Характеризации черниковских групп и групп, близких к фробениусовым тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Попов Алексей Михайлович

ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ЧЕРНИКОВСКИХ ГРУПП И ГРУПП,БЛИЗКИХ К ФРОБЕНИУСОВЫМ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Красноярск — 2006

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете.

доктор физико-математических наук, профессор А. И. Созутов

доктор физико-математических наук, профессор А. С. Кондратьев доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Ремесленников доктор физико-математических наук, профессор Б. В. Яковлев

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 12. 05. 2006 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.099.02 при Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Красноярского государственного университета. (

I

Автореферат разослан « ю » 2006 г.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

М.И. Голованов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации исследуются периодические и смешанные группы близкие по свойству расщепляемости к группам Фробениуса: группы с черниковскими централизаторами элементов, группы с системами фробениусовых подгрупп и пары Фробениуса. Черпиковские и фробениусовы группы — классические объекты исследований абстрактной теории групп.

Исследуя гипотетическую бесконечную простую р-группу G с условием минимальности в [29}, ОЛО. Шмидт доказал, что при р > 2 её максимальные подгруппы должны быть сильно изолированы, составлять расщепление группы G, и любая пара её пеединичных элементов, взятых из разных компонент, должна порождать всю группу. Среди конечных таких групп но было. Наиболее близкими к ним, за исключением свойства простоты, являлись минимальные группы Фробениуса. Только через 40 лет бесконечные простые группы с указанными экзотическими свойствами были построены А.Ю. Ольшанским [14, 15]. Наиболее впечатляет пример простой бесконечной группы, все собственные подгруппы которой имеют простой порядок и сопряжены [15].

А-Г. Курош в примечании к статье [29] обращает внимание на выдвинутую О.Ю. Шмидтом гипотезу. "Если подгруппа Ф периодической группы Г совпадает со своим нормализатором, взаимно проста со своими сопряжёнными и отлична от своего коммутаната, то группа Г не может быть простой.

Отто Юльевич показывает, что из этой теоремы и некоторых упомянутых выше результатов легко следует локальная конечность р-групп с условием минимальности при всех р."

С.И. Адяном [4] и А.Ю. Ольшанским [15] были построены примеры групп опровергающие эту гипотезу. Но более чем 40-летний опыт иссследований групп со слабыми условиями конечности, показал, что характеризации чер-никовских групп в классах не локально конечных групп без инволюций, как правило, сводятся к признакам непростоты групп с богатыми системами фробениусовых подгрупп [17].

Почти абелевы группы с. условием минимальности впервые были введены С-Н. Черниковым в связи с описанием локально разрешимых групп с условием минимальности для (абелевых) подгрупп [24], [25], [26]. Позднее, такие группы были названы вначале группами Черникова, затем черниковскими [11]. Ещё в 1940 г. А.И. Мальцев [10] доказал, что р-группа тогда и только тогда изоморфна некоторой группе матриц над некоторым полем характеристики отличной от р, когда она является черниковской группой. Этот результат означает, что

черпиковские р-группы — это в точности р-подгруппы матричных групп характеристики, отличной от р. Учитывая значимость силовской теории для линейных групп, в абстрактной теории особую роль приобретают различные характеризации примарных черпиковских групп. Такие характеризации были получены многими авторами. В первую очередь здесь следует упомянуть ставшие уже классическими результаты С.Н. Черникова [26], [27], А.И. Мальцева [10}, ИД. Адо [1], [2], Х.Х. Мухаммеджана [12}, H.H. Мягковой [13], М.И. Кар-гаполова [8], Н. Блэкберна [36]. Перечислим наиболее важные из них. Каждая локально конечная р-группа, удовлетворяющая условию минимальности для нормальных делителей, является р-группой Черникова (И.Д. Адо [1], [2]); р-группа, обладающая возрастающим центральным рядом, тогда и только тогда будет черниковской р-группой, если все факторы ее верхнего центрального ряда удовлетворяют условию минимальности (Х.Х. Мухаммеджап [12]); локально конечные р-группы конечного специального ранга являются р-группами Черникова (H.H. Мягкова [13]); локально конечная р-группа является черниковской р-группой, если она обладает конечной максимальной элементарной абелевой подгруппой (Н. Блэкберн [36]). Последний результат, с учетом свойств черниковских р-групп можно переформулировать так: локально конечная р-группа является черниковской, если в ней централизатор некоторого элемента порядка р — черниковский. B.II. Шунков [31] обобщил теорему Блэкберна на бипримитивно конечные р-группы, в частности, на произвольные 2-группы.

Шмидт [29] показал, что простых квазичерниковских 2-групп не существует. Как уже упоминалось, Ольшанский для любого нечетного р построил простые квазичерниковские р-группы. В главе 2 диссертации идеи Шмидта и Ольшанского получают дальнейшее развитие. При этом наряду с черниковски-ми группами в исследованиях появляется континуальное множество нечерни-ковских групп. Согласно указанным выше результатам, для характеризации черниковских р-групп с черпиковским централизатором некоторого элемента необходимы дополнительные условия. Такие условия также найдены в главе 2 в виде слабых условий конечности.

Группа называется слабо (сопряженно) бипримитивно конечной, если в ней любая пара (сопряженных) элементов одного и того же простого порядка порождает конечную подгруппу. Если это свойство наследуют все сечения группы по конечным подгруппам, то такая группа называется (сопряженно) бипримитивно конечной. Сейчас эти группы называются также груп-

шш Шункова. А.И. Созутов предложил элемент а группы С с конечными подгруппами вида Ьд — (а, а9) называть конечным и называть Н-конечным, если указанное условие выполняется для д € С? \ Н [49]. Естественно называть элемент а почти конечным, если это условие выполняется почти для всех элементов ад € С. Ослабление понятия конечного элемента даёт условие (а, Ь)-конечности, когда неединичный элемент а из С? порождает почти с каждым элементом (т.е. за исключением, быть может, лишь конечного числа) сопряженным с ¿> Ф 1, конечную подгруппу. Развивая идеи конечности, элемент о будем называть обобщённо конечным, если в группе (7 найдётся нетривиальный элемент Ь такой, что в б выполняется (а, 6)-условие конечности, и такой элемент (не обязательно один и тот же) найдётся в каждом сечении группы в по периодической подгруппе, содержащем образ элемента а. В случае, когда условие обобщённой конечности выполняется для всех элементов простого порядка из О и наследуется всеми ее подгруппами и фактор-группами по периодическим нормальным подгруппам, назовем С? обобщенно конечной группой- Класс обобщенно конечных групп содержит классы групп Шункова, бипримитивно конечных групп и бинарно конечных групп.

В 1970 году В.П. Шунковым была доказана следующая замечательная теорема [32]. Всякая локально конечная группа, удовлетворяющая условию минимальности для абелевых подгрупп является черниковской группой. В связи с тем, что произвольная группа с условием минимальности для абелевых подгрупп не обязана быть черниковской [3], [15] в 70-х годах резко повысился интерес с характеризациям черниковских групп в различных заданпых классах групп. В.П. Шунков, А.К. Шлёпкин, А.Н. Остыловский, Н.Г. Сучкова [31, 28, 1С, 23, 17] в результате длительных исследований получили следующий результат. Всякая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием (примарной) минимальности для (абелевых) подгрупп является черниковской группой. Таким образом^ ряд проблем минимальности С.Н. Черникова полностью решен в классе сопряженно бипримитивно конечных групп. Как известно, в классе периодических групп все они имеют отрицательное решение (П.С. Новиков, С.И. Адяп [3, 4], АЛО. Ольшанский [14, 15]).

Многие важные свойства групп определяются свойствами централизаторов элементов простых порядков. В частности, в упомянутых уже работах [31], [36} черниковость группы при некоторых ограничениях следует из строения централизаторов элементов простых порядков.

В диссертации для групп без инволюций продолжена характеризация чер-

никовских групп, уже не обязательно примарных. Этот подход охватывает полученные А.Н. Остыловским, Н.Г. Сучковой, А.К. Шлёпкиным и В.II. Шуп-ковым результаты, поскольку рассматриваются не сопряжённо бипримитивно конечные группы с условиями минимальности, а группы с почти конечным элементом, централизатор которого черниковский. При некоторых дополнительных условиях также удаётся доказать, что исследуемая группа черников-схая, или указать в группе черниковскую нормальную подгруппу.

Основным методом исследования групп с различными условиями конечности, в частности, характеризаций черниковских групп, в настоящее время является метод фробениусовых подгрупп [17], т.е. метод, связанный с теоремой Фробениуса, группами Фробениуса й группами близкими к фробени-усовым. Группа С? = РХИ называется группой Фробениуса (фробепиусовой группой) с дополнением Н и ядром Р, если ^иЯ — такие собственные подгруппы группы (7, что 1) IIЛII9 = 1 для любого элемента д € <7 \ Н, 2) Р = П1е£;(<7 \ Н*)х = <7 \ и Ж€С(Я \ {I})1 [18]. Если Си Н удовлетворяют условию 1 определения группы Фробениуса, то но В.П.Шункову [18] они составляют пару Фробениуса (О, Н)\ Ю.М.Горчаков [6] предложил называть в этом случае подгруппу II обособленной в <7. Элемент а группы (7 вслед за А.И. Созутовым назовём Н-фробениусовьш, если все подгруппы вида Ьд — (а, а9}, где д 6 <7 \ II, а Н — собственная подгруппа, являются группами Фробениуса с дополнениями, содержащими элемент а [49].

Если простая квазичерниковская группа (7 — контрпример к какой-либо проблеме минимальности Черникова — обладает бесконечной максимальной подгруппой Н, то пет достаточных оснований утверждать, что (<7, И) обязательно пара Фробениуса. Но во многих случаях удаётся доказать, что в <7 есть II-фробениусовый элемент (см., например, А.Н. Остыловский, В.П. Шунков [16]).

Выделим ситуацию в чистом виде. В группе (7 есть собственная подгруппа II и элемент а конечного порядка > 2 такие, что для каждого элемента д е <7 \ II подгруппа Ьд = (а, а9) — группа Фробениуса. При этом на группу С других условий не накладывается. Случай, когда дополнение в группах Ьд совпадает с (а) был полностью исследован А.И. Созутовым и В.П. Шунковым [19, 20г 21,33]. Для конечных групп частные случаи рассматривались также Б. Фишером и М. Ашбахером [37, 38, 35]. Группы Фробениуса в последнее время интенсивно изучались А.Х. Журтовым и В.Д.Мазуровым. В частности, ими доказана конечность группы Фробениуса, порожденной двумя элементами по-

рядка < 4 [7].

Хорошо известно, что дополнительный множитель (конечной) группы Фро-бениуса вида Ьд = (а, а3} может быть и не циклическим. В связи с этим А.И, Созутовым в Коуровской тетради [9] был поставлен следующий

Вопрос 10.61. Пусть С? — группа, Н — ее собственная подгруппа, а € Н, а2 Ф 1 и для всякого д € С\Н подгруппа {а,ав) является фробениусовой группой с дополнением, содержащим а. Будет ли подгруппой объединение всех ядер фробениусовых подгрупп группы б с дополнением {а) ? Особенно интересен случай, когда элемент а с любым своим сопряженным элементом порождают конечную подгруппу.

В четвёртой главе диссертации представлены результаты о строении группы С? и нормального замыкания её элемента а при условии, что в б достаточно много фробениусовых или близких к фробениусовым подгрупп, порождённых парой элементов из оР. В них утверждается существование в (7 нормальной подгруппы — ядра некоторой глобальной группы Фробениуса. Подобные теоремы в школе В.П. Шункова принято называть признаками непростоты и они близки по содержанию к теореме Фробениуса. Известные результаты в этом направлении были получены Созутовым, Шунковым [21, 33, 19]. В диссертации основное внимание уделено решению упомянутого вопроса 10:61. В частности, когда элемент а имеет чётный порядок вопрос 10.61 решён полностью, на вторую часть вопроса положительный ответ получен во всех случаях, кроме [а[ е { 3, 5}-

Еели {С,Н) — пара Фробениуса и С — конечная группа, то С является группой Фробениуса. В этом и заключается знаменитая теорема Фробениуса. Глубокие обобщения теоремы Фробениуса были получены А.И. Созутовым и В.П. Шунковым. В них существенно использовалось "прозрачное"строепие конечных групп Фробениуса: нильпотентность ядер и полностью изученные до порождающих и определяющих соотношений неинвариантные множители (см,, например, параграф 4 главы 1). Определяя бесконечные группы Фробениуса в виде "ромашки"с "жёлтым"ядром и сопряжёнными "белыми лепестками—дополнениями [49], предполагалось, что они будут тоже устроены не очень сложно. Но как оказалось, дополнениями в периодических группах Фробениуса могут быть некоторые центральные расширения групп "бернсай-дова"типа [49], а в ядро подходящей группы Фробениуса можеть быть изоморфно вложена любая наперёд заданная группа [5]. Ограниченная проблема Бернсайда в классе групп Фробениуса также решается отрицательно ([49], тео-

рема 5.1). Всё это говорит о том, что бесконечные группы Фробсниуса обьект для изучения потенциально сложный и для его эффективного исследования необходимы дополнительные ограничения.

Изучая пары Фробениуса с инволюциями В.П. Шунков пришёл к понятию конечно вложенной инволюции и получил ряд результатов о группах, обладающих такими инволюциями [34].

Цель работы. Получить характеризации черниковских групп по централизаторам элементов простого порядка. Изучить группы с черниковскими централизаторами элементов. Исследовать группы, содержащие бесконечные системы фробениусовых подгрупп. Обобщить теоремы Фробеииуса, Шмидта, Блекберна, Шункова и Созутова на группы с конечными и обобщённо конечными элементами.

Общая методика исследований. Применяются методы теории групп.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, её результаты и методы могут применяться в дальнейших исследованиях бесконечных групп с условиями конечности и групп с инволюциями.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной алгебраической конференции (Ленинград, 1981), на Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Москва, 1984), па международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, 1991, 2000; Красноярск, 1993, 2002; Санкт-Петербург, 1997, 2002; Тула, 2003; Москва, 2004; Иркутск, 2004; Екатеринбург, 2005), на международных конференциях по математике и механике (Красноярск, 1998, 2000, 2002; Томск, 2003), па международных конференциях "Маль-цевские чтения "(Новосибирск, 1998 - 2004). Они обсуждались на заседаниях семинаров "Алгебра и логика", "Теория групп"(ИМ СО РАН и НГУ), на семинаре кафедры алгебры МГУ, на Красноярском городском алгебраическом семинаре.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [39]-[54].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы (90 наименований) и изложена на 134 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации:

- получено описание строения сечений произвольной р-группы с черников-еким централизатором некоторого элемента; показано, что существует континуальное множество не черниковских групп с указанным условием;

- дана характеризация черниковских р-групп как примарных групп с чер-ыиковским централизатором почти конечного элемента;

- описано строение группы с //-фробениусовым элементом чётного порядка, тем самым дан ответ на вопрос 10.61 Созутова для любого элемента чётного порядка;

- получено решение второй части вопроса 10.61 из Коуровской тетради для всех элементов а, за исключением случая, когда их порядок равен 3 и 5;

- получены обобщения теоремы Фробениуса и теоремы Шункова о группах с конечно вложенной инволюцией на достаточно широкий класс групп с инволюциями.

К другим важным результатам, имеющим самостоятельный интерес можно отнести следующие:

- доказано, что примарная группа, обладающая обобщённо конечным элементом простого порядка с черпиковским централизатором, является черни-ковекой группой;

- получена характеризация черниковских групп без инволюций как групп с почти регулярным почти конечным элементом а простого порядка р, в которых абелевы а-инвариантные подгруппы удовлетворяют условию минимальности;

- доказано, что еели группа О содержит #-фробениуеовый элемент а порядка 4 из Н, то объединение всех ядер фробсниусовых подгрупп группы О, с дополнением, содержащим элемент о, является периодической абелевой нормальной в б подгруппой;

- получена характеризация некоторых обобщённо конечных групп Фробениуса,

Далее — более точно и подробно по главам.

Глава 1. В главе сформулированы основные известные результаты, используемые в доказательствах диссертации.

Глава 2. В главе доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть С - р-группа, а - ее элемент простого порядка р и Со (а) - черииковская группа. Тогда либо £7 - черниковская группа, либо С обладает не локально конечным сечением по черниковской подгруппе, в котором максимальная локально конечная подгруппа, содержащая образ элемента а, единственна.

Отметим, что первой части альтернативы теоремы 1 удовлетворяет счетное множество групп, поскольку множество черниковскихр-групп счетно. Используя методы Л.Ю. Ольшанского [15] доказана следующая теорема существования.

Теорема 2. Пусть {С,};е/ - конечное или счетное множество неединичных конечных или черниковских р-групп, \1\ > 2, р > 2 и щ = рк - достаточно большое число. Тогда свободная амальгама X групп Сг,- вложима в простую группу С? = Орй), со следующими свойствами:

1. Всякая собственная подгруппа в С? является или циклической группой порядкаг делящего по или содержится в подгруппе, сопряженной с некоторой из групп С*;

2. Если а е С? для некоторого г € I иЪ £ Сч, то С? = (а, 6);

3. Мультипликатор Шура группы (7 является свободной абслевой группой счетного ранга;

4- Для любой абелевой конечной или черниковской группы 2 существует нерасщспляемое центральное расширение группы С с помощью подгруппы удовлетворяющее вместе с каждым своим нецентральным элементом второй части альтернативы теоремы 1.

5. Если в первоначальный список групп включить группы из пунк-

та 4, то теорема такасе будет верна.

Более определённые утверждения получены в двух следующих теоремах главы (теоремы 3 и 4).

Теорема 3. Примарная группа О, обладающая обобщенно конечным элементом а простогопорядка р с черниковским централизатором Со (а), является черниковской группой.

Теорема 4. Пусть С — р-группа, II — собственная подгруппа из в и а — почти Н-конечный элемент, простого порядка с черниковским централизатором Сс(а)- Тогда С? — черпиковская группа.

Результаты второй главы опубликованы в работах [39, 45, 53].

Глава 3 посвящена характеризациям произвольных черниковских групп без инволюций.

Теорема 5. Пусть С — группа без инволюций, а — почти конечный почти регулярный элемент простого порядка из С такие, что любая периодическая а-инвариантная абелева подгруппа б удовлетворяет условию минимальности. Тогда С — черпиковская группа.

Когда Са(а) — бесконечная черпиковская группа, то при дополнительных условиях также удаётся доказать, что исследуемая группа черпиковская, или указать в группе черниковскую нормальную подгруппу (теоремы б, 7).

В доказательствах этих теорем большую роль играли признаки непростоты групп Созутова-Шункова с (почти) II-фробениусовым элементом.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [40, 41, 42, 43, 54].

В главе 4 группы с системами фробениусовых подгрупп изучаются в чистом виде. В теории (локально) конечных групп теорема Фробениуса является одним из мощных средств исследования и представляет собой важный признак непроетоты группы. В.П. Шупковым и А.И. Созутовым [19], [20], [21], [33] получен ряд признаков непроетоты групп с системами фробениусовых подгрупп, играющих фундаментальную роль для групп с конечными элементами. Они определяют строение группы С? с собственной подгруппой Н, содержащей элемент а, для которого (почти) все подгруппы вида Ьд — (а, а3) (д е С7 \ Н) являются группами Фробениуса с дополнением (а). В следующих теоремах четвёртой главы устанавливаются признаки непростоты групп с системами фробениусовых подгрупп (а, а3), неинвариантные множители которых не обязательно циклические.

По модулю упомянутого результата А.Х. Журтова и В.Д.Мазурова [7] доказана такая теорема.

Теорема 8. Пусть (7 — группа, Н — ее собственная подгруппа, а — Н-фробениусовый элемент порядка 4 из Н. Тогда объединение Р всех ядер фробениусовых подгрупп группы Сг с дополнением, содержащим элемент а, является абелевой периодической нормальной в С подгруппой и б = ЕН.

Отметим, что конечность подгрупп вида L/, = {a,ah), где h S II, в этой теореме не предполагается, а доказывается. Теорема 8 даёт положительное решение вопроса 10.61 для |а| = 4.

Следующая теорема положительно решает вторую часть вопроса 10.61 для всех случаев, когда порядок элемента а отличен от 3 и 5.

Теорема 9. Пусть G - группа, Н - ее собственная подгруппа, а - конечный Н-фробениусовый элемент порядка > 2 из II. Если |ct[ ф- 3, 5, то объединение F всех ядер фробениусовых подгрупп группы G с дополнением, содержащим элемент а, является периодической нормальной в G подгруппой и G = FH.

Теорема 10. Если группа G содержит Н-фробениусовый элемент а четного порядка > 2, то G = FXCc(i), где i — инволюция из {a), a F — абелева периодическая подгруппа, инвертируемая инволюцией i.

Заметим, что при условиях теоремы 10 подгруппы Lg = (а,а9), где g 6 G\H, могут быть и бесконечными. Известно ([49], теорема 5.1), что в периодической группе Фробстптуса дополнение не обязано быть локально конечной группой, а его фактор-группа по локально конечному радикалу может оказаться, например, изоморфной свободной бернсайдовой группе или одному из монстров Ольшанского. Если в качестве группы G взять такую группу Фро-бениуса с дополнением Н чётного периода и элемент а чётного порядка из Н выбрать за пределами локально конечного радикала i?, то тройка (G, II, а) будет удовлетворять всем условиям теоремы 10, при этом все подгруппы Lg будут бесконечными.

Из теоремы 10 вытекает положительный ответ на вопрос 10.61 ¡yj для случая, когда порядок элемента а чётен:

Следствие Пусть G — группа, Н — ее собственная подгруппа, a G II, ¡а| = 2п > 2 и для всякого g £ G \ И подгруппа (а, а9) является фробени-усовой группой с дополнением, содержащим а. Тогда объединение всех ядер фробениусовых подгрупп группы G с дополнением (а) есть нормальная в G подгруппа F uG — FH.

Результаты четвёртой главы опубликованы в работах [44], [46]- [51].

В пятой главе представлены обобщения теоремы Фробениуса на классы групп с обобщённо конечными элементами и характеризации групп Фробениуса.

Напомню, что если Н — собственная подгруппа группы биЯП Н3 = 1 для любого элемента д 6 С? \ Н, то Н называется обособленной в С. Если пересечения IIП IIя не содержат неединичных элементов конечного порядка при любом д € С \ Н, то Н назовём периодически обособленной в С.

Теорема 11. Если обобщенно конечная группа (7 содержит периодически обособленную подгруппу Н с инволюцией, удовлетворяющую условию минимальности для нормальных подгрупп, то С = РХН, где Р — периодическая абелева группа.

Следующую теорему можно рассматривать как характеризацию некоторых обобщённо конечных групп Фробениуса.

Теорема 12. Если обобщенно конечная группа О содержит периодическую обособленную подгруппу II с инволюцией, удовлетворяющую условию минимальности для нормальных подгрупп, то С — периодическая группа Фробениуса с абелевым ядром Р и дополнением II.

Пусть 3 = 3[0) — множество всех инволюций рассматриваемой группы б.

Теорема 13. Пусть множество инволюций 3 группы С содержит конечную инволюцию, а О содержит обособленную подгруппу Н с инволюцией, причем для некоторого смежного класса Нд ^ II пересечение З2 ПIIд конечно. Тогда все инволюции в б сопряжены, инволюция в Н единственна, (3) — локально конечная группа Фробениуса с абелевым ядром Р и С — РХН.

Из этой теоремы вытекает следующая характеризация (обобщение теоремы 2 из [34]):

Теорема 14. Пусть в — периодическая группа, (С?, Н) — пара Фробениуса, Н содермсит инволюцию г и 3 — г*3. Группа (7 тогда и только тогда является группой Фробениуса с дополнением Н, когда для некоторого смежного класса IIд ф Н пересечение З2 П Нд конечно.

Теоремы .13 и 14 обобщают теоремы В.П. Шункова о группах с конечно вложенной инволюцией.

Результаты пятой главы опубликованы в работах [49, 52].

Теоремы 10 — 14 получены в нераздельном и равном соавторстве с А.И. Созутовым.

Автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту Л.И. Созутову за сотрудничество, постоянное внимание и всестороннюю помощь. Благодарю своего первого научного руководителя В.П. Шункова за неослабевающий интерес к моей работе. Я благодарен зав. кафедрой М.В. Носкову и всему коллективу кафедры прикладной математики Красноярского государственного технического университета за поддержку, а также Российскому фонду фундаментальных исследований и Красноярскому краевому фонду науки за финансовую поддержку.

Список литературы

[1] Адо И.Д. Локально конечные р-группы с условием минимальности для нормальных делителей. - Докл. АН СССР, 1946, т. 54. с. 465 - 478.

[2] Адо И.Д. Доказательство счетности локально конечной р-группы с условием минимальности для нормальных делителей. - Докл. АН СССР, 1947, т. 58, с. 523 - 524.

[3] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.

[4} Адян С.И. Аксиоматический метод построения групп с заданными свойствами. - Успехи мат. наук, 1977. Т. 32, N 1, с. 3 - 15.

[5] Блудов В. В. О группах Фробениуса// Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. N 6. С. 1219-1221.

[6] Горчаков Ю. М. О бесконечных группах Фробениуса// Алгебра и логика. 1965. Т. 4. N1. С. 15-29.

[7} Журтов А.Х., Мазуров В:Д. О группах Фробениуса, порождённых квадратичными элементами// Алгебра и логика.- 2003 - Т.42, N 3.- С. 271292.

[8] Каргаполов М.И. О проблеме О.Ю. Шмидта. - Сиб. мат. журн., 1963, т. 4, с. 232 - 235.

[9} Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. Изд-е 15-е. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002.

[10] Мальцев А.И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами. - Матем. сб., 1940, т. 8, с. 405 - 422.

[11} Мерзляков Ю.И. Матричное представление групп внешних автоморфизмов черниковских групп. - Алгебра и логика, 1969, т. 8, N4, с. 478 - 482.

[12} Мухаммеджан Х.Х. О группах с возрастающим центральным рядом. -Матем. сб., 1951, т. 28, с. 185 - 196.

[13} Мягкова H.H. О группах конечного ранга. - Изв. АН СССР, сер. матем., 1949, т. 13, с. 495 - 512.

[14] Ольшанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков// Изв. АН СССР- Сер. матем.- 1980.- Т. 44, N 2,- С. 309-321.

[15] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах-М.: Наука, 1989.

[16} Остыловский А.Н. Локальная конечность некоторых групп с условием минимальности для абелевых подгрупп. - Алгебра и логика, 1977, т. 16, N1, с. 63 - 73.

[17] Сенатов В.И., Созутов А.И., Шунков В.II. Исследования групп с условиями конечности в Красноярске// Успехи мат. наук, 2005, Т. 60, выпуск 5, с. 3 - 48.

[18] Созутов А. И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы// Матем. сб, 1976. Т. 100. N4. С. 495—506.

[19] Созутов А.И. О группах с фробениусовыми парами сопряженных элементов// Алгебра и логика. 1977. Т.16. N2. С. 204—212.

[20] Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами. - Алгебра и логика, 1977, т. 16, N6, с. 711 -735.

[21} Созутов А.И. О группах с классом фробениусово-абелевых элементов// Алгебра и логика. 1995. Т. 34. N5. С. 531—549.

[22] Старостин А.И. О группах Фробениуса./ j Укр. матем. журн. 1971. Т. 23. N5. С. 629-639.

[23] Сучкова Н.Г., Шунков В.П. О группах с условием минимальности для абелевых подгрупп. - Алгебра и логика, 1986, т. 25, N4, с. 445 - 469.

[24} Черников С.Н. Бесконечные локально разрешимые группы. — Матем. сб., 1940. т. 7, с. 35 - 64.

[25} Черников С.Н. К теории бесконечных специальных групп. - Матем. сб., 1940, т. 7, с. 539 - 548.

[26} Черников С.Н. О локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп. - Матем. сб., 1951, т. 28, с. 119 — 129. '

[27} Черников С.Н. О бесконечных локально конечных группах с конечными силовскими подгруппами. - Матем. сб., 1960, т. 52, с. 647 - 652.

[28] Шлепкин А.К. Группы Шункова с условием примарной минимальности. I, II, IH// Siberian. Adv. Math. - 1998.- Т. 8; №№3, 4, 6.- С. 114 - 131, 50 - 74, 109 - 133.

[29] Шмидт О.Ю. Локальная конечность одного класса бесконечных периодических групп// В сб. Избранные труды. Математика.- М.— 1959.- С. 298-300.

[30} Шунков В.П. О некотором обобщении теоремы Фробепиуса на периодические группы// Алгебра и логика. 1967. Т. 6. N3. С. 113—124.

[31] Шунков В.П. Об одном классе р-групп. - Алгебра и логика, 1970, т. 9, N4, с. 484 - 496.

[32] Шунков В.П. О локально конечных группах с условием минимальности для абелевых подгрупп. - Алгебра и логика, 1970, т. 9, N5, с. 579 - 615.

[33} Шунков В.П. Об одном признаке непростоты групп// Алгебра и логика. 1975. Т. 14. N5. С. 491-522.

[34] Шунков В.П. Группы с конечно вложенной инволюцией// Алгебра и логика. 1990. Т. 29. N1. С. 102-123.

[35] Aschbacher М. A class of generalized TI-groups// 111. J. Math. 1974. V. 18, N3. P. 418-426.

[36} Blackburn N. Some remarks on Cernikov p-groups. - III JMath., 1962, v. 6, p. 421 - 431.

[37} Fischer В. F-Gruppen endlicher Ordnung// Arch. Math. 1965. B. 16. S. 330336.

[38} Fischer B. Frobeniusautomorphismen endlicher Gruppen // Math. Ann. 1966. B. 163. S. 273-298.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[39] Попов A.M. Об одном классе р-групп с (а, а)-условием конечности// В сб. науч. тр. "Вопросы теории алгебраических систем".- Караганда - 1981.-С. 93 -107.

[40} Попов A.M. К вопросу о характеризации черниковских групп, обладающих почти регулярным элементом простого порядка// Краен, политехи, инст. - Красноярск - 1985 - Деп. в ВИНИТИ 02.10.1985, N 7327-85- С. 1-24.

[41] Попов A.M., Шунков В.П. Характеризация одного класса черниковских групп// Алгебра и логика - Т. 26, N3 - 1987.- С. 358 - 375.

[42] Попов A.M. Об одной характеризации черниковских групп в классе групп без инволюций// Краен, политехи, инст. - Красноярск - 1988-Деп. в ВИНИТИ 19.04.1988, N 2947-88.- С. 1-26.

[43} Попов A.M., Шунков В.П. Дополнение к статье "Характеризация одного класса черпиковских групп"// Алгебра и логика - Т. 29, N1,- 1990 - С. 124 -125.

[44} Попов -A.M. О группах с Я-фробсниусовым элементом порядка 4// Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды Международной крнференции - Красноярск - 2000 - С. 174-177.

[45] Попов А.М. Ор-группах с черниковским централизатором неедипичного Алгебра и логика - Т. 40, N3 - 2001- С. 330-343.

[46] Попов A.M. Об одном признаке непростоты групп с инволюциями// Алгебра и логика - Т. 42, N2 - 2003 - С. 227-236.

[47] Попов A.M., Созутов А.И. О группах с фробениусовыми элементами// Веб. Труды XXI межрегион. науч.-техн. конф. "Математика".- Красноярск: КрасГАСА.- 2003.- С. 3-20.

[48] Попов A.M. О строении некоторых групп с конечным й-фробениусовым элементом// Алгебра и логика - Т. 43, N2.- 2004 - С. 220-228.

[49] Попов A.M., Созутов А.И., Шунков В.П. Группы с системами фробени-усовых подгрупп - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 212 С.

[50] Попов A.M., Созутов А.И. О группах с ii-фробениусовым элементом чётного порядка// Алгебра и логика,- Т. 44, N2 - 2005 - С.

[51} Popov A.M. On Groups with Probenius Elements// Acta Applicandae Mathematical- V. 85 - 2005 - P. 257-264.

[52] Попов A.M., Созутов А.И. Обобщённо конечные пары Фробениуса// Математические системы - Вып. З.-Красноярск: КрасГАУ- 2005,- С. 62-67.

[53] Попов A.M. О р-группах с обобщённо конечным элемептом//Сибирские электронные математические известия.- Том 3(2006).- С. 89-91.

[54] Попов A.M. О некоторых группах с почти регулярным элементом простого порядка//Сибирские электронные математические известия,-Том 3(2006).- С. 86-88.

Отпечатано в ИПЦ КГТУ. Тираж 120 экз. Заказ 684/2 660074, Красноярск, ул. Киренского, 28

0.1. Введение.

1. Предварительные сведения

1.1. Обозначения и определения.

1.2. Результаты общего характера.

1.3. Некоторые сведения о черниковских группах

1.4. Свойства фробениусовых и близких к фробениусовым групп

2. Характеризации примарных черниковских групп

2.1. Формулировка основных результатов главы

2.2. Основные леммы примарного случая

2.3. Доказательство теорем 1 и 2.

2.4. Группы с обобщённо конечным элементом.

2.5. Группы с почти Я-конечным элементом.

3. Характеризации черниковских групп без инволюций

3.1. Группы с почти конечным элементом.

3.2. Квазифробениусовы подгруппы в группе G.

3.3. Характеризация черниковских групп с почти регулярным элементом.

3.4. Конечные элементы с черниковскими централизаторами в группах без инволюций.

4. Группы с Я-фробениусовыми элементами

4.1. Формулировки основных результатов главы.

4*2. Обозначения и леммы общего характера.

4.3. Я-фробениусов элемент порядка 4.

4.4. Конечный Я-фробениусов элемент.

4.5. Чётный Я-фробениусов элемент.

5. Характеризации групп Фробениуса

5.1. Определения и формулировки теорем.

5.2. Леммы общего характера.

5.3. Свойства пар Фробениуса с инволюциями

5.4. Доказательство теорем 12, 13.

5.5. Пары с конечно вложенной инволюцией.

v Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы делятся на параграфы. Нумерация параграфов имеет указатель на номер главы. Нумерация лемм сквозная в пределах каждой главы и имеет составной указатель (т.п.р), где т — номер текущей главы, п — номер параграфа.

1. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.

2. Адян С.И. Аксиоматический метод построения групп с заданными свойствами. Успехи мат. наук, 1977. Т. 32, N 1, с. 3 - 15.

3. Адо И.Д. Локально конечные р-группы с условием минимальности для нормальных делителей. Докл. АН СССР, 1946, т. 54. с. 465 -478. '

4. Адо И.Д. Доказательство счетности локально конечной р-группы с условием минимальности для нормальных делителей. Докл. АН СССР, 1947, т. 58, с. 523 - 524.

5. Алешин С.В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда в периодических группах. Матем. заметки, 1972, т. 11, N3, с. 319 - 338.

6. Блудов, В. В. О группах Фробениуса / В. В. Блудов // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. №6. С. 1219—1221.

7. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. М.: Наука, 1968.

8. Бусаркин В.М., Старостин А.И. О расщепляемых локально конечных группах. Матем. сб., 1963, т. 62, с. 275 - 294.

9. Гаген Т.М. Некоторые вопросы теории конечных групп. В кн.: К теории конечных групп, М.: Мир, 1979, с. 13 - 97.

10. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно-аппрокисмируемых группах. Изв. АН СССР, сер. матем., 1964, N2, с. 273 - 276.ч»

11. Горчаков Ю.М. О бесконечных группах Фробениуса// Алгебра и логика.- 1965.- Т. 4, №1- С. 15-29.

12. Горчаков Ю.М. О локально нормальных группах. Докл. АН СССР, 1962, т. 147, N3, с. 537 - 539.

13. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов М.: Наука - 1978.

14. Журтов А.Х. Группы Фробениуса, порождённые двумя элементами порядка 3// Сиб. матем. ж 2001.- Т.42, №3.- С. 533-537.

15. Журтов А.Х., Мазуров В.Д. О группах Фробениуса, порождённых квадратичными элементами// Алгебра и логика 2003 - Т.42, № 3-С. 271-292.

16. Зайцев Д.И. О разрешимых подгруппах локально разрешимых групп. Докл. АН СССР, 1974, т. 214, с. 1250 - 1253.

17. Измайлов А.Н., Шунков В.П. Два признака непростоты групп с бесконечно изолированной подгруппой. Алгебра и логика, 1982, т. 21, N6, с. 647 - 669.

18. Каргаполов М.И. Локально конечные группы, обладающие нормальными системами с конечными факторами. Сиб. мат. журн., 1961, т: 2, N6, с. 853 - 873.

19. Каргаполов М.И. О проблеме О.Ю. Шмидта. Сиб. мат. журн., 1963, т. 4, с. 232 - 235.

20. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 3-е изд. М.: Наука, 1982.

21. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп Изд-е 15-е.- Новосибирск: ИМ СО РАН.- 2002.

22. Курош А.Г. Теория групп. 3-е изд. М.: Наука, 1967.

23. Маланьина Г.А. Полупрямые произведения циклических групп. -Докл. АН СССР, 1960, т. 132, N4, с. 762 765.

24. Мальцев А.И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами. Матем. сб., 1940, т. 8, с. 405 - 422.

25. Мальцев А.И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы. Матем. сб., 1949. т. 25, с. 347 - 366.

26. Мерзляков Ю.И. Матричное представление групп внешних автоморфизмов черниковских групп. Алгебра и логика, 1969, т. 8, N4, с. 478 - 482.

27. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. М.: Наука, 1980.

28. Мухаммеджан Х.Х. О группах с возрастающим центральным рядом. Матем. сб., 1951, т. 28, с. 185 - 196.

29. Мягкова Н.Н. О группах конечного ранга. Изв. АН СССР, сер. матем., 1949, т. 13, с. 495 - 512.

30. Ольшанский АЛО. Геометрия определяющих соотношений в группах М.: Наука - 1989.

31. Остыловский А.Н., Шунков В.П. О g-бипримитивно конечных группах с условием минимальности для (/-подгрупп. Алгебра и логика, 1975, т. 14, N!, с. 61 - 78.

32. Остыловский А.Н., Шунков В.П. О локальной конечности одного класса групп с условием минимальности. В кн.: Исследования по теории групп, Красноярск, 1975, с. 32 - 48.

33. Остыловский А.Н. Локальная конечность некоторых групп с условием минимальности для абелевых подгрупп. Алгебра и логика,-1977, т. 16, N1, с. 63 73.

34. Попов A.M. Характеризации черниковских групп/ Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук Красноярск - 1988.- 110 С.

35. Подуфалов Н.Д. Конечные простые группы без элементов порядка 6, 10. Алгебра и логика, 1975, т. 14, N1, с. 79 - 85.

36. Созутов А.И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы// Матем. сб.- 1976.- Т. 100, N 4.- С. 495-506.

37. Созутов А.И. О группах с фробениусовыми парами сопряженных элементов// Алгебра и логика 1977.- Т.16, N 2.- С. 204-212.

38. Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами. Алгебра и логика, 1977, т. 16, N6, с. 711 - 735.

39. Созутов А.И. О существовании в группе бесконечных подгрупп с нетривиальным локально конечным радикалом. Препринт N15, ВЦ СО АН СССР, Красноярск, 1980, с. 11 - 19.

40. Созутов А.И. О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса// Сиб. матем. ж 1994 - Т. 35, №4 - С. 893901.

41. Созутов А.И. О группах с классом фробениусово-абелевых элементов// Алгебра и логика.- 1995.- Т. 34, №5.- С. 531-549.

42. Созутов А.И. О существовании в группе /-локальных подгрупп// Алгебра и логика.- 1997.- Т. 36, N 5.- С. 573-598.

43. Созутов А.И. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой// Алгебра и логика.- 2000.- Т. 39, №5 С. 602-617.

44. Старостин А.И. Периодические локально разрешимые вполне расщепляемые группы. Известия вузов, математика, 1960, N2, с. 162 -177.

45. Сучкова Н.Г., Шунков В.П. О группах с условием минимальности для абелевых подгрупп. Алгебра и логика, 1986, т. 25, N4, с. 445 -469.

46. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

47. Череп А.А. О бесконечных группах Фробениуса// Деп. в ВИНИТИ 11.03.91.- N 1014-В-91.

48. Черников С.Н. Бесконечные локально разрешимые группы. Матем. сб., 1940. т. 7, с. 35 - 64.

49. Черников С.Н. К теории бесконечных специальных групп. Матем. сб., 1940, т. 7, с. 539 - 548.

50. Черников С.Н. О локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп. Матем. сб., 1951, т. 28, с. 119 - 129.

51. Черников С.Н. О бесконечных локально конечных группах с конечными силовскими подгруппами. Матем. сб., 1960, т. 52, с. 647 -652.

52. Черников Н.С. О бесконечных простых локально конечных группах. Препринт 82.37, ИМ АН УССР. - Киев, 1982.

53. Шафиро А.А., Шунков В.П. Об одной характеризации черниковской группы, не являющейся конечным расширением квазициклической-труппы. Матем. сб., 1978, т. 107 (149), N2 (10), с. 289 - 303.

54. Шмидт О.Ю. Избранные труды. Математика М -1959 - С. 298-300.

55. Шунков В.П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы// Алгебра и логика.- 1967.- Т. 6, №3.- С. 113- 124.

56. Шунков В.П. Об одном классе р-групп. Алгебра и логика, 1970, т. 9, N4, с. 484 - 496.

57. Шунков В.П. О локально конечных группах с условием минимальности для абелевых подгрупп. Алгебра и логика, 1970, т. 9, N5, с. 579 - 615.

58. Шунков В.П. Об одном признаке непростоты групп// Алгебра и логика.- 1975.- Т. 14, N 5,- С. 491-522.

59. Шунков В.П. Mp-группы. Алгебра и логика, 1984, т. 23, N4, с. 445- 475.

60. Шунков В.П. Мр-группы с ядрами произвольных рангов. Алгебра и логика, 1987, т. 26, N1, с. 84 - 105.

61. Шунков В.П. Мр-группы с регулярной ручкой. Алгебра и логика, 1987, т. 26, N2, с. 220 - 266.

62. Шунков В.П. Мр-группы.- М.: Наука.- 1990.

63. Шунков В.П. О вложении примарных элементов в группе ВО Наука - Новосибирск, 1992.

64. Шунков, В. П. Группы с конечно вложенной инволюцией / В. П. Шунков // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. №1. С. 102—123.

65. Aschbacher M. A class of generalized TI-groups// 111. J. Math 1974-V. 18, N 3.- P. 418-426.

66. Blackburn N. Some remarks on Cernikov p-groups. III JMath., 1962, y. 6, p. 421 -431.

67. Gornstein D. Finite groups. New York: Harper and Row, 1968.

68. Feit W., Thompson J.G. Solvability of groups of odd order. Pacif. J. Math., 1963, v. 13, N3, p. 775 - 1029.

69. Fischer B. F-Gruppen endlicher Ordnung// Arch. Math- 1965 B. 16.- S. 330-336.

70. Fischer B. Frobeniusautomorphismen endlicher Gruppen // Math. Ann.- 1966.- B. 163.- S. 273-298.

71. Higman G. Groups and rings having automorphisms without nontrivial bixed points.' Proc. J. London, Vfth. Soc., 1957, v. 32, p. 321 - 334.

72. Kegel O.H. Lokal endiche Gruppen mil nicttrivialez Partition. Arch. Math, 1962, N13, p. 10 28.

73. V. Mazurov. A new proof of Zassenhaus theorem of finite groups of fixed-point-free automorphism/ Journal of Algebra, 263 (2003), 1-7.

74. B.H. Neumann. Groups covered by finitely many cosets, publ mat. Debrecen, 1954, v. 3, N3, 4, p. 227 242.

75. Попов A.M. К вопросу о характеризации черниковских групп, обладающих почти регулярным элементом простого порядка// Краен, политехи, инст. Красноярск - 1985 - Деп. в ВИНИТИ 02.10.1985, №7327-85.-С. 1-24.

76. Попов A.M., Шунков В.П. Характеризация одного класса черниковских групп// Алгебра и логика Т. 26, №3.- 1987.- С. 358 - 375.

77. Попов A.M. Об одной характеризации черниковских групп в классе групп без инволюций// Краен, политехи, инст. Красноярск-1988.- Деп. в ВИНИТИ 19.04.1988, №2947-88.- С. 1-26.

78. Попов A.M., Шунков В.П. Дополнение к статье "Характеризация одного класса черниковских групп"// Алгебра и логика.- Т. 29, №1.1990.- С. 124 125.

79. Попов A.M. О группах с Я-фробениусовым элементом порядка 4// Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды Международной крнференции.- Красноярск 2000.- С. 174-177.

80. Попов A.M. О р-группах с черниковским централизатором неединичного Алгебра и логика.- Т. 40, №3 2001.- С. 330-343.

81. Попов A.M. Об одном признаке непростоты групп с инволюциями// Алгебра и логика.- Т. 42, №2.- 2003.- С. 227-236.

82. Попов A.M., Созутов А.И. О группах с фробениусовыми элементами// В сб. ТрудыXXI межрегион, науч.-техн. конф. "Математика".-Красноярск: КрасГАСА.- 2003.- С. 3-20.

83. Попов A.M. О строении некоторых групп с конечным Я-фробениусовым элементом// Алгебра и логика Т. 43, №2 - 2004.-С. 220-228.

84. Попов A.M. Группы с системами фробениусовых подгрупп/ A.M. Попов, А.И.Созутов, В.П.Шунков. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 212 С.

85. Попов A.M. О некоторых характеризациях черниковских групп. Международная алгебраическая конференция, посвящённая 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры: тезисы докл. Москва: МГУ, 2004, с. 106-107

86. Попов A.M., Созутов А.И. О группах с Я-фробениусовым элементом чётного порядка// Алгебра и логика Т. 44, №2 - 2005 - С. 70-80.

87. Popov A.M.On Groups with Frobenius Elements// Acta Applicandae Mathematicae.- V. 85 2005,- P. 257-264.

88. Попов A.M., Созутов А.И. Обобщённо конечные пары Фробениуса// Математические системы Вып. З.-Красноярск: КрасГАУ.- 2005.— С. 62-67.