Модели и методы исследования нелинейной пространственно-одномерной динамики неоднородных сплошных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

.МОСКОВСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

М с х а н и ко- м а те м а т н ч е с к и й ф а кул ьтет

На праиах рукописи

ХУСНУТДИНОВД Карима Робертовна

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОМЕРНОЙ Д И Н А Д\ I ! К И 11 СО Д Н О РОД И Ы X СПЛОЮ ПЫХ СРЕД

1)1.02.01 — механика деформируемого твердого гола

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени каиди.'ииа фтико-магема гических паук

МОСКВА — 1995

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители: член-корреспондент РАН,

профессор А. А. Ильюшин; доктор физико-математических наук, профессор В. А. Банков.

Официальные оппоненты: докюр физико-математических

наук, ведущий научный сотрудник В. В. Веденяпин; кандидат физико-математических наук,

доцент А. Н. Голубятников.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАИ.

Защита диссертации состоится «ъ^Ж&РргЯ- 1995 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 053.05.03 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 4д /

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « » МРЛ-^иЯ-_1995 р

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор С. В. Шешенин.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Работа посвящена изучению нелинейной про странственно-одномерной динамики неоднородных сплошных сред.

Выбор темы исследований обусловлен возросшим в последнее йремя интересом к нелинейным эффектам, имеющим место при распространении волн конечной амплитуды в сплошных средах, а также значительным интересом к развитию математических методов исследования соответствующих нелинейных уравнений в частных производных.

В настоящее время имеется обширная литература, посвященная изучению нелинейных волн. Разработан ряд аналитических методов исследования нелинейных уравнений в частных производных, с помощью которых удалось построить классы точных решений многих важных для приложений уравнений. При этом выяснилось, что одни и те же уравнения возникгют в качестве моделей волновых процессов в самых разнообразных физических ситуациях, являясь своего рода универсальными уравнениями.

Важным фактором, влияющим на динамику сплошной среды, является ее неоднородность. Сходство волновых процессов в различных физических ситуациях делает актуальной задачу поиска простых модельных систем уравнений, позволяющих, однако, изучить особенности распространения н взаимодействия нелинейных волн в неоднородных средах и разработать единые методы исследования подобных задач.

Цель работы. Целями настоящей работы являются:

• построение полевых моделей, пригодных для описания нелинейных волновых процессов в неоднородных сплошных средах;

• развитие метода исследования нелинейной динамики неоднородных сплошных сред, основанного на линеаризации динамических

уравнений около их постоянных решений, и построение при помощи него решений, описывающих взаимодейс] вне уединенных both неиптегрнруомых динамических уравнении;

• групповая [,.'м<сифнкапия по точечным симметриям динамических уравнений (связанных уравнений типа Клейна-Гордона), по-

строение и анализ точных инвариантных решений;

• аналитическое описание'линейных и нелинейных эффектов перекачки энергии между компонентами среды в двухкомпонентных средах.

Научная новизна- Все- основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• предложены новые полевые модели,-построенные на основе дискретных систем взаимодействующих частиц и пригодные для описания нелинейных волновых процессов в неоднородных сплошных средах;

• обобщен на широкий класс нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных метод построения классов частных решений в виде формальных рядов, основанный на линеаризации уравнений около их постоянных решений; указаны условия существования формальных рядов; этим методом построены решения, описывающие взаимодействие уединенных волн неинтегрируемых динамических уравнений;

• проведена групповая классификация по точечным симметриям связанных уравнений типа Клейна-Гордона (с точностью до пре> образований Эквивалентности) и на ее основе для подмодели Ь гу-ковским.взаимодействием и обобщенной модели дислокации Френкеля-Конторовой найдены'-И проанализированы частные инвариантные решения, в том числе решения в виде периодических ,и уединенных волн; отмечено явление фильтра уединенных волн в двухкомпонентных Средах;

• аналитически описаны линейные и нелинейные эффекты перекачки энергии между компонентами в двухкомпонентных средах.

Методы исследования. Методика построения полевых моделей на основе дискретных соответствует направлению, развитому в работах

[1, 2, 3](см. также [4]). Используются методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также методы теории возмущений.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, ра ботающим в различных областях механики сплошных сред, прежде все го, в области динамических задач механики деформируемого твердого тела.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на XI Российском Коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (г.Самара, Россия, 1993г.), на международной конференции "Симметрия в нелинейной математической физике" (г.Киев, Украина, 1995г.), на первой неортодоксальной школе по нелинейности и геометрии (г.Варшава, Польша, 1995г.), на научно-исследовательских семинарах кафедры теории упругости МГУ им.М.В.Ломоносова под руководством член-корр. РАН А.А.Ильюшина и Института прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН под руководством проф. М.В.Масленникопа и д.ф.-м.н. В.В.Веденяпина.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 6 работах, список котбрых приведен в конце автореферата.

1 Ильюшина Е.А. Одна ил моделей сплошной среды с-учетом микроструктуры // Прикл. матем. и механика. - 1969. - Т. 33, N 5,-С. 917-923.

2 Ильюшина Е.А. К построению теории упругости неоднородных

твердых тел с микроструктурой: Дисс. кандидата ф.-м. наук - М., 1976. -117 с.

3 Короткннл М.Р. Вопросы обоснования некоторых моделей механики сплошной среды: Дисс. доктора ф.-м. наук - А/., 1985. - 320 с.

i Ильютнн A.A. Механика сплошной среды. - А/.: II.id-во МГУ. -

1990. - 310 с.

Структура м объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на И параграфов, заключения и списка литш>а-туры, содержащего наименований. Диссертация изложена на о г страницах, содержит 6 рисунков, Я таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы исследований, дан краткий обзор работ по этой теме (обзоры содержатся также в начале главы 1 и §3), изложены основные результаты диссертации.

Первая глава диссертации посвящена построению полевых моделей, предлагаемых для описания волновых процессов в неоднородных сплошных средах, ц изложению используемых в дальнейшем для изучения свойств этих моделей математических методов.

В §1 рассматривается дискретная модель связанных цепочек частиц (двух линейных периодических цепочек частиц с нелинейным взаимодействием между ними) и на ее основе для длинноволнового приближения предлагаются динамические уравнения

«и - и«- = /и(ч.и|), .. ^

. ■ ш„ - с2шхх = /Ш(и,ш), .'.(1)

(связанные уравнения типа Клейна-Гордона), представляющие собой модель для описания волновых процессов в двухкомпонентных гчедах. В зависимости от вида функции /(и,ш), входящей в математическую модель (1) и характеризующей взаимодействие между цепочками, исходная дискретная система может рассматриваться либо как конкретный Механический обьект с заданными связями (осуществляемыми, например, с помощью пружин), либо как модель более сложных физических обьектов (например, кристаллов). Так как аналитический вид этой функции (определяемой экспериментально) не является однозначно заданным,.то имеет смысл выделение подмоделей, допускающих некоторое аналитическое исследование свойств. Известно, что наличие у уравнений достаточно широкой группы точечных симметрия пожолнет построить набор точных инвариантных решений и провести некоторое

аналитическое исследование свойств. Возникает математическая задача

групповой классификации по точечный симметриям связанных ураппе- -------------------

ний типа Клейна-Гордона (1), решение которой будет дано в §4.

В §2 рассматривается другая дискретная модель — модель двухрядной системы частиц (системы осциллирующих механических диполей, обладающих четырьмя степенями свободы: смещениями в плоскости, вращением вокруг нормали к не!) и изменением длины оси диполя) и на ее основе вначале строятся одно- и двухполепше линейные модели динамики неоднородной сплошной среды. В пределе, когда диполи не являются осциллирующими (жесткая связь между полюсами), система уравнений переходит в уравнения, полученные ранее Е.А.Ильюшиной [2]. Система моделирует тонкую пленку, состоящую из попарно взаимодействующих частиц, или, в другой интерпретации, упругую ферму, массы которой разнесены по узлам, причем' массы в узлах "верхнего" и "нижнего" рядов могут быть различными. Для случая, когда диполи не являются осциллирующими и расположены перпендикулярно оси 'центров, система геометрически линейна, но физически нелинейна (потенциалы взаимодействия содержат квадратичные и кубические члены), предлагаются нелинейные динамические уравнения неоднородной сплошной среды, в простейших случаях сводящиеся к известной т(*ге-грируемой к} одел и — уравнению Буссинеска

Фн ~ Фхт + Фхххх + ФхФхг-

В §3 приводится краткий обзор существующих аналитических методов исследования нелинейных уравнений в частных производных и развивается простой и эффективный метод построения классов частных решений, основанный на линеаризации исходных нелинейных уравнений д частных производных около их постоянных решений. Метод может быть применен как к интегрируемым, так и к неинтегрируемым уравнениям.

В последние годы проявлялся интерес к построению решений нелинейных уравнений в частных производных в форме бесконечных рядов. Прямая линеаризация ряда известных интегрируемых уравнений была проведена в работах Р.Р.Рсмалеса и В.Богаевского. Н.Мазура, А.Повзнера. Линеаризующие преобразования представлены в виде рядов с коэффициентами, определяемыми некоторыми имтегро-дифференциальными уравнениями. Решения уравнений типа Кортевега-де Фри

за были связаны с решениями уравнения Хопфа посредством формальных рядов в работах В.А.Байкова, Р.К.Газизова и Н.Х.Ибрагимова (уравнение Хопфа'линеаризуется преобразованием "годографа")..Сходящиеся экспонентные ряды использовались в работах А.В.Бобылева, В.В.Ведеияпина, А.В.Мищенко и Д.Я.Петриной для построения решений уравнений Больцмаца.. Возможность использования таких рядов для некоторых других уравнений обсуждалась в [5]. Ряды Фурье применялись к построению решений возмущенного уравнения Кортевега-де Фриза в работе Н.В.Николенко. Экспонентные ряды использовались также С.Ю.Доброхотовым и В.ГЬМасловым для исследования нелинейных эллиптических уравнений (6). В [6] указывалось также на целесообразность использования их и для волновых уравнений. В цитированных работах содержатся и некоторые друрие«ссылки на исследования в данном направлении. •

В данной диссертации в §3 рассматривается класс уравнений и систем, содержащих произвольные линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами и произвольные нелинейные аналитические функции-зависимых перемеиных и их производных вплоть до некоторого конечного порядка, в предположении, что уравнения обладают постоянным решением. В отличие от работ Р.Р.Розалеса, В.Богаев-ского, Н.Мазура, А.Повзнера, В.А.Байкова, Р.К.Газизова и Н.Х.Ибрагимова не ставится задача поиска' преобразования, связывающего произвольное решение линеаризованного уравнения с решением нелинейного уравнения. Вместо этого ищется преобразование, сопоставляющее системе линейных обыкновенных дифференциальных.уравнений, описывающей некоторое конечномерное подпространство пространства решений линеаризованного уравнения, частные решения нелинейного уравнения!

5 Бобылев A.B. Теорема Пуанкаре, уравнение Болъц.шна и ураьнения типа Кортевега - де Фриза //Докл. АН СССР. - 1981.- Т. 256, N 6-С. 1341-1346.

в Доброхотов С.Ю., Mäcjioe В.П. Многомерные ряды Дирихле в задаче об асимптотике спектральных серий нелинейных эллиптических операторов. В сб. "Современные проблемы математик». Т. 23 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)".- Л/., 19S3.- С. 137-222.

С

Такое сужение задачи позволяет развить простую технику поиска частных решений и распространить метод на широкий класс уравнений и систем уравнений (в том числе неинтегрируемых методом обратной задачи рассеяния и другими известными методами). Решения имеют форму экспонентных рядов или рядов Фурье.

Отметим, что близкий подход был независимо развит В.В.Веденя пиным для широкого класса эволюционных уравнений и в этом случае В.В.Веденяниным была исследована сходимость построенных экспонентных рядов.

В диссертации рассматриваются уравнения вида

L(DuD,)u{t,x) = N[u], (2)

где

км

L(DUDT) н £ £ hmDktD™ (3)

*=0m=0

— линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами и

QPI

¿V[uj s jV(u,ubu2,...,up), uv = {^7^-IPi +P2 = /'}

— произвольна^ аналитическая функция переменной и и ее про.и ¡под ных вплоть до'некоторого конечного порядка р. Предполагается, что уравнение (2) обладает постоянным решением. Без потери общности можно считать, что это решение нулевое и что разложение функции Л'[и] в ряд Тейлора около нуля-начинается с членов второго порядка.

• Уравнению (2) сопоставляется уравнение, линеаризованное около нулевого решения:

L(ÜuDT)w(t,x) = 0.' " (4)

Пусть L — линейное пространство решений уравнения (4), а РЛ С L

— его iV-мерное подпространство с базисом

W{ - Wiexpía.í,), (i = x -Sit, i = 1, JV.

Здесь 5,- и И', — некоторые константы. Предполагается, чго консчанты л,- = о,(.«,) удовлетворяют дисперсионному уравнению

¿(-<V„rt,) = 0.

Используются следующие обозначения:

N '=1

Показывается, что мономы являются собственными функциями оператора (3): . •

с собственным« значениями . '

а* = £ Е

1=0 т=0 1=1 ¡=1

1} доказывается следующее Предложение I.

Если ф 0 для любого мультииндекса 6 с целыми неотрицательными компонентами 6 1 = 1, Л', такого что |<5| ф 0,1, то уравнение , (2) обладает решениями, связанными с решениями из Р" формальным преобразованием

оо п=1

где ..

Фп = £ (АпЬи'щ -

|{|=п

— однородные полиномы степени п в переменных и\. Это преобразование единственно (для фиксированного первого члена ф\ € Ры).

Замечание 1.

Здесь £ является градуирующим элементом-, после того как преобразование найдено, можно положить .е = 1.

Замечание 2.

Подобные предложения могут быть сформулированы для случаев, когда мультииндекс <5 имеет целые неположительные или просто целые компоненты.

Этот результат обобщается на системы уравнений вила

¿¿;(А,0«)и'1'.-О - Л», < = 17», 1=1)

где

¿»О т=.0

— линейные дифференциальные операторы с постоянными ко*ффини сигами, а Л"[и] - произвольные аналитические функции переменных и'т) ~ и ИХ производных ВПЛ01Ь ДО некиюриги конечного ПоряЛК* р. Снова предполагается, что система (5) обладает постоянным решением. Не теряя общности, можно считать, что это решение нулевое и что разложения функций Л^'(и) в ряд Тейлора около нуля начинаются с членов второго порядка.

Система, линеаризованная около нулевого решения и соответствук>-шая системе (5), имеет вид

•¿¿^Д./М^'С.-О^о. (7)

В этом случае подпространство Ры решений (7) порождается век гор функциями

VI = (IV/, IV,1,..., 1г;')ехр(0/б), (I = X - »,1, I = Т777

с некоторыми константами ¿1 и IV/. Здесь предполагается, что константы с>| = удовлетворяют дисперсионному уравнению

а константы IV/ = IV/(.Ч|) удовлетворяют однородной системе линейных алгебраических уравнений '

¿¿¿(-а,Я|1о,)И7 =0, » = Т7п.

Все построения повторяются. Используется «¿означение для

собственных значений мономов

пол действием операторов (6):

¿;(о„ ог )(»{„,)' = ( л^К*,)4-

Чдесь . •

к = 0»1=и 1а 1 /= 1

Обобщением предложения 1 является следующее Предложение 2.

Ксли <!И((А» ф 0 для любого мультииндекса 6 с целыми неотрицательными компонентами <5|€.2+| / = такого что ^ 0,1, то гиагма (о) обладает решеи.иями, связанными с решениями из Ры формальным преобразованием

ПС

П3 - ) = ТТ«.

гае' •

^ = ЕКЬН*))1 , 1<1=*

— однородные полиномы степени к в переменных ю}. Это преобразование единственно (для фиксированного первого члена ф\ 6 Р")■

Замечание 3. •

Хотя условия ф 0 и с!е1[(А* )й] ф 0. представляются достаточно .ограничительными, они обычно оказываются выполненными в некоторой открытой области пространства параметров. .

Получающиеся рсшешй включают многосолитонные решения интегрируемых уравнений (например, уравнения Кортевега - де Фриза) и решения, описывающие взаимодействие уединенных волн неинтегриру-е.мых уравнений, например, уравнения

"<! Т иТ1 - -и + !/3.

Известно' (7), что это уравнение не является интегрируемым Опирали на предложение 1 н замечание '2, удается нос 1 роить решения в' вйЛ1~р)Г дов, описывающие взаимодействие уединенных волн Умно уравнении Численные расчеты по формулам рядов показывают быструю сходи мость этих рядов на всей плоскости переменных I и г, кроме окре«, гное[и выделенных прямых.

Предложение 2 будет использовано в §й для построения решений, описывающих взаимодейс твие двух типов уединенных волн .тшмшпе ских уравнений

(системы неинтегрируемых уравнений тио& Клейна-Гордона).

Отмечается, что аналогичная процедура линеаризации может производиться и около непостоянных решений. В качестве примера построено периодическое решение уравнения Кортевега - де Фриза,

Результаты могут быть перенесены на многомерный случай практически без изменений. * ' ■

Глава 2 Посвящена исследованию динамики двухкомнонентной среды, построенной в §1 на основе модели связанных цепочек частиц.

В §4 проводится групповая классификация поточечным снмметриям связанных уравнений типа Клейна-Гордона (с точностью до преобразований эквивалентности). В случае /иш(и,и>) = 0 система (1) расщепляется на два независимых уравнения Клейна-Гордона, классификация которого была проведена С.Ли [8]. Случай с3 = 1 исследовался » работе (9], где были найдены высшие симметрии уравнений и приведены случаи полного и частичного их интегрирования! Поэтому эти два случая

7 Дола. ЭП.пС>ск Дж., Гиббон Дж., Mo)>i>iir X. Солшчпны и нелинейные волновые уравнения. - М.: Мир, 1988.• 694 с.

8 'Lie S. Discussion der Diffrrcntia(gltichung = F{z) // Arch, fur Math.-IfiSl - Bd. 6, Heft l.-S. ¡1-2-124.

О Жийер A.B., ll6]inni\tM П.Х., иЬбатА.Б. Уравнения типа .Пиупилля //Докл. АН СССР.-/m- Т. ¿49, -Vi- С. ¿6-29..

и» - и« = и>и - с3ш„

— Л3(и — to — (и — и>)'] = и - Ш - (и — Ц))3

(8)

in рассмотрения исключены. Результаты классификации систематизированы в.виде таблицы. Доказано, что допускаемая уравнениями (1) алгебра операторов может иметь только размерности 2, 3, 6, 7 или быть бесконечномерной в случае линейных уравнений. Семимерная алгебра возникает только если функция f(u,u>) с точностью до преобразований зквивалентности общей системы (1) имеет вид

/(и,ш) = F(z) + Ли, z = 6и — to,

где F(z) может быть рапной

(i) F(z) - f;' + Hz. <7 0,1,2,

(ii) F(r) = if1 + Hz, ■

(iii) F(z) = e\nz + Bz,

(iv) F(s) = e г in:.

Здесь A.B.tr — произвольные, 6 — положительная вещественные постоянные, с = ±1.

I) §5 для подмодели • .

lit( — uZI = — w)3, wlt — c1wzz = (u — to)3,

соответствующей среде с гуковским взаимодействием, приводится оптимальная система одномерных подалгебр, строятся и анализируются частные инвариантные решения. *

В §С то же делается для подмодели

«и — urx = —62sin(u — и?.), wtt— <?wzz = sin (к — w), (9)

рассматриваемой как-обобщение известной модели дислокации Френкеля-Конто])овой (ФК) [10]. .

10 Конторова Т.Д., Френкель Я.П. К теории пластической деформации и двоОникоьания I, II // Ж у ¡т. зкеп. и теор. физ. -1938. - Т. 8, X 1. - С. Я9-9Г>: Т. S, X 12. - С. ¡340-1368.

Интересной особенностью подмодели (!>)_ (по сравнению I моделью ФК), следующей из построенных в диггер|,ожи решении, «шпгц н,1 личие щели в спектре скоростей уедшн-нных ночи (фичыр уединенных волн), описывающих дислокаиии в кристаллах, а также то, что абсолютное значение "сдвига" зависит от скорое! и его ращро< I |>ши мим и не обязательно равно периоду решетки (в то время как 011101 пильный "сдвиг" частиц остается равным периоду реинчки, как и в мо и- ш Фк )

В §7 на основе построенных в §г) и ¡¡(> решений и нпйпемпых и || I про образований эквивалентности получаются решения, описывающие динамику среды'при наличии догголгтнтельнмх «<кччннныа л.

В §8 методом, изложенным в 1)3, строятся решения, уиш ьикшлшл: взаимодействие двух типов уединенных волн системы »^интегрируемых уравнений типа Клейна-Гордона (8), получающейся т (Я) в предположении сравнительно малых относительных смещений компонент.

В §9 аналитически описываются линейные и нелинейные аффекты перекачки энергии между компонентами среды. Показано, что наряду с эффектами, являющимися прямым обобщением на распределенные системы задачи о колебаниях связанных маятников [II], в двухкомпонент-ных средах могут проявляться и пруте, более сложные эффекты, евн занные с процессами перекачки энергии между компонентами среды и не имеющие аналогов » системах с двумя степенями свободы.

Глава 3 пос вящена исследованию динамики среды, построенной в >¡'2 на основе модели двухрядной системы частиц.

В §10 исследуются динамические уравнения и спектральные < вой ства одно- и двухполевой линейных моделей неоднородной сплошной среды. Показывается, что как и в случае неоспиллиру кшшх днпочей, рассмотренном Е.Л.Ильюшиной [2], при учете осцилляций диполей лву х-полеваи модель точнее отражает спектральные свойства исходной дискретной структуры.

Р§11 изучаются динамические >равнения нелинейной модели. Кепи в линейном приближении продольные колебания независимы, а попереч-

11 Л/андельшттш ЛИ. Лекции по теории колебаний,- М.' Наука, ¡91-.- $10 с.

мыс и вращательные связаны, то учет нелинейности приводит к тому, что все три Bitaa колебаний становятся взаимосвязанными, и в системе возможно возникновение новых режимов колебаний благодаря взаимодействию, например, продольных и вращательных колебаний. Для предельного случая взаимодействия,только продольных и вращательных колебаний приводятся некоторые точные решения.

I) заключении кратко суммируются основные результаты, полученные в работе и выносимые па защиту.

Автор искренне благодарит своих научных руководителей член-корреспондента F'AH, профессора Ильюшина A.A. и доктора физикогмате- . магических наук, профессора Байкова В.А. за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в'следующих работах:

1. Хуснутдинова K.P. Нелинейные волны в двухрядной системе частиц // Вестник Московского ун-та. Сср.1, Математика. Механи-. ка. - 1992,- N 2.- С. 71-'76.

2. Хуснутдинова /С. Р. Волновая динамика среды, построенной на основе двухрядной системы частиц // Сб. научн. трудов "Глубокая переработка углеводородного сырья", вып.2.- М.: ЦНИИТЭнефте-хим, 1993,- С. 136-115. v

3. Хуспутдшюпл K.P. Групповая классификация уравнений движения связанных цепочек частиц // Труды XI Российского Коллоквиума "Современный групповой анализ и задачи матпемагпичс-ского моделирования". - Самара: Пзд-во "С'амарск. ун-тет", 1993.-

С. 181-186.

4. Хусиутдиноаа К.Р., Ахатов И.Ш. Континуальная модель дпиже

ния двухрядной системы частиц и ее симметрии // 7 ejucw докла-______

дов на XI Российском Коллоквиуме "Соьре.ш нпый групповой и налги и задачи математического моделирования",- Самара: Изд ви "Самарск. ун-тет", 1993.- С. 134.

5. Ахатов И.Ш., БаЙков В.А., Хуснутдинова Л.Р. Нелинейная дина мика связанных цепочек частиц // Прикл. маним, и механиьа 1995.- Т. 59, N 3.- С. 24-32.

G. B&ikov V.A., Khusuutdinov3 K.R. Forma! linenrization «ml exact ьо-lutions of some nonlinear partial differential equations // Procmhuy* of the International Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical PhysicsJ. Nonlin. Math. Phys.- 1996,- V.3, N 1-2.- P. 99-106 (в печати).

ХУСНУТДИНОВА Карима Робертовна

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОМЕРНОЙ ДИНАМИКИ НЕОДНОРОДНЫХ СПЛОШНЫХ СРЕД

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических, наук

ЛР № 020258 от 30.10.91 г. Подписано к печати 8.11.95. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Печать плоская. Усл.печ.л.0.9. Усл.кр.-отт.0.8. Уч.-изд.л.0.8. Тираж 100 экз. Заказ № б? Бесплатно.

Уфимская типография № 2 Министерства печати и массовой информации Республики Башкортостан. • 450000, Уфа-центр, ул. КМаркса, 12.