Приближенные симметрии Ли-Беклунда и их приложения к уравнениям в частных производных с малым параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кордюкова Светлана Алексеевна

ПРИБЛИЖЕННЫЕ СИММЕТРИИ ЛИ - БЕКЛУНДА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

111111111111111111111

□03167307

Уфа - 2008

Работа выполнена на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель. доктор физико-математических наук, профессор

Байков В А,

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Газизов Р К ,

доктор физико-математических наук Киселев О М

Ведущая организация

Институт математического моделирования РАН, г. Москва

Защита состоится "16" мая 2008 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002 057 01 в Институте математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН по адресу 450077, г Уфа, ул Чернышевского, 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН.

Автореферат разослан "б" апреля 2008 года Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002 057 01, кандидат физико-математических наук £ Попенов С В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена приближенным симметриям Ли-Беклунда, в том числе неклассическим В ней рассматривается объединение методов современного группового анализа с методами теории возмущений, в частности, получение асимптотического решения приближенного уравнения Буссинеска Групповой анализ имеет свое начало в работах С Ли Свое развитие он получил в работах Л С Понтрягина, Л В. Овсянникова, Р Олвера, Ж Блумана, Н.Х Ибрагимова, А Б Шабата, В И Фущича и многих других Приближенные симметрии, как отдельное направление в групповом анализе, начали развиваться в конце восьмидесятых годов двадцатого века в работах В А Байкова, Р К Газизова, Н X Ибрагимова В этих работах рассматривались, в основном, точечные приближенные симметрии, строились приближенно-инвариантные решения

Неклассические симметрии впервые появились полвека назад в работе Ж. Блумана и С Колла Дальнейшее развитие это направление получило с 80-х годов прошлого века в работах В И Фущича, Н И Серова, Р 3 Жданова, А С Фокаса, К М Лью, П Олвера, Д Леви, П Винтерница, П Кларксона и многих других Оказалось, что множество уравнений, обладающее интегрируемыми редукциями (часто называемое условно интегрируемыми), гораздо больше множества уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния или прямой линеаризацией

Актуальность темы состоит в том, что с развитием теории условных сим-метрий Ли-Беклунда появляются новые возможности для нахождения решений как интегрируемых так и неинтегрируемых уравнений Кроме того, в комбинации с идеями асимптотического анализа, появляется возможность построения приближенных решений для широкого класса неинтегрируемых уравнений В частности, на этом пути удается вскрыть роль высших сим-метрий в асимптотической интегрируемости уравнений, что впервые было сделано в работе А Дегаспериса, С В Манакова, П М Сантини 1 Цель работы.

Целью диссертации является - построение приближенных решений нелинейных, неинтегрируемых уравнений в частных производных с малым параметром

'РЬуяса О 100 (1997) 187-211

ч

Методы исследования

В первой главе диссертации используются методы построения классических симметрий Ли-Беклунда, наследования симметрии; приближенными уравнениями, построение приближенных условно-инвариантных решений, классические методы теории дифференциальных уравнений Во второй главе используются методы теории возмущений в комбинации с методами современного группового анализа метод регулярного асимптотического разложения, метод многих масштабов, метод наследования симметрий

Результаты, полученные лично автором, и выносимые на защиту.

1 Определение приближенных неклассических условных симметриий Ли-Беклунда, теоремы наследования классических и неклассических условных симметрий Ли-Беклунда для уравнений в частных производных первого порядка, теорема о получении неклассических условных симметрий из классических, теорема редукции для приближенных эволюционных уравнений

2 Асимптотическое решение приближенного уравнения Буссинеска, пригодное на далеких временах, система уравнений для главных членов асимптотики, состоящая из потенцированных уравнений КдФ-3 и КдФ-5

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

X В первой части диссертации построена теория приближенных симметрий Ли-Беклунда на основе канонических операторов Ли-Беклунда Дано определение приближенным неклассическим симметриям Ли-Беклунда Доказаны теоремы наследования классических и неклассических симметрий Ли-Беклунда для некоторого класса уравнений Доказана теорема редукции для приближенных эволюционных уравнений Вся теория хорошо проиллюстрирована примерами Найдены приближенные решения неинтегрируемых уравнений с малым параметром

2 Найдено асимптотическое решение приближенного уравнения Буссинеска, пригодное на далеких временах Основным результатом второй части диссертации является система уравнений для главных членов асимптотики Она состоит из потенцированных уравнений КдФ-3 и КдФ-5 В задаче для поверхностных волн здесь впервые обнаружено появление КдФ-иерархии, которая обеспечивает построение асимптотики вплоть до далеких времен, где известное приближение КдФ-3 становится непригодным

3 Возмущения, которые возникают из уравнений поверхностных волн в случае ровного дна, оказываются весьма специфическими Эта специфика

приводит к тому, что возмущение солитона потенцированного уравнения КдФ проявляется лишь в медленном, линейном по времени сдвиге фазы без изменения амплитуды Это также является одним из результатов данной диссертации

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты диссертации носят как теоретический, так и практический характер Они могут использоваться для приближенного решения уравнений в частных производных с малым параметром, в том числе неинтегрируемых уравнений

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений", г Орел, 1996 г, международной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы", г Стерлитамак, 1998 г, международной конференции "Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности", г Уфа, 2000 г; международной конференции "Современный групповой анализ для нового тысячелетия", г Уфа, 2000 г, шестой международной конференции "Symmetry m nonlinear mathematical physics"r Киев, 2005 г, Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам - "КРОМШ", 2003 г, 2005 г, 2006 г, международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых, г Уфа, 2005 г, конференции института математики с ВЦ УфНЦ РАН "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", г Уфа, 2006 г, 2007 г, на научных семинарах отдела дифференциальных уравнений Института математики с ВЦ УфНЦ РАН Публикации.

Основные результаты по теме опубликованы в работах [1]-[7], список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы Объем диссертации составляет 96 страниц, включая библиографический список из 60 ссылок

Краткое содержание работы. В настоящей диссертации рассматриваются задачи возникающие в приложениях симметрийного подхода к уравнениям в частных производных с малым параметром Диссертация состоит из двух частей

В первой части ставится задача объединения приближенных групповых методов и неклассических симметрий Основная цель, поставленная в этих работах - нахождение решений уравнений в частных производных с малым параметром Этим успешно занимались как в России, так и за рубежом Основные результаты принадлежат школе Ибрагимова Н X Работа эта продолжается до сих пор, причем используются самые разные подходы В данной диссертации (первой ее части) ставится задача о нахождении решений уравнений в частных производных с малым параметром, в том числе неинтегрируемых уравнений, условно-инвариантных относительно приближенных операторов Ли-Беклунда Для этого строится теория приближенных условных симметрий Ли-Беклунда даются основные определения и доказываются теоремы, такие как теоремы наследования классических и неклассических симметрий Ли-Беклунда, необходимое условие существования приближенных условных симметрий Ли-Беклунда, теорема редукции для эволюционных уравнений с малым параметром Вся теория хорошо иллюстрируется примерами

Во второй части диссертации рассматривается приложение известных методов современного группового анализа и методов теории возмущений для построения асимптотического решения для приближенного уравнения Бус-синеска

/з]+

+ е2 [ - (щигг.)г2 - иггщг2 + ^игги1 + {ихгии)ь - = 0(е3), е -> 0.

(1)

Основным результатом в этой части диссертации можно считать систему уравнений, полученную на главные члены асимптотики, состоящую из потенцированных уравнений КдФ-3 и КдФ-5 В задаче для поверхностных волн здесь впервые обнаружено появление КдФ-иерархии, которая обеспечивает построение асимптотики вплоть до времен £ » е~2, где приближение КдФ-3 становится непригодным

Возмущения, которые возникают из уравнений поверхностных волн в случае ровного дна, оказываются весьма специфическими Эта специфика

приводит к тому, что возмущение кинка потенцированного КдФ проявляется лишь в медленном, линейном по времени сдвиге фазы без изменения амплитуды Это также является одним из результатов данной диссертации Кроме того, для приближенного уравнения Буссинеска были построены решения в медленных переменных, инвариантные относительно оператора Ли-Беклунда Для этого сделано объединение метода многих масштабов с приближенными симметриями Ли-Беклунда

Во введении дается обзор литературы по современному состоянию теории симметрий

Основы теории преобразований Ли-Беклунда были рассмотрены в работах С Ли более ста лет назад Затем в этом направлении большие исследования были проведены А Беклундом Э Нетер показала, что можно значительно расширить приложение методов групп симметрий, включая преобразования производных соответствующих зависимых переменных Обобщенные симметрии (другое их название "симметрии Ли-Беклунда") являются некоторым обобщением классических лиевских симметрий, что объясняет их название

Позднее обобщенные симметрии переоткрывались в работах многих авторов, среди которых работы Р Л Андерсена и Н X Ибрагимова, где эти симметрии называются симметриями Ли-Беклунда Это название употребляется многими авторами, в том числе и автором этой диссертации В первой главе диссертации излагается теория приближенных неклассических симметрий Ли-Беклунда

В первой главе диссертации излагается теория приближенных неклассических симметрий Ли-Беклунда

В параграфах 11, 1 2 приводятся основные понятия из теории групп К классическим точечным симметриям (лиевским) принято относить наибольшую локальную группу преобразований, действующую на независимые и зависимые переменные дифференциального уравнения и обладающую свойством переводить решения дифференциального уравнения в другие его решения С группой преобразований связан инфинитезимальный генератор группы оператор X, заданный формулой

Продолжение генератора (prolongation) задается формулой

QL—1 J<n а

где коэффициенты имеют вид

р

р

<pJa = Dj(<pa +

(4)

,] — . ,д;)-мультииндекс порядка к, 1 < д < р, а соответственно

^ - »А 01к

Для уравнений в частных производных

известен инфинитезимальный критерий инвариантности, который утверждает, что группа преобразований допускается уравнением (5) тогда и только тогда, когда выполняется

Если для уравнения (5) выполняется равенство (6), то оператор X называется классической точечной симметрией уравнения (5) Здесь щ - производная функции и по многим переменным &-го порядка. При изучении классических групп симметрий возникают трудности, связанные с невозможностью разрешить систему Ли, если преобразования действуют на переменные, представляющие собой производные выше первого порядка Ибрагимовым Н X было предложено отказаться от аналитических решений системы Ли и заменить их формальными степенными рядами

Обозначим через А пространство дифференциальных функций Р[и) -зависящих от независимых переменных х и зависимых - и, и производных от и до п-го порядка, гладких по всем своим переменным Пусть р - число независимых переменных, q - число зависимых переменных функции Р Определение Оператором Ли-Беклунда называется оператор X, ви-

F(x, t, и, щ, щ, ., uk) = О

(5)

prX(F(x, t, и, til, U2, ■, и*))|р=0 = 0

(6)

да

где С и <ра принадлежат пространству Л

Продолжение оператора X имеет вид (3) Известно определение симметрии Ли-Беклунда

Определение. Оператор X, заданный формулой (7), будем называть симметрией Ли-Беклунда (обобщенной симметрией) уравнения в частных производных (5), если для него выполняется равенство (6)

Данное определение классических симметрий Ли-Беклунда встречается во многих работах, например, в книгах П Олвера, Н X Ибрагимова, Ж Блумана

Основной целью, которая послужила развитию симметрийных методов, является нахождение решений дифференциальных уравнений, инвариант^ ных относительно оператора Классические симметрии, как известно, используются для получения редукций систем дифференциальных уравнений Но иногда некоторые физически важные уравнения имеют мало классических лиевских симметрий Поэтому для получения решений используются симметрии Ли-Беклунда

Основные результаты первой главы диссертации относятся к приближенным условным симметриям Ли-Беклунда Там не только строятся условные симметрии Ли-Беклунда, в том числе приближенные, но также вычисляются решения неинтегрируемых эволюционных уравнений в частных производных с малым параметром

В диссертации рассматриваются канонические операторы Ли-Беклунда Определение. Пусть ц[и\ = (^[ы], ,%[«.]), где ^¡[и] е А - набор дифференциальных функций Оператор Ли-Беклунда вида

называется каноническим оператором Ли-Беклунда, а г) = »?[«], называется его характеристикой

Формула продолжения для канонического оператора Ли-Беклунда имеет довольно простой вид

и,«/

Основные понятия теории групп Ли можно найти, например, в книге П Олвера 2

2Приложегаш групп Ля к дифференциальным уравнениям Москва, "Мир", 1989

(В)

(9)

Симметрии Ли-Беклунда (классические) использовались для получения мультисолитонных решений уравнений Кдф, мКдФ, синус-Гордона, кубического Шредингера Оказалось, что набор физически значимых примеров уравнений, допускающих нетривиальные симметрии Ли-Беклунда, ограничен Это послужило основой для привлечения неклассических условных симметрий Так, первые примеры использования условных симметрий Ли-Беклунда для систем обыкновенных уравнений появились в работах Галак-тионова В А и Фущича В И Исторически первая работа по неклассическим условным симметриям принадлежит Блуману Ж и Колу С Но свое развитие условные симметрии получили с 80-х годов прошлого века в работах Фущича В И , Серова Н И , Жданова Р 3 , Сергеева А Г, Фокаса А С , Лью К М , Олвера П , Леви Д , Винтерница П Значительный вклад в развитие этого подхода был сделан в школе В И Фущича В частности, Р 3 Жданов доказал теорему редукции для эволюционных уравнений, с применением условных симметрий Ли-Беклунда, которая используется для получения точных решений Аналог этой теоремы используется в диссертации для получения приближенных редукций Определение неклассических условных симметрий Ли-Беклунда известно следующее

Определение. Оператор (8) называется неклассической условной симметрией Ли-Беклунда для уравнений в частных производных (5), если

ргХпР = 0 при условиях [Р] = 0, [гЦ = 0 (10)

Квадратными скобками [/] принято обозначать все дифференциальные следствия (по независимым переменным) функции / € Л

Известно, что не существует никаких общих способов получения условных симметрий В параграфе 1 3 доказана теорема получения неклассических условных симметрий Ли-Беклунда из классических для некоторого класса уравнений

Обозначим через М множество решений уравнения в частных производных 1-го порядка

Е(х,^и,их,щ) = 0 (11)

Теорема 1. Пусть уравнение (11) имеет классическую симметрию Ли-Веклунда Хп (8) с характеристикой ц = т][и] 6 А, и т] = 0 на множестве М (то есть Хц тривиальная симметрия уравнения (11)) Тогда любая функция / = /(ж, 2 не равная тождественно нулю ш М, определяет оператор Х\ = (г]/)д/ди, являющийся неклассической условной симметрией Ли-Беклунда уравнения (И)

Теорема 1 проиллюстрирована примерами и широко используется в других примерах первой главы

Далее в диссертации вводятся приближенные неклассические симметрии Ли-Беклунда, которые применяются для получения приближенных решений эволюционных уравнений с малым параметром В первой части диссертации рассматриваются уравнения с малым параметром

Пусть предельное (невозмущенное) уравнение

ад = о

имеет симметрию того или иного типа, которая позволяет получить точные решения ¡¡о Вопрос, который обсуждается ниже, состоит в следующем когда для возмущенного уравнения (при е > 0) с той же степенью эффективности можно выписать приближенное решение в виде отрезка ряда # = го + £21 + + которое при подстановке в уравнение дает невязку порядка о(ер) Напомним, что равенство а(г, е) = о(ер) означает

г-40 £Р

В дальнейшем для краткости опускаются остатки в асимптотических равенствах и вместо этого используется знак

Определение. Приближенное равенство функций/ ю д означает /(г,е) = е) +о(ер) с некоторым фиксированным значением р> 1, где р называется порядком точности

Основным инструментом в решении поставленной задачи является понятие приближенной симметрии Приближенные симметрии Ли-Беклунда введены в рассмотрение Байковым В А , Газизовым Р К. и Ибрагимовым Н X 3 Такие симметрии определяются операторами вида

а=1

где Т1а « ?7о + £??1 + + ерт]р, г^ £ Л Для этих операторов, как и для точных канонических операторов Ли-Беклунда, формула продолжения имеет простой вид

ргхп^ (13)

'ВИНИТИ, М , 1989, Итога науки и техники Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения" -Т34-С 85-147

В диссертации, в параграфе 1 4 вводятся приближенные неклассические симметрии Ли-Беклунда на основе канонических операторов [4, 5] Целью такого введения является нахождение новых решений дифференциальных уравнений с малым параметром При этом исходные дифференциальные уравнения в частных производных с малым параметром можно рассматривать в общем виде, как это сделано в работе Байкова В А, Газизова Р К и Ибрагимова H X

п

Е ^ = 0(6") (14)

8=0

Здесь F% = F^t, х, щ их, щ, utx, ) б А

Определение Оператор Xv (12) назаваетея приближенной неклассической условной симметрией JIu-Беклунда (п-го порядка точности) для приближенного дифференциального уравнения в частных производных (14), если

п п п

prX^e'F,) = о(е"), при условиях [JV-FJ - о(е») , = о{еп),

»=0 г=0 г=0

(15)

где щ —характеристика точной условной симметрии Ли-Беклунда уравнения Fq — 0 При этом будем говорить, что уравнение (Ц) условно инвариантно относительно оператора (12) с точностью о(еп)

В параграфе 1 4 доказываются теоремы наследования приближенных симметрий (классических и неклассических) Ли-Беклунда для эволюционных уравнений с малым параметром

«, = ¿6^+ 0(5?), (16)

г=0

то есть здесь решатся вопрос существования таких приближенных симметрии Основное ограничение касается невозмущенного уравнения, которое предполагается дифференциальным уравнением в частных производ-

о о

ных первого порядка, то есть функция F = F(x,t,u,ux) может зависеть лишь от производных первого порядка Возмущения могут содержать про-

г г

изводные любого порядка, так что F = F(x, t, и,их, , щ,) £ А при г > 1

Теорема 2. Пусть эволюционное дифференциальное уравнение первого порядка

о

щ = Р(х,Ьи,их) (17)

допускает операторы Ли-Веклунда любого порядка N

0 о д

где

£ 0 л 0 О/ , л ч,»г I д"и\

Р,7] 6 Л ц = ф, г, и,их,..., им), Ш, [мл- = о^й)

Тогда приближенное эволюционное уравнение (16) допускает приближенный оператор Ли-Беклунда

Х = + (19)

г=0

где функции г] вычисляются рекуррентно

Подобная теорема доказана для неклассических симметрий Ли-Беклунда

Теорема 3. Пусть эволюционное дифференциальное уравнение первого порядка (17) допускает операторы, Ли-Веклунда любого порядка N (18) Тогда любая условная симметрия Ли-Беклунда

* * д * . ,__.

71 £А (20)

уравнения (17) наследуется приближенным эволюционным уравнением (16) в виде приближенной симметрии

Х = (п + "£е1л)~ + о(е*), (21)

1=1

где функции ц вычисляются рекуррентно

В параграфе 14 приведены примеры получения симметрий Ли- Беклун-да для эволюционных уравнений с малым параметром, иллюстрирующие теорему 3

Приближенным решением п-го порядка точности будем называть функцию

п

и = 5^е,« + о(е"). (22)

!=0

которая удовлетворяет уравнению (14) с точностью до га-го порядка, то есть

¿е»ад = о(ея)

г=0

Иногда такое решение называется асимптотическим при е —> О

В диссертации, в параграфе 1 5 и в работах [4, 5] дано определение приближенного условно-инвариантного решения

Определение. Пусть канонический оператор Хц определяет приближенную условную симметрию Ли-Беклунда для уравнения (Ц) Тогда приближенное решение и уравнения (Ц), заданное формулой (22), п-го порядка точности, называется условно - инвариантным относительно приближенного оператора Ли-Беклунда Xv (12) (п-го порядка точности), если

¿^(«) = о(е») (23)

j=o

Все введенные выше понятия нужны для того, чтобы находить приближенные решения дифференциальных уравнений с малым параметром Приближенные решения получаются на основе точных решений невозмущенных уравнений Для невозмущенных уравнений применяется теорема редукции, доказанная в работе Р 3 Жданова

Теорема 4. Пусть невозмущенное эволюционное уравнение

dNu

щ = F{t, х, и, их, ихх, , uN), uN = —¡J (24)

условно-инвариантно относительно канонического оператора Ли-Беклунда,

V о д

Пусть и = f(t,x,Ci,C2, ,Cn) общее решение уравнения ri(t, х,и,щ, ,ин) О, г] £ А Тогда существует класс решений эволюционного уравнения (24)

и= f{t,x,tpi{t),<p2{t), ,<РяШ,

где функции p3(t),j — 1,2, ,JV, можно найти из системы N обыкновенных дифференциальных уравнений

Оказывается, подобным образом можно строить приближенные решения возмущенных уравнений

щ = F[u] + eG[tt], (25)

где F и G дифференциальные функции произвольного порядка В параграфе 1 5 диссертации доказана теорема редукции для эволюционных уравнений с малым параметром с использованием приближенных симметрий Ли-Беклунда

Теорема 5. Пусть эволюционное уравнение с малым параметром (25) условно-инвариантно относительно приближенного оператора Ли-Беклунда

-V д 0 1 , „

дй' V-V + en + ois),

где F,G,r; £ А, — функции, зависящие от переменных t, х, и, их, ихх, , к = 0,1 Пусть выполнены условия теоремы 4 Тогда существует класс приближенных условно-инвариантных относительно оператора X реше-HwS,u — u + £u + o(s),u = g(t,x,iii(t), ,ipN(t)), edeg(t,x, С\,С% ,Cjv) — общее решение линеаризованного обыкновенного дифференциального уравнения, полученного из (23) в первом порядке по е, функции 4>k(t), к = 1,2,. , N являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений

В параграфе 1 6 приводится пример вычисления приближенного решения неинтегрируемого уравнения с применением теоремы редукции 5 Так для уравнения, являющегося возмущением уравнения переноса, получено решение, инвариантное относительно приближенной неклассических симметрий Ли-Беклунда, найденной с помощью методов, представленных автором

Во второй главе диссертации исследуется уравнение Буссинеска, полученное из системы уравнений для поверхностных волн

Фхх + = 0, х е 1, 0 < у < h(x, t); (26)

ht + Нхфх — е~1фу — 0, при у — h(t, х), 1 1

фь + 7j$: + + 9h = о, при у = h{t, х)

Здесь ф(х, у, t) - потенциал скорости, свободная поверхность задается уравнением у — h{x,t) Глубина невозмущенной жидкости ho — const Уравнения дополняются условием непротекания фу — 0 на горизонтальном дне при

у — 0 Для степеней производных всюду ниже используются обозначения типа ф2х = (фх)2, Ф1Х = {Фхх)2 и т д Исходные уравнения даны для плоского одномерного движения жидкости Вывод уравнений содержится в работах Л В Овсянникова4

Применение приближенных методов основано на наличии малого параметра в исходных уравнениях В модели длинных волн на мелкой воде в качестве малого параметра 0 < е <С 1 выступает квадрат отношения вертикального масштаба к горизонтальному Система (26) преобразуется к виду, удобному для изучения приближенных решений

ии Щг

+ е2

1 „2 '

- иггиш + + {иггии)ь - -и^аг = 0{б3), 6 О

О о

(27)

Теорема 6. Уравнение Буссинеска (27) имеет асимптотическое решение ф, ¿, е) = 2кЫа.А + 2ШВ + еиг(г, е) + е2и2(г, Ь, е), (28)

где

6 54 4860 ' 6 + 54 4860

Функции щ, «2, ограниченные равномерно по г, вычисляются явно Функция (28) удовлетворяет уравнению (27) с точностью 0(е3), е 0 равномерно для всех г, I

Для построения асимптотического решения использовался оригинальный метод с применением канонических операторов Ли-Беклунда Основным результатом в этой части диссертации можно считать систему уравнений, полученную на главные члены асимптотики, состоящую из потенцированных уравнений КдФ-3 и КдФ-5, [7] В задаче для поверхностных волн здесь впервые обнаружено появление КдФ-иерархии, которая обеспечивает построение асимптотики вплоть до времен I к е-2, где приближение КдФ-3 становится непригодным Именно решение иерархии КдФ приводит к указанным фазовым функциям А, В Появление этой иерархии обязано виду возмущений — слагаемых при е, е2 в уравнении (27) Такая структура возмущений в уравнении (27), которая возникает из уравнений поверхностных

4Лагранжевы приближения в теории волн В кн "Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн" Наука. Сибирское отделение Новосибирск 1985 С10 - 77

волн в случае ровного дна, оказывается весьма специфической Эта специфика приводит к тому, что возмущение кинка потенцированного уравнения КдФ проявляется лишь в медленном, линейном по времени сдвиге фазы без изменения амплитуды [7] Это также является одним из результатов данной диссертации

Во второй главе приведен пример наследования уравнением Буссинеска классических симметрии Ли-Беклунда линейного волнового уравнения в комбинации с методом многих масштабов [2], [5] При получении асимптотических решений уравнения Буссинеска при помощи классических сим-метрий Ли-Беклунда возникает та же КдФ -иерархия на главные члены асимптотики

Работы автора по теме диссертации

[1] Kordyukova S A Method of multiple scales and approximate group analysis for Boussmesq type equations // Proseedmgs of the International Conferens MOGRAN 2000, Ufa, USATU, С 90-94

[2] Кордюкова С A , Метод многих масштабов и симметрии приближенного уравнения Буссинеска // межвузовский научный сборник "Актуальные проблемы математики Математические модели современного естествознания", Уфа, УГАТУ, 2002, с 77-87

[3] Kordyukova S A Approximate group analysis and multiple time scales method for the approximate Boussmesq equation // Nonlinear Dynamics, Volume 46, No 1-2, 73-85, 2006

[4] Кордюкова С A , Неклассические приближенные симметрии Ли-Беклунда // Вестник БГУ, № 3, 2006, с 3-4

[5] Kordyukova S A Nonclassical approximate symmetries of evolutions equations with a small parameter // SIGMA, Vol 2, Paper 040, 2006,11 pages

[6] Кордюкова С A , Метод многих масштабов для приближенного уравнения Буссинеска // Спектральные и эволюционные задачи Труды конференции КРОМШ-5 , т 16, Симферополь, 2006, с 76-80

[7] Кордюкова С А Иерархия Кортевега-де Фриза как асимптотический предел системы Буссинеска // Теоретическая и математическая физика, 154(2), 2008, с 294-304

Кордюкова Светлана Алексеевна

ПРИБЛИЖЕННЫЕ СИММЕТРИИ ЛИ - БЕКЛУНДА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

специальность 01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 03 04 2008 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать плоская Гарнитура Тайме Услпеч л 1,0 Уел кр-отт 0,9 Уч-изд л 0,9 Тираж 100 экз Заказ № 93 ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул К Маркса 12

Введение

1 Неклассические приближенные симметрии

Ли-Беклунда

1.1 Группы преобразований Ли и классические симметрии.

1.2 Классические симметрии Ли-Беклунда

1.3 Неклассические симметрии

1.4 Приближенные симметрии.

1.5 Приближенные условно-инвариантные решения

1.6 Вычисления приближенных условно - инвариантных решений.

2 Асимптотические решения приближенного уравнения Буссинеска

2.1 Получение уравнения Буссинеска из системы мелкой воды

2.2 Система потенциированных уравнений

КдФ-3 и КдФ-5: решения с постоянной амплитудой.

2.3 Применение преобразований Ли-Беклунда для решения линеаризованных уравнений

2.4 Асимптотические решения уравнения Буссинеска

2.5 Приближенные классические симметрии уравнения Буссинеска.

2.6 Приближенно - инвариантные решения уравнения Буссинеска.

В настоящей диссертации рассматриваются задачи, возникающие в приложениях современного группового анализа к уравнениям в частных производных с малым параметром. Диссертация состоит из двух глав и посвящена приближенным условным симметриям, которые рассматриваются в первой главе, и нахождению асимптотических решений приближенного уравнения Буссинеска -во второй главе.

Групповой анализ берет свое начало в работах С. Ли [46], [47]. Развитие он получил много лет спустя в работах JI.B. Овсянникова [18], [20], JI.C. Понтрягина [23], Р. Олвера [21], Ж. Блумана [32], Н.Х. Ибрагимова [5], А.Б. Шабата [16], В.И. Фущича [25] и многих других.

Приближенные симметрии, как отдельное направление в групповом анализе, появились в конце восьмидесятых годов двадцатого века в работах В.А. Байкова, Р.К. Газизова, Н.Х. Ибрагимова [2]. В этих работах рассматривались, в основном, точечные приближенные симметрии^ строились" приближенно-инвариантные-решения.— Основная цель, поставленная в этих работах - нахождение приближенных решений уравнений в частных производных с малым параметром. Этим успешно занимались как в России, так и за рубежом. Работа эта продолжается до сих пор. Основные результаты принадлежат школе Ибрагимова Н.Х. и связаны с использованием понятия приближенных симметрий. Следует отметить, что имеется другой подход использования симметрий в задачах с малым параметром, разработанный в работах В.И. Фу-щича [59], который отличается от [2] и здесь не рассматривается.

В настоящей диссертации (в первой главе) рассматриваются приближенные условные симметрии Ли-Беклунда Известно, что впервые неклассические симметрии появились полвека назад в работе

Блумана Ж. и Кола Ж. [31]. Дальнейшее развитие это направление получило с 80-х годов прошлого века в работах Фущича В.И., Серова Н.И. [26]; Жданова Р.З. [60]; Сергеева А.Г. [55]; Фокаса А.С., Лью К.М. [57],[56]; Ол-вера П. [21]; Леви Д., Винтерница П. [45]; Кларксона П. [49] и многих других. Оказалось, что множество уравнений, обладающих интегрируемыми редукциями (часто называемых условно интегрируемыми), гораздо больше множества уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния или прямой линеаризацией.

Актуальность темы состоит в том, что с развитием теории условных симметрий Ли-Беклунда появляются новые возможности для нахождения решений как интегрируемых так и неинтегрируемых уравнений. Приближенные симметрии Ли-Беклунда используются для построения асимптотических решений уравнений с малым параметром.

В первой части диссертации ставится задача развития приближенных групповых методов с использованием неклассических симметрий. Основные результаты первой главы относятся к приближенным условным симмет-риям Ли-Беклунда. Конечной целью является нахождение решений уравнений в частных производных с малым параметром, в том числе неинтегрируемых уравнений, условно - инвариантных относительно приближенных операторов Ли-Беклунда. Поэтому здесь не только строятся условные симметрии Ли-Беклунда, в том числе приближенные, но также на примерах вычисляются приближенные решения неинтегрируемых эволюционных уравнений в частных производных с малым параметром.

Основу составляет предлагаемая теория приближенных условных симметрий Ли-Беклунда [11], [44]. Здесь даются основные определения и доказываются теоремы, такие как теоремы наследования классических и неклассических симметрий Ли-Беклунда, теорема о получении неклассических симметрий из классических, теорема редукции для эволюционных уравнений с малым параметром. Вся теория хорошо иллюстрируется примерами.

Во второй части диссертации рассматривается приложение методов современного группового анализа в комбинации с методом многих масштабов для построения асимптотического решения приближенного уравнения Буссинеска, которое появляется в теории поверхностных волн. Основным результатом в этой части диссертации можно считать систему уравнений, полученную на главные члены асимптотики, состоящую из потенциированных уравнений КдФ-3 и КдФ-5.

Остановимся коротко на содержании диссертации. В параграфах 1.1, 1.2 изложены основные понятия современного группового анализа.

Основы теории преобразований Ли-Беклунда были заложены в работах С. Ли [46] более ста лет назад. В этом направлении большие исследования были проведены А. Беклундом [29]. Симметрии Ли-Беклунда называются также обобщенными симметриями. Э.Нетер [51] (1918 г.) показала, что можно значительно расширить приложение групповых методов, включая преобразования производных соответствующих зависимых переменных. Обобщенные симметрии являются некоторым обобщением классических лиевских симметрий. Отсюда следует их название.

Позднее обобщенные симметрии были переоткрыты в работах Р.Л. Андерсена, Н.Х. Ибрагимова [27], где они были названы симметриями Ли-Беклунда. Это название используется многими авторами, в том числе и автором этой диссертации. Будем иметь в виду, что симметрии Ли-Беклунда и обобщенные симметрии (например, у П. О л вер а [21]) это одно и тоже.

В параграфе 1.1 дано определение локальной группы преобразований Ли, инфинитезимальных преобразований, приведена фундаментальная теорема Ли, выраже-ющая связь группы Ли с инфинитезимальными преобразованиями.

В приложениях групповой теории к дифференциальным уравнениям обычно рассматриваются группы, действующие на зависимые и независимые переменные. Предположим, что локальная группа преобразований действует на открытом множестве М С VC\ U пространства р независимых и q зависимых переменных.

С группой преобразований связан инфинитезималь-ный генератор группы, оператор X на М, заданный формулой: ол) г=1 1

Тогда п-е продолжение инфинитезимального генератора задается соотношением: ргХ™ + и(П}У^> (°-2) а=1 \J\<n J определенном на соответствующем множестве М^ С VxlP\ где < '

4>i = Dj(ipa - £ ГО + Е (°-3), г=1 »=1

Второе суммирование в формуле (0:2) ведется по муль-тииндексам J = (ji,. ,jk), 1 < jk < p, 1 < к < n, a соответствующий оператор Dj = D^D^ . ■. выражается через оператор полной производной Di [21].

Для уравнений в частных производных известен ин-финитезимальный критерий инвариантности, который утверждает, что группа допускается дифференциальным уравнением в частных производных

F(x,u,ui:u2, . ,ик) = 0 (0.4) тогда и только тогда, когда выполняется prXFy=0 = 0, (0.5) где х = {хъ ., хп), ик = щ, к - мультииндекс.

Если для уравнения (0.4) выполняется равенство (0.5), то оператор X называется точечной (классической) симметрией уравнения (0.4).

Теория симметрий Ли-Беклунда была разработана в работе Андерсена Р. Л., Ибрагимова Н. X. [27]. Теория обобщенных симметрий построена параллельно Олвером

П. [21].

Напомним известное определение симметрий Ли-Беклунда (обобщенных симметрий).

Обозначим через Л пространство дифференциальных' функций Р(хМп)) - зависящих от х1 и и производных функции и до n-го порядка (конечного, но меняющегося), гладких по всем своим переменным.- Пусть р - число независимых переменных, q - число зависимых переменных функции Р. Напомним определение оператора Ли-Беклунда, имеющего также название обобщенного век-игорного поля [21]г ~ — — ---- ----------------

Определение 0.1. Оператором Ли-Беклунда называется оператор X вида: о-б) г=1 а=1 где £г и ipa принадлежат пространству Л.

Квадратные скобки здесь означают, что функция зависит от х, и и производных функции и до конечного порядка. Продолжение оператора задается формулой (0.2) с учетом £г, <ра Е Л.

Определение 0.2. Оператор X, заданный формулой (0.6), будем называть симметрией Ли-Беклунда уравнения в частных производных (0.4), если для него выполняется равенство (0.5) при условии [F] = 0.

Основной целью, которая послужила развитию сим-метрийных методов, является нахождение решений дифференциальных уравнений. Классические симметрии, как известно, используются для получения редукций систем дифференциальных уравнений [21], [32]. Но иногда некоторые физически важные уравнения имеют мало классических лиевских симметрий. Поэтому для получения решений используются симметрии Ли-Беклунда. А для получения редукции уравнений в частных производных можно использовать как классические, так и неклассические симметрии Ли-Беклунда.

В диссертации рассматриваются канонические операторы Ли-Беклунда.

Определение 0.3. Пусть rj[u] = (771 [и],., rjq[u]) Ei9-набор дифференциальных функций. Оператор Ли-Беклунда вида называется каноническим оператором Ли-Беклунда, а т1 = г)[и], называется его характеристикой.

0.7)

Формула продолжения для канонического оператора Ли-Беклунда имеет довольно простой вид: ргХ, = . .(0.8) a,J J

Применение канонических операторов Ли-Беклунда для получения редукции уравнений в частных производных встречается в работах Ж. Блумана [32]. Оказывается, что множество уравнений (систем), обладающее интегрируемыми редукциями (часто называемое условно интегрируемыми), гораздо больше множества уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния или прямой линеаризацией [57]. Развитием этого подхода занималась школа В.И. Фущича, в частности, Р.З. Жданов [60] доказал теорему редукции для эволюционных уравнений, условно-инвариантных относительно оператора Ли-Беклунда. Определение условных неклассических симметрий Ли-Беклунда известно [60] следующее:

Определение 0.4. Оператор (0.7) называется неклассической условной симметрией Ли-Беклунда для уравнений -в частных-производных

F(x, t, и, их, щ, ихх,.) = 0, (0.9) если prXF 0. (0.10) о

Ы=о

Квадратными скобками принято обозначать все дифференциальные следствия функции по независимым переменным.

Исторически первая работа по неклассическим условным симметриям принадлежит Блуману Ж. и Колу Ж. [31]. Но свое развитие условные симметрии получили с 80-х годов прошлого века в работах Фущича В.И., Серова Н.И. [26], Жданова Р.3.[60], Сергеева А.Г. [55], Фокаса А.С., Лью К.М.[57], Олвера П. [54], Леви Д., Винтерница П. [45].

В данной диссертации рассматриваются приближенные неклассические симметрии Ли-Беклунда и их применение к получению приближенных решений эволюционных уравнений с малым параметром. Такое применение основано на использовании понятия приближенной симметрии. Именно для исследования симметрий-ных свойств дифференциальных уравнений, содержащих, малый параметр, развивалась теория приближенных групп преобразований [2]. Напомним некоторые определения из [2].

Определение 0.5. Приближеным (n-го порядка) уравнением п

----------------- --------------(«.Hi г=0 называется класс уравнений G[z,e) = 0, которые определяются функциями

G(z, е) = F0(z) + eFx{z) + . + enFv(z) + о[еп), асимптотически совпадающими до порядка о(еп).

Здесь и всюду ниже под о(еп) понимаются функции остатки) а(е), обладающие свойством

-5-0 £п

Поскольку все рассматриваемые функции зависят помимо е еще и от других переменных, то всюду считается, что асимптотические оценки остатков через о{еп) являются равномерными по остальным переменным. Такое свойство равномерности имеет место, если рассматриваются гладкие функции на компактах. При практической реализации это накладывает ограничение либо на область определения решений (вне окрестностей сингулярных точек), либо на рост решения на бесконечности. Впрочем, в первой части диссертации изучаются уравнения с малым параметром без каких-либо остатков

Приближенным решением к- го порядка точности уравнения (0.11) будем называть функцию и1 удовлетворяющую уравнению (0.11) с точностью до к - то порядка, то есть

Обычно такие функции строятся в виде отрезков асимптотических рядов и называются асимптотическими (приближенными) решениями.

F0(z)+sF1(z) =0. п к

0.12)

Приближенные симметрии Ли-Беклунда введены в рассмотрение Байковым , Газизовым Р.К. и Ибрагимовым Н.Х. в [2]. Такие симметрии определяются операторами вида хч = (°-13) где r]a « t)q+er]i+. .-\-£пг]%, г)* Е А. Под приближенным равенством понимается асимптотическое совпадение до некоторого порядка, в данном случае до еп. При этом говорят, что уравнение (0.11) инвариантно относительно оператора (0.13). Для таких операторов,. как и для точных канонических операторов Ли-Беклунда, формула продолжения имеет простой вид: prXv^Yl (0.14) a,J ^

Аналог симметрийной теории для приближенных дифференциальных уравнений был предложен Байковым В. А., Газизовым Р. К. и Ибрагимовым Н. X. [2]. В диссертации и в работах [11], [44] вводятся приближенные неклассические симметрии Ли-Беклунда на основе канонических операторов. Целью такого введения является нахождение новых решений дифференциальных уравнений с малым параметром, а также решений неинтегрируемых уравнений.

Определение 0.6. Оператор Xv (0.13) мы будем называть приближенной условной (неклассической) симметрией Ли-Беклунда (п-го порядка точности) для приближенных дифференциальных уравнений в частных производных (0.11), если п prX^^Fi) о{еп), (0.15)

Е?=о ^т]=о(еп) где 770 — характеристика точной условной симметрии Ли-Беклунда уравнения Fq = 0.

В параграфе 1.4 доказываются теоремы наследования приближенных симметрий (классических и неклассических) Ли-Беклунда эволюционными уравнениями с малым .параметром. Приведены примеры получения таких симметрий для эволюционных уравнений с малым параметром.

В диссертации и работах [11], [44] дано определение приближенного условно-инвариантного решения.

Определение 0.7. Пусть канонический оператор X^ (0.13) определяет приближенную условную симметрию. Ли-Беклунда для уравнения (0.11). Тогда приближенное решение и уравнения(0Д1), заданное формулой (0.12) n-го порядка точности, называется условно - инвариантным относительно приближенного оператора Ли-Беклун-да Xv (n-го порядка точности), если j=o

Все введенные выше понятия нужны для того, чтобы находить приближенные решения дифференциальп

0.16) ных уравнений с малым параметром. Приближенные решения получаются на основе точных решений невозмущенных уравнений. Для невозмущенных уравнений применяется теорема редукции, где используются точные условные симметрии Ли-Беклунда [60]. Исходя из этой теоремы, в диссертации в параграфе 1.5 доказана теорема редукции для эволюционных уравнений с малым параметром [11], [44].

В параграфе 1.6 приводится пример построения решений с применением теоремы редукции. Так, для уравнения, являющегося неинтегрируемым возмущением уравнения переноса, получено решение, условно-инвариантное относительно приближенной неклассической симметрии Ли-Беклунда.

Во второй главе диссертации рассматриваются приложения симметрий Ли-Беклунда и метода многих масштабов к приближенному уравнению Буссинеска. Исследованы некоторые замечательные свойства этого уравнения. Обсуждаемое здесь уравнение Буссинеска получается из системы уравнений для поверхностных волн в случае одномерного плоского движения жидкости:- —

Фхх + ^фуу = 0, хеш, 0 <у< h(x, t); (0.17) ht + hx(f)x - £~1фу = 0, при у = h(t, х);

1 1

Фг + gФ1 + 2е'1 Ф\ + 9h = 0, при у = h(t, х).

Здесь (f>(x,y,t) - потенциал скорости, свободная поверхность задается уравнением у = h(x,t); глубина невозмущенной жидкости ho = const. Уравнения дополняются условием непротекания фу = 0 на горизонтальном дне при у = 0. Для степеней производных всюду ниже используются обозначения типа фх = (фх)2, фхх = (фхх)2 и т.д.

Применение приближенных методов основано на наличии малого параметра в исходных уравнениях. В модели длинных волн на мелкой воде в качестве малого параметра 0 < г < 1 выступает квадрат отношения вертикального масштаба к горизонтальному [19].

Система (0.17) преобразуется к приближенному уравнению Буссинеска, в котором идентифицированы слагаемые до порядка о(е2). е utt ~ uzz - uzzzz + 2uzutz/S + utuzz/3

62

1 6 zz 1LzzUtzz-{- UZZUZ Г- zzzzzz b о 0 (0.18)

Уравнение (0.18) было получено в [19] с точностью до первого порядка по е. При выводе уравнения использовался подход, принадлежащий Буссинеску [33]. Уравнение было получено с точностью до второго порядка по е в [43].

В диссертации для уравнения (0.18) построено асимптотическое решение в виде u(z:t; е) = 2к th А + 2к th В + eui(z,t] е) + e2u2(z^t\б),

0.19) где k(t-z) k*et 3lk5e2t „ k(t + z) k3et 31 k5e2t

A = —--H----, В — —-4---

6 54 4860 ' 6 54 4860

Функции щ, U2, ограниченные равномерно no z, t, вычисляются явно. Функция (0.19) удовлетворяет уравнению (0.18) с точностью 0(б3), е —У 0 равномерно для всех z, t.

Для построения ассимптотического решения использовался оригинальный метод с применением канонических операторов Ли-Беккунда.

Основным результатом в этой части диссертации можно считать систему уравнений, полученную на главные члены асимптотики, состоящую из потенциированных уравнений КдФ-3 и КдФ-5. В задаче для поверхностных волн здесь впервые обнаружено появление КдФ-иерархии, которая обеспечивает построение асимптотики вплоть до времен t « е-2, где приближение КдФ-3 становится непригодным.

Именно решение иерархии КдФ приводит к указанным фазовым функциям А, В. Появление этой иерархии ~обязано виду возмущений — слагаемыхпри-б,-б2-в урав— нении (0.18). Возмущения, которые возникают из уравнений поверхностных волн в случае ровного дна, оказываются весьма специфическими. Эта специфика приводит к тому, что возмущение кинка КдФ проявляется лишь в медленном, линейном по времени сдвиге фазы без изменения амплитуды. Это также является одним из результатов данной диссертации.

В конце второй главы приведен пример использования общей теории применительно к тому же приближенному уравнению Буссинеска. Исследуется проблема наследования классических симметрий Ли-Беклунда линейного волнового уравнения в комбинации с идеями метода многих масштабов. При получении асимптотических решений уравнения Буссинеска в таком подходе возникает та же КдФ -иерархия на главные члены асимптотики.

1. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. // ВИНИТИ, 1989. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". М. - Т. 34. - С. 3 - 83.

2. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Методы возмущения в групповом анализе. // ВИНИТИ, Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". М. Т. 34. 1989. - С. 85 - 147.

3. Багдерина Ю.Ю., Газизов Р.К. Приближенно инвариантные решения дифференциальных уравнений с малым параметром. // Дифференц. уравнения., 2005. Т. 41, № 3. - С. 347 - 355.

4. Доброхотов С.Ю. Нелокальные аналоги нелинейного уравнения Буссинеска для поверхностных волн над неровным дном и их асимптотические решения // ДАН. Т. 292, 1987. - С. 63 - 67.

5. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. // М. Наука, 1983. 280 с.

6. Калякин JI.A. Асимптотика одного интеграла, возникающего в теории возмущений солитонов КдФ // Математические Заметки, Т. 50, №5, 1991. - С. 32 -42.

7. Калякин JI.A. Возмущение солитона Кортевега де Фриза // ТМФ, - Т. 92, №1. 1992. - С. 62 - 76.

8. Карпман В.И., Маслов Б.М. Теория возмущения для солитонов // ЖЭТФ. 1977. Т. 73, № 2. - С. 281 -291.

9. Киселев О.М. Возмущение уединенной волны нелинейного уравнения Клейна Гордона // Сиб. мат. ж. - Т. 41, № 2, 2000. - С. 345 - 358.

10. Кордюкова С. А. Метод многих масштабов и симметрии приближенного уравнения Буссинеска. // Межвузовский научный сборник Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания. Уфа, 2002. - С. 77 - 87.

11. Кордюкова С.А. Неклассические приближенные симметрии Ли-Беклунда. // Вестник БГУ, № 3, 2006. С. 3-4.

12. Кордюкова С.А. Метод многих масштабов для приближенного уравнения Буссинеска. // Спектральные и эволюционные задачи. Труды конференции КРОМШ-5. Симферополь, 2006. С. 76 - 80.

13. Кордюкова С.А. Иерархия Кортевега-де Фриза как асимптотический предел системы Буссинеска // ТМФ. Т. 154, № 2, 2008. - С. 294 - 304.

14. Маслов Е.М. К теории возмущений для солитонов во втором приближении. // ТМФ. 1980. Т. 42,3. С. 362 - 373.

15. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Асимптотические со-литонообразные решения уравнений с малой дисперсией // Успехи Мат. Наук. 1981. Т. 36, вып.З. - С. 63 - 126.

16. Михайлов А.В., Шабат А.В., Ямилов Р.И. Симмет-рийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. Т. 42, вып. 4 (256), 1987 г. - С. 1 - 53.

17. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989 г. - 323 с.

18. Овсянников J1.B. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск. Издательство Новосибирского госуниверситета, 1966. 132 с.

19. Овсянников Л.В. Лагранжевы приближения в теории волн. В кн. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн // Наука: Сибирское отделение. Новосибирск. 1985. С. 10 - 77.

20. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Москва, Мир. 1989. 635 с.

21. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М., Мир, 1983. 398 с.

22. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М., Наука, 1884. 520 с.

23. Солитоны. Под ред. Р. Буллаф, Ф. Кодри, Москва, Мир. 1983.

24. Фущич В.И. О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической физики // Докл. АН СССР., 1979. Т. 246, №4. - С. 846-850.

25. Фущич В.И., Штелен В.М., Серов Н.И. Симметрий-ный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики // Навукова Думка, Киев. 1989. 336 с.

26. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Backhand Transformation in Applications. Philadelphia: SIAM Stadies in Applied Mathemtics, 1979. 124 p.i it

27. Baikov, V.A., Gazizov, R.K., Ibragimov, N.H. Approximate transformation groups and deformations of symmetry Lie algebras. Chapter 2 in CRC Handbook

28. Backlund A.V. Ueber Flachentransformationen. -Math. Ann. 1876, - Bd.9., p. 297 - 320.

29. Backlund A.V. Zur Theorie der Flachentransformationen. Math. Ann. - 1882, - Bd. 19., p. 387 - 422.

30. Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solutions of the heat equation //J. Math. Mech Vol. 18, № 11, 1969. P. 1025 - 1042.

31. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equation. Springer-Verlag New York, 1989. 412 p.

32. Boussinesq J. Theorie des ondes et de remous qui se propagent de long d'un canal rectangulaire horizontal. J. Math. Pures Appl., ser. 2, t. 17, 1872. P. 55 - 108.

33. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D. and Morris H.C. Solitons and Nonlinear Wave Equations. Academic Press, London, 1984.

34. Burde G.I. On the asymptotic solutions of the KdV equation with higher-order corrections // Nonlinearity. 2005. V.18. P. 1443 - 1461.

35. Clarkson P.A., Kruskal M. New similarity reductions of the Boussinesq equation //J. Math. Phys. 30, 1989. -P. 2201 2213.

36. Debnath L. Nonlinear Water Waves. Academic Press, INC. Harcourt Brace к Company: 1983. P. 141 - 209.

37. Degasperis A., Manakov S.V., Santini P.M. Multiple-scale perturbation beyond Schroedinger equation // Physica D. 1997. V. 100. P. 187 - 211.

38. Galaktionov V.A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat condaction equations with sourse and applications // Diff. Int. Eqs. № 3, 1990. P. 863 -874.

39. Капо Т., Nisida Т., A Mathematical justification for Kotteweg-de Vries equation and Bussinesq equation of water surface waves // Osaka J. Math. 1986. V. 23, №2. - P. 389 - 415.

40. Kodama J. On solitary-wave interaction // Physics Letters A. Vol. 112, №5. 1985. P. 193 - 196.

41. Kordyukova S.A. Method of multiple scales and approximate group analysis for Boussinesq type equations // Proseedings of the International Conferens MOGRAN 2000, Ufa, USATU. P. 90 - 94.

42. Kordyukova S.A. Approximate group analysis and multiple time scales method for the approximate Boussinesq equation // Nonlinear Dynamics, Vol. 46, №1-2, 2006. P. 73 - 85.

43. S. Theorie der Transformationsgruppen. Vol. 2. B. G. Teubner, Leipzig, 1890.

44. Olver P.J., Vorob'ev E.M. Nonclassical and conditional symmetries // CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, vol. 3, N. H. Ibragimov, ed., CRC Press, Boca Raton, Fl., 1996, p. 291 328.

45. Sergyeyev A.G. Constructing conditionally integrable evolution system in (1+1) dimensions: a generalization of invariant modules approach // J. Phus. A. 2002. -Vol. 35, №1-2, p. 87 99.

46. Fokas A.S., Liu Q.M. Generalized conditional symmetries and exact solutions of non-integrable equations // Teoret. Mat. Fiz. T. 99, №2, 1994. - P. 263 - 277.

47. Fokas A.S., Liu Q.M. Exact interaction of solitary waves for certain nonintegrable equations //J. Math. Phys., 1996., Vol. 37. P. 324- 345.

48. Fushchich W.I., Zdanov R.Z. Symmetry and exact solutions of nonlinear spinor equation // Phys. Reps. 172, 1989. P. 123 - 174.

49. Fushcych W.I., Shtelen W.M. On approximate symmetry and approximate solutions of the non-linear wave equation with a small parameter //J. Phys. A.: Math. Gen., 1989, №22. P. 887 - 890.

50. Zhdanov R.Z. Conditional Lie-Backlund symmetry and reduction of evolution equations //J. Phys. A 28, 1995, №13. P. 3841 - 3850.