Приближенные алгебры Ли малых размерностей, допускаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Лукащук, Вероника Олеговна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Уфа
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
004609330
На правах рукописи
ЛУКАЩУК Вероника Олеговна
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ, ДОПУСКАЕМЫЕ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
3 0 СЕН 2010
Уфа 2010
004609330
ГОУ ВПО "Уфимский государственный авиационный технический университет"
доктор физико-математических наук, профессор Газизов Рафаил Кавыевич
доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Федорович; доктор физико-математических наук, профессор Ямилов Равиль Исламович
Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН
Защита состоится 8 октября 2010 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Учреждении российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.
Автореферат разослан " ^ " ^"^рЛ 2010 г.
Работа выполнена в
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук
У
/
С.В. Попенов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Групповой анализ дифференциальных уравнений возник в середине XIX века в работах выдающегося норвежского математика Софуса Ли. Основная цель его трудов - перенос теории Абеля-Галуа о разрешимости алгебраических уравнений на обыкновенные дифференциальные уравнения. Исследования в этом направлении привели С. Ли к созданию теории непрерывных групп преобразований, названных впоследствии группами Ли преобразований.
Благодаря доказапным С. Ли теоремам, группам Ли могут быть поставлены в соответствие алгебраические объекты - алгебры Ли. С. Ли был предложен ряд методов, которые с использованием алгебры Ли операторов, допускаемой обыкновенным дифференциальным уравнением, позволяют понизить порядок уравнения и найти его решение. В частности, им разработан метод канонических переменных, позволяющий проинтегрировать в квадратурах обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее двумерную алгебру Ли операторов. В случае, когда такое уравнение допускает трехмерную алгебру Ли, им был предложен метод нахождения интегралов.
Построение классов дифференциальных уравнений, допускающих двух-и трехмерные алгебры Ли операторов, базируется на классификациях неизоморфных структур алгебр Ли и неподобных алгебр Ли операторов. Задача классификации неизоморфных двумерных и трехмерных алгебр Ли была решена в работах С. Ли, Л. Бианки. Для алгебр Ли более высоких размерностей такая задача рассматривалась в работах Г.М. Мубаракзянова, A.B. Аминовой и их коллег. Подобие алгебр Ли операторов, а также его использование для анализа симметрийных свойств дифференциальных уравнений, рассматривалось в работах С.Ли, Л.П. Эйзенхарта, Л.В. Овсянникова, П. Винтернитца, Н.Х. Ибрагимова, П. Лича, Ф. Махомеда, М.К. Нучи, C.B. Хабирова и др.
Исследование симметрии дифференциальных уравнений показало, что добавление в уравнение слагаемых с малым параметром чаще всего приводит к разрушению допускаемой им "точной" группы преобразований. Одним из возможных способов решения этой проблемы является использование концепции приближенных групп преобразований, предложенной в работах В.А. Бай-кова, Р.К. Газизова и Н.Х. Ибрагимова. Способы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром с использованием приближенный симметрий рассматривались ранее в работах Н.Х. Ибрагимова, Ю.Ю. Багдериной, Ф. Махомеда, М. Юрусоя и др.
Данная работа посвящена построению классов дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, которые допускают приближенные алгебры Ли с двумя и тремя существенными операторами, что позволяет их приближенно интегрировать. Одновременно решаются вопросы изоморфизма и подобия приближенных групп преобразований.
Целью настоящей работы является развитие и применение методов теории приближенных групп преобразований для построения инвариантных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром. А именно, классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами, построение реализации таких приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка с двумя переменными и выделение представителей их неподобных классов, построение инвариантных уравнений второго порядка с малым параметром.
Методы исследования. При решении поставленной задачи были использованы методы классического группового анализа дифференциальных уравнений, теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, а также аппарат теории приближенных групп преобразований.
Научная новизна.
1. Проведена классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами.
2. Сформулированы и доказаны теоремы о подобии приближенных алгебр Ли операторов.
3. Выполнена классификация неподобных приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными операторами в пространстве Н2.
4. Построен общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих приближенную алгебру Ли с двумя и тремя существенными операторами.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть интересны для специалистов в области группового анализа дифференциальных уравнений и использованы, в частности, для решения задач классификации обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка с малым параметром по допускаемым алгебрам Ли приближенных операторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих школах, конференциях и семинарах:
• на II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2004);
• на 2-ой региональной зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2007);
• на международной конференции Mogran -11 "Lie group analysis in education and research"(Швеция, 2007);
• на Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007);
• на Мавлютовских чтениях: Всероссийской молодежной научной конференции, посвященной 75-летию УГАТУ (Уфа, 2007);
• на V Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2008);
• на международной конференции MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009);
• на LXIII международной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценов-ские чтения - 2010"(Санкт-Петербург, 2010);
• на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, весенняя сессия (Кисловодск, 2010);
• на семинаре Учреждения российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН. Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 15 работ, из них
статьи [12], [14], [15] в журналах из списка ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных па 12 параграфов, и заключения. Работа изложена на 110 страницах, включая 12 таблиц. В конце работы приведен список литературы, содержащий 69 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, проведен краткий обзор литературы, связанной с тематикой исследования, приведено краткое содержание глав диссертации, введены необходимые обозначения.
В первой главе проводится классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами.
Пусть U - векторное iV-мерное пространство над полем R, которое является алгеброй Ли с определенной на ней обычной операцией коммутирования. Введем в рассмотрение векторное пространство [/©£[/ = {ii(o) + : Що], U(i) малый параметр}, на котором определена операция приближен-
ного коммутирования
[ы(0) + ещ 1), У(0) + eu(i)] « [н(0), г;(0)] + е ([ы(0), г;(1)] + [«(i), %)]) •
Оно является алгеброй Ли относительно операции приближенного коммутирования. Под приближенным равенством / и д понимается f(x, е) = д(х, е)+ о(е). Операция приближенного коммутирования удовлетворяет свойствам линейности, антикоммутативности и тождеству Якоби с заменой точных равенств приближенными.
Определение 1. Линейное пространство L С U ф eU, замкнутое относительно операции приближенного коммутирования, называется приближенной алгеброй Ли.
Элементы множества L могут быть либо векторами нулевого порядка
по е
и = it(0) + eu(i), где и{0) ф О, (1)
либо векторами первого порядка по е
и = ещо), где щ0) ф 0. (2)
Пусть ех,..., ег - базис в пространстве L и любой вектор пространства может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов с константам-ми, независящими от малого параметра е. Будем рассматривать преобразования базиса, при которых операторы нулевого порядка переходят в операторы нулевого порядка, а операторы первого порядка - в операторы первого порядка. Это означает, что если среди базисных векторов имеется го вида (1) и (г — г0) вида (2), то замена базиса осуществляется по формулам
г . Г
®<ю = Е °ioeJ> «0 = 1,...,г0, ё01 = £ <7™ет, щ =г0+1,...,г, (3)
j=l ГО=Го+1
где (a!aJ, а0,1 = 1,..., г0, (а™), аь т = r0 + 1,..., г, - невырожденные матрицы с вещественными элементами, независящими от малого параметра е.
Среди множества приближенных алгебр Ли выделяются те, в которых базис определяется так называемыми существенными векторами.
Определение 2. Векторы е^..., е^ называются существенными для алгебры Ли Ьг (к < г), если линейная ободочка векторов е; и ей{, г = 1,..., А;, с постоянными коэффициентами, независящими от малого параметра, совпадает с Ьг с точностью до слагаемых второго порядка по £.
Согласно определению приближенной алгебры Ли, коммутатор двух векторов пространства Ьг является вектором этого же пространства. Следовательно, справедливо разложение
[е{, е3\ и г^,к=1,...,г,
где Су - структурные константы, независящие от е. Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Если базис такой алгебры Ли определяется существенными векторами, то при переходе к новому базису достаточно рассматривать лишь преобразования существенных векторов и их коммутационных соотношений.
Определение 3. Приближенная алгебра Ли Ь* с базисными векторами < е*ао, е*01 > изоморфна алгебре Ли Ь с базисными векторами <е„0, еа1>, ад = 1,..., го, = го + 1,..., г, если существует взаимнооднозначное линейное отображение ф : Ь —► Ь* такое, что выполняется равенство
ф ([еа„ еЬз]) « \Ф{е<ц), Ф (%)], г,3 = 0,1. (4)
Теорема 1 (критерий изоморфизма). Если приближенные алгебры Ли Ьг и Ь*, г = го + Г1, имеют, одинаковые структурные константы, то они изоморфны. Обратно, если ЬТ и Ь*, г = г о + - изоморфны, то в них можно так выбрать базисы, что в этих базисах структурные константы обеих алгебр Ли совпадают.
Пусть приближенная алгебра Ли имеет два существенных вектора. Такая алгебра может быть: а) четырехмерной с двумя существенными векторами нулевого порядка вида (1); б) трехмерной с одним существенным вектором нулевого порядка вида (1) и одним - первого порядка вида (2); в) двухмерной с двумя существенными векторами первого порядка вида (2). С точностью до замены базиса (3) доказана следующая
Теорема 2. Любая приближенная алгебра Ли с двумя существенными векторами относится к одному из семи типов.
Например, четырехмерная приближенная алгебра Ли может быть приведена к одному из трех типов, определяемых коммутационными соотношениями существенных векторов
[е\, е2] и 0; [е:, е2] и еег; [ех, е2] и ех.
Далее рассматриваются приближенные алгебры Ли с тремя существенными векторами. По аналогии с приближенными алгебрами с двумя существенными векторами, рассматривались алгебры Ли: а) шестимерные с тремя существенными векторами вида (1); б) пятимерные с одним существенным вектором (2) и двумя вида (1); в) четырехмерные с двумя существенными векторами вида (2) и одним (1). В этом случае решение задачи классификации осуществляется по следующему алгоритму: 1) перечисляются неизоморфные точные алгебры Ли, получаемые из приближенных при е = 0, и для каждой них, используя инфинитезимальный подход, строятся преобразования базиса, сохраняющие ее структурные константы, 2) с использованием приближенных преобразований, сохраняющих полученные точные алгебры, строятся неизоморфные приближенные алгебры Ли. По аналогии с точными алгебрами Ли малых размерностей1, классификация приближенных алгебр Ли проводится в зависимости от размера производной алгебры L'. Например, если в шестимерной приближенной алгебре Ли выполняется dim 11 — 1, то получены две неизоморфные приближенные алгебры Ли, определяемые коммутационными соотношениями
Ll,i '■ \е2, ез] ~ ееь [е3) ег] « 0, [еь е2] и 0;
4,2 [ег, ез] ~ 0, [е3, ег] и 0, [еь e2j «
Всего в результате классификации получено 36 типов шестимерных, 24 типа пятимерпых и 10 типов четырехмерных неизоморфных приближенных алгебр Ли с тремя существенными векторами.
Вопросы подобия приближенных алгебр Ли являются существенными при нахождении реализаций алгебр в пространстве дифференциальных операторов первого порядка от двух переменных, поэтому вторая глава посвящена установлению необходимых и достаточных условий подобия приближенных алгебр Ли.
Рассматриваются две приближенные алгебры Ли L и L* с базисными
J/]>KeKo6coH Н. Алгебры Ля. - М.: Мир, 1964. - 355 с.
операторами в пространстве К":
еХ01 и еХаЛ0) = (с'С1(0)(г)) —,
д
Ь:
а= 1,..., п, ао = 1,...,го, а1 = го + 1,...,г,
и
еХ\ » еХ\т = (еГ?,(0)(®*))
д
Ь* :
(6)
дх*а'
соответственно.
Определение 4 ■ Приближенные алгебры Ли Ь и I/ называются подобными, если существует невырожденная (при е = 0) замена переменных
переводящая операторы одной алгебры Ли в операторы другой.
Построение преобразования подобия сводится к решению системы п-г дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром вида
на неизвестные х*а. Первый шаг решения такой системы - это проверка условий полноты и совместности. Исследование полноты сводится к построению скобок Якоби всех пар уравнений системы (8), (9). Показано, что в результате вычисления скобок Якоби двух уравнений первого порядка по е могут получиться новые дифференциальные или алгебраические уравнения. Их необходимо добавить к рассматриваемой системе (8), (9). В дальнейшем предполагается, что система полна. Установлено, что необходимыми условиями подобия приближенных алгебр Ли являются условие их изоморфности и согласованности структур алгебр Ь с Ь^, Ь* с Ь*(о). Здесь предполагается, что Ь^) и
я*" = уР(аг,£) и ^(х) + еф?(х), о = 1.....п,
(7)
(9)
а,Р= 1,...,п, а0 = 1,...,г0, ах = г0 + 1,... ,г,
Ь*(0) - точные алгебры Ли с базисами < Ха^0),Ха1(0) > и < Х*а1(0) >
соответственно. Согласованность структур алгебр Ь с ¿(о) означает, что возможно выбрать базисные операторы в Ь и Ь(0) так, что структурные константы в коммутаторах операторов из Ь типа Х^ между собой и типа Х^ с еХа1 в главном порядке по е совпадают со структурными константами в коммутаторах соответствующих операторов в ¿(0).
Уравнения системы (8), (9) линейно независимы, так как получены из базисных операторов, однако могут оказаться линейно связными, то есть некоторые из них получаются как линейные комбинации других с коэффициентами, являющимися функциями от ха или х*а, Если все операторы приближенной алгебры Ь (а значит, и Ь*) не являются линейно связными, то есть гИ|£а(0)|| = г> где матрица ||£о(о)|| составлена из коэффициентов операторов < Хао(0), ХаМ >, то система (8), (9) интегрируема. То есть справедлива
Теорема 3. Если две г-мерные приближенные алгебры Ли Ь и Ь* изоморфны и 6ЫП0Л71ЯЮтСЯ условия
1) структуры алгебр Ли с операторами <Хаа^,Ха^> и <Х*ао(0), Х*а1^> согласованы со структурами соответствующих приближенных алгебр Ли с операторами (5) и (6) соответственно,
*) г9 Ы = гд |П(4 г9 |[С(0)| = гд ¡Г «(0)||, 3) гд ||С(о)|| = Т>
то Ь и Ь* подобны. Преобразование подобия зависит от г произвольных функций а\ (а:г+1,..., яп),..., Стд (ггг+1,..., х") от п — г переменных и от г произвольных функций сг\ (ггГо+1,..., ж"),..., а[ (жГо+1,..., ж") от п — го переменных.
Если существенные операторы алгебры линейно связны, то некоторые операторы Х^), Ха1^) являются линейными комбинациями с коэффициентами, зависящими от х, оставшихся операторов; аналогичное утверждение справедливо и для операторов алгебры Ь*. Если обозначить
то линейная связность означает, что ? < г и щ < го, и, следовательно, возможны случаи Го < <7 или д < г0. Рассматривается случай до < г о < д, остальные случаи являются следствиями указанного.
Выберем минор порядка qo в матрице и перенумеруем индексы
так, что будут верны соотношения
Ро(0) ~ V ро(х К Л0(О).
где ро = Яо + 1> • • •. то, Ьо = 1,..., <?о- Аналогичным образом выберем минор порядка д в матрице ||£*а(о)||' причем в силу построения этой матрицы выбранный минор будет включать в себя уже имеющийся порядка до, и для строк этой матрицы будут верны соотношения
£ Р1(0) = Ч> рД® К Ло(0) + V К ^(0).
Ло = 1,..., 9о> /11 = г0 + 1,..., т, т = г0 + ц - д0,
Р1 = т + 1,...,г, а = I,... ,д'.
Выбирая соответствующие базисные строки в матрицах ¡Сзд(о)|| и |?а(о)||' на которых располагаются миноры ранга да и д соответственно, можно выписать аналогичные соотношения и для переменных без звездочки.
Используя эти соотношения и тот факт, что решение системы (8), (9) имеет вид (7), на неизвестные функции Фо(х) и ф?(х) (а — !,...,</) вместо нее получим следующие системы уравнений:
По:
- = о.
О,
fil :
' - ^fto(i)) -foi + (C(1)'_ Йч) =
Qmth°
¿Ы*)^ + SU += По(1, W,
A,/г = l,...,9o> M." = 9o + !,-■■,ç'A = !.•■■»9o,Po = 5o + !,•••>f0,
h\ = r0 + 1,...,m,Pi = m+ 1,... ,r,m — r0 + q- qo-
Здесь многоточия обозначают дополнительные уравнения, появляющиеся при замыкании. Доказана
Теорема 4• Если две r-мерные приближенные алгебры JIu L и L* изоморфны и выполняются условия
1) структуры алгебр Ли с операторами <Ха„(о), XOl(0)> u <-^*no(0)i ^*а1(0)> согласованы со структурами соответствующих приближенных алгебр Ли с операторами (5) и (6) соответственно,
2) rg 1^(0)1 = rff||f „„(о)!. |fe(0)| = rg |[<fa(o)|| = q,
q<q*<r,
S) система алгебраических уравнений в fio совместна и не приводит к соотношениям между переменными тро* или ха, то есть выполняются соотношения
dip* df дц>
дтро\ = rg dtpo' дх = г g дх = Я
то Ь и Ь* подобны. При этом из алгебраических уравнений можно выразить $ функций, а преобразования подобия зависят от д' — 4 произвольных функций сг|+1(х9'+1,..., хп),..., <го (зУ4"1,..., хп) от (п — с/') переменных и (/ произвольных функций а* (я90"1"1,..., х"),..., сг^7 (г?0+1,..., х") от (п — <?о) переменных.
В третьей главе ищутся реализации приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными операторами в пространстве дифференциальных операторов первого порядка с двумя переменными и строится общий вид
дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих такие алгебры Ли.
Реализация приближенных алгебр Ли в И2 искалась по следующему алгоритму: а) с использованием невырожденной замены переменных
5 = Ч> Саг, у, е) « щ (х, у) + ещ (ж, у), д (у0, фр) о V = ■Ф (г, у, г) « ■фо (х, у) + ефг (х, у), д(х,у) Г ' один из существенных операторов алгебры приводится к оператору переноса; б) после подстановки существенных операторов в коммутационные соотношения, выписывается общий вид оставшихся операторов исследуемой приближенной алгебры Ли; в) с использованием замены переменных (10) выделяются представители классов неподобных алгебр Ли.
Отметим, что при построении неподобных приближенных алгебр Ли с двумя существенными операторами, по аналогии с классификацией неподобных двумерных точных алгебр Ли, в рассмотрение вводится косое произведение XV У, определяемое формулой
X V У = (Й + ей) {п1 + - (чй + ег?!) $ + • После произвольной замены переменных и произвольного преобразования базисных операторов, косое произведение остается равным (не равным) нулю, то есть множество приближенных алгебр Ли с двумя существенными операторами относительно косого произведения можно разделить на три класса
а) X V У « 0, Ь) X V У к еФй(х, у), с) X V У » Ф0(х, у) + £Фг(х, у),
где Фо(х, у) ф 0, Фа(а:, у) - некоторые функции. Доказана
Теорема 5. Базис приближенной алгебры Ли операторов в Н2 с двумя существенными векторами подходящей заменой переменных (10) может быть приведен к одному из 15 видов.
Например, показано, что существует ровно три неподобные абелевы четырехмерные приближенные алгебры Ли, то есть алгебры с коммутационным соотношением [X, У]«0, в пространстве двух переменных с существенными операторами вида
г\ д
1.1Х = —,У = х-£- при X V У ~ е2;
д дУ д 1.2 X = д-, У = е5(а:)— + х— при X V У ~ е; оу ох оу
ах ду
Для приближенных алгебр Ли с тремя существенными операторами было найдено 62 вида шестимерных, видов пятимерных и 35 видов четырехмерных неподобных алгебр Ли. Например, для шестимерной приближенной алгебры Lh с коммутационными соотношениями [Х2, X-fezXi, [Х3, Xl¡s3 ñ¡eX\ + еХч, [Xi, Хг]иО существует два неподобных класса, представители которых имеют существенные операторы вида
д д д 0 ~ d ла д „ д , . д
Для каждого из найденных типов неподобных алгебр Ли с двумя и тремя существенными операторами строится инвариантное относительно нее дифференциальное уравнение второго порядка с малым параметром е
У" « F(0) (х, у, у') + eFw (х, у, у'). (11)
Для приближенной алгебры Ли с двумя существенными операторами был выписан не только общий вид дифференциального уравнения второго порядка, но и его решение в виде у = yo+eyi + o(e). Например, инвариантное уравнение второго порядка, допускающее четырехмерную алгебру 1.2, имеет вид
у" = F{0) (х) + е {-j/V'(*)/2 - у' (№(0) + 25'(х)Р{0)) + F{1) (х)}.
Его решением будет у — уо + eyi + о(е), где уо, у\ имеют вид
W) = | F(0)(x)dxdx + xGi + С2,
Ух = -%x)(jF{Q)(x)dx + Ci) /2 +JfFl0](x)ó(x)dxdx+flF{l)(x)dxdx +xC3 +C4.
В случае приближенных алгебр Ли с тремя существенными операторами установлено 15 типов шестимерных и 3 типа пятимерных алгебр, которые не допускаются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго
порядка. Эти алгебры являются возмущениями точных алгебр: абелевой ал-д д д гебры Хх = Х2 = y~Q~i Хг — а(у)—, а"(у) ф- 0 и алгебры с операторами
v д V ■ д V 9 тт
Ai = 7—, Х2 — smx—-, Х3 = cosx—. Для них построены инвариантные
их ох ох
уравнения третьего порядка.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
1. Решена задача классификации приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами. Найдено 7 типов неизоморфных приближенных алгебр Ли, базис которых определяется двумя существенными векторами. Приведен алгоритм нахождения неизоморфных приближенных алгебр Ли, который был использован для классификации шести-, пяти- и четырехмерных приближенных алгебр с тремя существенными векторами. В результате получено 36 типов шестимерных, 24 типа пяти-мерпых и 10 типов четырехмерных неизоморфных приближенных алгебр Ли.
2. Сформулированы и доказаны теоремы о подобии приближенных алгебр Ли операторов. Доказательство теорем основано на анализе систем полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром, для которых получены условия полноты и совместности.
3. Выполнена классификация неподобных приближенных алгебр Ли дифференциальных операторов в пространстве R2. В случае приближенных алгебр Ли с двумя существенными операторами найдено 9 видов четырехмерных и 6 видов трехмерных неподобных алгебр Ли операторов. В случае приближенных алгебр Ли с тремя существенными операторами найдено 62 вида шестимерных, 47 видов пятимерных и 35 видов четырехмерных неподобных алгебр Ли операторов.
4. Построен общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих приближенную алгебру Ли с двумя и тремя существенными операторами. Выявлены случаи шестимерных и пятимерных приближенных алгебр Ли, которые не допускаются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, для них выписаны инвариантные уравнения третьего порядка.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Газизов Р.К., Ковалева (Лукащук) В.О. Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром, имеющего две приближенные симметрии // Тез. докл. II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 8-11 сентября 2004 г.). - Екатеринбург: УрО РАН, 2004. - С. 36-37.
2. Газизов Р.К., Ковалева (Лукащук) В.О. Интегрирование дифференциальных уравнений и систем второго порядка с малым параметром, имеющих две приближенные симметрии // Актуальные проблемы математики. Мат. модели современного естествознания: Межвуз. сб. - Уфа: Изд-во УГАТУ, 2004. - С. 68-76.
3. Лукащук В.О. Построение общего решения системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром // Сб. статей 2-ой региональной зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых "Интеллектуальные системы обработки информации и управления "(Уфа, 13-17 февраля 2007 г). - Уфа: Изд-во Технология, 2007. - Т. 1. - С. 303-308.
4. Лукащук В.О. Общее решение системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром // Вестник УГАТУ. - Уфа: Изд-во УГАТУ, 2007. - Т.9, №3 (21). - С. 145-149.
5. Gazizov R.K., Ibragimov N.H., Lukashchuk V.O. Integration of ODE with a small parameter via approximate symmetries: reduction of approximate symmetry algebra to a canonical form // Abstracts of International Conference Mogran - 11 "Lie group analysis in education and research"(28 May - 02 June, 2007). - Sweden, Karlskrona: BTH, 2007. - 1 p.
6. Gazizov R.K., Lukashchuk V.O. A criterion of similarity for approximate transformation groups // Abstracts of International Conference Mogran -11 "Lie group analysis in education and research"(28 May - 02 June, 2007). -Sweden, Karlskrona: BTH, 2007. - 1 p.
7. Газизов P.K., Лукащук В.О. Критерий подобия приближенных групп преобразований // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. - Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2007. - Т.1. - С. 58-59.
8. Лукащук В.О. Подобие изоморфных приближенных групп преобразований // Мавлютовские чтения: Всероссийская молодежная научная конференция, посвященная 75-летию УГАТУ: Сборник трудов. - Уфа: Изд-во УГАТУ, 2007. - Т. 5. - С. 54-56.
9. Газизов Р.К., Лукащук В.О. Классификация неподобных приближенных алгебр Ли с двумя существенными симметриями на плоскости // Мате-
матическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием (Самара, 29-31 мая 2008). - Самара: Изд-во Сам. гос. ун-та, 2008. - Ч.З. - С. 62-64.
10. Газизов Р.К., Лукащук В.О. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром с тремя существенными симметриями // Международная конференция MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений "(Уфа, 18-22 июня 2009) - Уфа: Изд-во УГАТУ, 2009. - С. 13.
И. Лукащук В.О. Неподобные шестимерные приближенные алгебры Ли на плоскости и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром // Уфимский математический журнал. -Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2009. - Т. 1, №3. - С. 97-110.
12. Газизов Р.К., Лукащук В.О. Подобие приближенных групп преобразований // Сибирский математический журнал. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010. - Т.51, т. - С. 3-15.
13. Лукащук В.О. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром с пятимерными приближенными алгебрами симметрии // LXIII Международная конференция "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2010". Материалы научной конференции (Санкт-Петербург, 12-17 апреля 2010) - СПб.: Изд-во РГПУ им. Герцена, 2010. - С. 59-63.
14. Gazizov R.K., Ibragimov N.H., Lukashchuk V.O. Integration of ordinary differential equation with a small parameter via approximate symmetries: reduction of approximate symmetry algebra to a canonical form// Lobachevs-kii Journal of Mathematics : MAIK Nauka. 2010-Vol. 31, №2. - pp. 141-151.
15. Газизов P.K., Лукащук В.О. Классификация алгебр Ли с тремя существенными векторами // Известия ВУЗов. Математика: Казань. 2010-№10. - С. 3-17.
ЛУКА1ЦУК Вероника Олеговна
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АЛГЕБРЫ Ж МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ, ДОПУСКЕМЫЕ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Подписано к печати 27.08.2010. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. я. 1,25. Усл. кр. -отг. 1,25. Уч. -изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 351.
ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 45000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12
Введение
1 Классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами
§1 Приближенная алгебра Ли.
§2 Приближенная алгебра Ли с двумя существенными векторами
§3 Приближенная алгебра Ли с тремя существенными векторами
§3.1 Шестимерная приближенная алгебра Ли.
§3.2 Пятимерная приближенная алгебра Ли.
§3.3 Четырехмерная приближенная алгебра Ли.
2 Подобие приближенных групп преобразований
§4 Реализация приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка.
§5 Система дифференциальных уравнений для преобразования подобия.
§6 Условие полноты системы.
§7 Условие совместности системы.
§7.1 Случай линейно несвязных операторов
§7.2 Случай линейно связных операторов.
3 Классификация неподобных приближенных алгебр Ли дифференциальных операторов в К2 и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром
§8 Реализация приближенных алгебр Ли с двумя существенными векторами.
§9 Реализация приближенных алгебр Ли с тремя существенными векторами.
§9.1 Неподобные шестимерные алгебры Ли.
§9.2 Неподобные пятимерные приближенные алгебры Ли
§9.3 Неподобные четырехмерные приближенные алгебры Ли
§10 Дифференциальные уравнения с малым параметром, допускающие приближенные алгебры Ли.
§11 Общий вид дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром с двумя существенными приближенными симметриями.
§12 Общий вид дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром с тремя существенными приближенными симметриями.
Групповой, анализ дифференциальных уравнений возник в середине XIX века в работах выдающегося норвежского математика Софуса Ли. Основная цель его трудов - перенос теории Абеля-Галуа о разрешимости алгебраических уравнений на обыкновенные'дифференциальные уравнения. Исследования в этом направлении привели С. Ли к созданию теории непрерывных групп преобразований, названных впоследствии группами Ли преобразований.
Благодаря доказанным С. Ли теоремам, группам Ли могут быть поставлены в соответствие алгебраические объекты - алгебры Ли. С. Ли был предложен ряд методов, которые с использованием алгебры Ли операторов, допускаемой обыкновенным дифференциальным уравнением, позволяют понизить порядок уравнения и найти его решение. В частности, им разработан метод канонических переменных, позволяющий проинтегрировать в квадратурах обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее двумерную алгебру Ли операторов. В случае, когда такое уравнение допускает трехмерную алгебру Ли, им был предложен метод нахождения интегралов.
Построение классов дифференциальных уравнений, допускающих двух-и трехмерные алгебры Ли операторов, базируется на классификациях неизоморфных структур алгебр Ли и неподобных алгебр Ли операторов. Задача классификации неизоморфных двумерных и трехмерных алгебр Ли была решена в работах С. Ли (см., например, [19], [34]), Л. Бианки (см., например, [19]). Для алгебр Ли более высоких размерностей такая задача рассматривалась в работах Г.М. Мубаракзянова [28],[29], А.В. Аминовой [1] и их коллег. Подобие алгебр Ли операторов, а также его использование для анализа симметрийных свойств дифференциальных уравнений, рассматривалось в работах С.Ли (см., например, [19]), Л.П. Эйзенхарта [46], Л.В. Овсянникова [31], П. Винтернитца [65], Н.Х. Ибрагимова, М.К. Нучи [54], П. Лича [61],
Ф. Махомеда [63], [69], С.В. Хабирова [58] и др.
Исследование симметрий дифференциальных уравнений показало, что добавление в уравнение слагаемых с малым параметром чаще всего приводит к разрушению допускаемой им* "точной" группы преобразований. Одним из возможных способов решения этой проблемы является использование концепции- приближенных групп преобразований, предложенной в работах В.А. Байкова, Р.К. Газизова и Н.Х. Ибрагимова [3], [5], [43]. Другой подход к исследованию дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривался в работах В.И. Фущича и его коллег [47], [37]. В этих работах под приближенной симметрией уравнения с малым параметром понимается точная симметрия системы уравнений, которая получается расщеплением исходного уравнения по степеням малого параметра в предположении, что решение разлагается в ряд по малому параметру. Дальнейшее развитие этого метода можно найти в работе [64].
В настоящее время приближенные группы преобразований стали хорошо зарекомендовавшим себя аппаратом современного группового анализа, используемым специалистами в области математической физики и механики. Так, например, в работах [35], [36], [45] проводится групповая классификация различных уравнений математической физики с малым параметром. Аналог теоремы Нетер для приближенных симметрий, используемый для построения законов сохранения, был получен в работе [4]. Вариационная формулировка законов сохранения с использованием приближенных симметрий приведена в работах [56], [55]. В работах [66], [67], [68] показано применение приближенного аналога теоремы Нетер для полученния первых интегралов и приближенного решения различных уравнений математической физики. В [22], [57], [62] представлен метод вычисления условных приближенных симметрий. В работах [6], [44], [60] использована комбинация методов теории приближенных групп преобразований и метода многих масштабов для построения приближенных инвариантных решений дифференциальных уравнений. В работах [59], [21], [53] развит метод ренормгруппо-вых приближенных симметрий в краевых задачах математической физики. В работе Н.Х. Ибрагимова [52]'построен аналог метода последовательного понижения порядка для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с использованием двух приближенных симметрий. В работе Ю.Ю. Багдериной [41] доказано утверждение о понижении порядка обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром, допускающего приближенную алгебру Ли, существенные операторы которой удовлетворяют условиям разрешимости.
Данная работа посвящена построению классов дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, которые допускают приближенные алгебры Ли с двумя и тремя существенными операторами, что позволяет их приближенно интегрировать. Одновременно решаются вопросы изоморфизма и подобия приближенных групп преобразований.
Целью настоящей работы является развитие pi применение методов теории приближенных групп преобразований для построения инвариантных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром. А именно, классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами, построение реализации таких приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка с двумя переменными и выделение представителей их неподобных классов, построение инвариантных уравнений второго порядка с малым параметром.
При решении поставленной задачи были использованы методы классического группового анализа дифференциальных уравнений, теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, а также аппарат теории приближенных групп преобразований.
В работе впервые проведена классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами, сформулированы и доказаны теоремы о подобии приближенных алгебр Ли, выполнена классификация неподобных приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными операторами в пространстве 1R2, построен общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих приближенную алгебру Ли с двумя и тремя существенными операторами. В работе используются следующие обозначения: е - малый параметр; равенство /(эс,е) = о{е) означает, что lim-'— = 0; под приближенным
0 £ равенством f ~ д понимается f(x,e) = д(х,е) + В выражениях вида - предполагается суммирование по повторяющемуся индексу. Все
UJb рассматриваемые функций! предполагаются дифференцируемыми достаточное количество раз и разложимыми в ряд по степеням е.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 12 параграфов, и заключения.
Заключение
1. Решена задача классификации приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами. Найдено семь типов неизоморфных приближенных алгебр Ли, базис которых определяется двумя существенными векторами. Приведен алгоритм нахождения неизоморфных приближенных алгебр Ли, который был использован для классификации шести-, пяти- и четырехмерных приближенных алгебр с тремя существенными векторами. В результате получено 36 типов шестимерных, 24 типа пятимерных и 10 типов четырехмерных неизоморфных приближенных алгебр Ли.
2. Сформулированы и доказаны теоремы о подобии приближенных алгебр Ли операторов. Доказательство теорем основано на анализе систем полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром, для которых получены условия полноты и совместности.
3. Выполнена классификация неподобных приближенных алгебр Ли дифференциальных операторов в пространстве IR2. В случае приближенных алгебр Ли с двумя существенными операторами найдено 9 видов четырехмерных и 6 видов трехмерных неподобных алгебр Ли операторов. В случае приближенных алгебр Ли с тремя существенными операторами найдено 62 вида шестимерных, 47 видов пятимерных и 35 видов четырехмерных неподобных алгебр Ли операторов.
4. Построен общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих приближенную алгебру Ли с двумя и тремя существенными операторами. Выявлены случаи шестимерных и пятимерных приближенных алгебр Ли, которые не допускаются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, для них выписаны инвариантные уравнения третьего порядка.
1. Аминова А.В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий // Изд-во Янус-К: Москва. - 2003. - 619 с.
2. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29. - №10. -С. 1712-1732.
3. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435 - 450.
4. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром // Препринт №150 Института прикл. математики АН СССР. 1987. - 28 с.
5. Байков В.А., Васильев И.В., Хабибуллин Р.А. Сращивание приближенных асимпотических групп для некоторых модельных примеров // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании. Уфа: Изд-во УГАТУ, 1999. - С. 16 - 26.
6. Газизов Р.К. Алгебраические свойства приближенных симметрий уравнений с малым параметром // Межвуз. научн. сборник. Уфа: Изд-во УГАТУ, 1999. - С. 66 - 76.
7. Газизов Р.К., Лукащук В.О. Критерий подобия приближенных групп преобразований // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа: ИМВЦ, 2007. - Т. 1. - С. 58 - 59.
8. Газизов Р.К., Лукащук В.О. Классификация алгебр Ли с тремя существенными векторами / / Известия ВУЗов. Математика. Казань, 2010-№ 10. - С. 3 - 17.
9. Газизов Р.К., Лукащук В.О. Подобие приближенных групп преобразований // Сибирский математический журнал. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010. - Т. 51, № 1. - С. 3 - 15.
10. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных // ОНТИ ГТТИ: Ленинград, Москва, 1934. 360 с.
11. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964. - 355 с.
12. Дубровин Б.А., Новиков С.А., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986. - 760 с.
13. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. - 48 с.
14. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи математических наук 1992. - Т. 47, вып. 4(286). - С. 84 - 144.
15. Ибрагимов Н.Х. Опыты группового анализа // Новое в жизни, науке,технике. Сер."Математика, кибернетика" 1991. - № 7. - 48 с.
16. Ковалев В. Ф., Ширков Д. В. Ренормгрупповые симметрии для решений нелинейных краевых задач // Успехи физических наук. 2008. - Т. 178, № 8. - С. 849 - 865.
17. Кордюкова С.А. Иерархия Кортевега-де Фриза как асимптотический предел системы Буссинеска // Теоретическая и математическая физика. 2008. - Т. 154, № 2. - С. 294 - 304.
18. Лукащук В.О. Неподобные шестимерные приближенные алгебры Ли на плоскости и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром // Уфимский математический журнал. -Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2009. Т. 1, № 3. - С. 97 - 110.
19. Лукащук В.О. Общее решение системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром // Вестник УГАТУ. Уфа: Изд-во УГАТУ, 2007. - Т. 9, № 3 (21). - С. 145 - 149.
20. Лукащук В.О. Подобие изоморфных приближенных групп преобразований // Мавлютовские чтения: Всероссийская молодежная научная конференция, посвященная 75-летию УГАТУ: Сборник трудов. Уфа: Изд-во УГАТУ, 2007. - Т. 5. - С. 54 - 56.
21. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1963. - № 1. - С. 114 - 123.
22. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1963. - № 3. - С. 99 - 106.
23. Овсянников Л.В. Аналитические группы. Новосибирск, 1972. - 237 с.
24. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.
25. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО РАН, 1966. - 240 с.
26. Поптрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. - 520 с.
27. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука, 1966. - 496 с.
28. Тонконог С.Л. Об уравнениях динамики неньютоновской жидкости, движущейся с проскальзыванием относительно ложа // Изв. вузов. Ма-тем.:Казань. 1997. - № 10. - С. 67 - 74.
29. Тонконог С.Л., Эскин Л.Д. О точности приближенных симметрий урав1 нений динамики неньютоновской жидкости и их инвариантных решениях. I // Изв. вузов. Матем.: Казань. 2003. - № 8. - С. 53 - 62.
30. Фущич В.И., Штелен В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова Думка, 1989. - 336 с.
31. Хабиров С.В. Методы теории групп Ли-Беклунда в математической физике // Диссертация на соиск. уч.ст. д.ф.-м.н. Уфа: 1990. - С. 116 -122.
32. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940. - 396 с.
33. Эйзенхарт JI.П. Непрерывные группы преобразований. М.: Иностранная литература, 1947. - С. 94- 99.
34. Bagderina Yu.Yu. Sollution of ordinary differential equation with a large Lie symmetry group // Nonlinear Dynamics. 2002. - Vol. 30. - P. 287 - 294.
35. Bagderina Yu.Yu. Number of invariants of multi-parameter approximate transformation group // Proceedings of the International Conference "MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium" Ufa: USATU, 2001. - P. 16 - 20.
36. Baikov V.A., Ibragimov N.H. Continuation of Approximate Transformatior; Groups via Multiple Time Scales Method // Nonlinear Dyn. 2000. -Vol. 22, № 1. - P. 3 - 13.
37. Bokhari A.H., Kara A.H., Zaman F.D. Exact solutions of some general nonlinear wave equations in elasticity // Nonlinear Dyn. 2007. - № 48. - P. 49 - 54.
38. Eisenhart L.P. Equivalent continuous groups // Annals of Math. 1932. -ser. 2, 33. - P. 665 - 670.
39. Pushchich W.I., Shtelen W.N. On approximate symmetry and approximate solution of the non-linear wave equation with a small parameter // J.Phys.A: Math.Gen. 1989. - Vol. 22. - P. 887 - 890.
40. Gazizov R.K. Representation of general invariants for approximate transformation groups //J. Math. Anal, and Appl. 1997. - Vol. 213, № 1. - P. 202 - 228.
41. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equation // John Wiley and Sons. 1999. - 348 p.
42. Ibragimov N.H., Kovalev V.F. Approximate and Renormgroup Symmetries // Higher Education Press, Beijing and Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg. 2009. - 144 p.
43. Ibragimov N.H., Nucci M.C. Integration of third order differential equastions by Lie's method equastions admitting three-dimentional Lie algebras // Lie Groups and Their Appl. 1994. - № 1. - P. 49 - 64.
44. Ibrar Hussain, Mahomed F.M., Asghar Qadir Approximate Noether symmetries of the geodesic equations for the charged-Kerr spacetime and rescaling of energy // Gen Relativ Gravit. 2009. - Vol. 41. - P. 2399 -2414.
45. Johnpillai A.G., Kara A.H. Variational Formulation of Approximate Symmetries and Conservation Laws // International Journal of Theoretical Physics. 2001. - Vol. 40, №. 8. - P. 1501 - 1509.
46. Kara A. F., Mahomed F. M., Qu Changzheng Approximate potential symmetries for partial differential equations // J.Phys. A. 2000. - Vol. 33.- P. 6601 6613.
47. Khabirov S.V. Classification of three-dimentional Lie algebras in И3 and their second-order differential invariants // Lobachevskii Journal of Mathematics : MAIK Nauka. 2010. Vol. 31, № 2. - P. 152 - 156.
48. Kovalev V.F. Approximate Transformation Groups and Renormgroup Symmetries // Nonlinear Dyn. 2000. - Vol. 22. - P. 73 - 83.
49. Kordyukova S.A. Approximate Group Analysis and Multiple Time Scales Method for the Approximate Boussinesq Equation // Nonlinear Dyn. 2006.- Vol. 46. P. 73 - 85. .
50. Leach P.G.L. Equivalence classes of second-order ordinary differential equations with only a three-dimentional Lie algebra of point symmetries and linearisation // J. of Math. An. and Appl. 2003. - Vol. 284. - P. 31 -48.
51. Mahomed F.M., Changzheng Qu. Approximate conditional symmetries for partial differential equations // J.Phys.A: Math. Gen. 2000. - Vol. 33. -P. 343 - 356.
52. Mahomed F.M., Leach P.G.L. Lie algebras associated with scalar second-order ordinary differential equations //J. Math. Phys. 1989. - Vol. 30. -P. 2770 - 2777.
53. Pakdemirli M., Yurusoy M., Dolapci I. T. Comparison of Approximate Symmetry Methods for Differential Equations // Acta Applicandae Mathematicae. 2004. - № 80. - P. 243 - 271.
54. Patera J., Winternitz P. Subalgebras of real three- and four-dimensional Lie algebras // J. Math. Phys. 1977. - Vol. 18, № 7. - P. 1449 - 1455.
55. Unal G. Periodic Solutions and Approximate Symmetries // Nonlinear Dyn.- 2000. Vol. 22. - P. Ill - 120.
56. Unal G. Approximate First Integrals of Weakly Nonlinear, Damped-Driven Oscillators with One Degree of Freedom // Nonlinear Dyn. 2001. - Vol. 26.- P. 309 329.
57. Unal G., Gorali G. Approximate First Integrals of a Galaxy Model // Nonlinear Dyn. 2002. - Vol. 28. - P. 195 - 211.
58. Waho Soh, Mahomed F.M. Reduction of order for systems of ordinary differential equations // J. Nonl. Math. Phys. 2004. - Vol. 11, № 1. -P. 13 - 20.
