О бесконечных группах Фробениуса и Mp-группах

Козулин, Сергей Николаевич

О бесконечных группах Фробениуса и Mp-группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Козулин, Сергей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О бесконечных группах Фробениуса и Mp-группах»

Автореферат диссертации на тему "О бесконечных группах Фробениуса и Mp-группах"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИССГ^СУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 512.54

КОЗУЛИН СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ ФРОБЕНИУСА И

Мр-ГРУППАХ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2005

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ШУНКОВ В.П.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор БЛУДОВ В.В.

кандидат физико-математических наук, доцент ПАШКОВСКАЯ О.В.

Ведущая организация:

Челябинский государственный университет

Защита состоится 4 марта 2005 г. в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан « 28» января 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Голованов М.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение бесконечных групп с разного рода условиями конечности началось еще в 30-х—40-х годах прошлого века в школе О.Ю. Шмидта. Это было связано с попытками обобщить некоторые результаты по конечным группам на бесконечные группы. Результаты по этому направлению можно также найти в работах С.Н. Черникова [11, 12], М.И. Каргаполова [3, 4], В.П. Шункова [13, 14] и др. Диссертационная работа также относится к этому разделу теории групп. В ней получены признаки непростоты некоторых бесконечных групп с условиями конечности и охарактеризованы Мр-группы.

Диссертационная работа посвящена изучению бесконечных групп Фробениуса и Мр-групп. Мр-группы с ручками порядка, отличного с«* двух, в группе без инволюций изучались в работах В.П. Шункова [16, 17,18]. Мр-группы с ручками порядка 2 изучал В.О. Гомер [2]. В диссертации получен признак непростоты бесконечной группы, содержащей Мр-группу. Из него как следствие получена характеризация Мр-групп с ручками порядка, отличного от трех.

Напомним определение Мр-группы.

Группа С называется Мр-группой, если для ее бесконечной нормальной полной абелевой р-подгруппы В с условием минимальности и элемента а порядка р выполняются следующие условия:

а) локально конечные р-подгруппы из Сд{а)В/В конечны;

б) если некоторая полная абелева р-подгруппа С группы С7 содержится в множестве идеС.{а,а9), то С < В.

Подгруппы В, (а) называются соответственно ядром и ручкой Мр-группы

Определение Мр-группы было введено В.П. Шунковым в конце 1983 года [16]. К классу Мр-групп относятся, например, черниковские группы, обладаюгцие бесконечной р-подгруппой и почти регулярным элементом порядка р. Голоморфное расширение таких групп с помощью всякой

|~яааг*

группы внешних автоморфизмов является Мр-групгюй Можно указать пример Мр-группы, у которой в некотором сечении элемент ручки и с ним сопряженный порождают бесконечную периодическую группу. Ядро Мр-группы не обязано совпадать с максимальной полной абелевой р-подгруппой [16]. В работах В.П. Шункова можно найти более специальные примеры [16, 18].

В диссертационной работе изучаются бесконечные группы, содержащие бесконечную систему подгрупп Фробениуса, порожденных двумя сопряженными элементами порядка 3 с неинвариантным множителем 5X2(3). Основным результатом этой главы является признак непростоты таких групп. Признаки непростоты находят применение во многих областях теории групп. Одним из основных признаков нспростоты является теорема Фробениуса. В 1901 году Г. Фробениус доказал, что в конечной группе (3, обладающей парой Фробениуса (С?, Я), совокупность элементов, не содержащихся ни в Я, ни в одной сопряженной с Я подгруппе, вместе с единицей составляют нормальный делитель Р группы С? [19]. Теорема Фробениуса в полном объеме переносится на класс локально конечных групп [1]. Также она справедлива и в классе (периодических) бинарно конечных групп, т.е. групп, в которых любая пара элементов порождает конечную подгруппу [6]. Однако теорема Фробениуса неверна в общем случае, более того, она неверна в классе периодических групп. В связи с этим фактом В.П. Шунковым определение пары Фробениуса было распространено на бесконечные группы. Напомним, что ((7, Я) называется парой Фробениуса, если Я П Ня — 1 для любого элемента д € (7 \ Я.

В.П. Шунковым был введен следующий аналог определения группы Фробениуса для бесконечных групп.

Определение. Группа вида С! — Р\Н называется группой Фробениуса [15], если выполняются следующие условия:

1) Я® П Я = 1, д € <3 \ Я;

Идея рассматривать произвольные, не обязательно конечные группы Фробениуса Ьд = (а, д~1ад) с циклическим неинвариантным множителем (а) принадлежит В. П. Шункову [6]. Признаки непростоты групп с произвольными подгруппами Фробениуса Ьд позволяют делать более сильные заключения о строении групп с дополнительными условиями конечности. В диссертационной работе методика исследования групп также основана на изучении бесконечного множества подгрупп Фробениуса. В исследованиях бесконечных групп с различными условиями конечности потребовались более сильные признаки непростоты, чем теорема Фробениуса. Как правило, в них утверждается существование в С? нормальной подгруппы — ядра некоторой группы Фробениуса. Подобные теоремы в школе В.П. Шункова принято называть признаками непростоты и они близки по содержанию к теореме Фробениуса. В значительной мере их появление было продиктовано потребностями развиваемой В.П. Шунковым и его учениками "положительной теории периодических групп". Получение признаков непростоты и исследования групп Фробениуса проводились А.И. Созутовым и В.П. Шунковым [5, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 18].

Цель работы. Охарактеризовать Мр-группы с р-конечными ручками порядка, отличного от трех. Получить признак непростоты бесконечной группы, содержащей бесконечную систему подгрупп Фробениуса вида Ьд = (а, а9) с неинвариантным множителем 5Ьг(3).

Методика исследования. Применяются теоретико-групповые методы исследования, в том числе разработанные научным руководителем автора В.П. Шунковым.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть

использованы в дальнейших исследованиях по теории групп и при чтении специальных курсов лекций по алгебре.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Конференции молодых ученых (ИВМ СО РАН в г. Красноярске, 2002, 2003, 2004 гг), на Международном семинаре но теории групп, посвященном 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина (УрГУ в г. Екатеринбурге, 2001 г.), на Международной конференции "Мальцевские чтения"(НГУ в г. Новосибирске, 2002, 2003 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20]—[30], [32] [33].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (55 названий), занимает 75 страниц текста. Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров в диссертации двойная: первое число — номер главы, второе — номер теоремы, леммы, следствия или примера.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

К основным результатам диссертации относятся теоремы 2.1, 3.1 и следствия 2.1, 2.2, 3.1, 3.2.

В первой главе приведены некоторые известные результаты и определения специальных терминов, использующихся в диссертации. Доказывается ряд вспомогательных утверждений.

Во второй главе вводится понятие Мр-группы, приводятся некоторые примеры Мр-групп и доказывается признак непростоты бесконечной группы (теорема 2.1) из которого, как следствие, получается характеризация Мр-групп с ручкой порядка, отличного от трех.

Теорема 2.1. Пусть О — группа, В - её бесконечная р-под?руппа (р - простое число, отличное от трех), удовлетворяющие условиям:

1) Н = 1Чс{В) является Мр-группой с ядром В ир-кокечной ручкой (а);

2) для произвольного элемента д € О \ подгруппы вида (а, а9) конечны и разрешимы;

3) | Со{а) : Я П Са(а) | < оо и Я П Со (а) содержит все р?-элементы конечного порядка из Сс(а);

4) если <5 ~ конечная {а)-инвариантная д-подгруппа из Н с условием £} П Со («) Ф 1, то Л/с(<3) < Я ^ — простое число, отличное от р);

5) в С все конечные {а}-инвариантные р'-подгруппы разрешимы.

Тогда В<в.

В §2.2 доказываются некоторые свойства тройки-контрпримера (С, В, а), используемые при доказательстве теоремы 2.1. Вводятся и изучаются группы, свойства которых используются при дальнейшем доказательстве теоремы 2.1 — подгруппы второго рода и типа (*). Подгруппы второго рода - это такие конечные нетривиальные (а)-инвариантные подгруппы из В, нормализатор которых не содержится в Н. Подгруппы типа (*) — конечные нетривиальные (а)-инвариантные р-подгруппы X из Я, для которых Мс(Х) Н. Изучается строение этих групп и расположение в ранее введенных группах. Доказано, что подгруппа Н — №д(В) обладает подгруппами второго рода. Данный факт используется в дальнейшем при выборе контрпримера.

В §2.3 проводится выбор более удобного контрпримера для утверждения теоремы 2.1 следующим образом. Строится строго возрастающая цепочка подгрупп второго рода из нижнего слоя группы В У < Уг < У2 < ... < У„ < ..., которой соответствует убывающая цепочка подгрупп

Т1<Т2< ... <Тп< ..., здесь Тт = Ыа{Ут- 1). Далее доказывается, что если существует подгруппа Р типа (*), лежащая в централизаторе подгруппы У\ из нижнего слоя группы В, то ядро В Мр-группы содержится в централизаторе подгруппы Р. Пользуясь данным фактом и уже доказанными свойствами подгрупп типа (*), проводится выбор максимальной подгруппы группы в с наименьшим рангом ядра В, являющейся контрпримером к условиям теоремы 2.1.

В §2.4 устанавливается строение и изучаются свойства двупорожденных подгрупп Ьд = (а,ая), д € С \ Н. Полученные свойства существенно используются при дальнейшем доказательстве теоремы 2 1.

Доказательство теоремы 2.1 завершается в §2 5.

Из теоремы 2.1 вытекают следующие следствия.

Следствие 2.1. Пусть (7 — группа, В — её бесконечная р-подгруппа (р - простое число, отличное от трех), удовлетворяющие условиям теоремы 2.1. Тогда С? является Мр-группой.

Следствие 2.2. Пусть б — группа, В — бесконечная р-подгруппа (р — простое число, отличное от трех), а — элемент порядка р группы (7, V

— подгруппа из В П (7с(а) конечного индекса в В П Со(а), для тройки (С,Мс{В),а) выполняются условия 2) 5) теоремы 2.1 и Н — Ыа(В) является Мр-группой с ядром В и ручкой (а). Тогда ЛГС(Т/) < Н.

В третьей главе получен признак непростоты бесконечной группы:

Теорема 3.1. Пусть С? — группа, Н — ее собственная подгруппа, а

— элемент порядка 3 из О, <5 - группа кватернионов из С?, такая что <2\ (а) = 5 ¿2(3), и выполняются условия:

1) нормализатор любой конечной нетривиальной (и)-инвариантной подгруппы из Н содержится в Н;

2) почти для всех (то есть кроме, быть может, конечного числа) элементов вида д~1ад (д & £7 \ Н) подгруппы Ьд — (а,д~1ад) являются группами Фробениуса с неинвариантмым множителем (а) или с неинвариаптным, множителем <5 X (а).

Тогда имеет место одно из следующих утверждений:

I. Элемент а содержится в конечной нормальной в О подгруппе;

И. (7 — Ь'\ (С^с((а))) и Р\(С}\{а)) — группа Фробениуса с абелевым ядром Р и неинвариантным множителем <3 X (а).

Наиболее близкий результат к данной теореме принадлежит В.П. Шункову:

Теорема. Пусть (7 — группа, Я — ее собственная подгруппа, а

.ыемент простого порядка р ф2 из (3 такие, что:

*) почти для всех (то есть кроме, быть может, конечного числа) элементов вида д~1ад, (д £б\Я), подгруппы Ьу = (а, д~1ад) являются группами Фробениуса с неинвариантным множителем (а).

Тогда либо С = Р X М(;((а)) и Я X (а) - группа Фробениуса с ядром Я и неинвариантным множителем (а), либо элемент а лежит в конечном нормальном делителе группы С.

Отметим, что группа Фробениуса вида Я X (¿2 X (а)) удовлетворяют всем условиям теоремы 3.1, но для нее не выполняются условия теоремы В.П. Шункова.

Теорема 3.1 доказывается на протяжении главы 3 диссертационной работы.

В §3.1 изучаются группы Фробениуса вида Ьд — (а,ад) с неинвариантным множителем 5.1/2(3), доказываются некоторые их свойства, используемые при дальнейшем доказательстве теоремы 3.1. Изучается строение вспомогательных множеств: множества ЯЗ, состоящего из всех элементов, сопряженных с а и множества Ш, состоящего из элементов, содержащихся в ядрах групп Фробениуса Ьд — (а,а9), но не содержащихся в множестве ® и Я. Получено взаимное расположение нормализатора .Л/с ((а)) — Ли подгруппы Я, а именно: если а9 € Н, то подгруппы Я и д 'Я<7 П Я имеют в Я конечные индексы. Если |II : Я| < оо, то условие 2) теоремы 3.1 выполняется для всех элементов д £ С\Л. На основании этого при дальнейшем доказательстве теоремы 3.1 предполагается, что либо Н = Я, либо Я — подгруппа бесконечного индекса в Я. Далее доказано, что если индекс подгруппы Я в С бесконечен, то Я П Я' П ® пусто для любого д € С? \ Я.

В §3.2 изучается строение множества У), которое является пересечением подгруппы Н и объединения ядер двупорожденных групп Фробениуса с неинвариантным множителем (з), з 6 53 \ Я. Вводятся и рассматриваются подгруппы, свойства которых используются при

дальнейшем доказательстве теоремы 3.1: подгруппа М — П Н) и подгруппа К из Я, порожденная множеством 5} и М. Изучаются свойства множества К и (а)Ш1 и взаимное расположение перечисленных подгрупп и множеств в группе (7, относительно подгруппы Я и множества Доказано, что если В — нормальная в б подгруппа, порожденная множеством 58, то либо выполняется утверждение I) теоремы 3.1, то есть В - конечная подгруппа, содержащая элемент а, либо множество Ш бесконечно и в этом случае группа (7 является произведением подгрупп В и Д.

Доказательство теоремы 3.1 завершается в §3.3.

Из теоремы 3 1 вытекают 2 следствия.

Следствие 3.1. Пусть С = X (<5 X (а)), а — элемент порядка 3 такие, что почти для каждого элемента д из (7 подгруппы Ь — (а, аа) — группы Фробениуса с неинвариантным множителем либо (а), либо С}\(а) (Я группа кватернионов). Пусть С с (а) = (а) х (г), |г| = 2. Тогда:

1) любая фактор-группа отличная от подгруппы (а^) и

подгруппы QN X (аЫ), — группа Фробениуса с неинвариантным множителем либо (аЛг), либо <3^ X (аАГ) ;

любая нециклическая подгруппа из (7, содержащая элемент а, отличная от подгруппы <Э X (а) и подгруппы (а) х {г), является группой Фробениуса с неинвариантным множителем либо (а), либо <2 X (а).

Следствие 3.2. Пусть (7 — группа, Н — ее собственная подгруппа, а — элемент порядка 3 из (7, содержащийся в бесконечном классе сопряженных с ним элементов, ф — группа кватернионов из (7, такая что <3 X (а) = 51/2(3), удовлетворяющие условиям теоремы 3.1.

Тогда ¿7 = ^ X (С}Мо((а))) и ^ X (<5 X (а)) — группа Фробениуса с абелевым ядром Р и неинвариантным множителем X (а).

Следствие 3.2 является признаком непростоты бесконечной группы, содержащей бесконечную систему подгрупп Фробениуса с неинвариантным множителем 5Х2(3).

Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований, грант 99-01-00432, грант 02-01-00078, а также грант № 9 шестого кон курса-'жспертизы 1999 г, научных проектов молодых ученых.

Особую благодарность автор выражает научному руководителю д ф м н., профессору Владимиру Петровичу Шункову за постоянное внимание к работе.

Список литературы

[1] Бусаркин В.М., Старостин А.И. О расщепляемых локально конечных группах // Мат. сб. - 1963. - Т.62, № 3. - С. 275-294.

[2] Гомер В.О О группах с элементами конечных рангов: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1992. - 69 с

[3] Каргаполов М.И. Локально конечные группы, обладающие нормальными системами с конечными факторами // Сиб. мат. журн. - 1961. - Т.2, № 6. - С. 853-873.

[4] Каргаполов М.И. О разрешимых группах конечного ранга // Алгебра и логика. - 1962. - Т.1, № 5. - С. 37-44.

[5] Попов A.M., Созутов А.И., Шунков В.П. Группы с системами Фробениусовых подгрупп. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. - 211 с.

|6] Сенатов В.И., Созутов А.И., Шунков В.П. Исследования групп с условиями конечности // Препринт К" 2 ИВМ СО РАН. - Красноярск, 2003. - 97 с.

[7] Созутов А.И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы // Мат. сб. - 1976. - Т. 100, № 4. - С. 495-506.

f8] Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами // Алгебра и логика. - 1977. - Т. 16, № 6. - С. 711-735.

[9] Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами, часть 2 // Алгебра и логика. - 1979.

Т. 18, № 2. - С. 206-223.

[10] Созутов А.И. Два признака непростоты группы с сильно вложенной подгруппой и конечной инволюцией // Мат. заметки. - 2001 - Т. 69. Вып. 3. - С. 443-453.

[11] Черников СН О локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп // Матем. сб. 1951. - Т. 28, № 1. С. 119-129.

[12] Черников С.Н. К теории бесконечных специальных групп // Матем. сб. - 1968. - Т. 7, № 6. - С. 539-548.

[13] Шунков В.П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы // Алгебра и логика. - 1967. - Т. 6, № 3. -С. 113-124.

[14] Шунков В.П. Об одном классе р-групп // Алгебра и логика. - 1970. -Т. 9, № 4. - С. 484-496.

[15] Шунков В П. Об одном признаке непростоты групп // Алгебра и логика. - 1975. - Т. 14, № 5. - С. 576-603.

[16] Шунков В П Мр-группы // Алгебра и логика - 1984. - Т. 23, № 4. -С. 445-475.

[17] Шунков В П. К определению Мр-групны // Алгебра и логика - 1986. - Т. 25, № 1. - С. 111-113.

[18] Шунков В.П. Afp-группы. - М.: Наука, 1990.

[19] Frobeniiis G. Uber auflösbare Gruppen. IV // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. zu Berlin. - 1901. - P. 1216-1230.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[20} Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками произвольного простого порядка // Тез. докл. III Межд. алгебраическая конф. Украины (Сумы, 2-8 июля 2001 г.). - Сумы: Изд-во Сум. гос. ун-т. - 2001. - С. 192.

[21] Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками произвольного простого порядка // Тез. докл. Украинский матем. конгресса. (Киев, 21-24 августа 2001 г.). - Киев: Изд-во Института математики АН Украины. - 2001. - С. 33.

[22j Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками произвольного простого порядка // Тез. докл. Междунар. семинара по теории групп, поев. 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина (17-21 декабря 2001 г.). - Ин-т мат. и мех. УрО РАН. Екатеринбург, 2001. - С. 104-105.

[23] Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. О бесконечных группах Фробениуса // Тез. докл. междунар. алгебраической конф., посвященной памяти З.И. Боревича (17-23 сентября, 2002). ПОМИ им. В.А. Стеклова. Санкт-Петербург, 2002. - С. 43.

[24] Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками произвольного простого порядка // ИВМ СО РАН. - 2002. - 34 с. Деп. в ВИНИТИ 22.07.02, № 1368 В2002.

[25] Козулин С.Н. О некоторых Мр-группах // Материалы конф. молодых ученых 2002. - ИВМ СО РАН, Красноярск, 2002 - С. 17-18.

[26] Козулин С.Н. О бесконечных группах Фробениуса // Материалы конф. молодых ученых 2003. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2003. С. 23-24.

[27] Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. О бесконечных группах Фробениуса // Тез. докл. междунар. конф. по математике и механике,

(16-18 сентября, 2003). - Томский государственный университет, Томск, 2003. - С. 44-46.

[28] Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Характеризация групп // Тез. докл. междунар. конф. по математике и механике, посвященой 75-летию со дня рождения А.И.Кокорина (Иркутск, 25-28 августа 2004 г.), Иркутск, 2004. - С. 56-58.

[29] Козулин С.Н. Характеризация Мр-трупп // Материалы конф. молодых ученых 2004. - ИВМ СО РАН, Красноярск, 2004. - С. 23-24.

[30] Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. О бесконечных группах Фробениуса // ИВМ СО РАН - 2004. - 16 с. Деп. в ВИНИТИ 31.03.04, № 536 - В2004.

[31] Kozulin S.N., Senashov V.l., Shunkov V.P. Non-simplisity of infinite groups // A.M.S.E., 2004 (принято в печать).

[32] Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками порядка, отличного от трех // Укр. мат. журнал. - 2004. Т. 56, № 8. - С 10301042.

[33] Козулин С Н. О группах, содержащих подгруппы Фробениуса // Препринт № 2 ИВМ СО РАН. - Красноярск, 2004. - 19 с.

Подписано в печать 17.01.2005 г. Формат 60x84/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,7.

Тираж 100 экз. Заказ /V. Цена договорная.

Издательский центр

Красноярского государственного университета. 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79.

2589

РНБ Русский фонд

2006-4 9382

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Козулин, Сергей Николаевич

Введение.

Глава 1. Известные результаты, определения, вспомогательные предложения

Глава 2. Мр-группы с ручками порядка, отличного от трех.

§2.1. Mp-группа, примеры, основные результаты.

§2.2. Подгруппы второго рода и типа (*).

§2.3. Выбор более удобного контрпримера.

§2.4. Строение подгрупп типа Lg =■ (а, а9), д 6 G\ Н.

§2.5. Завершение доказательства результатов главы 2.

Глава 3. Группы Фробениуса с неинвариантным множителем 5.^2 (3).

§3.1. Основная теорема и предварительные леммы.

§3.2. Строение множества Ш ядер групп Фробениуса вида Lg = (а, а9).

§3.3. Завершение доказательства результатов главы 3.

Введение диссертация по математике, на тему "О бесконечных группах Фробениуса и Mp-группах"

Диссертационная работа также относится к этому разделу теории групп. В ней получены признаки непростоты некоторых бесконечных групп с условиями конечности и охарактеризованы Мр-группы. Признаки испростоты находят применение во многих областях теории групп. Одним из основных признаков непростоты является теорема Фробениуса. В 1901 году Г. Фробениус доказал, что в конечной группе G, обладающей парой Фробениуса (G, Н)) совокупность элементов, не содержащихся ни в Я, ни в одной сопряженной с Н подгруппе, вместе с единицей составляют нормальный делитель F группы G [40]. Теорема Фробениуса в полном объеме переносится на класс локально конечных групп [3, 4]. Также она справедлива и в классе (периодических) бинарно конечных групп, т.е. групп, в которых любая пара элементов порождает конечную подгруппу [20]. Однако теорема Фробениуса неверна в общем случае, более того, она неверна в классе периодических групп. В связи с этим фактом В.П. Шунковым определение пары Фробениуса было распространено на бесконечные группы. Напомним, что (G, Н) называется парой Фробениуса, если Н П Н° = 1 для любого элемента д eG\H.

В.П. Шунковым был введен следующий аналог определения группы Фробениуса для бесконечных групп.

Определение. Группа вида G = F X Н называется группой Фробениуса [33], если выполняются следующие условия:

1) № П H = 1, g e G \ H

2)G\F = [)g£GH°\{l}.

Идея рассматривать произвольные, не обязательно конечные группы Фробениуса Lg = (а, д~1ад) с циклическим неинвариантным множителем (а) принадлежит В. П. Шункову [20]. Признаки непростоты групп с произвольными подгруппами Фробениуса Lg позволяют делать более сильные заключения о строении групп с дополнительными условиями конечности. В диссертационной работе методика исследования групп также основана на изучении бесконечного множества подгрупп Фробениуса. В исследованиях бесконечных групп с различными условиями конечности потребовались более сильные признаки непростоты, чем теорема Фробениуса. Как правило, в них утверждается существование в G нормальной подгруппы — ядра некоторой группы Фробениуса. Подобные теоремы в школе В.П. Шункова принято называть признаками непростоты и они близки по содержанию к теореме Фробениуса. В значительной мере их появление было продиктовано потребностями развиваемой В.П. Шунковым и его учениками "положительной теории периодических групп". Получение признаков непростоты и исследования групп Фробениуса проводились А.И. Созутовым и В.П. Шунковым [19, 21, 22, 23, 24, 31, 33, 36].

Mp-группы с ручками порядка, отличного от двух, в группе без инволюций изучались в работах В.П. Шункова [34, 35, 36]. Мр-группы с ручками порядка 2 изучал В.О. Гомер [6]. В диссертации получен признак непростоты бесконечной группы. Из него как следствие получена характеризация Мр-групп с ручками порядка, отличного от трех.

Напомним определение Мр-группы.

Группа G называется Мр-группой, если для ее бесконечной нормальной полной абелевой р-подгруппы В с условием минимальности и элемента а порядка р выполняются следующие условия: а) локально конечные ^-подгруппы из Со(а)В/В конечны; б) если некоторая полная абелева р-подгруппа С группы G содержится в множестве (JgeG(a,a9), то С < В.

Подгруппы В, (а) называются соответственно ядром и ручкой Мр-грунпы G.

Определение Мр-группы было введено В.П. Шунковым в конце 1983 года [34]. К классу Мр-групп относятся, например, черниковские группы, обладающие бесконечной р-подгруппой и почти регулярным элементом порядка р. Голоморфное расширение таких групп с помощью всякой группы внешних автоморфизмов является Мр-группой. Можно указать пример Мр-группы, у которой в некотором сечении элемент ручки и с ним сопряженный порождают бесконечную периодическую группу. Ядро Mp-группы не обязано совпадать с максимальной полной абелевой р-подгруппой [34]. В работах В.П. Шункова можно найти более специальные примеры [34, 36].

Цель работы. Охарактеризовать М^-группы с р-конечными ручками порядка, отличного от трех. Получить признак непростоты бесконечной группы, содержащей бесконечную систему подгрупп Фробениуса вида Lg = (а, а,9) с неинвариантным множителем 6X2(3).

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп и при чтении специальных курсов лекций по алгебре.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Конференции молодых ученых (ИВМ СО РАН в г. Красноярске, 2002, 2003, 2004 гг.), на Международном семинаре по теории групп, посвященном 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина (УрГУ в г. Екатеринбурге, 2001 г.), на Международной конференции "Мальцевские чтения"(НГУ в г. Новосибирске, 2002, 2003 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42]—[52], [54]—[55].

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Козулин, Сергей Николаевич, Красноярск

1. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. - М.: Наука, 1975.

2. Адян С.И. Аксиоматический метод построения групп с заданными свойствами // Успехи матем. наук. 1977. - Т. 32, № 1. - С. 3-15.

3. Бусаркин В.М., Старостин А.И. О локально конечных расщепляемых группах // УМН. 1962. - Т. 17, № 6.

4. Бусаркин В.М., Старостин А.И. О расщепляемых локально конечных группах // Мат. сб. 1963. - Т.62, № 3. - С. 275-294.

5. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. -М.: Наука, 1968.

6. Гомер В.О. О группах с элементами конечных рангов: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 1992.

7. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов. М.: Наука, 1978.

8. Горчаков Ю.М. О локально нормальных группах // ДАН СССР. -1962. 147, № 3. - С. 537-539.

9. Журтов А.Х. Квадратичные элементы групп Фробениуса: Дис. . докт. физ.-мат. наук. Нальчик. 2003.

10. Журтов А.Х., Мазуров В.Д. О группах Фробениуса, порождённых квадратичными элементами // Международный семинар по теории групп. Тезисы докладов. Екатеринбург. 2001. - С. 77-81.

11. Измайлов А.Н., Шунков В.П. Два признака непростоты групп с бесконечно изолированной подгруппой // Алгебра и логика. 1982. - Т. 21, № 6. - С. 647-669.

12. Каргаполов М.И. Локально конечные группы, обладающие нормальными системами с конечными факторами // Сиб. мат. журн. 1961. - Т.2, № 6. - С. 853-873.

13. Каргаполов М.И. О разрешимых группах конечного ранга // Алгебра и логика. 1962. - Т.1, № 5. - С. 37-44.

14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

15. Куроти А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

16. Мерзляков Ю.И. Матричное представление групп внешних автоморфизмов черниковских групп // Алгебра и логика. -1969. Т. 8, № 4. - С. 478-482.

17. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. М.: Наука, 1980.

18. Подуфалов Н.Д. Конечные простые группы без элементов порядка 6, 10 // Алгебра и логика. 1975. - Т. 14, № 1. - С. 79-85.

19. Попов A.M., Созутов А.И., Шунков В.П. Группы с системами Фробениусовых подгрупп. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. - 211 с.

20. Сенашов В.И., Созутов А.И., Шунков В.П. Исследования групп с условиями конечности // Препринт № 2 ИВМ СО РАН. -Красноярск, 2003. 97 с.

21. Созутов А.И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы // Мат. сб. 1976. - Т. 100, № 4. - С. 495-506.

22. Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами // Алгебра и логика. 1977. - Т. 16, № 6. - С. 711-735.

23. Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами, часть 2 // Алгебра и логика. 1979.- Т. 18, № 2. С. 206-223.

24. Созутов А.И. Два признака непростоты группы с сильно вложенной подгруппой и конечной инволюцией // Мат. заметки. 2001 - Т. 69. Вып. 3. - С. 443-453.

25. Старостин А.И. Периодические локально разрешимые вполне расщепляемые группы // Известия вузов. Математика. 1960. - № 2.- С. 168-177.

26. Старостин А.И. О группах Фробениуса // Укр. мат. журн. 1971. -Т. 23, № 5. - С. 629-639.

27. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

28. Черников С.Н. О локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп // Матем. сб. 1951. - Т. 28, № 1. - С. 119-129.

29. Черников С.Н. К теории бесконечных специальных групп // Матем. сб. 1968. - Т. 7, № 6. - С. 539-548.

30. Черников С.Н. О периодических группах автоморфизмов экстремальных групп // Матем. заметки. 1968. - Т. 4, № 1.- С. 92-96.

31. Шунков В.П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы // Алгебра и логика. 1967. - Т. 6, № 3.- С. 113-124.

32. Шунков В.П. Об одном классе р-групп // Алгебра и логика. 1970.- Т. 9, № 4. С. 484-496.

33. Шунков В.П. Об одном признаке непростоты групп // Алгебра и логика. 1975. - Т. 14, № 5. - С. 576-603.

34. Шунков В.П. Mp-группы // Алгебра и логика. 1984. - Т. 23, 4.- С. 445-475.

35. Шунков В.П. К определению Мр-группы // Алгебра и логика. 1986.- Т. 25, № 1. С. 111-113.

36. Шунков В.П. Mp-группы. М.: Наука, 1990.

37. К теории конечных групп // Сборник переводов иностранных статей. М.: Мир, 1979.

38. Blackburn N. Some remarks on Cernikov p-groups // 111. J. Math. -1962. 6. - P. 421-433.

39. Feit W., Tompson J.G. Solvability of groups of odd order // Pacif. J. Math. 13, № 3. - P. 775-1029.

40. Frobenius G. Uber auflosbare Gruppen. IV // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. zu Berlin. 1901. - P. 1216-1230.

41. Thompson J.G. Finite groups with fixed point free automorphism of prime order // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1959. - 45. - P. 578-581.

42. Козулин C.H., Сенатов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками произвольного простого порядка / / Тез. докл. III Межд. алгебраическая конф. Украины (Сумы, 2 8 июля 2001 г.). -Сумы: Изд-во Сум. гос. ун-т. 2001. - С. 192.

43. Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками произвольного простого порядка // Тез. докл. Украинский матем. конгресса. (Киев, 21-24 августа 2001 г.). Киев: Изд-во Института математики АН Украины. - 2001. - С. 33.

44. Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. О бесконечных группах Фробениуса // Тез. докл. междунар. алгебраической конф., посвященной памяти З.И. Боревича (17-23 сентября, 2002). ПОМИ им. В.А. Стеклова. Санкт-Петербург, 2002. - С. 43.

45. Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками произвольного простого порядка // ИВМ СО РАН. 2002. - 34 с. Деп. в ВИНИТИ 22.07.02, № 1368 - В2002.

46. Козулин С.Н. О некоторых Мр-группах // Материалы конф. молодых ученых 2002. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2002. - С. 17-18.

47. Козулин С.Н. О бесконечных группах Фробениуса // Материалы конф. молодых ученых 2003. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2003. -С. 23-24.

48. Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. О бесконечных группах Фробениуса // Тез. докл. междунар. конф. по математике и механике, (16-18 сентября, 2003). Томский государственный университет, Томск, 2003. - С. 44-46.

49. Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Характеризация Мр-групп // Тез. докл. междунар. конф. по математике и механике, посвященой 75-летию со дня рождения А.И.Кокорина (Иркутск, 2528 августа 2004 г.), Иркутск, 2004. С. 56-58.

50. Козулин С.Н. Характеризация Мр-групп // Материалы конф. молодых ученых 2004. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2004. - С. 23-24.

51. Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. О бесконечных группах Фробениуса // ИВМ СО РАН 2004. - 16 с. Деп. в ВИНИТИ 31.03.04, № 536 - В2004.

52. Kozulin S.N., Senashov V.I., Shunkov V.P. Non-simplisity of infinite groups // A.M.S.E., 2004 (принято в печать).

53. Козулин С.Н., Сенатов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками порядка, отличного от трех // Укр. мат. журнал. 2004. - Т. 56, № 8. - С. 1030-1042.

54. Козулин С.Н. О группах, содержащих подгруппы Фробениуса // Препринт № 2 ИВМ СО РАН. Красноярск, 2004. - 19 с.