Математическое моделирование процессов в СВЧ-электронике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Асимптотический анализ уравнений Максвелла

1.1. Основные обозначения и сведения

1.2. Проблема приближенной постановки начально-краевой задачи для системы Максвелла в случае проводящей границы

1.3. Регулярное асимптотическое разложение решения системы Максвелла в проводнике

1.4. Асимптотические оценки регулярного разложения решения системы Максвелла в проводнике.

1.5. Анализ главных членов асимптотики решения сингулярно возмущенной системы Максвелла.

Глава 2. Исследование обобщенного оператора Максве-лла-Леонтовича

2.1. Граничные условия для уравнений Максвелла в случае произвольной зависимости от времени.

2.2. Характеризация в смысле теории следов новых граничных условий

2.3. Оператор Максвелла с новыми граничными условиями в пространстве М(Ят) ♦ ••.

2.4. Оператор Максвелла с новыми граничными условиями в соленоидальном пространстве

Глава 3. Математические модели релятивистских электронных пучков и алгоритмы их реализации

3.1. Основные уравнения

3.1.1. Безызлучательный режим

3.1.2. Излучательный режим.^.

3.2. Дискретная модель

3.2.1. Численное моделирование транспортировки СЭП в безызлучательнои модели.

3.3. Условно-корректная постановка задачи продолжения магнитного поля.

3.4. Вычисление констант в оценке сходимости для сплайнов

3.5. Численный алгоритм продолжения

3.6. Уравнения возбуждения.

Глава 4. Моделирование процессов в СВЧ-приборах 11J

4.1. Математическая модель стационарной самосогласованной задачи.

4.1.1. Расчет электростатического потенциала.

4.1.2. Расчет внешних магнитных полей.

4.1.3. Интегрирование уравнений движения.

4.2. Формирование интенсивного слабо осциллирующего потока релятивистских электронов при сильной магнитной компрессии.

4.3. Численное исследование формирования виртуального катода в трубе дрейфа при инжекции встречных электронных пучков.

4.4. Моделирование квазистационарных состояний систем с виртуальным катодом при инжекции электронных пучков с неоднородными профилями плотности в трубу дрейфа

4.4.1. Анализ механизма модуляции.

4.4.2. Неустойчивость пучка осциллирующих электронов

Теоретические исследования и методы математического моделирования процессов распространения высокоэнергетических релятивистских пучков заряженных частиц в современных приборах мощной СВЧ-электроники лежат в основе решения широкого круга научно-технических проблем. Под сверхвысокими частотами (СВЧ) понимают электромагнитные колебания с частотой / — 3 • 107 3 • 1012 Гц. Длины волн Л СВЧ-колебаний, связанные с частотой соотношением с = /А, где с = 3 • 10® м/сек - скорость света в вакууме, лежат в диапазонах метровых, дециметровых, сантиметровых, миллиметровых и субмиллиметровых волн. Благодаря уникальным свойствам потоков электронов их широко используют в различных областях науки и техники. Область их практического применения огромна: от проблем управляемого термоядерного синтеза до стерилизации продуктов и медикаментов. Так, генерирование ускоренными потоками электронов рентгеновского излучения, обладающего высокой проникающей способностью, стимулировало интенсивное развитие рентгенотехники. Концентрированные пучки электронов с высокой мощностью применяют для переплавки материалов., резки и сварки тугоплавких металлов с достижением качества, недоступного при использовании традиционных методов обработки. Расширение сферы применения таких пучков требует непрерывных усилий по совершенствованию методов генерирования, формирования и транспортировки интенсивных потоков электронов, по увеличению энергии, тока, интенсивности. Возникающие при этом явления приводят к необходимости изучения весьма сложных задач математической физики, которые принято называть самосогласованными.

Достаточно полной математической моделью, описывающей рассматриваемую проблему, является система дифференциальных уравнений в частных производных, состоящая из кинетического уравнения Власова для функции распределения электронов и уравнений Максвелла для самосогласованных электромагнитных полей с необходимыми начальными и краевыми условиями. Имея в виду моделирование динамических процессов в приборах СВЧ-электроники, будем в данной работе рассматривать исключительно случай ограниченной области.

Если считать известными в заданной области распределения плотности зарядов и плотности токов, а диэлектрическая постоянная с и магнитная проницаемость ¡л среды не зависят от электромагнитных явлений, протекающих в среде, то уравнения Максвелла представляют собой линейную систему дифференциальных уравнений в частных производных. Линейность имеет место и для кинетического уравнения Власова в случае известной силы Лоренца, выражающейся через электромагнитное поле. Совместная же система уравнений Власова-Максвелла знание этих функций не предполагает, и является в силу этого существенно нелинейной.

Важным этапом при исследовании общей нелинейной системы Власова-Максвелла является отдельное изучение линейных уравнений Максвелла и Власова.

Решение системы уравнений Максвелла для моделирования электромагнитных полей (ЭМП) в электродинамических системах, ограниченных металлическими стенками, является самостоятельной важной научной и прикладной проблемой. При высоких частотах, когда длины волн имеют величину порядка метра или меньше, в современной СВЧ-электронике больших мощностей для генерирования и передачи электромагнитного излучения широко используются электродинамические системы, состоящие из металлических конструкций, размеры которых сравнимы с длиной волны.

Стационарная и нестационарная системы Максвелла представляют несомненный интерес также и с чисто математической точки зрения, поскольку они не укладываются в изученные классы дифференциальных уравнений и обладают яркими специфическими свойствами. Детальный анализ начально-краевых задач для линейной системы уравнений Максвелла весьма полезен также при изучении нелинейной системы уравнений магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости.

Применение функциональных методов при изучении начальнокраевых задач для стационарной и нестационарной систем Максвелла, приводит к необходимости исследования оператора Максвелла в соответствующих пространства*, и с соответствующей областью определения, обусловленной рассматриваемыми краевыми условиями.

В простейшем случае при расчете ЭМИ в электродинамических системах с металлическими стенками пренебрегают конечной проводимостью последних, т.е. считают ее бесконечной, и на границе расчетной области ставят условия идеальяой-вроводимости для электрической и магнитной составляющих ЗМГь

Если граница области является достаточно гладкой, то оператор Максвелла при краевых условиях, отвечающих идеальной проводимости границы, является косоашосопряжешшм (самосоиряжетшм в комплексном случае) оператором и его свойства изучены в этом случае, наиболее полно [1.9 -21,52,102,136].

Однако, более реальная для приложений ситуация связана с нерегулярностью границы и ее неидеальностью. В связи с э тим основные современные исследования дайной проблемы сосредоточены на этих, двух направлениях.

В работах: - M.III. Бирмана и МЛ. Солом як а [5-11] рассматривается случай идеально ироводящей , по негладкой грапацы -и »возникающие в связи с этим специфические проблемы "правильного* определения оператора Максвелла и его исследования. Авторами по казаяо, как надо точно определить оператор Максвелла в случае» негладкой границы, чтобы он был самосопряженным- оператором в ком-нлекспом пространстве квадрати^йю-суммяруемых век-тор-функци-й. Ими также дано аналитически удобное описание функций из области определения оператора Максвелла, кроме того, приводится содержательная мотивировка выбора принятой самосопряженной реализации оператора Максвелла. Принятый авторами, подход не опирается на предварительное изучение оператора Максвелла в областях с гладкой границей. Напротив, получено независимое изложение и для этого случая, и в отличие, например, от [19-21] пе используются априор ные оценки, т.к. они могут нарушаться для негладкой границы. N. Weck в [162] другим путем получил в конечном счете эквииалсытные результаты.

Второе направление связано с исследованием начально-краевых задач для системы Максвелла при невдеальных краевых условиях.

В случае гармонической зависимости от времени всех величин в уравнениях Максвелла для комплексных амплитуд ЭМП обычно ставят граничные условия М.А. Леонтовича [75], которые позволяют учесть в первом приближении эффекты, обусловленные конечной проводимостью металлических стенок.

Однако в случае стенок произвольной конфигурации в этом случае требуется дополнительное математическое обоснование, т.к. классический вывод условий М.А. Леонтовича основан на упрощенном решении одномерного уравнения для ЭМП в проводящем полупространстве. Такое обоснование получено автором и является частным случаем результатов работ [118,120,153,160].

При рассмотрении стационарной задачи для комплексных амплитуд ЭМП граничные условия М.А. Леонтовича порождают уже несамосопряженный оператор Максвелла в комплексном пространстве. Изучению стационарных граничных задач и стационарного оператора Максвелла при граничных условиях М.А. Леонтовича посвящены работы [60,67].

Далее следуют работы [61,62,155], в которых для случая произвольной зависимости от времени входящих в систему Максвелла величин для электрической и магнитной составляющих ЭМП на границе области формально ставятся условия М.А. Леонтовича и исследуется полученный таким образом нестационарный оператор Максвелла. Однако условие М.А. Леонтовича получено исключительно для комплексных амплитуд ЭМП, гармонически зависящего от времени [75], и при произвольной временной зависимости это условие, вообще говоря, теряет физический смысл, а исследование в такой постановке оператора Максвелла имеет лишь чисто математический интерес.

В настоящее время становится актуальным вопрос о содержательной постановке импедансных граничных условий и в случае произвольной зависимости ЭМП от времени. Такая необходимость возникает, в частности, при численном моделировании переходных процессов в электродинамических системах, при моделировании процессов в новых современных СВЧ-генераторах виркаторах и др. Данный вопрос имеет и самостоятельный теоретический интерес.

В диссертации рассматривается подход к численному моделированию ЭМП с произвольным изменением по времени в непроводящей среде (например вакууме), ограниченной проводником, с учетом проникновения ЭМП вглубь проводника. Методом асимптотического разложения решений сингулярно возмущенных уравнений показано [118,120], что поведение ЭМП в проводнике имеет погранслойный характер. Анализ главных членов асимптотики векторов напряжен-ностей электрического и магнитного полей в проводнике дает как обоснование в общем случае классической теории скин-эффекта, так и обобщение ее на случай произвольной зависимости ЭМП от времени. В качестве следствия получено обобщение граничных условий М.А. Леонтовича [120,153,160]. В работе приводятся также оценки, характеризующие погрешность асимптотических решений в проводнике [118]. В качестве приложения новых граничных условий получено обобщение амплитудных уравнений метода разложения по собственным функциям резонатора в задаче возбуждения неидеального резонатора сторонним током [120].

В последнее время возрос интерес к математическому исследованию различных приближенных моделей описания ЭМП [136,155]. Такие модели получаются из общей системы Максвелла путем отбрасывания некоторых несущественных для рассматривамой ситуации членов. Наиболеее важными для приложений являются модели Дарвина и квазистационарная. В модели Дарвина пренебрегают конечностью скорости распространения ЭМП. Поэтому уравнения модели Дарвина приобретают вид системы эллиптических уравнений, в отличие от полной системы гиперболических уравнений Максвелла. Однако модель Дарвина включает в себя не только электростатические и магнитостатические эффекты, но также и индуктивные, связанные с законом Фарадея. Это приводит, в свою очередь, к проникновению ЭМП в область проводника, ограничивающего рассматриваемую вакуумную область и к проблеме постановки неидеальных граничных условий для системы уравнений Дарвина, которые достаточно адекватно описывали бы явление диссипации энергии. Данной проблеме посвящен ряд зарубежных работ [153,165]. Тем не менее полученные по этой проблеме результаты имеют лишь частный характер.

В случае идеальных граничных условий для этих приближенных моделей достаточно полное математическое исследование выполнено в работе П. Дегонда и П.А. Равьяра [136].

В работе П.А. Равьяра и Е.А. Зоннендрюкера [155] изучение приближенных моделей Дарвина и квазистадионарной ведется при краевых условиях Сильвера-Мюллера, как их назвали авторы. Однако так названные ими краевые условия есть ни что иное, как с ошибкой написанные условия М.А. Леонтовнча. Применение подобных краевых условий для вещественных ЭМП в случае произвольной временной зависимости, как уже отмечалось, с физической точки зрения не является оправданным. Тем не менее, с математической точки зрения рассмотренные начально-краевые задачи с такими краевыми условиями являются малоисследованными и авторами разработана интересная теория, которая может найти применение и для случая более реалистичных граничных условий.

Численное моделирование процессов, связанных с формированием виртуального катода (ВК) при распространении сильноточных электронных пучков (СЭП) в пространство дрейфа, представляет интерес как для определения условий эффективной транспортировки пучка в вакууме, так и для возбуждения мощных электромагнитных импульсов. В настоящее время наиболее полно изучены вопросы о предельном токе транспортируемого в вакууме пучка [13,25,131,157]. Что касается существующих численных исследований, направленных на моделирование процессов возбуждения электромагнитных колебаний при формировании ВК [3,27,28,56,101,103,127", 151], то их явно недостаточно, чтобы объяснить имеющиеся экспериментальные результаты [50,54] и установить влияние условий формирования ВК на спектр и уровень мощности возбужденных колебаний. Аналитически эти задачи в линейном приближении исследовались в работах [49,144]. Для их исследования в более общем случае с учетом нелинейных коллективных взаимодействий в сильноточных пучках в настоящей работе представлена нестационарная модель [42,43,93,94], описывающая формирование ВК при инжекции СЭП в пространство дрейфа и возбуждение электромагнитных колебаний в резонансных объемах. При этом предполагается, что внешние системы и пучок в момент инжекции осесимметричны и помещены во внешнее продольное магнитное поле Во.

Достаточно полной математической моделью, описывающей рассматриваемую проблему, является система дифференциальных уравнений, состоящая из кинетического уравнения Власова для функции распределения электронов и уравнений Максвелла для самосогласованных электромагнитных полей с необходимыми начальными и краевыми условиями.

Однако численная реализация такой общей самосогласованной осесимметричной модели динамика СЭП в резонансном объеме с учетом отбора СВЧ-энергии является в настоящее время чрезвычайно трудной вычислительной задачей.

Некоторое представление о вычислительных трудностях при моделировании систем с ВК может дать знакомство с кодами, описанными, например, в [ 3,56,101,103].

При решении задачи возбуждения и генерации микроволнового излучения большое значение для анализа результатов расчета имеет разделение априори напряженности электрического поля Е на потенциальную и вихревую части. В известных кодах считается полное поле Е, что существенно затрудняет анализ собственно процессов возбуждения и генерации.

Немаловажное значение имеет и то, как считаются поля. Использование конечно-разностных схем, явных или неявных, для численного решения системы Максвелла относительно полных ЭМП приводит при длительном счете, как правило, к "сеточным эффектам", т.е. к аномальному возбуждению в моделируемой системе нормальных мод ЭМП, не имеющих физического смысла.

Значительного уменьшения "сеточных эффектов" можно добиться использованием в кодах консервативных разностных схем, в которых выполнены законы сохранения для всей системы " частицы-поле" [101] на дискретном уровне.

Перечисленные выше вычислительные проблемы и объясняют тот факт, что известные программы [56,101,103], реализующие для расчета электромагнитных полей гиперболические уравнения, позволяют описать лишь процесс образования ВК с достаточно полным соответствием теоретическим и экспериментальным результатам по сверхкритическим токам СЭП, транспортируемых в цилиндрических вакуумных камерах. Однако, практически идентичные численные результаты получаются на этапе формирования ВК и в рамках нестационарной электростатической модели [42,43]. В связи с этим возникает необходимость в альтернативных подходах к решению задач электродинамики в системах с ВК, снимающих хотя бы частично отмеченные трудности.

В данной работе предлагается комбинированный подход к численному моделированию нестационарных процессов в системах с ВК [42,43].

На первом этапе моделируется процесс образования ВК в безызлу-чательном пределе по модели Дарвина [153], в которой приближенные уравнения Максвелла в терминах скалярного и векторного потенциалов приобретают эллиптический, а не гиперболический вид. Уравнения поля в данном случае описывают лишь мгновенное дальнодействие, и следовательно, электромагнитное поле определяется в каждый момент времени через незапаздывающие координаты и скорости частиц. Модель Дарвина включает в себя не только электростатические и магнитостатические эффекты, но также и индуктивные, связанные с законом Фарадея. Расчет динамики СЭП методом частиц в рамках модели Дарвина не приводит к нефизическим возбуждениям мод (в силу безызлучательности самой модели) и позволяет выявить на достаточно большом временном интервале колебательный характер плотности тока СЭП и его спектральный состав. Однако реализация осесимметричной модели Дарвина приводит к значительным трудностям в преодолении численных неустойчивостей, обусловленных теперь уже мгновенным дальнодействием. Некоторые подходы к устранению подобных неустойчивостей в двумерных программах численного моделирования динамики разреженной плазмы в рамках модели Дарвина рассматриваются в работе [153].

На втором этапе моделируется процесс возбуждения электромагнитных волн, обусловленный динамикой ВК, и производится анализ колебательного состояния системы СЭП-резонатор. Для моделирова,-ния излучения в модель Дарвина добавляется резонансная часть электромагнитного поля, которая представляется конечным отрезком ряда по собственным функциям резонатора. Такое представление приведет к снижению различного рода неустойчивости пульсаций, присущих методу сеток при решении уравнений Максвелла, в частности, к снижению черенковской неустойчивости. Для выбора возможных резонансных членов этого ряда предварительно осуществляется расчет первых собственных частот и нормальных мод осесимметричного резонатора и выполняется спектральный анализ временной последовательности значений интеграла по объему резонатора от плотности тока СЭП, полученных на первом этапе моделирования в безызлуча-тельном приближении. Наличие близких между собой значений этих двух спектральных последовательностей служит признаком для отбора соответствующей гармоники в резонансную часть электромагнитного поля. Амплитуды гармоник определяются в каждый момент времени либо из простейших уравнений возбуждения [64], либо из более общих, полученных автором в работе [120].

Такая приближенная излучательная модель позволяет описать процесс возможного резонансного возбуждения системы нестационарным СЭП с учетом всех основных электродинамических явлений, включая и учет отбора энергии вихревого поля через нагруженные добротности в уравнениях возбуждения. В такой модели отсутствует также возможность развития численных неустойчивостей, обусловленных аномальным возбуждением собственных мод.

Приведенные в диссертации результаты по данной проблеме носят в значительной степени постановочный характер, обусловленный разработкой достаточно эффективной приближенной математической модели для расчета систем с ВК. В рамках разработанного пакета прикладных программ (ППП) ЭДС-2 для моделирования стационарных и нестационарных потоков заряженных частиц [33,36,4043,45,46,68,93,94,117] последовательно реализуется иерархия нестационарных моделей "снизу-вверх", в которой каждая последующая модель является обобщением предыдущей.

В заключение приводятся результаты численного моделирования динамики СЭП, инжектируемого в цилиндрическую камеру, торцы которой состоят из тонкой металлической фольги, прозрачной для электронов потока. Полученные результаты в рамках простейшей нестационарной электростатической модели хорошо соответствуют теоретическим и экспериментальным данным о предельном токе транспортируемого в вакууме СЭП.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений.

Заключение

В диссертации получены и представляются к защите следующие основные результаты:

1. Методами асимптотического разложения решений регулярно и сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений исследовано поведение электромагнитного поля в однородном проводнике:

- доказаны теоремы существования и оценки устойчивости решений для векторных начально-краевых задач, возникающих при асимптотическом разложении электромагнитного поля в проводнике;

- доказана теорема об асимптотической сходимости полученных разложений в Ь2 - норме.

2. Получено новое граничное условие для уравнений Максвелла в случае произвольной зависимости от времени. Это граничное условие является приближенным с тем же порядком точности, что и классическое условие М.А. Леонтовича, и обобщает последнее на случай произвольной зависимости от времени.

3. На основе полученных граничных условий выведены йовые . уравнения для,расчета амплитуд неидеальных вихревых электромагнитных = полей в методе разложения по собственным функциям идеального резонатора. Эти уравнения для амплитуд пригодны для произвольного изменения вихревого поля от времени.

4. Доказаны теоремы о характеризации новых граничных условий в смысле теории следов. Определен и исследован несамосопряженный оператор Максвелла, порождаемый новыми граничными условиями. Для такого оператора установлено:

- описание сопряженного оператора;

- свойство диссипативности;

- существование вполне непрерывного обратного оператора.

5. Для реализации общей самосогласованной модели В ласова-Макс-велла предложен и обоснован ряд оригинальных вычислительных алгоритмов для решения отдельных подзадач. Предложен и теоретически обоснован условно-устойчивый алгоритм продолжения магнитного поля с оси симметрии в приосевую область с пучком.

6. Разработаны и реализованы алгоритмы решения самосогласованной системы Власова-Максвелла для моделирования осе-симметричных стационарных и нестационарных сильноточных электронных пучков в виде программного комплекса ЭДС-2.

7. Выполнено моделирование ряда разрабатываемых перспективных приборов СВЧ-электроники:

- моделирование электронно-оптической системы, формирующей интенсивный слабо осциллирующий поток релятивистских электронов при сильной магнитной компрессии;

- численно исследовано формирование виртуального катода в трубе дрейфа при инжекции встречных электронных пучков;

- численно изучены основные характеристики квазистадио-нарных состояний систем с виртуальным катодом.

1. Арсеньев A.A. Оценки скорости сходимости метода частиц для уравнения Власова // Ж. вычис. матем. и матем. физ. - 1987. - Т.27, N.4. - С. 557-563.

2. Арсеньев A.A. Об оценках скорости сходимости метода частиц / Препринт.- М.:ИПМ, 1985. №29. - 8 С.

3. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: Наука, 1980. - 94 С.

4. Библиотека программ "LIDA-3" по аппроксимации функций и цифровой фильтрации сигналов и изображений. 4.1. Аппроксимация. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987. - 169 С.

5. Бирман М.П1. Об операторе Максвелла в областях с ребрами //Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1985. - T.147. - С. 3-9.

6. Бирман М.Ш. Оператор Максвелла для резонатора с входящими ребрами // Вестн. ЛГУ. 1986. - сер.1, вып.З. - С. 3-8.

7. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Вейлевская асимптотика спектра оператора Максвелла для областей с липшицевой границей // Вест. ЛГУ. 1987. - сер.1, вып.З - С. 23-28.

8. Бирман М.Щ., Соломяк М.З. Главные особенности электрической составляющей электромагнитного поля в областях с экранами // Алгебра и анализ. 1993. - Т.5, №1. - С. 143-159.

9. Бирман M.QL, Соломяк М.З. Самосопряженный оператор Максвелла в произвольных областях // Алгебра и анализ. -1989. Т.1, Ш. - С. 96-110.

10. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Оператор Максвелла в областях с негладкой границей // Сиб. мат. журн. 1987. - Т.28, №1. -С. 23-36.

11. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. L2 теория оператора Максвелла в произвольных областях // УМН. - 1987. - Т.42, вьш.6. - С.61.76.

12. Влейвас И.М., Ильин В.П., Урев М.В., Юдин А.Н. Пакет программ ЭДС-3 для моделирования стационарных трехмерных пучков заряженных частиц на ЭВМ ЕС // Тезисы докладов 9 Всесоюзного семинара "Методы расчета ЭОС". Ташкент. -1988. С. 4.

13. Богданкевич Л.С., Рухадзе A.A. Устойчивость релятивистских электронных пучков в плазме и проблема критических токов // Усп. физ. наук. 1971. - Т.103, №4. - С. 609-640.

14. Боговский М.Е. Решение некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad // Труды сем. С.Л. Соболева, Новосибирск. 1980. - №1. - С. 5-40.

15. Братман В.Л., Гинзбург Н.С., Нусинович Г.С. и др. Циклотронные и синхронные мазеры // Релятивистская высокочастотная электроника: Сб. науч. тр. / ИПФ АН СССР, 1979. -вып.1. С. 157-216.

16. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. МлНаука, 1964. - 608 С.

17. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972. - 687 С.

18. Бутузов В.Ф., Нефедов H.H., Федотова Е.В. Асимптотическое решение линеаризованной задачи о распространении звука в ограниченной среде с малой вязкостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. - Т 27, №2. - С. 226-236.

19. Быховский Э.Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально проводящей границы // Вест. ЛГУ. 1957. - №13. - С. 50-66.

20. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа // Труды МИ АН СССР. - 1960. -Т.59. - С. 5-36.

21. Быховский Э.Б. Оценка вектора через его ротор и начально -краевая задача электродинамики в случае смешанных граничных условий // Вест. ЛГУ. 1961. - №19, вып.4. - С. 161-164.

22. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.- 272 С.

23. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. - 280 С.

24. Волков Б.И. К расчету стационарного движения пучка заряженных частиц во внешних полях // Ж. вычис. матем. и матем. физ. 1969. - Т.9, №4. - С. 961-967.

25. Воронин B.C., Зозуля Ю.Т., Лебедев А.Н. Самосогласованные стационарные состояния потока релятивистских электронов в пролетном пространстве // Ж. техн. физики. -1972. Т.42, №3. - С. 546-552.

26. Гаевский X., Грегер К., Захарис К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения М.: Мир, 1978. - 336 С.

27. Гинзбург С.Л., Дъяченко В.Ф. Двумерная нестационарная модель распространения электронного пучка в вакууме. / Препринт. М>: ИПМ АН СССР, 1979. №51. - 22 С. :

28. Гинзбург СЛ., Дъяченко В.Ф.,' Ходатаев К.В. Исследование динамики распространения РЭП в проводящей нерассеивающей среде на двумерной кинетической модели. / Препринт. М.: ИПМ АН СССР - 1982. №65 - 21 С.

29. Г лазер В. Основы электронной оптики. М.: Гостехиздат, 1957 - 763 С.

30. Гласко В.Б., Ольховская Н.й. Об одной задаче синтеза в ЯРМ томографии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1989. -Т.29, №7. - С. 1036-1044.

31. Головин Г.Т. О точности и эффективности различите методов решения стационарных самосогласованных задач //Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1985. - Т.25,№8. - С. 1220-1234.

32. ГололобоваС.П., Урев М.В. Система модульного программирования МОПР: функциональные характеристики, опыт эксплуатации //В сб.: Численные методы и пакеты программ для решения уравнении математической физики. Новосибирск. 1985.- 12 С.

33. Гололобова С.П., Урев М.В. Пакет программ ЭДС для численного моделироввания осесимметричных нестационарных сильноточных релятивистских элетронных пучков //В сб.: Пакеты прикладных программ. Новосибирск, 1986. - С. 32-38.

34. Горбенко Н.И., Ильин В.П., Попова Г.С., Свешников В.М. Пакет программ ЭРА для автоматизации электрооптических расчетов // В сб.: Численные методы решения задач электронной оптики. Новосибирск, 1979. - С. 34-60.

35. Горбенко Н.И., Катешов В.А., Майоров Ю.К. ППП ЭФЕС (автоматизация решения краевых задач для уравнения Пуассона на ЭВМ ЕС). Новосибирск, 1985. - 25 С. - (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 552).

36. Горбенко H.H., Ильин В.П., Кремер И.А., Урев М.В. Пакет программ ЭДС-2 для расчета стационарных аксиально-симметричных интенсивных пучков заряженных частиц на ЭВМ ЕС. / Препринт. Новосибирск.: Вычислительный Центр СО АН СССР. 1989. - №839. - 47 С.

37. Григорьев В.П., Диденко А.Н. // Генераторы и усилители релятивистских электронных потоков. М.: Изд. МГУ, 1987.- 225 С.

38. Григорьев В.П., Коваль Т.В. Влияние колебаний виртуального катода на двухпучковое взаимодействие в системах с пролетным током // Тр. Всесоюз. семинара "Плазменная электроника". -Харьков, 1988.-С. 168-169.

39. Григорьев В.П., Коваль Т.В. Исследование механизма генерации электромагнитного излучения в системах с виртуальным катодом // Физика плазмы. 1988. - Т. 14» вып.2. - С. 210-215.

40. Григорьев В.П., Ильин В.П., Коваль Т.В., Урев М.В. Численное исследование формирования виртуального катода при инжекции сверхпредельных токов в цилиндрическую трубу дрейфа // ■ Математическое моделирование. 1991. • С; 44г-20.

41. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А. Численные методы "частицы-в ячейках". Учебное пособие // Новосибирск, 1996. - 148 С.

42. Гром Ю.Д., Кремер H.A., Мануйлов В.Н., Нечаев В.Е., Урев М.В. Формирование интенсивного, слабо осциллирующего потока релятивистских электронов при сильной магнитной компрессии // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1994. -Т.35,№2. - С. 5-11.

43. Гудович Й.С., Крейн С.Г., Куликов Н.М. Краевые задачи для уравнений Максвелла //ДАН СССР. 1972. - Т.207, №2. - С. 321-324.

44. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. - 702 С.

45. Диденко А.Н., Григорьев В.П. К теории возбуждения электромагнитных колебаний в системах с виртуальным катодом // Радиотехника и электроника. 1988. - Т.ЗЗ, вып.2. - С. 353362.

46. Диденко А.Н., Григорьев В.П., Жерлицын А.Г. Генерация электромагнитных колебаний в системах с виртуальным катодом / / Плазменная электроника. Киев: Наукова думка, 1989. - С. 112-131.

47. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 383 С.

48. Еремин Е.А., Урев М.В. Обобщенная постановка начально-краевой задачи для системы Максвелла при новых граничных условиях // Труды ВЦ СО РАН. Выч. математика, вып.5, Новосибирск. 1996. С. 109-114.

49. Жерлицын А.Г., Кузнецов С.И., Мельников Г.В., Фоменко Г.П. Генерация СВЧ-колебаний при формировании виртуального катода в сильноточном электронном пучке //Ж. техн. физики. ~ 1986. Т.56, вын.7. - С. 1384-1387.

50. Золотарюк A.B., Кузьменко Н.В., Ходатаев К.В. Нестационарная модель транспортировки релятивистского электронного пучка в дрейфовой трубе при наличии аксиального магнитного поля. / Препринт. Киев.: ИТФ АН УССР 82-34 р. - 1982. -23 С. V

51. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики.- М.: Наука, 1985. 334 С.

52. Ильин В.П., Горбенко Н.И., Урев М.В. и др. О математическом обеспечении проектирования электрофизических устройств // Проблемы вычислительной математики и математического моделирования. М.: Мир, 1985. - С. 5-54.

53. Ильинский A.C., Свешников А.Г. Методы исследования нере•гулярных волноводов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1968. Т.8, №2. - С. 363-373.

54. Ильинский A.C., Тупиков М.В. Новая схема проекционного метода для исследования круглых гофрированных волноводов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. - Т.29, №7. - С. 1012-1022.

55. Капитонов Б.В. Об экспоненциальном убывании при t —> со решений внешней краевой задачи для системы Максвелла // Матем. сб. 1989. - Т.180, Ш. - С. 469-490.

56. Капитонов Б.В. Теоремы единственности и точное граничное управление для эволюционных систем // Сиб. мат. журн. -1993. Т.34, №5. - С. 67-84.

57. Карасик В.Р. Физика и техника сильных магнитных полей. -М.: Наука, 1964. -347 С.

58. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. — Л.: Изд-во ВКАС, 1949. 426 С.

59. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике. М.: Наука, 1989. - 413 С.

60. Крейн С.Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики //ДАН СССР. 1953. - Т.93, №6. - С. 969-972.

61. Крейн С.Г., Куликов И.М. Об операторе Максвелла Леонто-вича // Дифференц. ур-ния. - 1969. - Т.5, №7. - С. 1275-1282.

62. Кремер И.А., Урев М.В. ППП ЭДС-3 для решения трехмерных электронно-оптических систем на ЕС ЭВМ //В сб.; Автоматизация построения алгоритмов для задач математической физики. Новосибирск, 1987. - С. 118-126.

63. Кузнецов Г.И., Тиунов М.А., Яковлев В.П. Диодная пушка с высокой компрессией пучка и повышенной электрической прочностью. Новосибирск, 1989. - (препр./ АН СССР, Сиб. отд-ние, ИЯФ; 89-161).

64. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.-286 С.

65. Ладыженская O.A. О решении общей задачи диффракции //ДАН СССР. 1954. - T.XCVI, №3. - С. 433-436.

66. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. - 288 С.

67. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. 407 С.

68. Ландау Л.Д., Лифпшц Е.М. Электродинамика сплошных сред.- М.: Наука, 1982. T.VIII. - 620 С.

69. Леонтович М.А. О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Исследования по распространению радиоволн. 1948.- М.-Л.: Изд-во АН СССР. С. 5-22.

70. Лыгин В.К., Мануйлов В.Н., Димринг Ш.Е. О методах интегральных и вспомогательных зарядов в траекторном анализе интенсивных электронных пучков // Электронная техника. Сер.1. Электроника СВЧ. 1987. - №7. - С. 36-38.

71. Майков А.Р., Поезд А.Д., Свешников А.Г., Якунин С.А. Применение консервативного конечно-разностного метода для моделирования сильноточных приборов СВЧ //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1989. Т.29, №7. - С. 1000-1011.

72. Майков А.Р., Свешников А.Г., Якунин С.А. Математическое моделирование плазменного генератора сверхвысокочастотного излучения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ, —1985. Т.25, №6. - С. 883-895.

73. Мокин Ю.И. О двух моделях стационарного движения заряженных частиц в вакуумном диоде //Матем. сб. 1978. -ТЛ06(148), №2(6). - С. 234-264.

74. Мокин Ю.И. О сходимости и точности метода макрочастиц // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. - Т.19, №3. - С. 665-674.

75. Мокин Ю.И. Алгоритмические особенности определения траекторий релятивистских электронов в самосогласованном электромагнитном поле // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1979.- Т.19, №6. С. 1485-1495.

76. Мокин Ю.И. Алгоритм определения плотности тока эмиссии в задаче о фокусировке пучков //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. - Т.20, №3. - С. 671-681.

77. Мокин Ю.И. Алгоритм вычисления скалярного потенциала в задаче о формировании пучков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. - Т.21, №2. - С. 371-384.

78. Молоковский С.И., Сушков А.Д. Интенсивные электронные и ионные пучки. Л.: Энергия, 1972. - С.

79. Моравец К.С. Одна теорема об убывании решений уравнений Максвелла //УМН. 1974. - Т.29, вып.2. - С. 233-240.

80. Морозов А.И., Соловьев Л.И. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях' // Вопросы теории плазмы: Сб. науч. тр. М.: Госатомиздат,1963. - Вып.2. - С. 177-261.

81. Овчинников A.B. Метод анализа потоков заряженных частиц // Зарубежн. радиоэлектроника. 1979. - №5. - С. 26-41.

82. Пахнутов И.А. Устойчивость сплайн-аппроксимации и восстановление сеточных функций // Матем. заметки. -1974. Т.16, т. - С. 534-544.

83. Падко Н.Л. Приближение сплайнами на отрезке // Матем. заметки. 1974. - Т. 16, №3. - С. 491-500

84. Попова Г.С., Урев М.В. Расчет магнитного поля по его значениям на оси симметрии // Численные методы решения задач электронной оптики. Новосибирск, 1979. - С. 89-98.

85. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. -М.: Мир, 1982. 488 С.

86. Рохкинд И.И. Нестационарная диффракция электромагнитных волн И Вест. ЛГУ. 1958. - №7. - С. 109-124.

87. Саблин H.H., Урев М.В. Пакет программ для расчета релятивистских пучков в квазистационарном режиме // Тез. докл. V Всесоюзн. симпозиума по сильноточной электронике. 4.1. -Томск, 1984. С. 62-63.

88. Саблин H.H., Солод Т.А., Фоменко ГЛ. Численное моделирование релятивистского электронного пучка в трубе дрейфа в конечном внешнем магнитном поле // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1985. - №3. - С. 3-6.

89. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев OJL Интегралы н производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 687 С.

90. Сахаев Ш. Решение первой начально-краевой задачи для нестационарной системы уравнений Максвелла // Труды ИММ АН Каз. ССР. 1972. - Т.2. — С. 69-77.

91. Сахаев Ш. Оценки решения первой начально-краевой задачи для уравнений Максвелла в пространстве W^(Qt) // Изв. АН Каз. ССР, 1973. сер. физ.-мат., №1. - С. 83-85/

92. Сахаев III. Оценка решения одной переопределенной параболической начально-краевой задачи // Труды МИ АН СССР. -1975. Т.127. - С. 58-75.

93. Сахаев Ш., Солонников В.А. Оценки решений одной краевой задачи магнитной гидродинамики // Труды МИ- АН СССР. -1975. Т.127. - С. 76-92.

94. Свешников А.Г., Якунин С.А. Численные модели бесстолкно-вительной плазмодинамики // Матем. моделирование. 1989. -Т.1,М?4. - С. 1-25.

95. Сливняк И.М. О краевых задачах для уравнений Максвелла // Матем. сб. 1954. - Т.35(77), Ш. - С. 369-394.

96. Сокулин А.Ю., Тараканов В.Ш RUBIN программа, численного моделирования динамики заряженных частиц в самосогласованном электромагнитном поле при наличии аксиальной симметрии. - М. - 1988. - 48 С. - Препринт АН СССР. ИВТ. 6-236.

97. Солонников В.А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа // Труды МИ АН СССР. 1964. - T.LXX. - С. 132-212.

98. Стечжин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248 С.

99. Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Труды МИ АН СССР. 1965.- Т.78. С. 24-42.

100. Субботин Ю.Н. Поперечник класса WX в L(0,2тг) и приближение сплайн-функциями // Матем. заметки. 1970. - Т.7, №1. -С. 43-52.

101. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981. - 408 С.

102. Тиунов М.А., Фомель Б.М., Яковлев В.П. SAM интерактивная программа для расчета электронных пушек на мини-ЭВМ. -Новосибирск, 1987. - (Препр./ АН СССР, Сиб. отд-ние, ИЯФ; №87-35).

103. НО. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 735 С.

104. Урев М.В. Об осесимметричной задаче Копш для уравнения Лапласа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. - Т.20, №4. - С. 939-947.

105. Урев М.В. Алгоритм численного решения задачи Копш для уравнения обощенной теории аксиально-симметричного потенциала /' Препринт. Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1982. - №394. - 28 С.

106. Урев М.В.О продолжении магнитного поля с оси симметрии в пространство // Радиотехника и электроника.— 1983; Т.28, №4. - С. 772-777.

107. Урев М.В. Численное решение задачи Коши для уравнения обобщенного осесимметричного потенциала и ее приложения к электронной оптике //Автореф. дисс. насоиск. учен. степени канд. физ.-мат. наук. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983.- 16 С.

108. Урев М.В. Численное решение задачи Коши для уравнения обобщенного осесимметричного потенциала и ее приложения к электронной оптике// Дисс. на соиск. учен, степени канд.физ-мат. наук. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. -106 С.

109. Урев М.В. Алгоритм численного продолжения обобщенного осесимметричного потенциала с оси симметрии //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1985. Т.25, №2. - 0.269-282.

110. Урев М.В. Асимптотическое решение уравнений Максвелла в проводнике // Труды ВЦ СО РАН. Выч. математика, Т.З, Новосибирск, 1995. С. 114-136.

111. Урев М.В. Об обобщенном операторе Максвелла-Леонтовича // Труды ВЦ СО РАН. Выч. математика, вып.5, Новосибирск. 1996. С. 115-127.

112. Урев М.В. Граничные условия для уравнений Максвелла в случае произвольной зависимости от времени // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. - T.37, №12. - С. 1489-1497.

113. Урев М.В. Диссипативность обобщенного оператора Максвелла-Леонтовича при t € (—00,00) / Препринт. Новосибирск: ИВМ и МР СО РАН, 1998. - №1120: -22 С.

114. Урев М.В. Об обобщенном операторе Максвелла-Леонтовича// Третий конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): Тез. докл. Ч.Ш Новосибирск, 1998. - С. 23.

115. Урев М.В. Теоремы о следах для некоторого класса векторных полей // Труды ИВМ и МГ СО РАН. Выч. математика, вып.6, Новосибирск. 1998. С. 95-107.

116. Ben Abdallah N. Weak solutions of the initial-houndary value problem for the Vlasov-Poisson équation //Ecole Polytechnique, Palaiseau. Centre de Mathematiquess Appliques: Papport Interne. -1992. №263. -27 P.

117. Bromborsky A. et.al. On the path to terawatt: higt microwave experiments of Aurora // Proc. of SPIE. 1998. - V 873. -P.51-57.

118. Bendali A. Problème aux limites extrerieur et intérieur pour le systeme de Maxwell en regime harmonique // Ecole Polytechnique, Palaiseau. Centre de Mathematiquess Appliques: Papport Interne. -1980. -№59. 49 P.

119. Burkhart S.C., Scarpetti R.D., Lundberg R.L. A virtuai-cathode reflex triode for high-power microwave generation // J. Appl. Phys.- 1985. V.58,№1. - P. 28-36.

120. Cannon J.R., Duchateau P. Approximating the solution to the Cauchy problem for Laplace's equation // SIAM J. Numer. Analys.- 1977. V.14, №3. - P. 473-483.

121. Cattabriga L. Su un problema al contorno relativo al sistema di equazioni di Stokes // Sem. Mat. Univ. Padova. 1961. - V.31. -P. 308-340.

122. Davis H.A., Bartsch R.R., Thode L.T. et al. High-power microwave generation from a virtual cathode device // Phys. Rev. Lett. -1985. V.55, №18. - P. 2293-2296.

123. Davis H.A. et al. Gigawat-level microwave bursts from a new type of virtual-cathode oscillator // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.59,№3.- P. 288-292. :

124. Davis H.A. et al. Experimental conformation of the reditron concept //IEEE Trans, of Piasma Science. 1988. - V.1'6, №2. -P. 192-195.

125. Degond P. Spectral theory of the linearized Vlasov-Poisson equation // Ecole Polytechnique, Palaiseau. Centre de Mathématiques Appliquées: Rapport Interne. 1983. - №100. - 31 P.

126. Degond P., Raviart P.A. An asymptotic analysis of the one-dimensional Vlasov-Poisson system: the Child-Langmuir law'// Asymptotic Analysis. 1991. - V.4 - P. 187-214.

127. Degond P., Raviart P.A. An analysis of the Darwin model of approximation to Maxwell's equations // Ecole Polytechnique, Palaiseau. Centre de Mathématiques Appliquées: Rapport Interne. 1990." - №213. - 35 P. '

128. Di Perna R.J., Lions P.L. Global weak solutions of Vlasov-Maxwell systems // Comm. Pure Appl. Math. -1989. V.42. - P. 729-757.

129. Erdelyi A. Singularities of generalized axially simmetric potential // Comm. Pure and Appl. Math. 1956. - V.9. - P. 403-411.

130. II'in V.P. Incomplite factorization methods // Soviet Journal of Numeracal Analysis and Mathematical Modelling. 1988. - V.3, №3. - P. 179-198.

131. Gilbert P.R. Function theoretic methods in partial differential equations. New-York: Academic Press, 1969. - 311 P.

132. GIRAULT V., RAVIART P.A. Finite Element Methods for Navier-Stokes equations. Berlin: Springer Verlag, 1986. - 342 P.

133. Glassey R.T., Schaeffer J.W. Global existance for the relativistic Maxwell-Vlasov system with nearly neutral initial data // Commun. Math. Phys. 1988. - V.119. - P. 473-507.

134. Greengard C., Raviart P.A. A boundary-value problem for the stationary Vlasov-Poisson equations: the plane diod // Comm. Pure and Appl. Math. 1990. - V.XLIII. - P. 473-507.

135. Grigoryev V.P., Koval T.V. Theory of microware generation in the virtual-cathode reflex triode // Proc. of VII Int. Conf. on High Power Particles "Beam 88" Karlsruhe. 1988. - V. 2. - P. 14081414.

136. Henrici P. Oil the domain of regularity of generalized axially sim-metric potentials // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. - V.8. - P. 29-31.

137. Henrici P. Complete systems of solutions for a class of singular elliptic partial differential equations. Madison, Wisconsin: Univ. of Wisconsin Press, 1960. - P. 19-34.

138. Huber A. On the uniqueness of generalized axially simmetric potentials//Ann. Math. 1954. - V.60. - P. 351-358.

139. Friedrichs K.O. Differential forms on Riemannian manifolds // Comm. Pure Appl. Math. 1955. - V.8, №2. - P. 551-590.

140. Konrad G.T. High power RF klystrons for linear accelerators. -S.I., 1984. (SLAC-PUB-3324).

141. Kwan T.J.T. High-power coherent microwave generation from oscillating virtual cathodes // Phys. Fluids. 1984. - V.27,№1. -P. 228-232.

142. Lee T.G.-,--Lebacgs.' J;.Vii/Konrad -G.T.- A iifkjtiaegawate- Mystfon-for the Stanford Linear Collider. S.I., 1983. - (SLAC-PUB-3214).

143. Nielson C.W., Lewis H.R. // Methods in Computational Physics. Academic, New York. - 1976. - V.16. - P. 367-388.

144. Okabe S., Ukai T. On the classical solution in the large time of the two dimensional Vlasov equation // Osaka J. of Math. 1978. -V.15. -P. 245-261.

145. Raviart P.A., Sonnendruker E. A hierarchy of approximate models for the Maxwell equations // Numer. Math. 1996. - V.73. - P. 329-372.

146. Suga H., Nagami К., Kuroda H. On computer simulation of electron beams // Proc. IEEE. 1970. - V.58, №6. - P. 939-941.

147. Sze H. et. al. A radially and axially extracted virtual-cathode oscillatotor (vircator) // IEEE Trans, of Plasma Sciense. 1985.- V.13, №6. P. 492-496.

148. Thodl L.T., Godfrey В.В., Shanaham W.R. Vacuum propagation of solid relativistic electron beams // Phys. Fluids. -1979. V.22, "№4. - P. 747-762.

149. Urev M.V. Boundary conditions for Maxwell's equations for arbitrary time dependence // Proc. Int. Conf. AMCA -95- Novosibirsk.-1995. - P. 731-736.

150. Urev M.V. Boundary conditions for Maxwell equations with arbitrary time dependence // Сотр. Math, and Math. Phys. 1997.- V.37, Ж2, P. 1444-1451.

151. Weber Ch. A local compactness theorem for Maxwell's equations // Math. Meth. in the Appl. SdL 1980. - V.2. - P. 12-25.

152. Week N. Maxwell's boundary value problem on Шетаптап manifolds with nonsmooth boundaries // J. Math. Anal, and Appl. -1974. V.46, №2. - P. 410—432.

153. Weinstein A. Discontinuos integrals and generalize potential theory// -Trans. Amer. Math. Soc. 1948. - V.63. - P. 342-354.

154. Weinstein A. Generalized axially simmetric potential theory // . Bull. Amer. Math. Soc. 1953. - V.59 - P. 20-38.

155. Weitzner H., Lawson W.S. Boundary conditions for the Darwin model// Phys. Fluid. 1989. - В 1. - P. 1953-1957.

156. Weyl H. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. J. 1940. - V.7. - P. 411-444. (Рус. перевод: Метод ортогональной проекции в теории потенциала // Вейль Г. Избранные труды. - М.: Наука, 1984. - С. 275-307.)