Исследование решений некоторых уравнений в частных производных на основе оценок векторных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правахрукописи

КАЛИНКИНА Алла Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА ОСНОВЕ ОЦЕНОК ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 2004

Работа выполнена на кафедре математической физики и кафедре математического моделирования экономических систем механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук А. В. Калинин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г. А. Уткин, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В. И. Алешин.

Ведущая организация:

Институт вычислительной математики Российской Академии Наук.

Защита состоится «2. V» ^у^ЗКЯ 2004г. в _час. на заседании диссертационного совета Д 212.166.06 в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23, корп. 2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ.

Автореферат разослан

2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.166.06, кандидат физихо-шпгита1сс1с№о4ук,

доцент_В.И. Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Уравнения и системы дифференциальных уравнений в частных производных, содержащие дифференциальные операторы векторного анализа (rot, div, grad), возникают при решении различных прикладных задач. Эллиптические уравнения дивергентного вида и соответствующие им параболические и гиперболические уравнения описывают стационарные и нестационарные процессы теории теплопроводности, диффузии частиц, волновые явления. Дифференциальные операции векторного анализа присутствуют также в системах уравнений гидродинамики, теории упругости, электромагнитной теории.

При исследовании систем дифференциальных уравнений с переменными (в частности, негладкими) коэффициентами на первый план выходит изучение их обобщенных постановок, поскольку разрешимость в классическом смысле может не иметь места. Обобщенные формулировки различных задач также играют важную роль при численном анализе, в частности, на них основываются такие методы численного решения, как методы Ритца, Галеркина.

Важнейшую роль при изучении корректности обобщенных формулировок краевых и начально-краевых задач играют различные неравенства, такие, как неравенства Фридрихса, Пуанкаре, Корна (неравенства такого типа часто в литературе называются неравенствами Корна).

В математических задачах гидродинамики и электродинамики используются неравенства, связывающее норму вектор-функции, касательная или нормальная составляющая которой на границе области равна нулю, норм ее ротора и дивергенции в пространстве суммируемых с квадратом функций:

где С зависит только от характеристик области, и аналогичные оценки для нормы и в пространствах Соболева.

Однако во многих прикладных задачах такие оценки не могут быть непосредственно применены для изучения обобщенных решений. В частности, в системе уравнений Максвелла используются дифференциальные операции вида го1й и <Лу ой, где коэффициент а не является гладкой функцией. В этом случае оценки нормы в пространствах Соболева через нормы вообще говоря, не

имеют места, что приводит к серьезным проблемам при изучении обобщенных формулировок задач.

|S|£CQrotS| + |div20,

(1)

Поэтому изучение обобщенных решений краевых и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих операции векторного анализа, с негладкими коэффициентами и доказательство различных Ьр -оценок функций играет важную роль для решения различных прикладных задач и имеет самостоятельное теоретическое значение.

Цель работы - исследование корректности постановки краевых и начально-краевых задач для некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами на основе оценок, связывающих скалярные произведения вектор-функций, нормы их ротора и дивергенции в пространствах.

Методы исследования. В работе использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа.

Научная новизна. Предложены различные обобщенные постановки краевых и начально-краевых задач для некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными негладкими (измеримыми) коэффициентами. Доказаны теоремы о существовании и единственности их решений.

Исследовано асимптотическое поведение решений краевых задач в зависимости от коэффициентов системы и решений начально-краевых задач при <*»

Результаты работы основаны на новых оценках для скалярных произведений векторных полей и могут быть использованы при исследовании систем дифференциальных уравнений, содержащих операции ротор и дивергенция. В частности, ряд доказанных утверждений обобщает известные результаты для системы уравнений Максвелла на случай переменных (измеримых существенно ограниченных) коэффициентов.

Степень обоснования результатовдиссертации. Все научные положения и выводы диссертации строго математически обоснованы. Полученные в ней результаты согласуются с работами других авторов, как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть-использованы в теории дифференциальных уравнений, а также при исследовании математических задач электродинамики сплошных сред.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва: МГУ, 2001); Воронежской весенней математической школе «Пон-

трягинские чтения-ХШ» (Воронеж: ВГУ, 2002); VII Нижегородской сессии молодых ученых (Сэров, 2002); Международной молодежной научной школе - конференции «Лобачевские чтения — 2002» (Казань: ЮУ, 2002); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы (Воронеж: ВГУ, 2003); Воронежской весенней математической школе «Понтря-гинские чтения-XIV» (Воронеж: ВГУ, 2003); VIII Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 2003), совместном семинаре кафедр математического моделирования экономических систем и математической физики (2004г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 11 опублико-ваных работах [1] - [11]. В работах, выполненных совместно, А. В. Калинину принадлежит общее руководство и постановка задач, а также формулировка теорем 2.7, 2.9. Автору принадлежат формулировки остальных теорем и доказательства всех теорем.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы и списка литературы из 181 наименования. Общий объем диссертации - 157 страниц.

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы, изложено краткое содержание и результаты диссертации.

Одной из особенностей систем дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании математических задач электродинамики и динамики вязкой несжимаемой жидкости, является равенство нулю дивергенции одной из неизвестных функций. Начало исследованию таких задач было положено классической работой Г. Вейля «Метод ортогональной проекции в теории потенциала» (1941 г.), в которой изучались свойства дифференциальных операций rot и div в пространствах суммируемых с квадратом функций.

Подобные вопросы обсуждались в связи с изучением математических задач гидродинамики, электромагнитной теории С.Л. Соболевым, Э. Б Быховским, Н. В. Смирновым, С. Г. Крейном, Р. Темамом, Дж. Хейвудом, О. А. Ладыженской. В. А. Солонниковым, В. Н. Масленниковой, М. Е. Боговским и другими.

О. А. Ладыженской, В. А. Солонниковым рассмотрены задачи для систем уравнений в частных производных с кусочно-непрерывными коэффициентами, возникающих при изучении проблем дифракции и магнитной гидродинамики. При этом условия согласования на поверхностях разрыва коэффициентов выполняются, если неизвестная функция удовлетворяет некоторому интегральному тождеству,

решение ищется конечно-разностным методом. Исследование дифференциальных свойств решений поставленных задач ведется внутри областей с непрерывно изменяющимися коэффициентами.

Задачи для системы уравнений Максвелла с кусочно-постоянными коэффициентами Ц и е исследовались Г. Дюво и Ж.-Л. Лионсом. Решения задач ищутся в пространствах суммируемых функций таких, что что позволяет ис-

пользовать при изучении этих задач методы функционального анализа. Принадлежность решений пространству Соболева Н1 устанавливается в областях постоянства коэффициентов.

Корректность различных постановок начально-краевых задач для квазистационарной системы уравнений Максвелла с переменным коэффициентом а обсуждалась в работе М. П. Галанина и Ю. П. Поповым.

В связи с исследованием некоторых проблем для систем уравнений в частных производных, описывающих электродинамические процессы, в работах М. Ш. Бирмана вводятся пространства функций и таких, что сйу$й е£2, где 5 -матрица измеримых функций. Вопрос о существовании априорных оценок типа неравенства Корна для решений соответствующих краевых задач изучается при условии гладкости коэффициентов.

А.В. Калининым1 получены неравенства, связывающие при различных краевых условиях (равенство нулю на границе тангенциальной компоненты или иормальной компоненты V) скалярное произведение вектор-функций в ¿¡, норму в ротора одной из них и дивергенцию другой:

(ы, у) £ С(|го1 +|(Иу у||й|), (и,5) £ с()[го1 й|5]|+Цсйу у|ы|+¡¡го1 й||сИV Р|). (2) Неравенства (1) являются их следствием при и = у. Применяемые к функциям оценки (2) позволили доказать разрешимость краевых и начально-краевых задач для системы уравнений Максвелла, коэффициенты которой предполагались измеримыми существенно ограниченными функциями.

Разрешающие соотношения, полученные в результате постановки задач в виде вариационных принципов и интегральных тождеств, могут служить исходными для применения методов Ритца и Галеркина при численном решении соответствующих дифференциальных систем.

1 Калинин А.В. Некоторые оценки теории векторных полей// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование н оптимальное управление -1997. Т. 20, №1. С. 32-31).

Важной проблемой численного решения задач для систем дифференциальных уравнений, содержащих операции rot и div, является проблема учета условия соленоидальности неизвестной вектор-функции, не позволяющего использовать классические базисные функции при дискретизации функциональных пространств. Этот вопрос обсуждался, в частности, Р. Темамом, Г. М. Кобельковым а связи с математическими задачами динамики вязкой несжимаемой жидкости и его решение связано с введением специальных аппроксимирующих пространств либо с организацией итерационных процессов.

Преодолеть трудности, связанные с наличием соленоидальности, можно с помощью метода искусственной сжимаемости, который заключается в добавлении к исходной системе члена вида "y'graddivu. Метод аппроксимации нестационарных уравнений Навье - Стокса системой типа Коши-Ковалевской на основе метода искусственной сжимаемости предложен Г. М. Кобельковым. Аналогичный подход к задачам для системы уравнений Максвелла позволяет получить обобщенные постановки краевых задач, при которых в стационарном случае условие соленоидаль-ности является свойством решения, а в квазистационарном - экспоненциально устойчиво.

В первой главе содержатся необходимые в дальнейшем сведения, вводятся используемые в дальнейшем функциональные пространства и обсуждаются их

В работе приняты следующие обозначения. Пусть £2 с А" - ограниченная область, пространства суммируемых со степенью р функций с нормой Ц Ц обо-

свойства.

значаются через Lp(i2), {¿До)}1*. Для функции йе{/,,(П)}" : div« =geесли

Jgi*£c = - J(gradf• u)dx при всех <р е 0(П),

значаются

полагается, что

п п

для функции й е {¿,(il)}3, ПсА3, rot« = it е {lp(Q)}\ если

п

п

для функции й е {¿,(о)}2, il с Л2, rotu = h s ¿,(0), если

J(A • y/)/R = /(rot ^ •H)dx при всех у/ б О(П),

n

где rot у = {дгц/,-д^}.

Определяются следующие банаховы пространства вектор-функций с соответствующими нормами:

tf,(div;ft) = {и е {¿,(П)}" : div« е £p(ft)},' tf,(rot;ft)= е (¿ДО)}3: rot« е {¿,(П)}3}, если п = 3, Яp(rot;ft) = ^е {Z-p(п)}2:rot« е¿Дй)},еслип = 2,

и,,,.*='J'. ии=fcJ''.

Я "(rot; ft) - замыкание множества пробных функций (D(ft)}" в #f(div;ft) и в ЯДкЛ;П) (при п = 2,3) соответственно.

При р=2 пространства #p(div;ft), ЯДгоиП) обозначаются через #(div;ft), W(rot;Q), tf0(div;il), #0(rot;ft) и рассматривались Р. Темамом, Г. Дюво, Ж.-Л. Лионсом и другими авторами. Множества соленоидальньпо и потенциальных функций в {¿2 (ft)}™ обозначаются через i((div;ft)," if (rot; ft).

Вторая глава посвящена выводу оценок скалярных произведений векторных полей через нормы их ротора и дивергенции в пространствах. Предполагается, что область ft с R' (n=2 или 3) является звездной относительно точки yeii. В п. 2.1 доказываются представления гладких вектор-функций в звездных облас-

г

тях. Замыканием операторов QKi рь-» r'm j£m<p(y + Gs)d£, Qm:

ф\-» г'я + где г(3с)=— , 5(3с)=(х~5')/г(5), т>-1, эти представ-

ления обобщаются затем для функций из классов (теоремы

2.3-2.6).

В п. 2.2 на основании полученных в п. 2.1 тождеств доказаны неравенства, сформулированные в теоремах 2.7 - 2.10.

Теорема 2.7. Пусть П с Л* (я=2 или 3) - открытое ограниченное множество, звездное относительно некоторой точки. Еслир>п/2, д-р/(р-1), то найдется такая величина С, > 0, зависящая только от л, р, (1, что для любых v е ЯДго^П),

справедлива оценка

Теорема 2.9. Пусть £2 с Л3 - открытое ограниченное множество, звездное относительно некоторой точки. Если р > 3/2, д-р! (р-1), то найдется такая величина С3>0, зависящая только от р и О, что для любых уеЯр((1|у;П),

и е //°(го1;П) справедливо неравенство

Поскольку доказанные неравенства при р = д = 2 оценивают скалярные произведения функций в {¿^ (О)}* > из них следуют известные условия ортогональности соленоидальных и потенциальных векторных полей. Положив, далее, в этих оценках и = V при р = 2, можно прийти к оценке (1).

Для произвольной ограниченной области на основании доказанных в п. 2.1 тождеств в п. 2.3 получены оценки ¿2-нормы функции, лежащей в ортогональном дополнении к ядру дивергенции или ротора (теоремы 2.16-2.19).

Глава 3 посвящена изучению краевых задач для системы дифференциальных уравнений в частных производных

в ограниченной области йсЛ1, звездной относительно некоторой точки, при соотношениях

У = ег(£+ £<"*'), В = ^Н, б = £Ё, где Ёа"р е {¿^(П)}3, ц, е, а - самосопряженные линейные операторы ^(й)}1 в удовлетворяющие при всех условиям

Bv(x)=0, Et(x)=0 xedQ, (4)

где через ur, uv обозначаются соответственно тангенциальная и нормальная компоненты функции й.

Подобные системы возникают, в частности, при рассмотрении стационарных задач для системы уравнений Максвелла.

Решениями краевых задач называются функции Н е. Н{rot;Q), BeX(div;n), Ё е K(rot;Q),J е {¿2(fi)}3, ¿jefi^n)}3, реН"'(п), удовлетворяющие равенствам системы в смысле теории распределений, краевым условиям — в смысле теории следов.

Определяются гильбертовы пространства функций

W0(div»7;fi)= {йе#(rot;fi):»7« е yy0(div;O)}, ff°(div^;iJ)= {и б Н0(то1,П):тр е tf(div;i})}, (U,v)w = (и ■ v)2Si + (rotw • rot?)2Д + (di\rfi-divrjv)2„,

где T] - оператор, действующий в {¿2(0)}3. Соответствующие подпространства функций таких, что обозначаются через

Рассматриваемые задачи с граничными условиями (3) и (4) сводятся к следующим задачам определения Н: найти функцию// б (div/*;fi) (соответственно, для которой при всех выполнено равенство

¡(a'1 rottf-rotv)/* = J^™" -rotv)/*.

Получены обобщенные постановки задач определения //, в которых условие является свойством решения, что снимает проблему аппроксимации соленоидальных векторньж полей: найти функцию Н (д\\ fi\ti) (соответственно, для которой при всех выполнено равенство

J(<7rot Я • rot V +к Jdiv fiH div pidx = — \{Ecmp ■ rot v)dx.

С использованием полученных в главе 2 оценок, применяемых к функциям доказана однозначная разрешимость поставленных

задач.

В качестве новых неизвестных величин вводятся векторный потенциал А и скалярный потенциал <|> по формулам

В = тел Л, Ё = -%га<1<|>.

С целью обеспечения единственности решения задач для потенциалов на функции А и <р традиционно накладывают дополнительные условия, называемые калибровочными соотношениями. В работе предлагаются новые калибровочные соотношения, позволяющие сформулировать вариационные задачи определения А е К0(Лу£г;П) (Ае К0(<Куст;П)) или А е »"0(<Иуог;П) (А е ^"((Иу^П)). В случае краевьж условий (3) рассматриваются соотношения

<р = -к<И\оА, =°.

при краевых условиях (4) -

С использованием установленных в главе 2 оценок, применяемых к функциям йеЯ(го1;0), айеЯ(сНу;П), доказано существование единственного решения поставленных задач.

Обсуждается связь между решениями задач, отвечающих различным калибровочным соотношениям. Изучается связь задач определения функций Н, Ё и соответствующих задач нахождения А и «р.

В четвертой главе рассматриваются задачи, в которых а = 0 намножестве

00 сА. Развивается предложенный А. В. Калининым, С. Ф. Морозовым2 метод, заключающийся в замене значений а в области £2„ малым положительным числом с последующим предельным переходом при

В п. 4.1 изучаются трехмерные задачи при различных краевых условиях и более общих, чем у А. В. Калинина, С. Ф. Морозова условиях на коэффициенты. В п. 4.2 указанный метод применяется к двумерным плоским задачам, в п. 4.3 рассматривается его обобщение для эллиптических уравнений дивергентного вида с произвольным числом независимых переменных.

Пятая глава посвящена изучению начально-краевых задач для системы

1 Калинин А. В., Морозов С. Ф. Стационарные электромагнитные поля в неоднородных средах с непроводящими и слабо проводящими включениями// Вестинк ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 1999. № 1 (20). • С. 48-62.

тоХЙ = —3, с

<ИуВ = 0,

тогЕ=---,

ей

(6) (7)

¿тй = 4яр (8)

в цилиндре 2 = Пх(0,Г), здесь операторы р, а, е'. {¿^(П)}3 {¿^(О)}1 и область ОсД1 удовлетворяют условиям главы 3, Ёсщр е {^(б)}3.

Подобные системы возникают при изучении системы уравнений Максвелла, рассматриваемой при квазистационарном магнитном приближении.

Система (5)-(8) исследуется при краевых условиях (3) и (4) и начальных условиях

Н(0)=Я, (9)

где

Решениями рассматриваемых начально-краевых задач называются функции Яе£г(0,7\Я(го1;П)), В еЬ2{0,Т,К{Ич-,П)), Уе£2(0,Г,/Г(Лу;П)),

£ е £2(о,7",{£2(п)}3), ¿е £2(о,7\{£2(п)}3), ре£2(о,Г,Я~'(П)), удовлетворяющие

равенствам системы и начальным условиям в смысле распределений на граничным условиям - в смысле теории следов.

Задачи при краевых условиях (3), (4) соответственно сводятся к задачам определения функции Я (ЙеЬ2(р>Т,У0{<Ичр;О))), удовлетворяющей начальному условию (9), для которой при всех уеИ0(<ЙУ//;О) (РеИ0(сНу/*;П))

еггоаведливо равенство

-— |(<7-'го1Ято1у)£г= |(£™»'то1у)гЕ. (10)

с<ип ■ 4 яа п

С помощью полученных во второй главе неравенств доказывается однозначная разрешимость поставленных задач.

Формулируются следующие обобщенные задачи определения Я, для которых устойчиво условие соленоидальности вектора. найти такую функцию /? е£2(о,Г,Ил0(|11У^;П)) (соответственно, Я е •^(О.Г.И'Дсиу^О)), удовлетворяющую начальному условию (9), что для всех выполнено равенство

j(/jff + J(cr"' mtff • rotv)d!x + /с jdivpH div ftfdx = f(£""p ■rotv'jdx (11)

Доказаны теоремы 5.7,5.8 о разрешимости этих задач.

Теорема 5.7. Существует единственное решение Н е ¿2(o,T,IV0(div//;Oj) задачи (11), при этом, если hg - проекция в ¿^(П) функции h на K(div/y;ß),

Н0 £^2(о,Г,И0(01у|/;П)) - решение задачи (10) с начальным условием //о(0) = h0, то справедлива оценка

Теорема 5.8. Существует единственное решение Н е £2(0,7",Wo(div//;f})) задачи (10), при этом, если - проекция в функции на

Нл eZ.2(0,7',>o(div//;fi)) - решение задачи (9) с начальным условием H0(0)=h0. то справедлива оценка

где Г(С1) - константа из неравенства Пуанкаре.

Из теорем 5.7, 5.8 следует эквивалентность задач (11) соответствующим задачам (10),если heK{divfi;ti).

В случае, когда функция Ec"v не зависит от /, установлена асимптотическая устойчивость стационарного решения. Если Нст, JM, Ёст, DCM, рт - решение стационарной задачи, - решение соответствующей задачи для системы (5)-(8), то при стремится к функция стремится к по норме пространства

Если при этом £ е F(div//;ii) и а'1 tot{h-H0)e //(rot;Q), то H(t)~* Htm в W(div//;n), J(,)_» Jm, £(/)-»£_, D{t)->Dcm в №)}\ в /Г'(П).

С использованием доказанных во второй главе оценок получены оценки скорости стабилизации решений задач.

Векторный потенциал А и скалярный потенциал ф вводятся в п. 5.2 по формулам

что позволяет свести систему к уравнению

-J^+^-rot/i~' rot А = -crgradp + J""".

при граничных условиях

Уравнение дополняется начальными условиями

ще л € ¿„(й) - заданная функция.

Калибровочные соотношения, предложенные в главе 3, позволяют сформулировать задачи нахождения векторного потенциала как задачи о разрешении интегральных тождеств. Например, при граничных условиях, соответствующих условиям (3), задача сводится либо к определению такой функции Лб12(0,Г,К0(Шусг;П)), удовлетворяющей начальному условию (12), где a е Af0(divcr;fi), которая при всех v е K0(diver;Q) удовлетворяет равенству

(13)

либо к задаче определения такой удовлетворяющей начальному условию (12) функции что при всех справедливо

равенство

(14)

Доказывается однозначная разрешимость поставленных задач. Как и для стационарной системы, в теоремах 5.15, 5.16 устанавливается связь между задачами, отвечающими различным калибровочным соотношениям.

Теорема 5.15. Пусть а е AT0(divcr;Q), А е ¿2(0,r,Ko(diva;£l)) - решение задачи (11), Ar е ¿J (о,Г, W0(diva;fi)) - решение задачи (12) с начальным условием

Д.(0)=5+2,, а, е АГ(го1;П). Тогда при функция стремится к по норме пространства

¿,(0,r,»e(div(7;£l)). Если 5, =0,то Д. -> А в C(0,T,L„(a)).

Изучается связь задач определения функций Н, £ и соответствующих задач нахождения А и <р.

В случае, когда функция не зависит от на основе неравенств из главы 2 доказываются теоремы 5.17, 5.18 об асимптотической устойчивости стационарных решений и получены оценки скорости стабилизации решений .при /-» оч Пусть Л€1,(о,Г,И0(<Иу<г;П)), Аг е^(о,Т,»'"((Куст;«)) решения задач (11) и (12),

- решения соответствующих стационарных

задач.

Теорема 5.18. При /-» се функция А (/) стремится к Ае„, функция Я, (/) стремится к по норме пространства Справедливы оценки

Список опубликованных работ

1. Калинин А.В., Калинкина АА Ц-оценки векторных полей// Известия Вузов. Математика. - 2004. - № 3. - С. 26-35.

2. Калинин А.В., Калинкина АЛ. Оценки векторных полей и стационарная система уравнений Максвелла// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 1 (25). Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. С. 95 - 107.

3. Калинин А.В., Калинкина АЛ. Квазистационарные начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 26. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. - С. 21 -38.

4. Калинин А.В., Калинкина А.А. Некоторые оценки векторных полей и их применение в электромагнитной теории/ Нижегород. гос. ун-т им. Н. И. Ло-баческого. - Н.Новгород, 2002. - 29 с. - Деп.в ВИНИТИ №8-В2002.

5. Калинкина А.А. Некоторые оценки векторных полей электромагнитной теории// Современные исследования в математике и механике: Труды 23 Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 9-14 апреля 2001 г. Вып.2. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. факультете МГУ, 2001.-С.135-138.

6. Калинин А.В., Калинкина А.А. Вариационные формулировки стационарных задач электродинамики в терминах векторного магнитного потенциала// Современные методы качественной теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-ХШ» -Воронеж: ВГУ, 2002. - С. 68-69.

7. Калинин А.В., Калинкина А.А. Калибровочные соотношения и вариационные формулировки стационарных задач электродинамики в терминах векторного магнитного потенциала// VII Нижегородская сессия молодых ученых. (Математические науки): Тезисы докладов. - Н Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2002. - С.45-46.

8. Калинин А.В., Калинкина А.А. Квазистационарные задачи электродинамики// Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 18/ Казанское математическое общество. Лобачевские чтения - 2002// Материалы международной молодежной научной школы - конференции. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2002. - С. 40-41.

9. Калинин А.В., Калинкина А.А. Вариационные формулировки квазистационарных задач электродинамики// Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2003. - С. 114 -115.

10. Калинин А.В., Калинкина АА. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения// Современные методы качественной теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XIV» - Воронеж: ВГУ, 2003. - С. 61-62.

11. Калинин А.В., Калинкина А.А. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения дивергентного вида// VIII Нижегородская сессия молодых ученых. (Математические науки): Тезисы докладов. - Н Новгород: Изд. Гладкова О В., 2003. - С.28-29.

Подписано в печать 20.05.2004. Формат 60x84 1/16. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Заказ 680. Тираж 100.

Типография Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского Лицензия № 18-0099 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

»t22tо

ВВЕДЕНИЕ

0.1. Актуальность проблемы и обзор литературы.

0.2. Содержание, структура работы и методика исследования

0.3. Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность работы

1. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1.1. Необходимые сведения из функционального анализа

1.2. Определение функциональных пространств

1.3. Эволюционные уравнения в гильбертовых пространствах

2. ОЦЕНКИ СКАЛЯРНЫХ ПОИЗВЕДЕНИЙ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

2.1. Представления вектор-функций в звездных областях

2.2. Основные неравенства

2.3. Следствия оценок при р =

3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

3.1. Постановка задач

3.2. Существование и свойства решений

4. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В ПОДОБЛАСТЯХ

4.1. Метод слабой проводимости

4.2. Двумерные краевые задачи

4.3. Краевые задачи для эллиптического уравнения 95 дивергентного вида

5. НЕКОТОРЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

5.1. Разрешимость начально-краевых задач и свойства решений

5.2. Изучение соответствующих задач с использованием векторного 125 и скалярного потенциалов

Системы дифференциальных уравнений в частных производных, содержащие дифференциальные операторы векторного анализа (rot, div, grad), находят применение в различных разделах фундаментальной и прикладной науки, например, в гидродинамике, электродинамике сплошных сред ([64], [65], [66], [75], [105], [110], [120], [139], [149]). Эллиптические уравнения дивергентного вида и соответствующие им параболические и гиперболические уравнения описывают стационарные и нестационарные процессы теории теплопроводности, диффузии частиц, волновые явления.

Большинство имеющих практический интерес задач допускают лишь приближенное решение с применением вычислительной техники. При разработке, обосновании и анализе алгоритмов численного решения этих задач, изучении вопросов оптимального управления распределенными системами, важную роль играет теоретическое исследование корректности соответствующих начально-краевых и краевых задач. ([1] -[4], [24], [31], [35], [37], [67], [86], [98], [115]-[117], [119], [122], [135], [141], [143], [151], [159] [164], [174], [180]).

При изучении вопросов корректности постановок различных задач, построения численных схем и их обоснования, при исследовании задач оптимизации, важную роль играют свойства классов функций, в которых рассматриваются проблемы разрешимости.

Задачам исследования функциональных классов, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа посвящены работы Г. Вейля [19], Э. Б Быховского, Н. В. Смирнова ([17], [18]), С. Г. Крейна ([62]), С.Л. Соболева [127], Р. Темама ([138]). Развитие идей, заложенных в [19] и применение полученных результатов к изучению различных математических задач гидродинамики, начатое трудами J. Leray ([170]-[172]), продолжилось в работах J. Heywood, [166], [167], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, А. А. Киселева ([56], [71], [76], [131]) В. Н. Масленниковой, А. А. Дезина, М. Е. Боговского, М. А. Тимошина ([16], [87] - [91]), А. Т. Плотницкого [109], Ю. А. Дубинского ([32], [33]).

Важнейшую роль при изучении корректности обобщенных формулировок краевых и начально-краевых задач играют различные неравенства, такие, как неравенства Фрид-рихса, Пуанкаре, Корна (неравенства такого типа часто в литературе называются неравенствами Корна).

В задачах гидродинамики и электродинамики однородных сред используется неравенство, связывающее норму вектор-функции, касательная или нормальная составляющая которой на границе области равна нулю, норм ее ротора и дивергенции в пространстве L2'. м|| ^ c(j|rot «I + ||div к ||), (0.1) где положительная величина С зависит только от характеристик области.

В работах [17], [18] эта оценка установлена для соленоидальных функций с использованием свойств интеграла типа потенциала, в [109], [138] она доказана на основе полученного в [34] неравенства, связывающего нормы функции, ее ротора, дивергенции и градиента. Зависимость константы в неравенстве (0.1) от геометрии области рассматривалась М. П. Галаниным, Ю. П. Поповым в [24].

С помощью оценки (0.1) доказывается, в частности, вложение пространств функций с суммируемыми ротором и дивергенцией в пространства Соболева.

Достаточно широко в литературе освящен вопрос, связанный с изучением различных задач для систем уравнений, содержащих дифференциальные операции векторного анализа, имеющих приложения в электродинамике и магнитной гидродинамике.

В работах [5]-[7] строятся решения стационарных и нестационарных краевых задач для уравнений Максвелла в пространстве обобщенных функций. Фундаментальные решения для уравнений Максвелла рассматриваются также в [80].

Для описания электромагнитного поля при функциональной зависимости общего вида в{й), d(e) Самохиным А.Б. в работе [118] строится система сингулярных интегральных уравнений.

Исследование дифференциальных свойств решений задач гидродинамики опирается обычно на стандартную технику для эллиптических систем ([25], [61], [78], [102], [104], [125], [145], [150], [157], [158]) и связано с получением для решения априорных оценок в пространствах Соболева более высокого порядка и в пространствах Гельдера ([121], [130], [132]). Для применения указанной схемы исследования к задачам для системы уравнений Максвелла в работах [11]-[15], [26], [92], [93], [179] рассматривается расширение операторов электродинамики и погружение тем самым исходной задачи в эллиптическую задачу большей размерности. Корректность определения оператора Максвелла в негладких областях в связи с задачей колебания полого резонатора обсуждалась в работах М. III. Бирмана и М. 3. Соломяка ([11]-[15]). В работах С. И. Матюкевича ([92], [93]) получено асимптотическое представление решения системы уравнений Максвелла вблизи особенностей границы.

Изучение нестационарных проблем обычно включает в себя исследование поведения решения на бесконечном интервале времени ([96], [97], [177], [178], [181]). Значительные результаты в этом направлении дает рассмотрение полугруппы, порождаемой оператором задачи ([55], [95], [153]-[155]).

Во многих имеющих практический интерес случаях рассматривается система уравнений Максвелла квазистационарном магнитном приближении ([64], [79], [117], [137], [169]). При этом тип системы меняется с гиперболического на параболический и задача, как и в стационарном случае, допускает обобщенную формулировку в виде интегрального тождества.

Разрешающие соотношения, полученные в результате постановки задач в виде вариационных принципов и интегральных тождеств, могут служить исходными для применения методов Ритца и Галеркина, что обеспечивает единство инструментальных средств при решении комплексных физических проблем в сплошных средах.

Одним из требований, предъявляемым к вычислительным алгоритмам, является свойство однородности ([115], [141]), позволяющее вести расчет во всей области по одним и тем же формулам, не выделяя явно какие-либо особенности решения. При наличии в расчетной области непроводящих включений базисные функции при дискретизации должны удовлетворять условию rot« = О в диэлектрике. Вопрос о построении однородных вычислительных алгоритмов решения задач для квазистационарной системы уравнений Максвелла в среде с непроводящими включениями, рассматривается в работе [24] Га-ланина М. П., Попова Ю. П. Для стационарных электродинамических задач в [51] был предложен метод слабой проводимости, позволяющий искать решение во всей области. Применение этого метода к двумерным стационарным задачам рассмотрено в данной работе.

Существенной проблемой численного решения стационарных и квазистационарных задач электродинамики является проблема учета условия соленоидальности вектора магнитной индукции, не позволяющего использовать классические базисные функции при дискретизации функциональных пространств. Этот вопрос обсуждался в связи с задачами динамики вязкой несжимаемой жидкости и его решение связано с введением специальных аппроксимирующих пространств либо с организацией итерационных процессов ([58], [59], [138], [159], [166]).

Преодолеть трудности, связанные с наличием соленоидальности, можно с помощью метода искусственной сжимаемости, который заключается в добавлении к исходной системе члена вида y'graddivw ([138]). Метод аппроксимации нестационарных уравнений Навье - Стокса системой типа Коши-Ковалевской на основе метода искусственной сжимаемости предложен Г. М. Кобельковым ([58], [59]). Аналогичный подход к задачам для системы уравнений Максвелла позволяет получить обобщенные постановки краевых задач, при которых в стационарном случае условие соленоидальности является свойством решения ([50]), а в квазистационарном экспоненциально устойчиво.

В реальных ситуациях коэффициенты систем уравнений, описывающих различные физические процессы, могут зависеть от различных характеристик физико-механических полей, что приводит, в частности, к зависимости коэффициентов от пространственных координат ([99], [118], [120], [136], [137], [144], [148]). Например, уравнения Максвелла приходится изучать совместно с уравнениями механики сплошных сред (уравнения магнитной гидродинамики, магнитотермоупругости) или с кинетическими уравнениями для функций распределения заряженных частиц. Во всех этих случаях задача определения электромагнитных полей является частью решения более сложных, как правило, нелинейных задач.

Система уравнений Максвелла в ферромагнитной среде, где д - известная положительная функция рассмотрена А. А. Березовским, Т. А. Плотницким в [10]. Решение начально-краевой задачи при определенных условиях на функцию (I ищется методом Бубнова-Галеркина.

В случае негладких коэффициентов системы разрешимость в классическом смысле рассматриваемых задач может не иметь места и на первый план выходит изучение их обобщенных постановок ([5]-[7], [21], [23], [63], [68], [70], [76]-[78], [91], [162], [167], [168], [170]-[172]). При этом оценки типа (0.1) не могут быть непосредственно применены для исследования корректности постановок, что приводит к серьезным проблемам при изучении обобщенных формулировок задач. В частности, в системе уравнений Максвелла используются дифференциальные операции вида rot ми diver й, где коэффициент о не является гладкой функцией. В этом случае оценки нормы и в пространствах Соболева через нормы rot и и diva й, вообще говоря, не имеют места.

В работах О. А. Ладыженской, И. И. Рохкинда, В. А Солонникова ([73], [75], [114], [131]) рассматриваются задачи дифракции и магнитной гидродинамики с кусочно-непрерывными коэффициентами. При этом обобщенные задачи формулируются в виде интегральных тождеств, справедливость которых влечет выполнение условий согласования на границах различных сред. Исследование дифференциальных свойств решений поставленных задач ведется внутри областей, в которых коэффициенты являются непрерывными функциями ([131]).

Задачи для системы уравнений Максвелла с кусочно-постоянными коэффициентами магнитной и диэлектрической проницаемости исследуются в работе Г. Дюво, Ж. JL Лионса [34]. Решения задач ищутся в пространствах суммируемых функций й таких, что rot /л~хй е Ь2. Принадлежность решений пространству Соболева Н1 устанавливается в областях постоянства коэффициентов.

Случай неоднородной неизотропной среды, в которой /л, е - матрицы измеримых функций, рассматривается М. Ш. Бирманом в [12]. Вводятся в рассмотрение пространства функций и таких, что divsu е Ь2, где s — матрица функций, определяются ортогональные разложения пространства Ьг с эквивалентной нормой. Вопрос о существовании априорных оценок типа неравенства Корна изучается при условии гладкости коэффициентов.

В статье [39] А.В. Калининым получены неравенства, связывающие при различных краевых условиях (равенство нулю на границе тангенциальной компоненты й или нормальной компоненты v ) скалярное произведение вектор-функций в Ьг, норму в L2 ротора одной из них и дивергенцию другой: и,v)£ C(j|rotu||j|v| + ||divv||H|), (u,v)<; c(j|rot£|||v|| + ||divv|H + [rot«||||divv||). (0.2)

Неравенства (0.1) являются их следствием при й = v. Применяемые к функциям й = Н, v = /иН оценки (0.2) позволили доказать разрешимость краевых задач для систем уравнений в частных производных, возникающих, в частности, при изучении системы уравнений Максвелла, единственным требованием к коэффициентам которой была их существенная ограниченность ([50], [52]).

Таким образом, актуальность темы исследования обусловлена широким спектром прикладных задач, которые изучаются с помощью систем дифференциальных уравнений с коэффициентами общего вида, содержащих операции векторного анализа и важность теоретического изучения этих задач в связи с построением численных алгоритмов решения задач оптимального управления.

Цель исследования

Целью настоящей диссертации является исследование корректности постановки краевых и начально-краевых задач для некоторых систем уравнений в частных производных с негладкими коэффициентами, содержащих дифференциальные операции векторного анализа, с помощью оценок, связывающих скалярные произведения вектор-функций и Ip-нормы их ротора и дивергенции.

0.2. Содержание, структура работы и методика исследования

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти разделов и списка литературы из 181 наименования. Общий объем диссертации - 157 страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассматривались краевые и начально-краевые задачи для некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных с негладкими коэффициентами, содержащие дифференциальные операции векторного анализа. В частности, в указанный класс задач попадают некоторые задачи для системы уравнений Максвелла.

Основной целью работы являлось исследование корректности обобщенных постановок рассматриваемых задач, изучение асимптотического поведения решений краевых задач в зависимости от коэффициентов системы и решений начально-краевых задач при t-> oq

Отметим основные результаты, полученные в диссертации.

Доказаны используемые в работе новые оценки скалярных произведений векторных полей через нормы их ротора и дивергенции в /^-пространствах.

Рассмотрены различные обобщенные постановки краевых задач и начально-краевых задач для системы уравнений Максвелла, коэффициенты ц, б, ст которой -самосопряженные, положительно определенные линейные операторы, действующие в {Ь2 (о)}3 . В том числе, сформулированы такие задачи определения Н, что условие соленоидальности вектора jjH является свойством решения в стационарном случае и экспоненциально устойчиво в квазистационарном.

Предложены новые калибровочные соотношения, позволяющие сформулировать в виде интегральных тождеств задачи определения векторного магнитного потенциала.

Доказана однозначная разрешимость поставленных задач. Изучена связь между задачами в терминах векторного магнитного потенциала при различных калибровочных соотношениях. Установлена эквивалентность задач в терминах векторного магнитного потенциала эквивалентным постановкам в терминах напряженности магнитного поля.

Рассмотрены задачи для стационарной системы уравнений Максвелла в области, содержащей непроводящие включения. Метод слабой проводимости, заключающийся в замене непроводящих включений слабопроводящими, применен к трехмерным задачам с различными краевыми условиями и к двумерным плоским задачам, обобщен для эллиптических дифференциальных уравнений дивергентного вида с произвольным числом независимых переменных.

Доказана асимптотическая устойчивость решений стационарных задач. Получены оценки скорости стабилизации решений.

1. Агошков В.И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. М.: ИВМ РАН, 2003.

2. Александров А.П., Дмитриев В.И. О задаче Коши для уравнений Максвелла в анизотропной проводящей среде// Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд. МГУ, 1975. Вып. 24. - С. 23-37

3. Алексеев Г.В. Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости// Сибирский математический журнал, 2004. Т. 45, №2. - С. 243-263.

4. Алексеев Г.В. О разрешимости однородной начально-краевой задачи для уравнений магнитной гидродинамики идеальной жидкости// Динамика сплошных сред, 1982. Т. 57. С. 3-20.

5. Алексеева Л.А. Обобщенные решения нестационарных краевых задач для уравнений Максвелла// ЖВМ и МФ, 2002. Т. 42. №1. - С. 76-88.

6. Алексеева Л.А., Саутбеков С.С. Метод обобщенных функций при решении стационарных краевых задач для уравнений Максвелла// ЖВМ и МФ, 2000. Т. 40, №4.-С. 611-622.

7. Алексеева Л.А., Саутбеков С.С. Фундаментальные решения уравнений Максвелла// Дифференциальные уравнения, 1999. Т.35. №1. С. 125-127.

8. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. — Новосибирск: Наука, 1983.

9. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Эффективные методы решения уравнений Навье Стокса// Численное моделирование в аэрогидродинамике. — М.: Наука, 1976. С. 37-45.

10. Березовский А.А., Плотницкий Т.А. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики проводящих сред// Краевые задачи электродинамики проводящих сред/ Под ред. Ю.А. Митропольского. Киев: Изд. ИМ АН УССР, 1976. - С. 139-148.

11. Бирман М.Ш. Три задачи теории сплошных сред в многогранниках// Записки научных семинаров ПОМИ. Т.200. Вып. 24. С. 27-37.

12. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Ьг-теория оператора Максвелла в произвольных областях// Успехи математических наук, 1987. Т. 42 , № 6. С. 61-76.

13. Бирман М.Ш. Об операторе Максвелла в областях с ребрами// Записки научных семинаров ЛОМИ, 1985. Т. 147, вып.17.- С. 3-9

14. Бирман М.Ш. Оператор Максвелла для резонатора с входящими ребрами// Вестник ЛГУ. Сер.1, 1986. №3. С.3-8.

15. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Оператор Максвелла в областях с негладкой границей// Сибирский математический журнал, 1987. Т.27, №1. С.23-76.

16. Боговский М.Е. Решение некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad// Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1980. С. 5-40.

17. Быховский Э.Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально-проводящей границы// Вестник ЛГУ, 1957. № 13. С. 50-66.

18. Быховский Э. Б., Смирнов Н. В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа// Труды МИАН СССР , 1960. Т.59. С. 5-36.

19. Вейль Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала// Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984.

20. Вишик М.И. Метод ортогональных и прямых разложений в теории эллиптических дифференциальных уравнений// Математический сборник, 1949. Т. 25 (67). С. 189234.

21. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976.

22. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости// Математический сборник, 1961. Т.53. С. 393-428.

23. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

24. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. М.: Наука, Физматлит, 1995.

25. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

26. Гудович И. С., Крейн С.Г., Куликов И.М. Краевые задачи для уравнений Максвелла// Доклады АН СССР, 1972. Т. 207 , №2. С. 321-324.

27. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат, 1953.

28. Данцер Л., Грюнбаум Б. Кли В. Теорема Хелли и ее применения. М.: Мир, 1968.

29. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: Издательство иностранной литературы, 1956.

30. Дезин А.А., Зеленяк Т.И., Масленникова В.Н. О некоторых математических задачах в гидродинамике// Дифференциальные уравнения с частными производными. -Новосибирск: Наука, 1980. С. 21-31.

31. Демирчян К.С., Чечурин B.JL Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986.

32. Дубинский Ю.А. Об одном ортогональном разложении Lp в и его приложении к задаче Стокса//Доклады РАН, 2000. Т.374, № 1. С. 13-16.

33. Дубинский Ю.А. Об одном ортогональном разложении Соболевских пространств и краевой задаче типа задачи Стокса// Доклады РАН, 2000. Т.373, № 6. С. 727-730.

34. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

35. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

36. Ильин В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных методов// Труды МИ АН СССР, 53, 1959. С. 64-127.

37. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985.

38. Иосида К. Функциональный анализ. М., Мир, 1967.

39. Калинин А.В. Некоторые оценки теории векторных полей// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление 1997. Т. 20, №1. С. 3238.

40. Калинин А.В., Калинкина А.А. Некоторые оценки векторных полей и их применение в электромагнитной теории/ Нижегород. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского. — Н. Новгород, 2002. 29 с. - Деп. в ВИНИТИ № 8-В 2002.

41. Калинин А.В., Калинкина А.А. Lp-оценки векторных полей// Известия вузов. Математика. -2004. № 3. С. 26-35.

42. Калинин А.В., Калинкина А.А Оценки векторных полей и стационарная система уравнений Максвелла// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 2002. Вып. 1 (25). С. 95-107.

43. Калинин А.В., Калинкина А.А. Вариационные формулировки квазистационарных задач электродинамики// Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2003. С. 114-115.

44. Калинин А.В., Калинкина А.А. Квазистационарные начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 26. С. 21-38.

45. Калинин А.В., Калинкина А.А. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения// Современные методы качественной теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы « Понтрягинские чтения-XIV» -Воронеж: ВГУ, 2003. С. 61-62.

46. Калинин А.В., Калинкина А.А. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения// VIII Нижегородская сессия молодых ученых: Тезисы докладов. — Н. Новгород: Изд. Гладкова О. В., 2003. С. 28-29.

47. Калинин А.В., Морозов С.Ф. Стационарные задачи для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 1997. С. 24-31.

48. Калинин А.В., Морозов С.Ф. Стационарные электромагнитные поля в неоднородных средах с непроводящими и слабо проводящими включениями// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 1999. № 1 (20). -С. 48-62.

49. Калинин А.В., Морозов С.Ф. Система уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 2001. № 1 (23). С. 97-106.

50. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., Наука, 1984.

51. Капитонов Б.В. Оценки при t->оо решений краевых задач для одной системы уравнений газовой динамики// Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1976. Вып. 27.- С. 45-51.

52. Киселев А.А., Ладыженская О.А. О существовании и единственности решения для нестационарной задачи вязкой несжимаемой жидкости// Известия АН СССР, сер. математическая, 1951. Т. 21, № 5. С. 655-680.

53. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. Л.: Изд-во ВКАС, 1949.

54. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье Стокса в переменных скорость-давление// Вычислительные процесы и системы. - М.: Наука, 1991. Вып. 8. С. 204-236.

55. Кобельков Г.М. Симметричные аппроксимации уравнений Навье — Стокса// Математический сборник, 2002. Т. 193, № 7. С. 87-108.

56. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.: Изд-во АН СССР, 1951.

57. Кошелев А.И. Об ограниченности в Lp производных от решений эллиптических дифференциальных уравнений// Математический сборник, 1956. Т. 38 (80). С. 339372.

58. Крейн С.Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики//Доклады АН СССР, 1953. Т. 93. № 6. С. 969-972.

59. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. -М.: Наука, 1967.

60. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Физматгиз, 1962.

61. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988.

62. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. - М.; Л.: Гостехиздат, 1961.

63. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. — М.: Энергоатомиздат, 1984.

64. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

65. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматгиз, 1961.

66. Ладыженская О.А. О решении нестационарных операторных уравнений различных типов. Доклады АН СССР, 1955. Т. 102, №2. С. 207-210; Математический сборник, 1956. Т. 39 (81), № 4. С. 491-552.

67. Ладыженская О.А. Об однозначной разрешимости в целом трехмерной задачи Коши для уравнений Навье-Стокса при наличии осевой симметрии// Записки научного семинара ЛОМИ, 1968. Вып.7. С. 155-177.

68. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Гостехиздат, 1953.

69. Ладыженская О.А. О решении общей задачи дифракции// Доклады АН СССР, 1954. Т.96, № 3. С. 427-429.

70. Ладыженская О.А. Решение «в целом» краевой задачи для уравнений Навье Стокса в случае двух пространственных переменных// Доклады АН СССР, 1958. Т.123, № 3. - С. 427-429.

71. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости// Труды МИАН СССР, 1960. Т.59.-С. 115-173.

72. Ладыженская О.А., Солонников В.А. О некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач для уравнений Навье-Стокса. — Записки научного семинара ЛОМИ, 1976. Т.59, вып.9. С. 81-116.

73. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1963.

74. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1964.

75. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

76. Латова А.Ю, Чудинович И.Ю. Граничные уравнения в задачах нестационарной дифракции электромагнитных волн// Дифференциальные уравнения, 1997. Т. 33, № 9. -С. 1191-1198.

77. Лебедев А.Д., Урюков Б.Д. Импульсные ускорители плазмы высокого давления. -Новосибирск: Изд. ИТФ СО АН СССР, 1990.

78. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

79. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

80. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

81. Макаров А.М., Лунева Л.А., Макаров И.А. О роли лоренцевой калибровки в уравнениях электродинамики// Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки, 2002. №1. С. 118-123.

82. Марчук Г.И., Агошков В.И. Ввведение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

83. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей// Сибирский математический журнал, 1983. Т. 24, №5. С. 159-171.

84. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Аппроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики// Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука, 1986. С. 129-137.

85. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. О плотности финитных соленоидальных векторных полей// Сибирский математический журнал, 1978. Т.19, № 5. С. 10921108.

86. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Пространства Соболева соленоидальных векторных полей// Сибирский математический журнал, 1981. Т.22, № 3. С. 91-118.

87. Масленникова В.Н., Тимошин М.А. Обобщенные решения с первыми производными из Lp в задаче обтекания для системы Стокса// Сибирский математический журнал, 1994. Т. 35, №1. С. 135-162.

88. Матюкевич С.И. О нестационарной системе Максвелла в клине// Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер.1, 2000. Вып. 1. С. 35-43.

89. Матюкевич С.И. О нестационарной системе Максвелла в областях с ребрами //Алгебра и анализ, 2003. Т. 15, вып. 6. С. 86-140.

90. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

91. Моргулис А.Б., Юдович В.И. Асимптотическая устойчивость стационарного режима протекания идеальной несжимаемой жидкости// Сибирский математический журнал, 2002. Т. 43, № 4. С. 840-857

92. Мукминов Ф.Х. Об убывании решений первой смешанной задачи для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса в области с некомпактной границей// Математический сборник, 1992. Т. 183, № 10. С. 123-144.

93. Мукминов Ф.Х. О скорости убывания сильного решения первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса в областях с некомпактными границами// Математический сборник, 1993. Т. 184, № 4. С. 139 - 160.

94. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. -М.: Наука, 1967.

95. Никольский В.В., Никольская Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983.

96. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. -М.: Наука, 1977.

97. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1977.

98. Обен Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.

99. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1981.

100. Олейник О.А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами// Известия АН СССР, серия математическая, 1961. Т. 25, № 1. С. 3-20.

101. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд. МГУ,1990.

102. Ольшанский М.А. О задаче Стокса с модельными краевыми условиями// Математический сборник, 1997. Т. 188, № 4. С. 127- 144.

103. Петунин И.М. Об асимптотической оценке решений первой краевой задачи в полупространстве для уравнений движения вязкой вращающейся жидкости// Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. М.: УДН, 1983. С. 64-85.

104. Пилецкас К. Об асимптотике решений стационарной системы уравнений Навье-Стокса в области типа слоя// Математический сборник, 2002. Т. 193, № 12. С. 69104.

105. Плотницкий Т.А. О некоторых свойствах операторов векторного анализа в пространствах С. Л. Соболева// В сб. Краевые задачи электродинамики проводящих сред/ Под ред. Ю.А. Митропольского. Киев: Изд. ИМ АН УССР, 1976. - С. 149-165.

106. Попов Ю.П. К расчету магнитодинамических ударных волн, ионизирующих газ// ЖВМиМФ- 1970.Т.10, №5.-С. 1238-1248.

107. Ривкинд В. Я., Фридман Н. Б. Об уравнениях Навье-Стокса с разрывными коэффициентами// Записки научного семинара ЛОМИ, 1973. Т. 38, № 7. С. 137-148.

108. Ривкинд В.Я., Эпштейн Б.С. Проекционные сеточные схемы для решения уравнений Навье-Стокса в ортогональных криволинейных системах координат// Вестник ЛГУ, 1974. Т. 3,№ 13. С. 46-53.

109. ИЗ. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.

110. Рохкинд И.И. Нестационарная дифракция электромагнитных волн// Вестник ЛГУ, 1958. № 7. с. 109-124.

111. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1978.

112. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решений сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

113. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. -М.: Наука, 1980.

114. Самохин А.Б. Интегральные уравнения для нестационарных задач электродинамики в материальных средах// Дифференциальные уравнения, 2002. Т. 38, № 9. С. 12881290.

115. Самохин А.Б. Метод решения внутренних задач электродинамики// Дифференциальные уравнения, 1997. Т. 33, № 9. С. 1291-1292.

116. Самохин В.Н. О стационарных задачах магнитной гидродинамики неньютоновских сред// Сибирский математический журнал, 1992. Т. 33, № 4. С. 120-127.

117. Светов Б.С., Губатенко В.П. Аналитические решения электродинамических задач. — М.: Наука, 1988.

118. Свешников А.Г. Обоснование метода исследования распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением// ЖВМ и МФ, 1963. Т.З, № 5. С. 953-955.

119. Сливняк И.М. О краевых задачах для уравнения Максвелла// Математический сборник, 1954. Т. 35, № 3. С. 369-394.

120. Слободецкий Л. Н. Оценки в Lp решений эллиптических систем// Доклады АН СССР, 1958. Т. 123, №4. С. 616-619.

121. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

122. Соболев С.JI. Об одной новой задаче математической физики// Известия АН СССР, серия математическая, 1954. Т. 18, № 1. С. 3-50.

123. Соболев С.Л. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений// Математический сборник, 1937. Т.2, № 3. С. 465-500.

124. Соболев С.Л. Плотность финитных функций в пространстве Lpm(En)// Сибирский математический журнал, 1963. Т. 4, № 3. С. 673-682.

125. Солонников В.А. О дифференциальных свойствах решения первой краевой задачи для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса// Труды МИ АН СССР, 1964. Т. 73.-С.221-291.

126. Солонников В.А. О некоторых стационарных краевых задачах магнитной гидродинамики// Труды МИ АН СССР, 1960. Т. 59. С. 174-187.

127. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса// Труды МИ АН СССР, 1964. Т. 70. С. 213-317.

128. Солонников В.А., Щадилов В.Е Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений Навье-Стокса// Труды МИ АН СССР, 1973, Т. 125. С. 196-2101.

129. Солонников В.А. О краевой задаче с разрывными краевыми условиями для уравнений Стокса им Навье-Стокса в трехмерном случае// Алгебра и анализ, 1993. Т. 6, № 3. С. 252-270.

130. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

131. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. — М.; Л.: Гостехиздат, 1948137. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976.

132. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

133. Темам Р. Математические задачи теории пластичности,- М.: Наука, 1991.

134. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

135. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах// ЖВМ и МФ, 1961. Т.1, № 1. С. 5-63.

136. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.

137. Тозони О. Б. Математические модели для расчета электрических и магнитных полей. Киев: Наукова думка, 1964.

138. Толмачев В. В., Головин А. М., Потапов В. С. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд.-во МГУ, 1988.

139. Уральцева Н.Н. О регулярности решений многомерных эллиптических уравнений и вариационных задач//Доклады АН СССР, 1960. Т.130, № 6. С. 1206-1209.

140. Уральцева Н.Н. О невозможности Wq2 оценок для многомерных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами// Записки научных семинаров ЛОМИ, 1961. Т. 5. С. 250-257.

141. Фадеев Д.К., Вулих Б.З., Уральцева Н.Н. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Л.: Изд.-во ЛГУ, 1981.

142. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. Электродинамика. М.: Мир, 1966.

143. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964.

144. Шефтель З.Г. Оценки в Lp решений эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, удовлетворяющих общим граничным условиям и условиям сопряжения// Доклады АН СССР, 1963. Т. 149, № 1. С. 48-51.

145. Чижонков Е.В. Об одной системе уравнений типа магнитной гидродинамики// Доклады АН СССР, 1984. Т. 278, №5. С. 1074-1077.

146. Чижонков Е.В. О сходимости одного алгоритма для решения задачи Стокса// Вестник МГУ, сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1995. № 2. С. 12-17.

147. Юдович В. И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости// ЖВМ и МФ, 1963. Т. 3, № 6. С. 1032-1066.

148. Юдович В.И. Периодические движения вязкой несжимаемой жидкости// Доклады АН СССР, 1960. Т. 130. С. 1214-1217.

149. Юдович В. И. Двумерная нестационарная задача протекания идеальной несжимаемой жидкости через заданную область// Математический сборник, 1964. Т. 64, № 4. С. 562-588.

150. Эйдус Д.М. О существовании нормальной производной решения задачи Дирихле// Вестник Ленинградского университета: Сер. матем., мех. и астрономии, 1956. № 13, Вып.З. С.147-150.

151. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions I// Comm. Pure Appl. Math., 1959. V. 12. P. 623-727.

152. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II// Comm. Pure Appl. Math., 1964. V. 17.-P. 35-92.

153. Agoshkov V., Bardos С., Buleev S. Solution of the Stokes problem as an inverse problem// Computational methods in applied mathematics. V. 2,2002. № 36. P. 213-232.

154. Browder F. E. Nonlinear elliptic boundary value problems// Bull. Amer. Math. Soc., 1963. V 69. P. 862-874.

155. Fois C., Temam R. Structure of the set of stationary solutions of the Navier Stokes equations// Comm Pure Appl. Math., 1977. V. 30. P. 149-164.

156. Friedrichs К. O. Differential forms on Riemannian manifolds// Comm. pure and appl. math. 1955.-V. 8.-P. 551-590.

157. Girault V. Raviart P. Finite element methods for Navier-Stokes Equations. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New-York/ Tokyo, 1986.

158. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems. New York: Springer, 1984.

159. Gunzburger M. D., Meir A. J., Peterson J. S. On the existence, uniqueness and finite element approximation of solution of the equations of stationary, incompressible magnetohydrodynamics// Math. Como. 1991. V. 56, № 194. P. 563- 583.

160. Heywood J. G. The exterior nonstationary problem for the Navier Stokes equations// Acta Math., 1972. V. 129. P. 11-34.

161. Heywood J. G. On uniqueness questions in the theory of viscous flow, Acta Math., 1974. 136, 1974, P. 443-450.

162. Kato T. Strong Lp-solutions of the Navier-Stokes equations in Rm, with applications to weak solutions// Math. Z. 1984. V. 187. P. 471-480.

163. Kawashima S., Shizuta Y. Magnetohydrodynamic Approximation jf the Complete Equations for an Electromagnetic Fluid. II// Proc. Japan Acad. 1986. V 62. Ser. A, № 5.-P. 181-184.

164. Leray J. Etude de diverses equations integrals nonlineaires et de quelques problemes que pose l'hydrodynamique// J. Math. Pures et Appl., 1933. V. 12. P. 1-82.

165. Leray J. Essai sur les mouvements plans d'un liquide visqueux que limitent des parois// J. Math. Pures et Appl., 1934. V. 13. P. 331-418.

166. Leray J. Essai sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace // Acta Math., 1934. V. 63.-P. 193-248.

167. Lions J.-L., Stampacchia G. Variational inequalities// Comm. Pure Appl. Math., 1967. V. 20. P.493-519.

168. Meir A. J., Schmidt P. Analysis and numerical approximation of a stationary MHD flow problem with nonideal boundary// SIAM J. Numer. Anal. 2000. V. 36, № 4. P. 1304-1332.

169. Schmidt G. Spectral and scattering theory for Maxwell's equations in an exterior domain// Arch. Rat. Mech. Anal., 1968. V. 28. P. 284-322.

170. Sermange M., Temam R. Some mathematical questions related to the MHD equations// Comm/ Pure Appl. Math., 1983. V. 36. P. 635-664.

171. Schonbek M. E. L2 decay for weak solutions of the Navier-Stokes equations// Arch. Hation. Mech. and Anal. 1986. V. 88. P. 209-222.

172. Schonbek M. E. Large time behavior of solutions to the Navier-Stokes equations// Comm. Partial Differential Equations. 1986. V. 11 P. 733-763.

173. Week V. Maxwell's boundary value problem on Riemannian manifolds with nonsmooth boundaries// J. of Math, analysis and appl., 1974. V. 46, № 2. P. 410-437.

174. Wiedmer M. Finite element approximation for equations of magnetohydrodynamics// Math. Сотр. 1999. V. 69, № 229. P. 83-101.

175. Wiegner M. Decay results for weak solutions of the Navier-Stokes equation// J. London Math. Soc. 1987. V.36. P. 303-313.