Решение уравнений с особенностями в аналитических банаховых шкалах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0.1 Введение.

1 Ряды и последовательные приближения

1.1 Решение нелинейных уравнений в аналитических полиалгебрах.

1.1.1 Объект изучения 1.

•1.1.2 Основные определения и свойства.

1.1.3 Задача о неподвижной точке

1.1.4 Полиалгебра степенных рядов

1.1.5 Решение дифференциальных уравнений

1.1.6 Существование в целом по времени

1.2 Разложение решений нелинейных уравнений в специальные ряды.

1.2.1 Общее уравнение.

1.2.2 Построение универсальной системы.

1.2.3 Примеры универсальных систем.

1.2.4 Задача Коши.

1.2.5 Сходимость двойного ряда.

1.3 О движении фронта нелинейной диффузии.

1.3.1 Постановка задачи.

1.3.2 Построение решения.

1.3.3 Структура ряда.

1.3.4 Сходимость ряда.

1.3.5 Движение тепловой волны в плазме.

2 Решение нелинейных уравнений типа Фукса

2.1 О нелинейных уравнениях типа Фукса.

2.1.1 Случай различных корней.

2.1.2 Случай совпадающих корней.

2.1.3 Случай кратных корней: сходимость.

2.2 Околозвуковое обтекание тонких тел

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Построение логарифмического ряда.

2.2.3 Сходимость логарифмического ряда.

2.2.4 Оценка радиуса сходимости.

2.3 Решения нелинейного осесимметричного уравнения фильтрации газа в виде логарифмического ряда.

2.3.1 Построение ряда для решения.

2.3.2 Сходимость ряда.

2.3.3 Прикладная задача фильтрации.

2.4 Асимптотика разлета газа в вакуум.

3 Построение банаховых шкал перенормированием

3.1 Линейная задача Коши в специальных шкалах банаховых пространств.

3.1.1 Свойство квазидифференциальности в проективном пределе.

3.1.2 Аналог теоремы Ковалевской для линейных эволюционных уравнений

3.2 Аналитичность групп Ли-Беклунда.

3.3 Линейная задача Коши в шкалах с компактными вложениями.

3.3.1 Топологизация и перенормирования К-шкал

3.3.2 Эквивалентность сингулярной и квазидифференциальной теорем

3.4 Эквивалентность в целом теоремы

Нишиды теореме Л.В. Овсянникова.

4 Существование шкал глобальных решений нелинейных параболических систем

4.1 Полиалгебра экспоненциальных рядов.

4.1.1 Аналитичность рядов экспонент как решений нелинейных эволюционных уравнений

4.1.2 Решения уравнения Кортевега - де Фриза в виде экспоненциальных рядов

4.2 Пространственно-периодические решения.

4.2.1 Построение периодического решения.

4.2.2 Теоремы сходимости.

4.2.3 Периодическая задача Коши для нелинейного уравнения теплопроводности

4.2.4 Периодические решения нелинейных уравнений второго порядка.

4.2.5 О существовании периодических решений уравнения стекания.

4.2.6 Об аналитичности решения периодической задачи Коши уравнения Фишера.

4.2.7 Задача о сварке труб.

4.3 Система уравнений Навье-Стокса

4.3.1 Периодическая задача Коши

4.3.2 Теоремы существования.

4.3.3 Уравнение в форме Гельмгольца.

5 Преобразования уравнений с особенностями, инвариантные пространства и точные решения

5.1 О преобразовании одномерных осе- и сферически симметричных уравнений к плоским.

5.2 Локальные рекурренции первого порядка трансзвуковых уравнений.

5.3 О виде нелинейности в симметрическом уравнении теплопроводности с нетривиальной группой Ли-Беклунда

5.4 Метод ассоциативных колец.

5.4.1 Ассоциативные кольца и решения нелинейных уравнений математической физики

5.4.2 Точные решения нелинейных уравнений с диссипацией.

5.4.3 Ассоциативность и операторы рекурренции групп Ли-Беклунда линейных уравнений

5.5 Метод конечномерных колец для решения нелинейных уравнений математической физики.

5.5.1 Решения нелинейных уравнений в виде многочленов по одной из переменных

5.5.2 Точные решения трансзвукового уравнения

5.5.3 Решение двумерного уравнения фильтрации в виде многочлена по пространственным переменным.

5.5.4 Исследование многочленных решений двумерного уравнения фильтрации с целым показателем адиабаты

5.5.5 Точные решения многомерного симметричного уравнения фильтрации в виде обобщенного многочлена.

5.5.6 Автомодельные решения.

Представляемая работа посвящена построению решений уравнений математической физики (в основном нелинейных), относящихся к более широкому классу уравнений и систем в частных производных, чем класс систем типа Ковалевской. А именно, рассматриваются задачи Коши для уравнений математической физики с особенностями. Под особенностями здесь понимаются обусловленные физической моделью точки неаналитичности коэффициентов решаемых уравнений и линии параболического вырождения; в целом как особые рассматриваются параболические (эволюционные) системы (при этом рассматриваются соответствующие им постановки задач Коши, включая характеристические и обобщенные задачи Коши).

Дается изложение таких аналитических методов решения дифференциальных уравнений частных производных, применение которых приводит к построению решений в виде специальных степенных рядов. Специальными эти ряды можно назвать за то, что они представляют собой разложения искомых функций по степеням некоторых функций, в дальнейшем называемых базисными, специальным образом подобранных так, чтобы, во-первых, коэффициенты ряда можно было определить последовательно (рекуррентно), согласно подходу А.Ф. Сидорова, а во-вторых, чтобы при исследовании сходимости построенного ряда проходил формализм современных аналогов теоремы Коши-Ковалевской; за основу принята теорема Л.В. Овсянникова. В простейших случаях "специальные ряды" - обычные степенные ряды (если за базисные функции взяты независимые переменные). Предложенные конструкции используются для получения точных или приближенных решений таких нелинейных задач математической физики и механики сплошной среды как задачи газовой динамики, лучистой теплопроводности, фильтрации, динамики плазмы, и др. Данное изложение основано на следующем подходе. Решение уравнений ищутся в виде рядов специальной структуры так, что коэффициенты искомых рядов определяются рекуррентно как решения обыкновенных (как правило) дифференциальных уравнений (или систем уравнений). В случае обычных степенных рядов рекуррентность будет при решении характеристической задачи Коши, как показано в работах М.Ю. Козманова, В.М. Тешукова, С.П. Баутина.

Предложен адекватный алгебраический формализм на основе введенного понятия полиалгебры, которое конкретизируется как аналитическая полиалгебра при исследовании вопросов сходимости. Дана строгая постановка задачи о рекуррентности вычисления коэффициентов, выявлены требования, налагаемые на базисные функции, и их использование для построения универсальных систем. Обращено особое внимание не только на преодоление теоретических существенных трудностей, но и на эффективность применения разработанных представлений при решении многих нелинейных уравнений в частных производных различных типов. Во многих важных для приложений случаях удалось доказать нетривиальные теоремы о сходимости этих рядов, строго обосновывающие проведенные в процессе расчетов прикладных задач исследования на уровне " машинной сходимости" в рамках доступных компьютерных мощностей.

Центральным местом всех построений является конструкция проективного предела нильпотентных полиалгебр, соответствующая, с точки зрения дифференциальных уравнений, построению "универсальных" рядов, отличающихся тем важным свойством, что их коэффициенты могут быть вычислены рекуррентно при любом решаемом уравнении. Последовательное вычисление коэффициентов позволяет, во-первых, увеличить точность без пересчета ранее вычисленных коэффициентов, во-вторых, позволяет провести исследование сходимости рядов экспериментальными или теоретическими методами, а это важно для обоснования применяемых разложений. Существенной особенностью данного подхода является тот факт, что ряд для решений задачи Коши имеет ту же структуру, что и ряд для начальных данных, поэтому можно изучать сходимость построенных рядов в предположении сходимости начальных данных, в терминах принадлежности некоторой шкале банаховых пространств. Кроме того, в отличие от применявшихся ранее рядов с таким свойством для линейных задач (ряды Фурье, характеристические разложения Куранта и др.), в которых базисные функции порождали векторное пространство, построенные ряды сохраняют структуру данных Коши и при решении нелинейных задач (для которых они, главным образом, и были изобретены) образуя специальный вид универсальной алгебры - векторное пространство с дополнительно определенным на нем набором полилинейных операторов. Этот объект назван здесь полиалгеброй.

Интерес к нелинейным задачам возрос в связи с появлением в науке и использованием в технике новых явлений, требующих, для своего адекватного описания, решения нелинейных уравнений математической физики в точной постановке, или построения приближенных моделей, не являющихся линейными, в отличие от применявшихся моделей прошлого и начала нашего веков. Численные методы решения нелинейных задач зачастую с трудом поддаются обоснованию. Они очень трудоемки в многомерных расчетах; результаты их применения не дают непосредственно теоретических обобщений и должны рассматриваться (по A.A. Самарскому) как результаты экспериментов в области "вычислительной физики". Поэтому широкое распространение получили аналитические методы.

Здесь слово "аналитический" заключает в себе замечательную двусмысленность.

Аналитические методы можно условно разделить на "точные" и "приближенные". Под первым обычно понимаются методы получения решения в замкнутой форме, например, в виде формул, или методы сведения задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Под вторым обычно понимаются методы, позволяющие находить решения с некоторой точностью, например, в виде рядов или асимптотических разложений на основе классического голоморфного исчисления. В последнее время стали популярны полуаналитические методы - гибрид численных алгоритмов с формально-символьным на более широкой основе современной теории приближений. Все большее внимание проявляется к различиям и взаимосвязям между понятиями "аналитический" в смысле "решение в виде аналитической формулы" и в смысле "решение в виде аналитической функции". Каждое точное решение имеет большую ценность, во-первых, как точное описание реального процесса в рамках данной модели, во-вторых, как тест для апробации и сравнения различных численных методик, в-третьих, как теоретический факт, осмысление которого помогает совершенствовать используемые модели. Однако точные решения описывают узкий класс физических процессов, и реальную задачу редко удается решить с помощью известного набора точных решений. Использование же рядов, например, рядов Фурье или степенных с использованием теоремы Коши-Ковалевской, в нелинейных задачах часто невозможно без довольно сложных модификаций. Некоторые обобщения характеристических рядов и рядов Коши-Ковалевской оказались полезными для задач механики сплошной среды и использовались, например, в работах М.В. Бабича, Г.Ф. Даффа, Р. Куранта, Д. Людвига, A.A. Дородницина, А.Ф. Сидорова, М.Ю. Козма-нова, В.М. Тешукова, С.П. Баутина, и др. Было отмечено, что рекуррентность вычисления коэфициентов рядов, представляющих решение, имеет важное значение. А.Ф. Сидоровым были изучены некоторые случаи, когда возможно такое рекуррентное вычисление, и была поставлена задача построения и исследования рядов с рекуррентно вычислимыми коэфициентами.

Эта задача была решена следующим образом. Введен необходимый алгебраический формализм в кольце специальных рядов. Проведено сведение произвольного уравнения с частными производными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Оказалось, что коэффициенты рядов по степеням одной функции не всегда могут быть рекуррентно определены. С помощью алгебраических рассмотрений построена теория универсальных двойных рядов, коэффициенты которых определяются рекуррентно при любом решаемом уравнении. Приведены примеры конкретных базисных наборов функций, ряды по степеням которых являются универсальными.

Использование специфики решаемых задач существенно расширяет класс искомых представлений. Дальнейшее развитие теории специальных рядов привело к построению решений периодических задач Коши в виде специальных тригонометрических рядов. Введен эффективный формализм для решения таких задач, показана связь таких представлений с тригонометрическими рядами Фурье. В числе прочих проведены расчеты по уравнению, моделирующему процесс сварки тонкого кольца с учетом излучения. Последняя задача возникла на Уралмашзаводе при конструировании аппарата автоматической сварки труб. Линейная теория (без учета излучения) предсказывала завышенную почти в два раза температуру свариваемых труб (что было технически неприемлемо). Нелинейная теория, учитывающая излучение, приводила к нелинейному уравнению с тремя усложняющими факторами: наличие в уравнении периодичности, сильной нелинейности (четвертой степени) и обобщенной функции Дирака. Применение специальных тригонометрических рядов к этой задаче позволило, используя рекуррентность вычисления коэффициентов ряда, варьировать шаг по времени в зависимости от номера вычисляемого коэффициента. На основании разобранных примеров был сделан вывод, что построеные тригонометрические ряды могут быть применимы для решения практических задач, причем область гарантированной точности результата можно определить в ходе вычислений. Доказаны теоремы сходимости специальных тригонометрических рядов, в том числе для такого непростого объекта, как периодическая по пространственным переменным задача Коши для полной системы Навье-Стокса, показана их применимость к реальным задачам, требующим решения нелинейных эволюционных уравнений (не относящимся, как известно, к уравнениям типа Ковалевской).

Здесь изложение примыкает к результатам, которые получили Дж. Нэш, Н. Итайя, А. Тани, Т. Нисида, O.A. Ладыженская, В.А. Солонников, В.В. Пухначев, A.B. Кажихов, В.А. Вайгант, А.Е. Мамонтов и др.

Следом за степенными рядами в характеристической задаче Коши естественным образом переходим к применению логарифмо-степенных рядов с рекуррентно вычислимыми коэффициентами к уравнениям с особенностью. Для этих рядов удается доказать теорему о сходимости в окрестности особой точки, что являет собою обоснование метода. Введение дополнительной логарифмической переменной позволяет уточнить зависимость решения от логарифма и рекуррентно определить коэффициенты ряда. Этим методом построены логарифмические ряды, представлющие решение уравнения для скорости звука в осесимметрической двойной волне. Поведение решения вблизи особой точки в данном случае важно потому, что оно в пространстве годографа определяет характер примыкания двойной волны к области покоя. Методом рекуррентных специальных оценок удалось доказать сходимость построенного ряда в окрестности особой точки. Этим методом исследовано осесимметрическое уравнение Кармана, описывающее околозвуковое обтекание газом тонких тел вращения. Его используют для аналитического построения картины движения в газе приемников давления, фюзеляжей ракет и т. п. при прорыве звукового барьера. Построенные ряды могут быть использованы для описания течения в ближней области; доказанная теорема сходимости гарантирует их сходимость в окрестности оси симметрии. Более подробный анализ показывает, что относительная толщина обтекаемого тела асимптотически меньше области сходимости. Аналогичным образом для уравнения изотермического процесса фильтрации газа в пористой среде построено решение в виде ряда по четным степеням переменной, имеющей смысл расстояния до скважины, причем коэффициенты этого разложения зависят от логарифма этой переменной и времени. Вычислены первые члены ряда и доказана его сходимость. Аналогом таких уравнений с особенностями в классе обыкновенных дифференциальных уравнений являются уравнения Брио-Буке и уравнения типа Фукса. Последний термин перенесен и на рассматриваемый класс нелинейных уравнений в частных производных. Исследование сходимости представленных рядами решений вблизи особенности потребовало создания адекватной теории, характерной чертой которой является применение абстрактных конструкций к решению задач математической физики, важных не только для теории, но и для практических приложений.

Поскольку основной абстрактной конструкцией излагаемого направления является конструкция проективного предела в формализме аналитических шкал банаховых пространств, необходимо не только изложить адекватный математический аппарат, но и очертить границы его применимости. Область применимости теоремы Л.В. Овсянникова (о задаче Коши в банаховых шкалах) как современного аналога теоремы Ковалевской (об аналитических решениях аналитической системы дифференциальных уравнений в частных производных) удается расширить (в том числе - применить к уравнениям, не относящимся к типу Ковалевской - к уравнениям с особенностями) за счет исследования внутренних свойств используемых конструкций. При этом, в развитие работ упомянутых выше исследователей, показавших, что за более чем вековую историю теоремы C.B. Ковалевской ее потенциал далеко не исчерпан как в теоретическом, так и в прикладном аспектах, автором данной работы обоснован аналогичный тезис в отношении теоремы Л. В. Овсянникова.

А именно, показано, что решение обратной задачи Ковалевской для линейных эволюционных уравнений (данное в работах Jle Ру, Рикье и др.) эквивалентно введению естественной нормировки в соответствующих проективных пределах и применению теоремы JI.B. Овсянникова в получающихся аналитических шкалах банаховых пространств. На этом пути удалось решить одну из проблем группового анализа, поставленную Н.Х. Ибрагимовым, - построен пример бесконечной некоммутативной группы Ли-Беклунда, допускаемой эволюционным уравнением, реализуемой в виде аналитической группы.

Дальнейщее исследование процедур перенормировок банаховых шкал привело к рассмотрению естественных топологизаций этих шкал. Так, для К-шкал решена проблема, поставленная Л.В. Овсянниковым, - показано, что в топологии Сильвы отображения К-шкал непрерывны тогда и только тогда, когда они секвенциально непрерывны; тем самым указана хорошо изученная достаточно естественная топология, позволяющая ввести понятие эквивалентности К-шкал. В частности, оказалось, что интегрирование по параметру шкалы дает эквивалентную перенормировку. Из этого факта вытекает (после преодоления некоторых технических трудностей) эквивалентность квазидифференциальной и сингулярной формулировок теоремы Л.В. Овсянникова для линейных уравнений. Дальнейшее изучение вопроса приводит к доказательству эквивалентности теоремы Нисиды теореме Л.В. Овсянникова для нелинейных уравнений при постановке задачи Коши "в целом", т.е. без ограничений на нормы начальных данных. Этим строго обосновывается широко распространенный тезис о сводимости теоремы Нисиды (формально представляющейся более сильной) к теореме Л.В. Овсянникова. Таким образом, перенормирование банаховых шкал приводит к расширению класса решаемых уравнений. Несомненно, эти методы найдут свое применение и в дальнейшем.

Что касается второго значения слова "аналитический", то здесь в изложение включены результаты по точным решениям, не содержащим в себе операции предельного перехода (сходимости ряда). В рамках данной тематики это как бы "побочный продукт" - такие решения получаются в случае "обрыва" формального ряда для решения, который при этом вырождается в конечную сумму. Естественное привлечение алгебраического формализма приводит к исследованию инвариантных относительно. нелинейных операторов подпространств, т.е. к описанию конечномерных подполиалгебр в соответствующей решаемому уравнению полиалгебре. В простейших случаях достаточно рассматривать в качестве базиса этих пространств степенные функции. Вместе с этими примерами последняя глава содержит важный (но, возможно, вспомогательный) материал по примыкающим вопросам группового анализа и преобразованию уравнений, показана неустранимость рассмотренных особенностей.

В целом предлагаемая работа очерчивает достаточно определенную область приложений и методов; это дает основание надеяться на то, что продвижение в этом направлении приведет к получению новых интересных результатов.