Применение пространств Орлича в задачах динамики идеальной несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0034814ЭБ

На правах рукописи

УВАРОВСКАЯ Мария Ивановна

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ ОРЛИЧА В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

? О

Якутск 2009

003481495

Работа выполнена на кафедре прикладной математики механико-математического факультета ГОУ ВПО «Новосибирский государственный университет» и на кафедре прикладной математики института математики и информатики ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Лммосова»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Александр Евгеньевич Мамонтов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Геннадий Валентинович Алексеев Институт прикладной математики ДВО РА (г. Владивосток)

доктор физико-математических паук, профессор Сергей Григорьевич Пятков Югорский государственный университет (г. Ханты-Мансийск),

Ведущая организация:

Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 27 ноября 2009 года в 10:00 часов на заседании диссертационного совета К 212.306.05 при ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова» по адресу: 077000, г. Якутск, ул. Ку-лаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова. Автореферат разослан октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат фпзико-матсма-

тнческих наук, доцент В.Е. Федоров

I. Аннотация

Основной целью диссертационной работы является доказательство глобальных. теорем сущес-твованш! уравнений идеальной несжимаемой ж ид кисти н доказательство единственности решения upa как можно более слабых ограничениях на гладкость решения и входных данных.

II. Общая характеристика работы

II. 1. Актуальность темы и ее разработанность в литературе.

Дифференциальные уравнения механики жидкостей занимают важнейшее место в механике, физике и математике благодаря многочисленным приложениям в метеорологии, аэродинамике, океанографии, термодинамике, физике плазмы, биологической механике и в других областях. Современное состояние науки и техники неразрывно связывает применение моделей с их математическим исследованием. Исследование корректности уравнений гидродинамики способствует разработке новых численных методов пх решения и помогает познать природу физических явлений, объектов и взаимодействий.

Модель идеальной несжимаемой жидкости (система Эйлера) является классической моделью механики сплошных сред и имеет богатую историю. Данная модель является сильно упрощенной с точки зрения механики, но тем не менее достаточно содержательна в прикладном отношении и интересна математически, так что именно с нее начинается математическое исследование, которое мол-сет быть далее распространено на более сложные модели.

Вопрос о коррсктностп краевых задач для трехмерной классической модели Эйлера идеальной несжимаемой жидкости является нетривиальным даже при исследовании в локальной постановке. В частности, вопрос о существовании решений в целом не решен до сих тор. Основополагающие результаты в теории уравнений идеальной жидкости принадлежат Н.М.Гюнтсру и Л.Лихтенштейну. В работах этих авторов были установлены локальное существование и единственность классических решений, когда границы области течения либо отсутствуют, либо являются характеристическими поверхностями дая Уравнений Эйлера. В дальнейшем теория математической корректности рассматриваемых уравнений была развита в работах К.Бардоса, Н.Д.Введенской, М.М.Вшника, Л.Р.Волсвича, В.Волибнсра, Е.Гельдсра, К.К.Головкина, Р.Даншсна, Ж.Дслора, Р.Ж.Дн Псрна, А.Дютрифуа, А.В.Кажихова, Т.Като, А.Майды, А.Б.Мор-гулиса, Д.Ссрра, В.Н.Старовойтова, Р.Тсмама, М.Р.Уховского, Ж.Шмсна,

В.И.Юдовича и др. В результате в двумерном случае для нескольких краевых задач получены глобальные результаты, а во многих других случаях имеются локальные теоремы существования и теоремы единственности. В основном исследования касались задачи Коши и задачи нспро-тскания. Среди работ, посвященных более интересной с физической точки зрения задаче о протекании жидкости сквозь заданную область, отмстим прежде всего известные работы В.И.Юдовича и А.В.Кажихова. В своих работах Г.В.Алсксссв, В.О.Заячковски, А.В.Кажихов, Н.Е.Кочин, М.Р.Уховский, В.И.Юдович в качестве дополнительного условия рассмотрели задание вихря в той части границы, где втекает жидкость. Также А.В.Кажиховым (и в стационарном случае Г.В.Алексеевым) рассмотрены другие варианты (физически более естественные) краевых условий, а именно задание скорости на входе, а на выходе давления или нормальной составляющей скорости. Упомянутая проблема глобальной разрешимости трехмерных уравнений Эйлера особенно трудна ввиду того, что ее решение, вероятно, лежит в классах слаборсгулярных решений, что связано с особенностью трехмерной модели, в которой за конечное время возникают особенности решений даже при гладких входных данных (что подтверждается некоторыми классами точных решений, численными экспериментами и др. соображениями). В связи с этим возникают две родственные проблемы:

1) необходимость подходящего определения слаборсгулярных решений и доказательство их существования;

2) доказательство единственности решений в максимально широких классах.

Несмотря на ряд успехов в этих двух направлениях (достигнутый в вышеупомянутых работах), проблема еще далека от своего окончательного решения. Таким образом, имеется необходимость дальнейшего исследования функциональных классов, в которых можно доказывать теоремы существования и единственности решений краевых задач для уравнений Эйлера при минимальных требованиях на входные данные и решения. При этом естественным образом могут привлекаться и смежные модели гидродинамики. Так, к обобщенным двумерным уравнениям Эйлера приводятся так называемые модели мелкого бассейна, а именно уравнения большого озера и уравнения озера. Данные модели были получены (вместе с соответствующей теоремой существования) Д.Д.Хольмом и С.Д.Лсвсрмором из трехмерных уравнений при помощи асимптотического анализа в предположении, что в области течения глубина намного меньше ширины.

11.2. Цель диссертационной работы доказательство теорем существования и единственности обобщенных решений краевых задач о движении идеальной несжимаемой жидкости при как можно более слабых ограничениях на гладкость решения и входных данных.

11.3. Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. Результаты диссертации носят теоретический характер. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Исследование проводится с применением пространств Орлича, что позволяет ослабить требования на гладкость начальных и краевых условий.

Для доказательства существования решений начально-краевых задач использованы методы регуляризации входных данных, далее осуществляются предельные переходы с использованием методов компактности, компенсированной компактности, теорем вложения в пространствах Орлича и Соболева, при этом применяются априорные оценки гладких решений исходной задачи. Для получения априорных оценок используются свойства пространств Орлича и метод экстраполяции операторов из пространства Лебега в пространства Орлича. При исследовании единственности решений применяется лемма типа Гронуолла.

11.4. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, и их научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

• Глобальные теоремы существования обобщенных решений для двумерных задач идеальной несжимаемой жидкости:

(а) для задачи неиротскания;

(б) для задачи протекания;

(в) для задачи меткого бассейна с неровным дном.

Эти теоремы получены в пространствах более широких, чем в аналогичных известных результатах (в основном это пространства Орлича близкие к Ь\ или пространства Лебега Ьр с достаточно малыми р).

• Теорема существования (в двумерном случае) и единственности (при любой размерности течения) решения с неограниченным вихрем. По сравнению с известными результатами достигнуто простое легко проверяемое условие на вихрь в пространствах Орлича.

• Построены примеры допустимых типов особенностей, прп которых полученные результаты для задачи нспротскания сохраняют силу.

11.5. Теоретическая и практическая значимость результатов.

Область приложений полученных результатов краевые задачи для уравнений математической физики. Полученные в этой работе результаты и развитые методы могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач механики сплошных сред. Исследование корректности указанных задач способствует разработке новых численных методов их решения.

11.6. Апробация работы.

Работа поддержана

• грантом Якутского государственного университета для студентов и молодых ученых (2008);

• грантом президента Республики Саха (Якутия) (№777 от 22 июня 2009);

• грантом имени академика В.П.Ларионова для молодых ученых, специалистов п студентов по физико-тсхничсским наукам (2009) ;

• грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований (код проекта 07-01-00550).

Результаты диссертационной работы докладывались

• на научном семинаре «Математические проблемы механики сплошных срсд» ИГиЛ СО РАН, Новосибирск под руководством члспа-коррсспон-дента РАН П.И.Плотникова и профессора А.М.Хлуднсва;

• на научном семинаре «Избранные вопросы математического анализа» ИМ СО РАН, Новосибирск под руководством профессора Г.В.Дсмидсн-ко;

• на научном семинаре «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа», ИМ СО РАН, Новосибирск под руководством профессора В.С.Бслоносова и д.ф.-м.н. М.Ф.Фокина;

• на научном семинаре «Дифференциальные уравнения в частных производных», НИИМ ЯГУ, Якутск под руководством профессора И.Е.Его-

. рова;

• на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ММФ НГУ, Новосибирск под руководством профессора А.В.Кажихова;

• на Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред», ИГиЛ СО РАН (Новосибирск: 2001);

о

• на научной конференции «Лаврснтьсвскис чтения PC (Я)» (Якутск: 2001, 2003, 2009);

• на Всероссийской научной конференции «Молодые ученые Якутии в стратегии устойчивого развития Российской Федерации» (Санкт - Петербург: 2002);

• на V Всероссийской школс-ссминарс студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации» (Якутск: 2007);

• на V- Международной конференции по математическому моделированию, посвященной 75-лстпю академика В.Н.Монахова (Якутск: 2007);

• на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации (Якутск: 2008, 2009).

11.7. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах [1] [8]. Из них 2 работы в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК.

11.8. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав (каждая из которых разбита на пункты), заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 63 страницы. Список цитируемой литературы содержит 109 наименований.

III. Краткое изложение содержания диссертации

Во Введении дано обоснование актуальности темы диссертации, даны краткие исторические сведения рассматриваемых проблем диссертации, в кратком виде приводится содержание работы.

В Главе 1 рассматриваются двумерные краевые задачи о течении идеальной несжимаемой жидкости в ограниченной области, в которых исследуется проблема доказательства теоремы глобального существования обобщенных решений при как можно более слабых ограничениях на гладкость решения и входных данных, особенно вихря.

В п. 1.1. содержатся некоторые сведения вспомогательного характера в том числе из теории пространств Орлича и классификации N-функций.

В п. 1.2. исследуется разрешимость начально-краевой задачи двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости с условием нспротскания на границе области:

— + (« ■ V) V + Vp = /,

СП

divv = О, = « -"-|(o,T)xr = О.

(1) (2) (3)

где V вектор скорости, р давление, f заданный вектор внешних массовых сил. Все указанные величины являются функциями от времени £ и пространственных переменных х. Рассматриваемая область П является ограниченной односвязной областью из М2 с достаточно гладкой границей Г, п внешняя нормаль к Г, Т > 0 произвольный интервал времени, г>о начальная скорость.

Поставленный вопрос изучался в работе А.Б.Моргулнса (1992). Оттуда заимствованы некоторые обозначения, приведенные в следующем определении.

Определение 1.2.1. есть множество гладких векторных полей и, заданных в П и удовлетворяющих (2), (3)г; 5г(П) есть замыкание 5(П) в норме

Затем для решений класса, рассматриваемого в п. 1.2., дастся

Определение 1.2.2. Пусть г>0 £ 5г(^), f £ ¿г(<5г)- Функция V £ 7^2(0, Т; &(«)) называется слабым обобщенным решением задачи (1) (3), если она удовлетворяет тождеству

для всех £ е С^{СЭт) таких, что = 0, •) € 5(П) при всех г £ [О, Т].

В Определении 1.2.2. отсутствует р, но давление однозначно (с точностью до аддитивной функции от восстанавливается по V на основе ортогонального разложения Ьо^) — ¿^(П) ФС?(П), которое также делает Определение 1.2.2. корректным.

Основным результатом п. 1.2. является следующая теорема: Теорема 1.2.3. Пусть >}-функцня М такова, что

Qt QT n

M(s) exp(,s2).

(5)

Тогда для .любых входных данных класса

rotv0 € LM(Q); rot f £ Li(0, Г; LM(Q))

(6)

найдется слабое обобщенное решение задачи (1) (3) в смысле Определения 1.2.2.. причем

« € ¿«(О, Г; 52(П)); к*« € Ьж(0, Т; ЬМ(П)); (7)

а если М удовлетворяет Дг-условию, то имеет место оценка

1М«1и«(0,Г;ЫП)) ^ 11го^о||1д,(П) + f\\L1(Q,T;L^¡m■ (8)

Замечание 1.2.4. Ввиду не более чем степенной скорости роста рассматриваемых функций М, Дг-условис носит чисто технический характер и не накладывает существенных ограничений на М.

Теорема 1.2.3. доказывается с помощью глобальных априорных оценок, регуляризации входных данных, методов компенсированной компактности, компактности типа Обэна-Симона и теоремы вложения, показанной С. И. П охожасвым.

Также проводится сравнение с результатом А.В.Моргулиса (1992). Устанавливается, что для произвольной фиксированной области П условие, полученное А.Б.Моргулисом, является более слабым (общим), чем условие (5), но если рассматривать результат в классе всех областей Г2 одновременно, то эти условия являются равносильными. Преимущество Теоремы 1.2.3. заключается в более ясной форме условия (5) и более слабых требованиях на f. Кроме того, в Теореме 1.2.3. Дг-условис для М не требуется, если отсутствует необходимость получения оценки (8).

В п. 1.3. исследуется задача протекания для двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости, где на границе области течения задастся нормальная составляющая скорости. Таким образом, если она не нулевая, то необходимо задать дополнительное краевое условие на той части границы, где жидкость втекает в область. В данной работе задастся вихрь скорости.

Значит, рассматривается задача (1) (2) с начально-краевыми условиями вида:

и|4=о = «о. «■«|(о.т)хг = 7. (9)

где п внешняя нормаль к Г, Т > 0 произвольный интервал времени, г>о начальная скорость, 7 нормальная составляющая скорости на границе. Через Г1 обозначается участок границы Г, где происходит втекание жидкости в область П, т. с. где выполняется условие 7 < 0. На этом участке задается дополнительное краевое условие

4(0,74x^=^1, (Ю)

где и> — rot v скалярный вихрь скорости.

Для доказательства существования решения задачи (1), (2), (9), (10) предполагаются выполненными следующие условия:

■«о 6 Lji2.(Q), div-u0 = 0, ui0 = roti>o € La(Q,),

7 € ¿i(0, T; Wt1/a(D) П M(0, T) x Г{),

У 7ds — 0 почти для всех t 6 (0, Т), (11)

г

Ш1 eLi(0, Т; La(Ti)),

4

f е Li(0, Т; Wi(fl)), rot/ е Li(0, Т; LQ(ii)), где - < а < 2.

о

Далее дастся следующее определение обобщенного решения.

Определение 1.3.2. Векторное поле v = и + УФ назовем обобщенным решением задачи (1), (2), (9), (10), если и € ¿i(0, Т\ £^(П)), и ■ п |г = 0, divti = 0 (т.е. divv = 0), rot it £ Ьж(0, Т; La(Q)), где Ф решение задачи Неймана: АФ =0, |г = 7- При этом выполняется следующее интегральное тождество:

т

J У rotv + v - Vip dxdt+ J rot -t?o v|i=o ria;4-

0 Я il

T T

+ J J rot ftp dx dt = J J lui"/ip ds dt (12)

on 0 Г,

для всех функций ip 6 Cl(Q), обращающихся в 0 на (0, Т) х (Г\Г]) и при t = Т.

Итак, основной целью п. 1.3. является следующая теорема существования решения в целом.

Теорема 1.3.3. Пусть выполнены условия (11), тогда задача (1), (2), (9), (10) имеет обобщенное решение в смысле Определения 1.3.2. При этом имеет место следующее неравенство:

1 -

+1М/||£1(о.т;д,(п)). (13)

В классических работах В.И.Юдовича (1964), Г.В.Алексеева (1976) основной акцент был сделан на гладких решениях, для которых имеет место единственность решения данной задачи протекания. В работе Г.В. Алексеева было также доказано глобальное существование (без единственности) в классе с ограниченным вихрем, но избранный в ней метод исчезающей вязкости не допускает дальнейшего снижения требований на входные данные (т.к. не удастся получить оценку вихря в Ьр, р < со, равномерно по исчезающая вязкости). В данной работе глобальное существование решения получено в пространствах Лебега Ьр с достаточно малым показателем р.

Затем в п. 1.4. рассматривается обобщенная система Эйлера, описывающая движение идеальной несжимаемой жидкости в широком, но мелком бассейне с неровным дном:

ди

-£ + (v^V)v + 'Vp = 0, (14)

сИУ(/Ш) = 0, (15)

Ч=о = «о, (1С)

/ш-п|(0,Т)хГ = 0, (17)

где п внешняя нормаль к Г, Т > 0 произвольный интервал времени, «о начальная скорость. Функция к = к(х) является невырожденной формой дна, т.е. существуют постоянные 1ц, к» такие, что 0 < /н ^ к(х) ^ }г-2 для произвольных х из П.

Далее даются определения.

Определение 1.4.1. 5д(П) множество гладких векторных полей V, заданных в П и удовлетворяющих уравнениям (15) и условиям (17); 5г/,(П) есть замыкание 5/ДП) в норме ¿2(П).

Определение 1.4.2. Пусть г>ц е 52^(0). Векторное поле V € ¿2(0, Т; 52/,(П)) называется обобщенным решением задачи (14) (17), если справедливо равенство:

т

/ + У= 0 (18)

0 О ¡1

при всех <р € (^((О, Т) х П) таких, что = 0, € 5/,(П) при

любых г е [О,Т].

Таким образом, результатом п. 1.4. является следующая теорема.

Теорема 1.4.3. Пусть Lju(f2) пространство Орлича, ассоциированное N-функцисй M такой, что

M (s) cxp(.s2), (19)

и пусть функция формы дна бассейна h Е C2(Q). Если весовой вихрь начальной скорости

uj0 = ^ rot «о € LM(Q),

тогда существует хотя бы одно обобщенное решение задачи (14) (17) в смысле Определения 1.4.2. такое, что

v € Lx(0, Т; S2h{fi)); lT0tv£ T'> ^Af(fi))- (20)

При этом, если M удовлетворяет Аг-условию, тогда справедливо неравенство:

h2

IM«IU=c(o.l\zM(n)) < — ||rot «o|U„(n). (21)

В работах M.Оливера, С.Д.Лсвсрмора, С.Тити (1996, 1997) установлена глобальная корректность данной задачи для гладких и аналитических входных, данных, также на основе идей В.И.Юдовича (1963), К.Бардоса (1972) было доказано глобальное существование обобщенного решения в классе {^rotu € L-j}- Кроме того, имеет место единственность, если обобщенное решение строится в классе с ограниченным весовым вихрем. Здесь разрешимость исследуется с применением пространств Орлича. что позволяет несколько ослабить гладкость входных данных.

В Главе 2 исследуется задача математической корректности, т. с. вопрос о существовании и единственности решений начально-краевой задачи для системы Эйлера (1) (4).

Вопрос существования рассматривается только для случая п = 2, а единственность для всех п. Целью Главы 2 является уточнение условий на входные данные и на искомое решение, гарантирующих существование и единственность решения в целом. В частности, представляет интерес обеспечения единственности решения при наиболее слабых требованиях на входные данные. Таким образом, рассматриваются обобщенные решения задачи (1) (4), основы теории которых заложены в работе В.И.Юдовича (1963).

Основным результатом главы 2 является следующая теорема.

Теорема 2.3.2. Решение задачи (1) (4) в классе

+ЭС

гotveLac(0,T;L^f(n)), МеК1 = {М: ^ 1п 1x1 = +оо} (22)

существует и единственно (давление р определяется с точностью до аддитивной функции от времени).

Для того чтобы сформулировать полученные результаты, были приведены некоторые сведения из анализа и вспомогательные построения (п. 2.1.). Существование обобщенного решения (при п = 2) показано аналогично работам В.И.Юдовича (п. 2.2.), а в п. 2.3. доказана единственность (при любом п) экстраполяцией линейного оператора со шкалы пространств Лебега в пространства Орлича и леммой типа Гронуолла, разработанными и изученными А.Е.Мамонтовым и А.В.Кажиховым. В п. 2.4. проводится сравнение с результатом В.И.Юдовича (1995) и показывается эквивалентность условий на входные данные. Равносильность этих результатов согласуется с неулучшаемостью условий в лемме типа Гронуолла, доказанной в разных терминах. Полученное условие (22) является более ясным и удобным для проверки условий теоремы, чем условие, приведенное В.И.Юдовичсм (1995).

В п.1. Главы 1 и п.4. Главы 2 построены следующие примеры, составляющие физическую интерпретацию результатов для задачи нспротскания.

При любой заданной функции и = ш(г) можно построить поле

г

и = ¿2 / '

—.Г 2 Х1

с вихрем ш с заданным характером осооснности в окрестности нуля (считаем для определенности 0 € и конечной энергией, где г = |ж|.

Пример 1.2.7. М удовлетворяет условию (5), например, Л/(а) = зк/я,

¡3 > 1/2. Положим, а;(£) = Условие и> € Ад/(П) выполнено

Г 1п1_0:_/3(1/г)

при а > 1. При этом I (£)(!£ = --——. После умножения на

] а + р — 1 о

постоянную поле имеем

г-2(1п"7-г

-Х2

Х1

1>\- (22)

Пример 2.4.7. М € К\, например, М(я) — cxp(es). Положим, = Ina 4- In In -. Условие и € L,\f(Q) выполнено при а < 2. При этом

=\ (-Ei (-2 Inj

о

где Ei(z) = / —dr], J V

. + г2 (In а + In In — | ) ~ 7-r2 In In i, r 1 \ r) 1 2 r

т. е. поле принимает вид

v ~ (in In -

— X2 Xi

(23)

Имея такие поля -и, можно перемещать особенность из нуля в другие точки области и складывать получающиеся поля друг с другом и с подходящими гладкими соленоидальными полями (таким образом, чтобы сумма удовлетворяла (3)г). В результате получим начальные поля 1?о с точечными особенностями рассматриваемых в работе классов.

Таким образом, если особенности начальной скорости не хуже, чем особенность (22), то возможно построение решения (с конечной кинетической энергией) задачи (1) (3), которое при всех £ сохраняет регулярность не хуже начальной; если же особенности начальной скорости не хуже, чем особенность (23), то соответствующее решение при всех I будет принадлежать тому же классу, и в этом классе можно гарантировать единственность решения.

Автор искренно благодарит и выражает признательность профессору А.В.Кажихову , под руководством которого обучалась в начале аспиран-

туры, и научному руководителю д.ф.-м.н. А.Е.Мамонтову за плодотворную совместную работу, постоянное внимание, ценные советы и поддержку.

IV. Публикации автора по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Алексеева М.И. Существование решения двумерной нестационарной задачи о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область / М.И. Алексеева // Вестник НГУ, серия «Математика, механика, информатика». 2003. Т. 3. Вып. 1. С. 3-9.

[2] Уваровская М.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости: условия существования и единственности решений / А.Е. Мамонтов, М.И. Уваровск.ая // Прикл. мех. техн. физ. 2008. Т. 49. № 4(290). С. 130-145.

[■3] Алексеева М.И. Существование решения задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости в бассейне с непостоянной формой дна / М.И. Алексеева // Математические заметки ЯГУ. 2003. Т. 10. Вып. 2. С. 3 9.

[4] Алексеева М.И. Существование решения двумерной нестационарной задачи о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область / М.И. Алексеева // Научная конференция студентов и молодых ученых РС(Я) «Лаврснтьсвскис чтения» Республики Саха (Якутия): Тез. докл. Якутск, 2001. С. 5.

[5] Уваровская М.И. О существовании решения двумерной нестационарной задачи непротекания идеальной несжимаемой жидкости / М.И. Уваровская // V Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации»: Тез. докл. Якутск, Филиал пзд-ва ЯГУ. ИМИ ЯГУ, 2007. С. 67.

[6] Уваровская М.И. О двумерных нестационарных течениях идеальной несжимаемой жидкости в ограниченных областях / А.Е. Мамонтов, М.И. Уваровская // V- Международная конференция по математическому моделированию, посвященная 75-летию академика В.Н. Монахова: Тез. докл./ Под редакцией И.Е. Егорова. Якутск, ООО «РИЦ Офсет». 2007. С. 47.

[7] Уваровская М.И. О двумерной задаче протекания идеальной несжимаемой жидкости / М.И. Уваровская /'/' Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации»: Тез. докл. Якутск, ООО «РИЦ Офсет», 2008. С. 69 70.

[8] Уваровская М.И. К проблеме единственности решений краевых задач для уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости / А.Е. Мамонтов, М.И. Уваровская // Международная конференция, посвященная 100 лстпю со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 5-12 октября 2008г.): Тез. докл. Ин-т математики СО РАН. Н., 2008. С. 172.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ ОРЛИЧА П ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

апторсферат

УВАРОВСКАЯ Мария Ивановна

Подписано в печать 21.10.2009 г. Формат <№¡84/16. Псч.л. 1.0. Уч.-пзд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 18.

Отпечатано и филиале издательства ЯГУ, Институт математики и ипформатнкн ЯГУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулакоиского, 48. Тел.: (4112) НХХП

ВВЕДЕНИЕ 2 0.1. Актуальность математической корректности уравнений механики жидкости

0.2. Обзор результатов по разрешимости уравнений идеальной несжимаемой жидкости.

0.3. Краткий обзор по теории пространств Орлича

1 0.4. Краткий обзор содержания диссертации.

1. ГЛОБАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С НЕГЛАДКИМИ ВХОДНЫМИ ДАННЫМИ

1.1. Вспомогательные сведения из теории пространств

Орлича.

1.2. Задача непротекания.

1.3. Задача протекания.

1.4. Задача мелкого бассейна с неровным дном

2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ВИХРЕМ

2.1. Вспомогательные сведения и построения.

2.2. Существование обобщенного решения.

2.3. Единственность решения.

2.4. Сравнение результатов.

0.1. Актуальность математической корректности уравнений механики жидкости

Дифференциальные уравнения механики жидкостей занимают важнейшее место в механике, физике и математике благодаря многочисленным приложениям в метеорологии, аэродинамике, океанографии, термодинамике, физике плазмы, биологической механике и в других областях. Современное состояние науки и техники неразрывно связывает применение моделей с их математическим исследованием. Исследование корректности уравнений гидродинамики способствует разработке новых численных методов их решения и помогает познать природу физических явлений, объектов и взаимодействий.

Свои знаменитые уравнения идеальной жидкости J1. Эйлер вывел в 1750г. Позднее К.-Л. Навье (1822) и Дж.Г. Стоке (1845) обобщили эти уравнения с учетом эффекта вязкости. С тех пор большие успехи были достигнуты в понимании классических моделей жидкости. Однако в настоящее время остается без ответа ряд принципиальных математических вопросов, касающихся разрешимости этих уравнений, единственности и устойчивости их решений. Модель идеальной несжимаемой жидкости является классической моделью механики сплошных сред и имеет богатую историю. Данная модель является сильно упрощенной с точки зрения механики, но тем не менее достаточно содержательна в прикладном отношении и интересна математически, так что именно с нее начинается математическое исследование, которое может быть далее распространено на более сложные модели. Стоит отметить, что задачи протекания имеют практические применения в различных приложениях: течения в проливах, реках, трубопроводах, в химических реакторах и т.д.

0.2. Обзор результатов по разрешимости уравнений идеальной несжимаемой жидкости

Как известно [40], [31], движение идеальной несжимаемой жидкости описывается системой уравнений Эйлера: ди + (v • V)u + Vp = /; div v = 0, (0.1) в которой v = (г>1,. ,vn) обозначает вектор скорости, р — давление, f — заданный вектор внешних массовых сил, все указанные величины являются функциями от времени t и пространственных переменных х = . ,жп), где п — размерность движения.

В диссертации рассматривается вопрос математической корректности модели (0.1). Данная проблема имеет долгую и богатую историю, мы лишь упомянем основные результаты по близким к теме диссертации. Более детальный обзор можно найти в статьях [73], [101], [8], [15], [64] и в монографиях [87], [81]. Локальное существование и единственность классических решений для трехмерных уравнений впервые были установлены в работах Н.М. Гюнтора [14] и JI. Лихтенштейна [80] в конце двадцатых годов прошлого столетия. В этих работах рассматривалась задача Коши в (0, Т) х Г с начальными данными «0, (0.2) или задача непротекания в Qt — (0, Т) х описывающая течения в ограниченной области Г2 С Жп с достаточно гладкой границей Г с начальными данными и граничным условием v|t=o = vo, г?-та|(0>г)хг = 0, (0.3) где Т > 0 — достаточно малое число, п — внешняя нормаль к Г, — начальная скорость.

Для двумерного случая существование глобальных классических решений задач (0.1), (0.2) и (0.1), (0.3) без внешних сил с несколько завышенной гладкостью данных впервые доказано В. Волибнером в 1933г. (см. [100]) в предположении, что вихрь скорости должен быть нулевым для всех внутренних контуров границы. В рамках этих же задач окончательное изложение и обобщение вышеуказанного результата было получено в классических работах Е. Гельдера [74] и Т. Като [75]. В 1963г. В.И. Юдович опубликовал в известной работе [48] результат о глобальной корректности. Предположения для начальных данных были более слабыми, чем в статье В.Волибнера, а именно, было доказано существование двумерного обобщенного решения с вихрем из Lr(Cl) почти для всех t из (0, Т), единственность решения1 была показана в классе votv е Loo(Qr); l|Vp|UM(0,r,LP(n)) ^ Cr, Vr » 1, причем единственность верна при любом* п. В [48] также рассмотрена внешняя задача с условием убывания скорости*на оо, причем данное ограничение' в работах Ж. Шмена [58] и Р. Даншена [15] было позже снято. Далее методом исчезающей вязкости К.К. Головкиным [13] было доказано существование и единственность обобщенного решения для двумерной задачи Коши, а для>за-дачи непротекания — К. Бардосом в работе [52]. В работе М.Р. Уховского и В.И-. Юдовича [44] показана глобальная разрешимость в «целом» для задачи Коши для аксиально-симметричных трехмерных течений, а для задачи непротекания А. Дютрифуа [70] для геликоидальных течений и Р. Даншеном [15] для аксиально-симметрических течений без закручивания.

Для размерности п = 3 вопрос о глобальной разрешимости систем (0.1), (0.2) и (0.1), (0.3) остается нерешенным даже для малых начальных данных и в «плохих» классах. В частности, это связано с отличием от размерности два в уравнении переноса вихря а> = rot v. В работе Д. Серр [94]', доказано-, что Loo-норма вихря не должна сохраняться с течением времени, и, следовательно, двумерный подход к решению не подходит. Более того, известный результат [53] (критерий Била-Като-Майды), [92] показал, что именно от неограниченного роста в Loo-нормы вихря происходит потеря начальной гладкости решений за конечное время, наблюдаемых в численных экспериментах или специальных классах решений (о таких примерах см. например в [59], [60], [88], [12]). Гладкость решений сохраняется, если вихрь остается ограниченным при начальной скорости из пространства Соболева Hs с показателем s > 5/2 или из пространства Ся при s > 1. Возникает проблема подходящего определения нерегулярных решений и исследования их существования. При п = 2 определенное продвижение в этом направлении достигнуто в [68], [69], где было показано существование и единственность слабого решения задачи Коши с локально конечной кинетической энергией, с вихрем — меры Радона с компактным носителем и из Lp с некоторым р > 1, также решение стремящийся к нулю при |ж| -> оо. В работе [76] доказано существование локального решения в случае, когда О, = М3, обобщением [76] на случай ограниченной области является работа [97]. Также в работах [71], [55] методами Римано-вой геометрии были получены локальные теоремы существования решения на конечномерных многообразиях.

В статье А.Б. Моргулиса [37] было доказано существование решения задачи (0.1), (0.3) при п = 2 с достаточно «плохой» начальной скоростью, а, именно: где Lm(P>) — пространство Орлича, порожденное любой N-функцией М, удовлетворяющей Д2 - условию и такой, что ее дополнительная N-функция М удовлетворяет условию с некоторой постоянной 7, зависящей от области Условие (0.4), (0.5) означает, что rot^o, хотя и принадлежит 1а(Г2), по не принадлежит никакому Lr(Q) с г > 1. rot-uo G

0.4)

0.5)

В работах Ж. Делора [65], [66], [67] были построены глобальные решения с вихрем — мерой Радона, но знакоопределенной (см. также [8], [82], [83], [72]), с локально конечной кинетической энергией. Таким образом, частично решена задача о вихревой пелене, т.е. решении с особенностями вихря на некоторой поверхности (остается только снять условие на знак меры). Проблема гладкости границы вихревого пятна исследовалась в [57], [54].

В задаче о движении точечного вихря (особенности вихря имеют вид 6-функции, энергия локально бесконечна) локальные результаты получены Н.Д. Введенской и J1.P. Волевичем [9], [10], а глобальные — сначала в частных случаях в [86], [98], а затем в общем случае В.Н. Старовойтовым в [41], [42], [43] (при п = 2).

В отличие от проблемы глобального существования'решений, в проблеме единственности размерность течения несущественна. Как показано в [95], [93], при отсутствии ограничений на вихрь существуют нетривиальные решения (0.1), (0.2) с компактным носителем во времени и пространстве, что в частности делает естественным формулировку классов единственности в терминах вихря.

В 1995 г. В.И. Юдович в статье [101] усилил свой прежний результат, доказав единственность решения (0.1), (0.3) при более слабых ограничениях на решение, а именно, при при достаточно медленно (логарифмически) растущих в. Этот результат был основан на том факте, что доказательство единственности решения базируется на анализе неравенства типа Гронуолла: с неотрицательными функциями ф и д (при заданной д требуется доказать ф = 0), причем для ограниченных д анализ (0.7) тривиален (он сводится к llrotvIUoo(0,T;Lr(fi)) < Св{г), Г » 1

0.6)

0.7) классической лемме Гронуолла); при д, удовлетворяющих оценке вида (0.6) с в(г) = г это было сделано в [48], а в [101] этот результат был еще усилен. Аналогичный результат был получен в работе М.М. Вишика [99] в терминах пространств Бесова. Недостатком работы [101] является недостаточная конструктивность (0.6), которое есть целое семейство условий, в котором к тому же требования на в очень громоздкие и с трудом поддаются проверке.

Более интересной с физической точки зрения является задача о протекании жидкости сквозь заданную область, где на всей границе области течения задается нормальная составляющая скорости. Таким образом, для ограниченной области Г2 С Rn рассматривается задача с начально-краевыми условиями вида: v\t=0 = v0, v-n|(0jr)xr = 7- (°-8)

Граница Г области течения П разбивается на три части: Го — непроницаемая твердая стенка, Гi — участок втекания и Г2 — участок вытекания, на которых:

V ■ п|(о,г)хГ0 = °> (°-9) v • ™|(0,Г)ХГ1 = 71 < 0, (0.10)

V • П|(0,г)хг2 > 0 (0.11)1 задается только знак или v • п\(0,Т)хГ2 = 72 > о (0.11)2 задается точное значение. Задания одного граничного условия для v -п недостаточно для однозначного описания течения жидкости в области Q: через участок Гх в области Q «входят» вещественные характеристики системы (0.1) и необходимость дополнительных краевых условий приводит к различным вариантам постановки задачи.

Первым исследованием задачи протекания в трехмерной постановке стала работа Н.Е. Кочина [26], где в качестве дополнительного граничного условия на Гх предложено задавать значения вихря скорости си = rot v и была впервые показана локальная теорема существования и единственности решений. Однако в таком виде при п = 3 данная идея является неточной, поскольку величина diva;, обязанная быть равной нулю в Qt, переносится вдоль тех же характеристик, а значит возникает условие совместности на вихрь на входе: divw^o^jxr! — 0 (поставленная задача является переопределенной, и не может быть решена без дополнительных ограничений на заданные в задаче функции). Впрочем, после необходимых поправок идея [26] была реализована в последующих работах, посвященных корректным постановкам трехмерной задачи протекания с заданным вихрем на входе. А именно, в частном случае, когда граничные значения вихря на участке втекания равны нулю, было дано P.M. Уховским [45]. Также в работе В. Заячковского [16] предложено задавать на входе нулевую нормальную компоненту вихря и произвольные касательные компоненты (с соответствующими условиями совместности) и получены локальные теоремы существования и единственности сильного решения при любых п (при этом использованы предшествующие результаты [29], [13]). В работах А.В. Кажихова [24], [18] было предложено в трехмерной задаче в качестве дополнительного условия на входе задавать две касательт ные компоненты вихря: o.Dxr! = h (0.12) h— касательное к границе векторное поле, индекс <т означает касательную составляющую) и получена локальная теорема существования и единственности классического решения получившейся «задачи протекания 1 рода» (используемые обозначения заимствованы с работы [85]):

ЗП.1) = {(0.1), (0.8), (0.9), (0.10), (0.11)2, (0.12)}.

Также А.В. Кажиховым (см. [24], [18], [6]) рассмотрены другие варианты краевых условий на вихрь вместо (0.12), случай неоднородной жидкости, и сформулированы условия совместности в случае, если на входе задается весь вихрь, как в [26].

В двумерном случае задача (ЗП.1) хорошо исследована в плане глобальных результатов. Как и в случае задачи непротекания при п = 2, задачу можно рассматривать как трехмерную, когда Q есть цилиндр бесконечной высоты, а вектор вихря имеет вид ш = (0, 0, и>). Таким образом, условие (0.12) означает задание на входе скалярного вихря ш. В классической работе В.И. Юдовича [49] именно в такой постановке (ЗП.1) была получена глобальная теорема существования и единственности достаточно гладких решений (вплоть до классических). Этот результат был распространен на трехмерный осесимметрический случай в работе [46]. Некоторые дополнительные ограничения, наложенные в [49] на структуру Tk и входные данные, были сняты в работе Г.В. Алексеева [4], где на основе идей [52] было показано глобальное существование решения двумерной задачи (без единственности) в классе с ограниченным вихрем, повышение его гладкости вплоть до классического (а* значит, и единственность) при более гладких данных, т.е. работа [75] была распространена на задачу (ЗП.1). Избранный в работе [4] метод исчезающей вязкости однако не допускает дальнейшего снижения требований на входные данные (т.к. не удается получить оценку вихря в Lp, р < оо, равномерно по» исчезающей вязкости).

Стационарный вариант задачи (ЗП.1) также хорошо исследован. В двумерном (и трехмерном осесимметричном) случае глобальная теорема существования получена Г.В. Алексеевым в [2], а локальная единственность и гладкость решений показана в [3], где также проведено исследование застойных зон. В работе А.Б. Моргулиса [38] доказано локальное существование обобщенного решения трехмерной задачи. Интересно также отметить работу [5], в которой получены условия «вымывания» вихря из области за конечное время. Дополнительные сведения о результатах в задаче (ЗП.1) можно найти в [38].

Таким образом, задача протекания в варианте (ЗП.1) имеет достаточно долгую и богатую историю, хотя для приложений она не столь удобна, физически более естественно задавать на входе скорость, а не вихрь. Такого рода задачи изучались в работах А.В. Кажихова (см. [6], [22], [24], [25]). Первый вариант таких задач («задачи протекания 2 рода») состоит в том, что на входе задается вся скорость, т. е. в дополнение к (0.10) задаются касательные компоненты скорости: г|(0,Г)хГ1 = г, (0.13) а на выходе (вместо (0.11)2) давление:

Р|(0,г)хг2 =Р*- (0-14)

В итоге получается задача

ЗП.П) = {(0.1), (0.8), (0.9), (0.10), (0.11)i, (0.13), (0.14)}.

В работах А.В. Кажихова и В.В. Рагулина [24], [25] доказана локальная однозначная разрешимость классических решений двумерной (и трехмерной осесимметричной) задачи (ЗП.Н) при условии vq • п|г2 ^ С > 0, включая неоднородную жидкость.

Наконец, еще один вариант задачи протекания с условием (0.13) на входе («задача протекания 3 рода») отличается от предыдущего тем, что на выходе вместо (0.14) задается (0.11)2, что дает задачу

ЗП.Ш) = {(0.1), (0.8), (0.9), (0.10), (0.11)2, (0.13)}.

Эта задача в стационарном двумерном варианте рассматривалась в [1], а в нестационарном случае в [25], [17] на основе идей [97] показано существование и единственность локального классического решения (по существу, только в двумерном или трехмерном осесимметричном случаях) задачи (ЗП.Ш) при условии 7i ^ —С < 0 (в том числе для неоднородной жидкости). Далее в работах А.В. Кажихова [19], [20] для двумерной задачи (ЗП.Ш) в прямоугольнике был получен глобальный результат (в классе с ограниченным вихрем) при условии, что начальные данные достаточно близки к равномерному течению. Также в [47], [21] были показаны глобальная разрешимость задач (ЗП.П), (ЗП.Ш) для линеаризованной системы (0.1). Отметим, что большая часть упомянутых результатов А.В. Кажихова имеется в книге его избранных трудов [22]. Для задач протекания (ЗП.П), (ЗП.Ш) в работе [85] доказана единственность решения для любых размерностей в классе

V 0 V е K*(QT), Ф е /С}, СО где /Сесть множество N-функцийМтаких, что f ln^^ds = +оо, K*(QT) означает класс Орлича.

В океанографии используются приближения уравнений идеальной несжимаемой жидкости в бассейне со свободной верхней поверхностью и пространственно меняющейся формой дна, называемые уравнениями мелкой воды. Данные уравнения получаются из трехмерных уравнений несжимаемой жидкости при помощи асимптотического анализа в предположении, что в области течения глубина намного меньше ширины. При этом, число Фруда. и амплитуда волны являются достаточно малыми. В работе Д.Д. Хольма и С.Д. Левермора [56] были представлены модели мелкого бассейна: уравнения большого озера и уравнения озера. Данные модели отличаются друг от друга порядком асимптотического приближения горизонтальной скорости по параметру S, где S — отношение глубины на ширину бассейна. Подробный анализ можно прочитать, например, в [56], [78]. В частности, в [78] показано, что вышеуказанные модели приводятся к обобщенным двумерным уравнениям Эйлера: dv + (v V)v + Vp = f, (0.15) div (hv) = 0, (0.16) с начально-краевыми условиями вида: v|t=o = «о, hv • п|(0)т)хг = О,

0.17) (0.18) где п — внешняя нормаль к границе, а Т > 0 — произвольный интервал времени, функция h = h{x) — невырожденная функция рельефа дна, т. е. существуют постоянные h\, /2.2 такие, что 0 < hi ^ h(x) ^ hi для любых ж из Q.

В работе [90] установлена глобальная корректность задачи (0.15)—(0.18) для гладких входных данных, а в [79] — для аналитических входных данных при невырожденном рельефе дна. На основе идей В.И. Юдовича [48], К. Бар-доса [52] в работе [78] было доказано глобальное существование обобщенного решения в классе {^rot v G L2}. Кроме того, имеет место единственность, если обобщенное решение строится в классе с ограниченным весовым вихрем.

0.3. Краткий обзор по теории пространств Орлича

Математические проблемы механики сплошных сред всегда сопряжены с задачами математического анализа, общей теорией дифференциальных уравнений и другими разделами математики. Теория пространств Орлича также имеет применение в задачах механики (см. [22], [36], [11]).

Пространства Орлича — это нормированные пространства, частным случаем которых являются пространства Лебега Lp. Впервые были введены В.Ор-личем в [91]. В настоящее время они применяются в различных разделах математики. Наиболее подробно и систематически пространства Орлича были впервые описаны в монографии [27] М.А. Красносельским и Я.Б. Рутицким. Ими же были доказаны многие основные положения общей теории данных пространств. В этой же монографии авторы показали преимущество использования этих пространств при изучении некоторых нелинейных уравнений. Более современное изложение теории пространств Орлича и пространств

Соболева-Орлича приведено в монографии [77]. Выявилось, что пространства Орлича частично похожи на пространства Лебега. Однако в случаях, когда пространства Лебега не позволяют достаточно полно и точно описать изучаемый объект, то, в частности, возникает необходимость в применении пространств Орлича. После долгого развития теории вложений в пространствах Соболева-Орлича, начатого в пионерской работе С.И. Похожаева [39], в итоге в работах А. Чьянки в [61]—[63]' были получены неулучшаемые теоремы вложения пространств Орлича и Соболева-Орлича. А.Е. Мамонтовым в [84]* вводятся негативные пространства Соболева-Орлича. Также в работах А.Е. Мамонтова [32]- [35] рассматривается, подход об экстраполяции линейных операторов из пространств Лебега в пространства Орлича, основанный на применении интегральных преобразований и представлений- N-функций. В частности, с помощью указанного подхода из известных оценок в шкале пространств Лебега можно получать оценки, в пространствах Орлича, что1 позволяет строить решения в более широких и точных классах решений, т.е. решения рассматриваются в специальных пространствах Орлича, в которых показывается неулучшаемость условий корректности задачи (см. [23], [36]).

0:4. Краткий обзор содержания диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, каждая из которых разбита на пункты, заключения и списка цитируемой литературы. Нумерация формул и утверждений (а также определений, замечаний и т. п.) сквозная по всему тексту и тройная (за исключением Введения): вида п.т.к, где п - номер главы, т - номер пункта, а к - номер формулы (утверждения и пр.) в пункте. При этом утверждения, определения и т. п. объекты находятся под единой нумерацией. Во Введении нумерация формул двойная.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

Глобальные теоремы существования обобщенных решений для двумерных задач идеальной несжимаемой жидкости: а) для задачи непротекания; б) для задачи протекания; в) для задачи мелкого бассейна с неровным дном.

Эти теоремы получены в пространствах более широких, чем в аналогичных известных результатах (в основном это пространства Орлича близкие к Ь\ или пространства Лебега Ьр с достаточно малыми р).

Теорема существования (в двумерном случае) и единственности (при любой размерности течения) решения с неограниченным вихрем. По сравнению с известными результатами достигнуто простое легко проверяемое условие на вихрь в пространствах Орлича.

Построены примеры допустимых типов особенностей, при которых полученные результаты для задачи непротекания сохраняют силу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена разрешимости и математической корректности задач движения идеальной несжимаемой жидкости (системы Эйлера). При этом рассматривается проблема доказательства глобальной теоремы существования и единственности обобщенных решений при как можно более слабых ограничениях на гладкость решения и входных данных, особенно вихря. Для существования рассмотрены плоские течения, а для единственности и трехмерные.

1. Алексеев Г.В. О существовании единственного течения проводящей жидкости в слабо искривленном канале // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1969. Вып. 3. С. 115-121.

2. Алексеев Г.В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1972. Вып. 10. С. 5-27.

3. Алексеев Г.В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений идеальной жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1973; Вып. 15. С. 7-17.

4. Алексеев Г.В. О разрешимости неоднородной краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости // Динамика жидкости со своб. границами (Динамика сплошной среды, вып. 24). Новосибирск. ИГиЛ СО РАН. 1976. С. 15-35.

5. Алексеев Г.В. О стабилизации решений двумерных уравнений динамики идеальной жидкости // Прикл. мех. техн. физ. 1977. № 2(102). С. 85—92.

6. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск. Наука. Сиб. отд. 1983. 320 с. .

7. Асташкин С.В., Лыков К.В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича, «близких» к L^ // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47. № 5. С. 974-992.

8. Бардос К., Тити Э.С. Уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости // Успехи мат. наук. 2007. Т. 62. вып. 3(375). С. 5—46.

9. Введенская Н.Д., Волевич JI.P. Движение идеальной жидкости с изолированными вихрями // Успехи мат. наук. 1983. Т. 38. № 5. С. 159—160.

10. Введенская Н.Д., Волевич JI.P. Движение идеальной жидкости с локализованной завихренностью на поверхности вращающейся сферы // М. 1984. Препринт № 68 ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР.

11. Гатапов Б.В. Применения метода усреднения и теории пространств Орлича к уравнениям вязкой жидкости. Дис. . канд. физ-мат. наук. Новосибирск: НГУ, 2004. 60 с.

12. Гиббон Дж.Д. Кватернионный репер, эволюционные уравнения Лагран-жа и трехмерные уравнения Эйлера // Успехи мат. наук. 2007. Т. 62. вып. 3(375). С. 47-72.

13. Головкин К.К. Об исчезающей вязкости в задачах Коши для уравнений гидродинамики // Труды МИАН СССР. 1966. Т. 92. С. 31-49.

14. Гюнтер Н.М. Об основной задаче гидродинамики // Изв. физ.-мат. института АН СССР. 1927. Т. 2. № 1. С. 1-168.

15. Даншен Р. Аксиально-симметричные несжимаемые потоки с ограниченным вихрем // Успехи мат. наук. 2007. Т. 62. вып. 3(375). С. 73—94.

16. Заячковски В. О разрешимости в малом одной нестационарной задачи протекания для идеальной несжимаемой жидкости // Зап. науч. семинаров ЛОМИ / Мат. ин-т АН СССР. Ленингр. отд-ние. Т. 96. 1980. С. 39.

17. Кажихов А.В. Корректность нестационарной задачи о протекании идеальной жидкости через заданную область // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1980. Вып. 47. С. 37-56.

18. Кажихов А.В. Замечание к постановке задачи протекания для уравнений идеальной жидкости // Прикл. мат. мех. 1980. Т. 44. № 5. С. 947-950.

19. Кажихов А.В. Двумерная задача о протекании идеальной жидкости через заданную область. Краевые задачи для неклассических УМФ. Новосибирск, ИМ СО РАН СССР. 1989. С. 32-37.

20. Кажихов А.В. Начально-краевые задачи для уравнений Эйлера несжимаемой жидкости // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1.-Математика. Механика. 1991. № 5. С. 13-19.

21. Кажихов А.В. Об одном подходе к краевым задачам для уравнений составного типа // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33. № 6. С. 47-53.

22. Кажихов А.В. Избранные труды. Математическая гидродинамика. Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2008. 420 с.

23. Кажихов А.В., Мамонтов А.Е. Об одном классе выпуклых функций и точных классах корректности задачи Коши для уравнения переноса в пространствах Орлича // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. № 4. С. 831-850.

24. Кажихов А.В., Рагулин В.В. Нестационарные задачи о протекании идеальной жидкости сквозь ограниченную область // Докл. АН СССР. 1980. Т. 250. № 6. С. 1344-1347.

25. Кажихов А.В., Рагулин В.В. О задаче протекания для уравнений идеальной жидкости // Зап. науч. семинаров ЛОМИ / Мат. ин-т АН СССР. Ленингр. отд-ние. 1980. Т. 96. С. 84-96.

26. Кочин Н.Е. Об одной теореме существования гидродинамики // Прикл. мат. мех. 1956. Т. 20. № 2. С. 153-172.

27. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. 272 с.

28. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

29. Ладыженская О.А. О разрешимости в малом нестационарных задач для несжимаемых идеальных и вязких жидкостей и исчезающей вязкости // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1971. Т. 21. С. 65-78.

30. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

31. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904 с.

32. Мамонтов А.Е. Экстраполяция линейных операторов из Lp в пространства Орлича, порожденные быстро или медленно растущими N-функциями // Актуальные проблемы современной математики. Т. 2. 1996. С. 95-103. Новосибирск. НГУ.

33. Мамонтов А.Е. Интегральные представления и преобразования N-функций. I // Сиб. мат. журнал. 2006. Т. 47. № 1. С. 123—145.

34. Мамонтов А.Е. Интегральные представления и преобразования N-функций. II // Сиб. мат. журнал. 2006. Т. 47. № 4. С. 811-830.

35. Мамонтов А.Е. Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича // Вестник НГУ, серия «математика, механика, информатика». 2006. Т. VI. вып. 2. С. 34-57.

36. Мамонтов А.Е. Глобальные теоремы существования для многомерных уравнений сжимаемых неньютоновских жидкостей в пространствах Орлича. Дис. . докт. физ-мат. наук. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2008. 334 с.

37. Моргулис А.В. О существовании двумерных нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости, допускающих вихрь, не суммируемый со степенью, большей единицы // Сиб. мат. журнал. 1992. Т. 33. № 5. С. 209-212.

38. Моргулис А.Б. Разрешимость трехмерной стационарной задачи протекания // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40. № 1. С. 142-158.

39. Похожаев С.И. О теореме вложения C.JI. Соболева в случае lp = п / Докл. науч.-техн. конф. МЭИ. Москва. 1965. С. 158-170.

40. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. 492 с.

41. Старовойтов В.Н. Разрешимость задачи о движении концентрированных вихрей в идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. 1988. Т. 85. С. 118-136.

42. Старовойтов В.Н. Представление решения в задаче о движении точечного вихря в идеальной жидкости // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35. № 2. С. 446-458.

43. Старовойтов В.Н. Единственность решения задачи о движении точечного вихря // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35. № 3. С. 696-701.

44. Уховский М.Р., Юдович В.И. Асимметричные течения идеальной и вязкой жидкости, заполняющей все пространство // Прикл. мат. мех. 1968. Т. 32. С. 59-69.

45. Уховский М.Р. О разрешимости трехмерной задачи протекания идеальной несжимаемой жидкости. Ростов-на-Дону. 1979. Деп. в ВИНИТИ 27.03.79. № 1051-79.

46. Уховский М.Р. Об осесимметрической задаче с начальными данными для уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости // Механика жидкости и газа. 1967. № 3. С. 3-12.

47. Цыганкова Е.К. Об одной новой постановке двумерной задачи протекания жидкости через заданную область // Вестник НГУ, серия «Математика, механика, информатика». 2004. Т. IV. Вып. 3/4. С. 93-99.

48. Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости // Журн. выч. мат. и мат. физ. 1963. Т. 3. № 6. С. 1032-1066.

49. Юдович В.И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область // Мат. сб. 1964. Т. 64 (106). № 4. С. 562-588.

50. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов: Изд. Рост, ун-та, 1984.

51. Aubin J.P. Une theoreme de compacite // С. R. Acad. Sc. 1963. V. 256. P. 5042-5044.

52. Bardos C. Existence et unicite de la solution de l'equation d'Euler en dimention deux // J. Math. Analysis and Appl. 1972. V. 40. № 3. P. 769-790.

53. Beale J.Т., Kato Т., Majda A. Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-d Euler equations // Comm. Math. Phys. 1984. V. 94. P. 61-66.

54. Bertozzi A., Constantin P. Global regularity for vortex patches // Comm. Math. Phys. 1992. V. 152. P. 19-28.

55. Bourguignon J.P., Brezis H. Remarks on the Euler equations //J. Functional Analysis. 1974. V. 15. P. 341-363.

56. Camassa R., Holm D.D., Levermorc C.D. Long-time effects of bottom topography in shallow water // Physica D. 1996. V. 98. P. 258-286.

57. Chemin J.-Y. Persistance de structures geometriques dans les fluides incompressibles bidimensionnels // Annales de l'Ecole Normale Superieure. 1993. V. 26. № 4. P. 517-542.

58. Chemin J.-Y. Fluides parfaits incompressibles. Asterisque. V. 230. 1995.

59. Chorin A. Estimates of intermittency, spectra and blow-up in developed turbulence // Commun. Pure Appl. Math. 1981. V. 34. P. 853-866.

60. Chorin A. The evolution of a turbulent vortex // Comm. Math. Phys. 1982. V. 83. P. 517-535.i

61. Cianchi A. Embedding theorems for Sobolev-Orlicz spaces. Universita degli Studi di Firenze. Prerpint 15. 1994. 30 p.

62. Cianchi A. Interpolation of operators and the Sobolev embedding theorem in Orlicz spaces. Universita degli Studi di Firenze. Prerpint 9. 1995.

63. Cianchi A. A sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces // Indiana Univ. Math. J. 1996. V. 45. P. 39-65.

64. Constantin P. On the Euler equations of incompressible fluids // Bull. AMS. 2007. V. 44. № 4. P. 603-621.

65. Delort J.-M. Existence de nappes de tourbillon en dimension deux //J. AMS. 1991. V. 4. № 3. P. 553-586.

66. Delort J.-M. Existence de nappes de tourbillon sur R2 / / C. R. Acad. Sci. Paris. 1991. V. 312. № 1. P. 85-88.

67. Delort J.-M. Une remarque sur le probleme des nappes de tourbillon axisymetriques sur R? // J. Func. Anal. 1992. V. 108. P. 274-295.

68. DiPerna R.J., Majda A. Concentrations in regularizations for 3-D incompressible flow // Comm. Pure Appl. Math. 1987. V. 40. P. 301—345.

69. DiPerna R.J., Majda A. Reduced Hausdorff dimension and concentration-cancelation for two dimensional incompressible flow //J. AMS. 1988. V. 1. P. 59-95.

70. Dutrifoy A. Existence globale en temps de solutions helicoidales des equations d'Euler // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. 1999. V. 329. № 7. P. 653-656.

71. Ebin D., Marsden J. Groups of diffeomorphisms and the motion of an incompressible fluid // Ann. of Math. 1970. V. 92. P. 102-163.

72. Evans L.C., Muller S. Hardy spaces and the two-dimensional Euler equations with nonnegative vorticity // J. AMS. 1994. V. 7. P. 199—219.

73. Gerard P. Resultats recents sur les fluides parfaits incompressibles bidimen-sionelles (d'apres J.-Y.Chemin et J.-M.Delort) // Seminaire Bourbaki. 44eme annee (1991-92). № 757. P. 411-444.

74. Holder E. Uber die unbeschrankte Fortsetzbarkeit einer stetigen ebenen Bewegung in einer unbegrenzten inkompressible Fliissigkeit // Math. Z. 1933. V. 37. P. 727-738.

75. Kato T. On classical solutions of the two-dimensional non-stationary Euler equations // Arch. Rat. Mech. Anal: 1967. V. 25. № 3. P. 188-200.

76. Kato T. Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in M3 // J. Functional Analysis. 1972. V. 9. P. 296-305.

77. Kufner A., Fucik S., John O. Function Spaces. Prague, Academia, 1977. 454 p.

78. Levermore C. D., Oliver M., Titi S. Global well-posedness for models of shallow water in a basin with a varying bottom // Indiana Univ. Math. J. 1996. V. 45. № 2. P. 479-510.

79. Levermore C. D., Oliver M. Analyticity of solutions for a generalized Euler Equation // J. Diff. Eq. 1997. № 133. P. 321-339.

80. Lichtenstein L. Griindlagen der Hydromechanik. Berlin, Springer, 1929.

81. Lions P.L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Incompressible Models. V. 1. Oxford, 1998, 349 p.

82. Lopes Filho M.C., Nussenzveig Lopes H. J., Xin Z. Existence of vortex sheets with reflection symmetry in two space dimensions // Arch. Rat. Mech. Anal. 2001. V. 158. № 3. P. 235-257.

83. Majda A. Remarks on weak solutions for vortex sheets with a distinguished sign // Ind. Univ. Math. J. 1993. V. 42. P. 921-939.

84. Mamontov A.E. Orlicz spaces in the existence problem of global solutions to viscous compressible nonlinear fluid equations // Препринт 2-96 Ин-'та Гидродинамики им. М.А.Лаврентьева. 1996. 34 с.

85. Mamontov А.Е. On the uniqueness of solutions to boundary value problems for non-stationary Euler equations // Adv. Math. Fluid Mech. 2009. P. 281— 299.

86. Marchioro C., Pulvirenti M. Euler evolution for singular initial data and vortex theory // Commun. Math. Phys. 1983. V. 91. № 4. P. 563-572.

87. Marchioro C., Pulvirenti M. Mathematical theory of incompressible nonviscous fluids // Appl. Math. Sci. V. 96. Springer-Verlag, New York, 1994.

88. Morf R., Orszag S., Frisch U. Spontaneous singularity in threedimensional incompressible flow // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 44. P. 572-575.

89. Murat F. Compacite par compensation // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. 1978. V. 5. P. 489-507.

90. Oliver M. Classical solutions for generalized Euler equation in two dimensions // J. Math. Anal. Appl. 1997. № 215. P. 471-484.

91. Orlicz W. Uber eine gewisse Klasse von Raumen vom Typus В // Bull. Inttrn. de 1'Acad. Pol. Serie A. Cracovie, 1932.

92. Ponce G. Remarks on a paper by J.T. Beale, T. Kato and A. Majda // Comm. Math. Phys. 1985. V. 98. P. 349-353.

93. Scheffer V. An inviscid flow with compact support in space-time //J. Geom. Anal. 1993. V. 3. № 4. P. 343-401.

94. Serre D. La croissance de la vorticite dans les ecoulements parfaits incompressibles // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. 1999. V. 328. № 6. P. 549-552.

95. Shnirelman A. On the nonuniqueness of weak solution of the Euler equation // Comm. Pure Appl. Math. 1997. V. 50. № 12. P. 1261-1286.

96. Simon J. Compact sets in the space Lp(0,T;B) // Ann. Mat. Рига Appl. 1987. V. 146. P. 65-96.

97. Temam R. On the Euler equations of incompressible perfect fluid //J. Funct. Anal. 1975. V. 20. № 1. P.32-43.

98. Turkington B. On the evolution of a concentrated vortex in an ideal fluid ■// Arch. Rat. Mech. Anal. 1987. V. 97. № 1. P. 75-87.

99. Vishik M. Incompressible flows of an ideal fluid with vorticity in borderline spaces of Besov type // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4). 1999. V. 32. № 6. P. 769-812.

100. Wolibner W. Un theoreme sur l'existence du movement plan d'un fluide parfait, homogene, incompressible, pendant un temps infiniment long // Math. Z. 1933. V. 37. W 1. P. 698-726.

101. Yudovich V.I. Uniqueness theorem for the basic nonstationary problem in the dynamics of an ideal incompressible fluid // Mathematical Research Letters. 1995. V. 2. P. 27-38.

102. Алексеева (Уваровская) М.И. Существование решения двумерной нестационарной задачи о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область // Вестник НГУ, серия «Математика, механика, информатика». 2003. Т. 3. Вып. 1. С. 3-9.

103. Мамонтов А.Е., Уваровская М.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости: условия существования и единственности решений // Прикл. мех. техн. физ. 2008. Т. 49. № 4(290). С. 130-145.

104. Алексеева (Уваровская) М.И. Существование решения задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости в бассейне с непостоянной формой дна // Математические заметки ЯГУ. 2003. Т. 10. Вып. 2. С. 3-9.