Пространства Орлича в проблеме существования глобальных решений многомерных уравнений сжимаемой вязкой нелинейной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

4 На правах рукописи

'Ч \

Мамонтов Александр Евгеньевич

ПРОСТРАНСТВА ОРЛИЧА В ПРОБЛЕМЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ СЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 1997

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Кажихов A.B. доктор физико-математических наук, профессор Демиденко Г.В., кандидат физико-математических наук, доцент Вайгант В.А. Московский энергетический институт (технический университет)

Защита состоится 1997г. в 15 часов на засе-

дании диссертационного совета К 063.98.04 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск—90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан 1997г.

Председатель диссертационного совета

Монахов В.Н.

1 Общая характеристика работы

Актуальность проблемы математической корректности модели вязкой сжимаемой жидкости обусловлена многочисленными приложениями в механике и других областях физики. С теоретической точки зрения уравнения механики сплошных сред и, в частности, гидродинамики, привлекают математиков своеобразием постановок задач и оригинальностью подходов в их решении. Наконец, исследование корректности указанных задач способствует разработке методов их численного решения.

Целями работы являются:

1. Доказательство разрешимости в целом по времени уравнений вязкой сжимаемой жидкости при произвольном числе пространственных переменных.

2. Доказательство корректности многомерной квазистационарной модели вязкой сжимаемой жидкости.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Установлено глобальное существование обобщенного решения первой начально-краевой задачи для многомерной системы уравнений вязкой сжимаемой жидкости в предположении о нелинейности уравнения напряженного состояния.

2. Доказано энергетическое равенство для обобщенного (слабого) решения.

3. Разработан метод экстраполяции линейных операторов со шкалы пространств Ьр в лежащие вне неё пространства Орлича.

4. Доказано существовние и единственность сильных решений двух начально-краевых задач для уравнений квазистационарной модели вязкой сжимаемой жидкости с классическим (линейным) законом напряжённого состояния и произвольной зависимостью давления от плотности.

5. Показано, что при неограниченном возрастании времени построенное решение стабилизируется с экспоненциальной скоростью к

решению специального вида, а также изучено поведение одной системы функционалов как решения бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Все результаты являются новыми.

Доказательства базируются на теории выпуклых функций и пространств Орлича, на получении априорных оценок и применении классических методов решения нелинейных краевых задач, таких, как методы монотонности и компактности, к пространствам Соболева-Орли-ча.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы для конструирования и обоснования численных методов решения задач механики вязкой сжимаемой жидкости.

Результаты диссертации докладывались на семинарах под руководством члена-корреспондента РАН В.Н.Монахова (ИГиЛ СО РАН), члена-корреспондента РАН П.И.Плотникова (ИГиЛ СО РАН), профессора Т.И.Зеленяка (ИМ СО РАН), профессора Ю.А.Дубинского (МЭИ), академика Н.С.Бахвалова (МГУ), а также на двух международных конференциях: "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (семинар им. И.Г.Петровского, апрель 1996 г.) и "6-я конференция по уравнениям Навье-Стокса и смежным нелинейным проблемам" (Литва, Паланга, май 1997 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в [1-5].

Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы, включающего 69 наименований, и изложена на 78 страницах машинописного текста.

2 Содержание работы

Введение. Во введении дан краткий обзор литературы и в общих чертах изложено содержание диссертации.

Глава I, основная в диссертации, состоит из 3 разделов и посвящена доказательству разрешимости в целом по времени первой начально-краевой задачи для многомерных уравнений вязкой сжимаемой нели-

неинои жидкости:

^+<Ирй) = о (1)

д(ри\ + й\у(рй® й) = (НуР + р/ (2)

д1

= щ

= яо; р»

г=о

4=0

= 0 (3)

да х (0,7') 4

«=г

Здесь р — плотность жидкости, й — скорость, / — заданные внешние массовые силы, Р — тензор напряжений, Ю> — тензор скоростей дефор-

_ 1 /дщ ди,\ мадии с компонентами = -( ---ЬтрЧ, 1Ш>| = У Бф операторы

и \CfXi ОХ\* , . „

1 >..)=1

(Ну и V суть дивергенция и градиент по пространственным переменным х, Ь — время; (х,г) меняется в (] х (0,Т), П — ограниченная область вГс гладкой границей, п ^ 2 — число пространственных переменных — произвольное натуральное число, N 6 N также произвольно. Функции А, ц и 7, непрерывны, неотрицательны и не убывают, при этом коэффициенты 7, и А могут быть нулевыми.

Предполагается, что р0 > 0, ро Е — пространство Орли-

ча, ассоциированное с функцией = (1 + -з) 1п*(1 + в), к ^ 4;

при почти всех х 6 П из ро(х) = 0 вытекает ю(х) = 0. Обозначим щ(х) = ги(х)/р0(х) при тех х, где ро ф 0, и пусть существует такое продолжение щ в область вакуума, что

щ е * = { V I ©(г?) € Ь*М(П), = 0 }

£

с М(£) - ]'ц(г)(1г. Наконец, пусть / е х (0,Г)).

о

Результатами главы I являются следующие два утверждения:

Теорема 2. Пусть /|(£) = ехр(^), ¡3 > 1; а А и 7, растут медленнее р.. Тогда задача (1)~(4) допускаает вПх (0,Т) при произвольном Т решение класса

(р, Й) 6 Ь^0, Т, (П) х X), р > 0

Теорема 3. Всякое решение класса не хуже построенного в теореме 2 удовлетворяет, энергетическому тождеству

1 (

~ ! р\и\Чх - | J роЫ2Жс + J ! ¥:Шхс18 = ! J рй^бхйя (5) п п о п о о

при почти всех £ € (О, Т)

Доказательство теоремы 3 базируется на следующих априорных оценках решения задачи (1)—(4), доказанных в разделе 1:

^ С1ехр(*(1пА + 1)(Г+ 1))|Ы1^(п) (6) МхоЛо.гд) < с3{к, ||й)||^(П), Шх) (7)

Следует отметить особо, что при выводе оценки (8) существенно использовалось неравенство

II ® Й1< II 1®1 11г4к 2(П) (9)

где = ехр(«1/*). Оно является результатом применения экстра-

поляционных теорем, установленных в главе II, к оператору В (-4 V®«.

В разделе 2 строятся приближенные решения с помощью метода, заимствованного у А.В.Кажихова [6]: йт строятся как галеркинские приближения, а рт — как точные решения уравнения (1) с й — йт. При этом оказывается, что приближенные решения удовлетворяют равномерным по ш оценкам типа (6)~(8).

В разделе 3 осуществляется предельный переход по ш в интегральных соотношениях, которым удовлетворяют приближённые решения и доказываются теоремы 2,3. При этом одним из основных препятствий является обоснование предела в вязких членах Р(ит). Оно преодолевается с помощью соображений монотонности, аналогичных использованных О.А.Ладыженской [7] (данный способ требует выполнения энергетического тождества (о), что и вызывает необходимость доказательства теоремы 3), однако наличие в уравнении (2) сомножителя р в левой части существенно затрудняет этот процесс: ввиду отсутствия оценок для плотности снизу могут, вообще говоря, образоваться

"вакуумные зоны", что не позволяет придать оценке (8) какой-либо смысл для слабых решений (она используется только при построении приближенных). Таким образом, мы вынуждены доказывать тожде-

ди

ство (5), не располагая какой-либо информацией о производной —. Это достигается с помощью вспомогательной оценки

дйн р~дГ

< с (10)

12(о,г,и'-аф„(П))

в которой индекс к означает усреднение по С не зависит от Л, а \¥~1Ьф11(С1) обозначает негативное пространство Соболева-Орлича (эти пространства изучаются в главе II).

Глава II состоит из 7 разделов и носит во многом вспомогательный характер, однако может рассматриваться как самостоятельный результат из теории пространств Соболева-Орлича.

В разделе 1 вводятся и исследуются негативные пространства Собо-лева-Орлича, являющиеся необходимым аппаратом для изучения слабых решений дифференциальных уравнений в пространствах Орлича. При этом оказывается, что нерефлексивность пространств Орлича и другие особенности приводят к новым по сравнению с пространствами Соболева тонким моментам; эквивалентные определения негативных пространств становятся здесь неэквивалентными и приводят к различным пространствам.

Разделы 2-6 посвящены разработке метода экстраполяции функций и линейных операторов со шкалы Ьр в лежащие вне неё пространства Орлича. Другими словами, в предположении, что поведение некоторой функции или оператора в пространствах Ьр известно, делается вывод о сё (его) поведении в пространствах Орлича, ассоциированных с И-функциями, растущими медленнее или быстрее любой степени. А именно, в разделе 2 доказано, что такого рода пространства Орлича допускают эквивалентную норму вида ||и|| = эир — , где у есть

V <г>(Р)

подходящим образом подобранная функция; а в разделе 5 доказаны следующие экстраполяционные теоремы:

Теорема 1. Пусть оператор А £ при достаточно больших

р, причем НАЦщ^) ^ Срт, т ^ 0 — целое число. Тогда, какова бы ни была Ы-фунщия М(я), растущая на бесконечности быстрее

степенных функций, и, если т > 0, медленнее, чем I((s) = ехр(«1//пг), оператор

А 6 C(L*sm[My L*M)

+00

где 5[М](р) = / e~sM(ps)ds, а также о

A£C{Lao,L*K)

где под L*K при т — 0 следует понимать Ьж.

Теорема 2. Пусть оператор А £ £(Lp) при р, достаточно близких к 1, причем || АЦд/, j ^ С(р — l)_m, т ^ 0 — целое число. Тогда, какова бы ни была N-функция N(s), растущая на бесконечности медленнее степенных функций с показателем степени большим 1, и, если т > 0, медленнее, чем T(s) = s lnm s, оператор

А € £(EN.L*RSmR¡N])

(где символ R обозначает взятие дополнительной функции [8], оператор S взят из теоремы 1), а также

A£C(L*t,LÍ)

где под L*T при тп = 0 следует понимать L\.

Теорема 2 вытекает из теоремы 1 с помощью соображений типа перехода к сопряжённым пространствам. В случае, когда функция М из теоремы 1 представляется степенным рядом с положительными коэффициентами, доказательство этой теоремы (и утверждения об эквивалентной нормировке пространства L*M) является тривиальным упражнением. Основная задача состоит в доказательстве того факта, что такого рода функции "плотны" среди всех быстрорастущих функций в смысле эквивалентности N-функций |8] (это сделано в разделе 3), а также в изучении свойств оператора S на классах эквивалентности (это сделано в разделе 4).

В разделе 6 результаты главы II иллюстрируются на примере задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Д« = /;

= 0 (И)

дп v

Указано, какие оценки решений этого уравнения вытекают из теорем 1,2 и свойств оператора Лапласа в Ьр. В частности, это приводит к оценке (8), играющей существенную роль в главе I.

Интересно отметить, что А.ОапеЫ [9] независимо и иными методами установил оценки в пространсвах Орлича для сингулярных интегралов, связанных с уравнением Пуассона. Его оценки выражены в иной, несколько более громоздкой форме, но в тестовых пространствах (типа ¿ф, = ехр(в/?)) совпадают с полученными в диссертации. Однако в разделе 6 содержится также исследование (с помощью аппарата негативных пространств Соболева-Орлича, введенного в разделе 1) свойств решения (11) в случае, когда оценки вторых его производных в пространствах ннтегрирумых функций получить уже не удается: это ситуация, когда / € Ь*м, М(я) з 1п я. Тогда оценивается V« в соответствующих пространствах Орлича; и, наконец, рассматривается интересный предельный случай / £ Ь\\ тогда оказывается, что Уи 6 ¿ф с любой Ф такой, что

Раздел 7 содержит вспомогательные утверждения, в частности, доказательство монотонности оператора, соответствующего тензору (4).

Глава III, состоящая из 5 разделов, посвящена доказательству корректности квазистационарной модели вязкой сжимаемой жидкости, описываемой системой уравнений

Эта модель получается из (1),(2) в предположении о малости числа Рейнольдса в случае, когда уравнение напряжённого состояния имеет классическую (линейную) форму:

с постоянными коффициентамн вязкости А и //, (р — давление). Функция состояния д(р) предполагается неубывающей выпуклой функцией, определенной на конечном или бесконечном интервале и стремящейся к бесконечности с приближением её аргумента к правому концу интервала её определения. В частности, подходят уравнения состояния

— + di v(pu) = 0, р = д(р)

цАй + (А + ц)Vdivil = Vp + f

(12)

(13)

Р = -р(р)1 +• AclivM • I + 2/iP

политропного газа: р = pt,j > 1, пли уравнение Ван-дер-Ваальса:

ВТр <4? , D гг

P=M=Tp-W> «,М,Т = const

Для уравнений (12),(13) ставятся две начально-краевые задачи (назовём их задачами А,В): в обеих из них задаётся начальное распределение плотности:

Р

в задаче А краевое условие ставится в виде

г-= Ро (14)

t=o

и • п

= 0

en ' дп

<15>

(здесь üff есть касательная компонента й, а О суть произвольная ограниченная область в К" с гладкой границей), а в задаче В оно заменяется на условия

р, й периодичны по я,- с периодами А,-, J u(t,x)dx — Ü(t) (IG)

о

с заданной функцией направления течения U(t) (в этом случае область

п

течения — все R", аО= П(°А) )•

¡=1

Отметим, что при п — 3 (15) эквивалентно условию непротекания плюс задание касательных компонент вихря.

Основными результатами главы III являются следующие два утверждения:

Теорема 1. Если / € Ьх(0,Т, Lr(Ü)), д{р0) (Е W^fi) для некоторого г > п, то в Q х (О,Т) существует единственное решение задач (12)-(15) и (12)~(Ц),(16) (никаких требований на U(t) не налагается) в классе

Vp,^ е М0,т,£Р(П)), «7 е М0.Т,

где v — йв задаче А и v = й — U(t) в задаче В.

Теорема 2. Пусть условия теоремы 1 выполнены для всех Т, и пусть для всех q

11/(0 - /о!М < ФЫ)

где i>(q,t) ^ C(g)exp(—\fP*t), P* = const, /0 € Lr((l) — некоторое стационарное поле сил. Тогда

И/КО - plk(ii) ^ i'(q,t)

где г и q связаны соотношением г = v = й в задаче А и

v = й — U(t) в задаче В, р = ^¿jj / podx, а V — стационарное noil

ле скоростей, определяющееся по вихревой части /о после решения специальной краевой задачи.

В основе доказательств теорем 1,2 лежит идея о разложении полей и и / на потенциальную и соленоидальную составляющие, при этом со-леноидальная часть й сразу же определяется из стационарной задачи, приводящейся к виду

Ли = 0, divu = 0, tv =R (17)

dU

(для задачи А) или из соответствующей системы с периодическими условиями (для задачи В). Функции р и р исключаются из (12),(13), и проблема сводится к задаче только для скалярного потенциала (р скорости й и среднего давления P(t) — f p(t,x)dx.

а

В разделе 1 обосновывается описанная процедура упрощения исходных постановок до задачи

0(А<Р + Р) + div[(V^ + V)(Aip + F)] + N(Ay -a + P)&<p = 0

9t

dP

I

о

n

dip On

<P

dip

v(i, x)dx = 0; —— = 0 или Ф периодична

я- on

(18)

Неравенство Ду> + Р ^ 0 выражает факт неотрицательности плотности. Здесь V — известная функция, а Лг(й) — монотонная функция, соответствующая уравнению состояния д(р).

В разделе 2 устанавливаются априорные оценки (18). Если оценки для функции А'-р + Р уже получены, то её производные оцениваются элементарно, поскольку удовлетворяют линейным уравнениям, получающимся дифференцированием исходных. Поэтому основная сложность состоит в оценке Др + Р несмотря на то, что скорость роста функции N в (18) может быть сколь угодно высокой. Это достигается применением следующего элементарного неравентва:

j фМ(ф)йх > О п

справедливого для всех монотонных функций М и таких ф, что

/ грс1х = 0, в случае, когда М представляет собой различного рода а

комбинации N и степенных функций.

В разделе 3 на основе доказанных оценок устанавливается существование решения задачи (18) методом последовательных приближений, а также стандартным путем устанавливается их единственность. Далее теорема 1 вытекает из построений раздела 1. В разделе 4 доказывается теорема 2.

В разделе 5 рассматривается случай политропного газа: р = р1,

7 > 1. В этом случае оказывается, что функции Р„(£) = /р"(£, х)йх

я

при п ^ 1 удовлетворяют бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

^ + (п7 - 1 )(Рп+1 - ВД = о (19)

Доказывается, что если Рп(0) ^ С", то задача Коши для (19) допускает единственное голоморфное решение в классе

1ВД1 < с? . (20)

на интервале, длина которого не меньше некоторой величины, зависящей лишь от С), и указывается алгоритм, с помощью которого любой конечный отрезок коэффициентов ряда, представляющего решение, можно найти за конечное число шагов по явным формулам. При этом классическое решение в классе (20) единственно (и, следовательно, голоморфно), а также строится пример решения в классе (20), разрушающегося за конечное время (что показывает существенную локальность решения в общем случае).

Применительно к уравнениям (12)—(13) данный результат означает, что функция Р(£) аналптична на (О,Т) и на любом интервале фиксированной длины представляется степенным рядом, коэффициенты которого можно найти сколь угодно полно. Таким образом, функцию Р можно отыскать до решения основной задачи (18), что может, например, облегчить её численное решение.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору А.В.Кажихову, а также профессору В.В.Шелухину за постоянное внимание и поддержку в работе.

Литература

1. Мамонтов А.Е. Корректность квазистационарной модели сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн., 1996, Т. 37, №5, с. 1117-1131.

2. Мамонтов А.Е. Экстраполяция линейных операторов из Lp в пространства Орлича, порожденные быстро или медленно растущими N-функциями // Актуальные проблемы современной математики, Новосибирск, изд. Новосиб. Гос. Ун-та, 1996, Т. 2, с. 95103.

3. Mamontov А.Е. Orlicz spaces in the existence problem of global solutions to viscous compressible nonlinear fluid equations // Препринт 2-96 Ин-та Гидродинамики им. М.А.Лаврентьева.

4. Кажихов А.В., Мамонтов А.Е. Пространства Орлича в вопросах существования глобальных решений уравнений сжимаемой вязкой жидкости // Материалы Межд. Конф. "Дифф. ур-я и смеж. вопр.", поев. 95-летию со дня рожд. И.Г.Петровского / Успехи мат. наук, 1996, №5.

5. Mamontov À.E. Existence of global solutions to multidimensional equations of compressible viscous fluid // Материалы II Сиб. Конгресса по Индустр. и прикл. математике / Новосибирск, изд-во Ин-та математики им. С.Л.Соболева, 1996, с. 95-96.

6. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. // Новосибирск, Наука, Сиб. отд., 1983, 315 с.

7. Ладыженская О.А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей. // Зап. науч. сем. ЛОМИ, 1968, 7, с. 126-154.

8. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М., Физматгиз, 1958, 272 с.

9. Cianchi A. Interpolation of operators and the Sobolev embedding theorems in Orlicz spaces // Universita degli studi di Firenze, preprint.