Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Рудых Геннадий Алексеевич

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА И УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Иркутск 2004

Работа выполнена в Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН).

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор Сидоров Николай Александрович.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Аристов Сергей Николаевич; доктор физико-математических наук, профессор Белоносов Владимир Сергеевич; доктор физико-математических наук, профессор Капцов Олег Викторович.

Ведущая организация - Московский государственный институт электроники и математики.

Защита диссертации состоится "8 апреля" 2004г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 при Институте динамики систем и теории управления по адресу: 664033, Иркутск, ул.Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института динамики систем и теории управления по адресу 664033, Иркутск, ул.Лермонтова, 134.

Автореферат разослан "5 марта" 2004г

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н.

U? <7 6- Г

IQMQ94

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Как известно, проблема управляемого термоядерного синтеза состоит в формировании, нагреве, подавлении диффузии и удержания высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля взаимодействующих заряженных частиц. Составной частью этой проблемы является задача формирования и транспортировки мощных потоков (пучков) заряженный частиц [Д.А. Овсянников, 1980, 1986, 1990, О И Дривотнн, ДА Овсянников, 2001; ДА. Овсянников, О И Дривотин, 2003, А С Чихачсв, 2001]. Эти и многие другие задачи математического моделирования в физике плазмы приводят к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными.

В настоящей работе исследуются система интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) 1 и нелинейное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением 2, связанные с задачами математического моделирования в физике плазмы и описывающие соответственно динамику заряженной плазмы в кинетическом приближении и ее диффузию3 поперек магнитного поля, а также процесс горения нелинейной теплопрово-дящей среды в виде сложных диссипативных структур4

Система ВМ описывает бссстолкновитсльный ансамбль п 6 N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц <71, д2, • • •, Яп € К \ {0}, каждый из которых характеризуется функцией распределения /¡(г, > 0 по координатам г = (х, у, г) € Г2 С К3 и скоростям V = (ит, уу, уг) 6 К3 и имеет вид

¿/. + V ■ V,/, + + -V х В) ■ = 0, (1)

иг тпг с

р\

-Е = сЧхВ-4^, У-£ = 4тгр, (2) - (3)

^В = -сЧхЕ, У-В = 0, (4)-(5)

р(г, I) = £ д, I з{г, I) = Яг I ь/4у. (6) - (7)

1=1 »=1

Флагов А А Теория многих чагтиц М Гостехи vial, 1950

'^Калашников А С Некоторые нопдххы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // УМН. 1987 Т.42, N2 С 135-176

3Hyman J , Rosenau Р Analysis of nonlinear parabolic equations modeling plasma diffusion across a magnetic field // Lectures in Applied Mathematics, 1986. V 23 P 219-245

4Курдюмов С П Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее о|л у пи кш пи / CoejtCMt intw прп/>л(мы мптпг штппргкой (frit тки и «ы*тглитгильной мптпемпгпиги М Наука, 1982 С 217-243

РСК • 2uiiC»i

'л;нзная

г КА vpr

Здесь (6R+ время; R+ = (0,+оо). (г, i;, ¿) G R3 х R3 х R+. E(r, I), B(r,t) напряженность электрического поля и магнитная индукция, Е, В R3 xR+ —> R3; /, : R3 х R3 х R+ —► R+; p(r,t), j(r,t) плотности заряда и тока; ml,ql масса и заряд частиц сорта г = 1,2, , п; с - скорость света При этом f,,E,B непрерывно дифференцируемые функции.

Электромагнитные поля E(r,t), B(r,t), определяемые из системы Максвелла (2) (7), являются самосогласованными в том смысле, что из уравнений Власова (1) определяются такие распределения /,(г, v, t), которые вызывают появление электромагнитных полей E(r, t), В (г, t), поддерживающих эти распределения f,(r,v,t).

Диффузия плазмы через магнитное поле изучалась |J Hyman, Р. Rosenau, 1986; P. Rosenau, J. Hyman, 1986; Y. Kwong, 1988; M. Bartsch, S. Kamin, 1990] и описывается, в общем случае, неявно вырождающимся параболическим уравнением

щ = Дд{и) + ДА, и), (£,х) е R+ х П, (8)

и = 0, (t, х) е R+ х 0Г2, и = и0, (t, х) е {0} х Q.

Здесь fi С R" - открытое ограниченное подмножество с границей класса С2+а;а G (0,1);<? : Ё+ —> R+ непрерывная возрастающая функция; д(0) = 0;/ : R х R+ -»R - непрерывная функция; g(-),f(А,-) локально непрерывны по Липшицу; /(А, 0) = 0 для А € R. В работах [D. Aronson, L. Peletier, 1981; М. Bertsch, 1982; P.De Mottoni, A. Schiaffino, A. Tesei, 1984] для обобщенных решений начально-краевой задачи (8) была построена качественная теория, аналогичная той, что развита в исследованиях [B.C. Белоно-сов, Т.И. Зеленяк, 1975; Т.И. Зеленяк, 1977] для равномерно параболических уравнений. Если д~1 непрерывна по Гельдеру, тогда v = д(и) е С2+а(П) -классическое решение краевой задачи

-Av = h{ А, и), х ей, V = 0, х е дП, (8)'

где h : R х R+ —> Wt;h(\,v) = /(А, д"1^)). Уравнение (8)' описывает, например, равновесные конфигурации в плазме токамака [Ю.Н. Днестровский, Д П. Костомаров, 1982]. Основными методами исследования уравнения (8)' являются метод обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационные методы, метод верхних и нижних решений, метод априорных оценок и, так называемый, метод теорем типа Лиувилля [С.И. Похожаев, 1980, 1991; Э. Митидиери, С.И. Похожаев, 1998].

Нелинейное эволюционное уравнение (8) и его стационарный аналог (8)' описывают широкий круг процессов и явлений. Например, уравнение (8) возникает при математическом моделировании различных процессов нелинейной теплопроводности с источником (стоком) и одновременно протекающих

процессов диффузии, в частности, процесса диффузии тепла и горения нелинейной днссипативной среды с объемным энергоны делением при т н лазерном термоядерном синтезе [А А. Самарский, А П Михайлов 1997] Построение строгой математической теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка было начато в работах (О А Олсйник, 1957, О А Олсйник, А С Калашников. Чжоу-Юй- Пинь 1958; А С Калашников, 1967, 1972] В этих исследованиях был введен в рассмотрение физически обоснованный класс обобщенных решении, доказаны теоремы существования и единственности решений для первой и второй краевых задач в ограниченных и Hcoi раниченных областях, различные варианты принципа максимума, а также теоремы о наличии конечной скорости изменения носителей решений уравнений типа нестационарной фильтрации С другой стороны, в работе [Е С Сабинина, 19G2] при изучении первой краевой злтачи для уравнения быстрой диффузии был открыт эффект стабилизации (полного остывания) за конечное время Эти два фундаментальных результата являются основополагающими при математическом моделировании как медленной, так и быстрой диффузии ограниченной плазмы через магнитное поле и ее равновесных конфигураций [R. Tcmam, 1977; С. Bandle. М. Marcus. 1982].

К одной из сложных и актуальных задач математического моделирования следует отнести построение точных решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, составной частью которой является проблема редукции: понижение размерности исследуемой задачи. Основными методами решения этой проблемы являются метод обратной задачи рассеяния [В Е Захаров, А.Б. Шабат, 1974, 1979], применимый к уравнениям, обладающим (L,A)-парой [Р D. Lax, 1968], групповой анализ [JT.B Овсянников, 1978; Н.Х. Ибрагимов, 1983], методы дифференциальных связей [А Ф. Сидоров, В.П. Шапеев, H.H. Яненко, 1984; В.К Андреев, О.В. Капцов, В В Пухначев, А А Родионов, 1994], инвариантных многообразий, дифференциальных подстановок и линейных определяющих уравнений [О.В. Капцов, 1992, 1995, 1998], преобразований Беклунда и неабелевых псевдопотенциалов [М Абловиц, X Сигур, 1987] и тн. прямые методы [Р. Хирота, 1983]. Кроме того, одним из регулярных подходов, используемых при решении этой проблемы, является проверка исследуемого нелинейного уравнения на тест Пенлеве [М Ablowitz, P. Clarkson, 1991]. Применение этого теста к нелинейным уравнениям, интегрируемым методом обратной задачи рассеяния, дает эффективный подход построения (L, Л)-пар Лакса и преобразований Беклунда, а для неинтегрируемых уравнений позволяет находить специальные классы точных решений [В.Г. Данилов, JI Ю Субочев, 1991; Н А Кудряшов, 1988, 1993).

В настоящее время имеется большое число работ, посвященных построе-

нию и иос ледованию точных неотрицательных решении нелинейных параболических уравнений г неявным вырождением В связи с этим, укажем лишь наиболее близкие публикации [В П Маслов. В Г Данилов, К А Вологов. 1987; В А Галактионов, В А Дородницын, Г Г Еленнн, С П. Курдюмов, А А Самарский, 1987, В А Галактионов, С А. Посашков, 1988, 1989, 1994, В А Галактионов, CA Посашков. CP Свирщсвский, 1994, 1995; VA. Galaktionov. 1990, 1991, 1995, J R King 1989, 1993, В В Пухначсв, 1994,1995, О В Кап-цов, 1992,1998, Е Р. Косыгина, 1994.1995, M. Bertsch, R. Kcrsncr, L A Pelcticr, 1985; M A Herrero. 1989, P J Olvcr. 1994, С H. Аристов, 1999].

Систему ( 1) (7), описывающую коллективные бесстолкновительныс взаимодействия п е N различных сортов заряженных частиц, принято называть n-компонснтной системой уравнений ВМ Полная энергия (гамильтониан) системы В M имеет вид

= J J m, I vffldrdv + ± J [|£|2 + |ß|2] dr, 1=1 w il il

где г e П С R3, V € R3. E = E{r,t)- В = B(r,t): /, = f,(r,v,t); f = (fi, ■ ■ ■ ,fn)• Непрерывно дифференцируемые функции E(r,t), B(r,t) : R3 x R+ —> K3, f,(r,v,t) R3 x IR3 x R+ R+ являются решением системы ВМ [Е Horst, 1990], если (I) для всякого Т > 0 существует компактное подмножество в R3 x R3, содержащее носители функций ft(-, -, t) для всех t 6 [0,Т]; (II) дифференциальные уравнения (1)-(5) выполняются всюду с p(r,t),j(r,t), определяемыми согласно (6), (7); (III) для всякого Т > 0 поля E(r, t), В (r, t) вместе со всеми своими производными равномерно ограничены на R3 x [0, Т]\ (IV) E(-, t), B(-, t) интегрируемы с квадратом для всех t > 0.

В работах [К. Asano, 1986; P. Degond, 1986] показано, что задача Коши для n-компонентной (трехмерной) системы ВМ имеет единственное классическое решение на отрезке [0, Т] для всех гладких начальных данных из некоторого функционального пространства Глобальное существование слабых решений задачи Коши для п-компонентной (трехмерной) системы ВМ изучалось в работах [R T Glassey, W A. Strauss, 1986, R. Di Perna, P.L. Lions, 1988, 1989]. На основе этих результатов в работе [Y. Guo, 1993] доказано существование слабого глобального решения начально-краевой задачи для системы ВМ с конечной полной энергией H

Существование и свойства стационарных решений системы В M исследовались многими авторами [В П. Маслов, М.В. Федорюк, 1985; H.A. Сидоров, Г.А Рудых, А В Синицын, 1987; Г А. Рудых, Н.А Сидоров, А В Синицын, 1988, 1989, Ю.А Марков. ГА Рудых, НА Сидоров, AB Синицын, 1989 1990; Yu.A Markov. G A Rudykh, N.A. Sidorov, A.V. Sinitsyn, 1990, Yu A

Markov, G.A. Rudykh, N.A. Sidorov, A.V. Sinitsyn, D.A. Tolstonogov, 1992; Ю.А. Марков, 1988, 1989, 1992, Д.А. Толстоногов, 1991; J. Dolbeault, 1991, 1994; F. Poupaud, 1992, О И. Дривотин, Д А Овсянников, 2001; В.В. Веденя-пин, 2001].

Вопросам существования и исследования стационарных решений релятивистской системы Власова-Максвслла (РВМ) посвящены публикации [Р. Dcgond, 1990; G Rein, 1992; J Batt, К Fabian, 1993; P. Braasch, 1996, 1997; Y. Giio, R Grotta, 1996; Y. Guo, 1997]. В частности, в работе [P. Degond, 1990] получены два класса явных стационарных решений и показано, что для каждого из этих классов исследуемая РВМ система сводится к системе связанных полулинейных эллиптических уравнений. В цикле работ [P. Braasch, 1996, 1997] с использованием результатов [Г.А. Рудых, H.A. Сидоров, A.B. Синицын, 1988, 1989] доказано существование некоторых классов стационарных и квазистационарных решений РВМ системы в случае ограниченной по состоянию области Q с R3 и неограниченной по скоростям.

Как правило, при задании функций распределения ft{r,v,t), задача построения стационарных решений ВМ, РВМ систем сводится к исследованию связанных систем нелинейных эллиптических уравнений [ГА. Рудых, H.A. Сидоров, A.B. Синицын, 1988, Ю.А. Марков, Г.А. Рудых, H.A. Сидоров, A.B. Синицын, 1989; D. Gogny, P.L Lions, 1989; P. Braasch, 1996, 1997]. Стационарные решения двухкомпонентной системы ВМ в неограниченных областях исследовались [В.П. Маслов, М.В. Федорюк, 1985] в связи с теорией затухания Ландау. При этом предполагалось, что функции fi(r,v,t), E(r,t), B(r,t) должны достаточно быстро убывать на бесконечности lim /¿(r, v, t) = 0,

М-оо

lim E(r,t) = 0, lim B(r,t) = 0. В работе [В.П. Маслов, 1978; М.В. Кара-

|r|—»ОС jrj—»00

сев, В.П Маслов, 1979] получены тн уравнения самосогласованного поля, когда, помимо воздействия внешнего поля на систему, учитывается влияние полей, создаваемых элементами самой системы, и предъявлены соответствующие точные решения нестационарного уравнения Власова в R3 с кулонов-ским взаимодействием.

Особый интерес представляет постановка и решение краевых задач для стационарной n-компонентной системы уравнений ВМ, которая, как отмечалось выше, может быть сведена к исследованию системы эллиптических интегродифференциальных уравнений В связи с этим, важные результаты получены в исследованиях [J. Cooper, A Klimas, 1980, 1981; J. Cooper, W. Strauss, 1985; F. Poupaud, 1992; Yu.A. Markov, G.A. Rudykh, N.A. Sidorov, A.V. Sinitsyn, D.A. Tolstonogov, 1992; С.И. Похожаев, 1995; P. Braasch, 1996, 1997] и цикле работ [В.П. Маслов, 1994], в которых выведены и изучены новые

классы интегральных уравнений с прыгающей нелинейностью и их нелинейные эллиптические аналоги для описания классического самосогласованного поля типа Власова.

Система ВМ (1)-(7) является, в общем случае, существенно нелинейной системой интегродифференциальных уравнений, имеет с математической точки зрения ряд особенностей5, не относится ни к одному из известных типов уравнений и не поддается до конца аналитическому исследованию 6.

В связи с этим, в настоящей работе при исследовании системы уравнений ВМ (1)-(7) вид функций распределения ft{r,v,t) конкретизируется

/,(г, V, t) = <л(Яа(г, v,t).....Нгк(г, V, t)), (9)

Ни • • •, Htk : fî х R3 х R+ —► R, tpt : Rfc -> R+,

где t б R+; г 6 О С R3; v € R3; г = 1,2,..., п. Здесь Нгк - первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

г = v, ¿> = — (E(r, + B(r, t) ] , (10)

m, \ с J

являющейся характеристической для уравнения Власова (1). В работах [G. Rein, 1990; Е Horst, 1990, R. Glassey, J Schacffer, 1990] установлено, что система ОДУ (10) имеет единственное решение (R(s,t,r,v),V(s,t,r,v)) на промежутке [0,Т) с начальными данными R(t,t,r,v) = г, V(t,t,r,v) = v, где t е [0, Г); (r,v) 6 R6. Причем для всех s,t 6 [0,Т) отображение R6 Э (r,v) —► (R(s,t,r,v),V(s,t,r,v)) € R6 является мерой, сохраняющей С1-диффеоморфизм. Более того, для всех s > 0 выполняются соотношения

j-sf(R(s,t,r,v),V(s,t,r,v),s) = 0, f(r,v,t)= (LT)

= / (R(s, t, r, v), V(s, t, r, v),s) — f° (R(0, t, r, v), V(0, t, r, v)),

и supp f(r,v,t) является компактом в R6 для вссх t е [0,Т), где Т = T(f, Е, В); / = (/i,.. ,/„). В силу (LT) функция f(r,v,t) является равномерно ограниченной на R6 х [0, Т).

С учетом (10) каждое из кинетических уравнений (1) имеет вид

^Самарский А А О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные >равнения. 1980 Т 16 N11 С 1925-1935

6Batt J Recent resuts m the mathematical investigation of two nonlinear systems of partial differential equations describing the évolution of giavitional and charged matter the Vlasov-Poisson «nid the Vlasov-Mnxwcll system // Inti ivwhonnl Compris Nov tin cm Ariniysis and its Aj>ph<atums Moscow S<pt<mhu 1 5 1998 Report Юр

Соотношения {LT), (LE) есть не что иное, как запись классической теоремы и уравнения Лиувилля [S Guiasu, 1967, W. Kaplan, 1953] для системы ОДУ (10).

В настоящее время работы, посвященные исследованию системы ВМ и уравнения нелинейной теплопроводности (8), можно условно разделить на две большие группы, отличающиеся как используемыми методами, так и кругом рассматриваемых задач. Дадим очень краткий обзор, выделяя в каждой группе работ лишь некоторые, наиболее близкие, на взгляд соискателя, к этой работе публикации.

Первую группу составляют исследования, связанные с доказательством теорем существования и единственности решений задач Коши, краевых и начально-краевых задач, а также с изучением различных динамических свойств решений, таких как устойчивость, асимптотическое поведение, наличие глобальных и неограниченных решений [J. Batt, H. Berestyeki, P. Degond, В. Perthame, 1988; D. Gogny, P.L. Lions, 1989; Д.А. Толстоногов, 1991; F. Poupaud, 1992; В.П. Маслов, 1994; P. Braasch, 1996, 1997; Y.Guo, 1997; J. Batt, 1998; A.A. Самарский, 1980; A.C. Калашников, 1987; A.A. Самарский, В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов, А.П. Михайлов, 1987].

Вторую группу составляют работы, посвященные методам построения точных либо приближенных решений в том или ином явном виде [A.A. Власов, 1950, 1978; В.П. Маслов, 1978; М.В. Карасев, В П. Маслов, 1979; В.П. Маслов, М.В. Федорюк, 1985, А В Синицын, 1989, S M Mahajan, 1989; Ю.А Марков, 1992; J. Batt, К Fabian, 1993, В А Галактионов, В.А. Дородницын, Г. Г. Еленин, С.П. Курдюмов, А А Самарский, 1987; VA. Galaktionov, 1991, 1995; B.B. Пухначев, 1995; O.B. Капцов, 1998] Один из регулярных подходов, позволяющих продвинуться в этом направлении, - групповой анализ. К этой группе работ примыкают исследования [J Batt, H. Bcrestycki, P. Degond, В. Perthame, 1988; P Degond, 1990; B.A. Галактионов, C.A. Посашков, 1989; V A Galaktionov, 1990, О В. Капцов, 1998; Э.И. Семенов, 2000], основанные на анзатце, позволяющем свести систему В M или уравнение (8) к некоторой системе, соответственно, уравнению, которые поддаются разрешению

Обе группы работ важны как для понимания особенностей поведения решений исследуемых задач (1) (7), (8), так и для определения области их применимости при математическом моделировании тех или иных процессов в физике плазмы. Это замечание можно отнести ко всем нелинейным уравнениям математической физики.

Результаты, изложенные в диссертации, основаны на методе анзатцев и примыкают как к первой, так и ко второй группам работ.

Цель работы и задачи исследования. Цель работы заключается в разработке единого (с точки зрения нелинейного анализа, алгоритмизации, теоремы и уравнения Лиувилля для конечномерной системы ОДУ) аналитического подхода к изучению бесконечномерных динамических систем (1)-(7), (8). Получить теоремы о редукции нестационарной (стационарной) п-компонентной системы ВМ к нелинейному гиперболическому уравнению (системе нелинейных эллиптических уравнений), в явном виде восстановить самосогласованные электромагнитные поля Е, В, функции распределения /{ через решения вспомогательных краевых задач и на основе этих результатов построить некоторые специальные классы точных решений исходных систем. Доказать разрешимость (существование и единственность классического решения) краевой задачи Дирихле для равномерно эллиптической системы интегродифференциальных уравнений, к которой сводится стационарная п-компонентная система ВМ. В число исследуемых задач работы входят также вопросы существования (путем конструктивного построения) и качественного анализа точных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной теплопроводности. В качестве отдельной задачи предлагается и исследуется нетривиальная конструкция точного неотрицательного решения многомерного уравнения нелинейной диффузии, которая приводит к необходимости изучения разрешимости (существования и единственности классического решения) конечномерной переопределенной (с числом уравнений, превосходящим число искомых функций) системы алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ).

Методы исследования. При решении поставленных задач используются общая теория дифференциальных уравнений с частными производными и современные методы нелинейного анализа и математической физики.

Научная новизна диссертации определяется решением задач, обусловленных сформулированными выше актуальностью, целью работы и задачами исследования. Основные теоретические результаты работы являются новыми или обобщают известные. Ряд результатов носит конструктивный характер и может быть использован при разработке вычислительных алгоритмов.

Теоретическая и практическая значимость. В работе на основе специально подобранных конструкций (анзатцев) разработаны методы редукции системы ВМ и уравнений нелинейной теплопроводности к более простым задачам, доказаны конструктивные теоремы существования, построены классы точных решений, проведен их качественный анализ. Общая методика проиллюстрирована рядом новых содержательных примеров, обобщением некоторых известных, может быть использована при качественном и алгоритмическом анализе в соответствующих приложениях (при математическом мо-

делировании в физике плазмы) и в теории нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными. Ряд результатов работы нашел применение в теоретических статьях [В.В. Веденя-пин, 1992; Ю.Ю. Архипов, В.В. Ведсняпин, 1994; Е.Р. Косыгина, 1995; С.С. Титов, 1999; O.V. Kaptsov, I.V. Verevkin, 2003; J. Batt, К. Fabian, 1993; J. Dolbeault, 1994; Y. Guo, 1997; J. Batt, 1998; P. Braasch, 1996, 1997, 1998] и диссертациях российских и зарубежных математиков [А В. Синицын, 1989; Д.А Толстоногов, 1991, Ю А Марков, 1992, Э.И. Семенов, 2000, A.B. Шмидт, 2001; G. Rein, 1989; P. Braasch, 1996] Некоторые результаты диссертации (см [27, 33, 36, 37] списка публикаций) вошли в справочник Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. "Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. "М.: Физматлит, 2002.

Апробация работы. В разное время результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН под руководством акад. РАН Л.В. Овсянникова, чл.-к. РАН В.В. Пухначева, чл.-к. РАН П И Плотникова, проф. A.B. Кажихова; Института математики им. С Л Соболева СО РАН под руководством акад РАН М.М. Лаврентьева, чл.-к. РАН В Г. Романова, проф. Т.И. Зеленяка, проф B.C. Белоносова, проф А.М Блохина, проф Ю.Е. Аниконова; ВГУ под руководством проф. П.Е. Соболевского; МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад. РАН В.В Козлова, проф. A.C. Калашникова, проф. Н.Х. Ибрагимова; МГИЭМ под руководством проф. М.В. Карасева, проф. В.Г. Данилова; Института прикладной математики им М.В. Келдыша РАН под руководством чл.-к. РАН С.П. Курдюмова, проф. В.А. Дородницына, проф. В.В. Веденяпина; Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством проф. О.И. Богоявленского; СПбГУ под руководством проф. Д.А. Овсянникова.

Отдельные результаты работы докладывались на VII Всесоюзной конференции "Качественая теория дифференциальных уравнений "(Иркутск, 1986); Международной школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Иркутск, 1989), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление"(Яссы, Румыния, 1990); Первом международном конгрессе по нелинейному анализу (Тампа, Флорида, США, 1992); III, IV Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998, 2000); Международном конгрессе "Нелинейный анализ и его приложения "(Москва, 1998); Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000), Международном симпозиуме "Теория уравнений с частными производными и специальные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений "(Санкт-Петербург, 2000), посвященном 150-летию со дня рождения С В Ковалевской, и на ежегодных

конференциях "Ляпуновские чтения" ИДСТУ СО РАН (Иркутск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7], (10) [24], [27]-[38]. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, непосредственно полученные автором и не затрагивающие авторские интересы других соавторов В работах [1]- [6], [8], [9], [25], [26], [29], оставшихся за рамками диссертации, автор применял близкую методику для исследования уравнения Лиувилля и построения (Ь, Л)-пар Лакса для одномерного нелинейного эволюционного уравнения.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 249 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 336 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проводимых исследований, дан краткий обзор работ, близких к теме диссертации, и дано краткое ее содержание.

Первая глава посвящена вопросам существования стационарных и нестационарных решений п-компонентной системы уравнений ВМ (1)-(7).

В разделе 1 проведен обзор исследований по кинетическим и параболическим моделям физики плазмы, а также сформулирована постановка задачи.

В разделе 2 изучается стационарная тг-компонентная система уравнений ВМ

«•■£-/, + — (£ +-их В)-|-/, = 0, (11)

ОГ 771, С ОУ

п .

V х £ = 0, V • £ = 47г£д, / (12)

к3

А п Г

V ■ 5 = 0, V хВ = Т"!]?« / (13)

1=1 ЦЗ

описывающая кинетическое равновесие плазмы в бесстолкновительном приближении, где /,(г, г/) > 0 - функции распределения заряженных частиц сорта г в расширенном фазовом пространстве {г,у) 6 М3 х К3; Е(г),В(г) -напряженность электрического поля и магнитная индукция; Е, В : К3 —> К3; /,:13х13-» Й+.

Отыскиваются стационарные распределения вида 1г{г,у) = 1,(-а1\у\2+<Р»(*Л)+1>,) = /.(Я, С), ч>, = <р,(г), Фг = (14)

где у?г, V» : К3 <л(г) = с1г + /г<^(г), ^(г) = с2, + М>(г), г 6 П С К3, г; е К3, а, £ (1, Е К3 (г = 1,2,..., п), и соответствующие им самосогласованные электромагнитные поля Е, В, удовлетворяющие системе (11) (13) Здесь /,(Я, (?) - фиксированные дифференцируемые функции своих аргументов; а„й,, | 6,1 \ф 0 - свободные параметры, си, с2г, /„ /сг € К. Неизвестные функции <рг, фг определяются таким образом, чтобы система уравнений (11)--(13) удовлетворялась при (Е(г), = 0, г = 1,2,. ,п Это условие является

необходимым для разрешимости (11) в классе (14) при ^т/. |и=07^ 0.

дИ.

Показано, что при этих предположениях система (11)—(13) принимает вид

п .

Ар = / /к{г,ь)с1у, (У<р,с() = 0, ц = Ъ-кщ/тп, (15)

к=1 Кз

Аф = »'¿Г Як / ОМ)/к(г,у)(1у, (Уф,с1) = 0, V = -4тгд/(тс2),

к= 1 нз

V = <£»(г), ф = ф(г), а = аь <? = <?ь т = Шь с1 = ¿ь

и сводится к совместному исследованию нелинейных эллиптических уравнений

" /• " г

Д<р =/х<?/с / Л^. Аф = у^Як {v,d)fkdv, (16)

А=1 да *=1 щз

где <р = <р(£,г)У, Ф = Ф(£,лУ, ¿ = ¿ъ Д- = -щ! • ^ = (^,¿^,¿13); £ = ___* ^ [ ¿и ^ з___^ _ | ¿1 I ¿1^12 ^ х___

(¿12 (¿13 С^ + ¿12 ¿11 ¿12 ' ¿«(¿п + ¿12) ¿11 ¿12

87гад 4-л-д I ^ I2

М =-гтг, " =--=

а2 а2 а2 а2 а2

а?'+а^'+а12'==г/;(^(а^'+а^2'); ¿ = (<^,¿3); а = «ь д = дь т = тх.

Определение 2.1.7 Будем говорить, что выполнено условие (А), если /,(г,ь) имеют вид (14), 1„ кг £ К - параметры, связанные соотношениями

1г =---, /с,—¿1 = —й, (г = 1,2,..., га),

а^х тп, т\ т,

7Опрсделения, утверждения и 1сорсмы нумеруются по тексту диссертации

И при всех У>„ "фг

j ft(r,v)dv < + 00, J vfl(r,v)dv

R3 К3

< +оо.

Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (А) Пусть <р(г),ф{г) - решение системы, (16). Тогда функции

h(r,v) = /,(-а, | v |2 +сь + l,tp(r), (v,dt) + c2i + к{ф(г)),

E(f) = J(r) = ^ J vfkdv,

R3

(17)

k= 1

ß(r) =

d I2

f(ä

x J(Tr),f)dT + ß

- [d x W(r)]

mc q \ d\

удовлетворяют системе уравнений BM (11)~(13), где г = (£,77) 6 П С R2; ß G R.

Если электромагнитные поля E(r), В(г) обладают скалярным U(r) и векторным А(г) потенциалами E(r) = —VI/(r), B(r) = V х Л(г), то

771 771С

и = -—ч>, A = -TTüipd + Al(r), (Ahd) = О, zag q \ d р

причем (Vi/, d) = 0, (V(i4, d), d) = 0. Далее ставятся граничные условия

U |вп= щ(г), (А, d) \ю= щ(г), (18)

которые с учетом вышеизложенного принимают вид

V |эп= ■тх0(г), ф |ап= — их(г), (19)

771 7ПС

где Г2 с К3 - область с достаточно гладкой границей ЗП.

Следствие 2.3. Пусть выполнено условие (А). Пусть <р*{г), ф*(г) удовлетворяют системе (15) Тогда задача (11)—(13) обладает решением

Л = /,(-а, I и I2 +сь + ¿,</(г), К <*,) + с2г + Кф*(г)),

1

В =

dl2

|(dx J*(rr),r)dr + /?

- [dxVf(r)]

mc

7 | d |2'

(20)

Е = ^</(г), Г (г) = ^ ¿д, I у/ф.

к= 1 щз

Кроме того, решению (20) соответствуют потенциалы и(г),А(г), удовлетворяющие соотношениям (VII, в) = 0, (У(Л,й),с0 = 0, где г = (х, у, г) £ О. с К3.

Суммируя результаты теоремы 2 2 и следствия 2.3, заключаем, что справедлива

Теорема 2.3. Пусть выполнено условие (А). Пусть, помимо этого, <р{г), ф(г) - решение краевой задачи (16), (19). Тогда система ВМ (11)-(13) обладает решением (17), которому соответствуют потенциалы и, А, удовлетворяющие граничным условиям (18).

Далее рассматривается редукция системы (16) к одному нелинейному эллиптическому уравнению.

Определение 2.2. Будем говорить, что выполнено условие (В), если существуют векторы (3, € К3 такие, что ¿г{г) — Р,р,(г), (г = 1,2,... , п), где

Рг(г) = J ¿(г) = J г>/,(г, у)йу.

к3 к3

Доказывается ряд утверждений, оценивающих широту множества функций распределения /,(г,у), удовлетворяющих этому определению.

Следствие 2.4. Пусть функции распределения /, = /¿(-а,|1>|2 + (г>, (¿,) + 'Рг + 'Фг) удовлетворяют условиям (А), (В). Тогда система (16) преобразуется к виду

П п к

ДУ = М фЛ(7. + ич> + МО. = ^ -уЧ(7. + ¿.V + МО, (21)

1=1 1=1 1

Л(7» + ич> + М) = J /г(-огх|г>|2 + (у, ¿г) + ¡рг + ф,)^,

кз

где = сь + с2г; у = </?(£, т?); ф = 77); </?, = с1г + фг = с2, + М-

Предположим, что (£, гу) е П, где П с К2 - ограниченная область с гладкой границей дО., и значение скалярного потенциала т]) на сЮ известно:

¥>(£,т?)1ш=-Д(<£,77). (22)

Случай 1. Пусть I, — кг (г = 1,2,.. , п); тогда имеет место

Утверждение 2.5. Пусть 1г = кг и и* удовлетворяют уравнению

п

Ди = a{d,a)^2qlAi(jl + ltu), a{d,a) - 2nq(4a2c2- \ d \2)/(mc2aw(d)), 1=1

(23)

где и = <p + ф. Тогда система (21) обладает решением <р = 9(d,a)u* + щ, Ф = [1 - а)]«' - <ль где d{d,a) = 4а2с2/(4а2с2- | d |2); 4а2с2 ф \d\2;(p = <р(£,г]);ф = = <Po(€,v) ~ произвольная гармоническая

функция.

Зная в условиях утверждения 2.5 некоторое решение и* "разрешающе-го"уравнения (23), мы можем, с учетом (22), определить решая ли-

нейную задачу

А^о = 0, щ |вп= г]) - ви" |ап . (24)

Таким образом, в случае 1 исследуемая система (21) сведена к решению "разрешающего "уравнения (23) и линейной краевой задачи Дирихле (24). Тем самым, справедлив следующий результат

Теорема 2.4. Пусть /, = кг, (г = 1,2,..., п) и для функций распределения /, выполнены условия (А), (В). Тогда система уравнений ВМ (11)-(13) с граничным условием (22) на скалярный потенциал имеет решение

ТП

fl=ft(-al\v\2+(v,dl) + 7. + hn'), S = —[0(d,a)Vu* + Vv>o], (25)

d

В = -.—ГГ

1

J {d х J{rf),r)dT + P .0

-[dx[(l-0(d,a))Vu*-Vv>o]] m°

q\d\2'

где и* = и*(£,Г1) - функция, удовлетворяющая "разрешающему "уравнению (23); Р, 7, € К; г = (£, 77); щ = щ(£,т]) - гармоническая функция, определяемая из линейной задачи (24)-

Случай 2. Пусть 12 = ... = !„ = I, ^ = ■•■ = = М ^ ^ При п = 2 случаи 1, 2 исчерпывают все возможные соотношения между параметрами 1„ к, б К. Построено решение <р, ф системы (21), удовлетворяющее равенству |р + ф = 1<р + кф.

Определение 2.3. Будем говорить, что выполнено условие (С), если существуют постоянные 7,еК,(г = 1,2,..., тг), такие, что

п

ОчМЫ + и) + т ]Г чгМъ + и) = о. в,теш, 1=2

в = 4а2с2(1 - г) + и2{к - 1), Т = 4а2с2(1 - I) + Щ2{к - 1)*.

Предполагается, что функции /, = /Д-агМ2 + (у,¿г) + <Л + Ф%) таковы, что одновременно с (А) выполнено условие (С).

Утверждение 2.6. Пусть 12 = 13 = ... = 1п = I, к2 = кз = ... = кп = к, I ф к. Пусть выполнены условия (А), (С). Тогда система (21) обладает решением = [(к — 1 )/(к — Ф — 1(1 — О/{к ~ 01м*- Причем и* удовлетворяет уравнению

Ма,к,1,с1) Л, I <112 (к - 028тга<г2 /п„х Аи = е \ '' ' :' А:Ы+и , к(а,к,1,с1) = -——-^-!Ц 26

где а(а, I) = 4а2(1 —1)1, Ь(с1,к)=\<1\2(к — 1)к-1 6 = 1 /с2. Тем самым, имеет место

Теорема 2.5. Пусть а2д2¡т2 = ... = апдп/тп, к2 = ... — кп = к, к ф 1} и выполнены условия (А), (С). Тогда система уравнений ВМ (11)-(13) с граничным условием (22) на скалярный потенциал <р обладает решением

/, = М-Ог I V I2 +(у, 4) + 7, + О, Е =

о _ <*

^ыТ5

о'

У(ЙХ ./(тг),г)йт + /? .0

При этом функция и* удовлетворяет уравнению (26) с граничным условием Дирихле

В разделе 3 доказывается существование и единственность классического решения краевой задачи Дирихле (21), (22) для функций распределения

/¿=ехр(-с*М2-Ь(М.) + г.</> + М>+7.)> (г = 1,2,...,п), (27)

представляющих интерес в теории высокотемпературной плазмы, где 7,, 1и Л, € К; а{ Е сЦ 6 К3 - свободные параметры; ^ = <р(г) : Ё3 Е; ф = ф{г) : К3 —> К; /, = /,(г,и) : Е3 х I3 -> Й+; г е П с К3. В этом случае приходим к системе

п / 4 3/2 | ^ |2

Ду? = М ехрЬ + 4^) ехР^ + А.ДО, (28)

Вводя дополнительное условие нормировки

J ! ¡¿идя = 1, (29)

П К3

система (28) запишется

Ду> = ц Ё ^I ехр(¿¡V? + кгф)ёх^ , (30)

Здесь х = (£,??) € С К2; у = <р(г), ф = 1/>(х) - потенциалы электрического и магнитного полей;

_ Впа^х _ _ тщ а,д{ _ тт^ $ (¿ьй{)

Ц — ' , —

тц^с^)' тп\с2ш(<1\)' 1 а^ ттг, ' <?1 тп, | ¿1 |2 '

= = д, ГП1 = тп, = <2,01 < 0, $ > 0, (г = 2,..., п).

В разделе 2 и работе [14] система (30) исследовалась в двух предельных случаях: Ц — к{, (г = 1,2,..., тг) и ¿2 = • • • = 1п = I, = • • • = кп = к, I ^ А:, когда ее удается свести к одному нелинейному эллиптическому уравнению.

Теперь рассмотрим общий случай. Предположим, что существует з е {2, ...,п}, такое, что 13 ф к3. Для конкретности, пусть з = 2. Введем новые переменные

щ=(р + ф, щ = -(/,¥> + А:,ф), ¿ = 2,...,п. (31)

Умножая первое уравнение системы (30) на 1и второе на к{ и складывая, приходим к системе

п

-Ди, = и{ = щ(х), г = 1,2,... ,п, (32)

Лг = е"1 ^ е"1^ , А3 = е-"' ^ J , 7 = 2,..., тг,

a« i i Л 1 \ (di, di) . _ - - ТЩ ■ V1 - Ш#«г>) = —• * =

8тг

c,-, =

Из первых двух уравнений системы (31), в силу предположения 12 ф к2, следует, что

k2U 1 + 1Х2 ¿2^1 + U2 ,„„,

* = TTV' ф = ""fa^T (33)

Подставляя (33) в (31), легко проверить справедливость цепочки равенств

k,l2 ~ Uk2 k-h Qi&i

щ = —7-—Iii + -г-ru2 =-

Ä2 ~ '2 «2 ~ '2 Tlj

mj 22 — 2, 7712 Z, — Zi —j---Ii! +---U2

.91 «l Z2-Zi q2a2 z2-zx

(34)

где г = 3,... ,п. Любой набор решений системы (32) однозначно определяет решение исходной системы (30) по формулам (33). Итак, мы можем рассматривать систему уравнений (32) вместо (30). В силу (19), (31), (33) будем исследовать систему (32) с граничными условиями Дирихле

щ(х) = и0г(х), хедп, ¿ = 1,2,...,п, (35)

где х = (£,7?) 6 О; П С К2 - ограниченная область с границей дО. класса <72+а; и« € С2+а; а € (0,1).

Далее заметим, что функции Aj(u) инвариантны относительно сдвига. В связи с этим, можно считать, что щ, > 0 (но,- < 0) при х е дО,.

Утверждение 3.1. Пусть > 0 < 0), тогда

п

^=1 п

(ВД = Т Сг}А3(и) <0, IX, < шахио;).

■ * д\1

Определение 3.1. Вектор-функции у(х),го(х) е С2(П)" П С!(П)П, удовлетворяющие неравенствам

3 2 п п

-д^ > + > од, Х6П,

3 2 а п

F,(-) = < UQt, wt>uQi, xedCl,

назовем, соответственно, нижним и верхним решениями задачи (32), (35), где v = (ui,. - -, vn)'\ w = (wuwn)'\ v,(x),Wi(x) € C2(Q) П C1^)-

В силу инвариантности функций Aj(u) условия v, < w, > щг, х € 0П можно заменить следующими: vt < 0, u>t > 0, х £ 9П (¿ = 1,2,..., п).

Теорема 3.1. Пусть существуют нижнее vt(x) G С2(О,) ПС1^) и верхнее Wi{x) € C2(fl) П СХ(П) решения задачи (32), (35) такие, что Vi(x) < ги,(х) в й. Пусть щ, € С2+а(дП). Тогда существует единственное классическое решение щ[х) € Сг+а{й) краевой задачи (32), (35), причем vt{x) < щ(х) < Wi(x) вЙ, (¿ = 1,2,... ,n).

Далее в этом разделе строятся нижние V{ и верхние W{ решения краевой задачи (32), (35). В итоге, получены достаточные условия на параметры, при выполнении которых система (32), (35) имеет единственное классическое решение.

В разделе 4, с использованием теорем 2.4, 2.5, строятся некоторые специальные классы точных решений стационарной системы ВМ (11)-(13).

В разделе 5 проводится редукция нестационарной n-компонентной системы ВМ (1)-(7) к нелинейному гиперболическому уравнению. Отыскиваются распределения

/, = /,(-а(М2 + (хЫ) + ЯМ)), F,: R3 х R+ - К, (36)

и электромагнитные поля E{r,t), B{r,t), удовлетворяющие (1)—(7), d, £ R3, щ € R+.

Определение 5.1. Будем говорить, что выполнено условие (D), если функции распределения fi имеют вид (36), где /; - произвольные дифференцируемые функции,такие, что

J fi(~\v\2 + T)dv < +оо, J vfi{-\v\2 + T)dv < +oо,

R3 R3

где T € R; aid{ = Mi; = d; ax = a; € R+; e R3; i = 1,2,..., n.

Введем в рассмотрение линейное гиперболическое уравнение

Ьи = 0, L- = 2a~+(d,V-), (37)

и обозначим через Kerb подпространство нулей оператора L.

Теорема 5.1. Пусть выполнено условие (D) и „ . miOtiqi . .

г, = А, Н--u(r, г), А, 6 К, 9i = q, тп\ = m, c*i = а.

aigi

Пусть u(r, t) € Kerb и удовлетворяет нелинейному гиперболическому уравнению

^к = с2Ди + ^(|d|2 - 4q2c2) ¿q, [ f,dv. (38)

dt2 am

R3

Тогда каждому решению u(r,t) € KerL уравнения (21) соответствует, в общем случае, семейство решений f„ Е, В € Kerb системы ВМ (1)-(7) вида

U = /¡(-о* М2 + (v, d<) + Ai + iiU(r, «)), (39)

B = Wd+WT^)Mu+Ar))xd]' (40)

* = 2aq(4a2c2 — \d\2) + ^(r)) - (V«, d)d],

где ip°{r) - функция, удовлетворяющая соотношениям A(f°(r) = О, (V<p°(r),d) = 0.

Замечание 5.2. В условиях теоремы 5.1 скалярный U и векторный Л потенциалы определяются по формулам

•4 = g(|(ip"':4aV).<Mr, i)+/(r)t+e(r), e(r) - r^M,;. »A ¿i!/)'+Vp(r),

где (i = (di, d2, d3)'; p(r) - произвольная гармоническая функция. Кроме того, так как функция u(r,t) удовлетворяет уравнению (37), то потенциалы U, А

1 д

связаны известным условием калибровки Лоренца ~—U(r, ¿)+V-A(r, £) = 0.

cat

В разделе 6 исследуется нестационарная n-компонентная система ВМ с внешними источниками

JU + V • Vr/t + (е + -V х в)- V„/, = 0,

ot mt \ с J

Q

-E = cVx В- 4rr(j(r, t) + j°(r, t)), V • £ = 4тг(р(г, t) + p\r, t)), (41)

d_ dt

n . " Г

В = -cV x E, V • В = 0, p(r,t) = / /.(to, i(r,i) = 51 /

«=i »3 1=1

R3 «-1 R3

где р°(г, г), _7°(г, £) - плотности внешних зарядов и токов, связанные соотношением

= *) + /?(»■)], (42)

_70(г>О.Р°(г>*).Жг) - заданные функции; <1 6 И3; а € К+.

Будем предполагать выполненным условие (О). Требуется из системы (41), (42) определить ^¿(г, 4), функции распределения /,, определяемые согласно (36), и электромагнитные поля Е{г,{), В(г,£). Отметим, что из условия (Э) следует сходимость интегралов

I /¿(-<*,М2 + (V, + Г,(г, 0)А; < +оо,

v/i(-Oi|vf + (v.di) + Fi(r,t))dv < +оо,

R3

где fi: R -> R+; Ft : R3 x R+ —> R; a, € R+; di € R3. Теорема 6.1. Пусть выполнено условие (D) и

Fi(r, t) = Xi + ^„(r, t), u(r, t) 6 tf erL, \d\2 - 4a2c2 = £ 6 R \ {0}, aqrrii

d = d\ a = ai, q = qi, m = mi, A, € R, a, 6 (i = 1,2,... ,n).

Пусть имеет место соотношение (42), нагруо/сенное условием (V/?(r), d) = 0, и функции p°(r,t), j°(r,t) удовлетворяют уравнению неразрывности

Q

-p(r,t) + V-j(r,t) = 0. Пусть u(r, t) б Kerb - решение нелинейного гиперболического уравнения

U(и) = ¿и _ с2Ди - ^[p(r,t) + p°(r,t)3 - —^|d|2/3(r) = 0. at' am am

Тогда плотности внешних зарядов p°(r,t), токов j°(r,t) и функции распределения fi, определяемые согласно (39), индуцируют самосогласованное электромагнитное поле (40), где у>°(г)- произвольное решение переопределенной системы уравнений

Д<Лг) = — /3(г), (V<p°(r), d) = 0. т

Помимо этого, функции /,, Е, В, р, j, р°, j° лежат в подпространстве Kerb.

Вторая глава посвящена вопросам существования точных неотрицательных решений одномерного уравнения нелинейной теплопроводности

щ = (К{и)их)х, и = и(х, г): П х ^ Г, х е К1, (43)

где и(х, ¿) > 0 - температура среды; К (и) коэффициент нелинейной теплопроводности, определенный при всех и £ К+; К (и) > 0 при и > 0; Л"(0) > 0.

В разделе 1 получены преобразования Веклунда, связывающие решения одномерного уравнения нелинейной теплопроводности с родственными уравнениями.

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия К{и) € С2(И+) П С(Й+),

1 и

I Ш« < +оо, Ф(и) = I и > 0, Ф(0) = 0.

о о

Тогда функция

X 1

и(х,£) = Ф"1(Их, £)]+), F(:r,£) = - ^ = " } Х/(тх,1)<1Т,

о о

определяемая из соотношений

щ=щй)12-и1*> (44)

является точным неотрицательным решением уравнения нелинейной теплопроводности (43), причем

ъ = Я(Р)Р„ + Р1 Д = (ВДЛ - 1%, (45) - (46)

^ЬФ-Чл = 1/жп Ф-Х(Л ¿0, ад = К(Ф-\Е)).

Более того, для совместности системы (44) достаточно (необходимо и достаточно), чтобы функция Р{х,£) (/(х, ¿)) удовлетворяла уравнению (45) ((46)), где [■]+ = тах {[•], 0}.

Уравнение (43) эквивалентно уравнению

щ = {ч>(и))хх, и=и(1,():Йх|+-»К+, хбК1. (47)

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия К(и) £ С2(К+) ПС(Й+),

1 и

Jк(Qdt<+oo, ?{и) = ! К{С)е£С, и > 0, ^(0) = 0. о о

Тогда функция

X 1

и{х,1) = ¥>-1([Я(х,0]+), Н{х,1) = = хЦтх,1)с1т,

о о

определяемая из соотношений

Щ -(- Нх(х,г) = 0, /г(х, {) = -¥>х(и), (48)

является точным неотрицательным решением уравнения нелинейной теплопроводности (47), причем

Ht = S{H)HXX, ht = {S{H)hx)x,

(49) - (50)

—ip-^H) = 1/5(Я), ^(Я^О, 5(Я) = К{ч>-\Н)).

Кроме того, уравнение (49), ((50)) является достаточным (необходимым и достаточным) условием совместности системы (48).

Следствие 1.4. Соотношения

vt = (X + 1 + vFxx], vx = (\ + 1 )v&Fx,

являются преобразованием Беклунда (псевдопотенциалом), связывающим решения

F(x,i) = [mr* (х2+(зт\рхч) -7/А]+,

v{x, t) = [A[0(i)]_1 (х2 + p[0{t)}pxq)]'+, уравнений типа нелинейной теплопроводности

Ft = (7 + AF)F„ + Fl, vt = V&vxx, где d(t) = a - 2(A + 2 )t; a, /?,7 € R; A e R+; p = q =

В разделе 2 исследуется уравнение нелинейной диффузии

щ = (иЧ)„ u = и(х, t):Qx 1+ R+, А е R \ {0}. Теорема 2.1. Если a*(i) 6 CHR+) связаны соотношением

(51)

¿Tdk(t)xk =

ы о

^ kak(t)xk-1

+

М + A]Tafc(i)x*

4=0

£fc(A;-l)afc(i)xfc-2,

Ь=2

то функция

1,£)

к=о

А € М, Л ^ О,

(52)

является точным неотрицательным решением уравнения (51).

Следствие 2.3. Пусть т. € N, т > 1, тогда уравнение нелинейной диффузии

щ = (и~^их)х, и = -и(х, . П х 1+ г 6 К1,

имеет точное двухпараметрическое решение (сь С2 6 К параметры)

и(х,

+ с2

т

т — 1

С! -

2(т - 2) V1

тп — 1

£ гЧ

2(т - 2) ■

С1---тА

т — 1

"(т-З)

В разделе 3 изучается уравнение нелинейной диффузии с источником (стоком), зависящим от температуры

щ = (и\х)х + сш1-А + 0и, и = и(х,4) : П х 1+ Е+, а,0,Х,це Е; А ф 0.

(53)

Теорема 3.1. Уравнение нелинейной диффузии с источником (стоком) (53) обладает точным неотрицательным решением (52), если функции а^Ь) е С1(К+) связаны зависимостью

¿—0

+

.*=1

т

ц + лу

к=2

¿=0

+ а.

При ш = 3 и т = 4 в явном виде найдены точные неотрицательные решения уравнения (53) для А = —3/2 и А = -4/3, соответственно.

В разделе 4 рассматривается уравнение нелинейной диффузии с источником (стоком) специального вида

щ = (и их)х + аи ихх + ти их, и = и(х, ¿) : ^ х

г, х € К1, (54)

где ft С R1 - область; т = а(А - 1) + 7; a,7,AeR; а > -1; А ф 0. Теорема 4.1. Если a.k(t) € C^R"1") связаны соотношением

т2

ЕМ*)*'

к=0

U=i

^ + X^2ak(t)xk

к=0

А—2

к=2

то функция (52) является точным неотрицательным решением уравнения нелинейной диффузии (54), где с = 7 + 1; /3 = а + 1; т = а(А — 1) + 7; /х,а,7, А е К; а > -1; А ф 0.

При т = 3 справедливо

Утверждение 4.1. Уравнение нелинейной теплопроводности с источником (стоком)

ut = {ихих)х+аихихх+

|(a-2)-a-l

ux~lu\, и = u(x,i) : fîxR -»R+,

(55)

имеет точное неотрицательное решение

з

u(x,t) =

fc=0

l/A

(56)

причем a3(t) = r, a2(i) = / 6(i)di + p, 0l(i) = £ ^ b(t)dt + p^ +

aoW

-2h(Jw*

+ p +■

m , Ht)

12/?2Л2г2 6/3Ar2

zdeb(t) определяется из соотношения J(с\ — = сг+i; a, /0, А,

/х, г, р, сь с2 G R; a > -1; /? > 0; г ф 0; А ф 0; /3 = a + 1.

Утверждение 4.2. Пусть А 6 (0, —оо), тогда функция (56) является точным неотрицательным решением уравнения нелинейной теплопроводности (55). При этом at(i) € C1(R+) определяются формулами

аз(0 = г, ог(0 = Г2 J p(t + V)dt + р,

Оо (t)

27 r2

1J p(t + Tj)dt-

+ P +

2/?Ar '

r2p(t + r?) 12/?2A2r2

+

+Я1

и выполняется цепочка равенств а2(£) = 6(£) = р(££; 0, £ 6с) = £ _2р(£; О, с) = £~2р(£+77), где р{г\дг,дз) - функция Вейерштрасса с инвариантами дг. о. /3,А, д,г, г?, р, с € К; а > -1; 0 > 0; г ф 0; А ф 0; 0 = а + 1; £ =

ШМ)№1/2-

Теорема 4.2. Функция и(х,Ь) — [Аа2(£)х2 + Аат(£)хт]^Л является ным двухпараметрическим решением уравнения нелинейной диффузии

точ-

щ = (ихих)х + аихихх +

—(а — т + 1) - а — 1 т

и = и(х,*) : П х Г При этом а2(£), ат(£) £ С^К"1") определяются формулами

С1 +

2р\{т - 2)

т

-1

, ат(£) = с2

20\(т — 2) ] Сх Н--г

то

+

где = а+ 1; а > -1; А,сьс2 € К; А Ф 0.

Третья глава посвящена вопросам существования точных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной теплопроводности с конечной скоростью распространения возмущений. Изучается уравнение

щ = V - {К(и)Чи), и = и(х, : П х

хе:

(57)

где Я С К" - область; и(х, 4) > 0 - температура среды; К {и) - функция, определенная при всех и е К+; К (и) > 0 при и > 0; К( 0) > 0; К (и) € С2(К+) П С(Й+) -- коэффициент нелинейной теплопроводности.

В этой главе предполагается, что

1 /

т

< +оо.

(58)

Известно, что сходимость интеграла (58) является необходимым и достаточным условием конечной скорости распространения возмущений в процессах, описываемых уравнением (57). Исследуемое уравнение (57) представляется в виде следующей эквивалентной системы

(59) - (60)

которая является переопределенной относительно u(x,t), где f(x, t) 6 1" -достаточно гладкая по х, t вектор-функция. Вводится в рассмотрение функция

и

ф(и) = J и> О, Ф(0) = 0. (61)

о

Соотношение (59) при заданной вектор-функции f(x, t) является уравнением Лиувилля относительно температуры и(х, t) для системы ОДУ

х = f(x,i), х = -^х, х G R". at

В разделе 1 дан обзор работ и сформулирована цель исследования. В этой * главе в случае потенциальности поля f(x, t) G Rn доказано, что скалярная функция и(х, t), определяемая из соотношения (60) и удовлетворяющая уравнению Лиувилля (59), является точным неотрицательным решением многомерного уравнения нелинейной теплопроводности (57).

В разделе 2 изучается линейный случай, когда f(x, i) = — Л(£)х - B(i).

В разделе 3 исследуется общий случай, когда f(x, {) £ К" - потенциальная по х и достаточно гладкая по t вектор-функция.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (58), (61) и компоненты векторного поля f Е К" связаны соотношениями

¿ЛМ = ^-/,(х,г), гфз. (62)

Тогда функция

1

«(х, t) = Ф~1([^(х, t)}+), F(x, t) = - J(f(rx, i), x)dr, (63)

0

определяемая из (60) и удовлетворяющая уравнению Лиувилля (59), является точным неотрицательным решением уравнения нелинейной теплопроводности (57), причем

Ft = R(F)AF + |VF|2, ft = V (R(F)V ■ f - |f|2) , (64) - (65)

Кроме того, уравнение (64) ((65)) является достаточным (необходимым и достаточным) условием совместности переопределенной относительно u(x,t) системы (59), (60), где (•,•) скалярное произведение el".

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (58), (61), (62) и

dx,J

i=i

Тогда функция u(x, t) вида (63), определяемая из (60) и удовлетворяющая уравнению Лиувилля (59), является точным неотрицательным решением многомерных нелинейных эволюционных уравнений типа Гамильтона-Якоби и теплопроводности

щ = = КЧи) Au, К(и) фуи, 7е К+,

и К{и) — иК'[и)

причем

Ft = |VF|2, ft = -V|f|2, ± ЫФ-HF) = Щ^Щ-у *'ЧП Ф 0.

(66) - (67)

Помимо этого, уравнение (66) ((67)) является достаточным (необходимым и достаточным) условием совместности системы (59), (60), где F(x, t) -гармоническая функция.

В разделе 4 выделен класс многомерных квазилинейных уравнений теплопроводности с источником (стоком), обладающих решениями вида (63). В частности, исследуется конструкция

и(х,0 = ф-1(Их,<)]+) = 0, 2(х,0 = ^(х,Л(0х) + (х,В(4)) + С(«), (68)

где матрица А(Ь), вектор-столбец В^) и скалярная функция С{£) подлежат определению, причем ау(<),Ь,(<),С(£) € С1(Й+).

Изучается уравнение нелинейной теплопроводности с источником (стоком)

щ = 17-(К(и)Чи) + (2(и), и = и(х,г) : Пх1Г х е К", п > 1, (69)

где <3(и) € СЧ1Г) - функция, описывающая процесс тепловыделения или горения в среде с нелинейной теплопроводностью К (и) 6 С2^4) П С(®Г), если <2(и) > 0 при и > 0, и процесс поглощения тепла, если (}(и) < 0; <3(0) ф 0.

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (58), (61). Предположим, что А(Ь) - симметричная матрица с элементами а1](Ь), В(£) - вектор-столбец с компонентами ¿»¿(¿), С(£) - скалярная функция, = ¿г Л(£); Ь,(Ь),

С(£) б С1 (К ) - вещественные функции; г,] = 1,2,...,п. Тогда функция

(68) является тонным неотрицательным решением квазилинейного уравнения теплопроводности (69) с источником (стоком) вида

<ЭЫ =

К(и)

1+1 ."1=0

Х>ф*(«)

0

-1

где РкФк(и) ф 0; ат, Д 6 I - произвольные постоянные, удовлетворяющие одному из следующих условий. Ф О,/?/ Ф 0; ао ф 0,/?о Ф О, ат = 0, тп = + — 0, к = 1,2,...,/. Кроме того, функ-

ции В^), С(£) определяются из соотношения

X, йА(г) - Л2(*)) х) + (х,В(0 - 2Л(0В(«)) +<7(0-

|В(^|2 - Л(0Д ( 2(х> л(*)х) + (х- в(*)) + ) I х

причем

*Х>

к=0

(+1

-(х,Л(фс) + (х,В(г)) + С(г)

;(х,Л(фс) + (х,В(*)) + С(*)

т=0

и(х,«) = Ф 1([г(х,4)]+) =ехр

/

[У ВД]

Четвертая глава посвящена конструктивному построению точных неавтомодельных, анизотропных по пространственным переменным, явных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии

щ = V • (иЛУи), и = и(х,г): П х 1+ -» И+, хеК", (70)

и исследованию их качественных свойств, где С К" - область; Е+ = (0, +оо); Л € М\{0}; и(х,0 > 0.

В этой главе предлагается и исследуется специальная конструкция точного неотрицательного решения уравнения (70), которое, в зависимости от параметра нелинейной среды Л € К\{0}, описывает различные процессы распространения тепла и диффузии. Показано, что введенная конструкция позволяет получить и проанализировать точные неотрицательные решения

как класса уравнений пористой среды (ньютоновской нестационарной фильтрации), когда А е 1+, так и класса уравнений быстрой диффузии, когда Л € В последний класс укладывается уравнение

и1 = Д1пи, « = и(х,4):ПхК1'-»К+, х € К", (71)

двумерный (по пространственным переменным) аналог которого является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа Ли допустимых преобразований бесконечномерна. При п = 2, согласно общепринятой терминологии, (71) - предельное уравнение быстрой диффузии, которому уделено особое внимание. Полученные точные неотрицательные решения отмеченных выше уравнений не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда.

В разделе 1 уравнение (70) представляется в виде переопределенной относительно и(х, ¿) системы

щ + Ч -{иЦх,Ь)) = 0, {{х,Ь) =-их~1Чи, (72)-(73)

и проводится исследование ее совместности, где {{х,^ £ К" - достаточно гладкая по х, £ вектор-функция.

Утверждение 1.1. Пусть компоненты векторного поля Г(х, ¿) связаны

д д условиями ——/, (х, £) = "з—/¿(х, ¿), i ф- ]. Тогда функция ах{ ОХ]

1

и(х, 4) = [А£(х, , £(х, I) = - I{{(тх, *), х)с*т, (74)

о

определяемая из соотношения (73) и удовлетворяющая уравнению Лиувил-ля (72), является тонным неотрицательным решением уравнения нелинейной диффузии (70). Помимо этого, для того, чтобы переопределенная относительно и(х, £) система (72), (73) была совместной

(1) достаточно, чтобы скалярная функция £(х, £) удовлетворяла уравнению

Я = А£Д £ + IV.FI2, (75)

(2) необходимо и достаточно, чтобы вектор-функция ({х, £) удовлетворяла уравнению

Ь = У

В разделе 2 получена конечномерная разрешающая система для уравнения (70). С этой целью вводятся в рассмотрение функции

Zk(x, t) = |(х, At(t)x) + (х, Bt(t)) + Cfc(t), (76)

где х € R"; Afc(t) = [afcy(i)] - матрицы n x n; Вk(t) = (bki(t), ...,bkn(t))' -вектор-столбцы; Ck(t) - скалярные функции; akij(t),bkl(t), Ck{t) e Cl(R ) -вещественные функции; к = 1,2; i,j = 1,2, ...,n; (•,•) - скалярное произведение в R".

Далее полагается, что в утверждении 1.1 вектор-функция f (x, i) имеет вид f(x,t) = —P^i-1(x, t)VZi(x,i) - qzr1(x,i)vz2(x,i)) т.е. F(x,t) = Zf(x,i) + Z|(x,i). Тогда формула (74) приводит к зависимости

u(x, i) = [Л [Zx(x, i)f+ + A[Z2(x, i)]<+]f, а уравнение (75) к справедливости выражения

|2Т + | = (AZfAZf + |VZfp) + {Л^Д^ + IVZfp} +

+ [AZfAZf + A^AZf + 2 (VZf, VZ|)],

где A,p,q € R;A Ф 0; [•]+ = max{[•],()}. Тем самым, приходим к соотношению

pzrljtzx + çZf1^ = ( XpZf-'AZx + p\p(A + 1) - XjZ^lVZ,]2 ) +

+ {\qZ?-l&Z2 + q[q(A + 1) - A]Z22?"2|VZ2|2} +

+[APZ{~lZq2AZï + Ap(p - l)zr2Z||VZ1|2 + XqZplZf1AZ2+ Xq(q - 1)Z?Z29~2IVZ2I2 + 2pqZr1Zr\VZ1, VZ2)]. Для разделения этого выражения относительно функций Z\,Z2, определяемых согласно (76), используется подход, основанный на порядке однородности [В.П. Маслов, В.Г. Данилов, К.А. Волосов, 1987]. В частности, установлено, что последнее соотношение разделяется, например, при q = 1,р € R, А е R\ {0}. В итоге, приходим к формуле

u(x, i) = [a[2î(x, + X Z2(x, i)] l+A, (77)

и зависимости

pZrXjtZx + jZ2 = (XpZl^AZ, +p[p(A + 1) - AJ^-'lVZxl2) +

+ {XZ2AZ2 + |VZ2|2} + [ApZ'^1Z2AZl + Xp(p - 1 )Zr2Z2|VZ1|2+ +XZ\AZ2 + 2pZvx-\VZu VZ2)].

Приравнивая слагаемые с одинаковыми порядками однородности, приходим к системе трех уравнений на функции Z\, Z2 и следующему результату

Теорема 2.1. Многомерное уравнение нелинейной диффузии (70) имеет точное неотрицательное решение вида

u(x, t) = [Л[^(х, Ai(t)x) + (х, Вг(4)) + C!(t)]p++

+A[i(x, A2(t)x) + (х, B2(i)) + C2(i)j|", (77)

I J +

если матрицы Ak{t) с элементами 6 C1(R+), вектор-столбцы Bfc(i)

с компонентами bkt(t) € CX(R+) и скалярные функции Ck(t) 6 C^R"1"),/: = 1,2,... ,п связаны соотношениями

Г\ л

—Z2 = ЛZ2AZ2 + ¡VZ2I2, pZig-tZi = vXZxZ2AZx + \Z\AZ2+ (78)

+Ap(p - 1)Z2|VZ!|2 + 2pZl(VZu VZi), XZxAZx + [p(A + 1) - A]|VZi|2 = 0,

где Z\,Z2 - функции, определяемые согласно (76); A,p € R; А Ф 0.

В разделе 3 рассматривается редукция разрешающей системы (78) к переопределенной системе алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ).

Подробно рассматривается случай, когда разрешающая система уравнений (78) принимает вид

—Z2 = XZ2AZ2 + |VZ2|2, XZxAZ, + i\VZ,\2 = 0, at

Q

—Zi = aZ2AZx + tZxAZ2 + 2 (VZt, VZ2), (79)

где a = pA/4; т = A/p; p, A € R; А ф 0; p ф 0.

Теорема 3.1. Пусть Ak(t) - симметричные матрицы с элементами o-kij{t) 6 СЧГ), Вk(t) - вектор-столбцы с компонентами b^t) е C^R^) и Ck{t) € C1(R+) - скалярные функции. Тогда для того, чтобы функции Zi, Z2, определяемые соотношением (76), удовлетворяли разрешающей системе (79), необходимо и достаточно, чтобы Ak(t),Bk(t), Ck{t) удовлетворяли системе АДУ

А2 = 2А\ + X(trA2)A2, (80.1)

В2 = 2j42B2 + X(trA2)B2, (80.2)

с2 = |В2|2 + Л((гЛ2)С2, (80.3)

А: = 4 А1А2 + т(^А2)А: + а(ЬгАг)А2, (80.4)

В! = 2(Л1В2 + Л2ВХ) + т(<гЛ2) В1 + а(ЬгА1)В2, (80.5)

С1 = 2(ВЬ В2) + т{ЬТА2)Сх + а{ЬгА{)С2, (80.6)

ХЦгА^Ах + 2 £,А\ = 0, (80.7)

А(4гЛ1)В1+2£Л1В1 =0, (80.8)

А(^Л1)С1 + С|В1|2 = 0, (80.9) где а = рА/£;т = Х/р,р,Х € К; А ф 0;р ф 0;£ = р(X + 1) - А;£ ф 0\ЬгАк =

п

$>*,,(*) - след матрицы Ак(Ь)\ к = 1,2. 1=1

Теоремы 2 1,31 приводят к следующему результату.

Утверждение 3.1. Если симметричные матрицы Ак(Ь) с элементами аЬ](1) б С1 (К" ), вектор-столбцы с компонентами Ь¿,(4) € С^К )

и скалярные функции Ск{С) ё С'(К ) удовлетворяют переопределенной системе уравнений (80), то функция (77) является точным неотрицательным решением многомерного уравнения нелинейной диффузии (70).

Даже в частном случае конструкция решения (77) уравнения (70) приводит к новому результату. В частности, строится решение

и(х, о = [а[^ (х, Л2(0х) + (х, в2(г)) + сЩ (81)

Теорема 3.2. Пуст,ь заданы веи^ественные симметричные матрицы Л2(0),5 6 М„(К), вектор-столбец В2(0) € М„д(К) и скаляр С2{0) € К. Пусть, помимо этого, г(£) - вещественное решение задачи Коши

¿(^ = ¿[1-2^(0)^)]-^, г(0) = 0, т = тАЬУ ^ 1=1 аъ

Тогда решение задачи Коши

А2{1) = 2Л2(() + А[1ГА2(1)]А2(£), А2{1)|(=0 = Л2(0), в2(0 = 2Л2(£)В2(«) + Х[1тА2(Ь)]В2{£), В2(«)1*=о = В2(0), (83) С2(0 = |В2(0|2 + А\1гА2{1)]С2{1), О = С2(0),

существует и имеет вид

п

А2(1) = Д[1 - 2сг,(о)2(0]-х/25д(0^(о)5' = /=1

= П(1 - 2dl(0)z(t)}~x'2SQ(t)S'A2(0) = z(t)SQ(t)S'A2(0), 1=1

n

в2(0 = XTt1 - 2di(0)z(i)]"A/25Q(i)5'B2(0) = z{t)SQ{t)Sb2(0), (84) i=i

n

Ci{t) = П11 - 2d[(0)z(t)}~x/2C2(0) + z(t)(B2(0),B2(t)) = i=i

= ¿(t)C2(0) + z(i)(B2(0),B2(i)) = ¿(0[C2(0) + z(t)(Q(t)S'B2(0),S'B2(0))}.

Причем A2(t) - вещественная симметричная матрица для всех t Е domainA2(t), где

Q(t)=diag\[l-2dl(0)z{t)}~\...,}l-2dn(0)z(t)}-1^, Л2(0) = SD{0)S'; (85)

v{t) = trA2{t) = z{t)tr (Q(t)D( 0)) ; D{ 0) = dtag^O),..., 4(0)];

di(0) £ R \ {0} - собственные значения матрицы Л2(0); I = 1,2,..., n; A € R \ {0}; S 6 Mn(R) - вещественная ортогональная матрица.

Из утверждения 3.1 и теоремы 3.2 следует, что справедливо

Утверждение 3.2. Если симметричная матрица A2(t), вектор-столбец В2(t) и скалярная функция C2(t) имеют соответственно вид (84), то уравнение нелинейной диффузии (70) обладает точным, неавтомодельным, анизотропным по пространственным переменным, явным неотрицательным решением (81).

В заключительной части этого раздела проведен качественный анализ решений z(t) задачи Коши (82), позволяющий судить о поведении полученных решений уравнения (70).

В разделе 4 исследуется разрешимость задачи Коши для системы ОДУ (80.1)-(80.6). Теоремы 4.1-4.4 носят вспомогательный характер и устанавливают разрешимость задачи Коши

ix(i) = AA^A^t) + rv(t)Ai(t) + <iu(t)A2(t), Ai(i)|t=o = ¿i(0),

Bx(i) = [2A2(t) + rt;(i)/]Bi(i) + [2Аг(t) + au(t)I]B2(t), ВX(0U—о = Bx(0),

(86)

C,(t) = Tv(t)Ci(t) + <ru(t)C2(t) + 2 (Bx(i), B2(t)), CiCOIt-o = Ci(0),

при условии, что функции A2(t), B2(t), C2(t) определяются формулами (84), где u(t) = trA\(t), v{t) — trA2(t). Если вместо u(t) ввести функцию uq(î) =

7, тоио(4) удовлетворяет линейному интегральному уравнению Воль-терра второго рода

и0(1) = а IК0Ц, 7])щШт1 + /<,(«), (87)

о

с ядром и свободным членом

Ко(Ь, г,) = ¿(фф^-'шт, /о(г) = *г[д2(4)Л(0)], (88) где Л(0) = <Иад[\1(0),..., А„(0)].

Теорема 4.5. Пусть заданы вещественные симметричные матрицы

, такие, что А\(0)А2(0) = ,А2(0).А1(0), вектор-столбцы В1(0),Вг(0) 6 МпЛ(Ш) и скаляры Сх(0),С2{0) € К. Пусть *(*) и и(*) - соответственно вещественные решения задачи Коши (82) и линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода (87) с ядром и свободным членом вида (88). Тогда существует вещественное решение задачи Коши (83), (86), определяемое формулами

Л2(*) = ¿(¿)ЗД)£>(0)5' = 0), В2(0 = ¿(¿)5д(05ТВ2(0),

Ш = т [С2(0) + (д(4)5'В2(0),5'В2(0))],

г

= [¿(4)]Ц<г I ¿(г,)щШ-\ч)П(0)с1г1 + Л(0)].С?2(г)5', (89)

о

»1(0 = КФоШ-'ШТ^ <э№вг{0)+

+2г(Од(ОЛ(0)5'В2(0) + 5'В1(0)],

СхСО = [¿(г)]; [сх(0) + 2г(4) («(0^1(0), 5'В2(0)) + +2г\1) (д2(0Л(0)5'В2(0),5'В2(0)) +

I ¿(фоШ^ 1С2(0) + г(1)т)3'В2(0),3'В2(0))-+г(0|д(05'В2(0)|2] - <7 (I гШфоШг! ) |^(г)^'в2(о)|2'

Помимо этого, A\(t), A2(í) - вещественные симметричные матрицы, соответственно, для всех t € domain A^t), t 6 domamA2(t), где Q{t) - диагональная матрица вида (85); S € М„(М) - произвольная ортогональная матрица; Л(0) = S'Ai(0)S\D(0) = S'A2(0)S;cr = Ар/££ = р(Л + 1) - А;А,р,£ е R\{0}.

В разделах 5, 6 исследуются вопросы существования решений задачи Ко-ши для переопределенной системы АДУ (80). Доказывается, что задача Коши для системы АДУ (80) имеет решения, отличные от тривиального: Ak(t) = О, Bfc(t) = 0, Cfc(í) = 0, {к — 1,2). Установлено, что дальнейшее исследование задачи Коши (83), (86), обладающей решением (89) и нагруженной алгебраическими уравнениями (80.7)-(80.9), распадается на два не пересекающихся случая: р Ф 2 и р = 2. В каждом из этих случаев определяются достаточные условия, при выполнении которых решение (89) задачи Коши (83), (86) удовлетворяет дополнительным условиям (80.7)-(80.9). Например, справедливы следующие результаты.

Утверждение 5.5. Уравнение быстрой диффузии

u, = V • (u-V(»n-i)Vu), и = и(х, t) : fi х

х е К", (90)

обладает точным неавтомодельнъш, анизотропным по пространственным переменным, явным неотрицательным решением

и(х, t) = [--ц4(х, Ai(t)x) + (х, В !(*)) + Ci(i)li-

L т — 1 I

1 ,1

т~Г2

-(x,A2(Í)x) + (x,B2(Í)) + C2(¿)]

l-m

(91)

При этом функции Ak(t),~Bk{t),Ck(t){k = 1,2) определяются формулами A,(t) = А(0)[/^)]°5£т5', A2(t) = d(0)[h(t)}-lSEmS', (92)

B1(t) = [M¿)]í

B2(í) = [/í(í)PB2(0), Ci(í) =

d( 0)

1

+ M[Mí)]OB2(0),

d(oy

2A(0)

[Л(01Т

A(0),

+

+

di 0) C2(t)

mm d( 0)

(Вг(0),В2(0)) - ^g|B2(0)|2

+ ^SL[A(Í)1ÍIB2(O)|2,

2A2(0)

№\

bi(O)-||B2(O)

+

2cP(0) 1

2d(0)

[AWJ-'^ío)!2,

(I - Em)5'B1(0) = (/ - Em)S'B2(0) = 0, 37

гдеЦг) = 1-2^(0)4; В!(0),В2(0) 6 Кп - постоянные векторы; ¿{ 0),А(0) ё К; ¿(0) ф О, А(0) ^0;те{2,...,п};

т — 3 л 2 т-)-1 т

° =--о- Р =-о> 7 =-е =-т,-

т — 2 т — 2 771 — 2 т — 2

Если т — 2, то из утверждения 5.5 вытекает следующий результат.

Следствие 5.4. Уравнение быстрой диффузии (71) имеет точное неавтомодельное, анизотропное по пространственным переменным, явное неотрицательное решение, определяемое согласно (91). При этом функции Ва(4), Ск{Ь){к = 1,2) имеют вид

Лхф = Ще-^Б&Б', А2Ц) = ¿(0)5£25',

'А(О)

В1(0 = е

С! (¿) = _

¿(0) "В2(0) + В1(0)] 32(0 = В2(0)' А(°) (еад'-1)в2(0) + вх(0)2,

2А(0)

о!(0)

вио)-^в2(о)|%^|в2(о)Г

Кроме того выполняется цепочка равенств (/-Е2)5'Вх(0) = (/—£^2)5'В2(0) = 0, где В^О), В2(0) б К"; (1(0), А(0) € К \ {0}.

Поясним смысл алгебраических соотношений

{1-Ет)&В*(0) = 0, к = 1,2. (93)

Перепишем (93) в виде В*(0) = 5^5^(0), где 5 € М„(К); В*(0) 6 М„д(К)

- вектор-столбцы; Ет = <Иад\ 1,..., 1,0,... ,0] 6 М„(К) - матрица, в которой число единиц на диагонали равно т е {1,2,... ,п}. Далее, введем обозначение Рт = ЗЕтЗ, где 5, 5' - невырожденные (неособые) матрицы. Тем самым, В*(0) = РтВк(0), Р?п - Рт, тс. Рт 6 Мп(Щ - вещественная симметричная идемпотентная матрица. При этом Рт всегда можно привести к диагональному виду и, кроме того, ЪгРт = т. Помимо этого, вещественная симметричная матрица Рт ранга т является идемпотентной тогда и только тогда, когда т ее собственных значений равны единице, а остальные (п — т) равны нулю. Более того, евклидово пространство К" представимо в виде прямой суммы подпространств: К" = Ьо © Ь\, где Ьо = гапдеРт, Ь\ — кегРт

- соответственно область значений и ядро матрицы Рт, причем векторы Вк(0) 6 Ь0, где к = 1,2. С другой стороны, вводя в рассмотрение вектор-столбцы В*(0) = ЕтЗ'Вк(0), получим, что В*(0) = 5'В^(0) Поэтому В*(0) принадлежит множеству Ст — {хеШ.п: хгп+1 = ... = хп = 0}.

Утверждение 5.6. Для каждого фиксированного к = 1,2 алгебраическое соотношение (93) выполняется тогда и только тогда, когда существует вектор-столбец Bfc(O) е Ст такой, что В^(0) = SBt(O).

Теорема 6.1. Пусть р = 2 и заданы вещественные симметричные матрицы Л^О), Л2(0) 6 Mn(R) со свойством Л1(0)Л2(0) = Л2(0)Л!(0), вектор-столбцы Bi(0),B2(0) € М„д(Н), связанные соотношением

в2(0) = ВДО),

и скаляры Ci(0),C2(0) € R, определяемые посредством формул

а<0) " 2ЛЩ <S'B,<0)' D<°>S'B'<°» = 2Щ <В'<°>' В><°»'

Пусть, кроме того, функция z{t) является вещественным решением задачи Коши

т k=1

Тогда задача Коши (83), (86), нагруженная алгебраическими уравнениями (80.7)-(80.9), обладает вещественным решением

A2(t) = z(t)SQ(t)D(0)S' = z(t)SQ(t)S'A2{ 0), B2(i) = z(t)SQ(t)S' B2(0) = J^^B^O),

C2(t) = z(i)C2(0) + z(t) (B2(0), B2(i)) = ¿щ (A2(t)B,(0), Bi(0)),

А,{£) = A(0)[i(i)]f SEmS' = [¿(i)]f Л^О), (94)

Bi(i) = \m\T \SQ{t)ffB№ - 2A(0)z(i)SQ(£)S'B2(0)] = [¿(i)]f Bt(0),

Cl(i)=2^Ö)li(i)]1+/2lBl(0)|2'

Причем, A\(t),A2(t) - вещественные симметричные матрицы, соответственно, для всех t е domainAi(t),t € domainA2(t), где

D(0) = diag[d1{0),...,dm(0),0,...,0),

Q{t) = diag [[1 - 2d\(0)z(i)]-1,..., [1 - 2dm{Q)z{t)}~\ 1,..., l],

39

<4(0) е К - собственные значения матрицы Л2(0), (к = 1,2,..., т); £¿¿(0) Ф 0; Л(0) 6 К; А(0) ф 0.

Итак, уравнение (70) обладает решением (77), (94) и из теоремы 6.1 вытекает следующий результат

Утверждение 6.1. Уравнение нелинейной диффузии

щ = V • (и~4/(т+2>Уи) , и = и(х, £) : П х Ж+ —> К+, х £ К", (95)

обладает точным неавтомоделъным анизотропным по пространственным переменным явным неотрицательным решением

■л 2

u(x, £) =

I т + 2

i(x,Ax(i)x) + (x,Bi(i)) + Ci(i)

771 + 2

-(x,A2(i)x) + (x,B2(i)) + C2(i)

т+2 4

где Ak(t), Вk(t),C\(t) определяются формулами (94); ш 6 {1,2,..., п}; к = 1,2.

Пусть т — п, тогда уравнение (95) запишется

Щ = V • (V4/(n+2>Vu) ,u = u(x, t) :

ü x R

,x e R".

(96)

Известно [В.А. Галактионов, В.А. Дородницын, Г.Г. Еленин, С.П. Курдю-мов, A.A. Самарский, 1987], что при любом п € N и К(и) = и~4^п+2'! происходит значительное расширение группы допустимых преобразований для уравнения (96). При этом особо выделяется двумерный случай п = 2, К (и) = 1/и, когда группа допустимых преобразований бесконечномерна, уравнение (96) принимает вид (71) при п — 1 и является предельным уравнением быстрой диффузии. Важно отметить, что коэффициенты нелинейной теплопровод-

ности К (и)

-l/(m-l)

,К{и) = и

= ,(-4/{т+2)

уравнений (90), (95) совпадают,

именно, при т. — 2, и принимают вид К(и) — и х. Тем самым, уравнение (71) при тг = 2 и только оно обладает всеми перечисленными качествами.

В разделе 7 излагаются некоторые обобщения полученных результатов и приводится ряд примеров. С использованием специальных функций показано, что при А = —1, п = 3, с(/(0) € R+, (I = 1,2,3), решение задачи Коши (82) выражается в эллиптических функциях Якоби. Рассмотрены случаи вырождения эллиптических функций в тригонометрические и гиперболические.

В диссертации получены и выносятся на защиту следующие основные результаты.

Предложен единый (с точки зрения анализа, алгоритмизации методики, теоремы и уравнения Лиувилля для конечномерной системы ОДУ) подход к исследованию бесконечномерных динамических системы ВМ и многомерного уравнения нелинейной теплопроводности.

Получены теоремы о редукции нестационарной (стационарной) п-компо-нентной системы ВМ к нелинейному гиперболическому уравнению (системе нелинейных эллиптических уравнений). В явном виде восстановлены самосогласованные электромагнитные поля Е,В и функции распределения /а через решения вспомогательных краевых задач с условием Дирихле. Рассмотрены случаи (доказаны теоремы), когда система нелинейных эллиптических уравнений сводится к одному нелинейному уравнению эллиптического типа.

В предположении существования верхних и нижних решений, удовлетворяющих некоторым неравенствам, получены достаточные условия на параметры, обеспечивающие существование и единственность классического решения краевой задачи Дирихле для равномерно эллиптической системы интегродифференциальных уравнений, к которой сводится стационарная п-компонентная система ВМ. Этот результат, при условии, что граничные значения скалярного <р(х)|ап и векторного 1р(х)\дп потенциалов заданы, позволяет определить искомые электромагнитные поля Е, В и функции распределения }а.

Для одного класса функций распределения /а проведено исследование нестационарной п-компонентной системы уравнений ВМ с внешними источниками. Доказано, что плотности внешних зарядов р°, токов и функции распределения /<, индуцируют самосогласованное электромагнитное поле Е, В вполне конкретного вида.

Построены новые точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии в виде полиномов по степеням пространственной переменной с коэффициентами, зависящими от времени. Получены преобразования Беклунда, связывающие решения одномерного уравнения нелинейной теплопроводности с родственными уравнениями.

На основе уравнения Лиувилля предложен подход, позволяющий в ряде случаев конструктивно построить новые точные решения многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности (в том числе с источником (стоком)), не являющиеся инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда.

Предложена и исследована нетривиальная конструкция точного неотрицательного решения многомерного уравнения нелинейной диффузии, с

помощью которой изучение исходного уравнения свелось к исследованию разрешимости конечномерной переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Доказано существование и единственность классического решения задачи Коши для матрично-векторно-скалярной системы АДУ.

• Показано, что введенная конструкция (анзатц) позволяет получить (а с использованием результатов качественного исследования задачи Коши для некоторого скалярного ОДУ) и проанализировать новые точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения как класса уравнений пористой среды (нестационарной фильтрации), когда А е К+, так и класса уравнений быстрой диффузии, когда А € Е-. В частности, в последний класс укладывается т.н. предельное уравнение быстрой диффузии, когда А = -1, хеМ2.

ВЫВОДЫ

Результаты, полученные в диссертации, являются базой аналитического направления (метод анзатцев) в конструктивной теории разрешимости системы ВМ и уравнения нелинейной теплопроводности.

Метод позволил:

• решить проблему редукции сложных содержательных нелинейных задач математической физики к более простым;

• построить классы точных решений, провести их качественный анализ и доказать теоремы существования;

• расширить спектр методик проведения качественного и алгоритмического анализа в этой области математической физики;

Метод анзатцев не требует в общем случае групповой инвариантности исследуемой математической модели, но требует удачного подбора конструкции решения с учетом специфики последней.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рудых Г.А. Обобщенное уравнение Лиувилля в иследовании устойчивости неавтономных систем // Динамика нелинейных систем. Новосибирск-Наука. 1983. С. 141-151.

2. Рудых Г.А. Связь теоремы Лиувнлля для неавтономной системы дифференциальных уравнений с устойчивое ч ыо движения // Метод функций Ляпунова н его приложения Новосибирск Наука 1981 С 151-170

3. Рудых Г.А. Наиболее вероятная (типичная) траектория движения неконсервативной нсгамильтоновой системы // Проблемы механики управляемого движения Нелинейные динамические системы Пермь ИГУ 1984 С. 137-145

4. Рудых Г.А. О поведении интегральной кривой системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Днффсрснц уравнения и числ методы Новосибирск. Наука. 1986. С. 153-162

5. Рудых Г.А. Свойства интегральной кривой и решения неавтономной системы дифференциальных уравнений ' Функции Ляпунова и их применения Новосибирск. Наука. 1987. С. 189-198.

6. Рудых Г.А., Рубинов A.C.. Синицын A.B. Алгоритм решения обобщенного уравнения Лиувилля для системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь: ПГУ 1987. С. 129-135

7. Сидоров H.A., Рудых Г.А., Синицын A.B. Существование разветвляющихся стационарных решений двухчастичной системы уравнений Власова-Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР, N 4 Иркутск 1987 22С

8. Рудых Г.А., Синицын A.B. Разложение и сходимость решения обобщенного уравнения Лиувилля по ортонормированной системе функций // Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск. Наука.

1987. С. 251-266.

9. Рудых Г.А., Синицын A.B. Разложение решения обобщенного уравнения Лиувилля по собственной системе функций // Асимптотические методы. Задачи механики. Новосибирск. Наука 1988 С 183-200.

10. Рудых Г.А., Сидоров H.A., Синицын A.B. О стационарных решениях системы уравнений Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302, N 3 С. 594-597.

11. Рудых Г.А., Сидоров H.A., Синицын A.B. О некоторых точных решениях стационарной системы уравнений Власова-Максвелла // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений Новосибирск' Наука.

1988. С 118-128.

12. Рудых Г.А., Сидоров H.A., Синицын A.B. О разветвляющихся стационарных решениях двухчастичной системы Власова-Максвелла '' До-

кл АН СССР 1989 Т 304, N 5 С 1109-1112

13. Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О нестационарных решениях двухчастичной системы Влаоова-Макгвелла // Докл АН СССР 1989 Т 307. N 6 С 1354-1357

14. Марков Ю.А., Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. Существование стационарных решений уравнений Власова-Максвелла и некоторые их точные решения ' Мат моделирование 1989 Т 1, N 6 С. 95-107

15. Марков Ю.А., Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. Об

одном семействе решеннй системы Власова-Максвслла и их устойчивости // Мат. моделирование. 1990 Т 2, N 12. С 88-101

16. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Коммутационные представления и преобразования Беклунда для нелинейных эволюционных уравнений с одной пространственной переменной// Препринт ИрВЦ СО АН СССР N 7 Иркутск 1990. 74С.

17. Rudykh G.A., Semenov E.I. Application of Liouville's equation to construction of special exact solutions for the quasilincar heat equation // IMACS Ann Comput and Appl Math 1990 V 8 P 193-196

18. Markov Yu.A., Rudykh G.A., Sidorov N.A., Sinitsyn A.V. Some families of solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // IMACS Ann. Comput. Appl Math 1990. V. 8 P. 197-203

19. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Об одном подходе построения частных точных решений квазилинейного уравнения теплопроводности с N-простран-ственными переменными // Препринт ИрВЦ СО АН СССР N 6. Иркутск. 1991. 21С.

20. Rudykh G.A., Semenov E.I. Commutational representations and Back-lund transformations for the one dimensional nonlinear equation of evolution // Differential equations and control theory. 1991. V. 250 P 289-295.

21. Markov Yu., Rudykh G., Sidorov N., Sinitsyn A., Tolstonogov

D. Steady- state solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // Acta Appl Math. 1992 V 28, N 3 P 253-293.

22. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Построение точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности // Журн. вычисл. матем. и матем. физики 1993 Т 33, N 8 С. 1228-1239.

23. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Представления Лакса и преобразования Беклунда для одномерных нелинейных эволюционных уравнений // Сиб матем. журнал 1995. Т 36, N 1 С 164-176

24. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Новые точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб мат журн 1997 Т 38, N 5 С. 11301139

25. Рудых Г. А. Одномерное нелинейное эволюционное уравнение допускает счетное число представлений Лакса и Богоявленского // Докл. РАН 1997 Т. 356, N 5. С 605-607

26. Рудых Г.А. (Ь,А)-пары Лакса для одномерного нелинейного эволюционного уравнения // Докл. РАН 1997. Т. 356, N 1 С 19-21

27. Рудых Г.А., Семенов Э.И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) // Журн вычисл. матем и матсм. физики. 1998 Т. 38, N 6 С. 971-977

28. Рудых Г.А. Точные нсавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Докл. РАН. 1998. Т. 358, N 3. С. 323-324.

29. Рудых Г.А. Пары Лакса для одномерного нелинейного эволюционного уравнения и обобщенное преобразование Миуры // Докл. РАН. 1998. Т. 358, N 6. С. 749-751.

30. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб матем журн. 1998 Т. 39, N 5 С. 1129-1138.

31. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Новые точные решения неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Труды Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" Красноярск, 2000. С. 193-196.

32. Рудых Г.А., Семенов Э.И. О новых точных решениях неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, 2000. Т. 5(1). С. 63-69.

33. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии I // Сиб. матсм журн. 2000. Т. 41, N 5. С. 1144-1166.

34. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Матем. заметки. 2000 Т. 67, N 2. С. 250-256.

35. Рудых Г.А. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений уравнения ut = V • (uAVu) // Труды Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2000. С. 189-193.

36. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. II // Сиб. мат. журнал. 2001. Т. 42, N I. С. 176-195.

37. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Точные неавтомодельные решения уравнения щ = А 1пи // Матем. заметки. 2001. Т. 70, N 5. С. 787-792.

38. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Существование и качественный анализ точных неавтомодсльных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит. 2003 С. 352-396.

Редакционно-издательский отдел Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134 Подписано к печати 19.02.04 Формат бумаги 60 х 84 1/16, объем 1,9 п л Заказ 1. Тираж 100 экз

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

РНБ Русский фонд

2006-4 293

15 MAP 2004

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА

1. Нестационарная n-компонентная система уравнений Власова-Максвелла. Краткий обзор исследований и постановка задачи.

2. Существование стационарных решений n-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла.

3. Существование решений краевой задачи Дирихле для системы нелинейных эллиптических уравнений на скалярный и векторный потенциалы.

4. Специальные классы точных решений стационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла.

5. Редукция нестационарной n-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла к нелинейному гиперболическому уравнению.

6. Исследование нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла с внешними источниками.

ГЛАВА II. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ

РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

1. Преобразования Беклунда, связывающие решения одномерного уравнения нелинейной теплопроводности с родственными уравнениями.

2. Уравнения нелинейной диффузии без источника (стока).

3. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком), зависящим от температуры.

4. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) специального вида.

ГЛАВА III. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ

РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОНЕЧНОЙ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

1. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности без источника (стока).

2. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (частный случай).

3. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (общий случай).

4. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности с источником (стоком).

ГЛАВА IV. СУЩЕСТВОВАНИЕ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТОЧНЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ

1. Представление многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде переопределенной системы и исследование ее совместности.

2. Конечномерная разрешающая система для многомерного уравнения нелинейной диффузии.

3. Редукция разрешающей системы к переопределенной системе алгебро-дифференциальных уравнений (существование решения, частный случай). Качественный анализ решений задачи Коши для вспомогательного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения.

4. Разрешимость задачи Коши для матрично-векторно-скалярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р ^ 2).

6. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р = 2).

7. Некоторые обобщения, замечания, комментарии и примеры.

Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) - проблема формирования, нагрева и удержания высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля заряженных частиц. Составной частью этой проблемы является задача формирования и транспортировки мощных потоков (пучков) заряженных частиц, имеющая многочисленные приложения. Эта и многие другие задачи математического моделирования в физике плазмы приводят к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными. В настоящей работе исследуются система интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950] и нелинейное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением [Калашников, 1987], связанные с задачами математического моделирования в физике плазмы и описывающие соответственно динамику заряженной плазмы в кинетическом приближении [Девидсон, 1978] и ее диффузию поперек магнитного поля [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986].

Действительно, в течение длительного времени, в связи с созданием сильноточных ускорителей и проблемой УТС, продолжают оставаться актуальными задачи математического моделирования в физике плазмы, связанные с формированием, удержанием, подавлением диффузии, фокусировкой и транспортировкой взаимодействующих пучков (ансамблей) заряженных частиц [Днестровский, Костомаров, 1982; Дривотин, Овсянников, 2001; Чихачев, 2001].

Одной из математических моделей, описывающих бесстолкновитель-ный ансамбль п £ N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц Qi, • • • ? Яп £ М\{0}, каждый из которых характеризуется функцией распределения v, £) > 0 по координатам г = (х, у, z) £ О, С R3 и скоростей v = (vx,vy,vz) £ R3, является система уравнений Власова-Максвелла (ВМ) lfa + v Vrfa -f —(Е+ -v x В) • Vvfa = 0, д at та 1

0.1) at

0.2) р(г> о = Qa / f<*dv* ^ = Qa / vf<*dv- (°-3) a=l R3 a=l ^

Здесь t G R+-время; = (0,+oo); (r,v,t) G E3xE3xR+; E(r,t),B(r,t) - напряженность электрического поля и магнитная индукция; Е, В : R3 х R+ Е3; /а : I3 х R3 х Ё+ Ё+; p(r,t), j(r,t) - плотности заряда и тока; та, qa - масса и заряд частиц сорта а; с - скорость света.

Отметим, что наиболее полное описание бесстолкновительной заряженной плазмы, в частности, высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля п G N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц, дается именно кинетическим приближением (0.1)-(0.3), в котором плазма исследуется на основе уравнений Власова (0.1) и системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3) с самосогласованным электромагнитным полем. Под этим подразумевается, что для решения кинетических уравнений Власова (0.1) относительно функций распределения /a(r, v, t) необходимо знать электромагнитные поля JE?(r, t), В (г, t), которые, в свою очередь, определяются из системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3), содержащих моменты функций распределения: плотность пространственного заряда p(r,t) и плотность тока j(r,t). Иначе, электромагнитные поля E(r,t), B(r,t), определяемые согласно (0.2), (0.3), являются самосогласованными, поскольку из уравнений Власова (0.1) определяются такие распределения fa(r,v,t), которые вызывают появление электромагнитных полей E(r, t),B(r,t), поддерживающих эти распределения.

Таким образом, система (0.1)-(0.3) описывает коллективные взаимодействия п G N различных сортов заряженных частиц и называется тг-компонентной системой уравнений ВМ. Система ВМ является, в общем случае, существенно нелинейной системой интегродифференциаль-ных уравнений, имеет с математической точки зрения ряд особенностей [Самарский, 1980], не относится ни к одному из известных типов уравнений и не поддается до конца аналитическому исследованию [Batt, 1998].

Однако, в настоящей работе, при определенных предположениях относительно функций распределения /а(т, v,t), удалось продвинуться и в этом направлении. В частности, предложен анзатц, сводящий систему ВМ (0.1)-(0.3) к нелинейному гиперболическому уравнению и доказано, что каждому решению этого уравнения соответствует семейство самосогласованных распределений fa(r,v,t) и электромагнитных полей E(r,t), B(r,t) исходной задачи (0.1)-(0.3). Кроме того, в этой работе исследуется задача о существовании решений стационарной п-компонентной системы уравнений ВМ

V • Vrfa + ^{Е + -V х В) ■ Vvfa = 0, (0.4) та с п г

V • Е = Атг^Яа fadv, VxE = О, (0.5) а—1

4*7Г С vхв = /vfadv' = (°-6) a=l R3 описывающей кинетическое равновесие плазмы в бесстолкновительном приближении, где /«(г, v) - функция распределения частиц сорта а в расширенном фазовом пространстве (г, и) € R6; Е € М3 - вектор напряженности электрического поля; В G М3 - вектор магнитной индукции; та, Ча - масса и заряд частицы сорта а.

Описание заряженной плазмы на основе кинетического приближения (0.1)-(0.3) характерно тем, что знание функций распределения /а(г, v,t) позволяет получить полную информацию о макроскопических величинах, характеризующих плазму, например, таких, как плотность Na(r,t), средняя скорость Va(r,t) и температура Ta(r,t) частиц сорта а, определяемых формулами

Na = j fadv, Va = ~ J vfadv, Ta = ^j- J {v - Va)2fadv.

R3 R3 R3

В прикладных исследованиях часто пренебрегают влиянием магнитного поля и рассматривают нестационарную предельную систему Власова- Пуассона (ВП) о jrJa + V Vrfa + — V^ • Vvfa = 0, at ma n „

Д</>(г, t) = 4тг Я* / fadv, (0.7) a-l & или ее стационарный аналог n r vVrfa + — VrVJV^/a = 0, A(p(r) = 4тг ^ qa / fadv. (0.8) ma 1 J

R3

Здесь t £ К+; г £ Q С М3; v £ Е3; <p(r, t) - скалярный потенциал электрического поля E(r,t), удовлетворяющий уравнению Пуассона; E(r,t) = Vrc/?(r, t). При решении системы ВП (0.8) ее обычно сводят либо к интегральному уравнению [Власов, 1950, 1966], либо, задавая вид функций распределения /Q(r, г>), к нелинейным дифференциальным уравнениям [Власов, 1966; Gogny, Lions, 1989]. Причем при сведении к интегральному уравнению в одномерном случае удается явно построить точные решения [Власов, 1950] системы (0.8). В работе [Gogny, Lions, 1989] функция распределения f(r,v) для одного сорта частиц (электронов) задавалась в виде jYi \ з/2 / m\v\^ \ ъ^г) ехр + (ф(г)'+ ) ' (0-9) с условием нормировки

J J f(r,v)drdv = 1, (0.10)

R3 Q где T £ К+ - температура электронов; к £ - постоянная Больцмана; </?(г),Ф(г) - функции, определенные в области ОсМ3и принимающие значения соответственно в R,l3;r £ Cl С М3. Далее с учетом условий (0.9), (0.10) было показано, что система ВП (0.8) сводится к нелинейному эллиптическому уравнению

Аи = 47г ехр ^ р{г) = ~и(г) + Л, Ф(г) е0, AGE, для г G fi; где е - заряд электрона. В случае, когда плазма состоит из ni + П2 сортов частиц с различными массами и зарядами, то потенциал и = и(г) удовлетворяет нелинейному эллиптическому уравнению Пуассона-Больцмана

-Аи = I Jexp(-/Ziu)dr j - (0.11) / n exp (cjju) dr I , r £ Г2, Aj, vj £ ^ujj £ где г £ Q с К3; и : О, С М3 —> R. Задавая значение потенциала на границе и(г) =и0(г), г е Ш, (0.12) краевая задача (0.11), (0.12) решалась в работе [Gogny, Lions, 1989] вариационным методом с использованием потенциальности уравнения (0.11). Существование и единственность классического решения краевой задачи (0.11), (0.12) с однородным граничным условием доказывалась [Krzywicki, Nadzieja, 1991] на основе техники априорных оценок с использованием теоремы Лере-Шаудера [Хатсон, Пим, 1983] о неподвижной точке.

Точные предельные свойства решения уравнения Пуассона - Больцма-на изучались в работе [Rubinstein, 1986]. Краевая задача (0.8) с условием ip(r) =0 для г 6 дО рассматривалась в [Веденяпин, 1986].

В настоящее время наиболее изученными установками, с точки зрения поведения плазмы, являются тороидальные магнитные ловушки (тока-маки) [Кадомцев, Сагдеев, Шафранов, 1985]. Такие установки предназначены для нагрева и достаточно длительного удержания высокотемпературной заряженной плазмы в квазистационарном состоянии, за счет того, что внешние и генерируемые токами плазмы магнитные поля не дают разлететься и остыть нагретой плазме.

В работе [Днестровский, Костомаров, 1982] показано, что при определенных предположениях равновесные конфигурации в плазме токамака описываются задачей на собственные значения для полулинейного эллиптического уравнения

Аи + А/(г, и) = 0, и = и(х), х = (r,z) £ П С М2, (0.13) и > 0, х € ft, и = 0, х € dVL, где Q - область сечения проводящего кожуха токамака в плоскости (г, z); д£1 - граница области Г2; / : М х М+ —> R; А £ К. - параметр, пропорциональный полному продольному току в плазме токамака. Причем граница дО, проводящего кожуха является магнитной поверхностью.

Вопросам несуществования, существования одного и разветвляющихся решений задачи (0.13) непосредственно посвящены работы [Похожаев, 1965; Gough, 1994] и примыкают исследования [Lions, 1982; Giacomoni, 1998]. Обобщение двумерной краевой задачи (0.13) на систему п € N эллиптических интегродифференциальных уравнений и ее разрешимость (существование и единственность классического решения) будут проведены в этой работе.

Теперь кратко остановимся на задачах физики плазмы, при математическом моделировании которых возникает нелинейное вырождающееся параболическое уравнение второго порядка [Калашников, 1987].

Известно [Днестровский, Костомаров, 1982], что один из дополнительных методов нагрева плазмы токамака до термоядерных температур и, тем самым, увеличения ее макроскопических характеристик связан с инжекцией, поперек магнитного поля, пучка нейтральных частиц высокой энергии. Нейтральные частицы не отклоняются магнитным полем и поэтому их пучок легко проникает в плазму токамака. В плазме нейтральные частицы ионизируются, образовавшиеся в результате этого высокоэнергетичные ионы захватываются магнитным полем и за счет кулоновского механизма столкновений передают свою энергию электронам и ионам плазмы. Для медленных процессов эволюции в токамаке при классическом (кулоновском) переносе плазмы преобладающей является ее диффузия поперек магнитного поля [Днестровский, Костомаров, 1982]. Диффузия плазмы в аксиально-симметричных конфигурациях возникает только за счет перекрестных столкновений между электронами и ионами. Тем самым, в результате столкновений между собой, электроны и ионы будут диффундировать поперек магнитного поля.

Диффузия плазмы через магнитное поле изучалась в работах [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986; Kwong, 1988; Bertsch, Kamin, 1990} и описывается, в общем случае, нелинейными вырождающимися параболическими уравнениями второго порядка [Калашников, 1987] вида щ = Ад(и) + /(А, и), (*, х) € Е+ х fi, (0.14) и = 0, (t, х) Е М+ х dfi, и = щ, (t, х) е {0} х а

Здесь R+ = (0, оо); П С К" - открытое ограниченное подмножество с границей класса С2+а]а Е (0,1); <7 : Е+ —> М+ - непрерывная возрастающая функция; <7(0) = 0; / : М х Ё+ —> Е - непрерывная функция; д(-), /(А, •) - локально непрерывны по Липшицу; /(А,0) = 0 для A G 1. Если д~1 непрерывна по Гельдеру, тогда v = д(и) € С2+а(й) - классическое решение краевой задачи

-Av = h(A, v), x e f2, v = 0, x € dQ, (0.14)' где /i: 1 x 1+ -4 R; h(\,v) = /(A,01(i;)).

Основными инструментами исследования уравнения (0.14)' являются [Похожаев, 1980, 1991; Митидиери, Похожаев, 1998] метод обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационные методы, метод верхних и нижних решений, априорные оценки и, так называемый, метод теорем типа Лиувилля.

Уравнение (0.14) эквивалентно уравнению щ = V- (K(u)Vu) + Q(\,u), u = u(x,t), хеШп, (0.15) и

К{и) = д'(и), д{и) = j К{Ode, > 0, о где К (и) ~ коэффициент нелинейной теплопроводности, зависящий от температуры и — и(х, t) > 0; Q(А, и) - функция, описывающая процесс тепловыделения или горения в среде с нелинейной теплопроводностью, если Q(А, и) > 0 при и > 0 и процесс поглощения тепла, если Q(Л, и) < 0.

В настоящее время имеется значительное число публикаций, посвященных исследованию уравнения (0.15). Приведем, например, обзорные статьи [Aronson, 1986; Калашников, 1987; Галактионов, Дородницын, Еле~ нин, Курдюмов, Самарский, 1987] и монографию [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987]. В работах [Aronson, Peletier, 1981; Bertsh, 1982] для обобщенных решений начально-краевой задачи (0.14) в области Q С М1, а также [De Mottoni, Schiaffino, Tesei, 1984; Aronson, Crandall, Peletier, 1982] была построена качественная теория, аналогичная той, что развита в исследованиях [Белоносов, Зеленяк, 1975; Зеленяк, 1977] для равномерно параболических уравнений.

Уравнения (0.14), (0.15) описывают различные процессы нелинейной теплопроводности с источником (стоком) и одновременно протекающие процессы диффузии и, в частности, процесс диффузии тепла и горения нелинейной диссипативной среды с объемным энерговыделением при, так называемом, лазерном термоядерном синтезе [Самарский, Михайлов, 1997]. При этом процесс горения может осуществляться в виде сложных диссипативных структур [Самарский, Еленин, Змитриенко, Курдюмов, Михайлов, 1977; Самарский, 1980; Курдюмов, 1982], а распространение выделяющейся при этом энергии происходит в результате теплопередачи и описывается, в частности, задачей Коши щ = (К(и)их)х + Q(u), и(х, 0) = щ(х), (0.16) где и = u(x,t); t € М+; х 6 R; К(и) = k0ua\ Q(u) — q0uko,qo,(J 6 R+; (3 > 1.

В этих исследованиях показано, что, в зависимости от значений параметров сг, /3, существуют различные режимы горения нелинейной среды. Например, при (3 > 1 может развиваться, так называемый, режим горения с обострением, когда температура u(x,t), по крайней мере, в одной из точек пространства обращается в бесконечность за конечное время. Иначе, существует т € М+ (t — т - момент обострения) такое, что решение и(х, t) > 0 определено на (0, т) х R и lim sup u(x,t) = +оо, то есть задача Коши (0.16) не имеет глобального по времени решения. Неограниченные решения, или режимы с обострением, приводят к локализации в пространстве областей высокой температуры и к образованию пространственно-временных (нестационарных) диссипативных структур. Тем самым, локализация тепла и горения дает, в частности, возможность сконцентрировать любое количество энергии в ограниченных областях нелинейной среды, удерживать это тепло и горение в течение конечного времени практически без распространения из зоны локализации [Галактионов, Курдюмов, Михайлов, Самарский, 1980]. Следует отметить, что одним из примеров нестационарных диссипативных структур является эффект Т-слоя [Самарский, Дородницын, Курдюмов, Попов, 1974] в плазме. Суть этого эффекта состоит в том, что в замагниченной плазме при определенных условиях самопроизвольно могут возникать области относительно высокой температуры. Эти области, или Т-слои, обладают повышенной проводимостью. Тем самым, в них концентрируется основная часть плазменного тока, разогревающего плазму и поддерживающего в нем высокую температуру.

В настоящее время работы, посвященные исследованию системы (0.1)-(0.3) и уравнения (0.14), можно условно разделить на две большие группы, отличающиеся как используемыми методами, так и кругом рассматриваемых задач. Дадим очень краткий обзор1, выделяя в каждой группе работ лишь некоторые, наиболее близкие, на взгляд автора, к данной работе публикации.

Первую группу составляют исследования, связанные с доказательством теорем существования и единственности решений задач Коши, краевых и начально-краевых задач, а также с изучением различных динамических свойств решений, таких, как устойчивость, асимптотическое

1 Более полный обзор работ, примыкающих к результатам диссертации, проводится по главам. поведение [Poupaud, 1992; Braasch, 1996, 1997; Guo, 1997; Batt, 1998; Самарский, 1980; Калашников, 1987; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987].

Вторую группу составляют работы, посвященные методам построения точных, либо приближенных решений в том или ином явном виде [Mahajan, 1989; Марков, 1992; Batt, Fabian, 1993; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Galaktionov, 1991, 1995; Пухначев, 1995; Капцов, 1998]. К этой группе работ примыкают исследования [Batt, Berestycki, Degond, Perthame, 1988; Degond, 1990; Галактионов, Посашков, 1989; Galaktionov, 1990; Семенов, 2000], основанные на анзатце, позволяющим свести систему (0.1)—(0.3) или уравнение (0.14) к некоторой системе, соответственно, уравнению, которые поддаются разрешимости.

Нет смысла противопоставлять эти две группы работ. Обе они важны как для понимания особенностей поведения решений исследуемых задач (0.1)—(0.3), (0.14), так и для определения области их применимости при математическом моделировании тех или иных процессов в физике плазмы. Это замечание можно отнести ко всем нелинейным уравнениям математической физики.

Частные точные и приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении макроскопических характеристик плазмы, таких, как плотность Na, средняя скорость Va, температура Та, в некоторых, представляющих интерес с физической точки зрения, ситуациях. Это, в свою очередь, подтверждает правильность выбора математической модели, основанной на системе (0.1)-(0.3) или уравнении (0.14). С другой стороны, строгие результаты, полученные в первой группе работ, позволяют судить о том, насколько исключительны частные точные решения, насколько они отражают общую ситуацию, существуют ли решения в целом или неограниченные решения (режимы с обострением)

Результаты, изложенные в диссертации, примыкают как к первой, так и ко второй группам работ.

Уравнению Власова (0.1) соответствует характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) описывающая движение заряженных частиц в электромагнитном поле. задач (ОЛ)-(О.З), (0.14).

0.17)

Известно [Власов, 1966], что решением системы уравнений ВМ (0.1)—(0.3) являются произвольные функции вида а = /а(Яа1,.,Яа/), Q = 1, 2, . ,71, (0.18) где Hai, • ■ •, Hai - первые интегралы системы ОДУ (0.17). Кроме того, каждая из функций распределения /а(г, v, t) сама является первым интегралом системы (0.17), то есть d s ( .4 % . 9fa . <9/а .

-/aM,t) = + r + „ = 0. (0.19)

Уравнение (0.19) называется уравнением Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953] относительно функции распределения fa{r,v,t) частиц сорта а для системы ОДУ (0.17). Причем вдоль решения характеристической системы (0.17) функция распределения fa(r,v,t) является постоянной и определяет классическое решение уравнения Власова (0.1) [Rein, 1990; Horst, 1990]. Этот результат есть не что иное, как классическая теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Ней-штадт, 1985] (см. также формулы (1.9) главы I).

Аналогично метод построения стационарных решений системы (0.4)-(0.6) состоит во введении анзатца fa(riv)=(pa(Iai,.,Ial), = 1, 2, . . . , 71, (0.20) где Iai = Iai(r,v)i г G Q С R3; v G R3; (ра : М/ —► R+ - некоторые фиксированные функции своих аргументов; 1аь - • •, Iai '• П х Е3 —;► Ш -первые интегралы уравнения Власова (0.4); ipa, Iai,., Iai - непрерывно дифференцируемые функции. Причем анзатц (0.20) редуцирует стационарную систему уравнений ВМ (0.4)-(0.6) к нелинейной системе эллиптических уравнений.

Действительно (см. раздел 2 главы I), если отыскивать стационарные распределения вида fi(r, V) = /г(-сф|2 + (Pi, (г>, di) + Фг) = fi(R, G), (0.20)'

Pi = <Pi{r) : R3 E, = 4>i{r) : M3 M, геПС R3; v 6 M3; ck G M3 (г = 1,2,., n), и соответствующие им самосогласованные электромагнитные поля Е(г), В (г), удовлетворяющие (0.4)-(0.6), тогда приходим к совместному исследованию системы нелинейных эллиптических уравнений п р п

Д</> = /л^Як / fkdv, Aip = i>22 d)fkdv, (0.21) k=l JJ3 A=1 в области fi С R2. Здесь \di\ ф 0 - свободные параметры; д =

87Гaq/m] v = -Anq / (тс2)] а — ai; q = qi] m = mi; d — d\.

Далее рассматривается редукция системы (0.21) к одному нелинейному эллиптическому уравнению.

Конкретизируя вид функций распределения (0.20), представляющих интерес в теории высокотемпературной плазмы [Ладиков, 1978], fi = ехр(-сф|2 + (v, di) + U<p + кгф + 7i) (г = 1, 2,., n), (0.22) и полагая, что fi удовлетворяют условию нормировки (0.10), система (0.21) запишется

А<р = f Jexp(Up + h^)dx n

-l qJ^e^+W ^ J exp&<Р + W)dxj , (0.23) где ip = ip(x), ф — ф(х) - потенциалы электрического и магнитного полей; ж € О С R2.

В работе [Марков, Рудых, Сидоров, Синицын, 1989] система (0.23) исследовалась в двух предельных случаях и сводилась к одному уравнению вида (0.11). Причем, зная решение уравнения (0.11) и граничное значение потенциала (р\еа, можно определить искомые электромагнитные поля.

Далее (см. раздел 3 главы I) рассматривается общий случай, когда систему (0.23) нельзя свести к одному уравнению эллиптического вида. В этом случае доказывается разрешимость (существование и единственность классического решения) задачи Дирихле для системы (0.23).

Причем в случае одного уравнения вида (0.11) при нарушении условий Ai,i/i £ К+ (г = 1,2,. ,п) свойство единственности решения может теряться. Например, этот факт следует из анализа упрощенного уравнения

Аи + Ae2u ^ J exp(2u)dx j = 0, х G Q С R2, с однородным условием Дирихле, которое допускает разветвляющиеся решения [Hesse, Schinder, 1986]. Существование разветвляющихся решений задачи Дирихле для уравнения Лиувилля А и + еехр и = 0, е G R+, рассмотрено в [Dancer, 1988].

Теперь кратко остановимся на некоторых аспектах теоремы и уравнения Лиувилля для системы обыкновенных дифференциальных уравне-ний(ОДУ) х = Х(х, t), x(t0) = х° е Rn, (0.24) где х € En; J = {t : t0 < t < +00}; X^x.t) e C§l){G)\ G = Hx J; С Rn - область (открытое связное множество). При выполнении этих условий через каждую точку х° € Rn в любой момент времени to проходит единственное решение x(t) — x(x°,to,t) задачи Коши (0.24). Известно, что системе ОДУ (0.24) соответствует уравнение Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953] д

-/(м) = £/(М), /(Мо) = Мх). (0.25)

Здесь п о = 0-]- (0.26) i=l 1 оператор Лиувилля, относительно которого, исходя из специфики функции f(x,t) € Ьг(Мп), t е J, будем предполагать, что С действует согласно формуле

С : Cg°(Rn) -ч. L2(Mn), (0.27) fo(x) - функция, обладающая свойствами fo(x) > 0, fo(x) е C0°°(Rn), J fo(x)dx = 1, (0.28)

X{x,t) = divX{x, t) - дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24); D(x(x°, to, t)t) = det - якобиан отображения x° —► x(x(x°, £);

S(x, t) = det dx - якобиан отображения x(x°, to,t) —► x(x{x°,to,t),t) - дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24), вычисленная вдоль ее решения x(t) = x(x°,to,t).

Ансамблем Гиббса [Гиббс, 1946] системы уравнений (0.24) назовем множество идентичных систем вида (0.24) с одинаковыми правыми частями и отличающимися друг от друга лишь начальными состояниями. Если систему ОДУ (0.24) трактовать как закон движения изображающей точки х в Rn, то ансамблю Гиббса системы уравнений (0.24) будет соответствовать в IRn ансамбль изображающих точек. Пусть fi*0 с fi - компактное множество меры Лебега mesfit0, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы (0.24) в момент времени t = to. Каждая из изображающих точек х° € fifo, двигаясь по траекториям системы ОДУ (0.24), переместится за время от to Д° t в новое состояние х(х°, t0,t) = T(t,t0)x° € fit С fi, где T(t,to) -оператор сдвига [Красносельский, 1966] вдоль траекторий системы (0.24); Qt = {x(x°,to,t) = T(t,to)x° : я0 £ fit0} - образ множества Qto в силу системы ОДУ (0.24). Итак, имеем Qt = T(t,to)fifo. Пусть mesfit - мера Лебега множества fit С fin. Функцию fo(x) со свойствами (0.28) будем трактовать как плотность вероятности распределения ансамбля изображающих точек Гиббса системы (0.24), принадлежащего множеству fito. Текущее значение функции плотности вероятности распределения f(x,t) £ Z,2(IRn),£ £ J, определяется из задачи Коши (0.25), (0.26) и характеризует состояние ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (0.24) в образе flt множества fit0. Будем говорить, что для системы уравнений (0.24) выполняется предположение А, если для всех изображающих точек xQ С fit0 решение x(t) = x(x0,tg,t) последней нелокально продолжимо [Красносельский, 1966] на J и остается в fi при всех t > to. Под классическим решением задачи Коши (0.25) с оператором (0.26), действующим согласно (0.27), будем понимать функцию f(x,t) G Z^M"), которая, будучи подставленной в уравнение Лиувилля (0.25), обращает последнее в тождество. Тогда имеет место следующий результат [Рудых, 1987].

Теорема 0.1. Пусть для системы ОДУ (0.24) выполняется предположение А и ансамбль изображающих точек Гиббса последней характеризуется в компактном множестве fit0 С fi начальной функцией плотности вероятности распределения fo(x) со свойствами (0.28). Пусть fit = = T(t,to)x° : х° £ fit0} - образ множества fifo в силу системы (0.24) и D(x(x°,to,t),t) Ф 0. Тогда оператор сдвига T(t,to) вдоль траекторий системы ОДУ (0.24) определяет гомеоморфизм множества fit0 С fi в множество fit С fi it для всех t €Е J существует единственное классическое решение задачи Коши (0.25)-(0.27), обладающее свойствами

0.29) L f{x{x°, to, t),t) = fo(x°) exp [ - j х(Ф°, to, t), t) dt] - (0.30) to fo(xQ)/D(x(x°,t°,t),t), t f(Xyt) = fo(p(x,t,t0))ew[ - J x(x(p(x,t,tQ), to,т),т)&г] = (0.31) to f0(p(x,t,tQ))S(x,t). Помимо этого, справедливы соотношения In D(x(xq, t0, t),t) = Х(Ф°, к, t),t), D(x(x°, to, t),t)\t=t0 = 1, (0.32) = £S(x,t), S(x,t)U = 1, (0.33) mesQt = J exp [ J х{Ф°,t0,t),t) dt}dx°, (0.34)

Qtg t0 t mes = J J xix,T) dzdr + mes Qto, (0.35) to fit где L - оператор Лиувилля (0.26); p(x,t,to) = о)я = x°.

В работах [Немыцкий, Степанов, 1949; Зубов, 1982] функция p{x,t), удовлетворяющая уравнению Лиувилля (0.25),(0.26), трактовалась как ядро или плотность интегрального инварианта. Разрешая п соотношений х = x(x°,to,t) относительно п начальных состояний я0 (что возможно, так как отображение, осуществляемое оператором сдвига T(t, to), является гомеоморфным, более того, выполняются условия теоремы о неявной функции), имеем x° = T-1(t,to)=p(x,t,to)i (0.36) где р(х, t, to) ~ функции, являющиеся п независимыми первыми интегралами системы ОДУ (0.24).

Теорема 0.2 [Зубов, 1982]. Пусть (1) решение х = x(x°,to,t) системы (0.24) существует при t 6 (—оо,+оо), to Е (—оо,+оо),:г0 Е (2) векторная функция (0.36) существует при t Е (—оо, -foo),£o € (—оо, +оо),х Е Мп. Тогда каждой неотрицательной функции ро{х) ^ 0, заданной при х € Rn, непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам, отвечает единственное неотрицательное решение p{x>t) уравнения такое, что p(x,t) = Ро{х) при t = При этом p(x,t) является ядром интегрального инварианта системы (0.24).

Формулировку знаменитой теоремы Лиувилля, помимо его оригинальной работы [Liouville, 1838], можно найти в трудах Якоби, Больцмана^ Пуанкаре, различные ее аспекты изложены в курсе математического анализа [Гурса, 1936] и в более поздних публикациях [Соболев, 1962; Fronteau, 1965; Guiasu, 1967; Арнольд, 1974, 1975; Федорюк, 1985]. Переход от детерминированного описания динамических систем к вероятностному обсуждался в отечественной и зарубежной литературе неоднократно и связан с, так называемой, проблемой обоснования статистики [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954, 1969, 1970], заключающейся в установлении связи между вероятностным и детерминированным описаниями динамических систем [Митропольский, Боголюбов, Прикарпатский, Самойленко, 1987]. По-видимому, в работах Н.М. Крылова, Н.Н.Боголюбова (см. избранные труды [Боголюбов, 1969, с.480-497; 1970, с.5-76]) впервые использовалось классическое уравнение Лиувилля faf(<l,P,t) = [H{q,p,t)J{q,p,t)}, f{q>p,t0) = f0(q,p), для вероятностного описания системы канонических уравнений Гамильтона д д Qi — т;—H(q,p, £), Pi = -—H{q,p,t), qi{tQ) = qQi, Pi(t0) = opi dqi со случайными начальными состояниями, распределенными в фазовом пространстве R2n. Здесь q,p G Rn - вектор обобщенных координат и сопряженный вектор обобщенных импульсов; to < t < +оо); H(q,p,t) 6 C°°(R2n+1) - функция Гамильтона; н f] = Ш dpidgi.

- скобка Пуассона; fo{q,p), f{q,P,t) - начальная и текущая функции плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек

Гиббса [Гиббс, 1946] системы канонических уравнений в R2n со свойствами

Теорема и уравнение Лиувилля являются эффективным инструментом и широко используются при доказательстве теорем существования [Повзнер, 1964], синтезе оптимальных управлений пучками траекторий [Овсянников, 1980; Рудых, 1982], исследовании устойчивости [Fronteau, 1965; Рудых 1982, 1983, 1984; Жуков, 1992], анализе различных динамических свойств [Misra, 1978; Steeb, 1979; Рудых 1982, 1987], качественном изучении [Fronteau, 1979; Рудых 1982; Жуков, 1992] систем обыкновенных дифференциальных уравнений, динамических систем [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980] и, наконец, при выявлении стохастических режимов [Синай, 1979] последних.

Кроме того, теорема и уравнение Лиувилля играют весьма важную роль в статистической механике [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954; Пригожин, 1964] не только в связи с проблемой обоснования статистики, но и с выяснением структуры состояния системы многих тел и процессов стремления ее к равновесию. Теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Нейштадт, 1985] является основой качественных методов в исследовании проблемы п- тел в классической механике [Хильми, 1951, 1958] и звездной динамике [Батт, 1986; Guo, Rein, 1998]. Помимо этого, уравнение Лиувилля является отправной точкой как для эргодической теории [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980], так и для кинетической теории необратимых процессов, например, для вывода системы интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950, 1966]. В самом деле, из работ [Власов, 1950, 1966] следует, что уравнение Власова может быть получено из уравнения Лиувилля для функции распределения всех заряженных частиц данного сорта а, если пренебречь корреляциями частиц и предположить, что многочастичная функция распределения является произведением одно-частичных функций распределения. Использование теоремы Лиувилля в исследовании системы уравнений ВМ можно найти в работах [Мас-лов, Федорюк, 1985; Schwarz, 1986; Lewis, Barnes, Melendez, 1987; Horst, 1990; Rein, 1990]. Бесконечномерный гамильтонов формализм для бесконечномерной системы ВМ развит в работах [Morrison, 1980; Weinstein, Morrison, 1981; Marsden, 1982]. В этих публикациях вводится техника вычисления скобок Пуассона для системы уравнений ВМ и показано, что

МЧуР) > 0, fo(q,p)dqdp = 1, f(q,p,t)dqdp = 1. последняя является бесконечномерной гамильтоновой системой, то есть допускает представление в виде уравнения Лиувилля.

Наконец, в исследованиях [Fronteau, Combis, 1984; Chaljub-Simon, Fro-nteau, 1986] применялась теорема Лиувилля, а в работах [Рудых, Семенов, 1990, 1991, 1993, 1995, 1997, 1998, 2000; Рудых, 1998, 2000; Rudykh, Semenov, 1990, 1991] - уравнение Лиувилля для построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений. Большинство из построенных на основе уравнения Лиувилля точных решений нелинейных эволюционных уравнений не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда [Овсянников, 1978; Ибрагимов, 1983]. Построению точных неотрицательных решений квазилинейных параболических уравнений нелинейной теплопроводности посвящено большое число публикаций. Укажем лишь наиболее близкие исследования [Баренблатт, 1952, 1956; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Галактионов, Посашков, 1988, 1989, 1994; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1994, 1995; Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Кершнер, 1978; Косыгина, 1994, 1995; Мартинсон, 1979, 1982, 1986; Овсянников, 1959; Пухначев, 1987, 1994, 1995; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987; Свирщевский, 1995; Аристов, 1999; Сидоров, 1985; Титов, 1988, 1996; Титов, Устинов, 1985; Фущич, Штелень, Серов, 1989; Bertsch, Kersner, Peletier, 1985; Galaktionov, 1990, 1991, 1995; Herrero, 1989; King, 1993; Meirmanov, Pukhnachev, Shmarev, 1997; Olver, 1991, 1994; Peletier, Zhang, 1995], в которых можно найти ссылки на другие исследования.

Точные решения нелинейных дифференциальных и интегродиффе-ренциальных уравнений с частными производными, задача построения которых является сама по себе самостоятельной математической проблемой [Калоджеро, Дегасперис, 1985], играют весьма важную роль практически во всех областях современной математической физики. Дело в том, что при математическом моделировании [Самарский, Михайлов, 1997] исследуемого физического явления (объекта) наиболее интересные закономерности, как правило, обусловлены его нелинейным поведением. С другой стороны, математическая модель в первую очередь отражает наиболее общие закономерности исследуемого объекта, такие, как законы сохранения, правила отбора и т.п., являющиеся следствием его симмет-рийных свойств, исследованию которых посвящена обширная литература. За последние три десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении и исследовании точных решений широкого класса нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных (например, система Бенни) уравнений с частными производными. Используемые при этом алгеброгеометрический и аналитический подходы в основном связаны с методом обратной задачи рассеяния [Лаке, 1969; Захаров, Шабат, 1974, 1979; Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский, 1980]. Однако [Маслов, Данилов, Волосов, 1987] к полулинейным, а тем более к нелинейным параболическим уравнениям второго порядка неприменим метод обратной задачи рассеяния. В связи с этим, в работе [Маслов, Данилов, Волосов, 1987, с. 177-209], прямым методом [Хирота, 1983], с небольшими модификациями и с использованием Паде-аппроксимации, построены точные одно и двухфазные решения широкого класса одномерных полулинейных параболических уравнений.

Возникает естественный вопрос, для чего нам нужны точные аналитические решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дело в том, что точные решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными служат прекрасными тестами для приближенных методов их интегрирования, дают представление о структуре решения и позволяют провести его качественный анализ. Хорошо известно, что метод дифференциальных связей [ Сидоров, Шапеев, Яненко, 1984; Андреев, Капцов, Пухначев, Родионов, 1994; Кап-цов, 1998] является одним из эффективных методов выделения классов точных решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и содержит в качестве частных случаев методы построения промежуточных интегралов, функционально-инвариантных и автомодельных решений.

Итак, точные решения квазилинейных параболических уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в механизме таких важных физических явлений, как неограниченные решения, или режимы с обострением, эффекты локализации режимов с обострением, приводящих к образованию нестационарных диссипативных структур, асимптотическое поведение положительных решений, множественность или отсутствие стационарных состояний и т.п.[Самарский, Галактионов, Кур-дюмов, Михайлов, 1987; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Ахромеева, Курдюмов, Малинецкий, Самарский, 1992].

Следует отметить, что даже частные точные решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, играют важную роль тестовых примеров при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. С другой стороны, так как исследуемые уравнения являются нелинейными и построить их общее решение из частного нельзя, то наборы частных точных решений последних служат своего рода ориентирами или границами среди множества всех возможных решений. В связи с этим, частные точные (в частности, автомодельные) решения нашли широкое применение [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987] в принципе максимума и теоремах сравнения, когда исследование многих важных аспектов качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными опирается на специальное сравнение с пространственно временной структурой построенного точного решения. Тем самым, принцип максимума и теоремы сравнения позволяют сопоставить различные решения исследуемого нелинейного параболического уравнения и дают возможность с помощью какого-то одного фиксированного (точного) решения описать и изучить свойства широкого класса других решений.

Задача нахождения в замкнутом виде точных решений нелинейных уравнений математической физики является очень трудной и порой непреодолимой. Сложность обусловлена, главным образом, либо нелинейностью уравнений, либо большим числом переменных. Поэтому получили широкое распространение исследования (см. работы [Galaktionov, 1991; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1995; Свирщевский, 1995] и цитируемую в них литературу), связанные с проблемой отыскания конечномерных линейных пространств, инвариантных относительно заданного оператора. Показано, что изучаемая проблема, в общем случае, сводится к некоторой нелинейной задаче на собственные значения.

С другой стороны, многие важные нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными обладают некоторой внутренней структурой, знание которой позволяет отыскивать точные решения, исходя из соображений симметрии. Одним из таких уравнений является уравнение нелинейной теплопроводности с источником (стоком) вида (0.15).

Для уравнения (0.16) в исследовании [Овсянников, 1959] впервые решена задача групповой классификации в одномерном случае и отсутствии объемных источников тепла. В работах [Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983] проведен групповой анализ уравнения (0.16) соответственно в одномерном и многомерном случаях (п — 2,п = 3).

В работе одним из объектов исследования является уравнение нелинейной диффузии: ut = V • (uxVu), и = u(x,i),x G Rn,n > 1, (0.37) которое обладает различными, в зависимости от знака параметра Л G R, А ф 0, свойствами. Если Л > 0, тогда (0.37) является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением [Калашников, 1987]. Другими словами, уравнение (0.37) является параболическим при и > 0, а при и — 0 вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка типа Гамильтона-Якоби. Исследованиями [Олей-ник, 1957; Олейник, Калашников, Чжоу Юй-Линь, 1958] было начато построение строго математической теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений, а затем продолжено в монографиях [Антон-цев, 1986; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987] и обзорных работах [Kersner, 1978; Мартинсон, 1982, 1986; Калашников, 1987; Aronson, 1988]. С вырождением уравнения (0.37) связаны некоторые особые свойства его решений, например, конечность скорости распространения носителей решений [Олейник, Калашников, Чжоу-Юй-Линь, 1958; Калашников, 1967, 1972]. В свою очередь, с конечностью скорости распространения носителей решений уравнения (0.37), при Л G R+, связаны многие другие типичные свойства последнего [Калашников, 1987; Антонцев, 1986]: наличие (1) режимов с обострением (несуществование глобальных по времени решений); (2) эффектов локализации режимов с обострением; (3) инерции(конечной или бесконечной временной задержки) начала распространения носителя решения и т.п.

С другой стороны, если Л G Ж~, то в этом случае типичным свойством решений уравнения (0.37) является свойство обращения их в нуль за конечное время. Эффект полного остывания для уравнения (0.37) при Л < 0, рассматриваемого в ограниченной области Q G Mn(u(x, t) = 0 на dfl), известен сравнительно давно [Сабинина, 1962].

Уравнение (0.37) при Л > 0 описывает процесс нестационарной фильтрации, называется уравнением пористой среды и возникает в задачах распространения тепла и диффузии в средах с большими температурными перепадами [Калашников, 1987]. Уравнение (0.37) при Л < 0 описывает диффузионные процессы в полупроводниках, кристаллическом водороде, плазме [Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Калашников, 1987; Пухначев, 1994, 1995] и называется уравнением быстрой диффузии. Наконец, при А = — 1 уравнение (0.37) запишется щ = АЫи, и = и(х, t), х (Е Rn, п > 1. (0.38)

Уравнение (0.38), согласно общепринятой терминологии, является предельной формой уравнения быстрой диффузии и описывает [Пухначев, 1995] при п = 2 процесс растекания сверхтонкой пленки жидкости под действием сил Ван-дер-Ваальса, а для п = 3 - эволюцию плотности электронного пучка, подчиненного распределению Максвелла. Отметим, что уравнение (0.38) при п = 2 является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа допустимых преобразований бесконечномерна и называется предельным уравнением быстрой диффузии. Несмотря на большое число работ, посвященных построению точных неотрицательных решений уравнения (0.37), большинство из них относится к случаю, когда А > 0. Известных нам работ, в которых строятся частные точные неотрицательные решения многомерного уравнения быстрой диффузии, значительно меньше. Поэтому основное внимание в^ соответствующих главах диссертации уделено построению точных неотрицательных решений многомерных уравнений быстрой и предельной диффузии.

Настоящая работа посвящена исследованию интегродифференциаль-ной системы уравнений ВМ и уравнения нелинейной теплопроводности.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Нумерация формул, утверждений и теорем двузначная в пределах каждой главы, первая цифра соответствует номеру раздела. В ссылках на формулы, утверждения и теоремы из других глав добавляется цифра, соответствующая номеру главы, которая ставится в начале. Наконец, обзор работ, примыкающих к результатам диссертации, проводится по главам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Отыскание стационарных решений п-компонентной интегродиффе-ренциальной системы уравнений ВМ (с учетом задания функций распределения fa(r,v,t) ) сведено к совместному исследованию системы двух нелинейных эллиптических уравнений ("разрешающая"система) в области Г2 с 3R2. Рассмотрены случаи редукции этой системы к одному нелинейному эллиптическому уравнению, названному в работе "разрешающим". Для этого уравнения рассмотрена задача Дирихле. На этой основе доказаны две общие теоремы о существовании решений исходной стационарной системы уравнений ВМ с граничным условием Дирихле на скалярный потенциал. Причем самосогласованные поля Е(г),В(г) и функции распределения /а(г, v) определены в явном виде.

2. Изучен случай, когда "разрешающая"система нелинейных эллиптических уравнений не сводится к одному "разрешающемумуравнению. Тогда задача конструктивного построения стационарных решений п -компонентной системы уравнений ВМ сводится к равномерно эллиптической нелинейной системе, содержащей нелокальные (интегральные) операторы, с граничными условиями Дирихле. В предположении существования верхних и нижних решений, удовлетворяющих некоторым неравенствам, доказана теорема существования и единственности классического решения исследуемой системы нелинейных эллиптических уравнений (теорема З.1.). Причем характер нелинейности позволяет свести построение верхних и нижних решений исследуемой задачи к конечномерным задачам. Для этого нужно, только, уметь решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона с единичной правой частью.

3. Проведено исследование нестационарной n-компонентной системы уравнений ВМ с внешними источниками. При определенных предположениях, доказано, что плотности внешних зарядов /?°(г, t), токов j°(r, t) и функции распределения fa(r,v,t) индуцируют самосогласованные электромагнитные поля E(r,t), B(r,t).

4. На основе уравнения Лиувилля, доказано существование (путем конструктивного построения) точных неотрицательных решений (большинство из которых не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда) многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности с конечной скоростью распространения возмущений.

5. Предложена и исследована нетривиальная конструкция точного неотрицательного решения многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде "конечной суммы", которое, в зависимости от параметра нелинейной среды Л G 9R\{0}, описывает различные процессы распространения тепла и диффузии. В итоге, после подстановки предъявленной конструкции в изучаемое уравнение, приходим к исследованию конечномерной переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ).

6. Получены достаточные условия, обеспечивающие существование решения задачи Коши для переопределенной системы АДУ. На основе этого результата, показано, что введенная конструкция позволяет получить (а с использованием результатов качественного исследования задачи Коши для некоторого скалярного ОДУ) и проанализировать точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения, как класса уравнений пористой среды, когда Л € так и класса уравнений быстрой диффузии, когда Л E 5ft-.

7. Получены новые точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения предельного уравнения быстрой диффузии, которое, как известно, является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа Ли допустимых преобразований бесконечномерна.

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука. 1994.

2. Антонцев С.Н. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1986. 108С.

3. Аристов С.Н. Периодические и локализованные точные решения уравнения ht = Л In Л// Прикл. механика и технич. физика. 1999. Т.40, N 1. С.22-26.

4. Арнольд В.И. Об условиях нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости// Докл. АН СССР. 1965. Т. 162, N 5. С.975-978.

5. Арнольд В.И. Об одной априорной оценке теории гидродинамической устойчивости // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. 1966, N 5. С.3-5.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974.

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1975.

8. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики// Итоги науки и техн. Соврем, про-бл. матем. Фундаментальные направления. Т.З. М.: ВИНИТИ. 1985. С.5-304.

9. Арсеньев А.А. Единственность и существование в малом классического решения системы уравнений Власова// Докл. АН СССР. 1974. Т.218, N 1. С.11-12.

10. Арсеньев А.А. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1975. Т. 15, N 1. С.136-147.

11. Архипов Ю.Ю., Веденяпин В.В. О классификации и устойчивости стационарных решений уравнения Власова на торе и в граничной задаче// Труды МИРАН. 1994. Т.203. С.13-20.

12. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности// Докл. АН СССР. 1987. Т.295, N 1. С.75-78.

13. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики// Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука. 1987. С.22-56.

14. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход// Соврем, пробл. матем. Новейшие достижения. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР. 1989. Т.34. С.3-83.

15. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

16. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992.

17. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде// Прикл. матем. и механика. 1952. Т.16, N 1. С.67-68.

18. Баренблатт Г.И. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде// Прикл. матем. и механика. 1956. Т.20, N 6. С.761-763.

19. Батт Ю. Нелинейная система Власова-Пуассона уравнений с частными производными в звездной динамике// Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука. 1986. С.47-55.

20. Баутин С.П. Применение характеристических рядов для представления решений нелинейных уравнений параболического типа в окрестности линии вырождения // Численные методы механики сплошной среды. 1985. Т.16, N 5. С.16-28.

21. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1976.

22. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: НГУ. 1975.

23. Бицадзе А.В. Точные решения некоторых классов нелинейных уравнений в частных производных// Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, N 10. С. 1774- 1778.

24. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

25. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука. 1987.

26. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: АН УССР. 1954.

27. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. M.-JI.: Гостехиздат. 1946.

28. Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Киев: Наукова думка. 1969. Т.1. 647С.

29. Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Киев: Наукова думка. 1970. Т.2. 522С.

30. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука. 1991.

31. Богоявленский О.И. Точные глобальные равновесия плазмы // УМН. 2000. Т.55, N 2. С.63-102.

32. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехтеориздат. 1956.

33. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1968.

34. Веденяпин В.В. Граничные задачи для стационарного уравнения Власова // Докл. РАН. 1986. Т.290, N 4. С.777-780.

35. Веденяпин В.В. Граничные задачи для стационарного уравнения Власова // Докл. РАН. 1992. Т.323, N 6. С.1004-1006.

36. Векуа И.Н. Замечания о свойствах уравнения Аи = —2Кеи // Сиб. матем. журн. 1960. T.l, N 3. С.331-342.

37. Веселов А.П., Дынников И.А. Интегрируемые градиентные потоки // Алгебра и анализ. 1996. Т.8, N 3. С.78-103.

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.

39. Власов А.А. Теория многих частиц.М.: Гостехиздат, 1950.

40. Власов А.А. Статистические функции распределения.М: Наука, 1966.

41. Власов А.А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука, 1978.

42. Волосов К.А. Об одном свойстве анзаца метода Хироты для квазилинейных параболических уравнений // Матем. заметки. 2002.Т.71, N 3. С.373-389.

43. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука. 1976.

44. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука. 1975.

45. Вольперт А.И., Иванова А.Н. Математические модели в химической кинетике // Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения в математической физике. М.: Наука. 1987. С.57-102.

46. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Асимптотическая стадия режимов с обострением и эффективная локализация тепла в задачах нелинейной теплопроводности / / Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, N 7. С.1196-1204.

47. Галактионов В.А., Посашков С.А. Неограниченное точное решение уравнения нелинейной теплопроводности с источником // Препринт ИПМ АН СССР. N 42. Москва. 1988. 15С.

48. Галактионов В.А., Посашков С.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т.29, N 4. С.497-506.

49. Галактионов В.А., Посашков С.А. Точные решения и инвариантные пространства для нелинейных уравнений градиентной диффузии // Журн. вычис. матем. и матем. физики. 1994. Т.34, N 3. С.373-383.

50. Галактионов В.А., Посашков С.А. Примеры нессиметричного полного остывания и режимов с обострением для квазилинейных уравнений теплопроводности // Препринт ИПМ РАН. N 21. Москва. 1994. 24С.

51. Галактионов В.А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Об инвариантных множествах и точных решениях нелинейных эволюционных уравнений с квадратичными нелинейностями // Препринт ИПМ РАН. N 22. Москва. 1994.

52. Галактионов В.А., Посашков В.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, N 2. С.253-261.

53. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1966.

54. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук. 1959. Т.14, N 2. С.87-158.

55. Герман Р. Продолжения, преобразования Беклунда и теория Ли как средство для изучения нелинейных дифференциальных уравнений // В. кн.: Солитоны в действии. М.: Мир. 1981. С.45-71.

56. Гиббс Дж. Основные принципы статистической механики. М.: Го-стехиздат. 1946.

57. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука. 1989.

58. Гурса Э. Курс математического анализа. М.-Л.: ОНТИ, 1936.

59. Данилов В.Г., Субочев П.Ю. Точные однофазные и двухфазные решения полулинейных параболических уравнений // Препринт МИАН СССР. Москва. 1988.

60. Данилов В.Г., Субочев П.Ю. Волновые решения полулинейных параболических уравнений // ТМФ. 1991. Т. 89, N 1. С.25-47.

61. Девидсон Р. Теория заряженной плазмы. М.: Мир, 1978. 215С.

62. Днестровский Ю.Н. Костомаров Д.П.Математическое моделирование плазмы. М.: Наука. 1982. 320С.

63. Добрушин P.JI. Уравнение Власова // Функц. анал. и его приложения. 1979. Т. 13, N 2. С.48-58.

64. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником // ЖВМ и МФ. 1982. Т.22, N 6. С.1393-1400.

65. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19, N 7. С.1215-1223.

66. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. Самосогласованные распределения для пучков заряженных частиц. Санкт-Петербург: С.-ПГУ. 2001. 106с.

67. Жуков В.П. Полевые методы в исследовании нелинейных динамических систем. М.: Наука. 1992.

68. Журавлев В.М. Точные решения уравнения нелинейной диффузии щ = Alnw + Хи в двумерном координатном пространстве // Теор. и матем. физика. 2000. Т. 124, N 2. С.265-278.

69. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М.: Физматлит. 2002.

70. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функцион. анализ и его прилож. 1974. Т.8. Вып.З. С.43-53.

71. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функцион. анализ и его прилож. 1979. Т.13. Вып.З. С.13-22.

72. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи рассеяния. М.: Наука. 1980.

73. Зеленяк Т.И. О качественных свойствах решений квазилинейных смешанных задач для уравнений параболического типа // Матем. сборник. 1977. Т. 104, N 3. С. 486-510.

74. Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб., посвященный 70-летию академика А.Ф.Иоффе. М.: Изд-во АН СССР. 1950. С.61-71.

75. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа. 1982.

76. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.

77. Иорданский С.В. О задаче Коши для кинетического уравнения плазмы // Труды МИАН СССР. 1961. Т.60. С.181-194.

78. Кадомцев Б.Б., Сагдеев Р.З., Шафранов В.Д. Теория термоядерной тороидальной плазмы // Вестник АН СССР. 1985, N 3. С.28-37.

79. Калашников А.С. О возникновении особенностей у решений уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1967. Т.7, N 2. С.241-259.

80. Калашников А.С. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью распространения возмущений // Вестн. МГУ. Сер. мат. мех. 1972, N 6. С.45-49.

81. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // УМН. 1987. Т.42, N 2. С.135-176.

82. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и со-литоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир. 1985.

83. Капцов О.В. Нелинейные диффузионные уравнения и инвариантные многообразия // Мат. моделирование. 1992. Т.4, N 8. С.31-46.

84. Капцов О.В. Построение точных решений систем диффузионных уравнений // Мат. моделирование. 1995. Т.7, N 3. С.107-115.

85. Капцов О.В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей// Матем. сборник. 1998. Т.189, N 12. С.103-118.

86. Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения. И. Операторные унитарно-нелинейные уравнения // Совр. пробл. математики. М.: ВИНИТИ. 1979. Т. 13. С. 145-267.

87. Кершнер Р. О некоторых свойствах обобщенных решений квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae. 1978. T.32, N 3-4. C.301-330.

88. Ковалев В.Ф., Кривенко С.В., Пустовалов В.В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова.1 // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N 10. С.1804-1817.

89. Ковалев В.Ф., Кривенко С.В., Пустовалов В.В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова.П // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N 11. С.1971-1983.

90. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М. : Наука. 1980.

91. Косыгина Е.Р. О новых точных сингулярных решениях многомерного уравнения нелинейной диффузии // Теор. и прикл. аспекты мат. исслед. М.: МГУ. 1994. С.71-75.

92. Косыгина Е.Р. Об анизотропных точных решениях многомерного уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1995. Т.35, N 2. С.241-259.

93. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз. 1962.

94. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966.

95. Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука. 1985.

96. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. M.-JL: АН СССР. 1950.

97. Кудряшов Н.А. Многофазные и рациональные решения нелинейных уравнений одного семейства // ТМФ. 1993. Т.94, N 3. С.393-407.

98. Курдюмов С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука. 1982. С.217-243.

99. Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в сплошных средах. М.: Наука, 1978.

100. Лаке П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны // Математика. 1969. Т.13, N 5. С.128-150.

101. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир. 1974.

102. Локуциевский О.В., Михайлова М.С., Хазин Л.Г., Ходатаев К.В. Об устойчивости стационарных решений одномерных уравнений Власова // Препринт ИПМ АН СССР. N 75. Москва. 1974. 35С.

103. Марков Ю.А., Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. Существование стационарных решений уравнений Власова-Максвелла и некоторые их точные решения // Мат. моделирование. 1989. T.l, N 6. С.95-107.

104. Марков Ю.А., Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. Об одном семействе решений системы Власова-Максвелла и их устойчивости // Мат. моделирование. 1990. Т.2, N 12. С.88-101.

105. Марков Ю.А. Точные решения нелинейных уравнений равновесия плазмы // Препринт ИрВЦ СО АН СССР. N 2. Иркутск. 1988. 23С.

106. Марков Ю.А. Точные решения системы уравнений Власова

107. Максвелла. Устойчивость равновесных состояний // Дис.канд.физ.-мат. наук, Иркутск, 1992.

108. Марков Ю.А. Об одном классе точных решений кинетической модели равновесия плазмы // Теорет. и математ. физика. 1992. Т.91, N 1. С.129-141.

109. Марков Ю.А. О некоторых точных решениях кинетической модели равновесия плазмы // Докл. АН СССР. 1989. Т.308, N 1. С.80-83.

110. Мартинсон Л.К. Распространение тепловой волны в нелинейной среде с поглощением // Прикл. механика и технич. физика. 1979, N 4. С.36-39.

111. Мартинсон Л.К. Эволюция теплового импульса в среде с нелинейной теплопроводностью // Тр. МВТУ. 1982, N 374. С. 14-34.

112. Мартинсон Л.К. Исследование математической модели переноса нелинейной теплопроводности в средах с объемным поглощением // Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука. 1986. С.279-309.

113. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // Совр. пробл. математики. М.: ВИНИТИ. 1978. Т.Н. С.153-234.

114. Маслов В.П., Федорюк М.В. Линейная теория затухания Ландау // Матем. сборник. 1985. Т.127, N 4. С.445-475.

115. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука. 1987.

116. Митропольский Ю.А., Боголюбов Н.Н., Прикарпатский А.К., Са-мойленко В.Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев.: Наукова думка. 1987.

117. Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие глобальных положительных решений квазилинейных эллиптических неравенств // Докл. АН СССР. 1998. Т.359, N 4. С.456-460.

118. Мовчан А.А. Устойчивость процессов по двум метрикам // Прикл. матем. и механика. 1960. Т.24, N 6. С.988-1001.

119. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений.М.: Гостехиздат. 1949.

120. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир. 1989.

121. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности// Докл. АН СССР. 1959. Т.125, N 3. С.492-495.

122. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

123. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками. Л: Изд-во ЛГУ. 1980.

124. Олейник О.А. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1957. Т.113, N 6. С.1210-1213.

125. Олейник О.А., Калашников А.С., Чжоу-Юй-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т.22, N 5. С.667-704.

126. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

127. Повзнер А.Я. Теорема существования в целом для нелинейной системы и индекс дефекта линейного оператора // Сиб. мат. журн. 1964. Т.5, N 2. С.377- 386.

128. Похожаев С.И. О собственных функциях уравнения Au+\f(u) = О // Докл. АН СССР. 1965. Т.165, N 1. С.36-39.

129. Похожаев С.И. Об уравнениях вида Аи = f(x,u,Du) // Матем. сборник. 1980. Т.113, N 2. С.324-338.

130. Похожаев С.И. Об одной задаче J1.B. Овсянникова // Прикл. механика и техн. физика. 1989. N 2. С.5-10.

131. Похожаев С.И. Об эллиптических задачах в Ж™ с суперкритическим показателем нелинейности // Матем. сборник. 1991. Т.182, N 4. С.467-489.

132. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир. 1964.

133. Пухначев В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1987. Т.294, N 3. С.535-538.

134. Пухначев В.В. Преобразования взаимности радиальных уравнений нелинейной теплопроводности // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1994.Т. 213. С.151-163.

135. Пухначев В.В. Многомерные точные решения уравнения нелинейной диффузии // Прикл. механика и технич. физика. 1995. Т.36, N 2. С.23-31.

136. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука. 1978.

137. Рубинов А.С., Рудых Г.А. Оператор Лиувилля и существование в целом решения системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Дифференц. уравнения и числ. методы. Новосибирск: Наука. 1986. С.162-168.

138. Рудых Г.А. Исследование обобщенного уравнения Лиувилля // ТМФ. 1981. Т.46, N 3. С.414-425.

139. Рудых Г.А. Динамика неконсервативных негамильтоновых системв вероятностной постановке // Дис.канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ.1982.

140. Рудых Г.А. Обобщенное уравнение Лиувилля в иследовании устойчивости неавтономных систем // Динамика нелинейных систем. Новосибирск: Наука. 1983. С.141-151.

141. Рудых Г.А. Связь теоремы Лиувилля для неавтономной системы дифференциальных уравнений с устойчивостью движения // Метод функций Ляпунова и его приложения. Новосибирск: Наука. 1984. С.151-170.

142. Рудых Г.А. Наиболее вероятная (типичная) траектория движения неконсервативной негамильтоновой системы // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь: ПГУ. 1984. С. 137-145.

143. Рудых Г.А. О поведении интегральной кривой системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Дифференц. уравнения и числ. методы. Новосибирск: Наука. 1986. С. 153-162.

144. Рудых Г.А. Свойства интегральной кривой и решения неавтономной системы дифференциальных уравнений // Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука. 1987. С. 189-198.

145. Рудых Г.А. Точные неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Докл. РАН. 1998. Т.358, N 3. С.323-324.

146. Рудых Г.А. Пары Лакса для одномерного нелинейного эволюционного уравнения и обобщенное преобразование Миуры // Докл. РАН. 1998. Т.358, N 6. С.749-751.

147. Рудых Г.А. Одномерное нелинейное эволюционное уравнение допускает счетное число представлений Лакса и Богоявленского // Докл. РАН. 1997. Т.356, N 5. С.605-607.

148. Рудых Г.А. (Ь,А)-пары Лакса для одномерного нелинейного эволюционного уравнения // Докл. РАН. 1997. Т.356, N 1. С.19-21.

149. Рудых Г.А. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений уравнения щ = V • (uAV") // Труды международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2000. С.189-193.

150. Рудых Г.А. Свойства стационарных решений нелинейной краевой задачи, моделирующей диффузию плазмы поперек магнитного поля // Докл. РАН (направлена в печать).

151. Рудых Г.А., Рубинов А.С., Синицын А.В. Алгоритм решения обобщенного уравнения Лиувилля для системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь: ПГУ. 1987. С.129-135.

152. Рудых Г.А., Синицын А.В. Разложение и сходимость решения обобщенного уравнения Лиувилля по ортонормированной системе функций // Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск: Наука. 1987. С.251-266.

153. Рудых Г. А., Синицын А.В. Разложение решения обобщенного уравнения Лиувилля по собственной системе функций // Асимптотические методы. Задачи механики. Новосибирск: Наука. 1988. С. 183-200.

154. Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О стационарных решениях системы уравнений Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1988. Т.302., N 3. С.594-597.

155. Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О разветвляющихся стационарных решениях двухчастичной системы Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1989. Т.304, N 5. С.1109-1112.

156. Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О нестационарных решениях двухчастичной системы Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1989. Т.307. С.1354- 1357.

157. Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О некоторых точных решениях стационарной системы уравнений Власова-Максвелла //В кн.: Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1988. С.118-128.

158. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Коммутационные представления и преобразования Беклунда для нелинейных эволюционных уравнений с одной пространственной переменной// Препринт N 7 ИрВЦ СО АН СССР. Иркутск. 1990. 74С.

159. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Об одном подходе построения частных точных решений квазилинейного уравнения теплопроводности с N- пространственными переменными.// Препринт N 6 ИрВЦ СО АН СССР. Иркутск. 1991. 21С.

160. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Построение точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т.ЗЗ, N 8. С.1228-1239.

161. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Представления Лакса и преобразования Беклунда для одномерных нелинейных эволюционных уравнений // Сиб. матем. журнал. 1995. Т.36, N 1. С.164-176.

162. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Новые точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб. мат. журн. 1997. Т.38, N 5. С.1130-1139.

163. Рудых Г.А., Семенов Э.И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т.38, N 6. С.971-977.

164. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб. матем. журн. 1998. Т.39, N 5. С.1129-1138.

165. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Точные неавтомодельные решения уравнения щ = Л Inn // Матем. заметки. 2001. Т.70, N 5. С.787-792.

166. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Новые точные решения неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Труды международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2000. С.193-196.

167. Рудых Г.А., Семенов Э.И. О новых точных решениях неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, 2000. Т.5(1). С.63-69.

168. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. I // Сиб. матем. журн. 2000. Т.41, N 5. С.1144-1166.

169. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. II // Сиб. мат. журнал. 2001. Т.42, N 1. С.176-195.

170. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Матем. заметки. 2000. Т.67, N 2. С.250-256.

171. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии // В кн. "Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения". М.: Физматлит. 2003. С. 352-396.

172. Рудых Г.А., Синицын А.В. О разрешимости нелинейной краевой задачи, возникающей при моделировании диффузии плазмы поперек магнитного поля и ее равновесных конфигураций // Матем. заметки (принята к публикации).

173. Сабинина Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, N 4. С.794-797.

174. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т.26, N 11. С.1925-1935.

175. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука. 1987.

176. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука. 1997.

177. Самарский А.А., Дородницын В.А., Курдюмов С.П., Попов Ю.П. Образование Т- слоев в процессе торможения плазмы магнитным полем // Докл. АН СССР. 1974. Т.216, N 6. С.1254-1257.

178. Самарский А.А., Еленин Г.Г., Змитриенко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Горение нелинейной среды в виде сложных структур // Докл. АН СССР. 1977. Т.237, N 6. С.1330-1333.

179. Самойленко Ю.А., Губарев В.Ф., Кривонос Ю.Г. Управление быст-ропротекающими процессами в термоядерных установках. Киев: Нау-кова думка. 1988.

180. Свинин А.К. Специальный класс нестационарных решений системы уравнений Власова- Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР. N 12. Иркутск. 1989. 20С.

181. Свирщевский С.Р. Нелинейные дифференциальные операторы первого и второго порядков, обладающие инвариантными линейными пространствами максимальной размерности // Теор. и матем. физика. 1995. Т. 105, N 2. С.198-207.

182. Семенов Э.И. Существование и построение точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии // Дис. канд. физ.-мат. наук, Иркутск, 2000.

183. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука,1984.

184. Сидоров А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1985. Т.280, N 1. С. 47-51.

185. Сидоров Н.А., Рудых Г.А., Синицын А.В. Существование разветвляющихся стационарных решений двухчастичной системы уравнений Власова-Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР, N 4. Иркутск. 1987. 22С.

186. Сидоров Н.А., Рудых Г.А., Синицын А.В. Существование и ветвление стационарных решений системы уравнений Власова-Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР, N 5. Иркутск. 1987. 22с.

187. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука. 1979. С.192-212.

188. Синицын А.В. Стационарные решения системы Власова-Максвелла и их устойчивость // Дис.канд. физ.-мат. наук, Новосибирск, 1989.

189. Соболев C.J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: СО НА СССР. 1962.

190. Титов С.С. Метод конечномерных колец для решения нелинейных уравнений математической физики // Аэродинамика. Саратов: Саратов. универ. 1988., вып.11. С.104-110.

191. Титов С.С. О движении фронта нелинейной диффузии // Прикл. механика и технич. физика. 1996. Т.37, N 4. С.113-118.

192. Титов С.С. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств // Препринт. Екатеринбург, 1999. 264с.

193. Толстоногое Д.А. Свойства решений интегро-дифференциальныхуравнений физики плазмы // Дис.канд. физ.-мат. наук, Иркутск,1991.

194. Тычинин В.А. Симметрия и точные решения уравнения щ = h(u)uxx// Симметрийный анализ и решения уравнений математической физики. Киев. Ин-т матем. АН УССР. 1988. С.72-77.

195. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

196. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1985.

197. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова думка. 1989.

198. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.

199. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир. 1983.

200. Хильми Г.Ф. Проблема п тел в небесной механике. М.: АН СССР, 1951.

201. Хильми Г.Ф. Качественные методы в проблеме п тел. М.: АН СССР. 1958.

202. Хинчин А.Я. Математические основания статистической механики. М.-Л.: Гостехиздат. 1943.

203. Хирота Р. Прямые методы в теории солитонов //В кн.: Солитоны. Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри. М.: Мир. 1983.

204. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир. 1989.

205. Четаев Н.Г. Об устойчивых траекториях динамики // Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР. 1962. С.250-268.

206. Четаев Н.Г. Устойчивость и классические законы // Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР. 1962. С. 269-272.

207. Чихачев А.С. Кинетическая теория квазистационарных пучков заряженных частиц. М.: Физматлит. 2001. 174С.

208. Шапеев В.П. Метод дифференциальных связей и его приложение куравнениям механики сплошной среды // Дис.докт. физ.-мат. наук.1. Новосибирск. 1987.

209. Шишков А.Е. Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей энергетических решений квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка // Матем. сборник. 1999. Т.190, N 12. С.129-156.

210. Яненко Н.Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных // Труды IV Всесоюзного математического съезда. Т.2. Ленинград: Наука. 1964. С.613-621.

211. Abdallah N.B. Weak solutions of the initial-boundary value problem for the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1994. V.17. P.451-476.

212. Abraham-Shrauner B. Li point transformation grup solutions of the nonlinear Vlasov-Maxwell equations // Workshop on local and global methods of dynamics. New York: Springer-Verlag. 1985.

213. Antonsev S.N., Diaz J.I., Shmarev S.I. The support shrinking propertiers for solutions of quasilinear parabolic equations with strong absorption terms // Ann.Fac. Sci. Toulouse Math. 1995. V.4. N 1. P.5-30.

214. Aronson D.G., Crandall M.G., Peletier L.A. Stabilization of solutions of a degenarate nonlinear diffusion problem // Nonlinear Anal. TMA. 1982. V.6, N 10. P.1001-1022.

215. Aronson D.G., Peletier L.A. Large time behaviour of solutions of the porous medium equation in bounded domains // J.Differ. Equat. 1981. V.39, N 3. P.378-412.

216. Aronson D.G. The porous medium equation // Some problems in nonlinear diffusion. Lecture Notes in Math., N 1224. Springer Verlag. 1986.

217. Aronson D.G. Regularity of flows in porous media: a survey // Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States. N.Y.: Springer 1988. V.l. N 1. P.35-49

218. Arnold V.I. Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinite et ses applications a e'hydrodynamique des fluids parfaits // Ann. Inst. Fourier. Grenoble. 1966. V.16. P.319-361.

219. Asano K. On local solutions of the initial value problem for the Vlasov-Maxwell equations // Commun. Math. Phys. 1986. V.106. P.551-568.

220. Bardos C., Degond P. Existence global et comportement asymptotique de la solution de l'equation de Vlasov-Poisson // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1983. V.297. P.321-324.

221. Bardos C., Degond P. Global existence for the Vlasov-Poisson equation in 3 space variables with small initial data // Ann. Inst. Henri Poincare. 1985. V.2, N 2. P.101-118.

222. Batt J. Global symmetric solutions of the initial value problem of stellar dynamics // J.Differ. Equat. 1977. V.25. N 3. P.342-364.

223. Batt J., Faltenbacher W., Horst E. Stationary spherically symmetric models in stellar dynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V.93. P.159-183.

224. Batt J. Asymptotic properties of spherically symmetric self-gravitating mass systems for t oo. // TTSP. 1987. V.16. P.763-778.

225. Batt J., Berestycki H., Degond P., Perthame B. Some families of solutions of the Vlasov-Poisson system // Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V.104. N 1. P.79-103.

226. Batt J., Rein G. Global classical solutions of the periodic Vlasov-Poisson system in three dimensions // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1991. V.313. P.411-416.

227. Batt G., Rein G. A rigorous stability result for the Vlasov-Poisson system in three dimensions // Anal, di Mat. Рига ed Appl. 1993. V.164. P. 133-154.

228. Batt J., Fabian K. Stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Chin. Ann. Math. Ser.B. 1993. V.14. P.253-278.

229. Batt J., Morrison P.J., Rein G. Linear stability of stationary solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions // Arch. Rat. Mech. Anal. 1995. V.130. P.163-182.

230. Berger M.S. Perspektives in nonlinearity. New-York. Amsterdam. 1968.

231. Bernstein I., Greene J.M., Kruskal M.D. Exact non-linear plasma oscillations // Phys. Rev. 1957. V.108. N 3. P.546-550.

232. Berryman J.G., Holland C.J. Stability of the separable solution for fast diffusion // Arch. Rat. Mech. Anal. 1980. V.74, N 4. P.379-388.

233. Bertsch M. Asymptotic behaviour of solutions of a nonlinear diffusion equation // SIAM J.Appl. Math. 1982. V.42, N 1. P.66-76.

234. Bertsch M., Kamin S. A system of generate parabolic equations // SIAM J.Math.Anal. 1990. V.21, N.4. P. 905-916.

235. Bertsch M., Kersner R., Peletier L.A. Posivity versus localization degenarate diffusion equations // Nonlinear Anal. TMA. 1985. V.9, N 10. P.987-1008.

236. Bogaevsky V.N., Povzner A.Ya. Linear methods in nonlinear problems with a small parameter // Lecture Notes in Math., 1983, N 985. P.431-449.

237. Braasch P. On stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Preprint. N 9611/46. Mathematisches Institut Ludwig-Maximilians- niversitat Miinchen. 1996. 16p.

238. Braasch P. On quasistationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Preprint. N 9704/51. Mathematisches Institut Ludwig-Maximilians-Universitat Miinchen. 1997. 24P.

239. Braasch P. Semilineare elliptische differentialgleichungen und das Vlasov-Maxwell-system // Ph.D. Dissertation. Universitat Miinchen. 1996.

240. Braasch P. On stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Math. Meth. Appl. Sci. 1997. V.20. P.667-677.

241. Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R. Numerical solution of initial -value problems in differential algebraic equations. North-Holland. Elsevier. New-York. 1989.

242. Chaljub-Simon A., Fronteau J. Quasi-differential systems associated to some equations of evolution // Hadronic J. 1986. V.9. P.291-300.

243. Cooper J., Klimas A. Boundary value problems for the Vlasov- Maxwell equation in one dimension // J.Math. Anal. Appl.1980. V.75. P.306- 329.

244. Cooper J., Klimas A. Addendum: boundary value problems for the Vlasov- Maxwell equation in one dimensional // J.Math. Anal. Appl. 1981. V.84. P.644- 650.

245. Cooper J., Strauss W. The initial boundary problem for the Maxwell equations in the presence of a moving body // SIAM J.Math. Anal. 1985. V.16. P.1165-1179.

246. Dancer E.N. The effect of domain shape on the number of positive solutions of certain nonlinear equations // J.Differential Equat. 1988. V.74, N 1. P.120-156.

247. Degond P. Local existence of solutions of the Vlasov-Maxwell equations and convergence to the Vlasov-Poisson system for infinite light velocity // Math. Meth. Appl. Sci. 1986. V.8. P.533-558.

248. Degond P. Solutions stationnaires explicites du syst/eme de Vlasov-Maxwell relativiste // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1990. V.310. P.607-612.

249. Demeio L. Linear stability of the spatially homogeneous equilibria of the Vlasov-Poisson system with collisions // Repts. Math. Phys. 1997. V.40, N 3. P.455-464.

250. De Mottoni P., Schiaffino A., Tesei A. Attractivity properties of Nonnegative solutions for a class of nonlinear degenerate parabolic problems// Ann. Math. Рига Appl. 1984. v.136. P.35-48.

251. Di Perna R.J., Lions P.L. Global weak solutions of Vlasov-Maxwell systems // Commun. Pure and Appl. Math. 1989. V.42, N 6. P.729-757.

252. Di Perna R.J., Lions P.L. Global weak solutions of kinetic equations // Rend. Sem. Mat. Univ. Politech. Torino. 1988. V.46, N 3. P.259-288.

253. Dolbeault J. Stationary states in plasma physics: Maxwellian solutions of the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1991. V.l. P.183-208.

254. Fowler Т.К. Lyapunov's stability criteria for plasmas // J.Math. Phys. 1963. V.4, N 4. P.559-569.

255. Fridman A., Tintarev K. Boundary asymptotics for solutions of the Poisson-Boltzmann equation // J.Differ. Equat. 1987. V.69, N 1. P.15-38.

256. Fronteau J. Le theoreme de Liouville et le probleme general de la stabilite // Preprint. N 65-38. Geneve. CERN. 1965.

257. Fronteau J. Vers une description non conservative de revolution en physique // Hadronic J. 1979. V.2. P.727-829.

258. Fronteau J., Combis P. A Li-admissible method of integration of Fokker-Plank equations with nonlinear coefficients (exact and numerical solutions) // Hadronic J. 1984. V.7. P.911-930.

259. Galaktionov V.A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat conduction equations with source and applications // J.Differential and Integral Equations. 1990. V.3, N 5. P.863-874.

260. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solution to evolution equations with quadratic nonlinearities // School of Mathematics. Univ. Bristol. 1991. Report N AM-91-11. 39P.

261. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solution to evolution equations with quadratic nonlinearities // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1995. V.125A. P.225-246.

262. Giacomoni J. Global bifurcation results for semilinear elliptic problems in // Commun. in partial differential equations. 1998. V.23, N 11-12. P. 1875-1927.

263. Glassey R.T., Strauss W.A. Singularity formation in a collisionless plasma could occur only at high velocities // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V.92. P.59-90.

264. Glassey R.T., Strauss W.A. High velocity particles in a collisionless plasma // Math. Meth. Appl. Sci. 1987. V.9. P.46-52.

265. Glassey R.T., Strauss W.A. Large velocities in the relativistic Vlasov Maxwell equations // J.Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA. Math. 1989. V.36.P.615-627.

266. Gogny D., Lions P.L. Sur les etats d'equilibre pour les densites electroniques dans les plasmas // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1989. V.23, N 1. P.137-153.

267. Gough J.S. On solution continua of supercritical quasilinear elliptic problems // J. Differential and Integral Equations. 1994. V.7, N 6. P. 1453-1471.

268. Greengard C., Raviart P.A. A boundary-value problem for the stationary Vlasov-Poisson equations: the plane diode // Commun. Pure. Appl. Math. 1990. V.43. P.473-507.

269. Guiasu S. Sur les systemes physiques avec les conditions initiales aleatoires // Rev. roum. de math, pures et appl. 1967. V.12, N 9. P.1271-1281.

270. Guo Y. Global weak solutions of the Vlasov-Maxwell system with boundary conditions // Commun. Math. Phys. 1993. V.154. P.245-263.

271. Guo Y., Strauss W. Nonlinear instability of double-humped equilibria // Ann. Inst. Henri Poincare. 1995. V.12. P.339-352.

272. Guo Y. Stable magnetic equilibria in collisionless plasmas // Commun. Pure and Appl. Math. 1997. V.50, N 9. P.891-933.

273. Guo Y., Grotta R. On steady states in a collisionless plasma // Commun. Pure and Appl. Math. 1996. V.49. P.1145-1174.

274. Guo Y., Rein G. Stable steady states in stellar dynamics // Preprint. 1998.

275. Herrero M.A. A limit case in nonlinear diffusion // Nonlinear Anal TMA. 1989. V.13, N 6. P.611-628.

276. Hesse M., Schindler K. Bifurcation of current sheets in plasmas // Phys. Fluids. 1986. V.29, N 8. P.2484-2492.

277. Holden H., Lindstrom Т., Oksendal В., Uboe J. The Burgers equation with a noisy forse and the stochastic heat equation // Commun. in partial differential equations. 1994. V.19, N 1-2. P.119-141.

278. Holm P., Marsden J., Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria // Phys. Rep. 1985. V.123. N 1-2. P.l-116.

279. Horst E. On the classical solution of the initial value for the unmodified non-linear Vlasov equation // Math. Methods Appl. Sci. Part 1. 1981. V.3. P.229-248; Part 2. 1982. V.4. P. 19-32.

280. Horst E. Global solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Ph. D. Dissertation. Universitat Munchen. 1986.

281. Horst E. Symmetric plasmas and their decay // Commun. Math. Phys. 1990. V.126. P.613-633.

282. Horst E. On the asymptotic growth of the solutions of the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1993. V.16. P.75-85.

283. Hyman J.M., Rosenau P. Analysis of nonlinear parabolic equations modeling plasma diffusion across a magnetic field // Lecture in Appl. Math. 1986. V.23. P.219-245.

284. Kaplan W. Some methods for analysis of the flow in phase space // Proc. of the symposium on nonlinear circuit analysis. New York. 1953. P.99-106.

285. Kaptsov O.V. B-determining equations: applications to nonlinear partial differential equations // Euro. J. Appl. Math. 1995. V.6. P.265-286.

286. Kaptsov O.V. Determining equations and differential constrains // J. Nonlinear. Math. Phys. 1995. V.4, N 1. P.283-291.

287. Kersner R., de Mottoni P. Support properties of non-negative solutions of a degenarate logistic equation // Nonlinearity. 1990. V.3, N 2. P.453-474.

288. King J.R. Exact solutions to some nonlinear diffusion equations // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1989. V.42, N 4. P.419-436.

289. King J.R. Exact multidimensional solutions to some nonlinear diffusion equations // Quart.J.Mech.Appl.Math. 1993. V.46, N 3. P.419-436.

290. Kruse K.O., Rein G. A stability result for the relativistic Vlasov-Maxwell system // Arch. Rat. Mech. Anal. 1992. V.121. P.187-203.

291. Krzywicki A., Nadzieja T. Poisson-Boltzmann equation in R3 // Annales Polon. Math. 1991. V.54, N 2. P.125-134.

292. Kwong Y.C. Interior and boundary regularity of solutions to a plasma type equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.104, N 2. P.472-478.

293. Lewis H.R., Barnes D.C., Melendez K.J. The Liouville theorem and accurate plasma simulation // J.Comput. Phys. 1987. V.69. P.267-282.

294. Lions P.L. On the existence of positive solutions of semilinear elliptic equations // SIAM Review. 1982. V.24, N 4. P.441-467.

295. Lions P.L., Perthame B. Propagation of moments and regularity for the 3-dimensional Vlasov-Poisson system // Invent. Math. 1991. V.105. P.415-430.

296. Liouville J. Note sur la theorie de la variation des constantes arbitraires //J. math, pures et appl. 1838. N 3. P.342-349.

297. Mahajan S.M. Exact and almost exact solutions to the Vlasov-Maxwell system // Phys. Fluids. B. 1989. V.l, N 12. P.43-54.

298. Marchioro C., Pulvirenti M. A note of the nonlinear stability of a spatially symmetric Vlasov-Poisson flow // Math. Meth. Appl. Sci. 1986. V.8. P.284-288.

299. Markov Yu.A., Rudykh G.A., Sidorov N.A., Sinitsyn A.V. Some families of solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // IMACS Ann. Comput. Appl. Math. 1990. V.8. P.197-203.

300. Markov Yu., Rudykh G., Sidorov N., Sinitsyn A., Tolstonogov D. Steady- state solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // Acta Appl. Math. 1992. V.28, N 3. P.253-293.

301. Markowich P.A., Ringhofer C., Schmeiser C. Semiconductor equations. Wien: Springer. 1990.

302. Marsden J.E., Weinstein A. The Hamiltonian structure of the Maxwell-Vlasov equations // Physica D. 1982. V.4. P.394-406.

303. Marsden J.E. A group theoretic approach to the equations of plasma physics // Canad. Math. Bull. 1982. V.25. P.129-142.

304. Meirmanov A.M., Pukhnachev V.V., Shmarev S.I. Evolution equations and Lagrangian coordinates. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1997.

305. Misra B. Nonequilibrium entropy, Lyapunov variables, and ergodic properties of classical systems // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1978. V.75, N 4. P.1627-1631.

306. Morrison P.J. The Maxwell-Vlasov equations as a continuous Hamiltonian system // Phys. Letters. 1980. V.80A. P.383-386.

307. Munier A., Burgan R.J., Gutierrez J., Fijalkov E., Feix M.R. Group transformations and the nonlinear heat diffusion equation // SIAM J.Appl. Math. 1981. V.40, N 2. P.191-207.

308. Neunzert H., Petry K.H. Ein existenzsaft fur die Vlasov gleichung mit selbstkonsistentem magnetfeld // Math. Meth. Appl. Sci. 1980. V.2, N 4. P.429-444.

309. Olver P.J. Symmetry and explicit solutions of partial differential equations //Preprint University of Minnesota. 1991.

310. Olver P.J. Direct reduction and differential constrains // Proceedings Roy. Soc. London. A. 1994. V.444, N 1922. P.509-523.

311. Peletier M.A., Zhang H. Self-similar solutions of a fast diffusion that do not conserve mass // J.Differential and Integral Equations. 1995. V.8, N 8. P.2045-2064.

312. Perthame B. Time decay, propagation of low moments and dispersive effects for kinetic equations // Commun. Partial Differential Equations. 1996. V.21. P.659-686.

313. Pfaffelmoser K. Globale klassische losungen des dreidimensionalen Vlasov-Poisson systems // Ph.D. Dissertation. Munich. 1989.

314. Pfaffelmoser K. Global classical solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions for general initial data // J.Differ. Equat. 1992. V.95. N 2. P.281-303.

315. Poupaud F. Solutions stationnaires des equations de Vlasov-Poisson // C.R. Acad. Sci. Paris. 1990. V.311. Ser.I. P.307-312.

316. Poupaud F. Boundary value problems for the stationary Vlasov-Maxwell system // Forum Math. 1992. V.4. P.499-527.

317. Rein G. Das Verhalten Klassischer Losungen des relativischen Vlasov-Maxwell-Systems bei kleinen Storungen der Anfangsdaten und Aussagen iiber globale Existenz // Ph. D. Dissertation. Universitat Mimchen. 1989.

318. Rein G. Generic global solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Commun. Math. Phys. 1990. V.135. P.41-78.

319. Rein G. Existence of stationary, collisionless plasmas in bounded domains // Math. Meth. Appl. Sci. 1992. V.15. P.365-374.

320. Rein G. Non-linear stability for the Vlasov-Poisson system-the energy-Casimir method // Math. Meth. Appl. Sci.1994. V.17, N 1. P.1129-1140.

321. Rein G. Growth estimates for the solutions of the Vlasov-Poisson system in the plasma physics case // Math. Nachr. 1998. V.191. P.269-278.

322. Rosenau P., Hyman J. Plasma diffusion across a magnetic field // Phys. D. 1986. V.20. P. 444-446.

323. Rosenau P., Turkel E. Long time asymptotic of system for plasma diffusion // TTSP. 1987. V.16, N 2-3. P.377-391.

324. Rubinstein I. Counterion condensation as an exact limiting property of solution of the Poisson Boltzmann equation // SIAM J. Appl. Math. 1986. v.46. P.1024-1038.

325. Rudykh G.A., Semenov E.I. Commutational representations and Backlund transformations for the one dimensional nonlinear equation of evolution // Differential equations and control theory. 1991. V.250. P.289-295.

326. Rudykh G.A., Semenov E.I. Application of Liouville's equation to construction of special exact solutions for the quasilinear heat equation // IMACS Ann. Comput. and Appl. Math. 1990. V.8. P.193-196.

327. Schaeffer J. Global existence of smooth solutions to the Vlasov- Poisson system in three dimensions // Commun. Part. Differ. Equat. 1991. V.16. N 8-9. P.1313-1335.

328. Schwarz G. On electromagnetic fields in the hamiltonian description of continua // Reports Math. Phys. 1986. V.24. P.293-304.

329. Steeb W.H. Generalized Liouville equation, entropy and dynamic systems containing limit cycles // Physica A. 1979. V.95, N 1. P. 181-190.

330. Ukai S., Okabe T. On classical solution in the large in time of two-dimensional Vlasov's equation // Osaka J. Math. 1978. V.15. P.245-261.

331. Wan Y.H. Nonlinear stability of stationary spherically symmetric models in stellar dynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1990. V.112. P.83-95.

332. Weckler J. On the initial-boundary-value problem for the Vlasov-Poisson system: existence of weak solutions and stability // Arch. Rat. Mech. Anal. 1995. V.130. P.145-161.

333. Weinstein A., Morrison P. Comment on: the Maxwell-Vlasov equations as a continuous hamiltonian system // Phys. Lett. 1981. V.86A. P.235-236.

334. Wollman S. An existence and uniqueness theorem for the Vlasov-Maxwell system // Commun. Pure Appl. Math. 1984. V.37. P.457-462.