Приближенный групповой анализ нелинейных моделей механики сплошных сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М. В. КЕЛДЫША АКАДЕМИЯ НАУК СССР

На правах рукописи

БАНКОВ Виталий Анварович

УДК 517.958:517.957

ПРИБЛИЖЕННЫЙ ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

01.01.03— математическая физика

А Ь Г О Н Ь Ф I. 1' А Г

диссертации на соискание ученой пенсии доктора физико-математических наук

Москва— 1»яи

/ ■ ■ / • •.

' ЭХ/ у '

к - • .•

Работа выполнена в Уфимском ордена Ленина авиацпом нэм институте им. Серго Орджоникидзе.

Официальные оппоненты: В. А. Галактионои — доктор физико-математических наук; |

Ю. Н. Павловский — доктор физико-математических наук, про- -фессор;

Б. Ю. Стернин —доктор физико-математических наук, профессор.

Ведущая организация — Казанский государственный университет.

Защита состоится «_»___1991 г. и__час.

на за-сдании специализированного Совета Д 002.40.03 при Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР.

/2

Автореферат разослан «__ »—_199 0

Ученый секретарь специализированного Совета,

д-р физ.-мат. наук / Ь. И. Л ЕВАНОВ

• ! ~ з -

' • ОБЩАЯ ХАРАКГЕШСТИКА РАБОТЫ

*-!'-•■■.-Г-Актуальность проблемы. Исследование различных механичес-""кшсГ физических и т.п. процессов проводится обычно на базе • простейших модельных'представлений. Современные методы группового анализа позволяют выделить среди всех этих моделей (обычно записываемых в ввде систем дифференциальных уравнений) модели, замечательные по своим свойствам симметрии. Знание допускаемой группы преобразований может быть использовано для построения инвариантных решений, законов-сохранения, выяснения вопроса об эквивачентности систем дифференциальных уравнений и т»п.

Исторически теория точечных непрерывных груш преобразований бета сформулирована С.Ли при развитии им теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие группового анализа в приложении к дифференциальным уравнениям связано с работами Л.В.Овсянникова, в которых б то начато систематическое изучение применения групп Ли к анализу структуры множества решений дифференциальных уравнений. Затем Н.Х.Ибрагимовым была построена замкнутая теория групп Ли-Бек-лунда, которая позволила находить все локальные (точечные я неточечные) симметрии.

При более детальном исследовании процесса необходимо учитывать дополнительные факторы, которые были опущены при рассмотрении в рампах простейшего модельного представления. Учет этих различных дополнительных факторов приводит к иерархии моделей, кадцая из которых учитывает какие-либо дополнительные факторы. Применение классических методов группового анализа к этим моделям обычно дает более узкую группу преобразований, чем для случая простейшего модельного приближения. Хотя зачастую эти дополнительные факторы малы, однако учвт даже "малых" поправок в дифференциальном уравнении разрушает первоначально допускаемую группу, что во-многэм сшшает эффективность теоретико-групповых методов. Этим и вызвана необходимость разработки праблляэнных Методов группового анализа, пригодных для построения симметрии, устойчивых относительно малых возмущений дифференциальных уравнений. На актуальность

этой задачи обращал внимание Л.В.Овсянников. Однако синтеза теории непрерывных групп с теорией возмущений до последнего времени но происходило.

Целью работы является разработка теории приближенных од-нопараметрических групп преобразований и оо применение для построения приближенных симметрия, решений и законов сохранения различных дифференциальных уравнений, используемых в механике сплошной среды.

Научная новизна. В..диссертации заложены основы нового научного направления - приближенного группового анализа дифференциальных уравнений о малш.1 параметром. Получены следующие новые результаты;

1. Введено понятие приблиаенной группы преобразований, доказана теорема Ли для приближенных групп преобразований, введен критерий приближенной инвариантности уравнений.

2. Изучены приближенные симметрии ряда дифференциальных уравнений с малым параметром,- описывающих процессы одномерной и многомерной фильтрации жидкости в пористой среде. Построены приближенно инвариантные решения.

3. Доказан аналог теоремы Нетер для приближенных симмет-рий, позволяющий отроить приближенные законы сохранения по приближенной группе непрерывных преобразований. Построены примеры приближенных законов сохранения для многомерных волновых уравнений. .

4. Показано полное наследование (с точностью до о(£) ) уравнением типа Буссинеска всех симметрия линейного волнового уравнения, а из приближенных сишетрий уравиешш Буссинеска получены симметрии уравнения Кортевега-де Фриза. Доказаны теоремы о полном наследовании (с любой степенью точности) широким классом эволюционных уравнений симмотрнй уравнения переноса.

5. Показана возможность дальнейшего развития теории при-ближоннкх групп преобразований введением дополнительных преоб-разовпшш, изменяющих малый параметр, Построены примеры.

6. Исследованы групповые свойства и пространственно-временные структуры краевых 3 -режимов для уравнения

двухфазпой фильтрация. Полученные теоретические .результаты хорошо согласуется с результатами проведенных экспериментов.

Практическая ценность работы состоит в разработке основ теории приближенных групп преобразований, которая конструктивно применяется для вычисления приближенных сишетрпй, приближенно инвариантных решений л законов сохранения дискбвренцч-алышх уравнений, используемых в различных разделах механики многофазных сред. Полученные результаты могут бить использованы для исследования моделей, описывающих различные физические, механические, биологические и т.п. процессы.

Апробация шботк. Результаты роботы докладывались и об-суэдатась на многочисленных конференциях л семинарах, в частности, на:

- 17 Всесоюзной конференции по механике аномальных систем (Баку, 1986);

- Всесоюзных семинарах по применению методов прикладной математики и средств воткслителыюй техники в бурении и нефтедобыче (Гелендтак, 1984, 1986);

- Всесоюзных конференциях по гидравлике буровых и ташонашнх растворов (Ивано-Франковск, 1984, 1588);

- Всесоюзных школах-семинарах по проблема?, { трубопроводного транспорта (Уфа, 1983, 1984, 1986,-1988);

- Ш Всесоюзном семинаре по современным проблема!.! теории фильтрации (Москва, 1583);

- Всесоюзных коллоквиумах "Современный групповой анализ" (Ленинград, 1987, Баку, 1988, Красноярск, 1989);

- Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Тсоретичес-кио и прикладные проблемы вычислительной математики и математической' физики" (Одесса, 1987);

- Международном семинаре "Симметрия структур" (Будапешт, 1989);

- Школе-семинаре "Математические методы в механике" (Новосибирск, 1989);

-Семинаре "Ластика неоднородных сред" (Новосибирск, 1990);

- Семинарах ¡.Ьсковского государственного университета под руководством профессора НЛ.дбрэгнмова (Москва, 1989, 1990);

- Семинарах отделений физики и математики Грейфсвальдского университета (ГроЗфсвальд, ГДР, 1990).

Публикашгс. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе две объемом более пяти печатных листов.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 241 страницу включая 14 риоунков и 3 таблицы. В конце работы приведен список литературы, содержащий 123 наименования.

КРАТКОЕ СОДШАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ по исследуемой теме и ее современное состояние. Обосновывается актуальность рассматриваемой проблемы и излагаются основные результаты диссертации.

Изложению основ теории приближенных груш преобразований (оимматрий) уравнений с малым параметром посвящена глава I. В § I вводится определение приближенной группы, доказывается теорема Ли о приближенных группах преобразований и строятся примеры приближенных групп преобразований.

Определение. Преобразования

эс'*.^ (зс4е,а>

образуют однопараштркческую приближенную локальную группу относительно параметра О. , рассматриваемого в достаточно малой окрестности нуля й , если:

2°. для всех а , В , а+6 £ А (({(х,е,а),е,В) *

3°. Если для всех X , то й = 0 .

Теорема. Пусть функция Р&) удовлетворяет приб-лккшшш групповым свойствам (см. определенно) и пусть задано ю касательное векторное поле

? да

а-0

Тогда функция О.) удовлетворяет приближенной зада-

че Коши

ь?{*аЕЛ) *)(?(*,е.сВл),

Обратно, для любой гладкой функции ^ , приближенно -не равной нулю, решение приближенной задачи Коши

"Ча-О -1

определяет приближенную однсиараметрическую группу с групповым параметром О. .

Здр.съ та развивается инфшгатезимальноз описание приближенных Орионараметрнчоских групп преобразований. В § 2 вводится понятие приближенной инвариантности уравнения. Определение. Система приближенных уравнений

' О р _

Г (*,£) = 0(£ ) , I)-/,«. .

называется инвариантной относительно приближенной группы преобразований X я: £С■ЭС,£,О.) , если

а),£) = <?(/).

Важной задачей, тесно связанной с приложением теории групп, является задача об отыскании групп преобразований, .

допускаемых уравнениям. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема о критерии приближенной инвариантности.

Теорема. Пусть функции р'(х,0 , 0 = 1,11 аналитические по совокупности переменных I , £ , удовлетворяют условию

гагьй р (ас, О Л

Р(х,0)-0

= п.

где

Г гас.0) =

ЭР (Х,£)

ах1

Для того, чтобы система приближенных уравнений *-, 0 Р

Р (Х,£) = 0(£ )

была инвариантна относительно приближенной группы преобразований •

с инфинитвэймальным оператором

»'-Ми

необходимо п достаточно выполнения условия

ХР^О

Р\Х(£) = 0С£Р)

Далее выписывается система определяющих уравнений и рассматриваются некоторые примеры.

В § 3 рассматривается продолжение приближенных точечных преобразований на производные и формулируется критерий приближенной инвариантности дифференциальных уравнений с

малым параметром.

В главе П теория приближенных симметрия применяется для вычислений симметрий конкретных уравнений, построения приближенно инвариантных решений и приближенных законов сохранения.

Из системы определяющих уравнений видно, что если возмущенное уразпенио

Г.-^.о

приближенно допускает инфияитезимальный оператор

X = Х°+ £ Х-,

то оператор X , с необходимостью допускаемый невозмущен-иым уравнением F^ = 0 , "наследуется" возмущенным уравнением, т.е. продолжается до оператора Х = Х + £ X при-блияенной симметрии этого возмущенного уравнения (см. таблицы § 4 и § 6). Если такое наследование происходит, то будем называть оператор X (а также порождаемую им группу), устойчивой симметрией уравнения (^ = 0 . В § 4 рассматривается уравнение вида

VtffM + cxy/ra))^],.

с малым параметром £ , описытзакщео, например, фильтрацию жидкости в трещиноватой среде с медленно меняющимися по пространству параметрами трещиноватой среды. Для этого уравнения viio функциям £(Ц) и f(U.) проводится групповая классификация по приблгпннным сишотриям первого порядка точности. Приводятся примеры приближенно инвариантных решении, иллгастрпрукдие влияние слабой неоднородности среды на различные процессы. В § 5 рассмотрены стационарные решения уравнения фильтрации в нелинейных неоднородных среда?:. Показано, что при прочих равных условиях расход зависит от направления движения.

В 3 6 проведена группопля классификации многомерных

- 10 -

уравнений фильтрации с релаксацией по потоку:

= (|(и)ах)х + + (Ьтиг)г .

Результат .этой групповой классификации суммирован в таблице, где приведены случаи £=0 , ¿~) , 1 , из которых видно, какие симметрии устойчивы относительно "возмущения" уравнения. В § 7 приведены точные и приближенные преобразования, не являющиеся-точными или приближенными преобразованиями эквивалентности, но сохраняющие вид уравнения. Рассматривается, в частности, уравнение

Ци +(к{и)иг)г .

Если'хотя бы'одна из функций , ^ , (ь не постоянна, то существует преобразование, не являющееся преобразованием эквивалентности. Например, если , то такое преобразование имеет вид:

Т=£ , оЫ , , 2-2, й=Р(и) = 1£(и)с1ц..

Это преобразование переводит первоначальное уравнение в где

ш

- функция, обратная Пи) . Аналогично рассматриваются и приближенные преобразования.

В § 8 приведены примеры приближенно инвариантных решений указанного уравнения. Например для уравнения

нриблш'.онно инвариантное решение, построенное с использованном приближенно (с точностью до 0(£) ) допускаемого

оператора

имеет вид

-2/е 1

и-t (f-^lfd).

Б § 9 вводятся сишетрин, преобразующие малый параметр £ , а именно, £ рассматривается "наравне" с независимыми переменными ^ , ос .... . При составлении определяющего уравнения £ играет роль обычной независимой леремон-

метрий и,кроме того, дает новые возможности построения приближенно инвариантных решений.

В § 10 доказан аналог теоремы Нетор, позволяющий строить приближенные законы сохранения для дифференциальных уравнений 'с пачым параметром по допускаемой приближенной группе преобразований.'

Теорема. Пусть уравнение Эйлера-Лаграняа

ной. Такой подход позволяет расширить класс устойчивых сим-

Ы = U.

StL^ ~ âu.01

T)L( M ) V 1 Щ!

прпблнленно инвариантно относительно приближенной группы с оператором

- 12 -

Тогда, если о Некоторым вектором В выполняется условие приближенной инвариантности дог'твия Jícjx

X^-0L(y-)=D¿(61)+ oií*3) г

то вектор

i

удовлетворяет закону сохранения

в силу уравнения Эйлера-Лаграижа. Применение теоремы проиллюстрировано на нескольких примерах. В частности, уравнение ■ -

допускает приближенно (с точностью до 0(£) ) оператор

-U'.flt'.xV)]^-,

.'-•огда соответствующий приближении;: закон сохранения имаот вид

\{ e£t{-1( u( ♦uj) - ttt (i и * | Аги - 2Íxu^2t у

ч-Dij (e£t{{y ) + ttjj Uu ♦ и

В главе Ш рассматриваются симметрии уравнений, описывающих волновые процессы в длинноволновом приближении. Исходя из точных симметрия л1шойного волнового уравнения строятся приближенные симметрии уравнений типа Буссинеска и'получающиеся из mix симметрии урав?:ения Кортовега-де Фриза.

В § II рассмотрена система уравнений газожидкостной среды, из которой в длинноволновом приближении получено уравнение Дуссинеска и далее в одновэлновом прпближошш - уравнение Кор-тевега-де Фриза.

В § 12 находятся приближенные (с точностью до 0(0 ) симметрии уравнения

U^-eI^Dj if [а] = О,

где' tpTU.] произвольная функция переменных X , у , U , Чх , U.y ,..., а само уравнение является обобщением уравнения Еус-слнеска в том смысле, что лишь при определенной конкретизации функции ф[и.] получаются известные уравнения Еусоннеояа. Получено, что все симметрии

о Э

Х°= [ С а ♦ f (а, а„, и.20,.... )* g( i, , ■и02,...) ] ...

V

уравнения U.x= 0 наследуются в виде приближавши спммет-рий *

- 14 -

уравнением ; и.^-£ Х^]! I р[и]- О , где Л. определяется соотношением

§ 13 посвящен получению симметрия уравнений Кортевега-да Фриза из приближенных скшетрий уравношш Буссинеска. Центральным моментом здесь является вводенио мадлешшх переменных (времени или координаты £ ^ ), Допускаемый оператор, в отличие от допускаемого оператора в § 12, зависит уже и от медленной переменной. В этом случае также все симметрии уравнения 4x^ = 0 наследуются уравнением Буссинеска

где ф рассматривается теперь как произвольная функция

, -У- , ^ю . . ^ В ви-

де приближенной симметрии

К-Сотф-С^т)^-...-^^-^ Лф.

Переход от уравнения Буссинеска к уравнению Кортевега-де Фриза осуществляется при наложении дифференциальной связи, например, Ну = 0 . Выделены вез симметрии уравнения Буссинеска, которые оставляют инвариантным уравнение

- Iii -

^•tj ö , Оказалось, что omi удовлетворяют определяющему уравнению для нахождения симметрии уравнения Кортевега-де Фриза.

В § 14 получоно приближенное преобразование Беютупда,

связивающее уравнение с уравнением ^ху ~ ^ Ас (Дг

ip[U.]) = ö . Это позволило по формулам порохода вида U.-

я 1Г+ связать (с точностью до 0(£) ) симмет-

рип линейного волнового уравнения и приближенные симметрии уравнения ¿уссинеска, но рожая определяющие уравнения. Приближенное преобразование Ееклунда использовано для построения приближенных решений уравнений Бусспнпска из решений линейного волнового уравнения. В частности, для газожидкостных систем

+ u.(u.(0 + aO()]

и приближенное paaGimo ураы.юн:1я Буссшгеска, полученное из общего рз'чония линейного волнового уравнения V=d(X/1)*-

с помочью приближенного преобразования Беклунда

U. » V -I ip С V ] , имеет вид

U.«=e({XJT)+p(yjr)+ | [-у (с/т- -rfxxxЬ

Если фупгонш d и р ограничены вместе со своими производными, то полученное решение может быть, по-видимому, разномерно пригодным лазь при условии, что ф,/нкщш d

и р эволюционируют по Т в соответствии с потенцииро-ванши.от уравнениями líoртовега-до Фриза.

В § 15 выведе1ш уравнения Буссинеска с перзменнш.и коэффициентами, опнсывсюшио волновые движения газожидкостных сред с плавно меняющимся по пространству газосодоржанпом. Получено приближенное преобразованга Геклунда, связывающее это уравнение с линейным волног:г.: уравнением.

3 § 16 с помощью приближенного преобразования Ъеклунда анализируются решения уравнения Еуссллеска, Как условие сокращения секулярнах членов в преобразовании Ееклунда получены уравнения типа ¡¡орговога-де ¿ризо с источником. Далее анализируются решения пэлучсшкгс уравнений для рамичпих. волновых процессов. Получено, что неоднородность газосодержания может приводить к усилению волн давления.

В главе ГУ исследуется класс эволюционных уравнений

ища

U4- U., + £. И ,

где Воо - произвольная :Г.ун!;цлл, а Н

произвольшы элемент пространства ^ диМ^ранци-альных функций. В главах П и Ш ючазапо, что не всяк-.:;'; оператор, допускаемый невозмулзнннм уравнением, наследуется возмущенны;.! уравненном в виде приближенной, симметрии. Полное наследование всей группы новозмукюннэго уравнения, по-видимому, происходит в пскличитольных случаях. Такое наследование происходит в ¡лассо эволюционных уравнени."*, вппи-сан;шх выше. Особенностью уравнения донного класса является'тот 'Г^кт, что он;: приближенно наследует все симметрия простейшего уравпония переноса = V1ГХ .

§ 17 носит гопэмогатолыш;! характер. В'гзм построена

алгебра Ли-Геплунда операторов X = » ?°е' •

допускаешх невззмущзнншл уравненном К(и.)114

Наряду с стакетряямя Ли-^еплундг. построены олоратэрн ре-куррешг-И •

В § 18 доказала теорома об устойчивости симметрий урав-Н9Ш1Я и.|. = РКП) и, . Доказано, что все сншетрии уравнения = П рИиЛИ'.'О нно наследуется (с любой степенью точности) уравнением Я(и.)о1 + £Н и реализуется для него в виде приближенных сишотрлй

В § 19 доказана теорема, утверждающая, что существует приближенное преобразованип Токлунда

¿»1

которое связывает ур:а>иоипо 1Ц - Я (Ц.)И( + £ Н с уравнением = ^(17)1/, , Далее по формуле перехода, связывающей симметрии этих уравнении, вычислены (с точностью до 0(£г) )

прибли:::ешше симметрии уравнений Лэртовога-де Фриза ^ = = на, ■< £1Ц и Вгфгерса-^Сорто^ога-до Фриза • ^ + Ц.+ + ' £(Ц.и.2 + 8 и>2) . При условии обрыва ряда приближенные

симметрии X =21 £*" ^ + ... , переходят в известные сим-

ио аа

метр:ш Ди-Еоклунда. Проанализированы некоторыо приближенные решения.

В § 20 рассматриваются возмущенные уравнения 1<ортевега--де ^рдза

1^ = Ы.1Ц + 1Ц + £ й , К ,

и находятся такие № , при которых даипоо уравнение наследует все симметрии новозиущенного уравнения

1ТА= * vъ .

- 18 -

Для этого рассматриваются точечные преобразования вида

, у(1,зс,и.), т/ъи+гФС+ли.),

связывающие эти уравнения. Получено несколько видов функции й , для аоторих сущэствует такое преобразование. Построены приближенно инвариантные рзиаш-я прибликенного уравнения Кортовега-де $риза,

В главо У исслодуются мстастабильпые локализованные состояния, возникающею в различных задачах механики сплошных сред,

В §.21 выведены уравнения и проведена групповая классификация уравнении, описывающих фильтрацию баротропной кости, взаимодействующей с пористо!: средой, в■трещиноватой .средо в одно-, двух-и трехмерных случаях. Уравнения выведены в рамках диффузионного приближения в предположении, что межфазны:; массообмзн определяется лишь присутствием активного компонента и имеют в;щ

шр^ = ¿1\х (уюс! р) + р (с),

Результаты групповой класск'жкацяд сэодзш в таблицу.

В § 22 проанализировали локализованные структура, возникающие в рамках данной модели и развивающиеся в ролаю с обострением (аналоги Э -рзгзьмов для уравнения теплопроводности). Показано, что возмогло существование метастабилышх локализованных структур, развивающихся на фундаментально" длине и при краевых рзтл'.мах с обострение:,!. Елмяпие массообт мена в случае краевого рэглма с обострением мэлет приводить к существенному изменению зоны ирадтпопеияя флплда.

3 § 23 для уравнения, которое внводоно в рамках того же модельного приближения, что ив § 21, но для случая неравновесной фильтрации с реологически законом

v-A^VTip'1-^),

исследовали решения, описывающие аналоги краевых S -режимов. Полученные решения описывают локализованные структуры, опро- . деленные л!зль на конечном временном интернате.

В § 24 в рамках теории двухоазкой фильтрации анализируются метастабшгьные локализованные структуры, возникающие при граничных режимах с обострением. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие различные режимы с обострением ( ¿S S-, HS --режимы). Подробно анализируются решения, описыг.ащие процессы, при которых одна из фаз• фильтруется в S -ре;яшо. Получены "стабильные" структуры, которые в отличие от стандартных краевых режга.гав с обострением, существующих до времени обострения, существуют бесконечное время. Для проведения количественных расчетов был рассмотрен специально подобранный модельный прж.гер и для него получены рэшонля, описыващие процесс фильтрации одной из фаз в S -per.sn.ra. Сравнение с экспериментальными данными дало неплохое совпадение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссортащга.

- Заложены основы теории приближенных групповых преобразований. Введено понятие приближенной группы преобразований, где в отличие от классической теории в преобразования входит малый параметр, а сами групповые преобразования осуществляются приближенно. Доказаны аналог теоремы Ли для приближенных групповых преобразований и критерий приближенной инвариантности уравнений относительно непрерывных приближенных групп преобразований, позволяющие использовать инфинитези-I,ильную технику исследования. Соответствующие групповно преобразования восстанавливаются как решения уравнений Ли для приближенных груш преобразований.

- С помощью разработанного и.чфшштозимального алгоритма проведопа групповая классификация ряда дифйсренцп-алышх уравноии!:'с малым параметром, оппсывагащх процессы одномерной и многомерной фильтрации ролаксирукпял жидкости в пористой среде. Проанализирована устойчивость симметрии этих дифференциальных уравнений относительно "малых" возмущении. Построены приближенно инвариантные решения.

- Предложен конструктивный метод построения приближенных симмотрий, прообразующих малий параметр, который рассматривается "наравне" с независимыми переданными. Этот подход позволяет расширить класс устойчивых симметрии дифференциальных уравнений и дает новые возможности для построения приближенно инвариантных реаопки.

- Доказан аналог теорош Нет-ер для приближенных симметрии, позволяющий строить приближенные законы сохранения по приближенной группе непрерывных преобразований. Построены примеры приближенных законов сохранения.

- Изучены некоторые классы дифференциальных уравнений, у которых происходит полное наследование всех симметрии нулевого приближения "возмущенным" уравнением. Показано, что все точные симметрии линейного волнового уравнения полностью наследуются (с точность') до 0(6) ) уравнениям:; типа Буссинеска. В частности, показано, что при переходе

от уравнений типа Еуссжнеспа к эзолжциожш.п/ уравнениям -типа Кортевега-де Фриза но Происходит полного маслочования симметрия. Доказаны теорема о.полном наследовании (с л?л<1оМ степенью точности) широким классом оволоционннх уравнении сишстри:! уравнения переноса л теорема о линеаризации эволюционных уравнений (в частности, Кортевега-дз Фриза) в линейные уравнения первого порядка.

- Проведена групповая классификация и проанализированы решения тина режимов обострения для некоторых моделей фильтрации. Для двухфазной фильтрации сравнение теории с экспериментом дало неплохое совпадение.

Оснозныо результаты диссертации опубликованы']! следующих работах.

1. Образование локализованных структур при безпнерционных течениях двухфазных сред // Колебания и волны в механике сплолно:: среды. - Горьки!;: Изд-во Горьковского политех. пн-та, 1289. - С. I2G-I32 (совместно с Амзтовым И.М., Газизовш.1 Р.К.).

2. Распространение акустических возмущений в неоднородных газог.'лдкостних системах // Инг..-физ. кури. -I93G. -Т.50,

3. - С.385-390 (совместно с Ахатовим U.U.).

3. Нелинейные еолковыо процессы в гидродинамике. - Уфа: Изд-во Ба:згосуниш рейте та, 1987. - 79 с. (совместно с Ахатовым И.Ш.).

4. Распространение нелшш/ных волн в газомидкостпых средах с переменным по пространству-газосодер.улниом //Изв. All СССР. Сер. механика гидкостн и 1лаза. -1980. - !i I.

- 0.180-103 (совместно о Ахатовым И,111., Байковым P.A.).

5. Распространите нолине-ных волн.в неоднородных вязко-упругих.'ср<здах // йп.-цага. курн. -ISÜG. -Т.50, й I.

- 0.132-131.

G. Асимптотически инвариантные решения нелинейного уравнения переноса с релаксацией // Сб.тезисов докл. 10-й ' аколы-ссмплара по пробл, трубопроводного транспорта.

- Уф:-.: Изд-во ЕШИСПТнефть, 1987. - С.37-33.

7. Распространенно нелинейных волн в плоскослоистых средах // Сб. физико-химическая гидродинамика. - Уфа: Пзд-во iалгосушшерситата, 7. - С.Зо-42.

8. Распространение волн возмущонш; в смолосодертлщих ногтях // :1нж.-ф>из. >:урн. -1906. -Т.51, И 2. - С.240-243 (совместно с Еахтизшшм Р.П.).

S. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром. -Препринт/ИПМ АН СССР. - Гл., 1987. - Js I5ü. - 27 с. (совместно с Газизовым Р.К., Ибрагимовым Н.Х.). 10. Формальные симметрии и преобразования Ьеклунда. -Препринт/ ИПЫ АН СССР. - 1,1., 1987. - 15 226. - 28 с. (совместно с Газизовым Р.К., Ибрагимовым Ü.X.).

11. Приближенный групповой анализ уравнения U.^ - (f(U.) Uz)x +

+ £ if (U) Ut • 0 .- Препринт/ИПМ ЛИ СССР.- М., 1988.-!Ь 68.- 27 с. (совместно с Газизовым Р.К., Ибрагимовым Н.Х.).

12. Линеаризация п формалыше симметрии уравнения Кортевега--де Фриза // Докл. АН СССР.-1988.-Т.303, J5 4.- С.781-784 (совместно с Газизовым Р.К., Ибрагимовым II.X.).

13. Приближенные сишвтршг // Патом, сб.-1980.-Т.136, вып. 4,' С.436-450 (совместно с Газизовым F.K., Ибрагимовым II.X.).

14. Приближенный групповой анализ нелинейного уравнения

uu-(f(u)ux)x +£if(u)«t - 0 // Диахреренц. уравнения.-IS38.-Т.24, .0 ?.- С.II27-II38 (совмсстно с Газизовым Р.К., Ибрагимовым П.Х.).

15. Приближоннш симметрии и (формальные линеаризации // Прикл. матем. и техн. физика.-.1989,- Л 2,- С.40-49 (совместно с Газизовым Р.К., Ибрагимовым Н.Х.).

16. Методы возмущений в групповом анализа.- "Современные проблемы математики. Новейшие достижения".-Т.34 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР).- М., 1959.- С.85-147 (совместно с Газизовым Р.К., Пбраг:п.:овьзл Н.Х.).

17. Теоретическое и экспериментальное исследование процесса локализации флюида при .двухфазной фильтрации // £чтзпко--химичоская гидродинамика. Межвуз.научи..сб.- Уфа: Изд-во Башгосуниверснтета, 198Э1.-'С. 16-22 (совместно с Шушари-нш В.П.).