Характеризации групп, обладающих слойно конечной периодической частью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ и МЕХАНИКИ

УДК .112.544 На иряиах руконнси

II В К О Максим Николаенич

Характеризации групп, обладающих слойно конечной периодической частью

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теории чисел

А ВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Екатеринбург, I!)!.)■'!

Работа выполнена в Вычислительном Центре СО РАН в городе Красноярске.

Научиын руководитель:

Защита диссертации состоится 14 декабря 1993 года в 15 часов на заседании специализированного совета К 002.07.02 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620066, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

доктор физико-математических наук, профессор В. П. Шунков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Л. С. Казарин

кандидат физико-математических наук, доцент Н. Ф. Сесекин

Ведущая организация:

Институт .математики СО РАН

/

Автореферат разослан

1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета д. ф.-м. н., профессор

А. С. Кондратьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Под условием конечности в теории групп понимается всякое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существует хотя бы одна бесконечная группа, которая этим свойством не обладает.

В качестве основных условий конечности при изучении бесконечных групп в данной диссертации привлекаются условие слоёной конечности и (в случае периодических почти локально разрешимых групп) условие примарной минимальности.

Слоёно конечные группы впервые появились (без названия) в од-нон из работ С.Н. Черникова 1945 г. и были полностью описаны в его работе, относящейся к 1948 г. Затем класс слойно конечных групп был незаслуженно забыт и довольно долгое время не находил применения, пока в 80-е годы учениками В.П. Шупкова Е.И. Седо-вой(Чубаровой) и В.И. Сенашовым не были получены характериза-цни слойно конечных групп и групп, обладающих слоило конечной периодической частью в достаточно широких классах групп (периодических бинарно разрешимых, сопряженно бипрнмитивно конечных и др.).

Что касается условия примарной минимальности, то оно было введено С.Н. Черниковым в одной из работ ЯЛ. Половндкого, где группы с этим условием были полностью описаны последним в классе периодических локально разрешимых групп. Позднее И.К. Павлгоком была доказана почти локальная разрешимость локально конечных групп, удовлетворяющих этому условию, а А.К. Шлепкиным — локальная конечность периодических сопряженно бипримитйвно конечных групп с условием примарной минимальности.

Отметим далее, что в большинстве работ, посвященных изучению групп с теми или ттяьтмя условиями конечности, эти условия накладываются на все подгруппы, обладающие определенным свойством (локально конечные, локально разрешимые, абелевы и т.д.). Изучение групп при наложении условий конечности лишь на часть из этих подгрупп (например, инвариантных относительно некоторой конечной подгруппы) представляет собой более трудную задачу. Однако, и в этих случаях удается получать глубокие и содержательные результаты.

В частности, в конце 80-х гг. В.П. Шунковым была получена следующая

Теорема. Группа О, содержащая элемент а простого порядка р ^ 2 тогда и только тогда обладает конечной периодической частью, когда выполняются следующие условия:

1. подгруппы вида гр(а,а3) конечны и почти все разрешимы;

2. а — точка группы в.

Согласно первоначальному определению, данному В.П. Шунковым, элемент д конечного порядка группы С? называется точкой, если для любой нетривиальной конечной (^-инвариантной конечной подгруппы К из С множество конечных подгрупп нз Л^сСЯ"), содержащих элемент д конечно. Нетрудно проверить, что с учетом условия 1 теоремы, условие 2 равносильно следующему:

нормализатор любой нетривиальной (а)-инвариантной конечной подгруппы группы (3 обладает конечной периодической частью.

Отметим, что впоследствии именно это условие и было принято в качестве понятия точки группы.

В связи с указанным выше результатом В.П. Шунков поставил перед автором следующий вопрос: будет ли группа в, удовлетворяющая условию 1 сформулированной выше теоремы, обладать слоёно конечной периодической частью, если нормализатор любой ее нетривиальной (а)-инвариантной конечной подгруппы обладает слойно конечной периодической частью?

Этот вопрос и послужил отправной точкой для тех исследований, результаты которых представлены в дайной диссертации.

Методика исследования. В работе применяются исключительно методы, конструкции и результаты теории групп.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые теоретические результаты:

по свойствам централизаторов элементов некоторой конечной элементарной абелевой подгруппы с точностью до конечных расширений получены характеризации слойно конечных групп и групп, удов отворяющих условию примарной минимальности в классе периодических почти локально разрешимых групп;

в том же классе групп по свойствам нормализаторов подгрупп, инвариантных относительно пехотор ой конечной фиксированной подгруппы получена характеризация групп с условием прпиарной минимальности;

по свойствам нормализаторов конечных подгрупп, инвариантных относительно некоторого элемента а нечетного простого порядка, получены характеризашш групп, обладающих слойно конечной периодической частью в классе групп, удовлетворяющих (сильному) условию (о, о)-конечности;

по свойствам централизаторов инволюций четверной подгруппы Клейна получена одна харакгернзапня слойно конечных групп в классе 2-бипримитивно конечных групп.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа посит теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены в теории бесконечных групп, а также быть использованы при чтении специальных курсов по алгебре.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на II н III Международных конференциях по алгебре (Барнаул, 1991 г., Красноярск 1993 г.), а также на семинарах "Алгебра и логика" и "Теориягрупп" Института математики СО РАН и Новосибирского государственного университета, на Красноярском городском алгебраическом семинаре, семинаре ВЦ СО РАН в г.Красноярске, алгебраическом семинаре ЙММ УрО РАН и опубликованы в работах [1]—[6].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 5 параграфов и содержит 7 теорем. Первой главе предшествует раздел "Обозначения и известные результаты ". Общий объем диссертации составляет 72 страницы. Библиография содержит 55 наименований. Используется сквозная нумерация параграфов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Как оказалось, группы, в которых нормализаторы всех нетривиальных конечных а-инвариантных подгрупп, где а — элемент простого порядка р ф 2, обладают слойно конечной периодической частью, не описаны даже в классе периодических локально разрешимых

групп. Однако, хорошая изученность этого класса групп позволила получить более общие, чем требуется для дальнейших приложений в работе, результаты. Поэтому в § 1 диссертации изучаются в основном периодические почти локально разрешимые группы, и основная его цель состоит в том, чтобы получить характерпзацию групп, удовлетворяющих условию прпмарной минимальности, по свойствам нормализаторов некоторых нетривиальных конечных элементарных абелевых подгрупп. Решение этой задачи оказалось тесно связанным с изучением влияния свойств централизаторов неединичных элементов некоторой элементарной абелевой подгруппы на структуру самой группы в целом. Первым результатом, полученным в этом направлении, явилась

Теорема 1.1 Пусть С — периодическая почти локально разрешимая группа, обладающая элементарной абелевой подгруппой V порядка р2. Если централизатор в в любого неединичкого элемента из V слойно конечен, то группа £ почти слойно конечна.

Эта теорема является аналогом одного из результатов, полученных А.А. Шафиро и В.П. Шунковым, рассматривавших ситуацию для случая, когда централизаторы не единичных элементов из V являются черниговскими. Затем, ослабляя ограничения на централизаторы элементов подгруппы V до условия прпмарной минимальности, получаем следующий результат:

Теорема 1.2 Пусть б — периодическая почти локально разрешимая группа, обладающая элементарной абелевой подгруппой V порядка р2. Если централизатор в б любого неединичного элемента из V удовлетворяет условию примарной минимальности, то С является конечным расширением группы, удовлетворяющей условию примарной минимальности.

Эта теорема обобщает один из результатов И.й. Павлюка, который рассматривал данную ситуацию лишь для р = 2. Далее приводится пример, иллюстрирующий результат теорем 1.1 и 1.2, а именно, показано, что существует группа, удовлетворяющая условиям этих теорем, но не удовлетворяющая условию примарной минимальности. Основным результатом § 1 является

Теорема 1.3 Пусть О — периодическая почти локально разрешимая группа, ^ — некоторая ее конечная подгруппа. Группа С

тогда и только тогда удовлетворяет условию примарной минимальности, когда этому условию удовлетворяет нормсыизатпор любой нетривиальной .Р-инвариантной конечной элементарной абеле-вой подгруппы группы (7.

Существенную роль в доказательстве этого утверждения сыграли результаты М.И. Каргаполова и Д.И. Зайцева о локально разрешимых группах конечного ранга.

В качестве следствий из этой теоремы получены характеризапии черниковских и слойно конечных групп в классе периодических почти локально разрешимых групп. В частности, имеет место

Следствие 1.2 Пусть О — периодическая почти локально разрешимая группа, Г — некоторая ее конечная подгруппа. Группа С тогда и только тогда является слойно конечной, когда нормализатор любой ее нетривиальной Р-инвариантной конечной элементарной абелевой подгруппы слойно конечен.

Следующие три параграфа диссертации посвящены обобщению следствия 1.2 па более пшрбкие классы групп и, в частности, изучению групп, в которых нормализатор любой конечной нетривиальной подгруппы, инвариантной относительно некоторого элемента а обладает слойно конечной периодической частью. Наиболее общие свойства групп, удовлетворяющих этому условию (пазываемому далее условием сга), изучаются в § 2 диссертации. Полученные при этом результаты находят свое применение в следующей главе диссертации, посвященной характеризациям групп, обладающих слойно конечной периодической частью. Так, в § 3, где изучаются группы, не содержащие инволюций, в классе групп удовлетворяющих условию (а, а)-конечности для некоторого элемента а простого порядка, получена следующая

Теорема 3.1 Группа (7, не содержащая инволюций, тогда и только тогда обладает слойно конечной периодической частью, когда в ней для некоторого элемента а, простого порядка р выполняются следующие условия:

1. нормализатор любой нетривиальной (а)-инвариантной конечной элементарной абелевой подгруппы группы (7 обладает ыой-но конечной периодической частью;

Т

2. почти все подгруппы вида гр{а,ая) конечны.

Отметим, что благодаря разрешимости всех конечных подгрупп в группах, удовлетворяющих условию этой теоремы, условие аа можно ослабить. Таким образом, получен положительный ответ на упоминавшийся выше вопрос В.П. Шупкова в классе групп, не содержащих инволюций.

В следующем параграфе, где на локально конечные подгруппы, содержащие элемент а, налагается условие почти локальной разрешимости, удается получить характеризадию групп, обладающих слойно конечной периодической частью уже в классе групп, содержащих инволюции. А именно, имеет место

Теорема 4.1 Группа в, содержащая элемент а простого порядка р ф 2, тогда и только тогда обладает слойно конечной периодической частью, когда выполняются следующие условия:

1. нормализатор любой нетривиальной (а)-инвариантной конечной подгруппы группы £7 обладает слойно конечной периодической частью;

2. любая локально конечная подгруппа, содержащая элемент а почти локально разрешима;

3. все подгруппы вида гр(а,а3) , где д 6 £?, конечны и почти все разрешимы.

В заключение параграфа показано, что от условия 2 этой теоремы можно отказаться, если заменить условие 1 более сильным, т.е. справедлива следующая

Теорема 4.2 Группа С, содержащая элемента простого порядка рф 2, тогда и только тогда обладает слойно конечной периодической частью, когда выполняются следующие условия:

1. нормализатор любой нетривиальной (а)-инвариантной локально конечной подгруппы группы £? обладает слойно конечной периодической частью;

2. подгруппы вида гр(а, ав) , где д £ С?, конечны и почти все разрешимы.

Отметим, что ввиду существования примеров групп, построенных П.С. Новиковым и С.И. Адяном, а также А.Ю. Ольшанским последнее условие в формулировках теорем 3.1, 4.1 и 4.2 не может быть опущено. Однако, вопрос о том, можно ли в формулировке теоремы 4.1 отказаться от условия 2, остается пока открытым.

Завершает диссертацию небольшой § 5, посвященный характери-зации слойно конечных групп в классе групп без инволюций, по свойствам централизаторов инволюций из четверной группы Клейна L, которая содержится (хотя и не всегда) в группе автоморфизмов таких групп. Нетрудно заметить, что эта характеризация связана с изучением групп вида G = Я х L, где Н — группа, не содержащая инволюций, а L — четверная группа Клейна. Группы такого вида изучались, в частности, (при других условиях) A.A. Шафттро, В.П. Шунковым, П.В. Шумяцким и другими. В настоящей диссертации основным результатом параграфа о структуре таких групп является

Теорема 5.1 2-бипримитивно конечная группа G вида G = ff xL, где Н — подгруппа без инволюций, а L — четверная группа Клейна, тогда и только тогда является слойно конечной когда централизатор в G любой инволюции из L слойно конечен.

Отсюда легко получается следующая характеризация слойпо копеч-ных групп в классе периодических групп.

Следствие 5.2 Периодическая группа П, не содержащая инволюций, голоморф которой обладает четверной подгруппой Клейна L, тогда и только тогда является слойно конечной, когда централизатор в Н любой инволюции из L слойно конечен.

Вопрос о справедливости теоремы 5.1 и следствия 5.2 в общем случае также остается пока открытым.

И завершает параграф следствие 5.3, являющееся также частным случаем теоремы 1.1 при р = 2.

Отметим, что доказательство теорем 1.1-1.3, 3.1 и 5.1 принадлежат автору. Теоремы 4.1, 4.2 доказаны совместно с научным руководителем.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — профессору ПГуикову Владимиру Петровичу за постановку задач н постоянное внимание к работе.

э

Список ГАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

[1] йвко М.Н. Об одной характеризации групп со слойно конечной периодической частью: Красноярск, 1991. — с. 18-25. — (Препринт /ВЦ СО АН СССР; № 23).

[2] Ивко М.Н. О группах со слойно конечной периодической частью - II Междунар. конф. по алгебре, посвященная памяти А.И.Ширшова (Барнаул, 20-25 августа 1991 г.): Тез. докл. по теории групп - Новосибирск, Ин-т математики СО АН СССР, 1991, с. 41.

[3] Ивко М.Н. Об одной характеризации групп со слойно конечной периодической частью// Укр. мат. жури. - 1991, 43, №№ 7-8, с. 942-946.

[4] Ивко М.Н., Шунков В.П. Об одной характеризации групп, обладающих слойно конечной периодической частью// Тр. Ин-та ма-" тематики АН Украины, 1993, т. 1. Бесконечн. группы и примыкающие алгебраич. структуры, с. 17-25.

¡5] йвко М.Н. О периодических почти локально разрешимых группах — III Междунар. конф. по алгебре, йо священная памяти М.И.Каргаполова (Красноярск, 23-28 августа 1993 г.): Тез. докл. - Красноярск, 1993, с. 132.

[Cj Ivko M.N., Senashov V.I. On a new class of infinite groups: Krasnoyarsk, 1993. - p. 30-44. - (Preprint /Computer Center of Siberian Division of Russian Academy of Sciences; № 1).

оMf-

Зяпограйия Красноярского научного центра йаказ К? 58 Тираж 100 эка

ю