Существование и построение точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии

§1.1. Одномерное "уравнение нелинейной диффузии без источника стока).о.

§1.2. Одномерное уравнение нелинейной диффузии с источником стоком)

§1.3. Точные решения одномерного уравнения нелинейного тепломассопереноса и некоторые преобразования эквивалентности.

§1.4. Некоторые обобщения.

Глава 2. Точные решения многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности

§2.1. Многомерное квазилинейное уравнение без источника (стока)

§2.2. Многомерное квазилинейное уравнение с источником (стоком)

§2.3. Квазилинейные параболические уравнения с нелинейными коэффициентами теплопроводности и источниками (стоками), зависящими от времени.

§2.4. Уравнение Лиувилля с произвольной вектор-функцией.

Глава 3. Существование и построение точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии.

§3.1. Многомерное уравнение нелинейной диффузии с конечной и бесконечной скоростями распространения возмущений

§3.2. Разрешающая система для многомерного уравнения нелинейной диффузии

§3.3. Исследование разрешающей системы уравнений.

§3.4. Существование решений задачи Коши для разрешающей системы ОДУ.

§3.5. О свойствах решений разрешающей системы алгебраических уравнений.

§3.6. Существование решений разрешающей системы АДУ (случай

Р Ф 2)

§3.7. Существование решений разрешающей системы АДУ (случай р = 2).

§3.8. Некоторые обобщения, замечания, комментарии и примеры

Глава 4. Точные решения систем многомерных квазилинейных уравнений теплопроводности.

§4.1. Системы с нелинейной анизотропной теплопроводностью

§4.2. Системы нелинейной градиентной диффузии с линейными источниками (стоками)

Диссертационная работа посвящена существованию и построению частных точных решений уравнения нелинейной диффузии и некоторого класса параболических систем нелинейной теплопроводности с источником (стоком). Данная проблема является очень актуальной в теории дифференциальных уравнений с частными производными и математической физике. Этой задаче посвящено большое количество публикаций. Укажем, только, наиболее близкие к теме настоящей диссертации [Баренблатт, 1952, 1954; Галактионов, 1981; Галактионов, Дородницын, Еленин, и др., 1986; Галактионов, Посашков, 1986, 1988, 1989, 1994; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1995; Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Кершнер, 1978; Косыгина, 1995; Мартинсон, 1976, 1979, 1986; Овсянников Л.В., 1959; Пухна-чев, 1987, 1994, 1995; Самарский, Галактионов, Курдюмов и др., 1987; Самарский, Соболь, 1963; Сидоров, 1985; Титов, 1988; Титов, Устинов, 1985; Фущич, Штелень, Серов, 1989; Bertsch, Kersner, Peletier, 1985; Galaktionov, 1990, 1991, 1995; Herrero, 1989; King, 1993; Meirmanov, Pukhnachev, Shmarev, 1997; Olver, 1991, 1994; Peletier, Zhang, 1995], в которых можно найти ссылки на другие исследования.

Точные аналитические решения (в замкнутом виде) дифференциальных уравнений играют огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях современного естествознания.

Точные решения нелинейных уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в механизме таких важных физических явлений, как пространственная локализация процессов переноса, режимы с обострением (blow-up), то есть когда решение за конечное время уходит в бесконечность, множественность или отсутствие стационарных состояний при определенных условиях и т.п.

Следует отметить, что даже частные точные решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, играют важную роль " тестовых" примеров при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. Например, частные точные решения нашли широкое применение в методах сравнения, когда исследование многих важных аспектов качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными опирается на специальное "сравнение" с пространственно временной структурой построенного точного решения.

Задача нахождения точных решений (в замкнутом виде) нелинейных уравнений математической физики является очень трудной и порой непреодолимой. Сложность обусловлена, главным образом, либо нелинейностью уравнений, либо большим числом переменных. Поэтому получили широкое распространение исследования опирающиеся на знание отдельных классов частных решений. Оказалось, что многие важные нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными обладают некоторой внутренней структурой, знание которой позволяет отыскивать точные решения исходя из соображений симметрии. Одним из таких уравнений является уравнение нелинейной теплопроводности

Щ = V -(К(и)Чи) + С}(и), и = м(х, ¿),х Е п > 1, (0.1) описывающее процесс распространения тепла в однородной среде. Для уравнения (0.1) в [Овсянников Л.В., 1959] впервые решена задача групповой классификации в одномерном случае и отсутствии объемных источников тепла. В работах [Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983] проведен групповой анализ уравнения (0.1), соответственно в одномерном и многомерном случаях (п = 2, п — 3).

С помощью групповых свойств уравнений можно строить классы инвариантных решений, частным случаем которых являются широко используемые в задачах механики и гидродинамики автомодельные решения и нелинейные бегущие волны [Седов, 1965; Баренблатт, 1978]. Для уравнения (0.1) в случае, когда коэффициент нелинейной теплопроводности и объемный источник (сток) зависят степенным образом от температуры, то есть К (и) = их,Сд(и) = известен широкий класс автомодельных (самоподобных) решений (см. например [Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Зайцев, Полянин, 1996]).

В работе одним из основных объектов исследования является уравнение нелинейной диффузии вида: щ = \/-(и^и), ийи(х^),хе$п,п> 1, (0.2) которое обладает различными, в зависимости от знака параметра А £ А ф 0, свойствами. Если А > 0, тогда (0.2) является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением [Калашников, 1987]. Другими словами, уравнение (0.2) является параболическим при и > 0, а при и = 0 вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка (типа Гамильтона-Якоби) [Самарский, Галактионов, Курдюмов и др., 1987;]. Исследованиями [Олейник, 1957; Олейник, Калашников, Чжоу Юй-Линь, 1958] было начато построение математической теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений, а затем продолжено в монографиях [Антонцев, 1986; Самарский, Галактионов, Курдюмов, и др. 1987] и обзорных работах [Кершнер, 1978; Мартинсон, 1986; Калашников, 1987; Агошоп, 1988]. С вырождением уравнения (0.2) связаны некоторые особые свойства его решений. Например, при определенных предположениях уравнение с неявным вырождением может обладать неограниченными решениями или режимами с обострением [Галактионов, Дородницын. Еленин б и др. 1987; Самарский, Галактионов, Курдюмов, и др., 1987], когда lim supwfx, t) = +00, где Т~ G момент обострения. При этом т-,хезг» v точка х = х* G в которой происходит неограниченное возрастание решения при t Т~ называется точкой обострения (сингулярности). Причем при временах близких к моменту обострения Т~ слева, для многих неограниченных решений вырождающегося параболического уравнения (0.2) типичным является свойство локализации [Антонцев, 1986; Галактионов, Дородницын, Еленин и др., 1987; Самарский, Галактионов, Курдюмов, и др., 1987] режимов с обострением в некоторой ограниченной области Q С Следует отметить, что это свойство в той или иной мере присуще неограниченным решениям уравнений различных типов [Галактионов, Курдюмов, Самарский, 1983]. Уравнение (0.2) при Л > 0 описывает процесс ньютоновской фильтрации и называется уравнением пористой среды (нестационарной фильтрации). Если в уравнении (0.2) параметр Л < 0, тогда коэффициент нелинейной теплопроводности К (и) — их неограниченно возрастает при и —» 0. Другими словами, коэффициент нелинейной диффузии К {и) = их будет при Л < 0 сингулярной функцией: К(0+) = -foo. что определяет высокую интенсивность передачи тепла из областей с повышенной температурой в те части пространства, где она близка к нулю. При этом интенсивность теплового поглощения либо на границе области, где u(x,t) ее 0, либо в бесконечно удаленных точках может быть столь высока, что наступает эффект полного остывания за конечное время: м(х, t) = 0 для всех t > Го, где То < +оо- время остывания. Итак, в этом случае типичным свойством решений уравнения (0.2) при Л < 0 является свойство обращения их в нуль за конечное время. Эффект полного остывания для уравнения (0.2) при Л < 0, рассматриваемого в ограниченной области Q, —» ¿ft", м(х, t) = 0 на dQ, известен сравнительно давно [Сабинина, 1962, 1965]. Уравнение (0.2) при Л < 0 описывает диффузионные процессы в полимерах, полупроводниках, пористых средах, кристаллическом водороде, плазме [Галактионов, Дородницын, Еленин и др. 1987; Калашников, 1987; Пухначев, 1994, 1995; Peletier, Zhang, 1995]. Отметим, что явление стабилизации решений за конечное время исследовалось и для других классов дифференциальных уравнений с частными производными [Антонцев, 1986, с.36-50; Калашников, 1987, с.154-156]. Наконец, при Л = — 1 уравнение (0.2) запишется как щ = А\пщ и = w(x,/),x G > 1, (0.3) которое является предельным случаем (при п — 2) уравнения быстрой диффузии и описывает [Пухначев, 1995] процесс растекания сверхтонкой пленки жидкости под действием сил Ван-дер-Ваальса. Для п — 3 уравнение (0.3) описывает эволюцию плотности электронного пучка, подчиненного распределению Максвелла. Отметим, что уравнение (0.3) при п = 2 является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа допустимых преобразований бесконечномерна.

Несмотря на большое число работ, посвященных построению точных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной теплопроводности со степенным коэффициентом нелинейной теплопроводности (0.2), большинство из них относится к случаю, когда Л > 0. Известных нам работ, в которых строятся частные точные неотрицательные решения многомерного уравнения быстрой диффузии значительно меньше. Поэтому, основное внимание в диссертации уделено построению точных неотрицательных решений уравнения нелинейной диффузии с отрицательным показателем Л.

Теперь перейдем к краткому содержанию работы. Первая глава посвящена исследованию одномерного уравнения нелинейной диффузии

И = £(иА£И)' (0.4) для которого строятся новые точные решения вида

1/А

I/ К к=о

0.5) при т € N,171 > 2. Если т = 2, то получаем хорошо известное автомодельное решение уравнения (0.4) для любого Л ф —2. При т = 3, для уравнения нелинейной диффузии с показателем Л = —3/2, выражение (0.5) дает новое точное решение, в котором функции выражаются через специальные функции Вейерштраса [Уиттекер, Ватсон, 1963]. В случае га = 4, подстановка соотношения (0.5) в уравнение (0.4) с параметром Л = —4/3 приводит к системе четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В диссертации найдены три частных решения полученной системы ОДУ, два из которых являются новыми. Отметим, что одно из этих решений выражается в эллиптических функциях Якоби [Ахиезер, 1948]. Для т > 5, уравнение (0.4) в общем случае сводится к переопределенной системе алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Исследование таких систем сопряжено с большими трудностями, так как, известно [Рождественский, Яненко, 1968]. что переопределенные системы (число уравнений больше числа искомых функций) могут вообще не иметь решений. В работе доказана разрешимость нелинейной системы АДУ, и как следствие получено новое точное автомодельное решение уравнения (0.4) для произвольного Л 6 Л ф —2, что является одним из основных результатов данной главы. Случай Л = — 2 является особым, поскольку, при этом уравнение нелинейной диффузии (0.4) некоторыми нелокальными преобразованиями независимых переменных можно свести к линейному уравнению теплопроводности [В1итап, Клипер 1980].

Во втором параграфе первой главы решения вида (0.5) строятся для одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком), в частности для семейства уравнений и —и I + аи

1~х, АеЭМ^О.

0.6)

Аналогично, рассмотрены некоторые частные случаи т Е N. Так, при т = 3ига = 4в явном виде найдены новые точные неотрицательные решения уравнения (0.6), для Л = -3/2 и А — —4/3 соответственно. В случае т > 5, как и следовало ожидать, исследование свелось к вопросу о разрешимости нелинейной переопределенной системы АДУ большой размерности.

В третьем разделе найдены новые точные решения нелинейного уравнения тепломассопереноса вида (0.5). Приведены преобразования эквивалентности для последнего уравнения. Так, например, показано, что уравнения сводятся к линейному уравнению теплопроводности УТ — Ууу.

Наконец, в последнем параграфе предлагается отыскивать решения уравнения (0.4) в более общем виде:

В качестве примера, построено новое точное решение (0.7) для уравнения нелинейной диффузии (0.4) с показателем А = —1/2.

Во второй главе исследуется многомерное уравнение нелинейной теплопроводности которое представлено в виде следующей эквивалентной системы:

0.7)

Щ = V • (К(и)Уи) и = и(х, (),хег,п> 2, (0.8) щ + V • (^(х, *)) = 0, 10

0.9) f(x,t) = -I^-Vu. (0.10) и

Соотношение (0.9) при заданной вектор-функции f(x, t) является уравнением Лиувилля (уравнением неразрывности). Показано, что функция u(x,t), определяемая из выражения (0.10) с использованием теоремы о потенциальных операторах [Вайнберг, 1956] и удовлетворяющая линейному уравнению Лиувилля (0.9) является точным решением уравнения нелинейной теплопроводности (0.8). Рассмотрены некоторые частные случаи вида f(x, t). Особый интерес представляет пример, когда f(x, t) является линейной вектор-функцией. В этом случае решение исходного уравнения (0.8) представимо как и(х, t)=F Q(x, A(t)x) + (х, B(t)) + C(t)J , (0.11) где F(-)- некоторая функция зависящая от вида коэффициента нелинейной теплопроводности К (и). Эта конструкция решения оказалась очень плодотворной, поскольку все последующие результаты опираются на форму (0.11), либо её обобщения (см. главу 3). Например, показано, что решениями вида (0.11) обладает такой важный класс уравнений, как уравнения со степенным коэффициентом теплопроводности (0.2). Построены новые точные неавтомодельные решения (0.2) для различных значений параметра А £ А ф 0. Особенно, выделен случай А = — 1, когда уравнение (0.2) принимает вид (0.3), для которого найдены новые точные неинвариантные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения, зависящие по времени от эллиптических функций Якоби.

Во втором параграфе выделено семейство квазилинейных уравнений теплопроводности с объемным источником (стоком), обладающих решениями вида (0.11). Доказаны соответствующие утверждения и теоремы. Приведены примеры новых нетривиальных решений для полулинейных параболических уравнений, не являющихся инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда [Овсянников Л.В., 1962, 1978; Ибрагимов, 1984].

В третьем параграфе построены примеры параболических уравнений, в которых коэффициент нелинейной теплоповодности и объемный источник (сток) явным образом зависит от времени и имеют точные решения типа (0.11).

Наконец, в последнем разделе этой главы исследован случай, когда Г(х, является произвольной вектор-функцией. При этом показано, что в общем случае £(х, £) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению типа нелинейной теплопроводности. В частности, рассмотрен пример, когда уравнение на вектор-функцию ^х, ¿) сводится к многомерному аналогу известного уравнения Бюргерса [Абловиц, Си-гур, 1987].

В третьей главе продолжено изучение многомерного уравнения нелинейной диффузии (0.2), точные решения которого отыскиваются в следующем виде и(х, г) = 1 1

А[-(х, Л, (¿)х) + (х,В1.(*)) + Сг{Щ+

А[-(х,А2(<)х) + (х,В2(0) + С2(<)] , , (0.12)

1/А где х € А^)- симметричные матрицы п х п с элементами аь;;-(/) € С1^*), В*(0- вектор-столбцы с компонентами &н(£) Е С1(3?+) и Ск(£) € С1^4")- скалярные функции, к = 1,2; г,] = 1,2,., п; (•, •)-скалярное произведение в 3?". Показано, что для указанной конструкции решения, исследование уравнения (0.2) свелось к переопределенной системе АДУ, разрешимой при определенных предположениях:

А2 = 2А1 + \(КА2)А2, (0.13.1)

В2 = 2А2В2 + А(*гА2)В2, (0.13.2)

С2 =| В2 I2 +А(¿гА2)С2, (0.13.3) л = 4А1А2 + т(^а2)а1 + а^га1)а2, (0.13.4) вх = 2(а1в2 + Л2В1) + т{^а2)в1 + (7(*ГА1)В2, (0.13.5) с\ = 2(ВЬ В2) + т(1га2)с1 + а^га!)с2, (0.13.6)

Х^гА^Ах + 2 = 0, (0.13.7)

Х^гАг) В! + 2^1В1 = 0, (0.13.8)

А(ггА1)С1+£|В1|2=0, (0.13.9) где (7 = рХ/& т = Х/р- р,Х € Ш; X ф 0; р ф 0; £ = р{Х + 1) - А; п ф 0; = аки(^У след матрицы к = 1,2. При этом отдель1 ное внимание уделено случаю, когда А^) = 0,В^/) = 0,= 0. В этой ситуации система АДУ (0.13.1)-(0.13.9) сводится к системе ОДУ (0.13.1)-(0.13.3), полученной и частично исследованной во второй главе. В работе получено общее решение задачи Коши для системы ОДУ (0.13.1)-(0.13.3), которое зависит от скалярной функции удовлетворяющей нелинейному ОДУ П[1-24(0М<)Га/2> (0.14)

С — 1 с начальным условием г(0) — 0, где ¿4(0) £ собственные значения матрицы ^2(0). В качестве примера, для трехмерного (п = 3) по пространственным переменным уравнения нелинейной диффузии (0.3), которое представляет большой практический интерес, выписаны все решения задачи Коши для уравнения (0.14), в зависимости от параметров ¿¿(0),к = 1,2,3. В общем случае, эти решения выражаются в эллиптических функциях Якоби и приводят к новым неавтомодельным, анизотропным по пространственным переменным, явным неотрицательным решениям уравнения (0.3). Дальнейшее исследование посвящено вопросу о существовании решений задачи Коши (0.13.4)-(0.13.6) и изучению свойств решений системы алгебраических уравнений (0.13.7)-(0.13.9). При этом отдельно рассмотрены два независимых случая: р = 2 и р ф 2. Для каждого случая сформулированы и доказаны соответствующие утверждения и теоремы, обеспечивающие существование решений системы АДУ (0.13.1)-(0.13.9), а также, решений исходного уравнения нелинейной диффузии (0.2).

В конце главы, конструкция точного решения (0.12) используется для семейства уравнений с источником (стоком)

Щ = V • (иЛУи) + сш1-А, (0.15) при этом функции С^) удовлетворяют системе АДУ

0.13.1)-(0.13.9), в которой уравнение (0.13.3) принимает вид с2 =1 В2 I2 +Л(ггЛ2)С2 + а, а е а ф 0.

Аналогично, доказаны соответствующие утверждение и теорема. Приведено много новых нетривиальных примеров с новыми точными неинвариантными решениями уравнений (0.2), (0.15) для различных значений параметра Л.

В последней главе выделен класс нелинейных параболических систем, обладающих точными решениями вида (0.11). Отметим, что все приведенные системы не являются "искусственными", а имеют большое число приложений [Галактионов, Курдюмов, Самарский, 1983; Самарский, Галактионов, Курдюмов, и др., 1987]. Кроме того, рассмотрены и исследованы системы нелинейной градиентной диффузии с линейными источниками (стоками) [Галактионов, Посашков, 1994].

Заключение

В заключении, кратко сформулируем основные результаты работы:

1. Построены новые частные точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии в виде полиномов по степеням пространственной переменной с коэффициентами зависящими от времени. Приведены преобразования эквивалентности и найдены новые точные автомодельные решения для одномерного уравнения нелинейного тепло-массопереноса зависящего от состояния. Выделены новые уравнения нелинейной диффузии, которые сводятся к линейному уравнению теплопроводности.

2. Изложен подход построения точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности, основанный на использовании уравнения Лиувилля (уравнения неразрывности). Найдены новые точные многомерные решения указанного уравнения для различных типов нелинейностей (в том числе, когда коэффициент нелинейной диффузии и объемные источники (стоки) явно зависят от времени), большинство из которых не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда.

3. Предложена новая нетривиальная конструкция точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии, с помощью которой исследование исходного уравнения свелось к разрешимости конечномерной переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций) системы алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Доказано существование и единственность классического решения задачи Коши для полученной системы АДУ. Исходя из предложенного анзатца построены новые точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения как класса многомерных уравнений пористой среды (нестационарной фильтрации), так и класса уравнений "быстрой" диффузии.

4. Выделен класс систем многомерных параболических уравнений и семейство нелинейных уравнений теплопроводности с объемными источниками (стоками), обладающих точными неотрицательными решениями указанной конструкции.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.:Мир, 1987.

2. Антонцев С.Н. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1986.

3. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики // Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука, 1987. С.22-56.

4. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики // ДАН СССР. 1987. Т.295, N 1.С.75-78.

5. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.-Л.ЮГИЗ.Гостехиздат, 1948.

6. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористых средах // ПММ. 1952. Т.16, N 1. С.67-68.

7. Баренблатт Г.И. О предельных автомодельных движениях в теории нестационарной фильтрации газа в пористой среде и теории пограничного слоя // ПММ. 1954. Т.18, N 4. С.409-414.

8. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Ленинград. Гидрометеоиздат, 1978.

9. Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. Промежуточные асимптотики в математической физике // Успехи мат. наук. 1971. Т.26, N 2. С.115-130.

10. Баренблатт Г.И., Сивашинский Г.И. Автомодельные решения второго рода в нелинейной фильтрации // ПММ. 1969. Т.ЗЗ, N 5. С.861-870.

11. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. М.: Просвещение, 1979.

12. Галактионов В.А. О некоторых свойствах бегущих волн в среде с нелинейной теплопроводностью и источниками тепла // Журн.вычис.матем. и матем.физики. 1981. Т.21, N 4. С.980-989.

13. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский A.A. Об одной параболической системе уравнений. 1//Дифференц.уравнения. 1983. Т.19. N12. С.2123-2140.

14. Галактионов В.А., Посашков С.А. Неограниченное точное решение уравнения нелинейной теплопроводности с источником// Препринт. ИММ АН СССР N42. Москва 1988.

15. Галактионов В.А., Посашков С.А. Об уравнении "быстрой диффузии" в // ДАН СССР. 1986. Т.287, N 3. С.539-542.

16. Галактионов В.А., Посашков С.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями //Журн.вычис.матем. и матем.физики. 1989. Т.29, N 4. С.497-506.

17. Галактионов В.А., Посашков С.А. Точные решения и инвариантные пространства для нелинейных уравнений градиентной диффузии //Журн.вычис.матем. и матем.физики.1994. Т.34, N 3. С.373-383. *

18. Галактионов В.А., Посашков С.А. Примеры несимметричного полного остывания и режимов с обострением для квазилинейных уравнений теплопроводности //Препринт. Инс-т прикл. матем. РАН N 21. Москва. 1994. 24 с.

19. Галактионов В.А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями //Дифференц.уравнения. 1995. Т.31, N 2. С.253-261.

20. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969.

21. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

22. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977.

23. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником // Журн.вычис.матем. и ма-тем.физики. 1982. Т.22, N 6. С.1393-1400.

24. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях //Дифференц.уравнения. 1983. Т.19, N 7. С.1215-1223.

25. Зайцев В.Ф, Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Наука, 1995.

26. Зайцев В.Ф, Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения. М.: Международная образовательная программа, 1996.

27. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И. Об асимптотических свойствах автомодельных решений уравнений нестационарной фильтрации газа // ДАН СССР. 1958. Т.118, N 4. С.671-674.

28. Зельдович Я.Б., Компанеец A.C. К теории распространения тепла при теплопроводности зависящей от температуры //Сборник посвященный 70 летию академика А.Ф. Иоффе. М.: Издательство АН СССР, 1950. С.61-71.

29. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

30. Калашников A.C. О возникновении особенностей у решений уравнения нестационарной фильтрации //Журн. вычис. матем. и ма-тем. физики.1967. Т.7, N 2. С.440-443.

31. Калашников A.C. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью распространения возмуще-ний//Вестн. МГУ.Сер.мат.мех. 1972. N 6.С.45-49.

32. Калашников A.C. О дифференциальных свойствах обобщенных решений уравнений типа нестационарной фильтрации // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1974. N 1. С.62-68.

33. Калашников A.C. О характере распространения возмущений в процессах, описываемых квазилинейными вырождающимися параболическими уравнениями // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1975. Вып. 1. С.135-144.

34. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Успехи мат. наук. 1987. Т.42, N 2. С.135-176.

35. Капцов О.В. Нахождение дифференциальных связей, совместных с некоторыми уравнениями второго порядка //Тезисы докладов. Международная конференция "Симметрия в естествознании". Красноярск, 1998.

36. Кершнер Р. О некоторых свойствах обобщенных решений квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Acta Math. Acad. Sei. Hungaricae. 1978. T.32, N 3-4. C.301-330.

37. Косыгина E.P. Об анизотропных точных решениях многомерного уравнения нестационарной фильтрации//Журн.вычис.матем. и матем. физики. 1995. Т.35, N 2. С.241-259.

38. Лыков A.B. Теплопроводность и диффузия. М.: Гизлегпром. 1941.

39. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа. 1967.

40. Мартинсон Л.К. О конечной скорости распространения тепловых возмущений в средах с постоянным коэффициентом теплопроводности // Журн.вычис.матем. и матем.физики. 1976. Т.16, N 5. С.1233-1241.

41. Мартинсон Л.К. Распространение тепловой волны в нелинейной среде с поглощением // ПМТФ. 1979. N. С.36-39.

42. Мартинсон Л.К. Нелинейные эффекты в процессе эволюции тепловых структур // Журн.вычис.матем. и матем.физики. 1984. Т.24, N 3. С.462-467.

43. Мартинсон Л.К. Исследование математической модели процесса нелинейной теплопроводности в средах с объемным поглощением.

44. В кн.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986. С.279-309.

45. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука, 1987.

46. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

47. Овсянников Д.А. Математические методы оптимизации динамики пучков. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.

48. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности // ДАН СССР. 1959. Т.125, N 3. С.492-495.

49. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск. Изд-во СО АН СССР. 1962.

50. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

51. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

52. Олейник O.A. Об уравнении типа уравнения нестационарной фильтрации // ДАН СССР. 1957. Т.113, N 6. С.1210-1213.

53. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу Юй-Линь. Задачи Коши и краевые задачи для уравнения типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т.22, N 5. С.667-704.

54. Повзнер А.Я. Теорема существования в целом для нелинейной системы и индекс дефекта линейного оператора //Сиб.матем. журн. 1964. Т.5, N 2. С.377-386.

55. Похожаев С.И. Об одной задаче Л.В.Овсянникова// Прикл. механика и технич. физика. 1989. N2. С.5-10.

56. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.; Наука, 1981.

57. Пухначев В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений //ДАН СССР. 1987. Т.294, N 3. С.535-538.

58. Пухначев В.В. Преобразования взаимности радиальных уравнений нелинейной теплопроводности //Записки научных семинаров ПО-МИ. 1994. Т.213. С.151-163.

59. Пухначев В.В. Многомерные точные решения уравнения нелинейной диффузии //Прикл.механика и технич.физика. 1995. Т.Зб, N 2. С.23-31.

60. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. М.: Наука, 1968.

61. Рудых Г.А. Обобщенное уравнение Лиувилля в исследовании устойчивости неавтономных систем //Динамика нелинейных систем. Новосибирск: Наука, 1983. С.141-151.

62. Рудых Г.А. Связь теоремы Лиувилля для неавтономной системы дифференциальных уравнений с устойчивостью движения //Метод функций Ляпунова и его приложения. Новосибирск: Наука, 1984. С.151-170.

63. Рудых Г.А. Свойства интегральной кривой и решения неавтономной системы дифференциальных уравнений // Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука, 1987. С.189-198.

64. Рудых Г. А. Точные неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии//Докл. РАН. 1998. Т.358, N3. С.323-324.

65. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Коммутационные представления и преобразования Беклунда для нелинейного эволюционного уравнения с одной прстранственной переменной. Иркутск, 1990. 74 с. (Препринт N 7/ИрВЦ СО АН СССР).

66. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Об одном подходе построения частных точных решений квазилинейного уравнения теплопроводности с N-пространственными переменными. Иркутск, 1991. 21 с. (Препринт N 6/ИрВЦ СО АН СССР).

67. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Построение точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности //Журн. вычис. матем. и матем. физики. 1993. Т.ЗЗ, N 8. С.1228-1239.

68. Рудых Г.А, Семенов Э.И. Представления Лакса и преобразования Беклунда для одномерных нелинейных эволюционных уравнений // Сиб.матем.журн. 1995. Т.36, N 1. С.164-176.

69. Рудых Г.А, Семенов Э.И. Новые точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб.матем.журн. 1997. Т.38, N 5. С.1130-1139.

70. Рудых Г.А., Семенов Э.И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) //Журн. вычис. матем. и матем. физики. 1998. Т.38, N 6. С.971-977.

71. Рудых Г.А, Семенов Э.И. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб.матем.журн. 1998. Т.39, N 5. С.1131-1140.

72. Рудых Г.А, Семенов Э.И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии// Мат. заметки.2000. Т.67, N 2. С.250-256.

73. Рудых Г.А, Семенов Э.И. Точные неавтомодельные решения уравнения щ = Alnw // Мат. заметки.

74. Рудых Г.А, Семенов Э.И. Существование и построение точных анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диф-фузии.1// Сиб.матем.журн. (в печати).

75. Рудых Г.А, Семенов Э.И. Существование и построение точных анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диф-фузии.П// Сиб.матем.журн. (в печати).

76. Сабинина Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений //ДАН СССР. 1962. Т.143. N.4. С.794-797.

77. Сабинина Е.С. Об одном классе квазилинейных параболических уравнений, не разрешимых относительно производной по време-ни//Сиб. матем.журн. 1965.T.6.N5.C.1074-1100.

78. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

79. Самарский A.A., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных волн // Журн. вычис. матем. и матем. физики. 1963. Т.З, N 4. С.702-719.

80. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.

81. Сидоров А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации// Докл. АН СССР. 1985. Т.280, N1. С.47-51.

82. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

83. Титов С.С. Метод конечномерных колец для решения нелинейных уравнений математической физики // Аэродинамика. Саратов: Саратов. ун-т. 1988. С. 104-110.

84. Уиттекер Э.Т.,Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.:Физ.-мат.литер., 1963. Т.2

85. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова Думка, 1989.

86. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

87. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир, 1970.

88. Aronson D.G. Regularity of flows in porous media: a survey// Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States. V.l.N.Y.:Springer, 1988.P.35-49.

89. Bertsch M., Kersner R., Peletier L.A. Positivity versus localization in degenerate diffusion equations //J. Nonlinear Analysis. Theory. Meth. Appl. 1985. V.9. N 9. P.987-1008.

90. Bluman G., Kumei S. On the remarkable nonlinear diffusion equation £;a{u + b)-2£] = 0 //J.Math.Phys. 1980. V.21., P.1019-1023.

91. Fronteau J. Le theoreme de Liouville et le probleme general de la stabilité. Geneve, 1965. 36 p. (Preprint N 65-38/CERN).

92. Fronteau J. Vers une description non conservative de l'évolution en physique //Hadronic J. 1979. V.2., P.727-829.

93. Fronteau J.,Combis P. A Li-admissible method of integration of Fokker-Plank equation with nonlinear coefficients (exact and numerical solutions) //Hadronic J. 1984. V.7., P.911-930.

94. Chljub-Simon A., Fronteau J. Quasi-differential systems associated to some equations of evolution //Hadronic J. 1986. V.9., P.291-300.

95. Galaktionov V.A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat conduction equations with source and applications //J.Differential and Integral Equations. 1990. V.3, N 5. P.863-874.

96. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit so- lution to evolution equations with quadratic nonlinearities //Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1995. V.125A. P.225-246.

97. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit so- lution to evolution equations with quadratic nonlinearities //School of Mathematics. Univ.Bristol.1991. Report N AM-91-11, 39 p.

98. Guiasu S. Sur les systemes physiques aves les conditions initiales aléatoires //Rev.roum. de math.pures et appl. 1967. V.12., N 9. P.1271-1281.

99. H'errero M.A. A limit case in nonlinear diffusion// Nonlinear Anal. Theory, Meth. Appl.1989. V.13, N6. P.611-628.

100. Kaplan W. Some methods for analysis of the flow in phase //Proc.of the symposium on nonlinear circuit analysis. New York. 1953. P.99-106.

101. King J.R. Exact multidimensional solutions to some nonlinear diffusion equations //Quart.J.Mech.Appl.Math. 1993. V. 46, N 3. P.419-436.

102. Liouville J. Note sur la theorie de la variation des constantes arbitraires //J.math.pures et appl. 1838. N 3. P. 342-349.

103. Meirmanov A.M., Pukhnachev V.V., Shmarev S.I. Evolution equations and Lagrangian coordinates. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1997.

104. Munier A., Burgan R.J., Gutierrez J., Fijalkow E., Feix M.R. Group transformations and the nonlinear heat diffusion equation / / SI AM J.Appl.Math. 1981. V.40, N 2. P.191-207.

105. Olver P.J. Symmetry and explicit solutions of partial differential equations//Preprint University of Minnesota. 1991.

106. Olver P.J. Direct reduction and differential constrains// Proceedings Roy. Soc. London. A.1994.V.444, N.1922.P.509-523.

107. Peletier M.A., Hongfei Zhang. Self-similar solutions of fast diffusion equations that do not conserve mass// Differential and Integral Equations. 1995.V.8, N8. P.2045-2064.

108. Rudykh G.A., Semenov E.I. Application of Liouville's equation to construction of special exact solutions for the quasilinear heat equation //IMACS Ann.Comput. and Appl. Math. 1990. V.8. P.193-196.

109. Steeb W.H. Generalized Liouville equations, entropy and dynamic systems containing limit cycles //Physica A. 1979.V.95, N 1. P. 181190.