Резонансные состояния в деформированных полупроводниках

Одноблюдов, Максим Анатольевич

Резонансные состояния в деформированных полупроводниках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

Одноблюдов, Максим Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.10 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Резонансные состояния в деформированных полупроводниках»

Автореферат диссертации на тему "Резонансные состояния в деформированных полупроводниках"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМЕНИ А.Ф. ИОФФЕ

На правах рукописи ОДНОБЛЮДОВ Максим Анатольевич

РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ В ДЕФОРМИРОВАННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ

01.04.10 — физика полупроводников и диэлектриков

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

1998

Работа выполнена в Физико-техническом институт им. А. Ф. Иоффе Российской Академии наук.

Научные руководители: доктор физ.-мат. наук,

профессор И. Н. Яссиевич,

доктор физ.-мат. наук, профессор В. М. Чистяков.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

профессор Л. Е. Воробьев,

кандидат физ.-мат- наук, с.н.с. А. П. Дмитриев.

Ведущая организация:

Институт радиотехники и электроники РАН, Москва.

Защита состоится "Л^" Ч^едЛа^!^ 1998 г. в 1С часов на заседании специализированного совета К003.23.01 Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН, 194021, Санкт-Петербург, ул. Политехническая,26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Отзывы об автореферате в двух экземплярах, заверенные печатью, просим выслать по указанному адресу ученому секретарю специализированного совета.

Автореферат разослан 1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат физ.-мат. наук -ЧЗ^а " Г.С.Куликов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Квазистационарные состояния представляют собой важные и достаточно хорошо изученные объекты в атомной физике. Отметим для примера лишь то обстоятельство, что большинство известных на сегодня элементарных частиц являются короткоживущими (нестабильными) и обнаружить их можно только по особенностям в сечениях рассеяния, связанных с резонансными процессами. Полупроводники оказались еще одной системой,в которой возможно образование квазистационарных состояний, однако описание резонансных состояний в твердом теле требует обобщения и модификации методов, используемых для этой цели в атомной физике.

Предметом настоящего исследования являются резонансные состояния, наводимые потенциалом мелкой акцепторной примеси в одноосно деформированных полупроводниках. Как известно, в алмазоподобных полупроводниках (германий, кремний) состояния вершины валентной зоны четырехкратно вырождены и преобразуются по представлению Гд" двойной точечной группы ОСоответственно также вырождено и основное акцепторное состояние. Кроме этого, существует серия уровней, соответствующая возбужденным состояниям с максимальной кратностью вырождения - 4. Расчет энергий и волновых функций состояний мелкого акцептора ввиду сложной структуры валентной зоны представляет собой трудную задачу и проводился, например, в работах [1, 2]. При приложении одноосной деформации вершина валентной зоны расщепляется на две двукратно вырожденные подзоны [3]. Соответственно основное и четырехкратно вырожденные возбужденные состояния мелкого акцептора расщепляются каждый на два двукратно вырожденных уровня. Симметрия волновых функций расщепленных состояний зависит от направления деформации. Например, при сжатии вдоль оси [111], основное акцепторное состояние расщепляется на два состояния, волновые функции которых преобразуются по представлениям ■= ±3/2) и Т$(М — ±1/2) (М - величина проекции полного момента на ось деформации). Уровни, соответствующие высоко возбужденным акцепторным состояниям, сгущаются у дна валентной зоны, поэтому даже при малой величине давления, расщепленные высоковозбужденные — ±3/2) состояния попадают в сплошной спектр подзоны ГДМ = ±1/2). При этом, появляется возможность распада локализованных примесных состояний в состояния континуума, в результате чего локальные состояния становятся

квазистационарными, приобретают конечное время жизни г, а дискретный уровень энергии становится квазидискретным с шириной /г/т. При определенной пороговой величине давления, уровень, отщепившийся от основного акцепторного состояния, тоже становится квазистационарным и возникает ситуация, когда в деформированном полупроводнике имеется две серии состояний акцептора (локализованные и квазистационарные) под дном каждой из расщепившихся подзон. Расчет энергий и волновых функций деформационно расщепленных акцепторных состояний представляет еще более сложную задачу, чем нахождение энергий и волновых функций этих состояний в недеформированном полупроводнике, вследствие пониженной симметрии задачи. Точное решение этой задачи возможно в двух пределах: малых и больших деформаций (1, 3, 4]. В области же промежуточных давлений существовали только вариационные расчеты [6, 5], которые, однако, не давали даже наличия резонансных состояний. Информация об энергиях акцепторных уровней в деформированном кристалле необходима в связи с экспериментами по инфракрасной спектроскопии мелких примесных центров. Поэтому актуальной проблемой является разработка методов расчета энергий и волновых функций деформационно расщепленных акцепторных состояний.

Следует отметить, что резонансные акцепторные состояния в деформированном кристалле интересны не только как новое явление, связанное с примесными центрами в полупроводниках. Прикладной аспект этого явления связан в первую очередь с созданием терагерцового лазера, работающего, как предполагается, на оптических переходах между резонансными и локальными состояниями мелкого акцептора в деформированном германии в присутствии электрического поля [7]. Для анализа всего набора экспериментальных данных необходима детальная теоретическая информация о резонансных состояниях такого рода. Простейшие оценки показывают, что пороговое значение величины давления, соответствующее появлению стимулированного излучения, совпадает со значением давления, при котором отщепившийся от основного состояния уровень становится квазистационарным. В связи с наличием лазерного эффекта, возникает вопрос о механизме возникновения инверсной заселенности резонансного состояния по отношению к локальным. Очевидно, что этот механизм связан с эффектом резонансного рассеяния носителей на квазидискретных уровнях. Поэтому актуальной является проблема изучения влияния резонансного рассеяния на кинетику носителей в валентной зоне в присутствии электрического поля.

Цель диссертационной работы состоит в построении теории квазистационарных состояний, наводимых потенциалом мелкой акцепторной примеси в алмазоподобных полупроводниках, что включает в себя решение следующих задач: построение волновых функций резонансных состояний, расчет зависимости их энергии и времени жизни от приложенного давления, вычисление вероятности оптических переходов между резонансными и локальными состояниями, а также изучение влияния квазистационарных состояний на кинетику носителей в деформированном полупроводнике и анализ условий получения внутрицентровой инверсии, т.е. инверсной заселенности резонансного состояния по отношению к локальным.

Научная новизна работы заключается в том, что

1. впервые теоретически изучены резонансные состояния, наводимые акцепторной примесью в одноосно деформированных полупроводниках в рамках модели потенциалов нулевого радиуса, развит прямой метод расчета зависимости энергии и времени жизни этих состояний от давления;

2. метод рассмотрения резонансных состояний Дирака впервые приложен к описанию резонансных состояний, наводимых кулоновским потенциалом, что дало возможность построить волновую функцию резонансного состояния и амплитуду резонансного рассеяния, а также зависимость ширины резонансного состояния от положения квазидискретного уровня;

3. впервые изучено влияние резонансного рассеяния на функцию распределения носителей в валентной зоне в присутствии электрического поля, предложен метод решения нестационарного кинетического уравнения для случая анизотропного рассеяния;

4. впервые теоретически продемонстрирована возможность получения внутрицентровой инверсной заселенности в системе резонансных и локальных состояний мелкого акцептора в присутствии электрического поля.

из одиоосно деформированного германия, в частности,для анализа спектров излучения. Полученные результаты могут быть использованы для рассмотрения других типов резонансных состояний, наводимых в валентной зоне, например( акцепторных резонансных состояний в напряженных квантоворазмерных структурах, где внутренняя деформация напряженных слоев и эффект размерного квантования действуют аналогично внешнему давлению.

По результатам исследований на защиту выносятся следующие положения:

1. В одноосно-деформированном полупроводнике при давлениях, превышающих пороговую величину, зависящую от направления деформации, материала и энергии связи акцепторного состояния в неде-формированном кристалле, в случае короткодействующего потенциала акцепторной примеси возникает резонансное состояние. Модель потенциала нулевого радиуса позволяет рассчитать энергию и время жизни резонансного состояния в широком диапазоне давлений, получить для них аналитические выражения при величине давления, близкой к пороговой, а также определить саму величину порогового давления.

2. Для кулоновского потенциала акцепторной примеси резонансные состояния возникают при сколь угодно малой деформации, а при ве личине ее, превышающей пороговую, в кристалле существует дв< серии акцепторных уровней, соответствующие резонансным И лока лизованным состояниям. Метод рассмотрения резонансных состоя ний Дирака может быть использован для описания резонансных со стояний, наводимых кулоновским потенциалом мелкого акцептор; в случае больших деформаций. Ширина резонансного состояния I для случая кулоновского акцептора зависит от положения квазидис кретного уровня Ец в континууме нодзоны легких дырок по закону 1)Г - Е\'2 при Е0 « Е,и/ и 2)Г ~ Ео2/2 при Е0 « Ещ (Ел отсчитывается от вершины подзоны легких дырок, - величин расщепления вершины валентной зоны).

3. Наличие резонансных состояний приводит к появлению в спектре из лучения линий, соответствующих внутрицентровым переходам, пр этом главный пик соответствует оптическому переходу между осног ным резонансным и первым возбужденным локальным состоянием

4. Рассеяние на резонансных состояниях приводит к возникновению динамически инверсной функции распределения дырок в присутствии электрического поля. Время существования динамической инверсии в диффузионном приближении пропорционально квадрату ширины квазидискретного уровня и обратно пропорционально квадрату электрического поля. В стационарных условиях внутризонная инверсия отсутствует.

5. В присутствии электрического поля и резонансного рассеяния в стационарных условиях возможна внутрицентровая инверсия, связанная с тем, что заселенность резонансного состояния определяется функцией распределения состояний континуума при той же энергии, а заселенность локальных состояний стремится к нулю с увеличением величины поля, вследствие подавления процесса каскадного захвата и усиления процесса ударной ионизации центров электрическим полем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на: 7-ой международной конференции по мелким центрам в полупроводниках (SLCS-96, Amsterdam, Holland, 1996); 7-ой международной конференции по модулированно-легированным полупроводникам (ICMSS - 1997, Madrid, Spain, 1995); международной конференции по дефектам в полупроводниках (ICDS, Aveiro, Portugal, 1997); 4-ом международном симпозиуме по полупроводниковым приборам (ISDRS - 97, Charlottesville, Virginia, USA, 1997); III Всероссийской конференции по физике полупроводников "Полупроводники-97" (Москва, 1997); 24-ой международной конференции по физике полупроводников (ICPS-24, Israel, 1998)$-ой международной конференции по мелким центрам в полупроводниках (SLCS-98, Montpellier, France, 1998). Работа докладывалась на научных семинарах в ФТИ им. А.Ф.Иоффе РАН.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, семи приложений, списка литературы из 52 наименований и содержит 135 страниц текста, включая 1S рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении показана актуальность темы исследования, сформулирована цель работы, показана научная новизна и практическая ценность результатов, полученных в диссертации. Приводится краткий обзор диссертации. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава имеет обзорный характер, в ней излагаются основные результаты общей теории квазистационарных состояний, которые будут необходимы в дальнейшем исследовании. Приводится обзор публикаций, посвященных рассмотрению различных эффектов, связанных с образованием в полупроводниках квазидискретных уровней. Также проводится обзор работ, непосредственно связанных с темой данной диссертации -акцепторными состояниями в деформированных полупроводниках. Обсуждаются причины, по которым в этих работах не было указано на наличие резонансных состояний.

Во второй главе в разделе 1 приводится методика получения гамильтониана электронов в деформированном кристалле, предложенная Биром и Пикусом [3]. Далее описывается структура валентной зоны одноосно деформированного полупроводника, выводятся выражения для спектра и волновых функций. Раздел 2 этой главы посвящен рассмотрению акцепторных состояний в деформированном полупроводнике в модели потенциала нулевого радиуса. В этом приближении на примесном потенциале в недеформированном кристалле существует только одно основное четырехкратно вырожденное акцепторное состояние. Для описания дырочных состояний в валентной зоне используется гамильтониан Латтинжера 4x4 в сферическом приближении. Волновые функции акцепторных состояний как в деформированном Фм(г), так и в недеформированном кристалле Фм(г) строятся в виде:

\М

ФМ(г) = -~ Е СМт{ЕмХ)^ит{т\ (1)

к,т=±|,±1

где Омт(Ем, к) - матрица Грина гамильтониана Латтинжера, Ем - энергия акцепторного состояния в деформированном кристалле, Ам - нормировочная константа, V - объем кристалла, М - проекция полного момента на ось деформации. Согласно методу потенциалов нулевого радиуса одноосная деформация не меняет поведения волновой функции примесного состояния в области примесного потенциала. Это дает нам следующее

граничное услопне:

1|гпо[<им|Ф")_<им|ФА,>] =0, (2)

где () обозначают интегрирование по элементарной ячейке. Уравнение (2) определяет зависимость энергии акцепторных состояний и деформированном кристалле Ем от величины приложенного давления и от энергии связи состояния в недеформированном полупроводнике Е.

Распад квазилокального состояния происходит за счет вклада в волновую функцию локализованного состояния под дном подзоны тяжелых дырок, волновых функций состояний континуума подзоны легких дырок, совпадающих с ним по энергии. Этот вклад приводит к появлению вещественных полюсов в элементах матрицы Грина Омт(Ем, к) как функции к. Квазистационарному состоянию соответствует комплексное значение энергии, лежащее на втором нефизическом листе комплексной плоскости. Это приводит к сдвигу полюсов с вещественной оси и регуляризации интеграла, полученного в результате замены суммы в (1) на интеграл. При вычислении этого интеграла, контур интегрирования в плоскости к выбирается так, чтобы определяемая интегралом волновая функция (1) имела при |г| —> оо асимптотику в виде расходящейся волны.

Асимптотики волновых функций примесного состояния при ¡г| —> 0, входящие в уравнение (2), можно исследовать аналитически в случае, когда примесные уровни в деформированном кристалле лежат близко к вершине подзоны легких дырок. Для этого элементы матрицы Грина, входящие в выражение (1), раскладываются по малому параметру Ем/Еде} << где ем - энергия связи состояния, отсчитанная от вершины подзоны легких дырок, Е- величина расщепления вершины валентной зоны. В этом пределе, асимптотика волновой функции состояния М = ±3/2 при |т| —> 0 может быть представлена в виде:

т(±5) /2 тп0У/2АФ

\ 1/2 (у

----) Нт -^--—уКтах-Ь

е2

(3)

где 71,7 - параметры Латтинжера, А,В,В\ - числовые константы, определяемые параметрами Латтинжера, Л'г) - нормировочная константа. Первое слагаемое представляет собой сингулярную часть асимптотики

волновой функции в модели короткодействующего потенциала. Второе мнимое слагаемое в асимптотике обусловлено учетом непараболичности спектра вблизи дна подзоны дегких дырок и показывает, что получить распад квазистационарного состояния можно, только учитывая взаимодействие состояний тяжелых и легких дырок при к ф 0. При к = 0 это взаимодействие отсутствует и соответствующее слагаемое стремится к нулю. Третий и главный член асимптотики показывает, что состояние М = ±3/2 образовано главным образом из состояний подзоны тяжелых дырок с энергией порядка . Последнее слагаемое является результатом учета непараболичности подзоны тяжелых дырок и определяет зависимость энергии состояния от приложенного давления при ем <<

Граничное условие (2) позволяет получить следующие выражения для порогового значения Е^, при которых энергия связи состояний М = ±3/2 обращаются в нуль: Е^ — AqE, где Ад - константа, определяемая параметрами Латтинжера, Е - энергия связи примесного состояния в не-деформированном полупроводнике. Метод потенциала нулевого радиуса непосредственно применим к А+- состояниям. Если в качестве Е взять Е = 2 мэВ - энергию связи А+_состояния, наводимого примесью В в Ge, то в этом случае пороговое значение Е^^при котором связанное состояние М = ±3/2 становится квазистационарным}равно BfJj = 2.77 мэВ, что соответствует пороговому давлению Ро = 0.7 кбар, при деформации вдоль оси [001]. Бели использовать это выражение для оценки порогового значения Е^ в случае кулоновского потенциала мелкого акцептора, то, подставляя в качестве Е энергию акцепторного состояния на примеси Ga в германии Е = 11.3 мэВ, получим Е^ = 15.68 мэВ и Р0 = 3.92 кбар при деформации вдоль направления оси [111]. Это соответствует пороговому значению давления для появления стимулированного излучения в экспериментах с деформированным Ge [7].

Зависимости энергии состояния М = ±3/2 и ширины резонанса (при Edef > Efef) от Efaj вблизи порога определяются выражениями:

£1 = - у/ЁС), (4)

2 Ol

0/2

Г А з

2 = (5)

где A, B,BitC зависят от параметров Латтинжера. При Ejcf > EjJj выражение (4) определяет положение резонанса.

0)2345678 одноосное сжатие Р | [111], хбар

Рис.Шопоженм рааяешеиных акцепторных состояниШг^и^.проюшедшигю основного состояния принеси Gib Ge (сплошные шнии). Пунктир - положения вершин расщеппенныхподзон. Расчет в модели потеншши нулевого радиуса.

«30

й о

51.5

S 1.0

§ 0.5

а оо

Ge /

rV3

2/( ~ E4f

/ /W2

/ J Е0«

о 10 20 30

положение резопапса Е0, мзВ

Рис.2.3ависииости ширины резонансного состояния от положенияквазияискретного уровняв континууме подзоны легких дырок.

1 • расчет в кодеин потенциала нулевого радиуса,

2 - расчет для кулоновского потенциала примеси.

Для порогового значения Е¿ф при котором энергия связи состояния М — ±1/2 обращается в нуль, получено выражение: Е^ = А\Е, где А\ - константа, определяемая параметрами Латтинжера. При Е^/ > Е^ состояние М = ±1/2 становится виртуальным, то есть его энергия лежит на отрицательной полуоси нефизического листа комплексной плоскости энергии. Для Л+-состояния на примеси В в Се [Е = 2 мэВ): Ещ — 12.3 мэВ, Р1 = 3 кбар. Зависимость энергии состояния от определяется выражением:

d —

yfEC-yß^F

(6)

где С, О, Е зависят от параметров Латтинжера.

В следующей части раздела 2 главы 2 получены уравнения, определяющие зависимости энергий расщепленных состояний от приложенного давления и проведено их численное решение для Се:Са (Е=11.3 мэВ). Эти зависимости представлены на рис. 1. На рис. 2 представлена зависимость ширины квазидискретного уровня от его положения в подзоне пегких дырок.

В разделе 3 главы 2 в модели потенциала нулевого радиуса построена волновая функция состояний сплошного спектра в деформированном по-пупроводнике в постановке задачи рассеяния. Получена амплитуда резонансного и потенциального рассеяния, проанализирована структура пол-

новой функции и показано, что условие равенства нулю знаменателя амплитуды рассеяния приводит к уравнению, эквивалентному полученному из граничного условия (2).

Третья глава посвящена рассмотрению проблемы резонансных состояний, наводимых в деформированном полупроводнике кулоновским потенциалом мелкой акцепторной примеси. В первом разделе задача рассматривается в пределе больших давлений, когда недиагональными элементами гамильтониана Латтинжера, описывающими взаимодействие состояний с различной величиной проекции спина дырки на ось квантования, можно пренебречь, и дырке в каждой подзоне можно приписать определенную проекцию спина на ось квантования. В этом приближении задача об акцепторных уровнях в деформированном полупроводнике решается вариационным методом, аналогично задаче о спектре мелкого донора в кристаллах с анизотропной массой. Поскольку взаимодействием подзон, ответственным за распад квазистационарного состояния иренеб-регается, эти состояния рассматриваются как локальные под дном подзоны тяжелых дырок. Такое рассмотрение позволяет вычислить энергии резонансных и локальных состояний и выяснить, что линии в спектре стимулированного излучения терагерцового диапазона из одноосно деформированного германия обусловлены оптическими переходами дырки из основного резонансного в наинизшие локальные состояния. Здесь Ж£ волновая функция состояния сплошного спектра, построенная в преды дущем параграфе для потенциала нулевого радиуса, рассматривается I пределе больших деформаций. Показано, что огибающая при блоховскор амплитуде и±3/г2(г) имеет в этом приближении асимптотику, характер ную для локализованного состояния.

В разделе 2 этой главы мы обобщили метод рассмотрения резонансны: состояний, предложенный Дираком [8], на случай матричного гамильто ниана Латтинжера. Этот метод сходен с подходом, использованным Фа но [9], однако он позволяет построить волновую функцию резонансной состояния в формулировке задачи рассеяния и, тем самым, определит амплитуду рассеяния, которая может быть использована при решени кинетических задач. В пределе больших деформаций можно рассматри вать резонансные состояния как локализованные. Распад локализование го состояния сопровождается переходом дырки в состояния континуум легких дырок и изменением величины проекции ее спина на ось кваг: тования. В качестве оператора взаимодействия между двумя системе ми со спином ±1/2 и ±3/2 используется матрица 4x4, составленная к

педиагональных элементов гамильтониана Латтинжера, которая делает возможным такой переход. При учете итого взаимодействия локальное состояние трансформируется в квазилокалыюе за счет подмешивания к волновой функции локального состояния волновых функций состояний сплошного спектра подзоны легких дырок с той же энергией, а волновая функция резонансного состояния строится в виде:

Фк(г) = аИу±|)(г) + 5-^^)(г)> (7)

к'

где iptä^г) - волновая функция локального в нулевом приближении состояния, в качестве которой, можно взять, например, вариационные функции, полученные в первом разделе, ф^, 2 (г) - волновые функции состояний сплошного спектра подзоны легких дырок. Далее, используя процедуру, аналогичную применяемой в стандартной теории возмущений, получена система уравнений на козффиценты разложения. Решения этой системы следует выбирать так, чтобы волновая функция (7) имела при |г| —> со асимптотику в виде расходящейся волны. В результате, мы получаем амплитуду рассеяния, знаменатель которой имеет характерный резонансный вид: Еь — + ЕГ/2, где положение резонанса ¿?о оказывается сдвинутым от положения локального уровня на величину: Еа = £(3/2! + Д Е, где i?(3/2) - положение квазилокального состояния под дном подзоны тяжелых дырок без учета взаимодействия зон,

AE = p[ d4'

Р - главное значение интеграла, а Е^ - закон дисперсии в подзоне легких дырок в пределе больших деформаций. Для ширины резонанса получено выражение

Г _ ( пиг 12 , ,2,НР „ак

2 У (2тг)3

Здесь И^-.,^/ - матричные элементы оператора взаимодействия на волновых функциях нулевого приближения:

20 15 10

М § 5

В 0

& 5

-15 -20

0 12345678 одноосное сжатие Р | [111], кбар

Рис. 3 : Зависимость положения квазидискретного уровня (Во) от приложенного давления для кулоновского потенциала примеси. Пунктир - положение квазилокального Ъ-состояния с энергией £ (под дном подзоны тяжелых дырок без учета взаимодействия зон. Д Е - сдвиг положения резонанса за счет взаимодействия с состояниями континуума.

а,Ь - размеры волновой функции локализованного состояния ^^(г) по г и по р.

Выражение для коэффициента а^*) имеет в знаменателе величину Ек-Ео+1Г/2. Это означает, что дискретный в нулевом приближении уровень "размазывается" взаимодействием по полосе энергий шириной Г/2 вблизи Е0. Таким образом, состояния сплошного спектра подзоны легких дырок при энергиях,близких К резонансной, содержат слагаемое, характерное для волновой функции локализованного состояния. Это можно интерпретировать следующим образом; при резонансном рассеянии дырка захватывается потенциалом с образованием квазилокального состояния с временем жизни г = Й/Г.

Получены следующие аналитические зависимости ширины резонанса от его положения для двух предельных случаев:

Г ~ Я05/2 Е0 « Еы\

Г ~ Е'У2 Е0 и Е,1с1.

В области малых энергий зависимость ширины резонанса от его положения одинакова как для случая кулоновского потенциала, так и для потенциала нулевого радиуса. Зависимости положения резонанса от приложен-

ного давления и ширины резонанса от его положения для ве приведены, соответственно, на рис. 3 и рис. 2.

В области малых давлений данный метод дает заниженную величину сдвига положения резонанса вследствие того, что не учитывается взаимодействие с локализованными состояниями в запрещенной зоне.

В четвертой главе с использованием построенной волновой функции резонансного состояния стандартным методом вычисляется вероятность оптического перехода из состояний континуума в первое возбужденное локальное 2р±1-состояние. Именно этот переход соответствует наиболее интенсивной линии в спектре стимулированного излучения из деформированного германия. Показано, что наличие резонансного уровня ведет к резкому увеличению вероятности перехода в локальные состояния из состояний континуума с энергиями,близкими к резонансной. Это явление объясняется наличием резонансного рассеяния, которое сопровождается формированием квазилокального состояния с временем жизни т = /¿/Г, в результате чего происходит внутрицентровый оптический переход.

В пятой главе изучается влияние резонансного рассеяния на функцию распределения носителей в валентной зоне в электрическом поле при таких его значениях, когда существенно только резонансное рассеяние л рассеяние на оптических фононах, а акустическим рассеянием и потенциальным рассеянием на заряженных примесях можно пренебречь. В первом разделе проанализирована связь сечения резонансного рассеяния, юлученного методом Дирака, с общей формулой для сечения упругого и изотропного резонансного рассеяния Брейта-Вигнера.

Во втором разделе рассмотрено кинетическое уравнение для случая упругого и изотропного резонансного рассеяния, проанализированы его :тационарное и нестационарное решения. Показано, что в диффузионном 1риближении имеет место накопление носителей в области резонансного зассеяпия на временах порядка:

ЗГ2

* ~ (е£у(Ек))Чте1(Еку •де е - заряд электрона, ь{Ек) - скорость носителей с энергией Ек, тгец(Ек) время резонансного рассеяния, £ - электрическое поле. В стационарном >ежиме получено аналитическое выражение для функции распределения юсителей в области резонансного рассеяния и установлено, что в ста-шонаре инверсное заполнение этой области отсутствует.

В третьем разделе излагается метод решения нестационарного кине-■ического уравнения, сходный с методом свободных от рассеяния траек-

торий [10], но модифицированным для случая анизотропной вероятности упругого резонансного рассеяния.

В четвертом разделе приводятся результаты численного решения нестационарного кинетического уравнения методом, разработанным в разделе 3 для случая резонансного рассеяния на кулоновском потенциале примеси. Построена функция распределения в различные моменты времени и показано, что наличие резонансного рассеяния ведет к существованию динамической инверсии в заселенности области рассеяния по отношению к заселенности дна зоны. Для стационарного случая функция распределения в условиях сильного резонансного рассеяния сосредоточена в области энергий меньших резонансной, где имеет место практически однородное заполнение состояний. Показано, что в стационаре внутризонная инверсия отсутствует.

В пятом разделе обсуждается вопрос о природе внутрицентровой инверсии. Как показано в третьей главе, дырка, находящаяся в состоянии, описываемом волновой функцией (7) с асимптотикой при |г| —> оо в виде плоской волны с волновым вектором к, может быть найдена с вероятностью ¡а^2 в квазилокальном состоянии <^3/2)(г), где

I» А ~ 1 №\г + \Ук\г ,д)

1 к| ~У(Бк~ ЕМ2) - ДЕУ + ¡Г2/4' ^ 1

а заселенность квазилокалыюго состояния определяется выражением:

/г« = ]ГЛ1ак12' (10)

где Д - функция заполнения состояний сплошного спектра с асимптотикой в виде плоской волны с волновым вектором к, полученная из решения кинетического уравнения. Таким образом, заселенность резонансного состояния контролируется функцией распределения носителей в зоне и увеличивается в силу резонансного характера коэффициента а^ (см.ф.(9)). Заселенность локализованных состояний в запрещенной зоне с увеличением величины электрического поля быстро падает, вследствие подавления каскадного механизма захвата на центр ¡11] и усиления процессов выброса с него в зону за счет механизма ударной ионизации. В результате заселенность резонансного состояния становится больше заселенности локального и возникает внутрицентровая инверсия при одновременном отсутствии внутризонной инверсии.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные и работе:

1. теоретически изучены резонансные состояния, наводимые акцепторной примесью в одноосно деформированных полупроводниках в рамках модели потенциалов нулевого радиуса, развит прямой метод расчета зависимости энергии и времени жизни этих состояний от давления в широком диапазоне давлений; получен аналитический вид зависимостей положения и ширины квазистационарного состояния от приложенного давления в области пороговых давлений;

2. метод рассмотрения резонансных состояний Дирака впервые использован для описания резонансных состояний, наводимых кулоновским потенциалом, что дало возможность построить волновую функцию резонансного состояния и амплитуду резонансного рассеяния, проанализировать их структуру, а также зависимость ширины резонансного состояния от положения квазидискретного уровня;

3. рассчитана зависимость вероятности оптического перехода из состояний сплошного спектра подзоны легких дырок в первое возбужденное состояние в запрещенной зоне; наличие резонансного состояния ведет к резкому увеличению вероятности оптического перехода из состояний сплошного спектра с энергией, близкой к резонансной, в локальные состояния;

4. изучено влияние резонансного рассеяния на функцию распределения носителей в валентной зоне в присутствии электрического поля; разработан метод решения нестационарного кинетического уравнения для случая анизотропного рассеяния;

5. показана возможность существования динамической внутризонной инверсии в присутствии резонансного рассеяния и электрического поля и отсутствие ее в стационарном режиме;

6. теоретически продемонстрирована возможность получения внутри-центровой инверсной заселенности в системе резонансных и локальных состояний мелкого акцептора в присутствии электрического поля; определена заселенность квазилокального состояния.

Основные результаты работы изложены d следующих публикациях:

1. I.N.Yassievich, K.Schmalz, M.A.Odnoblyudov, M.S.Kagan, "Two- dimensional A+ states in boron doped SiGe quantum structures", Proc. Seventh International Conference on Modulated Semiconductor Structures, p.152, 1995.

2. M.A.Odnoblyudov, V.M.Chistyakov, I.N.Yassievich, "Resonance acceptor states in uniaxially strained semiconductors", Proc. 7th International Conference on Shallow-Level Centers in Semiconductors (IC-7-SLCS), Eds. C.A.J.Ammerlaan, B.Pajot, World Scientific, p.279-284, 1996.

3. I. N. Yassievich, K. Schmalz, M. A. Odnobludov and M. S. Kagan, "Two-dimensional states in boron doped SiGe quantum structures", Solid States Electronics, vol.40, pp.97-99, 1996.

4. I.V.Altukhov, E.G.Chirkova, M.S.Kagan, K.A.Korolev, M.A.Odnoblyudov, V.P.Sinis, I.N.Yassievich, "Resonance acceptor states and Thz generation in uniaxially strained p-Ge", Proc. International Conference Defects in Semiconductors, Eds. G.Davis, M.H.Nazare, Trans Tech Publications Ltd, p.71-76, 1997.

5. М.А.Одноблюдов, В.М.Чистяков, И.Н.Яссиевич, "Резонансные акцепторные состояния в однооснодеформированных полупроводниках", ФТП, 31(10), стр.1180-1186 (1997).

6. I.V.Altukhov, E.G.Chirkova, M.S.Kagan, K.A.Korolev, V.P.Sinis, K.Schmalz, M.A.Odnoblyudov, I.N.Yassievich, "THz Lasing Due to Intracenter Optical Transitions in Ge", Proc. of 1997 International Semiconductor Device Research Symposium, W.Peatman, Engineering Academic Outreach, University of Virginia, pp.571-574.

7. И.В.Алтухов, M.С.Каган, К.А.Королев, М.А.Одноблюдов, В.П.Синис Е.Г.Чиркова, К.Шмальц, И.Н.Яссиевич,"Резонансные акцепторные состояния и стимулированное дальнее ИК излучение в одноосносжа-том германии", III Всероссийская конференция по физике полупроводников, Москва, 1-5 декабря, 1997; Тезисы докладов, стр.149.

8. М.А.Одноблюдов, В.М.Чистяков, "Расчет энергетических уровней мелкого акцептора в однооснодеформированном германии", ФТП, 32(6), 1998г.

9. И.В.Алтухов, Е.Г.Чиркова, М.С.Каган, К.А.Королев, В.П.Синие, М.А. Одкоблюдов, И.П.Яссиевич, "Резонансные состояния акцепторов и стимулированное излучение терагерцового диапазона в одно-оснодеформированном германии", ЖЭТФ, 114(11), 1998.

10. M.A.Odnobiyudov, V.M.Chistyakov, I.V.AItukhov, M.S.Kagan, I.N.Yas-sievich, "Resonant states in strained semiconductors and far- infrared stimulated emission", Proc. 24th International Conference on Physics of Semiconductors (ICPS-24), Abstracts, V.l, TuP160, 1998.

11. M.A.Odnobiyudov, V.M.Chistyakov, M.S.Kagan, I.N.Yassievich, "Resonant states in strained semiconductor", Proc. 8th International Conference on Shallow Level Centers in Semiconductors, p.51, Montpellier, France, 27-30 July, 1998.

Библиография

[1] Коган Ш.М., Полупанов А.Ф. Спектры оптического поглощения и фотоэффекта мелких акцепторных примесей в полупроводниках// ЖЭТФ - 1981 - Т.80, N.1 - стр.394-412.

[2] Baldereschi A. and Lipari N.O. Sperical Model of Shallow Acceptor States in Semiconductors// Phys. Rev. В - 1973 - V.8, N.6 - P.2697-2709.

[3] Bir G.L. and Pikus G.E. Symmetry and Srain-Induced Effects in Semiconductors// New-York, Wiley, 1974 - 730pp.

[4] Broeckx J., Clauws P. and Vennik J. Effective- mass states for prolate and oblate ellipsoid bands// J.Phys.C:Solid State Phys. - 1986- V.19-P.511-531.

[5] Broeckx J. and Vennik J. Interpretation of acceptor excitation spectra in uniaxially stressed germanium// Phys. Rev. B- 1987 - V.35, N.12 -P.6165-6168.

[6] Buczko R. Effect of Uniaxial Stress on Shallow Acceptor States in Silicon and Germanium// Nuovo Cimento- 1987- V.9D, N.6- P.669-689.

[7] Altukhov I.V., Chirkova E.G., Kagan M.S., Korolev K.A., Sinis V.P., Yassievich I.N. Far-Infrared Stimulated Emission in p-Ge under High Uniaxial Pressure// Phys.Stat.Soi (b)- 1996- V.198, N.35- P.35-40.

[8] Dirak P.A.M. Principles of quantum mechanics// Oxford, Clarendon Press, 1930 - PP.354.

[9] Fano U. Effects of Configuration Interaction on Intensities and Phase Shifts// Phys. Rev. - 1961- V.124, N.6- P.1866-1877.

[10] Budd H. Path Variable Formulation of the Hot Carrier Problem// Phys. Rev.- 1967- V.158, N.3- P.798-804.

[11] Абакумов B.H., Перель В.И., Яссиевич И.Н. Безызлучатель-ная рекомбинация в полупроводниках.// С.-Петербург, &П6.ИЯФ им.Б.П.Константинова РАН - 1984 - 375.

Отпечатано в типографии ПИЯФ РАН 188350, Гатчина Ленинградской обл., Орлова роща Зак.407, тир.100, уч.-изд.л. 1; 1.09.1998 г.

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Одноблюдов, Максим Анатольевич, Санкт-Петербург

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А.Ф. ИОФФЕ

На правах рукописи

ОДНОБЛЮДОВ Максим Анатольевич

РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ В ДЕФОРМИРОВАННЫХ

ПОЛУПРОВОДНИКАХ

01.04.10 — физика полупроводников и диэлектриков.

Диссертация

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.

Научные руководители доктор физ.-мат. наук, профессор И. Н. Яссиевич, доктор физ.-мат. наук, профессор В. М. Чистяков

Санкт-Петербург 1998

Содержание

Содержание 1

Введение 3

I Сведения из общей теории квазистационарных состояний 8

II Резонансные состояния в деформированном полупроводнике в модели потенциала нулевого радиуса 13

11.1 Структура валентной зоны одноосно деформированного полупроводника ........................... 13

11.2 Акцепторное состояние в деформированном кристалле с малой энергией связи в модели потенциалов нулевого радиуса 18

11.3 Амплитуда рассеяния и волновые функции состояний сплошного спектра в деформированном полупроводнике в модели потенциалов нулевого радиуса................. 36

III Резонансные состояния, наводимые кулоновским потенциалом мелкой акцепторной примеси в одноосно- деформированных полупроводниках 40 III. 1 Предел больших деформаций.................. 40

111.2 Рассмотрение резонансных состояний методом Дирака ... 50

111.3 Закон дисперсии Ü7(k) и плотность состояний в сплошном спектре валентной зоны в одноосно деформированном полупроводнике в присутствии резонансных состояний .... 59

111.4 Резонансные состояния в деформированном полупроводнике для случая кулоновского потенциала............ 62

IV Оптические переходы с участием резонансных состояний

в одноосно-деформированных полупроводниках 71

V Функция распределения носителей заряда в электричес-

ком поле при наличии резонансного рассеяния 80

У.1 Вероятность и сечение резонансного рассеяния ....... 82

У.2 Вероятность перехода носителей из состояний континуума

в квазилокальное состояние и обратно................85

У.З Функция распределения при наличии упругого резонансного рассеяния ........................... 87

У.4 Решение нестационарного кинетического уравнения для случая резонансного рассеяния................... 92

У.5 Результаты численного решения нестационарного кинетического уравнения для случая резонансного рассеяния на

кулоновском потенциале..................... 96

У.б Заселенность локальных состояний.............. 99

VI Заключение 105

А Функция Грина гамильтониана Латтинжера 109

Б Асимптотики огибающих волновых функций акцепторных состояний 111

В Волновые функции сплошного спектра в модели потенциалов нулевого радиуса 117

Г Вариационные уравнения для нахождения энергий локальных состояний, наводимых кулоновским потенциалом примеси для случая анизотропного закона дисперсии 119

Д Процедура перехода к кинетическому уравнению на характеристике 122

Е Аналитическое рассмотрение стриминга 124

Библиография

126

Введение

Квазистационарные состояния представляют собой важные и достаточно хорошо изученные объекты в атомной физике. Отметим для примера лишь то обстоятельство, что большинство известных на сегодня элементарных частиц являются короткоживущими (нестабильными) и обнаружить их можно только по особенностям в сечениях рассеяния, связанных с резонансными процессами. Полупроводники оказались еще одной системой, в которой возможно образование квазистационарных состояний, однако описание их в твердом теле требует обобщения и модификации методов, используемых для этой цели в атомной физике.

Предметом настоящего исследования являются резонансные состояния, наводимые потенциалом мелкой акцепторной примеси в одноосно деформированных полупроводниках. Как известно, в алмазоподобных кристаллах (германий, кремний) состояния вершины валентной зоны четырехкратно вырождены и преобразуются по представлению Г§ двойной точечной группы Од. Соответственно также вырождено и основное акцепторное состояние [1]. Кроме этого, существует серия уровней, соответствующая возбужденным состояниям с максимальной кратностью вырождения - 4. Расчет энергий и волновых функций состояний мелкого акцептора, ввиду сложной структуры валентной зоны, представляет собой трудную задачу и проводился в работах [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2]. При приложении одноосной деформации вершина валентной зоны расщепляется на две двукратно вырожденные подзоны [15, 1]. Соответственно основное и четырехкратно вырожденные возбужденные состояния мелкого акцептора расщепляются каждый на два двукратно вырожденных уровня. Симметрия волновых функций расщепленных состояний зависит от направления деформации [1, 16]. Например, при сжатии вдоль оси [111] основное акцепторное состояние расщепляется на два состояния, волновые функции которых преобразуются по представлениям Г5+6(М = ±3/2) и Г4(М = ±1/2) группы - величина проекции полного момента на ось деформации). Даже при малой величине

давления расщепленные высоковозбужденные Г5= ±3/2) состояния, попадают в сплошной спектр подзоны ГДМ = ±1/2). При этом появляется возможность распада локализованных примесных состояний в состояния континуума, в результате чего локальные состояния становятся квазистационарными, приобретают конечное время жизни т, а дискретный уровень энергии становится квазидискретным с шириной К/т. При определенной пороговой величине давления, уровень, отщепившийся от основного акцепторного состояния, тоже становится квазистационарным, и возникает ситуация, когда в деформированном полупроводнике имеются две серии состояний акцептора (локализованные и квазистационарные) под дном каждой из расщепившихся подзон. Расчет энергий и волновых функций деформационно расщепленных акцепторных состояний представляет еще более сложную задачу, чем нахождение энергий и волновых функций этих состояний в недеформированном полупроводнике вследствие пониженной симметрии системы. Точное решение этой задачи возможно в двух пределах: малых [17] и больших деформаций [1, 18]. В области же промежуточных давлений существуют только вариационные расчеты [19, 20, 21, 22, 23], которые, однако, не дают даже наличия резонансных состояний. Информация об энергиях акцепторных уровней в деформированном кристалле необходима в связи с экспериментами по инфракрасной спектроскопии мелких примесных центров [24, 25, 26, 27]. Поэтому представляется актуальной разработка методов расчета энергий и волновых функций деформационно расщепленных акцепторных состояний, которые также были бы справедливы в области пороговых давлений и давали бы информацию о резонансных состояниях, а кроме того, были бы применимы для рассмотрения других типов резонансных состояний, наводимых акцепторной примесью в валентной зоне, например, резонансных состояний под спин-орбитально отщепленной зоной.

ветствующее появлению стимулированного излучения, совпадает со значением давления, при котором отщепившийся от основного состояния уровень становится квазистационарным. В связи с наличием лазерного эффекта интересен вопрос о механизме возникновения инверсной заселенности резонансного состояния по отношению к локальным. Ясно, что этот механизм связан с влиянием резонансных состояний на кинетику носителей в валентной зоне.

Цель диссертационной работы состоит в построении теории квазистационарных состояний, наводимых потенциалом мелкой акцепторной примеси в алмазоподобных полупроводниках, что включает в себя решение следующих задач: построение волновых функций резонансных состояний, рассчет зависимости их энергии и времени жизни от приложенного давления, вычисление вероятности оптических переходов между резонансными и локальными состояниями, а также изучение влияния квазистационарных состояний на кинетику носителей в деформированном полупроводнике и анализа условий получения внутрицентровой инверсии, т.е. инверсной заселенности резонансного состояния по отношению к локальным.

Научная новизна работы заключается в том, что

* впервые теоретически изучены резонансные состояния, наводимые акцепторной примесью в одноосно деформированных полупроводниках в рамках модели потенциалов нулевого радиуса, развит прямой метод расчета зависимости энергии и времени жизни этих состояний от давления во всем диапазоне давлений;

* метод Дирака рассмотрения резонансных состояний впервые приложен к описанию резонансных состояний, наводимых кулоновским потенциалом, что дало возможность построить волновую функцию резонансного состояния и амплитуду резонансного рассеяния, а также зависимости положения квазилокального уровня от давления и ширины резонансного состояния от его положения;

* впервые изучено влияние резонансных состояний на энергетический спектр носителей, а также на плотность состояний в сплошном спектре валентной зоны одноосно деформированного полупроводника;

* впервые изучено влияние резонансного рассеяния на функцию распределения носителей в валентной зоне в присутствии электричес-

кого поля, для чего предложен метод решения нестационарного кинетического уравнения для случая анизотропного рассеяния;

-к впервые показано, что в присутствии квазилокальных акцепторных состояний может реализоваться инверсная функция распределения носителей по состояниям сплошного спектра в электрическом поле;

★ впервые теоретически продемонстрирована возможность получения внутрицентровой инверсной заселенности в системе квазилокальных и локальных состояний мелкого акцептора в присутствии электрического поля.

Практическая ценность работы связана с приложением полученных результатов для объяснения экспериментальных данных по наблюдению стимулированного излучения далекого инфракрасного диапазона из одноосно деформированного германия, в частности, для анализа спектров излучения. Полученные результаты могут быть использованы для рассмотрения других типов резонансных состояний, наводимых в валентной зоне, например, акцепторных резонансных состояний в напряженных квантоворазмерных структурах, где действие внешнего давления заменяется на внутреннюю деформацию напряженных слоев и эффект размерного квантования.

Диссертация состоит из Введения, шести глав, Заключения, Приложений и списка литературы. В Заключении сформулированы положения, выносимые на защиту.

Во введении показана актульность темы исследования, поставлены основные вопросы, решаемые в работе и приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе дается краткий обзор общей теории квазистационарных состояний.

Во второй главе квазистационарные состояния изучаются в рамках модели короткодействующего потенциала, которая позволяет получить аналитические зависимости для энергии и времени жизни квазистационарного состояния от приложенного давления, а также изучить структуру его волновой функции и условия трансформации локального состояния в квазистационарное. Результаты этой главы могут быть непосредственно применимы к А+-центрам, то есть нейтральным акцепторам с дополнительной дыркой, однако общие аналитические свойства волновых функций могут использоваться и в случае кулоновского потенциала примеси.

В третьей главе в пределе больших давлений рассчитаны положения локальных и резонансных кулоновских состояний, и сопоставлены энергии возможных оптических переходов и зависимости их от давления со спектром стимулированного излучения из одноосно деформированного Се. Обобщен на случай матричного гамильтониана Латинжера метод рассмотрения резонансных состояний, предложенный Дираком [34]. Общие результаты используются для изучения резонансных состояний, наводимых кулоновским потенциалом мелкого акцептора. Развитый метод дает возможность построить волновые функции резонансных состояний, наводимых кулоновским потенциалом, определить зависимость их энергетического положения от давления, рассчитать зависимость ширины резонанса от положения квазидискретного уровня, найти амплитуду резонансного рассеяния, изучить влияние квазилокальных состояний на спектр носителей в валентной зоне, а также на плотность состояний континуума.

В четвертой главе изучается вопрос о зависимости от энергии вероятности оптического перехода из состояний континуума на локализованные состояния в запрещенной зоне, а также о поляризации рождаемого этим переходом излучения.

В пятой главе путем численного решения нестационарного кинетического уравнения Больцмана изучается влияние резонансного рассеяния на функцию распределения носителей в подзоне легких дырок в одноосно деформированном германии, причем наряду с упругим резонансным рассеянием учитываются процессы захвата и выброса носителей квазилокальными состояниями. Предложен метод решения нестационарного кинетического уравнения путем перехода из к - пространства в пространство характеристик уравнения.

В шестой главе обсуждается вопрос об условиях возникновения инверсной заселенности в системе резонансных и локальных состояний мелкого акцептора в деформированном полупроводнике в присутствии электрического поля.

Глава I

Сведения из общей теории квазистационарных состояний

Приведем некоторые сведения из общей теории квазистационарных состояний [38]. Понятие квазистационарного состояния появляется, когда мы рассматриваем систему, способную к распаду. Такая система, строго говоря, не обладает дискретным спектром энергий. Вылетающая при распаде частица уходит на бесконечность, и движение системы инфинитно, поэтому ее энергетический спектр непрерывен. Однако может оказаться, что вероятность распада системы очень мала. Примером может служить частица, окруженная достаточно высоким и широким потенциальным барьером. Другим источником метастабильности состояния может быть необходимость изменения спина системы при распаде, осуществляющаяся за счет слабого спин-орбитального взаимодействия. Для таких систем с малой вероятностью распада можно ввести понятие о "квазистационарных" состояниях, в которых частицы движутся в течение длительного времени внутри системы, покидая ее лишь по истечении значительного промежутка времени г, которое можно назвать продолжительностью жизни данного почти стационарного состояния (г ~ 1 /ии, где и) - вероятность распада в единицу времени). Энергетический спектр этих состояний будет квазидискретным, то есть будет состоять из ряда размытых уровней шириной Г, которая связана с продолжительностью жизни посредством Г ~ К/т. Ширины квазидискретных уровней малы по сравнению с расстояниями между ними.

Квазистационарное состояние возникает также, если рассматривать две невзаимодействующие системы, причем дискретный уровень одной системы совпадает по энергии с состояниями сплошного спектра другой. В этом случае, при "включении" взаимодействия между системами, дис-

кретныи уровень становится квазидискретным, вследствие взаимодействия с состояниями континуума. Такая ситуация имеет место, если в качестве одной системы взять атом гелия, а в качестве другой - ион гелия и электрон Не++е~. В этом случае дискретные уровни атома гелия находятся в континууме системы Не++е~, вследствии чего они становятся квазид искретными.

При рассмотрении квазистационарных состояний можно применять следующий формальный метод. Обычно рассматриваются решения уравнения Шредингера с граничным условием, требующим конечности волновой функции на бесконечности. Вместо этого будем искать решения, представляющие собой на бесконечности расходящуюся волну. Это соответствует частице, вылетающей из системы при ее распаде. Поскольку такое условие комплексно, в результате решения уравнения Шредингера, мы получим набор комплексных собственных значений, которые запишем в виде: Е = — 1Г/2, где и Г - две положительные величины. Физический смысл комплексных значений энергии можно понять, если рассмотреть временной множитель волновой функции стационарного состояния:

Поэтому все вероятности, определяющиеся квадратом модуля волновой функции, затухают со временем по закону е~т!ш.

Таким образом, Г определяет продолжительность жи