Группы Шункова с дополнительными ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Шлепкин, Анатолий Константинович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Красноярск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ШЛЁПКИН Анатолий Константинович
ГРУППЫ ШУНКОВА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
(01.01.06 — математическая логика, алгебра н теория чисел)
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Красноярск -1998
Работа выполнена в Красноярском Государственном Техническом Университете.
Официальные оппоненты -
доктор физ.-мат. наук, профессор Беляев В.В. доктор физ.-мат. наук, профессор Мазуров В.Д. доктор физ.-мат. наук, профессор Махнев A.A.
Ведущая организация -
Московский Государственный Университет
Защита состоится 25 декабря 1998г. в 13 часов
на заседании Специализированного Совета Д.064.61.02 при Красноярском государственном университете по адресу: г. Красноярск, проспект Свободный, 79.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.
Автореферат разослан "ноября 1998г.
Ученый секретарь Специализированного Совета / -УУ*
доктор физ.-мат. наук л-^ ^ '
Актуальность темы. При изучении бесконечных групп оказалось естественным выделять и изучать классы таких групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп, или, как мы будем говорить в дальнейшем, классы групп с условиями конечности. Перечислим некоторые из распространенных условий конечности: периодичность, локальная конечность, условия обрыва различного рода цепочек подгрупп, конечность определенным образом порожденных подгрупп и т. д. Каждое из перечисленных выше условий само по себе или в сочетании с другими представляет собой крупное направление в теории групп. За последние 40 лет в теории бесконечных (периодических) групп решены многие старые проблемы, предложены различные конструкции периодических групп, построено много серий примеров [22, 17, 9, 23, 3, 1, 2, 24, 46, 25, 10, 26, 27, 18, 21, 28, 11]. Примеры Е. С. Голода, А.И.Созутова, А.В.Рожкова [9, 41, 43, 34] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. В настоящее время бесконечные группы со слабыми условиями конечности интенсивно изучаются (см., монографии [62, 63]).
Результаты исследований, представленных в настоящей диссертации, связаны с конечностью определенным образом порожденных подгрупп:
Группа О называется (сопряженно) ц-бипримитивно конечной, если для любой ее конечной подгруппы Н в факторгруппе М(}(Н)/И любая пара (сопряженных) элементов порядка д по-
рождает конечную подгруппу. Если группа С является сопряженно ц-бипршшттно конечной относительно любого простого числа ц етг(О), то Ст называется сопряженно биприми-тивно конечной группой или группой Шункова.
Очевидно, что любая периодическая группа 2-бипримитивно конечна. Класс групп Шункова очень обширен и включает в себя локально конечные, (сопряженно) п-арно конечные, (сопряженно) бинарно конечные группы, периодические и смешанные группы, так как условия конечности Шункова не предполагают периодичности группы в. Поэтому для нее, наряду с другими вопросами, актуален следующий: обладает ли группа в периодической частью, т.е. составляют ли периодические элементы в в подгруппу? Нетривиальность ответа на этот вопрос подчеркивается тем, что известны примеры [48] разрешимых бипримитивно конечных групп, не обладающих периодической частью.
Цель работы. Изучение групп со слабыми условиями конечности.
Общая методика исследований. Применяются методы теории групп.
: Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теориях конечных и бесконечных групп.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных симпозиумах по теории групп, на Всесоюзных алгебраических конференциях, на Международных конференциях по алгебре. Они неоднократно обсуждались на заседаниях семинаров «Алгебра и логика», «Теория групп» (ИМ СО РАН и НГУ), на алгебраических семинарах в МГУ, ИММ УрО РАН, в Красноярском государственном университете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [64]-[75].
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, . я яти глав и списка литературы, занимает 187 страниц текста, набранного на ЬАТЕХс. Нумерация тройная: номер главы, номер параграфа в главе, номер пункта в параграфе.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Изучение групп Шункова, ввиду обширности данного класса, возможно только при наложении дополнительных ограничений. В диссертации таковыми являются условия расщгпляг-мости, примарной минимальности и насыщенности:
Группа называется расщепляемой, если она является объединением некоторой совокупности собственных подгрупп, попарно пересекающихся по единице [8].
Группа О удовлетворяет условию ц-тгп, ц ел(СЗ), если каждая убывающая цепочка ее подгрупп в = Оо > Б] > С2 > ..., такая, что во всех разностях в, \ 0,_/ найдутся д-элементьг, обрывается на конечном номере. Если группа О удовлетворяет условию ц-тт для всех с/ ек(С), то говорят, что группа С удовлетворяет условию примарной минимальности [32].
Группа О насыщена группами из множества X, если любая конечная подгруппа К из С влоэюима в й в подгруппу Ь, изоморфную некоторой группе из X [66].
Основными результатами диссертации являются:
- доказательство существования в группе Шункова, с бесконечным множеством элементов конечного порядка, бесконечно локально конечной подгруппы;
- доказательство существования q-пoлнoй части в сопряженной q-бипpимитивнo конечной группе с условием q-min и разрешимыми конечными подгруппами;
- для групп Шункова получен аналог известной теоремы Фробениуса;
- решение проблемы примарной минимальности в классе групп Шункова;
- решение проблемы минимальности в классе групп Шункова; Г,
- характеризация простых локально конечных групп лиев-ского ранга 1 в классе периодических групп с использованием понятия насыщенности.
В главе 1 изучаются группы с нормальной компонентой расщепления, при этом рассматриваются группы более широкого класса, чем класс групп Шункова. Необходимость исследования расщепляемых групп ясна не только сама по себе, но и обуславливается редукцией многих задач к вопросам о строении групп Фробениуса (основные результаты главы 1 существенно используются в других главах диссертации).
Как известно, конечные расщепляемые группы широко используются в теории конечных групп и достаточно подробно изучены [6, 7, 8, 47]. Класс периодических расщепляемых групп, как показывают известные результаты П.С Новикова, С.И. Адяна [1, 2, 22, 23], А.Ю. Ольшанского [24, 25, 26, 27] и др., практически необозрим. Однако периодические расщепляемые группы с некоторыми условиями конечности могут быть описаны (с точностью до р-групп, групп Фробениуса и НТ-групп). Первые значительные результаты в этом направлении получены в [12, 13, 37, 41, 44]. Одним из основных моментов в изучении этих групп было бы обобщение известной теоремы Томпсона о нильпотентности конечной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка. Речь идет о вопросе 6.56 из [19] о локальной конечности (бинарно конечной) групп из класса#п <Ь (определение классов #иСб см. в главе 1 параграф 1.1). Многие результаты главы 1 справедливы для данного класса групп.
Результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с А.И.Созутовым и опубликованы в [40, 44]. Они включены прежде всего с целью полноты изложения результа-
тов диссертации. Основным из них является уточнение строения контрпримера к вопросу 6.56 из [19]:
Теорема 1.4.10. Пусть класс Я^ЫЗ содержит не локально конечную группу Со- Тогда некоторое сечение С ~ РЛ<а> группы Оо принадлежит классу Г\<£> и ядро Г7 группы С удовлетворяет следующим условиям:
1. I7 — бесконечная конечно порожденная простая группа.
2. Каждая конечная а-допустимая подгруппа из Г вложима в бесконечную локально конечную нильпотентную а-допустнмую подгруппу. В частности, каждый элемент из Г содержится в бесконечной локально конечной нильпо-тентной а-допустимой подгруппе.
3. В I7 существует конечная подгруппа не вложгшая в конеч71ую а-допустимую подгруппу.
4. В случае, когда Г содержит не локально конечную а-допустимую подгруппу с нетривиальным локально конечным радикалом, или когда Р - бинарно конечная группа, можно считать, что Г - примариая группа ограниченного периода
5. Если все а-допустимые подгруппы с нетривиально локально конечным радикалом из Р локально конечны, то множество максимальных локально конечных а-допустимых подгрупп группы Р составляют ее расщепление и каждый элемент из имеет простой порядок.
В главе 2 изучаются некоторые общие свойства групп Шун-кова. Найдены необходимые и достаточные условия, когда факторгруппа группы Шункова снова будет группой Шункова (следствия 2.4.2, 2.4.4). По-видимому нет необходимости уточнять значение этих результатов общего характера для исследований групп Шункова.
В теории групп особую роль играют критерии существования в группе тех или иных подгрупп. Так, например, в теории конечных групп важное значение имеют теоремы Силова, Холла, Фробениуса и др. В группах Шункова аналогичную роль
играют теоремы вложения в группу бесконечных абелевых или локально конечных подгрупп. К основным результатам главы 2, полностью опубликованным в [64, 65, 74, 75], относится
Теорема 2.2.1. Если группа Шункова содержит бесконечно много элементов конечного порядка, то она содержит и бесконечную локально конечную подгруппу.
Следующая теорема главы уточняет характер вложения локально конечных подгрупп
Теорема 2.3.1. Пусть G группа Шункова и Н - ее максимальная локально конечная подгруппа. Тогда имеет место одно из следующих утверждений:
1. Н - периодическая часть группы G.
2. G - FÄNg(H) и Т ~ FÄH — периодическая часть
группы G, являющаяся группой Фробениуса с ядром F и неинвариантным множителем И.
3. Для некоторого g €G\Ng(H) пересечение HriHfi^l.
Отметим также аналог известной теоремы Фробениуса, играющей большую роль в теории групп с условиями конечности и расщепляемых групп:
Теорема 2.3.3. Пусть G - группа Шункова, Н - ее собственная подгруппа, содержащая элементы конечного порядка, и для любого элемента geG\H подгруппа HnlP не содержит элементов конечных порядков. Тогда G = FÄH, где F — периодическая группа, и для любой периодической подгруппы Т<Н подгруппа FXT—является группой Фробениуса с ядром F и неинвариантным множителем Т.
В последнем параграфе главы 2 доказана
Теорема 2.5.3. Пусть G — сопряжение q-бипримитивно конечная группа с условием q - min, q&2 и все конечные подгруппы из Gразрешимы. Тогда G обладает q-полной частью.
Условия минимальности в теории бесконечных групп занимают особое место. Наиболее известными среди них являются
минимальность для (периодических) подгрупп (min), абелевых подгрупп (min-ab), примарпая минимальность (q-min, prim-min), конечность ранга и др. Начиная с работ О.Ю.Шмидта [54] и С.Н.Черникова [49] и до нашего времени решения проблем минимальности (во все более широких классах групп) составляло значительную часть вклада многих алгебраистов в теорию групп. Отметим наиболее известные результаты в данном направлений. В классе локально разрешимых групп проблемы min, min-ab и др. решены С.Н. Черниковым [49, 50, 51, 52, 53], q-min и prim-min -Половицким Я.Д. [32], в классе локально конечных групп решения перечисленных выше проблем принадлежат В.П. Шункову и его ученикам [31]. Наконец, в классах сопряженно бипримитивно конечных групп (групп Шункова) решения проблем min и min-ab были получены В.П. Шунковым с А.Н. Остыловским и Н.Г. Сучковой [30, 29, 45]. Отметим, что вариациями данных проблем в классе периодических и смешанных групп Шункова также занимались И.И. Павлюк, A.A. Шафиро, В.И. Сенатов, A.M. Попов [31, 33, 36] и др.
Методы исследования групп с условиями минимальности включают в себя многие основные черты знаменитой классификационной теоремы. Так же, как и в теории конечных простых групп, в большинстве случаев методами локального анализа исследуется строение минимального контрпримера к основной теореме, который не содержит нормальных периодических подгрупп (периодически прост). При этом четный и нечетный случаи требуют разных подходов. Необходимо отметить, что в этих исследованиях фундаментальное значение имеют различные признаки непростоты групп В.П. Шункова и А.И. Созутова [37, 38, 39, 41, 42, 60].
Как уже было сказано, группы с условием примарной минимальности изучались различными авторами, в частности, полное описание локально конечных групп с условием примарной минимальности получено в работах [32, 31]. Решению проблемы примарной минимальности в классе периодических и смешанных групп Шункова посвящены следующие две главы
диссертации. С использованием результатов главы 2 вначале доказываются результаты, опубликованные в [64, 65, 74, 75]:
Теорема 3.1.1. Пусть О — группа Шутова без инволюций с условием примарной минимальности и С порождается элементами конечных порядков. Тогда й — локально конечная группа.
Теорема 3.2.4. Группа Шункова с конечными силовскими подгруппами, удовлетворяющая условию примарной минимальности, обладает локально конечной периодической частью.
Теорема 3.3.1. Группа Шункова с разрешимыми конечными подгруппами, удовлетворяющая условию примарной минимальности, обладает локально конечной периодической частью.
Затем исследуется группы с бесконечными силовскими 2-подгруппами (результаты опубликованы в [74, 75]), при этом отдельно рассматриваются случаи полных и локально ди-эдральных силовских 2-подгрупп (параграфы 3.5, 3.6). Основным результатом, доказываемым на протяжении параграфов 3.4-3.6 является
Теорема 3.4.1. Группа Шункова, удовлетворяющая условию примарной мгтигпалььиати, обладает 2-полной частью.
Таким образом, для полного решения проблемы примарной минимальности в классе групп Шункова остается рассмотреть случай конечных силовских 2-подгрупп. Этому исследованию посвящена глава 4 диссертации. Основной результат главы -решение проблемы примарной минимальности в классе групп Шункова, опубликованное в [67,74,75]:
Теорема 4.1.1. Группа Шункова с условием примарной минимальности обладает периодической частью, которая локально конечна и почти локально разрешима.
Доказательство теоремы занимает все 7 параграфов главы. При этом вначале рассматриваются общие свойства контрпримера в, затем доказывается бесконечность и черниковость периодической части централизатора произвольной инволюции (теорема 4.2.1) и отсугствие в группе сильно вложенных под-
групп (теорема 4.3.1), далее исследуются 2-пересечения максимальных чсрниковских подгрупп и доказывается неравенство '■) <2 (леммы параграфа 4.4), устанавливается строение конечных простых и специально выбранных подгрупп группы О (теорема 4.5.1 и леммы параграфа 4.6) и, наконец, в лемме 4.7.5 доказывается, что контрпримера к теореме не существует. Отметим непосредственные следствия основной теоремы главы:
Следствие 4.1.2. Периодическая группа Шуикова с условием примарной минимальности локально конечна и почти локально разрешима.
Следствие 4.1.3. Сопряженно бипртштивно конечная группа с условием минимальности для подгрупп локально конечна и является черниковской группой.
Результат сформулированный в следствии 4.1.3 независимо и одновременно получен В.П. Шунковым [61].
Как видно из вышесказанного, исследование групп с условием примарной минимальности свелось к локальному анализу контрпримера с заданными бесконечными периодическими подгруппами и системой конкретных конечных простых неабе-левых подгрупп (как правило групп Шевалле лиевского ранга 1). Естественно было рассмотреть группы без условий минимальности, но с заданными системами (конечных) под-трупп. Так появилось понятие насыщенности группы некоторыми множествами групп [64]. В последней главе диссертации изучаются группы, насыщенные конечными простыми подгруппами:
Группа С? насыщена группами из класса групп 9?, если любая конечная подгруппа К из О вложима в С в такую подгруппу Ь, что Ь изоморфна некоторой группе из класса 91.
Насыщенность близка покрытию группы [20]. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г.Конторовича [14]-[15], как понятие более общее, чем локальное покрытие (локальные системы [20]). В конце 60-х годов А.И.Старостин начинает рассматривать покрытие и в клас-
се бесконечных групп [16]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [16, 20]. В начале 80-х годов В.В.Беляев, A.B.Боровик, С.Томас, Б.Хартли и Г.Шют [4, 5, 83] независимо доказали следующий результат:
Если локально конечная группа G локально покрывается множеством подгрупп лиевского типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиевского типа конечного ранга.
Если группа покрывается некоторым множеством конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так группы Новиков а-Адяна В(ш, n) [1] насыщены одной циклической группой порядка п. Примеры периодических групп, насыщенных группами из множества, состоящего из любого конечного числа конечных групп, дают периодические произведения [2]. Этот перечень можно существенно расширить примерами групп Ольшанского [24,25,26,27].
Очевидно, что бесконечная локально конечная группа ке может быть насыщена подгруппами из конечного множества. То же самое справедливо для групп Шункова с бесконечным множеством элементов конечного порядка, так как по теореме 2.2.1 диссертации они обладают бесконечными локально конечными подгруппами.
В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возникает следующий вопрос:
Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными группами лиевского типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является группой лиевского типа?
В последней главе доказаны следующие теоремы:
Теорема 5.2.1. Группа Шункова, насыщенная группами из множества {¿¿(р")}, где р — фиксированное число, обладает,
периодической частью, которая изоморфна простой группе Ь2(Р), где Р — локально конечное поле характеристики р.
Теорема 5.4.1. Группа Шункова, насыщенная группами из множества (Яе(д)}, обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе Ри Яе(О) над подходящим локально конечным полем характеристики 3.
Теорема 5.5.1. Группа Шункова, насыщенная группами из {8г(с])}, обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе Судзуки над локально конечным полем (2 характеристики 2.
Теорема 5.6.1. Группа Шункова, насыщенная группами множества {и3(2")}, обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе 11з(0), где — локально конечное поле характеристики 2.
В последних теоремах главы происходит отказ от условий конечности Шункова и рассматриваются произвольные периодические группы:
Теорема 5.7.1. Пусть бесконечная периодическая группа О насыщена конечными простыми неабелевыми подгруппами и некоторая силовская 2-подгруппа Я из й является конечной группой диэдра. Тогда С? изоморфна локально конечной простой группе Ь2(Р), где Р-локально конечное поле нечетной характеристики р.
Теорема 5.7.2. Пусть бесконечная периодическая группа й насыщена группами из множества {Яе(сО|Ч = 32п+1}. Тогда в изоморфна локально конечной простой группе Ке(О), где 0, — локально конечное поле характеристики 3.
Эти результаты последней главы диссертации полностью опубликованы в [66,67,69-73]. Их доказательство существенно использует теорему Шункова о группах с почти регулярной инволюцией [57], характеризацшо 2-групп с конечной максимальной элементарной абелевой подгруппой как черниковских групп (обобщение теоремы Блэкберна, принадлежащее В.П. Шункову [56]) и теорему Санова о локальной конечности
2-грулпы периода 4 [35]. По-видимому, решение поставленного выше вопроса будет очень сложным и едва ли будет получено в ближайшее время.
Литература.
1] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах,- М.:
Наука, 1975.
2] Адян С.И. Периодические произведения групп// Тр. мат, инта АН СССР им. В.А.Стсклова-Т. 142.-М.: Наука, 1976.-С. 3-21.
3] Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о
периодических группах// Мат. заметки.- 1972.- T. II, N 3.-С.319-328.
4] Беляев В.В. Локально конечные группы Шевалле// В кн.: Исследования по теории групп,- Свердловск: УНЦ АН СССР,- 1984.-С. 39-50.
5] Боровик A.B. Вложения конечных групп Шевалле и периодические линейные группы// Сиб. матем. ж,- Т. 24,-1983.-С. 26-35.
6] Бусаркин В.М., Старостин А.И. О локально конечных
расщепляемых группах// УМН- 1962.- Т. 17, N 6.
7] Бусаркин В.М., Старостин А.И. О расщепляемых локально конечных группах// Мат. сб.- 1963,- Т. 62, N 3,- С. 275-294.
8] Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые
группы,-М.: Наука, 1968.
9] Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых
группах// Изв. АН СССР. Сер. матем,- 1964- Т. 28, N 2,-С. 273-276.
10] Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах// Функцион. анализ и его приложения,- 1980.Т. 14, N 1.-С. 53-54.
11] Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией// Итоги науки и техники. Современные проблемы матем, фундам. направления,-1990,-Т. 58,- С. 191-256.
12] Измайлов А.Н., Шунков В.П. Два признака непростоты
группы с бесконечно изолированной подгруппой// Алгебра и логика,- 1982- Т. 21, N 6- С. 647-669.
[13] Измайлов А.Н. Характеризация групп SL2(K) и Sz(K) над локально конечным полем К характеристики 2 // Алгебра и логика- 1985,- Т. 24, N 2- С. 127-172.
[14] Конторович П.Г. Инвариантно покрываемые группы// Матем. сб.- Т 8 (1940).- С. 423 - 430.
[15] Конторович П.Г. Инвариантно покрываемые группы, II// Матем. сб.-Т 28 (1951).-С. 79-88.
[16] Конторович П.Г., Пекелис A.C., Старостин А.И. Структурные вопросы теории групп// Матем. зап. Уральск, ун-та,-Т3.(1961)-С. 3-50.
[17] Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда// Изв. АН СССР. Сер. матем,- 1959- Т. 23, N 1- С. 3-34.
[18] Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда,- М.: Наука, 1986.
[19] Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. -6-13 издания,- Новосибирск, 1978-1995.
[20] Курош А.Г. Теория групп,-М.: Наука, 1967.
[21] Лысенок И.Г. О проблеме Бернсайда для нечетных показателей п(115// Междун. конф. по алгебре. Новосибирск. 21-26 авг. 1989г.: Тез. докл. по теории групп. -Новосибирск,- 1989.-С. 75.
[22] Новиков П.С. О периодических группах// ДАН СССР-1959,-Т. 127,-С. 749-752.
[23] Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах- 1, II, III// Изв. АН СССР. Сер.матем- 1968- Т. 32, NN 1,2,3- С. 212-244, 251-524, 709-731.
[24] Ольшанский А.Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами// ДАН СССР.- 1979- Т. 245, N4- С. 785-787.
[25] Ольшанский АЛО. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков// Изв. АН СССР. Сер. матем- 1980,- Т. 44, N2-С. 309-321.
[26] Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков// Алгебра и логика.- 1982.Т. 21, N 5.- С. 553-618.
[27] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений
в группах.- М.: Наука, 1989.
[28] Ольшанский А.Ю., Шмелькин A.JI. Бесконечные группы// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фундам. напр'авл- 1989,- Т. 37- С. 5-113.
[29] Остыловский А.Н., Шунков В.П. О локальной конечности одного класса групп с условием минимальности для подгрупп // В сб. Исследования по теории групп,-Красноярск,- 1975,- С. 32-48.
[30] Остыловский А.Н. Локальная конечность некоторых групп с условием минимальности для абелевых подгрупп// Алгебра и логика.- 1977- Т. 6, N 1- С. 63-73.
[31]Павлюк И.И., Шафиро A.A., Шунков В.П. О локальной конечности групп с условием примарной минимальности.-Алгебра и логика,- 1974,- Т. 13, N 3- С. 324-336.
[32] Половишшй Я.Д. Слойно экстремальные группы,- Матем. сб.- 1962- Т. 56, N 1- С.95-106.
[33] Попов А.М., Шунков В.П. Характеризация одного класса черниковских групп// Алгебра и логика,- 1987,- Т. 26, N 3,-С. 358-375.
[34] Рожков A.B. Условия конечности Шункова// Междунар. конф. по алгебре,- Санкт-Петербург,- 1997,- С. 268 - 269.
[35] Санов И.Н. Решения проблемы Бернсайда для периода 4 // Учен, записки ЛГУ. Сер. матем- 1940- Т. 10,-С. 166-170.
[36] Сенатов В.И. Слойно конечные группы,- Новосибирск,-ВО Наука, 1993.
[37] Созугов А.И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы// Матем. сб.- 1976,Т. 100, N4,-С. 495-506.
[38] Созутов А.И. О группах с фробениусовыми парами сопряженных элементов// Алгебра и логика,- 1977,- Т. 16, N2,-С. 204-212.
[39] Созутов А.Й., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами// Алгебра и логика,- 1977,- Т. 16, N 6,- С. 711-735.
[40] Созутов А.И., Шлепкин А.К., Шунков В.П. О периодических группах с регулярным автоморфизмом// XVI
Всесоюз. алгебраич. конф.- Тез. докл.-Ленинград.- 1981. С. 124-125.
[41] Созутов А.И. О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса// Сиб. матем. ж,- 1994.Т. 35, N4- С. 893-901.
[42] Созутов А.И. О группах с классом фробениусово-абелевых элементов// Алгебра и логика- 1995,- Т. 34, N 5,-С. 531 - 549.
[43] Созутов А.И. О примерах ассоциативных нильалгебр// Матем. заметки,- 1995- Т. 57, N 3- С. 445 - 450.
[44] Созутов А.И., Шлепкин А.К. О группах с нормальной компонентой расщепления,- Сиб. матем. ж,- 1997, N 4,-С. 897 -914.
[45] Сучкова Н.Г., Шунков В.П. О группах с условием минимальности для абелевых подгрупп// Алгебра и логика,- 1986. Т.25, N 4,- С. 445-469.
[46] Сущанский В.И. Периодические р-группы подстановок и не ограниченная проблема Бернсайда// ДАН СССР.- 1979.Т. 247, N3." С. 557-561.
[47] Хухро Е.И. Нильпотентные группы и их автоморфизмы простого порядка.- Фрайбург, 1992.
[48] Череп A.A. О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно конечной группе// Алгебра и логика,- 1987.Т. 26, N4-С. 518-521.
[49] Черников C.II. Бесконечные специальные группы // Матем. сб.- 1939-N6-С. 199-214.
[50] Черников С.Н. Бесконечные локально разрешимые группы // Матем. сб.- 1940,- N 7.~ С. 35-64.
[51] Черников С.Н. О локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп// Матем. сб.-1951-Т. 28, N 1-С. 119-129.
[52] Черников С.Н. Условия конечности в общей теории групп// Успехи мат. наук- 1959- Т. 14, N 5,- С. 45-96.
[53] Черников С.Н. Группы с условием минимальности для неабелевых подгрупп// В сб. Группы с ограничениями для подгрупп. Киев-1971,- С. 96-105.
[54] Шмидт О.Ю. Локальная конечность одного класса бесконечных периодических групп// В сб. Избранные труды. Математика,- М-1959,- С. 298-300.
[55] Шунков В.П. О проблеме минимальности для локально конечных групп// Алгебра и логика- 1972- Т. 9, N 2- С. 220248.
[56] Шунков В.П. Об одном классе р-групп// Алгебра и логика. 1970." Т. 9, N4,-С. 484-496.
[57] Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией// Алгебра и логика- 1972,- Т. II, N 4,- С. 470-494.
[58] Шунков В.П. О некоторых вопросах теории локально конечных групп // Автореферат дисс. на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук,- Новосибирск.-1972.
[59] Шунков В.П. Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах// Алгебра и логика,- 1973- Т. 12, N 5.-С. 603-614. .
[60] Шунков В.П. Об одном признаке непростоты групп// Алгебра и логика- 1975- Т. 14, N 5- С. 491-522,
[61] Шунков В.П. Теоремы вложения для групп с инволюциями и характеризация черниковских групп// Алгебра и логика.-1988-Т. 27, N 1-С. 100-121.
[62] Шунков В.П. Мр-группы- М.: Наука, 1990.
[63] Шунков В.П. О вложении примарных элементов в группе.-ВО Наука,- Новосибирск, 1992.
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
[64] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условиями примарной минимальности. // Алгебра и логика. 1983, т.22 №2. с. 226-231.
[65] Шлепкин А.К. О 2-полных подгруппах в сопряженно бипримитивно конечной группе с условием примарной минимальности. // Алгебра и логика, т. 24, №2, 1985. с. 240-245.
[66] Шлепкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие неразрешимые подгруппы. //
Международная алгебраическая конференция. Сб.тез., Красноярск, 1993. с. 201.
67] Шлепкин А.К. Группы Шункова с условием примарной минимальности // Препринт ВЦК СО РАН. - Красноярск, 1998-№9.-33 с.
68] Шлепкин А.К., Созутов А.И. О группах с нормальной
компонентной расщепления. // Сибирский математический журнал. 1997. т.38, №4. с. 897-914.
69] Шлепкин А.К. О периодической части некоторых групп Шункова. XV межрегиональная научно-техническая конференция: Тез. докл., Красноярск, 1997, с. 16.
70] Шлепкин А.К. О группах Шункова, насыщенных конечными простыми подгруппами // Международная алгебраическая конференция. Памяти Д.К. Фадеева. Сб. тез. С.-Петербург, 1997, с. 310.
71] Шлепкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, насыщенные конечными простыми подгруппами. // Алгебра и логика, 1998, т.37, № 2, с. 224-245.
72] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивных конечных группах, насыщенных конечными простыми неабелевыми группами U3(2n). // Алгебра и логика. 1998, т.37, №5, с. 75-90.
73] Шлепкин А.К. О некоторых периодических группах насыщенных конечными простыми подгруппами. // Математические труды, 1998, том 1, № 1, с. 129-138.
74] Шлепкин А.К. Группы Шункова с условием примарной
минимальности, I. // Siberian Adv. Math., 1998, т.8, №3, с. 114-131.
75] Шлепкин А.К. Группы Шункова с условием примарной
минимальности, П. // Siberian Adv. Math., 1998, т.8, №4, с. 50-74.
76] Шлепкин А.К. Группы Шункова с условием примарной минимальности, III. // Siberian Adv. Math., 1999, т.9, №1, с. 62-89.
77] Шлепкин А.К. О периодической части некоторых групп Шункова. // Алгебра и логика, 1999, т.38, № 1, с. 69-99.
Министерство общего^а^шсфессионального образования РФ : КраеШярски^г^су^а-ретвейный технический университет
... V' '> ^
, " ^ уЦ^','. , 5 На правах рукописи
— " А 1 i ' ' '
1 „ ?t Т -ä .,* . -¡Sy. '-•■■
n .^rf.....
УДК 512.54
t'i
3.AÄH**
—к
„ -^„«¿а.Ум!»'—»*•
ШЛЕПКИН Анатолий Константинович
ГРУППЫ ШУНКОВА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Научные консультанты:
В.П.Шунков, доктор физико-математических наук, профессор
А.И.Созутов, доктор физико-математических наук
Красноярск, 1998
Содержание
1 Введение 5
2 Известные результаты 16
1 О группах с нормальной компонентой расщепления 26
1.1 Определения, вспомогательные леммы . . . .............26
1.2 О локально конечном радикале группы из класса ШПб 29
1.3 О некоторых подгруппах группы Сб^Пб..............32
1.4 Свойства не локально конечных групп из класса 21 П (5 36
2 Некоторые свойства групп Шункова 43
2.1 Определения..................................................43
2.2 О существовании бесконечных локально конечных подгрупп ..........................................................45
2.3 О характере вложения бесконечных локально конечных подгрупп ......................................................49
2.4 Факторгруппы групп Шункова ............................53
2.5 О существовании д-полной части..........................55
3 Группы с примарной минимальностью 63
3.1 Группы без инволюций ....................................64
3.2 Свойства основного контрпримера ........................69
3.3 Случай разрешимых конечных подгрупп..................76
3.4 0 2-полной части..................................79
3.5 Случай полных абелевых 2-подгрупп......................85
3.6 Случай локально диэдральных групп......................88
4 Проблема примерной минимальности 101
4.1 Основные результаты и свойства контпримера..........102
4.2 0 периодической части централизатора инволюции . . 105
4.3 О сильно вложенной подгруппе............................112
4.4 Свойства 2-подгрупп в G....................................114
4.5 Строение конечных простых подгрупп G ................122
4.6 Строение подгрупп Ьь и Кь .................125
4.7 Доказательство основной теоремы........................130
5 Группы, насыщенные конечными простыми неабелевы-ми группами 135
5.1 Определения, вспомогательные леммы...........137
5.2 Группы Шункова, насыщенные L^ip71)....................138
5.3 Группы Шункова, насыщенные Re(q)......................147
5.4 Группы Шункова, насыщенные Sz(q)......................150
5.5 Группы Шункова, насыщенные С/з(2п)....................155
5.6 Периодические группы с конечной диэдральной силов-ской 2-подгруппой, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами......................................163
5.7 Периодические группы, насыщенные Re(q) ..............168
1
Введение
При изучении бесконечных групп оказалось естественным выделять и изучать классы таких групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп, или, как мы будем говорить в дальнейшем, классы групп с условиями конечности. Перечислим некоторые из распространенных условий конечности: периодичность, локальная конечность, условия обрыва различного рода цепочек подгрупп, конечность определенным образом порожденных подгрупп и т. д. Каждое из перечисленных выше условий само по себе или в сочетании с другими представляет собой крупное направление в теории групп. За последние 40 лет в теории бесконечных (периодических) групп решены многие старые проблемы, предложены различные конструкции периодических групп, построено много серий примеров [44, 29, 9, 45, 117, 3, 1, 2, 47, 74, 48, 15, 49, 50, 75, 30, 37, 51, 16]. Примеры Е.С.Голода, А.И.Созутова, А.В.Рожкова [9, 64, 67, 57] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. В настоящее время бесконечные группы со слабыми условиями конечности интенсивно изучаются (см., монографии [125, 126]).
Результаты исследований, представленных в настоящей диссертации, связаны с конечностью определенным образом порожденных подгрупп:
Группа С называется (сопряженно) д-бипримитивно конечной, если для любой ее конечной подгруппы Н в факторгруппе Ис{Н)/Н любая пара (сопряженных) элементов порядка д порождает конечную подгруппу. Если группа является сопряженно д-бипримитивно конечной относительно любого простого числа д Е тг(С), то называется сопряженно бипримитивно конечной группой или группой Шункова.
Очевидно, что любая периодическая группа 2-бипримитивно конечна. Класс групп Шункова очень обширен и включает в себя локально конечные, (сопряженно) п-арно конечные, (сопряженно) бинарно конечные группы, периодические и смешанные группы, так как условия конечности Шункова не предполагают периодичности группы Поэтому для нее, наряду с другими вопросами, актуален следующий: обладает ли группа (7 периодической частью, т.е. составляют ли периодические элементы в (2 подгруппу? Нетривиальность ответа на этот вопрос подчеркивается тем, что известны примеры [79] разрешимых бипримитивно конечных групп, не обладающих периодической частью.
Изучение групп Шункова, ввиду обширности данного класса, возможно только при наложении дополнительных ограничений. Основными среди них в диссертации являются условия расщепляемости, при-марной минимальности и насыщенности:
Группа называется расщепляемой, если она является объединением некоторой совокупности собственных подгрупп, попарно пересекающихся по единице [8].
Группа С удовлетворяет условию д-тгп, д € тг(С), если каждая убывающая цепочка ее подгрупп С = С?о > Ст > > ..такая, что во всех разностях \ (7г-1 найдутся д-элементы, обрывается на конечном номере. Если группа С удовлетворяет условию д-тгп для всех д 6 я"(С?), то говорят, что группа (7 удовлетворяет условию примарной минимальности [55].
Группа (7 насыщена группами из множества X, если любая конечная подгруппа К из С вложима в С в подгруппу Ь, изоморфную некоторой
группе из X [101].
Перейдем к основным результатам диссертации. В главе 1 изучаются группы с нормальной компонентой расщепления, при этом рассматриваются группы более широкого класса, чем класс групп Шункова. Необходимость исследования расщепляемых групп ясна не только сама по себе, но и обуславливается редукцией многих задач к вопросам о строении групп Фробениуса (основные результаты главы 1 существенно используются в других главах диссертации).
Как известно, конечные расщепляемые группы широко используются в теории конечных групп и достаточно подробно изучены [6, 7, 8]. Класс периодических расщепляемых групп, как показывают известные результаты П.С Новикова, С.И. Адяна [1, 2, 44, 45], А.Ю. Ольшанского [47, 48, 49, 50] и др., практически необозрим. Однако периодические расщепляемые группы с некоторыми условиями конечности могут быть описаны (с точностью до р-групп, групп Фробениуса и НТ-групп). Первые значительные результаты в этом направлении получены в [19, 21, 60, 64, 68]. Одним из основных моментов в изучении таких групп было бы обобщение известной теоремы Томпсона о нильпотентности конечной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка. Речь идет о вопросе 6.56 из [33] о локальной конечности (бинарно конечной) групп из класса б П1Н (определение классов (55 и ¿Я см. в главе 1 параграф 1.1). Многие результаты главы 1 доказаны для данного класса групп.
Результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с А.И.Созутовым и опубликованы в [63, 91, 68]. Основным из них является уточнение строения контрпримера к вопросу 6.56 из [33]:
Теорема 1.4.10 Пусть класс (5ПЕН содержит не локально конечную группу Со- Тогда некоторое сечение С = ^Л(а) группы Со принадлежит классу © П 1Н и ядро Р группы С удовлетворяет следующим условиям:
1. Г — бесконечная конечно порожденная простая группа.
2. Каждая конечная а-допустимая подгруппа из Р вложима в бесконечную локально конечную нилъпотентную а-подгруппу. В частности, каждый элемент из Р содержится в бесконечной локально конечной нилъпотентной а-допустимой подгруппе.
3. В Р существует конечная подгруппа не вложима в конечную а-допустимую подгруппу.
4. В случае, когда Р содержит не локально конечную а-допустимую подгруппу с нетривиальным локально конечным радикалом, или когда Р ■— бинарно конечная группа, можно считать, что Р — примарная группа ограниченного периода.
5. Если все а-допустимые подгруппы с нетривиально локально конечным радикалом из Р локально конечны, то множество максимальных локально конечных а-допустимых подгрупп группы Р составляют ее расщепление и каждый элемент из имеет простой порядок.
В главе 2 изучаются некоторые общие свойства групп Шункова. Найдены необходимые и достаточные условия, когда факторгруппа группы Шункова снова будет группой Шункова (следствия 2.4.2, 2.4.4). По-видимому нет необходимости уточнять значение этих результатов для исследований групп Шункова.
В теории групп особую роль играют критерии существования в группе тех или иных подгрупп. Так, например, в теории конечных групп трудно переоценить значение теорем Силова, Холла, Фробени-уса и др. В группах Шункова аналогичную роль играют теоремы вложения в группу бесконечных абелевых или локально конечных подгрупп. К основным результатам главы 2, полностью опубликованным в [87, 88, 92, 109], относится
Теорема 2.2.1 Если группа Шункова содержит бесконечно много элементов конечного порядка, то она содержит и бесконечную локально
конечную подгруппу.
Следующая теорема главы уточняет характер вложения локально конечных подгрупп
Теорема 2.3.1 Пусть G группа Шункова и Н — ее максимальная локально конечная подгруппа. Тогда имеет место одно из следующих утверждений:
1. Н — периодическая часть группы G.
2. G = FXNg(H) и Т = FXH — периодическая часть группы G, являющаяся группой Фробениуса с ядром F и неинвариантным множителем Н.
3. Для некоторого g G G\ Ng{H) пересечение Н П Н9'ф 1.
Отметим также аналог известной теоремы Фробениуса, играющей большую роль в теории конечных и расщепляемых групп:
Теорема 2.3.3 Пусть G — группа Шункова, Н — ее собственная подгруппа, содержащая элементы конечного порядка, и для любого элемента g (Е G\ Н подгруппа Н П Н9 не содержит элементов конечных порядков. Тогда G = FXH, где F — периодическая группа, и для любой периодической подгруппы Т ^ Н, FXT — группа Фробениуса с ядром F.
В последнем параграфе главы 2 доказана
Теорема 2.5.3 Пусть G — сопряженно q-бипримитивно конечная группа с условием q — min, q ф 2 и все конечные подгруппы из G разрешимы. Тогда G обладает q-полной частью.
Условия минимальности в теории бесконечных групп занимают почетное место. Наиболее известными среди них являются минимальность для (периодических) подгрупп (min), абелевых подгрупп (min-ab), примарная минимальность (q-min, prim-min), конечность ранга и
др. Начиная с работ О.Ю.Шмидта [113] и С.Н.Черникова [81] и до нашего времени решения проблем минимальности (во все более широких классах групп) составляло значительную часть вклада многих алгебраистов в теорию групп. Отметим наиболее известные результаты в данном направлении. В классе локально разрешимых групп проблемы min, min-ab и др. решены С.Н.Черниковым [81, 82, 83, 84, 85], q-min и prim-min — Половицким Я.Д. [55], в классе локально конечных групп решения перечисленных выше проблем принадлежат В.П.Шункову и его ученикам [114, 115, 116, 54]. Наконец, в классах сопряженно биприми-тивно конечных групп (групп Шункова) решения проблем min и min-ab были получены В.П.Шунковым с А.Н.Остыловским и Н.Г.Сучковой [53, 52, 73, 123]. Отметим, что вариациями данных проблем в классе периодических и смешанных групп Шункова также занимались И.И.Павлюк, А.А.Шафиро, В.И.Сенашов, А.М.Попов [54, 56, 59] и др.
Методы исследования групп с условиями минимальности включают в себя многие основные черты знаменитой классификационной теоремы. Так же, как и в теории конечных простых групп, в большинстве случаев методами локального анализа исследуется строение минимального контрпримера к основной теореме, который не содержит нормальных периодических подгрупп (периодически прост). При этом четный и нечетный случаи требуют разных подходов. Необходимо отметить, что в этих исследованиях фундаментальное значение имеют различные признаки непростоты групп В.П.Шункова и А.И.Созутова [117, 60, 121, 61, 62, 64, 65].
Как уже было сказано, группы с условием примарной минимальности изучались различными авторами, в частности, полное описание локально конечных групп с условием примарной минимальности получено в работах [55, 54]. Решению проблемы примарной минимальности в классе периодических и смешанных групп Шункова посвящены следующие две главы диссертации. С использованием результатов главы 3 вначале доказываются результаты, опубликованные в [89, 93, 95, 109]:
Теорема 3.1.1 Пусть С — группа Шункова без инволюций с условием примарной минимальности и С порождается элементами конечных порядков. Тогда С — локально конечная группа.
Теорема 3.2.4 Группа Шункова с конечными силовскими подгруппами, удовлетворяющая условию примарной минимальности, обладает локально конечной периодической частью.
Теорема 3.3.1 Группа Шункова с разрешимыми конечными подгруппами, удовлетворяющая условию примарной минимальности, обладает локально конечной периодической частью.
Затем исследуется группы с бесконечными силовскими 2-подгруппами (результаты опубликованы в [98, 99, 100, 110]), при этом отдельно рассматриваются случаи полных и локально диэдральных си-ловских 2-подгрупп (параграфы 3.5, 3.6). Основным результатом, доказываемым на протяжении параграфов 3.4 - 3.6 является
Теорема 3.4.1 Группа Шункова, удовлетворяющая условию примарной минимальности, обладает 2-полной частью.
Таким образом, для полного решения проблемы примарной минимальности в классе групп Шункова остается рассмотреть случай конечных силовских 2-подгрупп. Этому исследованию посвящена глава 4 диссертации. Основной результат главы - решение проблемы примарной минимальности в классе групп Шункова, опубликованное в [111]:
Теорема 4.1.1 Группа Шункова с условием примарной минимальности обладает периодической частью, которая локально конечна и почти локально разрешима.
Доказательство теоремы занимает все 7 параграфов главы. При этом вначале рассматриваются общие свойства контрпримера затем доказывается бесконечность и черниковость периодической части централизатора произвольной инволюции (теорема 4.2.1) и отсутствие в группе сильно вложенных подгрупп (теорема 4.3.1), далее исследуются
2-пересечения максимальных черниковских подгрупп и доказывается неравенство m2(G) < 2 (леммы из 7.4), устанавливается строение конечных простых и специально выбранных подгрупп группы G (теорема 4.5.1 и леммы из 7.6) и, наконец, в лемме 4.7.5 доказывается, что контрпримера к теореме не существует. Отметим непосредственные следствия основной теоремы главы:
Следствие 4.1.2 Периодическая группа Шункова с условием примарной минимальности локально конечна и почти локально разрешима.
Следствие 4.1.2 Сопряженно бипримитивно конечная группа с условием минимальности для подгрупп локально конечна и является черниковской группой.
Результат сформулированный в следствии 4.1.2 независимо получен В.П. Шунковым - [123], [124].
Как видно из вышесказанного, исследование групп с условием примарной минимальности свелось к локальному анализу контрпримера с заданными периодическими подгруппами и системой конкретных конечных простых неабелевых подгрупп. Естественно было рассмотреть группы без условий минимальности, но с заданными системами конечных подгрупп. Так появилось понятие насыщенности группы некоторыми системами конечных групп [101]. В последней главе диссертации изучаются группы, насыщенные конечными простыми подгруппами.
Группа G насыщена группами из класса групп % если любая конечная подгруппа К из G вложима в G в такую конечную подгруппу L, что L изоморфна некоторой группе из класса iH.
Как оказалось, насыщенность является естественным обобщением покрытия группы [34]. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторовича [26]-[27], как понятие более обшее, чем локальное покрытие. В конце 60-х годов А.И. Старостин начинает рассматривать покрытие и в классе бесконечных групп [28]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [28, 34]. В начале 80-х годов В.В. Беляев, A.B. Боровик, С. Томас, Б. Хартли и Г. Шют [4, 5, 159,145] независимо доказали следующую те-
орему:
Если локально конечная группа С локально покрывается множеством подгрупп лиевского типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама (7 является группой лиевского типа конечного ранга.
Если группа покрывается некоторым множеством конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так группы Новикова-Адяна В(п,т) [45,1] насыщены одной циклической группой порядка п. Примеры периодических групп, насыщенных группами из мн�
