элементом с |а| > 2. Классическая теорема Фробениуса перенесена на класс (слабо) (сопряженно) бипримитивно конечных групп.

— В произвольных группах исследовано строение нормального ж мыкания (почти) Я-фробепиусового и (почти) фробениусо-абелево] элемента а порядка больше 2 (с точностью до прямых произведен!: групп Фробениуса и групп с конечными классами сопряженных эл ментов). Получены обобщения этих результатов для случая, когда — конечный элемент порядка ра > 2.

— Исследовано строение слабо сопряженно бипримитивно конечнь групп регулярных автоморфизмов абелевой группы и строение нал вариантного множителя Фробениуса в (слабо) (сопряженно) бнприм: тнзно конечных группах. Вместе с тем даны полное р-'пение вопро< 6.54 из [13] и решения вопросов 6.53,10.60 из [13] в этих .¡слассах груп

— Получено обобщение теорем ч Р.Бэра [39] о строении конечнь расщепляемых групп с допустимой нормальной подгруппой на кла периодических слабо бипрниитишо конечных групп. Дана характер зация локально факторшуеыых групп.

— В некоторых бесконечных группах доказано существование бе конечных /-локальных.и абелевых подгрупп (положительные решен] вопроса 1.24 и вопроса 2.75 из [13] в классе С^-групп).

— Обобщена конструкция конечнонорождепной незшльпотентной ш алгебры Е,С.Голода, имеющая важное значение и для теории колец, для теории групп. Доказано, что для любого целого п ^ 2 класс п-арно конечных групп и сопряженно га-арно конечных групп раз л и ны (показано различие и некоторых других классов групп с условия! конечности). Дало полное решение вопроса 1.39 из [13].

— Доказана локальная конечность групп с множеством симплект ческих 3-транспозиций (3-траиспозиция — частный случай фробени со-ао елевого элемента), дана характеризацмя конечных групп, пора денных классом симплектических 3-транспсзиций, и получено опи<

гне некоторых алгебр Ли, связанных с данными группами. Очертим круг основных вопросов, рассматриваемых в каждой главе. В теории (локально) конечных групп хорошо известна теорема Фробениуса (5, 44]. Эта а-. орема является одним из мощных средств нс-ледования в теории групп и представляет собой един из важных при-наков непростоты группы [20]. Значение обобщений теоремы Фро-епиуса на бесконечные группы отмечалось О.Ю.Шмидтом в [28]. В ервой главе диссертации теорема Фробениуса обобщается на классы слабо) (сопряженно) бипримитивно конечных групп (теорема 1.5.2). )на вытекает из следующего, более общего, результата.

Теорема 1.1.2. Пусть С? — группа, Н — ее собственном подгруппа, а — элемент конечного порядка п > 2 из И, удовлетворяющие сло&иям: 1) (С, Я) — пара Фробениуса. 2) Для любого элемента 6 ч Н подгруппа Ьд — (а, а?) конечна.

Тогда справедливы следующие утверждения: 1) <7 = Р\Н, где Р — ериодическая группа, тг(.Г)Пзг((а)) = 0, и Р\(а) —группа Фробениу-а с неинвариактпьш множителем {а) и ядро» Р. ) Для каждого элемента Ь простого порядка р из подгруппы (а) либо I = Ь)), либо р = 3,5 и # содержит инволюцию. 3) Если под-руппа Я содержит инволюцию, то она единственна в Н и Р,— белева группа.

В главе приведены примеры 1.1.3 - 1.1.11, представляющие интерес связи с данной теоремой. В частности, для |а| = 2 теорема 1.1.2 еверна (пример 1.1.7).

Основные результаты главы (в более слабых формулировках) полу-ены и опубликованы в нераздельном и равном соавторстве с В.П.Шун-эвым [53].

В исследованиях групп с условиями минимальности потребовался боге сильный признак непростоты, чем теорема Фробениуса, а именно: гобходимо было проанализировать строение группы С с собственной дцгруппой Я, содержащей //-фробениусовый элемент. Этот переход к роизволыюй подгруппе Н для случая, когда порядок элемента а равен ростому числу р > 2, был сделан В.П.Шуиковым в работе [33]. Там е впервые были рассмотрены произвольные, не обязательно конеч-ые группы Фробениуса Ьд = {а, а3) с циклическим неннвариантпым ножителем (а). В настоящее время неизвестны примеры таких беско-?чных групп Фробениуса, однако почти нет сомнений, что они могут лть построены (см. по этому поводу теоремы 41.1, 41.2 из [16]). Кро-

ме того, признаки непростоты с произвольными группами Фробениус L3 позволяют делать более сильные заключения о строении групп с дс полнительными условиям» конечности (см., например,'теоремы 6.3.1 6.3.2, 6.4.1 диссертации).

В главе 2 доказываются следующие теоремы.

Теорема 2.1.3. Пусть а — H-фробениусовый элемент группы G а1 ф 1. Тогда G = F\NG({a)) u F\{a) = {а?) — группа Фробениу< с ядром F и неинвариантным множителем {о).

Теорема 2.4.2. Пусть G — группа, H — ее собственная под-, руппа, а — конечный элемент группы G, а2 Ф- 1 и а — бесконечш кардинальное число. Если мощность множества элементов a3, ai g 6 G ч H, для которых подгруппа L3 — (а, as) не является грг/i пой Фробениуса с неитариантным множителем (а), меньше а, тт либо \ас\ < а, либо G — F \ NG((a)), F\(a) — группа Фробениус с неинвариантным множителем (а) и периодическим ядром F, и а -конечный фробениусовый элемент группы G.

Глава 3 посвящена доказательству признака непростоты бесконе' ных групп — теоремы 3.1.3 — в некотором смысле более сильного, че теорема 2.1.3, но имеющего смысл только для бесконечных групп.

Теорема 3.1.3. Пусть а — почти H-фробениусовый элемент гру пы G, причем а2 ф 1. Тогда либо |а°| < ос, либо G = F X NG({a)) F X (a) — группа Фробениуса с ядром F и неинвариантным множ телем (а).

С помощью теоремы 3.1.3 удалось доказать наиболее общие на да ный момент теоремы вложения в группу бесконечных локально копе них подгрупп (см. основные результаты монографий [35,30] н теорем главы 6 диссертации). Отметим, что для ¡а ¡теоремы 2.1.3, 2.4.2 и 3.1 неверны.

Теорема 3.1.3 опубликована в [55, 56] и получена в нераздельном равном соавторстве с В.П.Шукковым.

Как уже упоминалось, теорема Фробениуса является одним нз moi них средств исследования в теории групп [20], н строение (локальн конечных групп Фробениуса достаточно хорошо изучено [3, 5, 20, А 51], что важно для приложений. В теоремах 5.3.1 - 5.3.5 главы 5 onj делается строение неинвариантного множителя в (слабо) (сопряже но) биприиитивно конечных группах Фробениуса (частичное решен вопроса 6.53 В.П.Шункова из [13]). Основными из них являются а

ющие теоремы.

Георема 5.3.2. Неиннариантный множитель Н сопряженно би-тмититю конечной группы Фробениуса обладает локально конеч->й периодической частью Т. Если, дополнительно, Т содержит ин-мюцию, то Т —локально конечная группа регулярных аатоморфиз-»-> абелевой группы. Er.ni Т не содержит инволюций, то ее комму-ангп 2'' - локально нильпотентная группа.

Теорема 5.3.5. Нсинварпантны%1 множитель бипршгитивно ко-•чной группы Фробениуса обладает локально конечйой периодичес->й частью, изоморфно вложимой в группу регулярных автоморфизма абелевой группы.

В доказательстве этих теорем существенно используется 1 Теорема 5.2.1. Слабо сопряженно бипримитиано конечная груп-I тогда и только тогда изоморфно вложкма в группу регулярных, тгоморфизмов абелевой группы, когда все ее элементы простых по-гдков порождают локально конечную подгруппу Т одного из типов: Т — локально циклическая группа; 2) Т изоморфна 3) или 3) Т = С х 5, где С — группа типа I, Б — группа типа и гг(С) П я (5) = 0.

I этой теоремы вытекает положительное решение вопроса 10.60 'из 3] для слабо сопряженно конечных гругпг.

В главе строятся примеры (периодических) слабо сопряженно бипри-1ТИВИО конечных не локально конечных групп Фробениуса из которых : сдует решение вопроса В.П.Шункова 6.54 из [13] (пример 5.1.9). В слепнем параграфе главы обобщается известная теорема Бэра [3,39] конечных расщепляемых группах:

Теорема 5.4.1. Пусть периодическая слабо бипримитивио коисч-1Я расщепляемая группа <7 в некотором расщеплении обладает соб-чвенной допустимой нормальной подгруппой. Тогда £? является лп-1 р-группой, либо группой Фробениуса, либо НТ-группой. Многие исследования в теории бесконечных групп посвящены доказа-льствам существования в группе "хороших" бесконечных подгрупп, щ, по известной теореме Каргаполова-ХоллагКулдгилаки [8,47], лю-я бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абе-ву подгруппу. Глава 6 диссертации посвящена вопросам существо-ния в группе бесконечных /-локальных (т.е. подгрупп с петрявпаль-ш локально конечным радиЮлом) и абелевых подгрупп (решение

вопросов М.И.Каргаполова 1.24 и С.П.Стрункова 2.75 из [13] в некот рых классах групп).

Теорема 6.3.2. Пусть G — бесконечная группа без инволюць а « Ъ — элементы простых порядков из G, и все подгруппы ou Ls = (0,6") в G конечны. Тогда либо группа G обладает конечн периодической частью, и ибо хотя бы один из элементов а,Ь влож\ в /-локальную подгруппу группы G, содержащую бесконечно мно элементов конечного порядка.

Теорема 6.4.3. Бесконечная СF-группа обладает бесконечной at левой подгруппой.

Отметим также следующий результат.

Теорема 6.4.1. Пусть G — квазиконечная неабслева группа. Тог для любой пары элементов a,bs G~^Z(G) найдется бесконечно мне элементов вида ¥, д*1Я которых справедливо равенство G — (а, Ь3)

Построение примеров не локально конечных групп с различными з ловлями конечности необходимо как для обоснования таких услов* так и для понимания их взаимосвязи. В теореме 7.3.4 показано, ч большинство классов групп с различными условиями конечности, р; см&триваемых в диссертации, попарно различны. Отметим следу ище теоремы главы.

Теорема 7.3.1. Для любого целого ci ^ 2 существуют непилы теитные d-порожденные периодические, смешанные группы и груп без кручения, разложимые а произведение двух нормальных подеру, в которых d-порожденные подгруппы нилъпотентны.

Теорема 7.3.1 дает отрицательный ответ на вопрос ÏU.C.Keuxaj 1.33 из [13] в классах периодических, смешанных групп и групп ( кручения.

Теорема 7.3.3. Для любого п ^ 2 классы сопряженно п-.арно : печных групп и п-арио конечных групп различны.

Доказательство .этих теорем существенно опирается на следу юи результаты по ассоциативным кольцам.

Теорема . 7.2.1. Для любого целого число d ^ 2, любого копен го множества M натуральных чисел, содержащего вместе с чиа> все его делители, и произвольного ассоциативно-коммутативна кольца Ф с единицей 1 -ф 0 существует d-порожденная ассоциат ная непилъпотенгпмая градуированная нильалгебра А — Л'1) пад ко цел Ф, такая, что для каждого m 6 M подалгебры из Л'™' (

Л(-'<' — Л'11,!"-" для i > 1 ), порожденные d™ - 2 элсмсита^аи, миьпо-тептны.

Теорема 7.2.2. Цля любого целого числи d ^ 2 и произвольного ассоциативно-колшутатиапого кольца Ф с единицей 1^0 существует ¿-порожденная ассоциативная кснильпотентная нильалгебра А — I + J над кольцом Ф, где Jul — идеалы в А, прмчеол в I и J подалгебры, порожденные d элементами, нцлъпотентпы.

Как показана практика исследований, метод фрсбеннусовых подгрупп эффективен при изучении групп с различными условиями минимальности для подгрупп, в доказательствах различных теорем вложения конечных элементов в "хорошие" бесконечные подгруппы, а исследованиях расщепляемых групп с конечными элементами и групп с конечным л классами сопряженных элементов [18, 27, 31, 32, 31, 35, 36, 55,56, 57]. В главе 8 показывается, что метод фрсбениусовых подгрупп применим также при исследования групп с дополняемыми подгруппами. На этом пути были получены следующие модификации теорем 2.1.3, 3.1.3.

Теорема 8.1.2. Пусть а— фробезшусо-абелевый элемент группы G и а2 ф 1. Тогда (aG)— либо ебелева группа, либо множество фробсниусовых подгрупп с неинвариаитпъил ¿яюзаителсм {а) в группе G обладает единственным максгииалъни.п по включению элементом Т, и {аа} — прямое произведение всех сопряженных с Т подгрупп группы G.

Теорема 8.2.2. Пусть а — почти фробениусо-абелевый элемент группы G и а~ ф 1. Тогда {ас) — либо группа с конечными классами сопряженных элементов, либо множество фробениуеовых подгрупп с неинвариантным множителем {а} в группе G обладает единственным максимальным по включению элементом Т, и (ас) — прямое произведение всех сопряженных с Т подгрупп группы G»

Напомним, что группа называется локально вполне факторязусмой, если все ее конечнонорождеиные подгруппы вполне факторизуемы [26].

Теорема 8.3.2. Группа тогда и только тогда локально вполне факторизуема, когда вполне факторизуемы все ее двупорождекные подгруппы.

Методы, разработанные в доказательствах теорем 2.1.3, 2.4.2, 8.1.2, 8.2.2 , позволяют исследовать строение нормального зайыкалия {а?) и в других случаях. Некоторые обобщения теоремы 2.1.3 были получе-

ны в [35, 38]. Теоремы 8.4.2 - 8.4.5 диссертации являются аналогам! теорем 2.1.3, 2.4.2, 8.1.2, 8.2.2.

Подгруппа L группы G называется F-подгруппой (F-группой) с не инвариантным множителем (с) и ядром F, если (о) и F — собственны« подгруппы в G и выполняются следующие условия: 1) L = F X (a) j а? Ф 1; 2) отображения / —>- [а,/] и / —> [а2,/] биективны на F Приведем здесь только теорему 8.4.2.

Теорема 8.4.2. Пусть G — группа, H — ее собственная под группа, а — конечный элемент группы G, |о) = р'п > 2, где р — простои число, и для любого элемента а3, где g € G \ H. подгруп па Lg = {а, а3} является F-группой с неинвариантным мпожите.*ел (а). Тогда G — F Nc({a)) и FX (а) — F-группа с неинвариантнш множителем (а) ti периодическим ядром F.

В главе 8 рассматривается один класс групп с фробениусо-абелеьыь элементом а при |а| = 2 — сииплсктической 3-транснозицией. От мстим, что определения фробсниусовой и фробениусо-абелевой инволюции а из диссертации соответствует определениям изолированно!! инволюции, 3-траиспознцин и нечетной транспозиции [5]. В теорш конечных групп строение {aa)/Sol({aG)) в группе G с фробениусов» абслевсш инволюцией а определяется фундаментальными результата ми Д.Глаубермана [45], Б.Фишера [43] и М.Агпбахера [38] (см. теоремы 4.95, 2.58, 2.04 из [5]). Бесконечные группы с фробениусовой i фробениусо-абелевой инволюцией практически не изучены (см. по этому поводу вопросы 4.75, 10.62, 10.76, 11.13, 12.101 из Коуровской тетради [13]). Но как указано в [40], группы с 3-транспозициями локально конечны, что полностью решает вопрос автора 12.76 из [13].

В отличие от аналогичных ситуаций, рассмотренных в предыдущих главах, в исследованиях групп с сммплектическими 3-транспозициями удается эффективно использовать вспомогательный обьект, а именно: по группе G с множеством D 3-транслсзиций симплектического типа * строится алгебра L над Fi с базисом D, причем G < Aut(L) по построению.

Теорема 9.1.5. Пусть G — группа, порожденная множеством D-3-транспозиций симплектического типа и L — связанная с G алгебра. Тогда: 1) G — локально конечная группа, и L — локально конечная алгебре Ли, 2) Алгебра L проста тогда и только тогда, когда (GfZ{G))' — простая группа. 3) Группа G — центральное произведение своих максимальных, связных D-подгрупп. 4) Алгебра L — прямая

jM.ua максимальных связных D-подалгебр.

В следующей теореме с помощью известного результата Д.Маклаф-ина [48] дается характеризация конечных групп с 3-транспозициямн имплектического типа.

Теорема 9.1.7. Если G — связная группа конечного ранга, по-ожденная множеством D 3-транспозиции симшектического ти-а, то G/Oi(G) изоморфна одной из следующих групп: 2„, 5р(2п,2), '+(2л, 2), 0~(2п,2).

Поясним, что связность группы G и конечность ее ранга в теоре-е 9.1.7 равносильна равенству D — аа и существованию конечного сомножества из D, порождающего группу G.

Отметим, что аналогичные результаты другим путем получены [.Холлом [46]. Из теоремы 9.1.7 вытекает часть основного результата ».Фишера из [43] (см. теорему 2.58 из [5]).

Связь групп с З-транспазишшми симплектического типа и некоторых лгебр Ли, указанная в главе 9, естественно приводит к исследованию оответствутощих алгебр Ли над произвольным полем. Этим иссле-ованиям посвящена последняя глава диссертации. Основным в них вляется понятие мономиалъного базиса D алгебры L над полем Ф, •.е. базиса, с точностью до структурных констант замкнутого относн-ельно умножения.

Объектом исследования являются алгебры Ли с мономиальным балком D, в которых любая пара элементов из D порождает либо абелеву год алгебру, либо 3-мерную простую подалгебру. Ортонормирсваиный ¡азис {i, j, к} 3-мерного евклидова пространства L¡ — пример моношального базиса относительно обычного векторного произведения.

Существенным моментом, в изучении таких алгебр является полное тисание связных алгебр ранга 3 (теорема 10.1.3). Они исчерпываются шгебрами Sj (алгебра тала D2), 7-мерной простой алгеброй Мальцева сарактеристики 3 и двумя параметрическими семействами Л(а, /í, S, у) i Bia) 7-меряых простых алгебр характеристики 2.

Теорема 10.1.3. Пусть L — связная алгебра Ли ранга 3 с мономи-глъным базисом D и любая пара элементов из D порождает в L либо абелеву подалгебру, либо Ъ-мерную простую подалгебру. Тогда справедливо одно из следующих утверждений: 1) L — 6-мерная алгебра S¿, поле Ф произвольно. 2) citar Ф = 3 a L — 7-мерная простая алгебра с однородным базисом, изоморфная алгебре С^/Ф} 1, где С^ — коммутаторная алгебра алгебры Коли — Диксона С == С(—1,—1, —1)

над Ф. 3) char Ф — 2 и L — одна из 7 -мерных простых алгебр В (о A(a,ß,y,6\ для подходящих параметров a,ß,y,6 £ Ф.

В следующей теореме устанавливается связь изучаемых алгебр группами, порожденными 3-транспозиииями.

Теорема 10.1.4. Пусть L — связист алгебра Ли над полем Ф мономиальным базисом D такая, что выполняются условия: 1) J]\ бая пара элементов из мономиалъного базиса D порождает в L лш абелеву подалгебру, либо 3-мерную простую подалгебру. 2) Алгеб\ L не содержит 7-мерных простых D-подалгебр.

Тогда справедливы следующие утверждения: 1) D вкладывает в некоторую группу G — G(L) « качестве множества симгмект чес.ких 3-транспозиций, и при этом для любых элементов а,Ь 6 произведение ab = ааьс Ф Q в алгебре L в том и только том случо когда Ь" = с Ф b в группе G. 2) Решетки D-подгрупп группы G D-подалгебр алгебры L изоморфны. 3) Алгебра L локально конечна

Поясним, что в теореме 10.1.4 связность алгебры L равносильна о' сутствию в L идеалов, порожденных элементами из D.

Для случая, когда связанная с алгеброй L группа G(L) "вращени базиса" изоморфна симметрической группе En, дается полное описан! алгебры X:

Теорема 10.1.5. Пусть алгебра L над полем Ф удовлетворяе условиям теоремы 10.1.4, причем Ф —у/ф и группа G(L) из теор мы 10.1.4 изоморфна симметрической группе En, где Q — линей) упорядоченное множество. Тогда справедливы следующие утверх дения: 1) Без сграничения общности можно считать, что баз\ D - {б,у = e;i\i,j 6 Q,» Ф j} и ненулевые произведения базиснъ элементов задаются формулой = — j){j — k)[k — i)]e;

2) Если t'ß| = 2п < оо и скагФ ф 2, то L — классическая слге< ра Д,- 3) Если j£l| = 2п -Ы < оо и сЬагФ Ф 2, то L — классичесы алгебра Вг,

зе

Литература

[1] Адян С.И. Проблема. Бервсайда я товшества в группах.- М.:Наука, 1975.

[2] Бусгрхпк В.М., Старост:;:! А.И. О локально конечных расщепл вестах группах// УМИ - 1982-Т. 17, N 6.

[3] Бус&рхли В.М., Горча^оэ Ю.М. Конечное ртадеплаапга группи.- М.: Наука, 1958.

[4] Голод Е.С. О ниль-алгебрах !1 финитно аппроксимируем«* группах// Изв. АН СССР. Сер. матеи- 1864-Т. 28, N 2.- С. 273-27«.

[5] Горспстейн Д. Конечные простые группы.- М-: Мир, 1935.

[С] Грнгорчух Р.И., Курчалоя И.Ф. Некоторые вопросы тгорми групп, связанные с геометрией// Итоги науки л техники. Современные проблемы матем. фунлч.м. направления.- 1390-Т. 58,- С. 191-256.

[7] Измайлов А.Н. Харахтернзаци« групп К) я 5г(К) над локально конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика.- 1985.- Т. 24, N 2.-С. 127-172.

[8] Каргаполои МИ. О проблеме О.Ю.Шышгга// Скб. матем. п.- 1963,-Т. , 4, N 1.-С. 232-235.

[9] Каргалалоп М.И., Мерзлаков 10.11. Основы теории групп.- М.: Наука. 1977.

10] Кемхадзе Ш.С. Вазы епииствстгостя в бесконечных регулярных р-группах// У к р. мзтеы. ж,- 1952 - т. 4,- С. 57 - 04.

И] Кострмши А.И. О проблеме БернсаДпа// Изо. ЛЯ СССР. Сер. ыатем.-1959,- Т. 23, N 1.- С. 3-34.

12] Кострикмн А.И. Вокруг Берпсайда.— М-: Наука, 1986.

13] Коуровсхаа тетрадь: Нерешенные воярссы теории групп. -<5-12 издания,— Новосибирск, 1978-1992.

14] Курош А.Г. Теория групп-М.: Наука, 1967.

15] Новиков П.С. О периодических группах// ДАН СССР - 1959.- Т. 127.-С. 745-752.

16] Ольшанским А.10. Гескетрия опрезелхюших соотношении в группах.— М.: Наука, 1989.

17] Ольшанский А.Ю., Шмелькай А.Л. Бескснгчиыв группы// Итоги яйуся и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фундаи. иалрдвл.- 198Э.-Т. 37,-С. 5-113.

18] Остыловский А.Н. Локальная конечность яекоторых групп с условием

минимальности дла абеягвьиг паттрулл// Алгебра к логкка.- 1977,-Т. N J.-G. S3-73.

[IS] ¡¡оно» A.M.. Щуикоз В.П. Х&раБтеркзацзе адших> класса черинкожга групп/'/ Алгебра к логика - 1987,- T. 2G, N 3 - С. 358-375.

¡20] С Старостин А.И. О группах Ф[юб«икуса// У up. иатеы. ж,- 1971.- Т. 2 N Ь.- С. 629-63S.

¡2J] Струмков íi.l!. Нормализаторы к zúc.isnu колгруппи кегзэторых уласа групп// Изв. Ali СССР. Сер. ыатсм.- 1967.- Т. 31, N 3.- С. 657-670..

¡22] Сучкова И.Г., Шуньов В.П. О группах с условней ыкииыалыккгги я; абедевыя подгрупп// Алгебра » логика.- 19S6.- Т. 25, N 4.- С. 445-469

[231 Хухро Е.И. Нилыютеитные группы в кх ьппжшрфнзыы просто; кзркшсв.- Фрайбург, 1992.

[24] Череп А.А. О множестве элементов коечного порядке» б бипрнмитми: конечной группе// Алгебра к логика.- 19S7.- T. 2G, N 4.- С. 518-521.

[25] Черниьоп С.Н. У слов;: г соксчиости в обшей теоркк групп// Успехи на цауЕ.- 1959-Т. 14. N 5 - С. 45-95.

[2tí] Черников С.Н. Группы с заданными свойствами скстеим подгрупп.- Iv! Наука, 19SÜ.

[27] Шлешшн А.К. О сопргкенно Ёкприкшгивко конечных группах с условна ярииаргюй имикиалькости// Алгебра п лотки,- 19S3.- Т. 22, N 2.- <

220-231.

[23] Шмидт Q.IO. Локадыииг конечность одного класса бесконечных пери дичсских групп// В сб. Избранные труды. Математика.- M.- 1359.- < 258-390.

[23] ШунЕоз В.П. Об салом классе р-групп// Алгебра к логика.- 1970 - Т.1 N 4 - С. 484-496.

[30] ШунковВ.П. О перноанческвх группа! с почти регулярной инволжмшен/ Алгебра и логика,-1972 - Т. 11, N 4.- С. 470-494.

[31] Шуи коз В.П. 05 обелезых подгруппах в бнпримиткрко конечных rpyj пах// Алгебра к логика.-1973.- Т. 12, N 5.- С. 603-614.

[32] Шуккоа В.П. О бесконечных ыеятр&кюаторах в группах// Алгебра логика.- 1974-Т. 13. N 2.- С. 224-226.

[33] Шункоз В.Г1. Об одном признаке мгпростоты групп// Алгебра к логика. 1975.-Т: 34, N 5.-С. 491-522.

[34] Шуньов B.I1. О достаточных прнзаэтах существования ь группе бгоа вечных локально конечных подгрупп// Аягебрв и логака.- 1976.- Т. 1 N б.-С. 716-737.

[35] Шукеов В.П. Мр-группы- М.: Науга, 1990.

[35] Шуиков В-П. О Елйксник лрииариых зяеыеитов в группе.- ВО Наука. Новосибирск, 19Э2.

[37] Ascbb&cher M. A cfaaiacieriaation oí certain Frobcnius groups// Ш. J. Math. 1974.-V. 18, N 3.- P. 418-426.

[33] Aschbarher M. Ob finite groupe gen rated by odd transpositions. I, II, II IV.// Matli. Z.-1972.- B. 127, N l.-S. 45-56; J. Algebra.-1973.-V. 26,1 3 - P. 451-459; 4SU-47S: 479-491.

I] Baer R. Eiafaclierpartitionen endlicher Gruppen mit nicbt-iriv«Rler

Fittingücher Untergruppe// Arch. Math.- 1961.- В, 12.-S. 31-80. lj Cuypers H., Hail j.i. The cbwiHcaiiou of ^transpositions groups with trivial ccntcr// Math. Soc. Lect. Notes.- 1S92.- V. 165,- Cambridge University Рге.-я,- P. 121-138.

] Fischer S. F-Cruppen endlicher Ordnung// Arch. Math.- 1065.- B. 15.- S. 3" 0-3'JR.

'] Fischcr B. Frobenrasautomorphismca endlicher Gruppen // Maüt. Агш.-

1066.- В. 1S3- S. 273-298. .] Fbcher В. Finite йгоирз generated by 3-transpositions// University of

Warwick (Preprint). .] Frobenius G. Uber auflösbare Gruppen. IV.// Sitzungsber.' Рггш». Л bid.

Wise, zu Berlin1001.- S. 121G-1230. J Clauberm&n G. Central ekraenis in coro-free croups// J. Algebra..- 1965. -V.

4, N 3- P. 403-420. ■] Hall J.I. 3-Transpositiaa Groups -.vith Noa-ceatral Norma! 2-S«baroup3 // J.

Algebra.- 1902.- V. 14«, N 1.- P. 49-76. ] Hail P., Kuistilaka C.R. A property of 1осЫ!у firrite groups // J. Lnadoa

Math. Soc.- 1064.- V. 3D,- P. 235-233. ] Mclaaghlia J. Some «мЬзгоирз oi S£JF3) // ill- J. Math - 196«.- V. 13, N 1- P. 108-115.

] Thompson J.G. Finite groups with fixed-point-fre« aiitorsDrpbisn» of рпгаз

order// Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A.- 1050 - V. 45 - P. 578-531. ] Suzuki M. Oa a finite group with a partition// Arch, ?.fc.ih.- 1961.- V. 12.-P. 241-254.

] 2essenhais H. Uber endliche Fastboipei// Hamb. Abb.- 1?35,- В. 11,- S. 1S7-229.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ

] Созутсз А.И., Шуикоа13.iL 05 сяком сС<обжсшш тсореми Фр-бамутл ;т

бесконечные группы/J Мата;!, сб.- 1S76.-T. 100, N 4.- С. -135-508. ] Созутов А.Й. О группах с фрсбениусогмми парами сспрязгеинсяс лтк?.:?т!-

тов// Алгебра и логика.- 1977.- Т. 16, N 2.- С. 204-212. ] Созутоа А.И., Шулкоз В.П. О бесконечных группах, п&етпештах фро-бсииусовыми подгруппами// Алгебра и логика,- 1377,— Т. 15, N б.- С. 711-735.

J Созутоз А.И., Шуиютз В.П. О бесконечных групяих, насьЕЩсзшых фрсбе-няусосиии подгруппами II// Алгебра я логик*.- 1979,- Т. .18, N 2,- С. 208-223.

3 Созутса А.И. О сузиесгвоваляи в группе бесгоиечних падгруил с нетра-опальным локально конечным радикалом;// Препрнят ВЦ СО АН СССР d г. Красноярска.- 1080.- С. 11-13. ] Соэутов А.И. О группах с систеаой подгрупп, близких к фробеняусо-внм// XVI Всесоазз. алпгебраяч. юонф.- Тез. докл.- Ленинград.-1981.- С. 124.

i Созутсз А.И. О нилъ-радмкаягхп группаs// Алгебран ясгнка,- 1993Т. 30, N 1,- С. 102-105.

[СО] Созутов A.M. О группах типа £4. нарожденных З-транслозицкяьш// С ¡иатеы. к - $032 - Т. 33, N l.-G. H'j H'J.

{Glj CtnyiuB А.И. ОГ) алгебрах Ли с нпноык&льныи базисоа//ChG. матеы. ШЗ.-Т. 34, N 5.-С. Ш-201.

[02] Оозутов А.И. О строении иенияаркантного множителя в некоторых rj пах Фробскиуса// Сиб. ылтсы. ж - 1994.- Т. 35, N 4,- С. 893-901.

[C3j Омутов A.it. О примерах агсоциативньзх ккга.алгебр// М&тсм. заж-Ti Т. 57, вып. 3. - 1SU5.- С. 415-450.

[04] Сочутов А.И. О группах с классом фробекнусовэ-абелевых элементе Алгебра в лоп.еп,- I5S5-Т. 34. N 5.- С. 531 - 549.

[G5] Созутов А.И. О группах с некоторыми системами F-ncvrrpyn Краеиоарсж.- 1995.-20 С.- Деп. в ВИНИТИ 09.11.95, N 2957-BD5.

[66] Ларин С.В., Созутсяз А.И. О расщепляемых группах с компонентой ] шеппекив простого вкаекса// Метек. заметки.- Т. 57, вып. 3.- 1995. 377-3S5

[67] Созутов А.И. О некоторых группах с нормальной компонентой расще] ния// Красноярск. - 1935,- 9 С.- Деп. в ВИНИТИ 0S.11.85, N 2958-В