Специальные конструкции рядов и их применение для представления решений нелинейных уравнений математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

□03055000

На правах рукописи УДК 517.957

ФИЛИМОНОВ МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ РЯДОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2007

003055000

Работа выполнена в Институте математики и механики УрО РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

чл.-корр. РАН Владимир Михайлович Тешуков, доктор физико-математических наук профессор Салават Валеевич Хабиров, доктор физико-математических наук профессор Василий Павлович Шапеев.

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН, г. Москва.

Защита состоится февраля 2007 г. в _// часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 при Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.

Автореферат разослан декабря 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.01 доктор физико-математических наук

Лукоянов Н.Ю.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящсна разработке и применению аналитического метода — метода специальных рядов — к построению решений и доказательству разрешимости начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений математической физики более широкого, чем класс уравнений в частных производных типа Ковалевской.

Актуальность темы. Для эффективного подхода к решению проблем, возникающих в современной науке и технике, не обойтись без исследования нелинейных задач математической физики. Стремительное развитие вычислительной техники и появление быстродействующих суперкомпьютеров позволяют исследователям строить и рассматривать все более сложные многомерные модели, описывающие различные явления, которые моделируются, как правило, с помощью нелинейных уравнений (систем) в частных производных. Однако, сейчас стало понятно, что без развития аналитических методов невозможно получить полное представление о сути явления. Аналитические методы дают не только надежный инструмент для отладки и сравнения различных численных методик, но иногда и предвосхищают некоторые научные открытия, дают возможность изучить свойства моделей, обнаружить наличие тех или иных эффектов как следствие существования или несуществования объектов (решений) с требуемыми свойствами. Поэтому в настоящее время в различных странах интенсивно ведутся фундаментальные исследования, направленные на доказательство теорем существования и единственности решений нелинейных уравнений с частными производными.

Наиболее перспективным направлением получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов. Численные методы особенно трудоемки в многомерном случае, поэтому актуальной задачей является развитие различных аналитических методов построения решений в замкнутой форме и методов, позволяющих находить решение с любой заданной точностью (например, в виде рядов или асимптотических разложений).

Отметим некоторые аналитические методы получения решений уравнений с частными производными. Для линейных уравнений эффективен

метод разделения переменных. Тем не менее, для нелинейных уравнений в общем случае этот метод позволяет получать узкие классы решений. Хотя и для нелинейных задач с помощью данного метода, который в этом случае можно назвать "обобщенным методом разделения переменных", были получены интересные результаты, связанные с нестационарными диссипативными структурами (работы В.А. Галактионова, С.А. Посаш-кова, С.Р. Свирщевского и др.авторов). Для нелинейных уравнений оказываются эффективными также методы теории размерностей, приводящей к автомодельным решениям (работы Л.И. Седова, A.A. Самарского, С.П. Курдюмова, Г.Г. Еленина), групповые методы (работы Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В.К. Андреева, C.B. Хабирова, А.П. Чупахи-на, C.B. Мелешко, В.В. Пухначева), методы дифференциальных связей (А.Ф. Сидоров, В.П. Шапеев, H.H. Яненко), метод вырожденного годографа (работы А.Ф. Сидорова, H.H. Яненко), метод ассоциативных колец (С. С. Титов) и другие подходы. Получаемые таким образом частные решения полезны при изучении реальных процессов, тестировании и сравнении различных численных методик. Однако, точные решения описывают, как правило, достаточно узкий класс физических процессов и при решении реальных начально-краевых задач, как правило, не удается обойтись найденным набором точных решений.

Отметим также некоторые аналитические методы получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными в виде рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами. Так для исследования различных задач гидромеханики, газовой динамики и механики также использовались различные ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами (работы Л.В. Овсянникова, Л.И. Седова, О.С. Рыжова).

К группе аналитических подходов относится и метод специальных рядов, получивший свое развитие после работы А.Ф. Сидорова1. Суть его состоит в разложении решения в ряд по степеням одной или нескольких специальным образом выбираемых функций2, [3], называемых далее базисными функциями (БФ). При таком выборе базисных функций

1 Сидоров А.Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1975, т. 6, N 4, с. 106-115.

2Васин ВВ., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика, 1983, N 7, с. 13-27.

формальное решение исследуемого нелинейного уравнения представи-мо в виде специального ряда, коэффициенты которого будут находиться рекуррентно как решения последовательности более простых уравнений. Исходным пунктом при разработке метода специальных рядов являлось обобщение на нелинейные уравнения характеристических разложений Р. Куранта для решений задач примыкания. Непосредственными предшественниками здесь можно считать Р. Куранта, Дж. Даффа, Д. Людвига, В.М. Бабича, которые в случае линейной гиперболической системы разработали метод представления решений характеристической задачи Коши в виде "обобщенной бегущей волны". В линейном случае Дж. Дафф и Д. Людвиг доказали соответствующие аналоги теоремы Коши-Ковалевской. Для нелинейной системы уравнений газовой динамики, описывающей двумерные стационарные течения, A.A. Дородницыным была рассмотрена характеристическая задача и построено решение в виде сходящегося ряда. Вдохновляющим импульсом для создания нового аналитического метода были проблемы в области газовой динамики, сформулированные Р. Курантом и A.A. Дородницыным (в том числе — задача аналитического описания тройной точки ударных волн, "ножки Маха"). А.Ф. Сидоровым и E.H. Зубовым в работах 1972-73 годов для задачи о плавном вдвижении поршня в покоящийся газ были построены нестационарные течения в виде степенных рядов, коэффициенты которых определялись рекуррентно из цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что ряды рассматривались как формальные (без доказательства сходимости), были проведены численные расчеты прикладных газодинамических задач, показавшие пригодность предложенного метода. В 1973 году С.П. Баутиным была доказана сходимость этих характеристических рядов, решающих задачу о поршне. Развитый метод характеристических рядов для гиперболических нелинейных уравнений позволил в дальнейшем решить ряд задач математической физики, не поддававшихся решению ранее.

Специфика некоторых важных задач газовой динамики для построения кусочно-гладких решений потребовала разработки особых оригинальных подходов и при построении решений как формальных рядов, и при доказательстве сходимости этих рядов в окрестности характеристической поверхности (в работах В.М. Тешукова не только построены

решения, но и доказано их существование и единственность в классе кусочно-аналитических функций).

Позже было осознано, что характеристические разложения — частный случай конструкции рекуррентных рядов, которые требуют наличия определенных свойств у базисных функций, формулируемых на языке, близком к языку дифференциальной алгебры. Эти конструкции не зависят от типа уравнения, а в базисные функции рекуррентных рядов можно вводить произвольную функцию от времени, которая может и не быть аналитической функцией. Все эти работы положили начало систематическому применению метода специальных рядов к нелинейным задачам математической физики. Важные результаты, полученные в этом направлении, содержатся в работах С.С. Титова, Л.Г. Корзунина, C.B. Вершинина, К.В. Курмаевой и H.A. Вагановой.

При применении метода специальных рядов к исследованию решений нелинейных уравнений актуальными задачами являются: построение систем новых базисных функций, позволяющих получать решения в виде специальных рядов для более широкого класса начальных условий; описание классов нелинейных уравнений в частных производных, для которых удается доказать сходимость построенных рядов; применение специальных рядов для доказательства разрешимости начально-краевых задач.

Цель работы:

— предложить общий подход к конструктивному построению решений

для некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными в виде рядов по степеням новых базисных функций, учитывающих, в том числе, специфику и особенности исследуемых уравнений;

— указать классы нелинейных уравнений в частных производных, для

которых удалось с помощью метода специальных рядов построить решения в виде рядов и доказать их сходимость;

— применить метод специальных рядов к исследованию начально-краевых задач для известных уравнений математической физики;

— обосновать применимость метода специальных рядов и обобщенного

метода Фурье к решению начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных волновых уравнений с заданными нулевыми краевыми условиями;

— применить специальные ряды, содержащие функциональный про-

извол, для доказательства новых теорем существования начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений типа обобщенного уравнения Кортсвега-де Фриза.

Методика исследований. В работе используется конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными (метод А.Ф. Сидорова) — метод специальных рядов. Для обоснования этого подхода использованы методы и понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений, общей теории рядов. При обосновании применимости обобщенного метода Фурье для решения начально-краевых задач используется аппарат функций Ляпунова, при доказательстве разрешимости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений использованы также методы функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

— построены специальные ряды по степеням новых базисных функций

для представления решений некоторого класса нелинейных уравнений с частными производными и исследована сходимость этих рядов;

— показана возможность использования функционального произвола

в базисных функциях для доказательства глобальной сходимости специальных рядов;

— построены специальные ряды для представления решений начально-

краевых задач (в том числе и в сложных двумерных областях) с точным удовлетворением нулевых краевых условий, исследована сходимость этих рядов для некоторого класса нелинейных волновых уравнений;

— разработан метод генерации новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными в виде суммы известного точного решения и специального ряда по степеням базисных функций с функциональным произволом;

— выделен класс нелинейных гиперболических уравнений, для которых

с помощью аппарата функций Ляпунова удалось обосновать применимость обобщенного метода Фурье;

— доказана возможность использования функционального произвола

в базисных функциях для решения начально-краевых задач с заданными краевыми условиями для некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработанные конструкции специальных рядов по степеням новых базисных функций могут быть использованы для исследования нелинейных уравнений с частными производными, с их помощью можно решать задачи Коши и начально-краевые задачи для нелинейных уравнений с частными производными, в том числе и для уравнений не типа Ковалевской. Специальные ряды могут быть использованы также и для доказательства теорем существования решений краевых задач для некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений, вопрос о существовании решения для которых оставался открытым. В частности, тем самым был дан положительный ответ на вопрос А.Ф. Сидорова о возможном использовании произвольных функций, входящих в базисные функции, для удовлетворения заданного краевого условия.

Самостоятельный теоретический интерес применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям имеют исследования по обоснованию использования обобщенного метода Фурье для представления решений начально-краевой задачи для некоторого класса нелинейных волновых уравнений. В этом случае были исследованы последовательности систем из N нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих чисто мнимые характеристические корни. При этом для любого числа N была построена положительно определенная функция Ляпунова с производной в силу этой системы равной

нулю, доказана ограниченность и почти периодичность решений такой системы.

Кроме того, практическую значимость имеют решения в виде специальных сходящихся рядов для нелинейных эволюционных уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза, для уравнения Линя-Рейснера-Цяня, уравнения стационарных осесимметричных течений газа, имеющего особенность, для нелинейного уравнения фильтрации. Сходимость таких рядов доказывается, как правило, в неограниченной области. Построенные ряды имеют высокую скорость сходимости, что позволяет их использовать для тестирования численных методик, а также использовать для создания новых численно-аналитических методов. Так, например, с помощью специальных рядов был проведен расчет нестационарного околозвукового обтекания клина, описан переход от нестационарного течения газа к стационарному и аналитически было показано, что такой переход осуществляется по экспоненциальному закону.

Публикации. Основные результаты опубликованы в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК [1-11], в трудах Института математики и механики УрО РАН [12-14], в журналах, издававшихся в Новосибирске [15-18], а также в трудах Международных конференций [19-23] и Всероссийских конференций [24-26]. Из совместных работ с H.A. Вагановой [17,18] и работы с А.Ф. Сидоровым и Л.Г. Корзуниным [3] в диссертацию включены только результаты автора.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

VIII Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо (1999);

Всероссийская научная конференция "Современные проблемы механики. Конференция посвященная 40-летию Института механики МГУ", Москва (1999);

Международная конференция, посвященная 150-летию С.В.Ковалевской, Санкт-Петербург (2000);

Международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2000, 2002);

Всероссийская конференция "Математическое моделирование и пробле-

мы экологической безопасности", Абрау-Дюрсо (2000);

III Международная конференция по математическому моделированию,

Якутск, (2001);

VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, (2001);

Международная конференция "Математические модели и методы их исследования", Красноярск (2001);

Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", Новосибирск (2001);

VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (2002); XIV Всероссийская конференция 'Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти К.И.Бабенко, Дюрсо (2002);

Международные летние школы-конференции "Прикладные проблемы механики", Санкт-Петербург (2002, 2003, 2004);

Всероссийская школа - семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа", (2002, 2004, 2006); Международная конференция "Забабахинские научные чтения", Сне-жинск (2003);

Всероссийская школа - конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (2003, 2004, 2006);

Всероссийская конференция приуроченная к 85-летию академика Л.В.Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", Новосибирск (2004);

XI Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования," Абрау-Дюрсо (2005);

Региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, (2000, 2001, 2002, 2003); на научных семинарах:

под руководством академика РАН JI.B. Овсянникова в Институте гидродинамики СО РАН, Новосибирск (2000);

под руководством профессора Т.Н. Зеленяка в Институте математики СО РАН, Новосибирск (2000);

под руководством профессоров Л.А.Калякина и В.Ю.Новокшенова, Уфа (2004);

под руководством чл.-корр. РАН В.М.Тешукова и профессора В.Ю.Ляпидевского в Институте гидродинамики СО РАН, Новосибирск (2005);

под руководством чл.-корр. РАН Б.И.Четверушкина и профессора В.Ф.Тишкина в Институте математического моделирования РАН, Москва (2005).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 265 страниц. Библиография содержит 209 наименований.

Основное содержание работы.

Введение содержит краткую историю вопроса, формулировки и описание основных утверждений диссертации. В первой главе описан метод специальных рядов, приведены конструкции специальных рядов по степеням новых базисных функций и исследована сходимость построенных рядов для известных уравнений математической физики. Главы 2, 3 посвящены применению специальных рядов по степеням новых согласованных базисных функций как для построения глобальных решений задачи Коши, так и для решения начально-краевых задач с точным удовлетворением нулевых краевых условий для некоторого класса нелинейных уравнений с частными производными. В четвертой главе дается обоснование обобщенного метода Фурье, применяемого для решения начально-краевой задачи для одного класса нелинейных волновых уравнений. В пятой главе функциональный произвол, входящий в базисные функции, использован для доказательства разрешимости начально-краевой задачи с заданным краевым условием для некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений, в том числе и тех, для которых вопрос о разрешимости такой задачи оставался открытым.

Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертационной работы.

В первой главе изложен метод конструктивного представления решений нелинейных уравнений с частными производными — метод специальных рядов. Основоположником данного подхода был А.Ф. Сидоров, поэтому вначале сформулированы его требования для рядов, которые предполагалось использовать для представления решений нелинейных уравнений в частных производных. В частности, для выполнения сформулированных требований желательно, чтобы коэффициенты специальных рядов находились бы не путем проведения обрезания бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и не путем последовательного дифференцирования (как в рядах Тейлора), а с помощью интегрирования последовательности некоторых линейных дифференциальных уравнений. Опишем два новых подхода к построению таких рядов.

Рассмотрим для уравнения

(1)

задачу Коши

и(®,0) = и0(а:)1 (2)

где F является многочленом от и, • • • , , коэффициенты которого постоянны, либо непрерывные ограниченные функции от I.

Рассмотрим кольцо К(, элементами которого являются абсолютно сходящиеся в некоторой области кратные ряды по системе функций Р1(х),...,Рт(х)

оо т

«(*,*)= $>„(*) П^ОО' (3)

|п|=0 1=1

где п = (пь ..., пт\, |п| = Гц + • • • + пт.

Предположим, что функции Р\(ж),..., Рт(х) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:

т

р; = 4>2 ацР} + Щ(Ри ...,Рт)> i = (4)

з=*

Здесь a,-j = const, i = l,m и функции Wk{P\, ■ ■ ■, Pm) являются аналитическими в нуле функциями с условиями

И4(о,... ,0) = о, уц

при • -—Рт—О. В работе доказано, что система уравнений (4)

обеспечивает инвариантность кольца К( относительно операции дифференцирования по х.

Пусть начальные данные (2) представимы в виде ряда

оо т

щ(х) = Y^ К П Р"'(х)> hn = const- (5)

|п|=0 ¿=1

Предложение 1.2.3. Формальное решение задачи (1), (2), (5) пред-ставимо в виде ряда (3) с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами.

Для доказательства этого предложения предложена нумерационная функция, задающая порядок вычисления коэффициентов gn(t) ряда

(3),

7П-1 m-1 / т \

с(п) = ]£("» - 2 + j)nj+1 + ггГ1 Д f £ щ + t ) . (6)

Коэффициент gi^t) вычисляется раньше коэффициента <7i3(i), если выполняется неравенство c(li) < с(1г).

Заметим, что для,двух базисных функций (гв = 2) нумерационная функция (6) совпадает с канторовской нумерационной функцией, предложенной в работе3 для порядка вычисления коэффициентов двойных рядов.

Рассмотренные в параграфах 1.1-1.3 конструкции специальных рядов объединяет то, что правые части системы дифференциальных соотношений для БФ, обеспечивающие рекуррентное нахождение коэффициентов ряда, являются аналитическими в нуле функциями. В § 1.4 для случая двух БФ дается обобщение метода специальных рядов по пути расширения классов БФ, а именно сформулированы условия при которых рекур-

3 Титов С.С. Разложение решений нелинейных уравнений в двойные ряды // Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, N 10, с. 1844-1850. ,

рентность нахождения коэффициентов ряда сохранится и в случае, когда правые части дифференциальных соотношений для БФ могут быть и не аналитическими в нуле функциями. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Р'г = аюЛ + а01Р2 + £ а+^Р^ + А £ аЦ^Р^

¡,+h>2 h>\h I

р'г = b0lP2 + £ bhAipl¿ + & E W

h+h>2 ¿2>l'il «10, ao 1, afi h, a¡¡A,/3h bfuh, = const.

Знак " + " соответствует тому, что коэффициенты ¡2 и Ь^^ умножаются на функции Pj1 PÍ,2 в положительных степенях ¡i и /2. Знак " — " соответствует тому, что коэффициенты а^ ^ и ^ умножаются на функции pf'fí^ , у которых Ь < 0 и > 0. При А — А = 0 система (7) является частным случаем системы (4) при m = 2. Будем предполагать, что ряды в правых частях системы (7) абсолютно сходятся в некоторой области. Решения этой системы при ¡3j + ф 0 будем называть обобщенными базисными функциями.

Примерами обобщенных БФ являются функции

р__1_ р__cxp(kx)_ nkv 6N

ехр(—na^-fexp^fcr)' ехр(—na^-fexp^fca;)' ' ' '

с помощью которых можно задавать начальные условия, стремящиеся к нулю при х —> ioo. Имеются также примеры, когда система (7) разрешима в эллиптических функциях. В качестве обобщенных БФ были рассмотрены также функции, зависящие от двух переменных х и t. В этом случае обобщенные БФ могут содержать функциональный произвол. Основной результат этого параграфа состоит в построении двойного ряда по степеням обобщенных БФ и соответствующей нумерационной функции, позволившей находить коэффициенты ряда рекуррентно. Этот ряд имеет вид

u(x,t)= £ 9tun2(t)P?(x)P?{*)+ Е ffñ„n2WPl"NP:ТИ- (8)

П1,«2=0 n2>[ni|

Знак " + " также соответствует тому, что коэффициенты умно-

жаются на функции Р™1/^2 в неотрицательных степенях тн и . Знак " — " соответствует тому, что коэффициенты <7г7ьП2(^) умножаются на функции Р"1 Р2"2 , у которых П1 < 0 и П2 > 0. Пусть начальное условие имеет вид

сю

Ы*)= Е ht,n>P?1(*)P22(x)+ Е ЛпьпЛЧ*)^), (9)

где Л+ ]П2 , /1~)П2 = const. Справедливо

Предложение 1.4.3. Формальное решение задачи (1), (2), (9) пред-ставимо в виде ряда (8) с рекуррентпо вычисляемыми коэффициентами по степеням обобщенных базисных функций, удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений (7) .

При доказательстве этого предложения использовалась следующая нумерационная функция:

-V ч , (П! 4-2n2)(ni 4-2712 + 1) ф-ii, пг) =ni + n2 +----,

по которой каждому коэффициенту <7пьп2(0 ставится в соответствие число с(п1,пг), и первыми будут находиться те коэффициенты, у которых это число меньше.

В §1.5 приведены примеры использования специальных рядов для представления решений различных конкретных уравнений математической физики (обобщенных уравнений Кортевега-де Фриза и Буссинеска, нелинейной фильтрации и уравнения Линя-Рейснера-Цяня) и исследована область сходимости построенных рядов. Например, в пункте 1.5.1 рассматривается задача Коши для обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза

ди „ди 92г+1и . .

+ = 7 = const 9'r€N' (10)

Решение уравнения (10) ищется в виде ряда

u{x,t) = J2uk(t)Pk(x,t). (11)

k> 0 15

по степеням базисной функции, предложенной в работе 4

Здесь /(£) -произвольная функция. Заметим, что функция (12) удовлетворяет дифференциальным соотношениям

р= Ь = С0П*Ь, /(ОеС[0,оо). (12)

ЯР 00

к=1 /13ч

ЯР 00

к=1

обеспечивающим условие, чтобы коэффициенты ряда (11), при использовании его для представления решения уравнения (1), находились рекуррентно 4.

Пусть начальные данные пред ставимы сходящимся рядом по степеням этой базисной функции.

«о(*)= £ п*,о)= Е (¡¿да- л =(14)

Справедлива

Теорема 1.5.1. Пусть выполнены следуюгцие условия:

1. для постоянных ипо , определяющих начальные данные (14), справедливы неравенства

Ко| < Я0, |и„0| < Щ-, п> 1, I > 3; п'

2. для функции /(¿) € Сг[0, оо) справедливы неравенства

0 </(0<Я1<-1 + 215г+;+1, |/'(01<Я2, ¿>0;

3. постоянная Ъ удовлетворяет неравенству Ъ < — тах{1,6о}, Ь0>0 (Ь0 = Ы<7,г,/>0,ЯьЯ2)).

^Аокоеихшш О.В., Сидоров А.Ф. Специальные конструкции рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1984, т. 15, N 3, 1984, с. 72-84.

Тогда решение задачи Коши с начальными данными (14) для обобщенного уравнения КдФ (10) предстпавимо в виде ряда (11), (12), ехо-дяяцегося в полуограниченной области х < 0, t > 0.

Полученные результаты о сходимости ряда (11) могут быть обобщены для уравнения вида

ди_ д2г+1и / д2ги\

F - полином от своих переменных (кроме, быть может, первой) с непрерывными и ограниченными по t коэффициентами, такой что F(t,u0,..., , при и0 = const.

В § 1.G построенные специальные ряды Kyt применяются для численного расчета нестационарного околозвукового обтекания клина и описания перехода нестационарного течения газа к стационарному (аналитически было показано, что такой переход осуществляется по экспоненциальному закону).

Глава 2 посвящена специальным рядам по степеням новых функций — согласованных базисных функций (решения, представленные такими рядами, учитывают вид исследуемого нелинейного уравнения). Рассмотренные в главе 1 специальные ряды по степеням универсальных БФ применимы для представления решений для широкого класса нелинейных уравнений и не учитывают специфику исходного уравнения. Поэтому возникает вопрос о возможности расширения класса БФ за счет учета специфики и особенностей исходного уравнения. В § 2.1 вводится определение согласованных БФ и показано применение согласованных рядов для получения глобальных решений задачи Коши для некоторого класса нелинейных уравнений (теорема 2.1.1). В пункте 2.1.2 рассматриваются согласованные БФ с функциональным произволом, удовлетворяющие дифференциальным соотношениям

= ж = (15)

4 ' k=k„ k=1

Здесь ко > 2 и функции ak(t), bk(t) £ С^С^оо) такие, что ряды в правых частях соотношений (15) предполагаются абсолютно сходящимися

при < Rq, R0 > 0 и t > О. Система (15) совместна, если функции ak(t) и bk(t) находятся из дифференциальных уравнений

а'к = а1ЬЛ2п ~ 1)-

l+n=k+1

Примерами согласованных БФ, зависящих только от х , являются функции

R^x) = 1 (R'tf = 4R\ - 4AR\, A = const;

x -f~ A.

^)=(es+4e-s)2. (K)2 = 8Rl-Rl

Примерами согласованных БФ с функциональным произволом являются Ri(x,t) = (х2 -f /(0)_1i -R3(a;,i) = (cos2а: + /(¿))-1, для которых дифференциальные соотношения (15) справедливы. Заметим, что среди универсальных БФ (13) нет, например, периодических или функций, стремящихся к нулю при х —> ±оо , которые присутствуют среди согласованных БФ (15) .

Опишем класс уравнений, которые допускают построение решений в виде специальных рядов по степеням как универсальных, так и согласованных БФ. Рассмотрим уравнение

Г И ^ kn-fdu\kiWd2u\hi (¿>2—ЧЛ*- /д2ти\'">

Ы -{a^J [d^J '(16)

APj(t)eC[О, оо), Pj—(k0j, kij, hj, • • •, kmj, lmj), fcoj+ •

Предложение 2.1.3. Рл^ no степеням согласованных БФ (15) является формальным решением уравнения (16), если для показателей

т

степени кц при любом j выполнены условия hj=2Nj, Nj£N .

t=i

Справедлива

Теорема 2.1.2. Если уравнение (16) является уравнением типа Ковалевской, за исключением, быть может, требования аналитичности функций APj(t) ( APj(t) € С[0, оо)) и выполнены условия

предложения 2.1.3, то существует Т>0 такое, что согласованный ряд u(x,t)=Y^un(t)Rn(x,t) сходится к решению уравнения (16) для п> О

О<t<T и всех х, для которых |i?|<l.

Приведенные выше примеры согласованных БФ свидетельствуют о том, что имеются также функции, при которых теорема 2.1.2 справедлива для всех х .

Согласованные ряды использовались также для представления классического неаналитического решения (теорема 2.1.3), чем дан положительный ответ на вопрос JI.B. Овсянникова о возможности применения метода специальных рядов для построения неаналитических решений.

В § 2.2 предложены специальные ряды по степеням новых базисных функций, которые могут быть применены для уравнений, имеющих особенности. Так в пункте 2.2.2 рассмотрено стационарное уравнение потенциала скорости

Ф2Ф2г + ф2фгг + 2ФгФгФгг - е(Фгг + Фгг + ЛГФГ/г) = 0. (17)

Здесь 0 = (7 — 1)[/<" — 0,5(Ф^ + Ф2)], 7 = const — показатель адиабаты газа, К = const, Фг(г, 2), Ф.(г, z) — составляющие скорости газа по г, z соответственно, N = 0 для плоского случая, N = 1 для осесим-метричного. Для уравнения (17) рассматривается задача

Ф(0, z) = Ф0(.г); Фг(0, z) = 0, -оо < г < оо, (18)

т.е. на оси г = 0 задано распределение потенциала скорости Фо(^), по которому требуется найти линии тока (стенки сопла), создающие такое распределение потенциала скорости. Решение уравнения (17) построено в виде согласованного ряда

оо

Ф(г, z) = щг + ui{z)№(Ti z)> u0 = const,

«•=1 (19)

R(r' z) = + £ C2(_00' 00)-

В теореме 2.2.2 в случае, если число Маха набегающего потока М^Л , доказано, что ряд (19) равномерно сходится к решению уравнения (17)

для всех 0 < г < оо, \г\ < Ь. Причем второе условие (18) в виду специфики БФ выполняется автоматически.

В § 2.3 изучается глобальная сходимость согласованных рядов с функциональным произволом. Доказано, что за счет выбора произвольной функции можно добиться глобальной сходимости согласованного ряда к решению задачи Коши для некоторого класса нелинейных уравнений (теорема 2.3.1), чем получен частичный ответ на вопрос А.Ф. Сидорова о возможности использовать произвольные функции, входящие в БФ, для ускорения сходимости специального ряда.

В § 2.4 изучаются специальные ряды, согласованные с точным решением. Пусть для исследуемого нелинейного уравнения известно точное решение 5оОМ). Рассмотрим следующий ряд:

00

ы(ж,<) = + (20)

П=1

Определение 2.4.1. Если для точного решения 5о(а:, ¿) исследуемого уравнения найдется такая функция Я(ж,<), что после подстановки ряда (20) в исходное уравнение коэффициенты ряда ап(£) будут находиться рекуррептно, то будем говорить, что ряд (20) согласован с точным решением.

В частности, удалось построить и исследовать сходимость (теорема 2.4.1) следующего ряда:

( Л — 1 2 ,__^20___Вп_

иУх>1>- 6(С + 1)Х + (с + г)(х2 + 1)2 + ^(с + 0(®2 + 1)"'

представляющего решение нелинейного уравнения фильтрации щ—иихх+и2. Здесь постоянные Вп зависят от произвольных постоянных С , Й20 •

В главе 3 изучается вопрос о возможности представления решений начально-краевых задач специальными рядами, с помощью которых удается точно удовлетворить заданным нулевым краевым условиям, как для одномерного нелинейного волнового уравнения, так и для двумерного. В пункте 3.3.1 использованы двойные специальные ряды по степеням универсальных БФ, но обладающими дополнительными свойствами,

позволяющими точно удовлетворить нулевым граничным условиям при решении начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения

ntt=uxx^2l2m(t)u2m+ K2m+l,n(í)«2m+4> (21)

m> О m+í>l

u(x,0) =щ0(а:), щ{х,0) = ui(x), 0 < х < L, (22)

u(0,t) = u{L,t) = 0, t> 0. (23)

Рассмотрим БФ Р\(х), Рг{х), удовлетворяющие системе

Р\ = ^Е am,2n+l-Pl"l-f>2rl+1J

m+2n<N-\ /„.ч

Е ътМр?р?.

m+2n<N

Определение 3.1.1. Если для решений системы (24) справедливы равенства Pi(0) ф 0, -Рг(О) = -Рг(Ь) = 0, то будем говорить, что функции Р\, Р2 или соответствующий им ряд

оо

и(х, t) = J2 uitmi(t)PÍ(x)P?+\x), (25)

i,j=о

обладают 0 -свойством.

Важным примером БФ, обладающих 0-свойством являются функции Р\~ cosAx, P2=sinAx, А=7t/L. Было доказано, что ряд (25) по степеням БФ, обладающих 0 -свойством, является решением начально-краевой задачи (21) — (23) при всех 0<а:<L, 0<t<T, Т>0 (теорема 3.1.2).

В главе 3 для построения решений начально-краевых задач используются также и согласованные специальные ряды для уравнений вида

оо

q=1 m+k+l=q

Сходимость таких рядов установлена в теоремах 3.1.3, 3.1.4. Примерами таких согласованных рядов являются:

со оо

и(х, t) = ^Г^ un(t) sin" х, u(x, t) = Е ип(£)хП(х — 7Г)"-

п—1 п=1

21

В §3.2 предложены конструкции кратных специальных рядов, которые использованы для представления решений нелинейных волновых уравнений с точным удовлетворением нулевых краевых условий в сложной двумерной области (теорема 3.2.1).

Глава 4 посвящена обоснованию обобщенного метода Фурье, применяемого для решения начально-краевой задачи для нелинейного уравнения

д2пи дти

т<п+1 (26)

с начальными данными

J з

и^О^^^ао^Бттгвж, г^^О^^Г^а^Бштгвсс, 0<ж<1 (27)

и краевыми условиями

гг(0, *) = и(М) = 0, * > О, = = (прип > 2).

Здесь е - малый параметр, / - нелинейная непрерывная функция от своих аргументов. Решение задачи (26) - (28) построено в следующем виде:

N

ч.:

Коэффициенты г3(е, ¿) определяются из системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (ведущей системы)

= 1, • ■ ■, 2ц), и{ = 7гг,

¿(х, Ь) ■= ^Г^ (е, йтл-йх + г>(е, t,x,N), N >

2((0) = аи, (0) = от«, г = 1, N.

Выл выделен класс ведущих систем, обладающий Р -свойством и некоторый класс нелинейных функций /

/ = + Ьр(х)и2п + сриЫ т 6 к,

р=1

который порождает такие системы (теорема 4.2.1). В лемме 4.2.5 для ведущих систем, обладающих Р -свойством, удалось построить в явном виде для любого N определенно положительную функцию Ляпунова, с производной в силу этой системы равной нулю. С помощью этого факта было доказано, что все решения ведущей системы при всех t > О будут ограниченными функциями и, более того, почти периодическими. Ограниченность коэффициентов отрезка ряда Фурье позволила оценить добавочную функцию v(e,t,x,N) и, тем самым, обосновать обобщенный метод Фурье для уравнений (26) с нелинейными функциями /, порождающими ведущие системы с Р-свойством (теорема 4.2.2). Для функции v была доказана оценка

\v(e,t,x,N)\ <£i(~ + ei)c.

В § 4.3 предлагается численный метод решения начально-краевой задачи для нелинейных уравнений - метод пересчета. Суть этого метода заключается в комбинации обобщенного метода Фурье и модифицированного метода малого параметра, в результате чего на каждом шаге происходит уточнение коэффициентов ряда Фурье. Приведены результаты численных расчетов.

Глава 5 посвящена доказательству разрешимости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений

ди д2г+1и „ / д2ги\

+ 7 = const (29)

с начальными условиями

оо

и(х, 0) = щ(х) = ^u°Pn(x,0), и° = const (30)

71=0

и заданным краевым условием при х — 0

u{0,t) = h(t), t> 0, h(t) G С^О.оо) и h(t)-u0^ 0. (31) Корректность начально-краевой задачи для обобщенного уравнения

КдФ

ut + и ххх + аих + (д(и))х = 0, а — const (32)

рассматривалась в классе обобщенных функций в работах Дж. Бона, Р. Винтера, A.B. Фаминского, И.Т. Хабибуллнна и др. Одним из условий разрешимости смешанной задачи для уравнения (32) было условие ограничения на рост нелинейной функции д(и). Например, рассматривалось такое условие5

< (М10/3+ М), (33)

Для доказательства разрешимости задачи (29) - (31) используется универсальная базисная функция

Р(х, t) = (ехр(Ьх) + 0(t))-\ ${t) = fo + ¡ <p(r)dT, ^

tp{t) G C\0, oo), /о > 0, b = const. Вначале решение начально-краевой задачи ищется в виде ряда

(м) =

и

п=0

по степеням БФ (34) с uo(t) = щ = const. В итоге решение этой задачи сводится к доказательству разрешимости следующего уравнения относительно функции <p(t):

Л(0=«о + £-^---(35)

(1+fo + f v(r)dr)n

о

где функции u„(t) определяются из последовательности уравнений

п

и'п = {п- l)yj(i)un_i + bY\luiun-l - (I - l)${t)u[-iUn^l)

1=0

+7b3[n3u„ - (3n2 - 3n + 1 )(n - 1 (36)

+3(n - l)2(n - 2)0>{t)un_2 - (n - l)(n - 2)(n - 3)£3(i)u„_3] с начальными условиями, определяемыми начальными данными (30)

ип(0) = и°п, п>1. (37)

5 Фсииинский A.B. О нелокальной корректности смешанной залами в полуполосе для обобщенного уравнения Кортевега - де Фриза // Математическое моделирование, 2001, Т. 13, N 12, с. 115-125.

Для простоты выкладок уравнения (36) выписаны для уравнения КдФ, хотя все дальнейшие утверждения справедливы и для уравнения общего вида (29). Решения уравнений (36) - (37) представимы в явном виде и должны быть рассматриваться совместно с уравнением (35), которое можно преобразовать к виду

4>{t) = qi{t) - q2(t) £-^-

(1 +/о + J>(r)dr)"-i

. /.X <рип + bn+iun+l + Rn+x (38) +qi{t) -1-,

(l + /o + /v(r)dr)»

о

где bn = 763n3 + 6rm0,

,,4 bim «!/»'(*) ... 1

93(i) - - W' 92(<) = (Mi)-«o)2' 91(0 =

Rn^b iuiuj—btp{t) 53 iWtUj—763[(3n2 —3n+l)(n — l)^(<)un_i

i+j=nJjiO t'+j=n-l

-3(n - l)2(n - 2)$2(t)un_2 + (n - l)(n - 2)(n - 3)^3(i)wn_3].

Рассмотрим пространство непрерывных на [О, Т] функций с нормой

HvIIt = max \<p(t)\. Множество о <t<T

QT = {y- у>еС[0,Т], \ip{t)\<D, (D = const), 0<i<T}

является замкнутым и ограниченным. Если обозначить через A(ip) оператор, значение которого равно правой части равенства (38), то удается показать, что он является сжимающим оператором на пространстве Пт-При доказательстве этого факта используются несколько вспомогательных утверждений, одим из которых является

Лемма 5.2.1. Пусть выполнены условия:

1. \u°n\<0.5Min-m, 0<Mi< 1, п>1, ш=2г+4, w0>0;

t

2. 0</о + J <p(r )dr < /ь /о < /ь ff + З/2 + 3 h < 2-(m+1),

W(t)\<D, t> 0;

3. 7>0, ь< 0, |6|>6о=шах{(£)7-12т+1)5![7-1(22т+1+ио2т+1)]^}.

При выполнении условий леммы 5.2.1 для коэффициентов ряда и, справедливы оценки (лемма 5.2.4)

Леммы 5.2.1 и 5.2.4 были использованы при доказательстве утверждений, согласно которым существует число Т4 > 0 такое, что оператор А переводит множество Пт4 в себя (лемма 5.2.5) и является сжимающим (лемма 5.2.6).

Заметим, что при доказательстве всех утверждений нигде не используются ограничения на рост нелинейности, например, типа (33).

В теореме 5.2.1 сформулированы условия, при которых существует единственная функция <р£$1т4 , при которой начально-краевая задача (29)—(31) имеет решение в области —оо<а;^0 , , Т4Х).

Таким образом, получен положительный ответ на вопрос А.Ф. Сидорова о возможности использовать функциональный произвол в базисных функциях для доказательства разрешимости начально-краевых задач с заданными краевыми условиями.

Тогда справедливы оценки

Мх

т = 2г + 4.

Основные результаты:

1. Построены специальные ряды по степеням новых базисных функций для представления решений нелинейных уравнений и исследована сходимость этих рядов для широкого класса нелинейных уравнений (в том числе и для уравнений не типа Ковалевской);

2. Показана возможность использования функционального произвол в базисных функциях для доказательства глобальной сходимости специальных рядов;

3. Построены специальные ряды для представления решений начально-краевых задач (в том числе и в сложных двумерных областях) с точным удовлетворением нулевых краевых условий;

4. Разработан метод генерации новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными в виде суммы известного точного решения и специального ряда по степеням базисных функций с функциональным произволом;

5. Выделен класс нелинейных гиперболических уравнений, для которых с помощью аппарата функций Ляпунова удалось обосновать применимость обобщенного метода Фурье и исследовать свойства решений ведущих систем.

6. Доказана возможность использования функционального произвола в базисных функциях для доказательства разрешимости начально-краевых задач с заданными краевыми условиями для нелинейных эволюционных уравнений (типа обобщенного уравнения КдФ), для которых вопрос разрешимости таких задач оставался открытым.

В заключение выражаю глубокую благодарность Сергею Сергеевичу Титову за внимание, полезные замечание и интерес к моим исследованиям.

Публикации по теме диссертации

[1] Филимонов М.Ю. О представлении решений смешанных задач для нелинейного волнового уравнения специальными двойными рядами // Дифференциальные уравнения, 1991, т. 27, N 9, с. 1625-1632.

[2] Филимонов М.Ю. О применении функций Ляпунова при обосновании метода Фурье для нелинейных уравнений с частными производными // Вычислительные технологии, 1993, т. 2, N 5, с. 214-216.

[3] Filimonov М. Yu., Korzunin L.Q., Sidorov A.F. Approximate methods for solving nonlinear initial boundary-value problems based on special construction of series // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 1993, vol. 8, N 2, p. 101-125.

[4] Filimonov M.Yu. On the justification of the Fourier method to the solution of nonlinear partial differential equations // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1996, vol. 11, N 1, p. 27-39.

[5] Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными в неограниченных областях // Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, N 11, с. 1538-1543.

[6] Филимонов М.Ю. О представлении специальными рядами решений нелинейных уравнений типа Коши-Ковалевской с неаналитическими начальными данными // Сибирский журнал индустриальной математики, 2001, N 2, с. 198-203.

[7] Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для представления решений нелинейных уравнений с частными производными // Вычислительные технологии, 2001, т. 6, Спец. выпуск, часть 2, с. 650-657.

[8] Филимонов М.Ю. О представлении новыми конструкциями специальных согласованных рядов решений нелинейных уравнений с частными производными // Вычислительные технологии, 2001, т. 6, N 3, с. 103-112.

[9] Филимонов М.Ю. Использование метода специальных рядов для представления решений начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 8, с. 1100-1107.

[10] Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 6, с. 801-808.

[11] Filimonov M.Yu. Application of the Method of Special Series in Nonlinear Mathematical Physics // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, suppl. 1, 2004, p. 58-77.

[12] Филимонов М.Ю. О применение специальных рядов при решении смешанных задач для нелинейных уравнений в частных производных // Труды ИММ. Аналитические и числ. методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1987, с. 124-138.

[13] Филимонов М.Ю. Применение обобщенных базисных функций и кратных рядов для разложения решений нелинейных уравнений // Труды ИММ. Численные и аналитические методы моделирования в механике сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1989, с. 7G-85.

[14] Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов при решении смешанных задач Коши для сложных многомерных областей // Труды ИММ. Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1992, с. 66-71.

[15] Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов к исследованию нестационарных околозвуковых течений газа // Моделирование в механике, Новосибирск, 1987, т. 1, N 1, с. 117-125.

[16] Филимонов М.Ю. О некоторых конструкциях специальных рядов, согласованных с данным нелинейным уравнением // Моделирование в механике, Новосибирск, 1989, Т. 3 (20), N 4, с. 146-150.

[17] Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Представление новыми конструкциями согласованных рядов решений нелинейных уравнений в частных производных // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2001, Вып. 118, с. 103-108.

[18] Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений // Динамика сплошной среды, Новосибирск, 2002, вып. 120, с. 79-83.

[19] Филимонов М.Ю. Применение точных решений нелинейных уравнений с частными производными для построения новых классов решений с помощью специальных рядов // Труды международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2000, с. 231-234.

[20] Филимонов М.Ю. Представление решений начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными с помощью метода специальных рядов // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". Красноярск, 2001, т. 2, с. 233-236.

[21] Филимонов М.Ю. О представлении начально-краевых задач нелинейных эволюционных уравнений специальными рядами // Труды III международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2002, с. 233-236.

[22] Filimonov M. Yu. The justification of Fourier rnethod for describing nonlinear oscillatory motions // Proceedings of XXX Summer School "Advanced problems in mechanics" St. Peterburg (Repino), 2002, p. 207-210.

[23] Filimonov M.Yu. Application of the rnethod of spécial sériés with recurrently calculated coefficients to solve nonlinear problems of

mechanics // Proceedings of XXXI Summer School-Conference "Advanced problems in mechanics", St. Peterburg (Repino), Russia, 2003.

[24] Филимонов М.Ю. Специальные ряды и их приложения // Труды VIII Всеросс. шк.-сем. "Современные проблемы математического моделирования." Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1999, с. 231-239.

[25] Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения новых классов решений двумерного уравнения фильтрации // Труды Всеросс. конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности". Изд-во РГУ. Ростов-на-Дону. 2000, с. 216-221.

[26] Филимонов М.Ю. Численно-аналитические методы представления решений нелинейных уравнений в частных производных // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования," Серия "Математическое моделирование и современные информационные технологии", 2005, Вып. 4, с. 386-391.

Подписано в печать 7.11.2006. Формат 60x84/16. Объем 2 п.л. Тираж 150 экз. Заказ ДО 216 Размножение с готового оригинал-макета в типографии "Уральский центр академического обслуживани" 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18.

Обозначения

Введение

Глава 1. Метод специальных рядов

§ 1.1. Применение рядов при решении дифференциальных уравнений

1.1.1. Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами для обыкновенных уравнений.

1.1.2. Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами для уравнений с частными производными.

§ 1.2. Специальные ряды Kt по степеням универсальных базисных функций.

1.2.1. Формальное построение решения в виде специального ряда по степеням одной базисной функции.

1.2.2. Кратные специальные ряды.

1.2.3. Кратные ряды Kt для многомерных областей

§ 1.3. Специальные ряды с функциональным произволом.

1.3.1. Ряды Kt с функциональным произволом.

1.3.2. Ряды Кд с функциональным произволом для многомерных областей.

§ 1.4. Специальные ряды Kt по степеням обобщенных базисных функций.

1.4.1. Обобщенные базисные функции :.

1.4.2. Рекуррентность нахождения коэффициентов ряда

§ 1.5. Примеры применения специальных рядов Кд

1.5.1. Представление рядами Kt решений обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза.

1.5.2. Исследование сходимости рядов Kt для решения обобщенного уравнения Буссинеска

1.5.3. Исследование сходимости рядов Кх для нелинейного уравнения фильтрации.

1.5.4. Представление специальными рядами Кх решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неаналитическими начальными данными.

1.5.5. Применение метода специальных рядов для построения решений уравнения нестационарных околозвуковых течений газа.

§ 1.6. Результаты численного эксперимента по нестационарному околозвуковому обтеканию клина

Глава 2. Согласованные специальные ряды

§ 2.1. Применение согласованных специальных рядов Kt для представления решений нелинейных уравнений с частными производными

2.1.1. Согласованные базисные функции

2.1.2. Согласованные БФ с функциональным произволом

2.1.3. Представление согласованными рядами Kt решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неаналитическими начальными данными.

§2.2. Решение нелинейных уравнений с особенностями.

2.2.1. Представление согласованными рядами Kt решений нелинейных уравнений, имеющими особенности

2.2.2. Представление согласованными рядами решений стационарного уравнения потенциала скорости

§ 2.3. Глобальная сходимость согласованных рядов с функциональным произволом.

§ 2.4. Специальные ряды, согласованные с точным решением

2.4.1. Построение решения уравнение нестационарной фильтрации в виде специального ряда, согласованного с точным решением

2.4.2. Исследование сходимости специального ряда, согласованного с точным решением

Глава 3. Представление решений начально-краевых задач для нелинейных волновых уравнений с нулевыми граничными условиями

§ 3.1. Применение специальных рядов для представления начально-краевых задач для нелинейных уравнений с точным удовлетворением краевых условий.

3.1.1. Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения специальными двойными рядами, согласованными с начальными условиями

3.1.2. Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения согласованными рядами

3.1.3. Результаты численных расчетов по представлению согласованными рядами решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения

§ 3.2. Применение кратных специальных рядов для представления начально-краевых задач для нелинейных двумерных волновых уравнений.

Глава 4. Обоснование обобщенного метода Фурье для одного класса нелинейных уравнений

§4.1. Постановка задачи и построение решения для нелинейных волновых уравнений.

§4.2. Построение функций Ляпунова и исследование сходимости ряда (4.1.14).

§ 4.3. Обоснование метода пересчета и результаты численных расчетов

Глава 5. Применение метода специальных рядов для доказательства разрешимости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений

§ 5.1. Постановка задачи.

§ 5.2. Доказательство разрешимости начально-краевых задач для уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке и применению аналитического метода — метода специальных рядов — к построению решений и доказательству разрешимости начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений математической физики более широкого, чем класс уравнений в частных производных типа Ковалевской.

Актуальность темы

Для эффективного подхода к решению проблем, возникающих в современной науке и технике, не обойтись без исследования нелинейных задач математической физики. Стремительное развитие вычислительной техники и появление быстродействующих суперкомпьютеров позволяют исследователям строить и рассматривать все более сложные многомерные модели, описывающие различные явления, которые моделируются, как правило, с помощью нелинейных уравнений (систем) в частных производных. Однако, сейчас стало понятно, что без развития аналитических методов невозможно получить полное представление о сути явления. Аналитические методы дают не только надежный инструмент для отладки и сравнения различных численных методик, но иногда и предвосхищают некоторые научные открытия, дают возможность изучить свойства моделей, обнаружить наличие тех или иных эффектов как следствие существования или несуществования объектов (решений) с требуемыми свойствами. Поэтому в настоящее время в различных странах интенсивно ведутся фундаментальные исследования, направленные на доказательство теорем существования и единственности решений нелинейных уравнений с частными производными.

Наиболее перспективным направлением получения приближенных решеиий нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов. Численные методы особенно трудоемки в многомерном случае, поэтому актуальной задачей является развитие различных аналитических методов построения решений в замкнутой форме и методов, позволяющих находить решение с любой заданной точностью (например, в виде рядов или асимптотических разложений).

Отметим некоторые аналитические методы получения решений уравнений с частными производными. Для линейных уравнений эффективен метод разделения переменных [118], но для нелинейных уравнений в общем случае этот метод позволяет получать узкие классы решений. Хотя и для нелинейных задач с помощью данного метода, который в этом случае можно назвать "обобщенным методом разделения переменных", были получены интересные результаты, связанные с нестационарными диссипативиыми структурами (см., например, работы В.А. Галактионова, С.А. Посашкова, С.Р. Свирщевского и др. авторов [28], [29]). Для нелинейных уравнений оказываются эффективными также методы теории размерностей, приводящей к автомодельным решениям (см. работы Л.И. Седова [91], А.А. Самарского, С.П. Курдюмова, Г.Г. Елеиипа [33], [34]), групповые методы (см. монографии JI.B. Овсянникова [79], Н.Х. Ибрагимова [40], В.К. Андреева и др. [1]), работы С.В. Хабирова [196], [166] - [169], А.П. Чупахина [174], [180], С.В. Мелешко, В.В. Пухпачева [76], методы дифференциальных связей (А.Ф. Сидоров, В.П. Шапеев, Н.Н. Яненко [93]), метод вырожденного годографа (работы А.Ф. Сидорова, Н.Н. Япепко [94], [95]), метод ассоциативных колец (С.С. Титов [107]), метод поиска многосолитоииых решений (В.Е. Захаров, А.Б. Шабат [38], В.И. Карпмап [43], Р. Хирота [192]), в том числе метод L — А пар (П.Д. Лаке [200]), который, в частности, связан с теорией групп Ли-Беклуида [40]. Получаемые таким образом частные решения полезны при изучении реальных процессов, тестировании и сравнении различных численных методик. Однако, точные решения описывают, как правило, достаточно узкий класс физических процессов и при решении реальных начально-краевых задач, как правило, не обойтись найденным набором точных решений.

Отметим также некоторые аналитические методы получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными в виде рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами. Так для исследования различных задач гидромеханики, газовой динамики и механики также использовались различные ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами (см. работы JI.B. Овсянникова [80], [81], Л.И. Седова [92], О.С. Рыжова [89], У.Г. Пирумова [85], А.Н. Голубятиикова, С.И. Зонепко, Г.Г. Черного [30]).

Методы асимптотических разложений ( см., например, монографии М. Ван-Дайка [24] и A.M. Ильина [41]) также приводят к последовательному определению коэффициентов разложений из линейных систем уравнений (кроме, быть может, нулевого коэффициента), но требуют наличия в уравнении малого или большого параметров.

Метод, разработанный А.Д. Брюио [13] и использующий степенные разложения, позволил получить обобщения классических теорем Коши и Ко-ши-Ковалевской [14] и другие результаты о структуре решений дифференциальных систем.

Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами использовались Ю.Е. Аниконовым для решения обратных задач для эволюционных уравнений [175].

К группе аналитических подходов относится и метод специальных рядов, получивший свое развитие после работы А.Ф. Сидорова [97]. Суть его состоит в разложении решения в ряд по степеням одной или нескольких специальным образом выбираемых функций [25], [183], называемых далее базисными. При таком выбор базисных функций формальное решение исследуемого нелинейного уравнения представимо в виде специального ряда, коэффициенты которого будут находиться рекуррентно как решения последовательности более простых уравнений.

При использовании метода специальных рядов к исследованию решений нелинейных уравнений актуальными задачами являются: построение систем новых базисных функций, позволяющих получать решения в виде специальных рядов для более широкого класса начальных условий; описание классов нелинейных уравнений в частных производных, для которых удается доказать сходимость построенных рядов; применение специальных рядов для доказательства разрешимости начально-краевых задач (подтверждение гипотезы А.Ф. Сидорова о возможности использования функционального произвола в базисных функциях для удовлетворения заданного краевого условия).

Цель работы: предложить общий подход к конструктивному построению решений для некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными в виде рядов по степеням новых базисных функций, учитывающих , в том числе, специфику и особенности исследуемых уравнений; указать классы нелинейных уравнений в частных производных, для которых удалось с помощью метода специальных рядов построить решения в виде рядов и доказать их сходимость; применить метод специальных рядов к исследованию начально-краевых задач для известных уравнений математической физики; обосновать применимость метода специальных рядов и обобщенного метода Фурье к решению начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных волновых уравнений с заданными нулевыми краевыми условиями; использовать специальные ряды, содержащие функциональный произвол, для доказательства новых теорем существования начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза.

Методика исследований

В работе используется конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными (метод А.Ф. Сидорова) — метод специальных рядов. Для обоснования этого подхода использованы методы и понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений, общей теории рядов. При обосновании применимости обобщенного метода Фурье для решения начально-краевых задач используется аппарат функций A.M. Ляпунова, при доказательстве разрешимости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений использованы также методы функционального анализа.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: построены специальные ряды по степеням новых базисных функций для представления решений некоторого класса нелинейных уравнений с частными производными и исследована сходимость этих рядов; показана возможность использования функционального произвола в базисных функциях для доказательства глобальной сходимости специальных рядов; построены специальные ряды для представления решений начальнокраевых задач (в том числе и в сложных двумерных областях) с точным удовлетворением нулевых краевых условий, исследована сходимость этих рядов для некоторого класса нелинейных волновых уравнений; разработан метод генерации новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными в виде суммы известного точного решения и специального ряда по степеням базисных функций с функциональным произволом; выделен класс нелинейных гиперболических уравнений, для которых с помощью аппарата функций Ляпунова удалось обосновать применимость обобщенного метода Фурье; доказана возможность использования функционального произвола в базисных функциях для решения начально-краевых задач с заданными краевыми условиями для некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Разработанные конструкции специальных рядов по степеням новых базисных функций могут быть использованы для исследования нелинейных уравнений с частными производными, с их помощью можно решать задачи Коши и начально-краевые задачи для нелинейных уравнений с частными производными, в том числе и для уравнений не типа Ковалевской. Специальные ряды могут быть использованы также и для доказательства теорем существования решений краевых задач для некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений, вопрос о существовании решения для которых оставался открытым. В частности, тем самым был дан положительный ответ на вопрос А.Ф. Сидорова о возможном использовании произвольных функций, входящих в базисные функции, для удовлетворения заданного краевого условия.

Самостоятельный теоретический интерес применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям имеют исследования по обоснованию использования обобщенного метода Фурье для представления решений начально-краевой задачи для некоторого класса нелинейных волновых уравнений. В этом случае были исследованы последовательности систем из N нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих чисто мнимые характеристические корни. При этом для любого числа N была построена положительно определенная функция Ляпунова с производной в силу этой системы равной нулю, доказана ограниченность и почти периодичность решений такой системы.

Кроме того, практическую значимость имеют решения в виде специальных сходящихся рядов для нелинейных эволюционных уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза, для уравнения Линя-Рейснера-Цяня, уравнения стационарных осесимметричпых течений газа, имеющего особенность, для нелинейного уравнения фильтрации. Сходимость таких рядов доказывается, как правило, в неограниченной области. Построенные ряды имеют высокую скорость сходимости, что позволяет их использовать для тестирования численных методик, а также использовать для создания новых численно-аналитических методов. Так, например, с помощью специальных рядов был проведен расчет нестационарного околозвукового обтекания клина, описан переход от нестационарного течения газа к стационарному и аналитически было показано, что такой переход осуществляется по экспоненциальному закону.

Публикации

Основные результаты опубликованы в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК, [135,137,139,142-144,147,148,183,184,187], в трудах Института математики и механики УрО РАН [132,133,136], в журналах, издававшихся в Новосибирске [16,18,131,134], а также в трудах Международных конференций [140,145,146,185,186]. Из совместных работ с Н.А.Вагановой [16,18] и работы с А.Ф.Сидоровым и Л.Г.Корзуниным [183] в диссертацию включены только результаты автора.

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

VIII Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо (1999);

Всероссийская научная конференция "Современные проблемы механики. Конференция посвященная 40-летию Института механики МГУ", Москва (1999);

Международная конференция, посвященная 150-летию С.В.Ковалевской, Санкт-Петербург (2000);

Международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2000, 2002);

Всероссийская конференция "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности", Абрау-Дюрсо (2000);

III Международная конференция по математическому моделированию, Якутск, (2001);

VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике,

Пермь, (2001);

Международная конференция "Математические модели и методы их исследования", Красноярск (2001);

Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", Новосибирск (2001);

VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (2002); XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти К.И.Бабенко, Дюрсо (2002);

Международные летние школы-конференции "Прикладные проблемы механики", Санкт-Петербург (2002, 2003, 2004);

Всероссийская школа - семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа", (2002, 2004, 2006); Международная конференция "Забабахинские научные чтения", Сне-жинск (2003);

Всероссийская школа - конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (2003, 2004, 2006);

Всероссийская конференция приуроченная к 85-летию академика JI.В.Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", Новосибирск (2004); XI Всероссийская школа-семииар "Современные проблемы математического моделирования," Абрау-Дюрсо (2005);

Региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, (2000, 2001, 2002, 2003); на научных семинарах: под руководством академика РАН JI.B. Овсянникова в Институте гидродинамики СО РАН, Новосибирск (2000); под руководством профессора Т.И. Зеленяка в Институте математики СО РАН, Новосибирск (2000); под руководством профессоров Л.А.Калякина и В.Ю.Новокшенова, Уфа

2004); под руководством чл.-корр. РАН В.М.Тешукова и профессора В.Ю.Ляпидевского в Институте гидродинамики СО РАН, Новосибирск (2005); под руководством чл.-корр. РАН Б.И.Четверушкина и профессора В.Ф.Тишкина в Институте математического моделирования РАН, Москва

2005).

Труды и тезисы докладов указанных выше конференций опубликованы в [19-23,138,140,145,149-154,156-160,186,188,189].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 265 страниц. Библиография содержит 209 наименований.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, следующие:

1. Построены специальные ряды по степеням новых базисных функций для представления решений нелинейных уравнений и исследована сходимость этих рядов для широкого класса нелинейных уравнений (в том числе и для уравнений не типа Ковалевской);

2. Показана возможность использования функционального произвол в базисных функциях для доказательства глобальной сходимости специальных рядов;

3. Построены специальные ряды для представления решений начально-краевых задач (в том числе и в сложных двумерных областях) с точным удовлетворением нулевых краевых условий;

4. Разработан метод генерации новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными в виде суммы известного точного решения и специального ряда по степеням базисных функций с функциональным произволом;

5. Выделен класс нелинейных гиперболических уравнений, для которых с помощью аппарата функций Ляпунова удалось обосновать применимость обобщенного метода Фурье и исследовать свойства решений ведущих систем.

6. Доказана возможность использования функционального произвола в базисных функциях для доказательства разрешимости начально-краевых задач с заданными краевыми условиями для нелинейных эволюционных уравнений (типа обобщенного уравнения КдФ), для которых вопрос разрешимости таких задач оставался открытым.

Заключение

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994, 319 с.

2. Бабич В.М. Об элементарных решениях гиперболических уравнений // ДАН СССР, 1959, т. 219, N 3, с. 478-481.

3. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Математический сборник, 1960, т. 52 (94): 2, с. 709-738.

4. Баутин С.П. Аналитические решения задачи о движении поршня // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1973, т. 12, N 11, с. 2052-2063.

5. Баутин С. П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференциальные уравнения, 1976, т. 12, N 11, с. 2052-2063.

6. Баутин С.П. Аналитическая тепловая волна. -М.: Физматлит, 2003, 88 с.

7. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Истечение идеального газа в вакуум // ДАН СССР, 1983, т. 273, N 4, с. 817-820.

8. Баутин С. П. Сведение некоторых задач газовой динамики к характеристической задаче Коши стандартного вида // Аналитические и численные методы исследования задач механики сплошной среды, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987, с. 4-22.

9. Баутин С. П. Исследование области сходимости специальных рядов, решающих некоторые задачи газовой динамики // Численные методы механики сплошной среды, 1978, т. 9, N 4, с. 5-17.

10. Баутин С.П. Охлопывание одномерной полости // ПММ, 1982, т. 46, вып. 1, с. 50-59.

11. Баутин С.П., Казаков А.Л. Обобщенная задача Коши и ее приложения.-Новосибирск: Наука, 2006, 397 с.

12. Бор Г. Почти периодические фуикции.-М., 1934.

13. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравпениях.-М.: Наука, 1998, 288 с.

14. Брюно А.Д. Степенные разложения решений системы алгебраических и дифференциальных уравнений // ДАН. 2001, т. 380, N 3, с. 298-304.

15. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах.-М.: Мир, 1983, 135 с.

16. Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Представление новыми конструкциями согласованных рядов решений нелинейных уравнений в частных производных // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2001, Вып. 118, с. 103-108.

17. Ваганова П.А., Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений // Динамика сплошной среды, Новосибирск, 2002, вып. 120, с. 79-83.

18. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.-М.: Мир, 1967, 310 с.

19. Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика, 1983, N 7, с. 13-27.

20. Вершинин С.В., Сидоров А.Ф. О поведении решений уравнений двойных воли в окрестности области покоя // ПММ. 1974, т. 39, вып. 6, с. 1043-1050.

21. Гаврилушкин И.Б., Сидоров А.Ф. Об одном классе решений нелинейного уравнения для потенциала скоростей // ПММ, 1974, т. 38, вып. 2, с. 264-270.

22. Галактионов В.,А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями // Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, N 2, с. 253-261.

23. Галактионов В.А., Посашков С.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичной нелинейностью // Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. М., 1999, с. 190-207.

24. Голубятников А.Н., Зоненко С.И., Черный Г.Г. Новые модели и задачи теории кумуляции // Успехи механики, 2005, т. 3, N 1, с. 31-93.

25. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН. 1972, т. 282, N 5, с. 10311033.

26. Дородницын А.А. Некоторые случаи осесимметричных сверхзвуковых течений газа // Сборник теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборонгиз, 1957, с. 77-88.

27. Еленин Г.Г., Курдюмов С.П. Условия усложнения организации нелинейной дискретной среды.-М.: (Препринт АН СССР. ИПМ N 106). 80 с.

28. Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский А.А. // Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1983, т. 23, N 2, с. 380-390.

29. Еругин II.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. -Минск: Наука и техника, 1979, 743 с.

30. Жаутыков О.А. О применении метода усреднения к решению одного уравнения в частных производных // Приближенные методы решения дифференциальных уравнений, Киев, 1964, с. 52-61.

31. Захаров В.Е. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осциляторов // ЖЭТФ, 1973, т. 65, с. 212-225.

32. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функц. анализ и его прил., 1974, т. 8, N 3.

33. Зубов Е.Н. О решении одной краевой задачи для неустановившегося пространственного течения газа и распространении слабых ударных волн // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1972, т. 3, N 3, с. 32-50.

34. Ибрагимов II.X. Группы преобразований в математической физике.-М.: Мир, 1983, 280 с.

35. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989, 336 с.

36. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.: Наука, 1976.

37. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. Новосибирск, 1968.

38. Ковалевская С.В. К теории дифференциальных уравнений в частных производных // Научные работы, М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1948, с. 7-50.

39. Коковихина О.В., Сидоров А.Ф. Специальные конструкции рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1984, т. 15, N 3, 1984, с. 72-84.

40. Корзунин Л.Г. Исследования многомерных базисных функций // Труды ИММ. Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1992, С. 3-15.

41. Коробейник Ю.Ф., Михайлов А.Б. Об аналитических решениях задачи Коши // Дифференц. уравнения, 1991, т. 27, N 3, с. 503-510.

42. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук, 1981, Т. 36, N 1, с. 73-126.

43. Коробейник Ю.Ф. Об аналитических решениях задачи Коши для уравнений параболического типа // Дифференц. уравнения, 1994, Т. 30, N 10, С. 1774-1781.

44. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы экспонент и задача Коши для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // Изв. РАН. Сер. математика, 1997, т. 61, N 3, С. 1774-1781.

45. Коробейник Ю.Ф. Метод Фурье в задаче Коши и абсолютно представляющие системы экспонент. I // Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, N 12, с. 1669-1676.

46. Коробейник Ю.Ф. Метод Фурье в задаче Коши и абсолютно представляющие системы экспонент. II // Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, N 2, с. 251-255.

47. Коробейник Ю. Ф. Метод Фурье в задаче Коши и абсолютно представляющие системы экспонент. III // Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, N 3, с. 386-392.

48. Коробейник Ю.Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций // ДАН, 2000, т. 372, N 1, с. 17-20.

49. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // Прикладная математика и механика, 2001, т. 65, вып. 5, с. 884-894.

50. Козманоо М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для гиперболических систем квазилинейных уравнений первого порядка с двумя переменными // ПММ, 1975, т. 39, вып. 2, с. 253-259.

51. Козманов М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для систем квазилинейных уравнений первого порядка // Численные методы механики сплошной среды, 1976, Т. 7, N 2, с. 44-53.

52. Козманов М.Ю. К задаче о распаде произвольного разрыва // Численные методы механики сплошной среды, 1977, т. 8, N 2, с. 45-52.

53. Коул Дж. Методы возмущения в прикладной математике.- М.: Мир, 1972, 274 с.

54. Курант Р. Уравнения с частными производными,- М.: Мир, 1964, 830 с.

55. К.В.Курмаева К.В., Титов С.С. Обобщение аналитических решений Л.В.Овсянникова для трансзвуковых течений // Прикладная механика и техническая физика, 2005, т. 26, N 6, с. 14-25.

56. Курмаева К.В., Титов С. С. Аналитическое построение ближнего поля трансзвукового течения около тонкого тела вращения // Сибирский журнал индустриальной математики, 2005, т .8, N 3(23), с. 94-101.

57. Курмаева К.В. Задача Коши для течений газа с данными на оси симметрии // Труды 36-й региональной Молодёжной школы-конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2005, с. 151-156.

58. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т.2.-М., 1953.

59. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. М., 1956. Т.2.

60. Ляпидевский В.Ю.,Тешуков В.М. Математичсекие модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости.-Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000, 419 с.

61. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.-М.: Наука, 1952, 413 с.

62. Мамонтов Е.В. К теории нестационарных околозвуковых течений // ДАН РАН, 1968, т. 185, N 3, с. 538-540.

63. Мамонтов Е.В. Некоторые вопросы теории нестационарных околозвуковых течений // Динамика сплошной среды, 1969, вып. 1.

64. Мамонтов Е.В. Аналитические возмущения в нестационарном околозвуковом потоке // Динамика сплошной среды, 1972, вып. 1.

65. Мамонтов Е.В. К теории нестационарных околозвуковых течений газа: Диссертация канд.физ.-мат. наук.-Новосибирск, 1973.

66. Мамонтов Е.В. Об уравнении малых возмущений в нестационарном околозвуковом потоке // Нестационарные проблемы механики, 1978, с. 139-143.

67. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса.-М.: Наука, 1987.

68. Мелешко С.В., Пухначев В.В. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье-Стокса // Прикл. Мех. и техн. физика, 1999, N 2, с. 24-33.

69. Митропольский Ю.А., Моисеев В.И. Лекции по применению асимптотических методов к решению уравнений в частных производных .-Киев, 1968. 414 С.

70. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики.-М.: Наука, 1952, 413 с.

71. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1978. 339 с.

72. Овсянников Л.В. Об одном газовом течении с прямой линией перехода // ПММ, 1949, т. 13, вып. 5, С. 537-542.

73. Овсянников Л.В. Уравнения околозвукового движения газа // Вестник ЛГУ, 1952, вып. б.

74. Овсянников Л.Б. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств // ДАН РАН, 1971, т. 200, N 4, с. 789792.

75. Персидский К.П. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в нелинейных пространствах.- Алма-Ата: Наука, Т. 2, 1976, 246 с.

76. Пирумов У. Г. Газовая динамика сопел.-М.:11аука, 1990, 364 с.

77. Понтрягин А.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1965. 331 с.

78. Рудых Г. А., Семенов Э. И. Новые точные решения неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Труды международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2000, с. 193-196.

79. Рубина Л.И. О распространении слабых разрывов для квазилинейных систем // ПММ, 1972, т. 36, вып. 3, с. 435443.

80. Рыжов О-С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. М.:ВЦ АН СССР, 1965, 238 с.

81. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Гугина Е.М. Новый подход к обоснованию метода Фурье в смешанной задаче для одного сингулярного дифференциального уравнения в частных производных // ДАН РАН, 2002, т. 384, N 5, с. 598-600.

82. Седов Л.И. Методы теории размерности и подобия в механике.-М.: Наука, 1977, 438 с.

83. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2.-М.:Наука, 1970.

84. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике,-М.: Наука, 1984, 272 с.

85. Сидоров А.Ф. О нестационарных потенциальных движениях политропного газа с вырожденным годографом // ПММ, 1959, т. 23, N 5, с. 940-943.

86. Сидоров А.Ф., Яненко II.H. К вопросу о нестационарных плоских течениях политропного газа с прямолинейными характеристиками // ДАН АН СССР, 1958, т. 123, N 5, с. 832-834.

87. Сидоров А.Ф. Метод решения некоторых краевых задач для нелинейных уравнений гиперболического типа и распространение слабых ударных волн // ПММ, 1972, т. 36, вып. 3, с. 426-434.

88. Сидоров А.Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1975, т. 6, N 4, с. 106-115.

89. Сидоров А.Ф., Хайруллина О.Б. Применение полиномов Вернштейна для приближенного решения задачи естественной конвекции в горизонтальном слое // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск: АН СССР. УНЦ, 1985, с. 52-63.

90. Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика.-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001, 576 с.

91. Сидоров А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // ДАН РАН, 1985, т. 15, N 1, с. 47-51.

92. Тешуков В.М. Пространственная задача о распространении контактного разрыва в идеальном газе // Динамика сплошной среды, 1977, вып. 32, с. 82-94.

93. Тешуков В.М. Центрированные волны в пространственных течениях газа // Динамика сплошной среды, 1979, вып. 39, с. 102-118.

94. Тешуков В.М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности // Журнал прикладной механики и технической физики, 1980, N 2, с. 126-133.

95. Тешуков В.М. О регулярном отражении ударной волны От жесткой стенки // Прикладная математика и механика, 1982, вып. 2, т. 46, с. 225-234.

96. Тешуков В.М. Пространственный аналог центрированных волн Римана и Прандтля-Майера // Журнал прикладной механики и технической физики, 1982, N 4, с. 98-106.

97. Тешуков В.М. Пространственное взаимодействие сильных разрывов в газе // Прикладная математика и механика, 1982, вып. 4, т. 50.

98. Титов С. С. Метод ассоциативных колец для решения нелинейных уравнений математической физики // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: АН. СССР. УНЦ, 1983, с. 93-96.

99. Титов С.С. Разложение решений нелинейных уравнений в двойные ряды // Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, N 10, с. 1844-1850.

100. Титов С. С. Пространственно-периодические решения полной системы Навье-Стокса // Докл. РАН, 1999, т. 365, N 6, с. 761-763.

101. Титов С.С. Решение периодических задач Коши с помощью специальных тригонометрических рядов // Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978, т. 9, N 2, с. 112-124.

102. Титов С. С. Аналог теоремы Ковалевской для линейных эволюционных уравнений // Сибирский математический журнал, 1999, т. 40, N 6, с. 1377-1379.

103. Титов С.С. Решение нелинейных уравнений в аналитических полиалгебрах I // Известия вузов. Математика, 2000, N 1, (452), с. 66-76.

104. Титов С.С. Решение нелинейных уравнений в аналитических полиалгебрах II // Известия вузов. Математика, 2000, N 6, (457), с. 45-52.

105. Титов С.С. Об аналитичности решений уравнения Кортевега-де Фриза, представленных рядами экспонент // Дифференциальные уравнения, 1989, т. 25, N 2, с. 343-344.

106. Титов С.С. Аналитичность линейных однопараметрических групп Ли-Беклунда // Дифференциальные уравнения, 1990, т. 26, N 4, с. 699-702.

107. Титов С. С. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств. Препринт / УралГАХА. Екатеринбург, 1999, 264 с.

108. Титов С. С. О решении нелинейных уравнений в частных производных в виде многочленов по одной из переменных // Числ. методы механики сплош. среды. Новосибирск, 1977, т. 8, N 1, с. 144-149.

109. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1966, 735 с.

110. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Мир, 1977, 606 с.

111. Улам С. Нерешенные математические задачи.- М.: Мир, 1964, 168 с.

112. Фаминский А.В. Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений // Дисс. докт. физ.-матем. наук, М.: РУДЫ, 2001.

113. Фаминский А.В. Смешанные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза // Математический сборник, 1999, т. 190, N 6, с. 127-160.

114. Фамипский А.В. О Смешанных задачах для уравнения Кортевега-де Фриза при нерегулярных граничных данных // ДАН, 1999, т. 366, N 1, с. 28-29.

115. Фаминский А.В. О нелокальной корректности смешанной задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кор-тевега де Фриза // Математическое моделирование, 2001, Т. 13, N 12, с. 115-125.

116. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Паука, 2000, 220 с.

117. Филимонов М.Ю. О решении нелинейного волнового уравнения в случае струны с закрепленными концами // Труды ИММ. Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983, с. 97-104.

118. Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье к исследованию нелинейных уравнений в частных производных, содержащих малый параметр // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1984, т. 15, N 5, с. 132143.

119. Филимонов М.Ю. Об одном подходе к решению смешанной задачи Коши для нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Труды ИММ. Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск: УПЦ АН СССР, 1985, с. 80-87.

120. Филимонов М.Ю. Представление специальными рядами решений некоторых нелинейных уравнений математической физики // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 11.05.86, N 3371-В 86, 42 с.

121. Филимонов М.Ю. Представление рядами решений нелинейных уравнений с частными производными в полуограниченных областях. Автореферат кандидатской диссертации. Свердловск: ИММ УрО РАН, 1987,

122. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов к исследованию нестационарных околозвуковых течений газа // Моделирование в механике, Новосибирск, 1987, т. 1, N 1, с. 117-125.

123. Филимонов М.Ю. О применение специальных рядов при решении смешанных задач для нелинейных уравнений в частных производных // Труды ИММ. Аналитические и числ. методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1987, с. 124-138.

124. Филимонов М.Ю. Применение обобщенных базисных функций и кратных рядов для разложения решений нелинейных уравнений // Труды ИММ. Численные и аналитические методы моделирования в механике сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1989, с. 76-85.

125. Филимонов М.Ю. О некоторых конструкциях специальных рядов, согласованных с данным нелинейным уравнением // Моделирование в механике, Новосибирск, 1989, Т. 3 (20), N 4, с. 146-150.

126. Филимонов М.Ю. О представлении решений смешанных задач для нелинейного волнового уравнения специальными двойными рядами // Дифференциальные уравнения, 1991, т. 27, N 9, с. 1625-1632.

127. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов при решении смешанных задач Коши для сложных многомерных областей // Труды ИММ. Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1992, с. 66-71.

128. Филимонов М.Ю. О применении функций Ляпунова при обосновании метода Фурье для нелинейных уравнений с частными производными // Вычислительные технологии, 1993, т. 2, N 5, с. 214-216.

129. Филимонов М.Ю. Специальные ряды и их приложения // Труды VIII Всеросс. шк.-сем. "Современные проблемы математического моделирования." Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1999, с. 231-239.

130. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными в неограниченных областях // Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, N 11, с. 1538-1543.

131. Филимонов М.Ю. О представлении специальными рядами решений нелинейных уравнений типа Коши-Ковалевской с неаналитическими начальными данными // Сибирский журнал индустриальной математики, 2001, N 2, с. 198-203.

132. Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для представления решений нелинейных уравнений с частными производными // Вычислительные технологии, 2001, т. 6, Спец. выпуск, часть 2, с. 650-657.

133. Филимонов М.Ю. О представлении новыми конструкциями специальных согласованных рядов решений нелинейных уравнений с частными производными // Вычислительные технологии, 2001, т. 6, N 3, с. 103-112.

134. Филимонов М.Ю. О представлении начально-краевых задач нелинейных эволюционных уравнений специальными рядами // Труды III международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск,2002, с. 233-236.

135. Филимонов М.Ю. Использование метода специальных рядов для представления решений начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 8, с. 1100— 1107.

136. Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 6, с. 801-808.

137. Филимонов М.Ю. Представление стационарных течений газа специальными согласованными рядами // "Современные проблемы механики. Конференция посвященная 40-летию Института механики МГУ", Москва, 1999, с. 187-188.

138. Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения решений стационарных течений газа // Тезисы докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Пермь: ИМСС УрО РАН, 2001, с. 579.

139. Филимонов М.Ю. О представлении новыми конструкциями специальных рядов решений нелинейных уравнений с частными производными // Забабахинские научные чтения. Международная конференция, Снежинск, 8-12 сентября 2003. Тезисы докладов, с. 231.

140. Филимонов М.Ю. Представление решений нелинейных уравнений с частными производными новыми конструкциями специальных рядов // Труды XXXI Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 2000, с. 69-73.

141. Филимонов М.Ю. К вопросу обоснования метода Фурье для нелинейных гиперболических уравнений с малым параметром // Труды XXXIII Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 2002, с. 178-182.

142. Филимонов М.Ю. Метод специальных рядов и его роль при исследовании нелинейных уравнений в частных производных // Труды XXXIV Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 2003, с. 133-137.

143. Фураев В.З. О разрешимости в целом первой краевой задачи для обобщенного уравнения Буссинеска // Дифференциальные уравнения, 1983, т. 11, N 19, с. 2014-2015.

144. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями // Международная конференция "Асимптотики в дифференциальных уравнениях", Уфа, 26-30 мая, 2002, с. 237-239.

145. Хабибуллин И. Т., Шабат А.Б. Краевая задача для уравнения КдФ на полуоси // МТФ, 1997, т. 110, N 1, с. 98-113.

146. Хабибуллин И.Т Начально-краевая задача на полуоси для уравнения МКдФ // Функциональный анализ и его приложения, 2000, т. 34, N 1, с. 65-76.

147. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями // ТМФ, 2002, т. 130, N 1, с. 31-53.

148. Хабиров С.В. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики // Доклады РАН, 1995, т. 41, N 6, с. 764-766.

149. Хабиров С.В. Подмодель винтовых движений в газовой динамике // Прикладная математика и механика, 1996, т. 60, вып. 1, с. 53-65.

150. Хабиров С.В. Дифференциально инвариантные подмодели // Труды III международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск, 2002, с. 237-239.

151. Хабиров С.В. Винтовые движения в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени // Математические заметки, 1996, т. 59, вып. 1, с. 133-141.

152. Хаблов В. В. О некоторых корректных постановках граничных задач для уравнения Кортевега де Фриза // Приепринт Ин-та матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1979.

153. Хаблов В.В. // Тр. сем. С.Л. Соболева, 1979, N 2, с. 137-148.

154. Хапаев М.М. Об исследовании устойчивости в теории нелинейных колебаний // Матем. заметки. 1968, т. 3, N 3, с. 307-319.

155. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных.-М.; Изд-во МГУ, 1991.

156. Чупахин А.П. // Барохронные движения газа: общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1), Препринт ИГиЛ N 4-98, Новосибирск, 1998, 67 С.

157. Anikonov Уы. В. Constructive approaches to multidimensional inverse problems of determining two or more coefficients of evolutionary equations //J. Inv. Ill-Posed Problems, 1999, vol. 7, N 5, p. 435-452.

158. Bashkirtseva I.A. Application of characteristic series to the solution of the Goursat problem // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 1997, vol. 12, N 3, p. 199-209.

159. Bona J., Winter R. The Korteveg-de Vries equation, posed in a quarter-plane // SIAM J. Math. Anal., 1983, v. 14, N 6, p. 1056-1106.

160. Bona J., Luo L. A generalized Korteweg-de Vries equation in a quarter-plane // Amer. Math. Soc., 1999, p. 59-65.

161. Bona J.L., Luo L. // Contemp. Math., 1999, vol. 221, p. 59-125.

162. Chupakhin A.P. Applications of Lie group analysis to hydrodynamics // Proceedings of the MOGRAN 2000 Modern group analysis for the new millennium, Ufa: State Aviation technical university, 2000, p. 42-48.

163. Classey R. Existens in the large for Du F(u) = 0 // Math. Z., 1981, vol. 78, p. 233-261.

164. Duff G.F. Mixed problems for linear system of first order equations // Canadian J. of Mathematics, 1958, vol. 10, N 1, p. 127-160.

165. Filimonov M. Yu. On the justification of the Fourier method to the solution of nonlinear partial differential equations // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1996, vol. 11, N 1, p. 27-39.

166. Filimonov M. Yu. The justification of Fourier method for describing nonlinear oscillatory motions // Proceedings of XXX Summer School "Advanced problems in mechanics" St. Peterburg (Repino), 2002, p. 207-210.

167. Filimonov M. Yu. Application of the Method of Special Series in Nonlinear Mathematical Physics // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, suppl. 1, 2004, p. 58-77.

168. Ford J., Wathers J. Computer Studies of Energy Sharing and Ergodicity for Nonlinear Oscillator Systems // J. Math. Phus., 1963, vol. 4, N 10, p. 1293-1306.

169. Helms L., Putnam C. Stability in incompressible systems // J. Math, and Nech., 1958, vol. 7, N 6, p. 901-903.

170. Hyrota R. Direct method of finding exact solutions of nonlinear evolution equations // Lect. Notes Math., 1976, vol. 515.

171. Jachson E.A. Nonlinear Coupled Oscillators. 2 Comparison of Theory with Computer Solutions // J. Math. Phus., 1963, vol. 4, N 5, p. 686-700.

172. John F. Formating of Singularities in One-Dimensional Nonlinear Wave Propagation // Communs Pure Appl. Math., 1976, Vol. 29, p. 649-681.

173. John F., Klainerman S. Almost Global Existens to Nonlinear Wave Equations in three Space Dimensions // Communs Pure Appl. Math., 1984, Vol. 37, p. 443-455.

174. Khabirov S. V. On some invariant solutions of rank 1 in gas dynamics // Proceedings of the MOGRAN 2000 Modern group analysis for the new millennium, Ufa: State Aviation technical university, 2000, p. 88-89.

175. Klainerman S., Majda A. Formating of Singularities for Wave Equations Including the Nonlinear Vibrating // Communs Pure Appl. Math., 1986, Vol. 33, p. 241-263.

176. Klainerman S. Long Time Behaiviour of Solutions to Nonlinear Wave Equations // Proc. Intern. Congres. Warzava, 1983.

177. Kowalewski S. Zur Theorie der partiellen Differential-gleichungen // J. Reine Angrew. Math., 1875, Vol. 80, p. 1-32.

178. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communs Pure Appl. Math., 1968, vol. 21, N 5.

179. Lin C.C., Reissner E., Tsien H.S. On two-dimensional nonsteady motion of a slender body in a compressible fluid // J. Math, and Phus., 1948, vol. 27, N 3.

180. Ludwig D. Exact and asimptotic solutions of the Cauchy problem // Communs Pure & Appl. Math., 1960, vol. 13, N 3, p. 473-508.

181. Olver P.J. Hamilton and non-hamilton models for water waves // Lecture Notes in Physics. N.Y., 1984, N 195.

182. Rosenblatt A. //Bulletin Sc. Math., 1933, vol. 57, N 2, p. 105.

183. Sather J. The Existens of a Global Classical Solution of the Initial-Boundary Value Problem for Du — F(u) — 0 // Arch. Rat. Mech. & Analysis, 1966, vol. 21, N 5.

184. Sidorov A.F. Application of characteristic series to the solution of three-dimensional problems in gas dynamics // Numerical Methods in Fluid Dynamics.-M.: Mir, 1984, p. 184-205.

185. Steart F.M. Periodic solutions of a nonlinear Wave equation (abstract) // Bull. Amer. Soc., 1954, vol. 60, p. 425.

186. Titov S.S. Non-local Solutions of the Cauchy Problem in Scales of Analytic Polyalgebras // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2003, suppl. 2, p. S148-S172.

187. Vaganova N.A. Constructing New Classes of Solutions of Nonlinear Filtration Equation by Special Consistent Series // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, suppl. 2, 2003, p. S182-S184.