Исследование одного класса дифференциальных уравнений для квазистационарных потенциальных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Жидков Артем Александрович

Исследование одного класса дифференциальных уравнений для квазистационарных потенциальных полей

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2012

005047297

005047297

Работа выполнена на кафедре математической физики Нижегородск государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Калинин Алексей Вячеславович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баландин Дмитрий Владимирович, заведующий кафедрой численного и функционального анализа ННГУ им. Н.И. Лобачевского

доктор физико-математических наук, доцент Потапов Михаил Михайлович, профессор кафедры оптимального управления МГУ им. М.В. Ломоносова

Ведущая организация:

Институт математики и механики Уральского отделения

Защита состоится «24» мая 2012 г. в 14 часов 40 минут на заседани: диссертационного совета Д 212.166.06 в Нижегородском государственно! университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород пр. Гагарина, д. 23, корп. 2, зал научных демонстраций.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотек Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

С текстом автореферата можно ознакомиться на сайте Нижегородскоп государственного университета им. Н.И. Лобачевского http://www.unn.ru/

Автореферат разослан «Je » о^ре^ 2012 г.

РАН

Учёный секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент

В.И. Лукьяно]

ощая характеристика работы

Актуальность работы. Дифференциальные уравнения с частными роизводными, содержащие дифференциальные операции векторного ана-иза используются при моделировании самых разнообразных физических влений и являются основным математическим аппаратом гидродинамики, еханики сплошных сред, теории поля, электромагнитной теории. Реше-иями таких уравнений являются векторные поля различной физической рироды. Исследование таких задач опирается на специальные свойства >ункциональных пространств, связанных с дифференциальными операция-и векторного анализа, и различные теоремы вложения, в основе которых, ак правило, лежат оценки для норм векторных полей в этих пространствах.

В частности, с физической и математической точки зрения одним из ажнейших моментов изучения структуры векторного поля является вы-еление его вихревой и потенциальной составляющих. Основополагающей в гом направлении является работа Г. Вейля'1', в которой впервые было полу-ено ортогональное разложение произвольного векторного поля на прямую умму ортогональных подпространств соленоидальных и потенциальных по-ей. В этой работе также впервые были получены оценки для норм вектор-ых полей в функциональных пространствах, связанных с дифференциаль-ыми операциями векторного анализа. Идея ортогонального ироектирова-ия и теоремы вложения соответствующих функциональных пространств олучилн существенное теоретическое развитие и нашли важное примене-ие при изучении различных прикладных задач в работах C.JL Соболева, ).А. Ладыженской, Дж.Дж. Хейвуда, Г. Дюво, Ж.-Л. Лионса, В.А. Солон-икова, В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского, Э.Б. Быховского, Н.В. Смир-:ова, С.Г. Крейна, Р. Темама, Ю.А. Дубинского, В. Жиро, П.-А. Равьяра, {ж. Лере и ряда других авторов. Принципиальной основой этих исследова-:ий послужила развитая С.Л. Соболевым и его учениками теория обобщён-!ого дифференцирования в пространствах суммируемых функций и концеп-;ия обобщённых решений уравнений с частными производными.

В диссертационной работе получены новые Lp-оценки для скалярных [роизведений векторных полей, находящих применение при изучении си-тем уравнений, моделирующих различные процессы в неоднородных сре-

L] Weil Н. The method of orthogonal projections in potential theory. — 1940. — Vol. 7. — Pp. 411-444.

дах. Эти результаты являются развитием работ A.B. Калинина'2,3', в торых аналогичные оценки были получены для ограниченных областей. ; качестве иллюстрации применения полученных оценок изучена задача о определении потенциальных и вихревых полей для стационарной систем] уравнений Максвелла.

Различные классы задач для системы уравнений Максвелла, соотве' ствующие интегральные уравнения и методы их решения рассматривались работах В.И. Дмитриева, Е.В. Захарова'4', В.П. Ильина'5', Г. Дюво, Ж.-Л. J1 онса'6' и других авторов.

В диссертационной работе изучаются некоторые постановки задач дл систем дифференциальных уравнений с частными производными об опредс лении потенциальных полей, возникающих, в частности, при исследовани: системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом npi ближении, в котором основным предположением является потенциальност электрического поля, вообще говоря, зависящего от времени. Эта систем может быть сведена к дифференциальному уравнению относительно скаля{ ного потенциала, не разрешённому относительно производной по времени называемому в работах по атмосферному электричеству уравнением глс бальной электрической цепи'7,8'. Это уравнение относится к категории ypai нений соболевского типа (также такие уравнения называются псевдопарабс лическими уравнениями), а соответствующие постановки смешанных зада1 для этих уравнений — неклассическими задачами математической физики Впервые неклассические задачи были рассмотрены при изучении гидродг

[2] Калинин А. В. Некоторые оценки теории векторных полей // Вестник Нижегородского госут верситета. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. — 1997. — Т. 2С № 1. - С. 32-38.

[3] Калинин А. В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математ! ческой физике. — Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. H.H. Лобачевскогс 2007. - 319 с.

[4] Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинг мике. — М.: МАКС Пресс, 2008. — 312 с.

[5] Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики. — М.: Наука, 1985. — 336 с.

[6] Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — M.: Наука, 1980. — 384 с.

[7] Browning G. L., Tzur /., Roble R. G. A global time-dependent model of thunderstorm electricity. Par I. Mathematical properties of the physical and numerical models // J. of the Atmospheric Sciences. -1987. - Vol. 44, no. 15. - Pp. 2166-2177.

[8] Hays P. В., Roble R. G. A quasi-static model of global atmospheric electricity. 1. The lower atmosphere / / J. of Geophysical Research. — 1979. — Vol. 84, no. A7. — Pp. 3291-3305.

.мических явлений в работах C.JI. Соболева'9,10' и в дальнейшем получили зоё развитие в работах В.П. Маслова, А.Г. Свешникова, В.Н. Масленнико-эй, М.Е. Боговского, Г.В. Демиденко, C.B. Успенского, P.E. Шоуолтера и ногих других авторов.

Для исследуемых в работе дифференциальных уравнений для квази-гационарных потенциальных полей рассматриваются новые специальные остановки начально-краевых задач, для которых решаются следующие ак-уальные вопросы. В диссертации с использованием метода ортогонально-э проектирования обосновываются важные для практических применений езультаты о корректности рассматриваемых краевых и начально-краевых здач, формулируется и обосновывается итерационный метод решения, ко-орый может быть положен в основу алгоритмов, существенно использу->щих идею распараллеливания вычислений, обосновывается возможность рименения метода Галёркина.

Для рассматриваемых квазистационарных задач в диссертации изуча-гся обратная задача о восстановлении источников по результатам гранич-ого наблюдения. Эта задача относится к разряду некорректных задач и ё решение требует формулировки и обоснования регуляризирующих алго-итмов. Теория некорректных задач опирается на классические результаты L.H. Тихонова, М.М. Лаврентьева и В.К. Иванова, которые получили суще-гвенное развитие в работах Ю.С. Осипова, A.B. Кряжимского, В.И. Дмит-иева, В.Г. Романова, В.В. Васина, С.И. Кабанихина. Важные теоретиче-кие и актуальные прикладные результаты получены в работах В.PI. Агош-ова, А.Б Бакушпнского, Ф.П. Васильева, A.B. Гончарского, A.M. Дени-ова, A.C. Ильинского, А.И. Короткого, В.II. Максимова, М.М. Потапова, L.H. Прилепко, М.И. Сумина, Ю.В. Шестопалова, А.Г. Яголы и других ав-оров.

В диссертации для решения обратной задачи граничного наблюдения рименяется итеративный вариант метода двойственной регуляризации, редложенного и развитого в последние годы в работах М.И. Сумина'11'. Он

|| Соболев С. Л. Об одной новой задаче для системы уравнений в частных производных // Доклады

АН СССР. - 1951. - Т. 81, .Ni 6. - С. 1007-1009. 0] Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Известия АН СССР. Сер. Ма-

телштическая. — 1954. — Т. 18, V 1. — С. 3-50. .1] Сумин Л/. И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения // Журн. вычисл. матели и лштели физики. - 2004. - Т. 44, .V 11. - С. 2001-2019.

является основанным на теории двойственности итерационным регулярь рующим алгоритмом условной оптимизации, двойственная задача в которо] решается с привлечением метода стабилизации А.Н. Тихонова.

Разработанная в диссертации теоретическая основа использована пр реализации вычислительного исследовательского программного комплекс? с использованием которого были получены важные прикладные результат! теории электрических явлений в атмосфере.

Цель диссертационной работы. Целью работы является строгое мг тематическое обоснование корректности краевых и начально-краевых зада для одного класса дифференциальных уравнений с частными производнь ми, возникающего при описании квазистационарных потенциальных полей изучение свойств решений этих задач и исследование эффективных для пс строения численных алгоритмов постановок соответствующих прямых и оС ратных задач.

Методы исследования. В диссертации используется аппарат функ ционального анализа и теории функций действительного переменного, методы теории уравнений с частными производными и дифференциально-опс раторных уравнений, методы выпуклого анализа, оптимизации и оптимал! ного управления.

Научная новизна. Все сформулированные в работе результаты явл? ются новыми и состоят в следующем:

• На основе полученных новых £р-оценок для скалярных произведенш векторных полей, исследованы задачи об определении стационарны: потенциальных полей в неоднородных неограниченных областях.

• Предложены новые строгие формулировки начально-краевых зада1 об определении потенциальных полей для одного класса дифференцг альных уравнений с частными производными, имеющего прикладно! значение.

• Доказаны теоремы о корректности предложенных постановок задач.

• Доказана теорема о стабилизации решений рассматриваемых началь но-краевых задач при £ —» оо.

• Обоснована возможность применения для решения рассматриваемы} начально-краевых задач метода Галёркина.

• Предложен и обоснован итерационный метод решения рассматривав мых начально-краевых задач, который может быть использован пр!

конструировании параллельных алгоритмов.

• Обоснована возможность применения алгоритмов двойственной регуляризации для нахождения нормального решения задачи об определении источников по результатам граничного наблюдения.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическую и рактическую значимость представляют предложенные в работе постанови краевых и начально-краевых задач для рассматриваемого класса диф->еренциальных уравнений с частными производными, теоремы об их раз-ешимости и свойствах решений, обоснование сходимости некоторых новых лгоритмов их численного решения и регулризованные алгогритмы реше-ия обратных задач. Практическая значимость этих результатов обуслов-ена возможностью их применения для математического и численного мо-.елирования электромагнитных явлений в атмосфере. В качестве конкрет-:ого практического применения полученных результатов можно рассматри-ать результаты исследований, проведённых с помощью разработанного про-раммного комплекса для решения прикладных задач атмосферного элек-ричества.

Основные результаты диссертационной работы являются частью ис-ледовании, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда эундаментальных исследований (проекты 07-01-00495-а на 2007-2009 годы [ 09-01-97019-р_поволжье_а на 2009-2010 годы), Аналитической целевой едомственной программы "Развитие научного потенциала высшей школы 2009-2011 годы)" Минобрнауки РФ (регистрационные номера 2.1.1/3927 [ 2.1.1/13303), Федеральной целевой ведомственной программы "Научные [ научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2011 годы шифр проекта НК-13П/13), гранта Минобрнауки РФ в рамках государ-твенного задания на оказание услуг подведомственными высшими учеб-[ыми заведениями (проект 1.1907.2011), гранта правительства Российской Федерации (договор № 11.G34.31.0048).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и об-:уждались на IV-X молодёжной школе-конференции "Лобачевские чтения" Казань, 2005-2011 гг.), II, III международной конференции "Современные фоблемы прикладной математики и математического моделирования" (Во-ганеж, 2007, 2009 гг.), XVII, XIX Воронежской весенней математической нколе "Понтрягннские чтения" (Воронеж, 200G, 2008 гг.), XI-XV Нижего-

родской сессии молодых учёных, математические науки (Нижний Новгород, 2006-2010 гг.), Воронежской зимней математической школе "Современны методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007, 2009 гг.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной матемг тике (Сочи-Адлер, 2007 г.), VI Российской конференции по атмосферном; электричеству (Нижний Новгород, 2007 г.), итоговой конференции учебнс научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные cpe^ ства" (Нижний Новгород, 2007 г.), VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2008 г.), X, XI международном семинаре "Супервычисления и математическое мс делирование" (Саров, 2008, 2009 гг.), Международной конференции "Совре менные проблемы математики, механики и их приложения" (Москва, 2009 г.), I молодёжной международной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009 г.), IV, V Всероссийской молодёжной научно-инновационной школе "Матема тика и математическое моделирование" (Саров, 2010, 2011 гг.), Междуна родной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.), 53-й научной конференции МФТИ "Современ ные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2010 г.), X международной конференции "Будущее технической науки" (Нижний Нов город, 2011 г.), XVI международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Нижний Новгород, 2011 г.), XIV международной конферен ции по атмосферному электричеству (Рио-де-Жанейро, Бразилия, 2011 г.), 8 международном конгрессе ISAAC (Москва, 2011 г.), международной кон ференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2011 г.).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре "Обратные задачи математической физики" в НИВЦ МГУ (рук. проф. А.Б. Бакушин ский, проф. A.B. Тихонравов, проф. А.Г. Ягола), семинаре кафедры опти мального управления факультета ВМиК МГУ (рук. проф. A.C. Антипин, проф. Ф.П. Васильев, проф. М.М. Потапов), расширенном семинаре отдела дифференциальных уравнений и отдела прикладных задач института мате матики и механики УрО РАН (рук. проф. В.И. Максимов, проф. А.И. Корот кий), семинаре кафедры математической физики ННГУ (рук. проф. В.И. Су мин).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 44 печатных аботах. В том числе из них 4 статьи в рецензируемых журналах, рекомен-.ованных ВАК для публикации результатов диссертаций. В конце автореферата приведены наиболее значимые публикации по теме диссертации.

Личный вклад автора. В публикациях, выполненных совместно с аучным руководителем A.B. Калининым, соискателю принадлежат дока-ательства всех утверждений, A.B. Калинину принадлежат постановки за-;ачи, формулировки некоторых утверждений, участие в обсуждении резуль-атов и общее руководство работой. В работах, выполненных совместно с /1.И. Суминым, автору принадлежит доказательство утверждений, обосно-¡ывающих возможность применения метода двойственной регуляризации [ри исследовании конкретных задач. В работах, выполненных совместно с LA. Тюхтиной, автору принадлежит доказательство теорем и формулиров-:а некоторых утверждений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе-шя, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации 50 страниц. Диссертация содержит G рисунков и 200 наименований литера-'УРЫ-

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, пока-;ана теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Введение содержит обзор литературы и краткое содержание работы.

В первой главе представлены необходимые сведения из функциональ-юго анализа, определены основные функциональные пространства и сформулированы их свойства. Приводятся и доказываются оценки для скаляр-1ых произведений векторных полей в неограниченных областях.

Пусть О — открытое подмножество R3. Через Ьр(П), обозна-

1аются соответственно пространства скалярных и векторных функций, суммируемых со степенью р > 1. Определим банаховы пространства

#p(rot;fi) = € {¿p(fi)}3 : rot й €= (Lp(f2)}3} , Яр(div;fi) = {ы е {Lp(il)}3 : divu G Lp(i2)| 9

с соответствующими нормами

Nk(rot;n) = (Ni;Mn)}3 + |Mi?||J ,)

1/р

Ы\Н,У*;П) = (Ni;Mn)}3 + Hdiv"llLp(n))

\1 /Р

При р = 2 для соответствующих гильбертовых пространств использованы обозначения Я (rot; ii) = H2(iot; П), Я( div; Г2) = Я2( div; ii).

о

Через Ker{ rot; П) и rot Я (rot; Q) обозначаются пространства

о

Ker(rot; Q) = {u е Я (rot; П) : rot и = 0, uT|9fi = 0} , rot Я (rot; Q) = 6 {Х2(^)}3 : и = rot v, v G ii(rot; Г2) |

со скалярными произведениями, индуцированными {^(fi)}3.

Для каждого a G К, р > 1 определим весовые банаховы пространства вектор-функций над R3

tf;(rot;R3) = {ие {LP(M3)}3 : (1 + | • |2)a/prot «(•) е {Lp(M3)}3} ,

tf£(div;R3) = {LP(R3)}3 : (1 + | • |2)a/pdiv«(-) e Lp(R3)} .

Одним из результатов диссертации является следующая

Теорема 1.1 ([4], [8]) Пусть 1 < р < оо, р ф 3/2, q = а > \ max{p, q}. Тогда существует такая положительная постоянная С(а,р), не завися щая от вектор-функций и £ Н°(rot; fi) и v G Я^ (div; ii), что справедливо неравенство

R3

(и(х) ■ v(x)) dx < С(а,р) • ( (1 + I • |2)Q/*rotu

{А,(«3)}

13U3 "^{L^)}^

+ И

Вторая глава посвящена изучению краевых и начально-краевых задач для одного класса дифференциальных уравнений, содержащих операции векторного анализа. В этой главе на основе полученных оценок для скалярных произведений векторных полей доказываются теоремы о существовании и единственности решений стационарных задач об определении потенциальных полей.

НИИ

Основной задачей, изучаемой во второй главе является система уравне-4уг ( / \ Вг 4.\ Гст/ Л 19Ё(х, ¿)

rot Н(х, t) = — (а(х)Ё(х, t) + JCT(x, t)) + -^ \ (2.1) с \ J с at

rot Ё(х, t) = 0, (2.2)

дополняемая краевыми и начальным условиями

Ёт(х,Ь) =0, (2.3)

хезп

E{x,t)\ = Ёо(х). (2.4)

Задача (2.1)—(2.4) исследуется в области (x,t) S О х (0,Т), где П — ограниченная область пространства М3, дпффеоморфная шаровому слою, с границей = Ti иГг, состоящей из двух компонент связности Г2, каждая из которых диффеоморфна сфере в R3. При решении прямых задач заданными читаются функции JCT G С([0,Т]; {¿2(^)}3) и <т G 1^(0), удовлетворяю-цая условию

0 < а, < а(х) < а*, х G П. (2.5)

Следует отметить, что система уравнений (2.1), (2.2) соответствует ква-^истационарному электрическому приближению для системы уравнений Макс-¡елла, основным предположением которого является потенциальность электрического поля (2.2), при этом в приложениях равенство нулю тангенциальной компоненты Е (2.3) соответствует граничному условию с идеально фоводящей границей.

о

Задача 1. Определить вектор-функции Е € С1 ([0, СГ]; Ker (rot; f2)) и 'ot Н G rot //(rot; Г2), удовлетворяющие уравнению (2.1) и начальному условию (2.3).

Из уравнения (2.2) и односвязности области Q следует справедливость федставления

Ё(:v,t) = — grad tp(x,t). В этом случае уравнение (2.1) преобразуется к виду

1 д Атг 4л" — —

—— grad ip(x, t)--<j(x) grad <p(x, t) -I--JCT(x, t) = rot H(x, t). (2.6)

cot с с

Применяя оператор div к последнему уравнению, получаем следующую >адачу.

Задача 2. Опред&гитъ функцию (р Е С1([0,Г]; Я1(Г2)), удовлетворяющую смешанной задаче для уравнения

—А1р{х,1) + Ап&\\(<7{х)£ха,&1р{х,1)) = 47ГСНУ /ст(Х,£) (2.7) с граничными и начальным условием

ф, 1)\хеГ1 = 0, <р(х, 1)\хеГ2 = С(1), (2.8)

Г ( д Щх, I) , аМх)ЩеА _ А ¿3 = О (2.9)

^дЬ дп дп

г2

¥>(М)|4=0 = ¥>о(*)> (2-Ю)

где С{Ь) в граничном условии (2.8) является неизвестной функцией и подлежит определению в процессе решения задачи.

Условие (2.9) необходимо для обеспечения эквивалентности уравнения (2.7) и уравнения (2.6). Уравнение (2.7) относится к неклассическим уравнениям математической физики. Также в математической литературе такие уравнения называются уравнениями соболевского типа или псевдопараболическими уравнениями.

Для задачи (2.7)-(2.10) выводится обобщённая формулировка в терм» нах скалярного потенциала:

Задача 3. Найти вектор-функцию (р Е С1(0, Т; У(Г2)), удовлетворяющую интегральному тождеству

d_ dt

(gradip(x, t) • grad^(:r)) dx + 4л" <r(:r)(grad<p(x, t) ■ gxaAijj(x))dx =

n

(JCT{x, t) ■ grad ф{х ))dx (2.11)

n

= 47Г

и начальному условию

<p(x,t)\t=0 = Mx) (2-12)

для всех функций ф Е ^(0).

Здесь V(Q) следующее гильбертово пространство

V(Q) = {и Е Я : u|Fi = 0, и|Г2 = const}

со скалярным произведением

(и ■ v)v{n] =

(gradu(a;) • gradu(2;))cix.

Для формулировки основных результатов работы и их обоснования в (альнейшем используется операторная запись задачи (2.1)—(2.4):

<1

dt

E(t) + E{t) + 47rJCT(i) = F(t), t G [0, T],

E

= En.

t=о

(2.13)

(2.14)

-5десь F(t) = cTotH(-,t), Д, :I<er (rot; ft) ->■ {Ь2(Щ3 : Aa [u(i)] = 4тгa • 7(t) — линейный ограниченный оператор умножения. Уравнение (2.13) пред-тавляет собой абстрактную запись уравнения (2.1).

Для данной задачи в диссертации сформулирована и доказана теорема | существовании и единственности решения.

Георема 2.1. Пусть Ё0 eKer (rot; £7), JCT G С([0, Г]; {L2(«)}3), a G ^со(^) удовлетворяет условиям (2.5). Тогда существует единственное ре-иение Ё G С*1([0, Г]; Ker (rot;f2)), F G С([0,Г]; rot H(rot; ft)), удовлетворяющее уравнению (2.13) и начальному условию (2.14).

Утверждение теоремы 2.1 показывает, что из задачи (2.13), (2.14) могут >ыть одновременно найдены две неизвестных функции Е и F.

В диссертационной работе предложен и обоснован итерационный алго-штм решения задачи (2.13), (2.14).

Обозначим Е^ = Eq G.Ker (rot; ft) и определим последовательность eKer (rot; ft) х rot Я (rot; ft) {j = 0,1,2,...) с помощью рекур-)ектных соотношений

pti+D = pl +4irJCT{t)

(2.15)

±gV+1\t) + Aa[E^+1\t)] + 4тгJCT(i) = F<j+1\t), £°'+1)(0) = Eq. (2.16)

Здесь P : {£2(ft)}3 -+I<er (rot; ft) и PL : {L2(ft)}3 rot H{iot; il) ->ператоры ортогональных проектирований на соответствующие простран-:тва.

Справедлива

Теорема 2.2. Рекуррентные соотношения (2.15), (2.16) определяют с^ дящуюся последовательность такую, что

1СЧ[0,Г];{£2(П)Р)

- ^11с([0,Т];{Ь2(П)}3) 0 ПРи 3

00,

где Ё, F — точное решение исходной задачи (2.13), (2.14).

Для задачи (2.11), (2.12) справедливы теоремы.

Теорема 2.3 (О существовании и единственности решения [7]) Пусть а £ Ьоо(П) удовлетворяет условию (2.5), JCT G С([0,Т]; (L2(^)}3)- Тогда су ществует единственная функция ip € С1 ([О, Г]; К(Г2)), удовлетворяющая интегральному тождеству (2.11) для всех функций ф Е V(fl) и начально му условию (2.12).

Теорема 2.4 (О стабилизации решения [7]) Пусть а 6 L^tt) удовлетво ряет условиям (2.5), a JCT 6 {¿2(^)}3 не зависит от t 6 (0, оо). Тогда решение задачи (2.11), (2.12) при t —> оо сходится к решению соответ ствующей стационарной задачи в норме пространства {¿2(^)}3-

Теорема 2.5 (О непрерывной зависимости решения от параметров [3]) Пусть в задаче (2.11), (2.12) j^, cr(1), J^j и 0"(2), J^)} — два раз

личных набора исходных данных, ЗЩ £ С([0,Т]; {L2(f2)}3), <Ро^ 6 (J(i) G (г = 1, 2), причём

О < <т„ < <Г(г)(х) < сг* для почти всех х £ Q.

Пусть ipi,if2 £ С1([0,Т]; V(il)) — решения, соответствующие каждому такому набору. Тогда существует С > 0, зависящая только от а*, обла сти и значения Т, такая что выполняется неравенство

+ 1к(2)~ ^(1)11^(0)

(2) (1) щ-щ

V(Q)

+

(2) Щ

+

У(П)

тСТ J(2)

7СТ 7"СТ

(2) ~ j(l)

С(0,Г;{£2(П)}З;

С(0,Г;{Х2(П)}3)

+

Используя интегральное тождество (2.11), в диссертации обоснована возможность применения метода Галёркина для нахождения приближённых

решений задачи (2.11), (2.12), показана сходимость галёркинских приближений к точному решению задачи.

В третьей главе исследуются обратные задачи об определении 7СТ по данным измерений на границе

„ . _ д<р(х,г)

■^п-ЬеГ!

дп

= еп(х,г).

(3.1)

хеГ1

что

В работе показано, что решение Ё — — gгad ¡р задач 1-3 при условии, Ку /ст(-,0 е Ь2(П), зависит лишь от div/ст и /Г2

В диссертационной работе было проведено теоретическое исследование, вязанное с определением div и /Г2 с?Г по граничным наблюдениям ;екторного поля Е на поверхности Гь Вообще говоря, по данным измере-[ий на Гх функции div 7СТ и _[г ¿Г однозначно не восстанавливаются, юэтому в работе речь идёт о нахождении нормального решения

div ./с

—> Ш1П .

(3.2)

Обозначим

г = ь2(0,т- Ь2(П)) х ¿2(0,Т) их = Ь2(0,Т; Я1^)), и2 = ¿2(0,Г; ¿2^)).

)бозначим г = ^у /ст, с/Г^ е 2.В работе показано, что существует

инейный ограниченный оператор В : 2 —>■ С/, такой, что

д(р{х,Ь)

В[г]

дп

= епеи,

хег1

де II — одно из пространств [/1 или и2.

В диссертационной работе была поставлена цель исследования сформу-ированной обратной задачи с помощью метода двойственной регуляриза-;ии. Для этого задача была сведена к задаче минимизации в гильбертовом ространстве

Ш = Ы% -> тт, В[г] = е5п£ и,

(3.3)

де еп — измерения, заданные с некоторой ошибкой, причём ||е£ — еп\\ц < 5.

В этом случае двойственная задача записывается в виде

15

Уд(А) -> зир, И(А) = А),

V'(\) = -\{X, BB*[X}) - (Л, 4), г = -\в*[Х),

где

Ls(z,X)^\\zr + (X,B[z}-ei)

— функционал Лагранжа, А 6 U, В* : U —> Z — линейный ограниченный оператор, сопряжённый к оператору В.

Соответствующая регуляризованная двойственная задача записывает ся в виде

Rsa(X) = VS(X) — а||А||2 —>• max (А € U).

Для нахождения максимума регуляризованного сильно вогнутого функцио нала Rsa{А) может быть применён тот или иной градиентный метод.

Обозначим через А„ € U точку, дающую максимум функционалу Rsa, через обозначим соответственно точку минимума функционала Лаграг жа Ls{z, Xsa), а через zQ — точное решение невозмущённой задачи. Справед лива следующая теорема

Теорема 3.1.111' Последовательность регуляризованных элементов сильно сходится к решению исходной задачи z° при 5 —> +0 и а —» +0 г выполнении условия

lim 5/а = 0. (3.4)

<5—>+0 ' v

q-H-0

В диссертации приводится итерационный алгоритм для построения по следовательности регуляризованных элементов, сходящейся к точному ре шению задачи (3.3), и обсуждается возможность построения оператора В* с помощью соответствующих сопряжённых задач.

В четвёртой главе приводится описание программного комплекс? для моделирования электрических явлений в атмосфере Земли, реализо ванного на основе теоретических результатов, полученных в диссертации. Приводятся результаты численного решения некоторых прямых задач, пред ставляющих прикладной интерес.

В Заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

[11] Сумин М. И. Регулярпзованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи фи нального наблюдения для параболического уравнения // Журн. вычисл. машем. и матем. физъ ки. - 2004. - Т. 44, 11.-С. 2001-2019.

Список публикаций

Публикации в журналах из перечня ВАК

[1] Калинин, А. В. Задача об определении электрического потенциала в квазистационарном электрическом приближении для системы уравнений Максвелла / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. — Т. 14, № 4. — С. 712-714.

[2] Жидков, А. А. Алгоритм двойственной регуляризации в обратных задачах глобальной электрической цепи / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. — 2011.— Т. 16, вып. 4. — С. 1074-1076.

3] Жидков, А. А. О непрерывной зависимости решений от данных задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2011. — № 5 (1). — С. 169-173.

4] Жидков, А. А. Lp-оценки векторных полей в неограниченных областях и некоторые задачи электромагнитной теории в неоднородных средах / А. А. Жидков, А. В. Калинин, А. А. Тюхтина // Вестник Удмуртского университета. Серия «Математика. Механика. Компьютерные науки». - 2012. - № 1. — С. 3-14.

1убликации в других журналах

5] Жидков, А. А. Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях / А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2007.— № 1,— С. 162-166.

3] Жидков, А. А. Корректность одной математической задачи атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2009. — № 4,-С. 123-129.

7] Жидков, А. А. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере / А. А. Жидков,

А. В. Калинин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Ji бачевского. - 2009. - № 6. - С. 150-158.

[8] Kalinin, А. V. Lp-estimations of vector fields in unbounded domains / A. V. Kalinin, A. A. Tyukhtina, A. A. Zhidkov // Applied Mathematics.— 2012. - Vol. 3, no. 1. - Pp. 45-51.

Тезисы конференций

[9] Жидков, А. А. Математическое моделирование электромагнитных пс лей в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные прс блемы прикладной математики и математического моделирования: ма териалы II международной научной конференции. — Воронеж: 2007. — С. 71-72.

[10] Жидков, А. А. Численное исследование задачи об определении элек трических полей в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин //VI Российская конференция по ат мосферному электричеству. Сборник трудов. — Н. Новгород: 2007. — С. 51-52.

[11] Калинин, А. В. Интегральное тождество для определения электриче ского потенциала в квазистационарном электрическом приближении / А. В. Калинин, А. А. Жидков //VI Российская конференция по ат мосферному электричеству. Сборник трудов. — Н. Новгород: 2007. -С. 53-54.

[12] Жидков, А. А. Вопросы математического моделирования электриче ских процессов в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Сборнш докладов и тезисов X международного семинара "Супервычисления i математическое моделирование". — Саров: 2008. — С. 70-72.

[13] Жидков, А. А. Об одном классе обратных задач атмосферного электри чества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Современньк проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы III международной научной конференции. — Т. 2. — Воро неж: 2009. - С. 133-134.

[14] Жидков, А. А. О некоторых обратных задачах для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Молодежная международная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". Тезисы докладов. — Новосибирск: 2009. - С. 50.

15] Жидков, А. А. Об одной нестационарной задаче для определения электрического поля / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. — Воронеж: 2009. — С. 69-70.

16] Жидков, А. А. Итерационный алгоритм решения одной задачи атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Сборник докладов и тезисов XI международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование". — Саров: 2009. — С. 64-65.

17] Жидков, А. А. Двойственная регуляризация в обратных задачах атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Сборник докладов и тезисов XI международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование". — Саров: 2009. — С. 65-66.

18] Жидков, А. А. Об одном классе математических задач атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Труды международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения". — Москва: 2009. — С. 143.

19] Калинин, А. В. Прямые и обратные задачи теории атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. — М.: МИАН, 2010. — С. 92-93.

20] Жидков, А. А. Математическое обоснование некоторых алгоритмов решения прямых и обратных задач теории атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и при-

кладных наук». Часть VII «Управление и прикладная математика». — Т. 1. - Москва: 2010. - С. 56-58.

[21] Жидков, А. А. Применение оптимизационных алгоритмов для одного класса обратных задач атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Материалы XVI международная конфе ренция «Проблемы теоретической кибернетики». — Нижний Новгород: 2011.- С. 162-165.

[22] Kalinin, А. V. Calculation of different-type clouds in the global atmospheric electric circuit / A. V. Kalinin, E. A. Mareev, A. A. Zhidkov // Proceedings of the 14th International Conference on Atmospheric Electricity. — Rio de Janeiro, Brazil: 2011.

[23] Convective generator in the global electric circuit: Analytical approach and numerical consideration / О. V. Mareeva, E. A. Mareev, A. V. Kalinin, A. A. Zhidkov // Proceedings of the 14th International Conference or Atmospheric Electricity. — Rio de Janeiro, Brazil: 2011.

[24] Some inverse problems in quasi-stationary electromagnetic theory / A. V. Kalinin, M. I. Sumin, A. A. Tyukhtina, A. A. Zhidkov // The 8tl Congress of the International Society for Analysis, its Applications anc Computation. — Moscow, Russia: 2011.— P. 294.

[25] Жидков, А. А. Алгоритмы двойственной регуляризации в обратных за дачах граничного наблюдения для системы уравнений Максвелла в ква зистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Ка линин, М. И. Сумин // Тезисы докладов международной конферен ции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". — Екатеринбург: 2011,- С. 131-132.

Подписано в печать 12.04.2012 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 237. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в РИУ ИНГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

61 12-1/1029

Нижегородскии государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Исследование одного класса дифференциальных уравнений для квазистационарных потенциальных полей

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

На правах рукописи

Жидков Артем Александрович

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук,

доцент

Калинин Алексей Вячеславович

Нижний Новгород - 2012

Содержание

Введение ................................. 4

Глава 1. Основные функциональные пространства и их свойства ................................... 21

1.1. Обозначения. Пространства гладких функций и распределений ................................ 21

1.2. Пространства Лебега и пространства Соболева ....... 26

1.3. Функциональные пространства, содержащие операции векторного анализа......................... 33

1.4. Некоторые представления векторных полей и Ь^-оценки скалярных произведений вектор-функций............ 38

1.5. Некоторые результаты о разрешимости абстрактных уравнений ................................ 49

Глава 2. Начально-краевые задачи определения стационарных и квазистационарных потенциальных полей...... 53

2.1. Стационарные задачи определения потенциальных полей . . 56

2.2. Квазистационарные задачи определения потенциальных полей 67

2.3. Итерационный алгоритм для решения квазистационарной задачи ................................ 88

2.4. Обоснование метода Галёркина для приближённого определения скалярного потенциала................. 92

Глава 3. Обратная задача граничного наблюдения ..........100

3.1. Постановка обратной задачи....................................101

3.2. Граничный оператор и его свойства............................107

3.3. Метод двойственной регуляризации............................110

3.4. Сопряжённая задача

112

Глава 4. Некоторые приложения результатов к задачам ат-

мосферного электричества........................................116

4.1. Численное моделирование глобальной электрической цепи в атмосфере ........................................................116

4.2. Некоторые результаты численных расчётов ..................119

Заключение................................................................125

Литература................................................................126

Введение

Актуальность работы. Дифференциальные уравнения с частными производными, содержащие дифференциальные операции векторного анализа используются при моделировании самых разнообразных физических явлений и являются основным математическим аппаратом гидродинамики, механики сплошных сред, теории поля, электромагнитной теории. Решениями таких уравнений являются векторные поля различной физической природы. Исследование таких задач опирается на специальные свойства функциональных пространств, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа, и различные теоремы вложения, в основе которых, как правило, лежат оценки для норм векторных полей в этих пространствах.

В частности, с физической и математической точки зрения одним из важнейших моментов изучения структуры векторного поля является выделение его вихревой и потенциальной составляющих. Основополагающей в этом направлении является работа Г. Вейля [49], в которой впервые было получено ортогональное разложение произвольного векторного поля на прямую сумму ортогональных подпространств соленоидальных и потенциальных полей. В этой работе также впервые были получены оценки для норм векторных полей в функь ; на ъных пространствах, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа. Идея ортогонального проектирования и теоремы вложения соответствующих функциональных пространств получили существенное теоретическое развитие и нашли важное применение при изучении различных прикладных задач в работах C.JI. Соболева [180], O.A. Ладыженской [132, 134], Дж.Дж. Хейвуда [11, 12], Г. Дюво, Ж.-Д. Лионса [65], В.А. Солонникова [183], В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского [152-154], Э.Б. Быховского, Н.В. Смирнова

[42, 43], С.Г. Крейна [123], Р. Темама [190], Ю.А. Дубинского [64], В. Жиро, П.-А. Равьяра [8, 9], Дж. Лере [15-17] и ряда других авторов. Принципиальной основой этих исследований послужила развитая C.J1. Соболевым и его учениками теория обобщённого дифференцирования в пространствах суммируемых функций и концепция обобщённых решений уравнений с частными производными.

В диссертационной работе получены новые Lp-оценки для скалярных произведений векторных полей, находящих применение при изучении систем уравнений, моделирующих различные процессы в неоднородных средах. Эти результаты являются развитием работ A.B. Калинина [110, 111, 116,117], в которых аналогичные оценки были получены для ограниченных областей. В качестве иллюстрации применения полученных оценок изучена задача об определении потенциальных и вихревых полей для стационарной системы уравнений Максвелла.

Различные классы задач для системы уравнений Максвелла, соответствующие интегральные уравнения и методы их решения рассматривались в работах В.И. Дмитриева, Е.В. Захарова [31, 62, 63, 198], В.П. Ильина [105], Г. Дюво, Ж.-Л. Лионса [65] и других авторов [36, 40, 42, 52, 56, 61, 175, 176, 183].

В диссертационной работе изучаются некоторые постановки задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными об определении потенциальных полей, возникающих, в частности, при исследовании системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении, в котором основным предположением является потенциальность электрического поля, вообще говоря, зависящего от времени. Эта система может быть сведена к дифференциальному уравнению относительно скалярного потенциала, не разрешённому относительно производной по времени, называемому в работах по атмосферному электричеству уравне-

нием глобальной электрической цепи [4, 10, 24, 144]. Это уравнение относится к категории уравнений соболевского типа (также такие уравнения называются псевдопараболическими уравнениями), а соответствующие постановки смешанных задач для этих уравнений — неклассическими задачами математической физики. Впервые неклассические задачи были рассмотрены при изучении гидродинамических явлений в работах C.JI. Соболева [180, 181] и в дальнейшем получили своё развитие в работах В.П. Маслова [155], В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского [146-151], Г.В. Демиденко и C.B. Успенского [59, 196, 197], P.E. Шоуолтера [26, 27], А.Г. Свешникова [136] и многих других авторов.

Для исследуемых в работе дифференциальных уравнений для квазистационарных потенциальных полей рассматриваются новые специальные постановки начально-краевых задач, для которых решаются следующие актуальные вопросы. В диссертации с использованием метода ортогонального проектирования обосновываются важные для практических применений результаты о корректности рассматриваемых краевых и начально-краевых задач, формулируется и обосновывается итерационный метод решения, который может быть положен в основу алгоритмов, существенно использующих идею распараллеливания вычислений, обосновывается возможность применения метода Галёркина.

Для рассматриваемых квазистационарных задач в диссертации изучается обратная задача о восстановлении источников по результатам граничного наблюдения. Эта задача относится к разряду некорректных задач и её решение требует формулировки и обоснования регуляризирующих алгоритмов. Теория некорректных задач опирается на классические результаты А.Н. Тихонова [191-193], М.М. Лаврентьева [128, 129] и В.К. Иванова [102, 103], которые получили существенное развитие в работах Ю.С. Осипо-ва [125, 162, 163], A.B. Кряжимского [125, 163], В.И. Дмитриева [7], В.Г. Ро-

манова [170-173], B.B. Васина [30, 47, 48], С.И. Кабанихина [108, 109]. Важные теоретические и актуальные прикладные результаты получены в работах В.И. Агошкова [2, 29], А.Б Бакушинского [34, 35], Ф.П. Васильева [46], A.B. Гончарского [34, 35], A.M. Денисова [6, 60, 61, 198], A.C. Ильинского [106], А.И. Короткого [120-122], В.И. Максимова [141-143], М.М. Потапова [165, 166], А.И. Прилепко [167, 168], М.И. Сумина [185-187], Ю.В. Шесто-палова [106], А.Г. Яголы [135, 200] и других авторов.

В диссертации для решения обратной задачи граничного наблюдения применяется итеративный вариант метода двойственной регуляризации, предложенного и развитого в последние годы в работах М.И. Сумина [185— 187]. Он является основанным на теории двойственности итерационным ре-гуляризирующим алгоритмом условной оптимизации, двойственная задача в котором решается с привлечением метода стабилизации А.Н. Тихонова.

Разработанная в диссертации теоретическая основа использована при реализации вычислительного исследовательского программного комплекса, с использованием которого были получены важные прикладные результаты теории электрических явлений в атмосфере.

Цель диссертационной работы. Целью работы является строгое математическое обоснование корректности краевых и начально-краевых задач для одного класса дифференциальных уравнений с частными производными, возникающего при описании квазистационарных потенциальных полей, изучение свойств решений этих задач и исследование эффективных для построения численных алгоритмов постановок соответствующих прямых и обратных задач.

Научная новизна. Все сформулированные в работе результаты являются новыми и состоят в следующем:

• На основе полученных новых Ьр-оценок для скалярных произведений

векторных полей, исследованы задачи об определении стационарных потенциальных полей в неоднородных неограниченных областях.

• Предложены новые строгие формулировки начально-краевых задач об определении потенциальных полей для одного класса дифференциальных уравнений с частными производными, имеющего прикладное значение.

• Доказаны теоремы о корректности предложенных постановок задач.

• Доказана теорема о стабилизации решений рассматриваемых начально-краевых задач при £ —оо.

• Обоснована возможность применения для решения рассматриваемых начально-краевых задач метода Галёркина.

• Предложен и обоснован итерационный метод решения рассматриваемых начально-краевых задач, который может быть использован при конструировании параллельных алгоритмов.

• Обоснована возможность применения алгоритмов двойственной регуляризации для нахождения нормального решения задачи об определении источников по результатам граничного наблюдения.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическую и практическую значимость представляют предложенные в работе постановки краевых и начально-краевых задач для рассматриваемого класса дифференциальных уравнений с частными производными, теоремы об их разрешимости и свойствах решений, обоснование сходимости некоторых новых алгоритмов их численного решения и регулризованные алгогритмы решения обратных задач. Практическая значимость этих результатов обусловлена возможностью их применения для математического и численного мо-

делирования электромагнитных явлений в атмосфере. В качестве конкретного практического применения полученных результатов можно рассматривать результаты исследований, проведённых с помощью разработанного программного комплекса для решения прикладных задач атмосферного электричества.

Основные результаты диссертационной работы являются частью исследований, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00495-а на 2007-2009 годы и 09-01-97019-р_поволжье_а на 2009-2010 годы), Аналитической целевой ведомственной программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)" Минобрнауки РФ (регистрационные номера 2.1.1/3927 и 2.1.1/13303), Федеральной целевой ведомственной программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2011 годы (шифр проекта НК-13П/13), гранта Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг подведомственными высшими учебными заведениями (проект 1.1907.2011), гранта правительства Российской Федерации (договор № 11.G34.31.0048).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на IV-X молодёжной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2005-2011 гг.), II, III международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2007, 2009 гг.), XVII, XIX Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 2006, 2008 гг.), XI-XV Нижегородской сессии молодых учёных, математические науки (Нижний Новгород, 2006-2010 гг.), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007, 2009 гг.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 2007 г.), VI Российской конференции по атмо-

сферному электричеству (Нижний Новгород, 2007 г.), итоговой конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" (Нижний Новгород, 2007 г.), VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2008 г.), X, XI международном семинаре "Супервычисления и математическое моделирование" (Саров, 2008, 2009 гг.), Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения" (Москва, 2009 г.), I молодёжной международной школ е-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009 г.), IV, V Всероссийской молодёжной научно-инновационной школе "Математика и математическое моделирование" (Саров, 2010, 2011 гг.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.), 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2010 г.), X международной конференции "Будущее технической науки" (Нижний Новгород, 2011 г.), XVI международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Нижний Новгород, 2011 г.), XIV международной конференции по атмосферному электричеству (Рио-де-Жанейро, Бразилия, 2011 г.), 8 международном конгрессе ISAAC (Москва, 2011 г.), международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2011 г.).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре "Обратные задачи математической физики" в НИВЦ МГУ (рук. проф. А.Б. Баку-шинский, проф. A.B. Тихонравов, проф. А.Г. Ягола), семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ (рук. проф. A.C. Антипин, проф. Ф.П. Васильев, проф. М.М. Потапов), расширенном семинаре отдела дифференциальных уравнений и отдела прикладных задач института математики и механики УрО РАН (рук. проф. В.И. Максимов,

проф. А.И. Короткий), семинаре кафедры математической физики ННГУ (рук. проф. В.И. Сумин).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 44 печатных работах. В том числе из них 4 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций.

Публикации в журналах из перечня ВАК

[1] Калинин, А. В. Задача об определении электрического потенциала в квазистационарном электрическом приближении для системы уравнений Максвелла / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. — Т. 14, Я5 4. — С. 712-714.

[2] Жидков, А. А. Алгоритм двойственной регуляризации в обратных задачах глобальной электрической цепи / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. — 2011. — Т. 16, вып. 4. — С. 1074-1076.

[3] Жидков, А. А. О непрерывной зависимости решений от данных задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011.- № 5 (1). — С. 169-173.

[4] Жидков, А. А. Ьр-оценки векторных полей в неограниченных областях и некоторые задачи электромагнитной теории в неоднородных средах / А. А. Жидков, А. В. Калинин, А. А. Тюхтина // Вестник Удмуртского университета. Серия «Математика. Механика. Компьютерные науки». - 2012. - № 1. - С. 3-14.

Публикации в других журналах

[1] Жидков, А. А. Оценки скалярных произведений векторных полей в

неограниченных областях / А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2007.— № 1. — С. 162-166.

[2] Жидков, А. А. Корректность одной математической задачи атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2009.— № 4.— С. 123-129.

[3] Жидков, А. А. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2009. — № 6. — С. 150-158.

[4] Kalinin, А. V. Lp-estimations of vector fields in unbounded domains / A. V. Kalinin, A. A. Tyukhtina, A. A. Zhidkov // Applied Mathematics.— 2012. - Vol. 3, no. 1. - Pp. 45-51.

Тезисы конференций

[1] Жидков, A. A. L2-оценки скалярных произведений векторных полей / А. А. Жидков // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 31. - Казань: 2005. - С. 69-71.

[2] Жидков, А. А. Оценки скалярных произведений и стационарные электромагнитные поля в неоднородных неограниченных областях / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней м�