Квазислойно-конечные и квазилокально-нормальные группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Слойно конечные, локально нормальные и FC-группы.

1.2 Результаты общего характера.

1.3 Группы с инволюциями

1.4 Группы, заданные копредставлениями.

1.5 Достаточные условия бесконечности централизатора элемента.

2 Редукция к простым группам

2.1 Некоторые свойства квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп.

2.2 Теоремы существования.

2.3 О некоторых подгруппах простой квазислойно-конечной группы

2.4 О некоторых подгруппах простой квазилокально-нормальной группы.

3 К вопросу о расщепляемости

3.1 Техника вееров.

3.2 Вееры максимальных подгрупп.

3.3 Достаточные условия расщепляемости.

4 Пары порождающих элементов 53 Список литературы

Группы с различными условиями минимальности Черникова — классический объект исследований абстрактной теории групп. Результаты О.Ю. Шмидта [37], С.Н. Черникова [32]-[36], В.П. Шункова [38, 39], А.Ю. Ольшанского [13] и др., прочно обосновали это направление в теории бесконечных групп.

Условия минимальности Черникова — есть условия обрыва убывающих цепей подгрупп, удовлетворяющих заданному свойству. Поэтому, в случае отрицательного решения проблемы Черникова, к ней всегда существует минимальный контрпример — группа, все собственные подгруппы которой принадлежат заданному классу групп, сама же она этому классу не принадлежит.

Пусть а некоторое теоретико-групповое свойство. Не сг-группа, все собственные подгруппы которых являются сг-группами, называется минимальной не-сг-группой или, в используемой нами терминологии, квази-а-группой ([12], вопрос 14.83). Следуя этому определению, квазиконечной, квазичерниковской, квазислойно-конечной, квазилокально-нормалъной и квази-FC-группой называется группа, все собственные подгруппы которой соответственно конечны, черниковские, слойно-конечны, локально нормальны или FC-группы, сама же группа указанным свойством не обладает. Отметим, что данное определение согласовано с определениями квазиконечных и квазициклических групп в [13], но не совпадает с определением квазиабелевой группы (группы с конечным коммутантом), используемым в [2].

Чтобы сформулировать цели проводимых исследований обратимся к результатам О.Ю. Шмидта. Согласно известной работе О.Ю. Шмидта [37] (1947), все нормальные подгруппы квазичерниковских р-групп центральны, а их фактор-группы по центрам просты и не содержат подгрупп конечного индекса. Там же доказано, что любые две максимальные подгруппы квазичерниковской простой р-группы пересекаются по единице. При р = 2 последнее свойство приводит к противоречию [37], поскольку любые две инволюции в периодической группе порождают конечную подгруппу. При нечетном р анализ строения контрпримера G к противоречию не приводит. Множество всех максимальных, подгрупп группы G составляет ее расщепление, а любая пара ее неединичных элементов, взятых из разных компонент расщепления, порождает всю группу. Как доказал А.Ю.Ольшанский (1980 г.) [13], при любомне-четном р простые квазичерниковские р-группы действительно существуют. При этом, им же показано, что для любого счетного множества конечных или черниковских р-групп, их свободная амальгама может быть вложена в квазичерниковскую простую р-группу. Таким образом, в случае квазичерниковских р-групп мы имеем почти идеальную согласованность между результатами-абстрактной и комбинаторной теориями групп.

Возникает вопрос, все ли контрпримеры к проблемам минимальности Черникова имеют аналогичное строение? Можно ли с помощью методов абстрактной теории групп приблизиться к границе, очерченной комбинаторной теорией групп в данном направлении? Решению этих задач в классах квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп и посвящена данная работа.

Для квазиконечных групп (бесконечных групп Шмидта) аналогичные исследования проводились Н.П.Струнковым, В.П.Шунковым, А.И.Созутовым.

Слойно конечные и локально нормальные группы в силу своего строения допускают эффективное применение нормализаторного процесса, который использовал О.Ю.Шмидт в своем доказательстве [37]. Классы слойно конечных и локально нормальных групп были введены С.Н.Черниковым и А.П.Дицманом. Так, С.Н.Черниковым при изучении бесконечных локально конечных р-групп, удовлетворяющих условию минимальности, были выделены два крайних случая: случай, когда конечен центр группы, и случай, когда конечен его индекс в группе. Во втором случае в группе конечно множество элементов каждого порядка. В связи с этим в 1945 г. в работе С.Н.Черникова [32] было дано описание строения бесконечных р-групп, обладающих этим свойством. В таких р-группах центр удовлетворяет условию минимальности. Этот1 результат дал толчок исследованию произвольных групп, в которых конечно множество элементов каждого порядка. Описание их строения было дано в работе С.Н.Черникова [33], появившейся в 1948 г. Такие группы получили в ней название слойно-конечных групп. На основе результатов С.Н.Черникова [33] изучение произвольных"слойно конечных групп было сведено к описанию тонких слойно конечных групп, в [35] показано, что последние исчерпываются тонкими слойно конечными группами, разложимыми в прямое произведение конечных групп, и подгруппами слойно конечных групп такого рода. В настоящее время слойно конечные группы составляют наиболее изученный класс FC-групп. Им посвящен целый ряд работ С.Н.Черникова ([32]- [36]). Некоторые свойства этих групп содержатся также в работе Р.Бэра [5]. Серьезный вклад в изучение слойно конечных и локально нормальных групп внесли Х.Х. Мухамеджан, Я.Д. Половицкий (см., например, [36], [8]), Ю.М.Горчаков и др.

Изучение периодических групп с конечными классами сопряженных элементов началось, по-видимому, в связи с известной проблемой Бернсайда о периодических группах с конечным числом образующих элементов. А.П.Дицман [9] показал, что для периодических групп с конечными классами сопряженных элементов проблема Бернсайда имеет положительное решение. Полученный им более общий результат (предложение 1) утверждает, что любое конечное множество элементов рассматриваемой группы содержится в некотором ее конечном нормальном делителе. То есть такие группы локально нормальны.

Известно (см. предложения 2, 3, 4), что слойно конечные группы содержатся в классе локально нормальных групп, как группы, все си-ловские подгруппы которых удовлетворяют условию минимальности, а класс локально нормальных групп совпадает с классом периодических FC — групп. Из этих утверждений следует, что класс квази-^С-групп содержит класс квазилокально-нормальных групп, который в свою очередь содержит класс квазислойно-конечных групп.

После решения, в. 1970 г.~ В.П.~ Шунковым-ряда-известных проблем-минимальности в классе локально конечных групп [39], активизировались исследования групп е близкими условиями конечности. Изучением строения квазилокально-нормальных и близких к ним групп в локально конечном случае занимались такие авторы, как В.В.Беляев; Н.Ф.Сесекин, Б.Хартли (B.Hartley) Р.Е. Филлипс (R.E.Phillips), М.Ку-зуджуоглу (M.Kuzucuoqlu), А.О.Азар (A.O.Azar), A.Arikan, J.Otal и> др. Так, в работе В.В.Беляева [2] показано, что локально конечная группа типа Миллера-Морено (группа, все собственные подгруппы, которых имеют конечный коммутант) не проста и отлична от своего коммутанта. Такие группы были полностью описаны В.В.Беляевым и Н.Ф.Сесекиным в работе [1]. Так как любая группа типа Миллера

Морено является минимальной не FC-группой, то в случае, если су" ществует группа G — группа типа Миллера-Морено, совпадающая со своим коммутантом, для нее справедлива теорема 1 В.В.Беляева из [2] (предложение 8). Она утверждает, что в этом случае группа G либо двупорождена и фактор-группа группы G по ее центру Z(G) проста, либо G/Z(G) — бесконечная неабелева группа Шмидта.

В.В.Беляевым и Н.Ф.Сесекиным в 1976 г. в Коуровской тетради был поставлен вопрос 5.1: " Будет ли локально конечная минимальная не FC-группа а) не простой? б) отличной от своего коммутанта? "

На первый вопрос К.Е. Филлипсом и М.Кузуджуоглу был получен положительный ответ. В 1980 г. В.В.Беляевым в [3] было показано, что если локально конечная минимальная не FC-группа G отлична от своего коммутанта, то G — группа типа Миллера-Морено, а значит чер-никовская группа; если G совпадает со своим коммутантом, то G либо р-группа для некоторого простого р, либо фактор-группа G/Z{G) проста.- М.Кузуджуоглу- и- К.Е. Филлипсом- решение второй- части- вопроса-было сведено к примарным группам (см. [40]). На Международной конференции в Анталии (2003 г.) А.О. Азаром был анонсирован результат, утверждающий, что локально конечная минимальная не FC-группа отлична от своего коммутанта и является черниковской группой [40].

Цель диссертации — дать описание строения не локально конечных квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп, аналогичное описанию квазичерниковских р-групп, полученному Шмидтом.

В первой главе приведены результаты и методы, используемые в доказательствах основных результатов диссертации.

Во второй главе показано, что все собственные подгруппы иссле-» дуемых групп содержатся в максимальных подгруппах (предложение

20). Для квазислойно-конечных групп доказана теорема 1, являющаяся частным случаем теоремы В.В.Беляева [2] (предложение 8), но полученная независимо от этих результатов. В ней утверждается, что если G — квазислойно-конечная группа, либо G = Р-(а), где Р — черников-ская полная абелева р-группа не содержащая собственных бесконечных а-инвариантных подгрупп и |G : Cg{P)\ — простое число, либо G/Z(G) 4 простая не локально конечная группа.

С помощью результатов А.Ю.Ольшанского [13] доказывается существование множества мощности континуум неизоморфных простых квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп, для каждой из которых существует континуальное множество центральных расширений, принадлежащих этому же классу групп (теорема 2 и замечание 1). Таким образом, строение центра и строение фактор-группы по центру в квазилокально-нормальной (а значит и в квазислойно-конечной) группе могут не зависеть друг от друга. Поэтому в дальнейшем в-работе рассматриваются-только простые-квазислойно конечные-и квазилокально-нормальные группы.

Независимо от результатов В.В.Беляева [2] доказана теорема 3.

Теорема 3. Пусть G — простая квазислойно-конечная группа, тогда

1. Любые две бесконечные максимальные подгруппы группы G пересекаются по единичной подгруппе. В частности, если Н — беконеч-ная максимальная подгруппа группы G, mo (G, Н) — пара Фробе-ниуса.

2. Если G содержит инволюцию i, то Cc{i) = Н — бесконечная максимальная подгруппа группы G, инволюция в Н единственна, все инволюции в G сопряжены, силовские 2-подгруппы в G сопряжены и являются либо (локально) циклическими, либо конечными (обобщенными) группами кватернионов.

С помощью результатов В.В.Беляева [2] доказано, что утверждения теоремы 3 имеют место и для простых квазилокально-нормальных групп (теорема 4 главы).

В третьей главе в теоремах 5, 6 и 7 исследуется строение бесконечных вееров подгрупп простых квазилокально-нормальных групп. Напомним, что веером X подгрупп группы G называется множество ее подгрупп, имеющих нетривиальное общее пересечение.

В теореме 5 изучаются свойства конечных максимальных подгрупп, имеющих нетривиальное пересечение с некоторой бесконечной максимальной подгруппой. Теорема 5 используется при доказательстве теоремы 6.

Теорема 6. Пусть G— простая квазилокально-нормальная группа, X — бесконечный веер всех максимальных подгрупп группы G, содержащих неединичный элемент а, и Т — основание этого веера. Тогда справедливо одно из двух утверждений:

1. Веер X содержит точно одну бесконечную подгруппу Н группы G, Т < Н и каждая конечная подгруппа М Е X есть группа Фробени-уса с неинвариантным множителем М П Я. При этом ядра любых двух конечных подгрупп веера X имеют тривиальное пересечение.

2. Все подгруппы веера X конечны и существует разбиение X = Y U Х\ U Xi U . U Хп веера X на конечный или пустой веер У и конечное число п правильных вееров Xi с основаниями Тг-. При этом каждая подгруппа Н £ Х{ есть группа Фробениуса с неинвариантным множителем 7} (г = 1 ,.,п) и ядро любой подгруппы из веера Х\ U Xi U . U Xn пересекается тривиально с ядром любой другой подгруппы этого веера.

В теореме 7 доказано, что если X — бесконечный веер конечных подгрупп группы G и основание Т веера X содержит почти регулярный в G элемент а, то для такого веера X утверждение 2 теоремы б также верно. Опираясь на приведенные результаты доказывается теорема о расщепляемости.

Теорема 8. Для простой квазилокально-нормальной группы G верны следующие утверждения:

1. Если любая пара максимальных подгрупп Н,М из G с нетривиальным пересечением Т = Н П М удовлетворяет одному из указанных условий:

1) одна из них бесконечна, а вторая является конечной группой Фро-бениуса с неинвариантным множителем Т;

2) обе — конечные группы Фробениуса с неинвариантным множителем Т, то группа G расщепляема.

2. Если в группе G существуют две максимальные подгруппы Н, М с нетривиальным пересечением Т = Н П М, не являющиеся группами Фробениуса, то группа G действует вершинно-транзитивно на бесконечном однородном локально конечном графе, стабилизатор вершины в которой — конечная максимальная подгруппа.

Теорема 8 справедлива и для простых квазислойно-конечных групп (замечание 2).

Основным результатом главы 4 и дисертациии является следующая

Теорема 9. Для любой пары неединичных элементов а,Ь простой квазилокально-нормальной группы G, хотя бы один из которых не является инволюцией, найдется бесконечно много элементов Ь9, таких, что G = (а, Ь9).

Следствие 1. Простая квазислойно-конечная и квазилокально-нормалъная группа является монстром 1-го, 2-го и 3-го рода. В частности, для этих групп положительно решаются вопросы 13.53 и Ц-83 из Коуровской тетради [12].

Напомним, что выражение "почти для всех" означает "для всех, кроме, быть может, конечного числа". Следующая теорема усиливает утверждение теоремы 9 для некоторых пар порождающих простой квазислойно-конечной группы.

Теорема 10. Пусть G — простая квазилокально-нормальная группа, хотя бы один из элементов a,b Е не инволюция и Н > Сс{а)\ М > Сс{Ь) — максимальные подгруппы в G. Справедливы следующие утверждения.

1. Если |#| = оо, \М\ = оо и М £ HG, то G = (а, с) для каждого с е bG.

2. Если \Н\ < оо, \М\ = оо, то G = (а, с) почти для всех с Е bG.

3. Если |а| = \Ь\ — простое число и подгруппы (а), (Ь) не сопряжены в G, то G = {а, с) почти для всех с Е bG.

4. Если \Н\ < оо, |а|, |&| — различные простые числа и Cg(«) не содержит элементов из bG, то G = (а, с) почти для всех с Е bG.

5. Если |а| = 2, |Ь| ф 2 и ba = б"1, то G = (6, с) почти для всех элементов с Е G, инвертируемых инволюцией а.

Результаты диссертации докладывались автором на Международных конференциях в 1999г. и 2000г. "Симметрия в естествознании", проходивших в Красноярске, на конференции, посвященной памяти К1.И.МерзлаКр/за в 2000г. в Новосибирске, на "Мальцевских чтениях" в 2003г в Новосибирске, а также на красноярском городском семинаре "Алгебраические системы". Они неоднократно обсуждались на семинарах при КрасГАУ и КрасГАСА.

Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований, гранты №99-0100542, №03-01-00356 и Красноярского краевого фонда науки, грант №9F0132.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [21] -[27] и [10].

Автор выражает благодарность научному руководителю А.И. Созу-тову за постановку задач и внимание к работе.

1. Беляев В.В., Сесекин Н.Ф. О бесконечных группах типа Миллера-Морено // Acta Math. Academiae Scientiarum Hungaricae.- 1975.-T. 26, N 3-4.- C. 369-376.

2. Беляев В.В. Группы типа Миллера-Морено // Сиб. матем. ж.-1978.- Т. XIX, N3.- С. 509-514.

3. Беляев В.В. Минимальные не FC-группы // Труды VI Всесоюзного симпозиума по теории групп.- Киев. 1980.- С. 97-108.

4. Беляев В.В. Группы с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика.- 1987.- Т. 26; N 5.- С." 531-535.

5. Бэр P. Finiteness properties of groop// Duke Math. Journ. 1948.-N 15 -p. 1021-1032.

6. Бусаркин B.M., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы// М.: Наука, 1968.

7. Горчаков Ю.М. О локально нормальных группах.- ДАН СССР.-1962.- Т. 147, N 3.- С. 537-539.

8. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов// М.: Наука, 1978.

9. Дицман А.П. О центре р-групп// В сб.Труды семинара по теории групп.- Москва.- 1938.- С. 30-34.

10. Калачева С.И. О строении квазилокально-нормальных групп // Математические системы Сб. науч. тр.- Красноярск.- 2004.- С. 3-17.

11. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп // М.: Наука, 1982.

12. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп// Изд-е 15-е.- Новосибирск.- 2002.

13. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах // М.: Наука, 1989.

14. Павлюк И.И., Шафиро А.А., Шунков В.П. О локальной конечности групп с условием примарной минимальности // Алгебра и логика.-1974.- Т. 13, N 3.- С. 324-336.

15. Сенашов В.И. Слойно конечные группы // Новосибирск.- ВО Наука, 1993.

16. Созутов А.И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы. Фробениуса на бесконечные группы // Матем. сб.- 1976.- Т. 100, N 4.-С. 495-506.

17. Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами // Алгебра и логика.- 1977.- Т. 16, N 6 С. 711-735.

18. Созутов А.И. О существовании в группе /-локальных подгрупп // Алгебра и логика.- 1997.- Т. 36, N 5.- С. 573-598.

19. Созутов А.И. О некоторых признаках непростоты групп с инволюциями // Математические системы Сб. науч. тр.- Красноярск.-2004.- С. 18-34.

20. Созутов А.И. Об одном обобщении теоремы Фробениуса // Математические системы Сб. науч. тр.- Красноярск.- 2004.- С. 35-43.

21. Созутов А.И., Шахова С.И. О квазислойно-конечных группах // Kurosh algebraic Conference "98, Abstracts of Talks.- Москва.-1998.- С. 213 214.

22. Созутов А.И., Шахова С.И. О квазислойно-конечных группах // Вест. Крас, архит.-строит. акад.- Сб. науч. тр.- Красноярск.-1999- Вып. 1- С. 77- 83.

23. Созутов А.И., Шахова С.И. О квазислойно-конечных группах // Тез. докл. Международ, алгебр, сем.- М 1999.- С. 53 - 54.

24. Созутов А.И., Шахова С.И. О строении квазислойно-конечных групп // Вест. Крас, архит.-строит. акад.- Сб. науч. тр.-Красноярск- 2000 Вып. I- С. 69 - 76.

25. Созутов А.И., Шахова С.И. Строение квазислойно конечных групп // Мат.заметки 2002.-Т.72, вып.1- С. 118-130.

26. Sozutov A.I. and Shakhova S.I. Structure of Quasi-Layer-Finite Groups// Math. Not.- V. 72, №1.- 2002.- PP. 105-116.

27. Созутов А.И., Калачёва С.И. О не локально конечных группах с локально нормальными собственными подгруппами// Тез. докл. XX Межрегион, науч.-техн. конф. Красноярск.- 2002.- С. 106.

28. Старостин А.И. О группах Фробениуса // Укр. матем. ж.- 1971.Т. 23, N 5.- С. 629-639.

29. Струнков Н.П. Нормализаторы и абелевы подгруппы некоторых классов групп// Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1967.- Т. 31, N 3.-С. 657-670.

30. Харари Ф. Теория графов // М.: Мир, 1973.

31. Холл М. Теория групп// М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

32. Черников С.Н. К теории бесконечных р-групп // ДАН СССР -1945.- Т. 50, С. 71-72.

33. Черников С.Н. Бесконечные слойно-конечные группы // Матем. сборник- 1948.- Т. 22, N 64.- С. 101-133.

34. Черников С.Н. О группах с конечными классами сопряженных элементов // ДАН СССР 1957.- Т. 114.- С. 1177-1179.

35. Черников С.Н. О слойно-конечных группах // Матем. сборник1958.- Т. 45, N 87.- С. 415-416.

36. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп // М.: Наука, 1980.

37. Шмидт О.Ю. Локальная конечность одного класса бесконечных периодических групп // В сб. Избранные труды. Математика.- М.1959.- С. 298-300.

38. Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика 1972.- Т. 11, N 4.- С. 470-494.

39. Шунков В.П. О проблеме минимальности для локально конечных групп// Алгебра и логика.- 1972 Т. 9, N 2 - С. 220-248.

40. Asar А.О. A contribution to the characterization of locally finite minimal non FC-groups// Тезисы докладов Международной алгебраической конференции "Antalya Algebra Days V",- 2003. P. 6-7.

41. W. Feit, On groups which contain Frobenius groups as subgroups // Proc. Symp. Pure Math., Vol. 1, 1959.- P. 22-28.