Приближенные группы преобразований дифференциальных уравнений с малым параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Локальные группы Ли и алгебры Ли

§1. Конечные локальные группы Ли.

§2. Алгебра Ли.

§3. Группы Ли преобразований.

2 Приближенные группы преобразований

§4. Приближенные функции. Существенные параметры семейства приближенных функций.

§5. Приближенные группы преобразований. Первая прямая теорема Ли.

§6. Обратная первая теорема Ли

§7. Приближенная алгебра Ли операторов. Вторая теорема Ли

3 Инварианты приближенных групп преобразований

§8. Инвариантность приближенных функций.

§9. Одно-параметрические приближенные группы: интегрирование приближенных линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

§10. Много-параметрические приближенные группы: интегрирование систем приближенных линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

§11. Достаточное условие полноты систем Qq,.

Приближенные симметрии уравнений с малым параметром

§12. Критерий инвариантности уравнения с малым параметром

§13. Алгоритм решения приближенных определяющих уравнений

§14. Свойства приближенных симметрий.

§15. Приближенные симметрии дифференциальных уравнений.

Пример вычисления приближенных симметрий.

§16. Приближенно инвариантные решения.

§17. Приближенные преобразования эквивалентности.

§18. Приближенные симметрии, изменяющие малый параметр.

§19. Использование точных групп преобразований для исследования симметрийных свойств уравнений с малым параметром

Приближенные симметрии некоторых конкретных уравнений с малым параметром

§20. Обыкновенные дифференциальные уравнения вида и" + и = eF(u)

§21. Эволюционные уравнения вида щ = Н(и)их + еН.

§22. Волновые уравнения вида ии + £ср(и)щ = (/(и)их)х.

§23. Волновые уравнения типа уравнения Буссинеска.

6 Нелокальные приближенные симметрии дифференциальных уравнений

§24. Квазилокальные симметрии дифференциальных уравнений

§25. Квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности

§26. Квазилокальные симметрии одномерных уравнений газовой динамики.

§27. Квазилокальные приближенные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности с малыми конвективными членами.

Более ста лет назад в трудах норвежского математика Софуса Ли (1842 - 1899) было начато систематическое изучение непрерывных групп преобразований (см., например, [ИЗ]). Изначально такие объекты возникли у С. Ли в связи с предпринятой им попыткой построения аналога теории Абеля-Галуа для дифференциальных уравнений. И хотя группы в теории дифференциальных уравнений заняли несколько иное место, нежели в теории алгебраических уравнений, исследования, начатые С. Ли, привели к созданию теории групп Ли, ныне тесно связанной со многими областями математики.

Первоначально группы Ли определялись как локальные группы преобразований, т.е. как семейства преобразований

Та - ? = = /<(*, а) (0.1) точек г = (.г1, ,. Е Н^ в г £ зависящих от конечного числа параметров а = (а1, . ,аг) £ Жг, определенных в окрестности нуля, и удовлетворяющих следующим условиям:

1°) значению параметра а = 0 соответствует тождественное преобразование /, т.е. То = /;

2°) композиция (произведение) преобразований семейства принадлежит указанному семейству, т.е. существует набор функций фа(а,Ь),а = 1, . , г, таких, что ТьТа = Тф^Ъ).

При этом функции фа(а,Ь) определяют так называемые параметрические группы в конечномерном пространстве Нг.

Позже перешли к абстрактному рассмотрению групп Ли, но также с локальной точки зрения. Систематическоне исследование глобального строения групп Ли, которое остается в стороне от данного исследования, было начато в трудах Э. Картана и Г. Вейля. Первое современное изложение теории групп Ли было дано в 1938 г. Л.С. Понтрягиным [68].

За прошедшее столетие группы Ли заняли одну из ключевых позиций в современной математике. С точки зрения сегодняшнего понимания групп Ли, объекты, изучавшиеся в трудах С. Ли и его первых последователей, можно интерпретировать как реализацию (представление) конечных (локальных) групп Ли, определяющих параметрическую группу, точечными преобразованиями в конечномерном пространстве Н^, называемом пространством реализации (представления) группы.

Наряду с конечными группами точечных преобразований, в работах С. Ли рассматривались некоторые их обобщения, происходившие в основном в следующих двух направлениях: обобщение параметрической группы и обобщение пространства реализации (представления).

В первом направлении С. Ли ввел в рассмотрение бесконечные группы преобразований, в которых роль конечного числа параметров а = (а1, . ,аг) играет функция переменных 2 = (г1, . С. Ли провел обширные исследования по теории бесконечных групп преобразований, которые были продолжены его учениками А. Трессом, П. Медолаги, Е. Вес-сио. Дальнейшие исследования по бесконечным группам (структуры, геометрия, и т.д.) продолжил в ряде работ Е. Картан (см., например, [98]). В работе Г. Биркгофа [94] было начато исследование групп Ли в банаховых пространствах. Изучение возможности распространения этой теории на бесконечные группы Ли, а также систематическое изложение теории банаховых групп было дано Л.В. Овсянниковым в [62], [63]. Некоторые конкретные бесконечные группы Ли рассматривались в [60], [82].

Другое направление в обобщении групп преобразований связано с выбором пространства реализации группы. Одним из первых обобщений точечных преобразований явилось рассмотрение групп контактных (или, другими словами, касательных первого порядка) преобразований, действующих в пространстве независимых переменных ж, зависимых переменных и, а также первых производных щ соответствующих зависимых переменных. Основы теории таких преобразований, а также некоторые ее приложения в теории дифференциальных уравнений, были рассмотрены в работах С. Ли (см., например, [113], том 2). Однако возможности контактных преобразований сильно ограничены: оказалось, что контактные преобразования существуют лишь в случае одной зависимой переменной, а в случае многих зависимых переменных контактные преобразования являются просто первым продолжением точечных преобразований. Исследования, проведенные А. Беклундом [90], показали, что обобщение контактных преобразований на касательные преобразования произвольного конечного порядка не приводит к новым результатам. А именно, он доказал, что всякое преобразование, сохраняющее условия касания конечного порядка, является либо продолженным точечным, либо контактным (см. также [89]). Большие возможности дает теория групп Ли-Беклунда [49], [109], [47], в которой порядки производных заранее не ограничены, т.е. рассматриваются преобразования в бесконечном пространстве переменных. . .

В качестве других возможных обобщений теории групп Ли преобразований необходимо отметить работы Л.В. Овсянникова [62], [63], в которых рассматривается реализация банаховых групп Ли преобразованиями произвольного банахова пространства, а также работы В.А. Дородницына (см., например, [43]), в которых изучаются группы преобразований в сеточных пространствах.

В диссертационной работе в качестве возможного обобщения классических конечных точечных групп Ли преобразований рассматривается реализация конечных (локальных) групп Ли приближенными точечными преобразованиями в конечномерном пространстве И^. А именно, рассматриваются приближенные преобразования

Та: Г(г,а,е) = Гф,а) + еГф.а) + £%>(*, а) + о(?) (0.2) в Ж^, зависящие от конечного числа параметров а Е Нг, и образующие (локальную) приближенную группу преобразований.

Основным методом исследования в классической теории групп Ли является инфинитезимальный метод, созданный С. Ли. Этот метод позволяет в значительной мере редуцировать изучение такого сложного объекта, как группа Ли, к изучению чисто алгебраического объекта — алгебры Ли. Аналогичная ситуация имеет место в теории приближенных групп преобразований с заменой обычных алгебр Ли на приближенные алгебры Ли операторов.

Исторически теория групп преобразований разрабатывалась для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, и поэтому по прежнему одним из основных ее приложений является теория дифференциальных уравнения, как обыкновенных, так и в частных производных. Наличие группы преобразований, оставляющей инвариантным рассматриваемое уравнение (или, иными словами, симметрии уравнения) может быть эффективно использоваться для качественного анализа этого уравнения, а также для построения его частных решений. Соответствующие алгоритмы начали разрабатываться еще С. Ли. Краткое введение в современные методы, а также сводка основных результатов по групповому анализу дифференциальных уравнений даны в Руководстве по групповому анализу дифференциальных уравнений [107].

Как правило, многие классические модели физических и механических процессов формулируются в виде дифференциальных уравнений, обладающих достаточно широкой группой симметрий. Это в немалой степени связано с тем, что эти модели строятся на основе естественных законов сохранения, а законы сохранения, в соответствии с утверждениями типа теоремы Э. Нетер [115], являются на самом деле другим способом выражения свойств симметрии. Поэтому не удивительно, что среди таких дифференциальных уравнений имеется большое количество интегрируемых. Вместе с тем, эти интегрируемые уравнения описывают реальный физический процесс лишь в первом приближении. Учет в модели каких-либо дополнительных факторов (обычно малых) приводит, как правило, к уравнению с худшими симметрийными свойствами (с точки зрения классических симметрий Ли и Ли-Беклунда), что во многом снижает эффективность групповых методов. На актуальность задачи разработки методов группового анализа, позволяющих строить симметрии, устойчивые относительно малых возмущений дифференциальных уравнений, неоднократно указывал Л.В. Овсянников [59], [119].

Введение в рассмотрение приближенных групп преобразований [15] 1 (ссылки на последующие работы см. в [91]) привело к одному из возможных решений этой задачи.

Методы теории приближенных групп преобразований представляют собой синтез методов классического группового анализа с методами тео

1 Термин " приближенная группа преобразований" был введен по аналогии с использованием термина "приближенное решение" в монографиях [33], [56], в которых, например, под приближенным решением уравнения х +ж = е/(ж, х) с точностью до величин второго порядка малости понимается решение вида х = хо(Ь) где уравнения на жо^)'®!^) получаются после подстановки х в уравнение и приравнивания коэффициентов при нулевой и первой степенях е; члены, содержащие е во второй степени и выше, отбрасываются. рии возмущений. По-видимому, впервые методы С. Ли в теории возмущений применил Г. Хори, который использовал преобразования Ли для усреднения уравнений (с сутью метода усреднения с использованием рядов и преобразований Ли можно подробно ознакомиться в монографии [56]). Дальнейшее развитие этого метода проведено в работах А.Я. Повз-нера [120], [32], Ю.А. Митропольского и А.К. Лопатина [55], В.Ф. Журавлева [44], [45], [46].

Задача исследования симметрийных свойств дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривалась также в работах В.И. Фу-щича и его коллег [81], [103], [100], [101], [102]. Однако в этих работах под приближенной симметрией уравнения с малым параметром понимается точная симметрия системы уравнений, полученной разложением зависимой переменной и по малому параметру с последующим расщепление исходного уравнения по степеням малого параметра.

Систематические исследования по теории приближенных групп преобразований были начаты в 1987 г. с построения теории одно-параметрических приближенных групп преобразований [15] (см. также [18]). В частности, на основе аналога теоремы Ли для приближенных групп было развито инфинитезимальное описание приближенных одно-параметрических групп преобразований и выведены определяющие уравнения для построения приближенных симметрий уравнений с малым параметром. Эти результаты, а также примеры вычисления приближенных симметрий, решений и законов сохранения некоторых нелинейных уравнений механики сплошных сред вошли в докторскую диссертацию В.А. Байкова [13].

Целью настоящей работы является развитие теории много-параметрических приближенных групп преобразований и их инвариантов, построение алгоритмов вычисления приближенных симметрий уравнений с малым параметром, изучение свойств приближенных симметрий и исследование приближенных симметрий некоторых классов дифференциальных уравнений.

В работе используются следующие обозначения: z = (z1, . ,zN) G

TRn — независимая переменная, e — малый параметр. Равенство 0(z,e) ~ о(ер) означает, что lim 8^ = 0, или, что то же самое, что û(z,e) может V ) ' еР быть представлена в виде 6(z, г) — £P+Iip(z, s), где <p(z, e) — ряд по неотрицательным степеням е. Приближенное равенство f ~ g означает выполнение равенства f(z,e) — g(z,e) + o(sp) с некоторым фиксированным значед нием р. В выражениях вида ^(z^s)-^—. предполагается суммирование по повторяющемуся индексу. Вместе с тем, знак £ появляется в случаях, когда пределы суммирования не очевидны. Все рассматриваемые функции предполагаются локально дифференцируемыми достаточное количество раз. В параграфах, посвященных теории симметрий дифференциальных уравнений, используются также следующие дополнительные обозначения: д д х = (ж1, . ,жп) — независимая переменная; Di = + itf—--1- . ох1 диа дифференцирования; и = (и1, . ,ит) — дифференциальная переменная с последовательными производными щ = = (г^-), . , где и? = Di(ua),ufj = Dj(uf), . ; Л[х,и] — пространство дифференциальных функций, т.е. аналитических функций от конечного числа переменных х,и,щ, . ; любая функция F Е А[х,и] определяет дифференциальdF dF dF ный оператор (F,)a = — + —Вг + —ДВ,- + .

Краткое содержание работы.

В Главе 1, следуя монографиям JI.B. Овсянникова [59], [61], [62], [63], JI.C. Понтрягина [68], Н.Г. Чеботарева [84], К. Шевалле [86], Л.П. Эйзен-харта [87], а также Руководству по групповому анализу дифференциальных уравнений [107], вводятся необходимые для дальнейшего изложения исходные понятия и основные теоремы теории локальных групп Ли, устанавливающие возможности описания локальной группы Ли в терминах ее алгебры Ли (§ 1 и § 2). Для сравнения с последующими результатами теории приближенных групп преобразований, в § 3 формулируются первая и вторая теоремы С. Ли для (точных) групп преобразований.

Основы теории много-параметрических приближенных групп преобразований излагаются в Главе 2.

В § 4 вводятся понятия приближенной функции, существенных параметров семейства приближенных функций и доказывается критерий существенности параметров семейства приближенных функций.

Рассмотрим функцию

М = Ы*) + еЫ*) + . +е?Ы*) + о(е?) переменных г = (г1, . ,2^) Е Ж^ и малого параметра е.

Определение 4.1. Класс функций д(г,е) таких, что д(г,е) « /(£?£) называется приближенной функцией /(г,б).

Рассмотрим семейство N приближенных функций переменных 2 = (г1, . , зависящих от г параметров а = (а1, . , аг):

Г(г,а,е) = ^а) + ЕГ{1)(г,а)+ . + а) + о(^). (0.3)

Определение 4.2. Параметры а1, . ,аг называются существенными параметрами семейства функций (0.3), если невозможно подобрать функции А1 (а), . ,Лг1(а) так, чтобы имели место приближенные равенства

Г(г,а\ . . ,Аг~\а),е).

Теорема 4.1. Для того, чтобы в семействе приближенных функций (0.3) г параметров а были существенными, необходимо и достаточно, чтобы функции /г не удовлетворяли никакому приближенному уравнению вида ра(а) « 0. даа 4 ;

Определение много-параметрической приближенной группы преобразований и необходимое условие аналога первой теоремы Ли для приближенных групп преобразований рассматриваются в § 5.

В пространстве переменных г = (г1, . ,гн) £ рассмотрим семейство р + 1 гладких вектор-функций /(о)^),/(з.)^)? . . ,/(^(г) с координатами

0) «>/(!)(*), ••• *=1> ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1. Приближенным преобразованием гг*/{0](г) + е/11](г)+ . + точек 2 Е И"^ в точки г Е Н"^ называется класс преобразований = с вектор-функциями / = (/*, . такими, что

Г(г,е) « /^(г) + + . + £%)(*)•

Пусть Сг — г-параметрическая локальная группа Ли и пусть каждой точке а Е С> поставлено в соответствие некоторое приближенное преобразование

Та: ? к Г{г,а,е) = ¡¡ф1а) + еДф1а)+ . +£%)(*,а)+ о(е*), (0.4) г = 1, . пространства в себя. Здесь приближенные функции р(г,а,е) существенно зависят от параметров а1, . , аг и все рассматриваемые преобразования взаимно однозначные.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.2. Семейство {Т0} приближенных преобразований (0.4) образует локальную г-параметрическую приближенную (порядкар) группу преобразований в Ж^, если выполнены следующие условия: 1°. Нулю группы Ли С> соответствует приближенно тождественное преобразование То, т.е. /г(г, 0, £:) « г1 ;

2°. Произведению элементов группы соответствует композиция преобразований Та, т.е. если </>(а, Ь) — закон умножения в С>, то

ТьТа = Тф^ь) : /г(/(г,а,е),6,£) и /г(2, </>(а, 6), е);

3°. Если /г(г, а, е) « г1 для всех г, то а = 0.

Как и в теории точных групп Ли преобразований, изучение приближенных групп преобразований тесно связано с рассмотрением соответствующих приближенных векторных полей и приближенных операторов. Рассмотрим семейство р + 1 векторных полей = (¿о?)М> ••• 9 = о, .

Определение 5.3. Класс векторных полей г,е) = (С1(г,8), . ,£"(*,£)) таких что в) « + е?{1)(г) + • • • + i = l,.,N, называется приближенным (порядка о(ер)) векторным полем. Класс соответствующих дифференциальных операторов первого порядка у 1 дгг называется приближенным (порядка о(ер)) оператором.

По аналогии с точными операторами (векторными полями), для приближенных операторов можно ввести операции сложения двух приближенных операторов и умножения приближенного оператора на число. Поэтому множество всех приближенных операторов образует векторное пространство. В таком векторном пространстве обычным образом определяются понятия линейно независимых векторов, базиса и размерности векторного пространства.

Для приближенных групп преобразований (0.4) введем в рассмотрение г приближенных векторных полей с координатами дГ(г,а,е) г = 1, . а = 1, . ,г, а=0 даа или, что то же самое, дифференциальных операторов

0-5)

Теорема 5.1 (Первая прямая теорема Ли для приближенных групп преобразований). Если преобразования (0.4) образуют г -параметрическую приближенную группу преобразований, то функции г1 = /г(^,а,г) удовлетворяют системе приближенных уравнений дх1 а = 1,.,г, (0.6) называемых приближенными уравнениями Ли. Соответствующие дифференциальные операторы (0.5) (а значит и вектор-функции = линейно независимы в рассматриваемом приближении. Здесь У£(а),а, (3 = 1, . , г, — вспомогательные функции соответствующей локальной группы Ли Ог.

В § 6 доказывается достаточное условие аналога первой теоремы Ли. Вначале параграфа вводится понятие вполне интегрируемости для приближенных уравнений и доказываются некоторые утверждения о решениях систем вполне интегрируемых приближенных уравнений в частных производных первого порядка. Полученные результаты далее используются для анализа приближенных уравнений Ли.

Определение 6.1. Система приближенных уравнений называется вполне интегрируемой, если в силу уравнений этой системы выполняются приближенные равенства д^Р ~ д^ \dafi) ' теорема 6.1 (Первая обратная теорема Ли для приближенных групп преобразований). Пусть система приближенных уравнений Ли дг{ г = 1, . , АГ, а = 1, . , г, (0.6) вполне интегрируема, функции (приближенно) линейно независимы, ранг матрицы У(а) = ||Т^(а)|| равен г. Тогда решение уравнений (0.6), удовлетворяющее условиям а—0 ' имеет вид =/(о )(2>а) + е/(1)(г,а)+ . + ер/{р)(г, а) + о(ер) и определяет приближенную (с точностью о[ер)) г-параметрическую группу преобразований.

В конце параграфа приведен пример прямого решения приближенных уравнений Ли с помощью алгоритма, изложенного при доказательстве Леммы 6.4.

В § 7 вводится понятие приближенной алгебры Ли операторов и доказывается аналог второй теоремы Ли для приближенных групп преобразований.

Рассмотрим векторное пространство приближенных с точностью о(ер) операторов (см. Определение 5.3) х = = + £^>(г) + • • • + й • (0-7)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Приближенным (с точностью о{ер)) коммутатором приближенных операторов Х\ и Х2 называется приближенный оператор, обозначаемый [Х^Х^ и определяемый выражением

Х\,Х<2\ « Х\Х2 — Х2Х1, рассматриваемым с точностью о(ер).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Векторное пространство Ь приближенных операторов вида (0.7) называется приближенной алгеброй Ли операторов, если оно замкнуто ( в приближении данного порядка р) относительно приближенного коммутирования.

Теорема 7.1 (Вторая теорема Ли для приближенных групп преобразований). Пусть задана локальная г-параметрическая приближенная группа преобразований (0.4). Тогда линейная оболочка операторов (0.5) является приближенной алгеброй Ли операторов, структурные константы которой совпадают со структурными константами локальной группы Ли

ХъХДъс^. (0.8)

Обратно, если даны г линейно независимых операторов, удовлетворяющих условиям (0.8) с постоянными с^р, то им соответствует локальная г -параметрическая приближенная группа преобразований.

В Главе 3 изучаются инварианты приближенных групп преобразований. Показано, что инфинитезимальный критерий для их вычисления подобен аналогичному в теории Ли. А именно, эта проблема сводится к решению дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с коэффициентами, зависящими от малого параметра. Обсуждаются проблемы разрешимости таких систем, числа независимых решений и формула для представления общего решения. Приводятся примеры построения инвариантов приближенных групп преобразований.

В § 8 доказан инфинитезимальный критерий инвариантности приближенной функции относительно приближенной группы преобразований. определение 8.1. Приближенная функция 1(г,е) называется инвариантом приближенной группы преобразований (0.4), если 1(г,е) ~ 1(г, е) для всех £ £ Н^ и допустимых а Е Иг.

Теорема 8.1. Приближенная функция I(г, е) является инвариантом приближенной группы преобразований (0.4) с базисными генераторами (0.5) тогда и только тогда, когда справедливы следующие приближенные уравнения:

Ха1(г,е)& 0, а = 1,.,г. (0.9)

Уравнения (0.9) являются линейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка с коэффициентами, зависящими от малого параметра. Следовательно, проблема построения инвариантов приближенных групп преобразований сводится к решению таких уравнений.

В § 9 рассматривается случай одно-параметрической приближенной группы преобразований, и задача построения ее инвариантов сводится к решению одного уравнения вида (0.9). Доказана теорема 9.3. Любая одно-параметрическая приближенная группа преобразований, порождаемая оператором с координатами е)ке'{?{0)(г) + еСф) + . + 9 = 0, . где вектор £(о)(<г) = (¿^о)^)? • • • Ф 0> имеет точно N — 1 инвариантов вида

1\г,е) « 1кф) + е11ф)+ . +е?-Ч{рд)(г), 1кф) ф 0, к = 1, . , Ж-1.

Эти инварианты функционально независимы при г = 0. Любой другой инвариант одно-параметрической приближенной группы может быть представлен в виде

1(г,е) = т(1\ . :1м-1)+есР(1)(1\ . )1»~1) + . + еГ<<Р{р9)(1\ . + где <£>(о), <^(1)? . , ^(р-д) —произвольные функции.

Последняя формула может быть переписана в эквивалентной форме где (р — произвольная функция N аргументов.

В § 10 изучаются инварианты много-параметрических приближенных групп преобразований. Пусть приближенная группа преобразований порождается г базисными генераторами

Хао ~ ^ао,(0) + еХа0,(1) + •••

Xai « eXai¿Q) + . + ерХафу, • • (0.10)

Хар ~ epXap¿Q) о = 1, • • • ,Г"о, «1 = r0 + 1, . . . ,7*1, . ,<*р = 1 + 1, • . . ,Гр, Гр = г), И пусть решения соответствующей системы (0.9) ищутся в виде

I(z,£)ttI{Q)(z) + eI{1)(z)+ . +£PI(p)(z).

После подстановки этого равенства в соответствующую систему уравнений (0.9) получается последовательность Qo,Sli, . , Ц, систем уравнений на /(0),/(1), . причем система Qq является системой однородных уравнений для определения функции /(о)(2)? а каждая из систем £lq,q = 1, . является системой неоднородных уравнений для определения соответствующей функции I(q){z) при условии, что функции /(о)(2:), . ,/(?1)(,г) известны и удовлетворяют системам fio> • • • i^q-i- В качестве первого шага решения этих систем проверяются условия их полноты и совместности. Отметим, что условие того, что операторы (0.10) образуют базис приближенной алгебры Ли, не является достаточным для полноты и совместности систем Оо, ••• , (соответствующие примеры приведены в конце параграфа).

Предложение 10.2. Последов ателъностъ систем ^ъ • • • , ^р может быть приведена к новым системам Оо, ^ъ • • • > Цэ? обладающим следующим свойством: каждая система 0 < д < р, полна и совместна на решениях систем Оо, • • • ,

Обозначим через систему однородных уравнений, соответствующую системе неоднородных уравнений 0,ч.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.3. Пусть число независимых уравнений системы Щ равно г* (<7 = 0,. ,р), и вк — N — г*к. Тогда соответствующая система (0.9) имеет независмых приближенных решений вида Щг) + еЩг) + е2Щг) + . + еП^(г), ц = 1, . , *„,

Г^г, е) « еЩг) + еН^г) + . + еГГ^г), к = з0 + I, . , е) « е2Щх) + . + г2 = в1 + 1, . , в2, гр = 5р1 + 1, . где функции к = 1, . , 5р — функционально независимы.

Введем следующие обозначения: $)(*) + еЩг) + . + е^Ц^г), гх = + 1, • • • , «1, = Щг)+ .+е*-21$2)(г), г2 = + 1, . ,*2, р(.г,£) = /^(.г), гр = + 1, . , вр. теорема 10.1. Любое приближенное решение системы (0.9) (и, значит, любой инвариант приближенной группы преобразований, порождаемой генераторами (0.10) ) может быть представлено в виде у>(о)(.Л ••• + . + е\{2)(3\ . , Г*) + . + • • • , с некоторыми функциями ^(0)^(1)?V(2)? ••• указанных аргументов.

В конце параграфа приводится достаточное условие совместности систем Од? ^ъ • • • ? ^р•

Предложение 10.4. Пусть системы Ооэ ^ь • • • > ^р полны и все уравнения системы Оо независимы. Тогда системы О1, . ,Пр совместны.

В § 11 приводится достаточное условие полноты систем Оо? ^ь • • • ? Ц?-Для этого с помощью операторов (0.10) для всех д = 0, . ,р построим операторы

У1 = Хао,(0) + бХа0,(1) + . • • + £9Хао,(д) > = ХЫ0) + еХаищ + . + е9Хаи(д) , ■ • (0.11) ард = Харя,(0) + еХар^,( 1) + • • • + е9Хард^ , Уар-я+1 = £^>-,+1,(0) + £2Хар„<1+1,( 1) + • • • + £9Хар-ч+1,(д-1) >

Yap.i = £<1~1Хар^,(0) + SqXapU1) , Yap = 0) , которые являются точными для q = 0 и приближенными для любого Ч = 1» •• • теорема 11.1. Если для любого q = 0, . коммутаторы операторов . могут быть представлены (с точностью o(eq)) как линейные функции операторов . , YJ , то каждая из систем Qt полна (на решениях систем Qq, ^ъ • • • ? ^-ь t = 0, . ,р).

В Главе 4 изучаются приближенные группы преобразований, допускаемые уравнениями с малым параметром. В § 12 доказывается критерий инвариантности уравнения с малым параметром.

Рассмотрим р + 1 вектор-функций

М = (4)(*)> ••• ' 9 = о,. определение 12.1. Приближенным (порядка о(ер)) уравнением

F(z,e) = o(ep), (0.12) называется класс уравнений 0(z,s) = 0, таких что

G(z,e) = F(0)(z) + sF(1)(z) + . + epF(p)(z) + o(sp).

Определение 12.2. Будем говорить, что приближенное уравнение (0.12) является инвариантным относительно приближенной группы преобразований (0.4), если Fu(f(z,a,£),e) «0, v — 1, . , п, для всех z, удовлетворяющих (0.12).

По аналогии с теорией групп Ли преобразований, имеет место следующий инфинитезимальный критерий инвариантности приближенного уравнения (см., например, [15], [18]).

ТЕОРЕМА 12.1. Пусть приближенная функцияF(z,s) удовлетворяет условию rank п. (0.13)

F{o)(z)=0 дх1

Тогда приближенное уравнение (0.12) приближенно инвариантно относительно приближенной группы преобразований (0.4) тогда и только тогда, когда

ХаЕ(г,е)\{0Л2] = о(ер), а = 1, .г. (0.14)

Критерий инвариантности (0.14) может быть использован для решения задачи построения приближенных групп преобразований, оставляющих инвариантным (с рассматриваемой точностью) заданное приближенное уравнение (0.12). А именно, генератор приближенной группы ищется из приближенного определяющего уравнения о.12) = «КО, |/ = 1, . ,п. (0.15)

Если определяющее уравнение (0.15) удовлетворяется, также говорят, что X является приближенной симметрией уравнения (0.12).

Из формулы (0.15), рассматриваемой при е = 0, очевидно вытекает следующее следствие 12.1. Если приближенное уравнение (0.12) инвариантно относительно приближенной группы преобразований с генератором

X ~ Х(0)+еХ(1)+ . .+£рХ{р), таким, что£{0)(г) = (^(г), . ,£(о)й) Ф О, то (точный) оператор хт = (°лб) является точной симметрией уравнения

Рф) = 0. (0.17)

Уравнение (0.17) в дальнейшем будем называть "невозмущенным" уравнением, а (0.12) — "возмущенным". При выполнении условий Следствия 12.1 будем говорить, что симметрия (0.16) является устойчивой симметрией уравнения (0.17) относительно рассматриваемого возмущения еР(1)(г) + . + £рР(р)(г) + о(ер), или, что уравнение (0.12) наследует симметрию Х(о) невозмущенного уравнения (0.17).

Для дальнейших рассмотрений полезно использовать другую равносильную форму записи приближенного определяющего уравнения (0.15). А именно, уравнение (0.15) справедливо тогда и только тогда, когда существуют приближенные (порядка о{ер) ) функции V, а = 1, . , п, такие, что выполняются приближенные равенства

ХР»(х,£) « (Т,Р=1, . , п. (0.18)

В § 13 предлагается алгоритм нахождения приближенных симметрий приближенных уравнений, удобный как для вычислений вручную, так и с использованием ПЭВМ.

В § 14 исследуются свойства приближенных симметрий уравнений с малым параметром. Пусть приближенные (точности о(ер) ) операторы

X « Х(0) + еХ{1) + . + £рХ{р) и У « У(о) + еУ{1) + . + £рУ[р) являются приближенными симметриями уравнения (ОЛ2), т.е. существуют такие функции е), е), V, а — 1, . ,п, что справедливы соответствующие системы уравнений (0.18):

Хру = д^ ур» = в^р*.

ТЕОРЕМА 14.1. Приближенный оператор Z, полученный как приближенный коммутатор приближенных симметрии X иУ уравнения (0.12), является приближенной симметрией уравнения (0.12).

При этом оператор Z удовлетворяет уравнению вида (0.18) с функциями е) « ХМ) - У(А£) + в^ - А^.

Следствие 14.1. Множество приближенных симметрий уравнения с малым параметром образует приближенную алгебру Ли.

ТЕОРЕМА 14.2. Если оператор X является приближенной симметрией некоторого приближенного уравнения {0.12), то оператор еХ также является приближенной симметрией этого уравнения. Обратно, если уравнение = о(ер) допускает (с точностью о(ер)) оператор еХ, то уравнение = о(ер~1) с точностью о(ер~1) допускает оператор X.

Из Теоремы 14.2 следует, что приближенные алгебры Ли приближенных симметрий можно определять не базисными, а так называемыми "существенными" операторами в смысле следующего определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1. Пусть {Ха} — множество линейно независимых приближенных операторов из приближенной алгебры Ли Ь приближенных симметрий и пусть {Х'а} — множество приближенных операторов, получаемых из операторов множества {Ха} умножением на е, е2: . ,ер с отбрасыванием членов порядка о(ер)). Если получившееся при этом множество {Ха,Х'а} образует базис в Ь, то операторы множества {Ха} называются существенными операторами приближенной алгебры Ли Ь.

Пусть приближенная алгебра Ли Ь приближенных симметрий уравнения (0.12) порождается г' существенными приближенными операторами вида (0.10). Тогда из Теоремы 14.2 следует

ТЕОРЕМА 14.3. Приближенные операторы (0.11) являются существенными операторами приближенной (порядка о(еч)) алгебры Ли приближенных симметрий уравнения для всех д = 1, .

Следствие 14.2. Если операторы Хао, Ха1У . ,Хар получаются как решение некоторого приближенного определяющего уравнения, то выполняются условия Теоремы 11.1 и значит каждая из соответствующих систем последовательности ••• > полна (на решениях систем Оо? ^ъ • • • > ^д-ь Я — • • • -,р)

Из условия замкнутости множества приближенных симметрий уравнения с малым параметром относительно операции коммутирования, рассматриваемого при £ = 0, следует

Теорема 14.4. Для любого д = 0, . ,р — 1, точные операторы Ха0|(о),Хаь(о)? ••• порождают подалгебру алгебры Ли симметрий невозмущенного уравнения, получающейся при д = р.

СЛЕДСТВИЕ 14.3. Множество устойчивых (в данном приближении) симметрий невозмущенного уравнения (0.17) является подалгеброй алгебры Ли всех симметрий (0.17).

В § 15 обсуждаются особенности приложения теории приближенных групп преобразования для исследования симметрийных свойств дифференциальных уравнений с малым параметром. Приводится пример использования алгоритма вычисления приближенных симметрий, описанного в § 13, для вычисления приближенных симметрий многомерных нелинейных волновых уравнений вида ии + ещ = £ {^u°uj)xi , а ф 0, (Г = ±1, п = 1,2,3. г=1

Отметим, что частично указанный алгоритм реализован на ПЭВМ с использованием системы аналитических вычислений REDUCE [116], [117].

Приближенные симметрии дифференциальных уравнений с малым параметром могут быть использованы для построения частных приближенных решений и приближенных законом сохранения. В § 16 на примере нелинейных волновых уравнений с малыми диссипативными членами иллюстрируется процедура построения решений, приближенно инвариантных относительно допускаемой группы точечных приближенных преобразований, т.е. так называемых приближенно инвариантных решений. При этом показано, что в случае одного уравнения с малым параметром, инвариантного относительно одно-параметрической приближенной группы преобразований, справедлив аналог теоремы об инвариантном представлении инвариантной поверхности. Отметим, что вопрос об инвариантном представлении систем уравнений с малым параметром, инвариантных относительно много-параметрических приближенных групп преобразований, пока остается нерешенным.

При решении задач групповой классификации уравнений из заданного класса по допускаемым симметриям существенную роль играют преобразования эквивалентности, использовавшиеся еще в работах С. Ли. Л.В. Овсянниковым был развит инфинитезимальный подход к вычислению преобразований эквивалентности [63]. В § 17 иллюстрируется возможность применения инфинитезимального подхода для вычисления приближенных преобразований эквивалентности на примере одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром. Другие примеры вычисления приближенных преобразований эквивалентности рассмотрены в Главах 5, 6.

В § 18 изучаются приближенные группы преобразований, допускаемые дифференциальными уравнениями с точностью до масштабирования малого параметра. Такие преобразования можно рассматривать как приближенные преобразования эквивалентности, причем роль произвольного элемента играет малый параметр. Использование приближенных симмет-рий, изменяющих малый параметр, позволяет расширить класс устойчивых симметрий и, кроме того, дает новые возможности для построения приближенно инвариантных решений.

В § 19 проводится сравнение рассматриваемого в работе подхода к исследованию симметрийных свойств дифференциальных уравнений с малым параметром, основанного на теории приближенных групп преобразований, с подходом, развиваемым В.И. Фущичем и его коллегами (см. [81], [100] - [ЮЗ]) и основанном на использовании классических групп преобразований. Во втором случае под приближенной симметрией исходного уравнения с малым параметром понимается точная симметрия системы дифференциальных уравнений, полученной после подстановки разложения зависимой переменной по малому параметру и расщепления получившегося уравнения. Приведены формулы построения точных симметрий системы из приближенных групп преобразований, допускаемых исходным уравнением с малым параметром.

В Главе 5 методы, изложенные в Главе 4, применяются для исследования симметрийных свойств некоторых классов дифференциальных уравнений.

В § 20 проводится групповая классификация обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида по приближенным (первого порядка точности) точечным симметриям. Проиллюстрирована возможность приближенного интегрирования уравнения вида (0.19) методом последовательного понижения порядка при условии, что оно наследует не менее двух симметрий невозмущенного уравнения и" + и = 0.

В § 21 исследуются симметрийные свойства класса эволюционных уравнений вида содержащего, в частности, уравнения Кортевега-де Фриза и Бюргерса-Кортевега-де Фриза. Здесь К{и) — произвольная функция, Н = . , ип) — произвольный элемент пространства А. Особенностью уравнений данного класса является тот факт, что они приближенно наследуют все симметрии простейшего уравнения переноса VI = иих. А именно, показано, что справедлива следующая

ТЕОРЕМА 21.1 (Теорема об устойчивости). Уравнение (0.20) приближенно (с любой степенью точности) наследует все симметрии уравнеи" + и = еР{и)

0.19) щ = к{и)щ + еН, Н е А,

0.20) ния щ = к(и)щ. (0.21) д

А именно, любой канонический оператор Ли-Беклунда Х(о) = /(о)^—Ь /(0) £ допускаемый невозмущенным уравнением (0.21), порождает приближенную (произвольного порядка точности р) симметрию для

0.20), определяемую координатой р м е Л,

9=0 д канонического оператора X = /——Ь . . ди

Изученные к настоящему времени примеры приближенных симмет-рий уравнений с малым параметром показывают, что при полном наследовании возмущенным уравнением симметрийных свойств невозмущенного уравнения существует приближенное преобразование, переводящее возмущенное уравнение в невозмущенное. Следующая теорема иллюстрирует справедливость данного утверждения для класса эволюционных уравнений (0.20).

ТЕОРЕМА 21.2. Уравнение (0.20) связано с уравнением

VI = к{у)у\ приближенным преобразованием Беклунда р Ф(в) е Л. д=1

В качестве примеров приведены приближенные симметрии, преобразования Беклунда и операторы рекурренции для некоторых уравнений вида (0.20).

В § 22 рассматриваются уравнения вида utt + £(р(и)щ = (f(u)ax)x , описывающие, например, изэнтропическое движение жидкости в трубе. Для этих уравнений по функциям f(u) и <р(и) проводится групповая классификация по приближенным точечным симметриям первого порядка точности. Иллюстрируется возможность использования двумерной алгебры Ли приближенных симметрий для построения приближенно инвариантных решений.

В § 23 исследуются приближенные (первого порядка точности) симметрии уравнений Буссинеска

Utt - uzz ~ 2е ( \uzutz + + uzzz)j = О, описывающего, например, плоскопараллельное распространение длинных волн в мелкой воде [111], [TT], [64]. Показано, что после замены переменных

X — t — z, у = t + Z уравнение Буссинеска преобразуется к виду un-£DxDy(p[u] = o(s), (0.22) с некоторой функцией (р[и] переменных Здесь используются следующие обозначения: д^и

Що — иХ1 и01 = щ , . ,Uij = -q—q— ■

Далее рассматриваются уравнения вида (0.22) с произвольной функцией ср[и] переменных ж, т/, щ пю, . Оказалось, что все локальные симметрии (Ли и Ли-Беклунда) линейного волнового уравнения иц — 0 наследуются уравнением (0.22) в виде приближенных (с точностью о(е)) симметрий д

X = [(Си + / + д) + е (-Сер - /*<£> - д*<р + Х(0)<£>)] — + . .

Здесь С =сопв1, / = /(ж,и10,и20, .),д = д(у,ЩиЩ2, • • •)•

При рассмотрении медленной эволюции волнового движения в одном из направлений уравнение Буссинеска переходит в уравнение Кортевега -де Фриза. Показано, что симметрии уравнения Кортевега-де Фриза могут быть получены из приближенных симметрий уравнения Буссинеска после введения в рассмотрение "медленных" переменных. А именно, предпола гается, что и = и(х,у,т), где т = -(х + у) — "медленная" переменная. Тогда в уравнении (0.22) функция ер рассматривается как произвольная функция переменных ., и приближенная (с точностью о(е)) симметрия уравнения (0.22) имеет вид х = [(Со(т)и + С\(т)ит + . . . + /(я, Т,ию, 1*20,^107-, .)+ д(у, т, щи 1402, «01т, •••)) + £ (~Со(т)<р - С1(т)(рт - .- (0.23) д

-/*<£> - 9*<Р + Х(р)] ^ + ••••

Переход от уравнения Буссинеска к уравнению Кортевега - де Фриза осуществляется при наложении дифференциальной связи = 0. Выделение среди симметрий (0.23) тех, которые оставляют инвариантным уравнение ио1 = 0 приводит к симметриям уравнения Кортевега - де Фриза.

Отметим, что в Главах 4 и 5 рассматривались лишь локальные (точечные и неточечные) симметрии невозмущенных уравнений, определяемые каноническими операторами Ли-Беклунда д

Х(о) = /(0)(х,и,и1,и2, . ,щ)—+. с координатами принадлежащими пространству Л дифференциальных функций (т.е. аналитических функций произвольного конечного числа независимых переменных ж, зависимых переменных и и производных от и по а; первого (^1), второго (^2), и т.д. порядков). Однако наряду с ними на практике встречаются дифференциальные уравнения, допускающие операторы, координаты которых зависят не только от (конечного числа) локальных переменных х,и,щ,и2, . , но также и от выражений типа интегралов от и. Тогда говорят о нелокальных симметриях.

Основным препятствием для прямого перенесения теории групп Ли-Беклунда [49], [109], [47] на случай нелокальных симметрий является следующее обстоятельство. В локальной теории существенно используется инвариантность пространства Л дифференциальных функций относительно дифференцирования И: если / £ Л, то V/ Е Л. Если теперь наряду с локальными переменными х,и,щ,и2, . ввести "естественные" нелокальные переменные > • • • как это делается, например, в [51], где И1(и-1) = и, и пространство Л аналитических функций любого конечного числа локальных и нелокальных переменных, то окажется, что интегрирование I)-1 (необходимое в нелокальной теории) выводит из А (например, И-1 (и2) = 1 — щи2 + — + . 0 Л). Поэтому для конструктивного вычисления нелокальных симметрий приходится использовать специальные методы.

В ряде случаев подобные нелокальные симметрии могут быть легко построены с помощью оператора рекурренции [50], [36]. Например, для уравнения Кортевега-де Фриза

Щ = и3 +ищ оператор рекурренции имеет вид

Ь = В1 + + .

3 3

Двукратное действие этого оператора на координату / = 1 + Ьщ канонического оператора Ли-Беклунда, соответствующего преобразованию Галилея, приводит к оператору нелокальной симметрии: где (р — нелокальная переменная, связанная с и системой уравнений

Другой подход к получению нелокальных симметрий основан на использовании преобразований, сводящего заданное уравнение к некоторому другому уравнению [1], [2], [3], [37], [38], [48], [52], [52], [69], [70], [73], [95], [96], [79], [80], [118], [122], [123], [125]. Такой способ получения неточечных симметрий, по-видимому, впервые был использован В.А. Фоком [78], [67] для вскрытия дополнительных симметрий модели атома водорода в кулоновском поле.

В Главе 6 развивается конструктивный метод построения нелокальных симметрий, называемых квазилокальными, для уравнений, обладающих преобразованиями Беклунда типа дифференциальной подстановки (или накрытиями, в терминах работ [37], [38]). При этом по-существу используется теория групп Ли-Беклунда. Знание квазилокальных симметрий может быть использовано для построения нелокальных переменных и симметрий. Теория квазилокальных симметрий позволяет по-новому подойти и к задаче групповой классификации.

Определение квазилокальной симметрии и суть метода построения иерархии нелокальных переменных и симметрий описаны в § 24. ищ) + -и2 + -и2 + -Щ(р, 9

Рх =Щ (Ру = и2+^Г

Пусть эволюционные уравнения

Щ = Р, ГеЛ[х,и], (0.24)

У8 = в, веАМ, (0.25) связаны преобразованием Беклунда типа дифференциальной подстановки

5 = у = <р, Уа = а = 1, . ,т, <^,Фа Е А1[х,и], (0.26) и пусть уравнение (0.24) допускает алгебру локальных симметрий, т.е. алгебру Ли-Беклунда

АР[х,ч] = {/^ Е А[х, и] : ^ - = о| , где скобка Ли {-Р1,/} определяется как га-мерный вектор из Ат[х,и] с компонентами

3 = 1, . ,т.

Если после действия преобразования Беклунда (0.26) Е Ар[х,и] переходит в Е ЛсЬ?^]) то и связаны формулами перехода [108]

ДсМ (/(в))а - [А^Ы^ - Д*(Ф>*] /(и) • (0.27)

Распространение формул (0.27) на произвольные (в общем случае /(") 0 приводит к квазилокальным симметриям, вычисляемым на основе следующего определения.

Определение 24.1. Квазилокалъной симметрией уравнения (0.25), ассоциированной с Е называется вектор функция , которая связана с формулами перехода (0.27) и наряду с х, . зависит также от некоторых новых переменных С^1, . , С}1 так, что выполняется уравнение

95 1 ' + <9<2г 48

При вычислении скобки Ли {<3,используется дифференцирование Бу , продолженное на нелокальные переменные как на обычные дифференциальные переменные.

Пусть для данной последовательности уравнений, связанных преобразованиями Беклунда, вычислены все квазилокальные симметрии. Всякой квазилокальной симметрии соответствует некоторая нелокальная переменная. Назовем эти симметрии и переменные квазилокалъными сим-метриями и нелокальными переменными первого поколения. Включим теперь все нелокальные переменные первого поколения в число дифференциальных переменных, добавим уравнения, определяющие эти нелокальные переменные, к исходным системам дифференциальных уравнений рассматриваемой последовательности и вычислим группы, допускаемые полученными расширенными системами. Если эта процедура приведет к расширению группы, будем говорить о нелокальных симметриях первого поколения исходных (нерасширенных) систем уравнений.

При применении техники построения квазилокальных симметрий к описанным выше расширенным системам с нелокальными симметриями могут возникнуть новые квазилокальные симметрии, порожденные новыми нелокальными переменными. В этом случае будем говорить о квазилокальных симметриях и нелокальных переменных второго поколения. Повторением описанной процедуры можно выстроить иерархию нелокальных переменных и симметрий.

В § 25 исследуются квазилокальные симметрии последовательности = Я(ги2) ^^ VI = Н(у1)и2 щ = (/1(1^1)1 (Я) уравнений типа нелинейной теплопроводности (Ь!(и) ф 0), связанных между собой простейшими преобразованиями Беклунда. Вначале решаются задачи групповой классификации уравнений на ии по допускаемым группам контактных преобразований [39], а уравнений на V (называемых в дальнейшем уравнениями нелинейной фильтрации) — по точечным [5], [8]. Последнее уравнение последовательности (Я) является классическим уравнением нелинейной теплопроводности и классификация этих уравнений по допускаемым группам точечных преобразований была проведена в [58]. Доказано, что для второго и третьего членов последовательности (Я) контактных симметрий нет.

Групповая классификация уравнений последовательности (Я) проводилась с точностью до преобразований эквивалентности. Показано, что уравнения на и) и V обладают более широкой группой локальных преобразований эквивалентности, чем связанное с ними уравнение нелинейной теплопроводности.

Преобразования Беклунда (в данном случае дифференцирование и интегрирование) позволяют установить соответствие между преобразованиями эквивалентности и допускаемыми группами членов последовательности (Я). При этом возникают нелокальное преобразование эквивалентности х = •и1, й = и"1 для уравнения нелинейной теплопроводности и квазилокальные симметрии для уравнений нелинейной теплопроводности и фильтрации. В частности показано, что при Н(и) = (1 + гг2)-1ехр(Ааг^/и), уравнение нелинейной теплопроводности допускает операторы квазилокальных симметрий. Отметим, что эти же операторы были независимо вычислены в работах [52] и [96]. На примере уравнения нелинейной теплопроводности с Н{и) = (1 + и2)-1 демонстрируется возможность построения решений, инвариантных относительно квазилокальных симметрий.

Особенности применения техники квазилокальных симметрий для систем уравнений демонстрируется в § 26 на примере одномерных уравнений газовой динамики. Групповая классификация уравнений одномерной газовой динамики в эйлеровых координатах была проведена Л.В. Овсянниковым в [57] (см. также [59], [63]). Им, в частности, была установлена групповая природа известного факта исключительности политропического газа с показателем адиабаты 7 — 3. В то же время другое замечательное с точки зрения интегрируемости значение 7 = — 1 (газ Чаплыгина) [72] по классификации [57] не выделяется среди прочих значений 7.

Проведенная в § 26 классификация по квазилокальным симметриям уравнений одномерного движения газа приводит к выделению тринадцати основных типов этих уравнений. В частности, выявляется скрытая (квазилокальная) симметрия газа Чаплыгина и выделяются уравнения газовой динамики, которые инвариантны относительно перехода к равноускоренно движущейся системе координат при подходящем выборе нелокального представления этого преобразования. По алгоритму, изложенному в § 24, строятся примеры нелокальных переменных и симметрий первого и второго поколений уравнений газовой динамики.

В § 27 исследуются приближенные квазилокальные симметрии последовательности

Щ — ММ^ + ец){у 1) щ = {Ь(и)и1)1 + £(р'(и)щ {НС) нелинейных уравнений теплопроводности {Ъ! ф 0) с малыми конвективными членами. Проведена классификация уравнений последовательности (НС) по допускаемым группам точечных приближенных преобразований. По аналогии с § 25, сравнений результатов классификации уравнений последовательности (НС) позволило получить широкие классы уравнений с дополнительными приближенными квазилокальными симметриями. Проиллюстрирована возможность использования этих симметрий для построения приближенных решений.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на многочисленных школах, конференциях и семинарах, в частности, на:

- Всесоюзных, а позже Всероссийских коллоквиумах "Современный групповой анализ" (Ленинград, 1987, Баку, 1988, Красноярск, 1989, Нижний Новгород, 1992, Самара, 1993);

- Международных конференциях "Modern Group Analysis" (Уфа, 1991, Йоханнесбург (ЮАР), 1994, 1996, Нордфиорд (Норвегия), 1997);

- Международном коллоквиуме " Symmetries of nonlinear differential equations (Прага, 1993);

- Международной конференции "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physic (Киев, 1995);

- Международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений" (Орел, 1996);

- семинаре отдела математической физики Института математики с ВЦ УфО РАН (Уфа, 1997);

- IV Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (САМГОП - 98) (Уфа, 1998);

- Международной конференции "Симметрия в естествознании" (Красноярск, 1998);

- Международной научной конференции "Спектральная теория диффе

40 ренциальных операторов и смежные вопросы" (Стерлитамак, 1998).

В заключении мне бы хотелось выразить искрению признательность профессору Н.Х. Ибрагимову, который был руководителем моих дипломной работы и кандидатской диссертации, и чьей поддержкой и советами я пользовался на всех стадиях подготовки этой работы. Особую благодарность я испытываю к профессору В.А. Байкову, совместная работа с которым в течении многих лет учит меня видеть физическую и прикладную стороны задач математики. Мне также хотелось бы поблагодарить профессора И.Ш. Ахатова за плодотворное научное общение во время совместных исследований.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации

• Развита теория много-параметрических приближенных групп преобразований, доказаны аналоги теорем Ли для приближенных групп преобразований. Показано, что как и в теории точных групп Ли преобразований, изучение приближенных групп преобразований тесно связано с рассмотрением соответствующих приближенных векторных полей и приближенных операторов, образующих так называемые приближенные алгебры Ли операторов. Связь между приближенными группами Ли и приближенными алгебрами Ли операторов выражается приближенными уравнениями Ли.

• Построена теория инвариантов приближенных групп преобразований. Доказан инфинитезимальный критерий приближенной инвариантности функции, позволяющий сводить задачу нахождения инвариантов приближенных групп преобразований к решению линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с коэффициентами, зависящими от малого параметра. Доказана теорема о числе независимых инвариантов и предложена формула представления общего инварианта приближенной группы преобразований через известные инварианты.

• Исследованы свойства приближенных групп преобразований, допускаемых уравнением с малым параметром. В частности, доказано, что множество приближенных операторов, допускаемых уравнением с малым параметром, образуют приближенную алгебру Ли операторов, и значит, множество приближенных преобразований, допускаемых уравнением с малым параметром, образует приближенную группу преобразований. Предложены алгоритмы вычисления приближенных сим-метрий уравнений, приближеннных преобразований эквивалентности классов уравнений, приближенных симметрий, изменяющих малый параметр.

Проведено сравнение рассматриваемого в работе подхода к исследованию симметрийных свойств дифференциальных уравнений с малым параметром, с подходом, развиваемым В.И. Фущичем и его коллегами и предполагающим сведение задачи исследования симметрийных свойств уравнения с малым параметром к построению точных симметрий системы дифференциальных уравнений, полученной как некоторое приближение исходного уравнения. Выведена формула построения симметрий такой системы из приближенных групп преобразований, допускаемых исходным уравнением с малым параметром.

Исследованы приближенные симметрии некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений, эволюционных и волновых уравнений. В частности, доказано, что широкие классы эволюционных уравнений наследуют с произвольным порядком точности все симметрии уравнения переноса, а волновых уравнений типа уравнения Буссинеска наследуют, в первом приближении, все симметрии линейного волнового уравнения. Иллюстрируется возможность использования приближенных симметрий дифференциальных уравнений для построения их решений.

Развит конструктивный подход к построению нелокальных симметрий, называемых квазилокальными, для уравнений, обладающих преобразованиями Беклунда типа дифференциальной подстановки. Про

295 ведено исследование точных квазилокальных симметрий последовательности уравнений типа нелинейной теплопроводности и уравнений одномерной газовой динамики, а также приближенных квазилокальных симметрий уравнений нелинейной теплопроводности с малыми конвективными членами. Полученные симметрии использовались для построения решений рассмотренных уравнений.

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. - Новосибирск: ВО Наука, 1994. - 319 с.

2. Андреев В.К., Родионов A.A. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 298, N 6. - С. 1358 - 1361.

3. Андреев В.К., Родионов A.A. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно- симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, N 9. - С. 1577 - 1586.

4. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. - 309 с.

5. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Групповая классификация уравнений нелинейной фильтрации // Докл. АН СССР. 1987. -Т. 293, N 5. - С. 1033 - 1035.

6. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 295, N 1. - С. 75 - 78.

7. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Преобразования Беклун-да и нелокальные симметрии // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 297, N 1. - С. 11 - 14.

8. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Групповые свойства и точные решения уравнений нелинейной фильтрации // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1987. - С. 24 - 27.

9. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики // Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука, 1987. - С. 22 - 56.

10. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Основные типы инвариантных уравнений одномерной газовой динамики. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1988. - N 49. - 26 с.

11. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". - Т. 34. - С. 3 - 83.

12. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Тринадцать основных типов инвариантных уравнений газовой динамики // Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1989. - С. 37 - 56.

13. Байков В.А. Приближенный групповой анализ нелинейных моделей механики сплошных сред: Диссерт. . докт. физ.-мат. наук. Уфа, 1990.

14. Байков В.А. Приближенные симметрии уравнения Ван-дер-Поля // Дифференциальные уравнения. 1994. - Т. 30, N 10. - С. 1820 - 1822.

15. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1987. - N 150. -28 с.

16. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Формальные симметрии и преобразования Беклунда. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1987. - N 226. -28 с.

17. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенный групповой анализ уравнения ии — (/(и)их)х-\-£(р(и)щ = 0. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1988. - N 68. -27 с.

18. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435 - 450.

19. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенный групповой анализ нелинейного уравнения ии — ($(и)их)х + £(р(и)щ = 0 // Дифференциальные уравнения. 1988. - N 7. - С. 1127 - 1138.

20. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Линеаризация и формальные симметрии уравнения Кортевега-де Фриза // Докл. АН СССР. -1988. Т. 303, N4.-0. 781 - 784.

21. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Методы возмущений в групповом анализе. М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". - Т. 34. - С. 85 - 147.

22. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии и формальная линеаризация // Прикл. мех. и техн. физика. -1989. N 2. - С. 40 - 49.

23. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Классификация по точным и приближенным симметриям многомерных волновых уравнений. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. -М., 1990. - N 51. - 28 с.

24. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии и законы сохранения // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. М., 1991. - Т. 200. - С. 35 - 45.

25. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Метод многих масштабов в приближенном групповом анализе: уравнения Буссинеска и Кортевега-де Фриза. Препринт / Всесоюзный центр математического моделирования АН СССР. - М., 1991. - N 31. -24 с.

26. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенная инвариантность в волновых процессах / / Сборник трудов Уфимского ордена Ленина авиационного института имени Серго Орджоникидзе, часть II. Уфа, 1992. - С. 190 - 201.

27. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29,1. N 10. С. 1712 - 1732.

28. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные преобразования эквивалентности // Дифференциальные уравнения. 1994. -Т. 30, N 10. - С. 1659 - 1664.

29. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. - 288 с.

30. Березовский A.A. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. Часть 1,11. Киев: Наукова Думка, 1976.

31. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987. - 256 с.

32. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ, 1958. - 408 с.

33. Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых. М.-Л.: ГТТИ, 1933.

34. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука, 1986. -496 с.

35. Виноградов A.M., Красильщик И.С. Один метод вычисления высших симметрий нелинейных эволюционных уравнений и нелокальные симметрии// Докл. АН СССР. 1980. - Т. 253, N 6. - С. 1289 - 1293.

36. Виноградов A.M., Красильщик И.С. К теории нелокальных симмет-рий нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 275, N 5. - С. 1044 - 1049.

37. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1986.- 336 с.

38. Газизов Р.К. Контактные преобразования уравнений типа нелинейной фильтрации // Физико-химическая гидродинамика. Межвуз. научн. сборник. - Уфа: Изд-во Башк. гос. университета, 1987. - С. 38- 41.

39. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975. - 416 с.

40. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. M.-JL: ОНТИ, ГТТИ, 1934. - 360 с.

41. Дородницын В.А. Группы преобразований в сеточных пространствах- М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". Т. 34. - С. 149 -191.

42. Журавлев В.Ф. Метод рядов Ли в проблеме проблеме разделения движений в нелинейной механике // Прикл. матем. и мех. 1983. - Т. 47, вып. 4. - С. 559 - 565.

43. Журавлев В.Ф. О применении одночленных групп Ли к проблеме асимптотического интегрирования уравнений механики // Прикл. матем. и мех. 1986. - Т. 50, вып. 3. - С. 346 - 352.

44. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. - 328 с.

45. Ибрагимов Н.Х. К теории групп преобразований Ли-Беклунда // Матем. сборник. 1979. - Т. 109, вып. 2. - С. 229 - 253.

46. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983. 280 с.

47. Ибрагимов Н.Х., Андерсон Р.Л. Группы касательных преобразований Ли-Беклунда // Докл. АН СССР. 1976. - Т. 227, N3.-0. 539 - 542.

48. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. Уравнение Кортевега-де Фриза с групповой точки зрения // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 244, N 3. - С. 57 -61.

49. Капцов О.В. Расширение симметрии эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 262, N 5. - С. 1056 - 1059.

50. Кирнасов Е.Г. О накрытиях типа Уолквиста-Эстабрука над уравнением теплопроводности // Мат. заметки. 1987. - Т. 42, N3.-0. 422 - 434.

51. Ленский Э.В. О групповых свойствах уравнений движения нелинейной вязко-пластической среды// Вестник МГУ, Математика, механика. 1966. - N 5. - С. 116 - 125.

52. Магадеев Б.А., Соколов В.В. О полной алгебре Ли-Беклунда уравнения Кортевега-де Фриза // Динамика сплошной среды, вып. 52. -Новосибирск, 1981. С. 48 - 55.

53. Митропольский Ю.А., Лопатин А.К. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики. Киев: Наукова думка, 1988. - 272 с.

54. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 455.

55. Овсянников Л.В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 118, N 3.-С. 439 - 442.

56. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 125, N 3. - С. 492 -495.

57. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 240 с.

58. Овсянников Л.В. О бесконечных группах отображений, задаваемых дифференциальными уравнениями // Докл. АН СССР. 1963. -Т. 148, N 1. - С. 36 - 39.

59. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосибирского госуниверситета, 1966. - 132 с.

60. Овсянников Л.В. Аналитические группы. Новосибирск: Изд-во Новосибирского госуниверситета, 1972. - 238 с.

61. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.

62. Овсянников Л.В. Лагранжевы приближения в теории волн // Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн / Л.В. Овсянников, Н.И. Макаренко, В.И. Налимов и др. Новосибирск: Наука, 1985. - С. 10 - 77.

63. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. - Т. 58, N 4. - С. 30 - 55.

64. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. -М.: Мир, 1989. 640 с.

65. Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.: Наука, 1967. - 308 с.

66. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1984. - 520 с.

67. Пухначев В.В. Эволюционные уравнения и лагранжевы координаты // Динамика сплошной среды, вып. 70. Новосибирск, 1985. - С. 127 - 141.

68. Пухначев В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 294, N 3. - С. 535 - 538.

69. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917 1967), под ред. Полубариновой-Кочиной П.Я. - М.: Наука, 1969.

70. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. - 688 с.

71. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Слабые нелокальности в эволюционных уравнениях // Матем. заметки. 1990. - Т. 48, N 6. - С. 91 -97.

72. Свирщевский С.Р. Групповые свойства модели теплопереноса с учетом релаксации теплового потока. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1988. - N 105. - 16 с.

73. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том IV, часть II. М.: Наука, 1981. - 550 с.

74. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. - 231 с.

75. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 625 с.

76. Фок В.А. Атом водорода и не-Евклидова геометрия // Известия АН СССР, серия VII, отделение математических и естественных наук. -1935. N 2. - С. 169 - 179.

77. Фущич В.И. О дополнительной инвариантности релятивистких уравнений движения // ТМФ. 1971. - Т. 7, N 1. - С. 3 - 12.

78. Фущич В.И. О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической физики // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246, N 4. - С. 846 - 850.

79. Фущич В.И., Штелень В.М. О приближенной симметрии и решениях нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. - N 8. - С. 18 - 21.

80. Хабиров С.В. Бесконечные непрерывные группы преобразований трехмерного пространства, задаваемые системами дифференциальных уравнений первого порядка // Динамика сплошной среды, вып. 12. Новосибирск, 1972. - С. 131 - 146.

81. Хорькова Н.Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии // Ма-тем. заметки. 1988. - Т. 44, N 4. - С. 134 - 145.

82. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940. - 396 с.

83. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985. - 464 с.

84. Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 1. М.: ГИИЛ, 1948. - 315 с.

85. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947. - 360 с.

86. Ames W.F., Adams Е., Lohner R.J. Group properties of uu = f{u)ux]x // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1981. - Vol. 16, N 5/6. - P. 439 - 447.

87. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Bácklund Transformations in Applications. Philadelphia: SIAM Stidies in Applied Mathematics, 1979. - 124 p.

88. Bácklund A.V. Ueber Fláchentransformationen. Math. Ann. - 1876. -Bd. 9. - P. 297 - 320.

89. Baikov V.A., Gazizov R.K., Ibragimov N.H., Mahomed F.M. Closed orbits and their stable symmetries // J. of Mathematical Physics. 1994.- Vol. 35, N 12. P. 6525 - 6535.

90. Birkhoff G. Analytical Groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1938. -Vol. 43, N 1. - P. 61 - 101.

91. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1989. - 412 p.

92. Bluman G.W., Kumei S., Reid G.J. New classes of symmetries for partial differential equations //J. Math. Phys. 1988. - Vol. 29, N 4. - P. 806- 811.

93. Burgan J.R., Munier A., Feix M.R., Fijalkov E. Homology and the nonlinear diffusion equation // SIAM, J. Appl. Math. 1984. - Vol. 44, TV 1. - P. 11 - 18.

94. Cartan E. Sur la structure des groupes infinis de transformations // ŒUVRES, Partie II, Vol. 2. Paris, 1953. - P. 571 - 714.

95. Donato A. and Palumbo A. Approximate Asymptotic Symmetries // Computational and Applied Mathematics, II, W.F.Ames and P.J. van der Houwen, Eds. Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland), 1992. - P. 141 - 151.

96. Euler N., Shul'ga M.W., Steeb W.-H. Approximate symmetries and approximate solutions for a multidimensional Landau-Ginzburg equation // J. Phys. A: Math. Gen. 1992. - Vol. 25. - P. L1095 - L1103.

97. Euler M., Euler N., Kohler A. On the construction of approximate solutions for a multidimensional nonlinear heat equation //J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - Vol. 27. - P. 2083 - 2092.

98. Euler N., Euler M. Symmetry properties of the approximations of multi- dimensional generalized Van der Pol equations // Nonlinear Mathematical Physics. 1994. - Vol. 1, N 1. - P. 41 - 59.

99. Fushchich W.I., Shtelen W.M. On approximate symmetry and approximate solutions of the non-linear wave equation with a small parameter //J. Phys. A: Math. Gen. 1989. - Vol. 22. - P. L887 -L890.

100. Gazizov R.K. Lie algebras of approximate symmetries // Nonlinear Mathematical Physics. 1996. - Vol. 3, N 1-2. - P. 96 - 101.

101. Gazizov R.K. Representation of general invariants for approximate transformation groups //J. Math. Anal, and Appl. 1997. - Vol. 213, N 1. - P. 202 - 228.

102. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed. N.H.Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA.

103. Vol. 1: Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws, 1994; Vol. 2: Applications in Engineering and Physical Sciences, 1995. Vol. 3: New Trends in Theoretical Development and Computational Methods, 1996.

104. Ibragimov N.H. Sur l'équivalence des equations d'évolution, qui admettent une algèbre de Lie-Bàcklund infinie // C. r. Acad. Sci. Sér. 1. Paris, 1981. - Vol. 293, N 14. - P. 657 - 660.

105. Ibragimov N.H., Anderson R.L. Lie-Bâcklund tangent transformations // J. Math. Anal, and Appl. 1977. - Vol. 59, ATI. - P. 145 - 162.

106. Korteweg D.J., de Vries G. On the chage of form of long waves advancing in a rectangular channel and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1895. - Vol. 39, iV 5. - P. 422 - 443.

107. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen. Leipsig: Teubner, Bd. 1, 1888; Bd. 2, 1890; Bd. 3, 1893.

108. Munier A., Burgan J.R., Gutierres J., Fijalkov E., Feix M.R. Group transformations and the nonlinear heat diffusion equation // SIAM, J. Appl. Math. 1981. - Vol. 40, N 2. - P. 191 - 207.

109. Noether E. Invariante Variationsprobleme // Kgl. Ges. Wiss., Nachr., Göttingen, Math. Phys. Kl. - 1918. - P. 235 - 257. (Перевод в кн.: Вариационные принципы механики. - М.: Физматгиз, 1959. - С. 611- 630.)

110. Oron A., Rosenau P. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equations // Phys. Lett. A. 1986. - Vol. 118, N 4. - P. 172 - 176.

111. Povzner A. Linear methods in problems of nonlinear differential equations with a small parameter // Int. J. Non-Linear Mech. 1974.- Vol. 9, iV 4. P. 279 - 323.

112. Rosen G. Nonlinear heat conduction in solid H2 // Phys. Rev. B. 1979.- Vol. 19, N 4. P. 2398 - 2399.

113. Sophocleous C. Potential symmetries of nonlinear diffusion-convection equations //J. Phys. A: Math. Gen. 1996. - Vol. 29. - P. 6951 - 6959.

114. Vawda F.E., Mahomed F.M. Closed orbits and their exact symmetries // Lie Groups and their Applications. 1994. - Vol. 1, N 2. - P. 81 - 97.

115. Wiltshire R.J. Perturbed Lie symmetry and systems of non-linear diffusion equations //J. Nonlinear Mathematical Physics. 1996. - Vol. 3, N 1-2. - P. 130 - 138.312

116. Yung C.M., Verburg K., Baveye P. Group classification and symmetry reductions of the non-linear diffusion-convection equation Ut = (D(u)ux)x K'(u)ux // Int. J. Non-Linear Mechanics. - 1994. - Vol. 29, N 3. - P. 273 - 278.3131. Примечание