Идеальные пространства вектор-функций: геометрия, интерполяция и применения к нелинейным операторам и уравнениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

НГУЕН ХОНГ ТХАЙ

ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ: ГЕОМЕТРИЙ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИИЕНЕНШ К НЕЛИНЕЙНЫ!! ОПЕРАТОРАМ И УРАВНЕНИЯМ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена на кафедре математических методов теории управления Белорусского государственного университета имени В.И. Ленине.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ

Ведущая организация: Московский институт электронного

Защита состоится"П " марта 1992 г. в 10 часов на заседании специализированного Совета ДР. 056.03.96 по присуждению ученой степени доктора наук в Белорусском государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 220080, Республика Беларусь, г. Минск, проспект Ф. Скорины, 4, БГУ, главный корпус, к. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан _" февраля 1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

доктор физико-математических наук; профессор Я.В. РАДЫНО

доктор физико-математических наук, профессор Я.Б. РУТИЦКИЙ

машиностроения.

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1-- ¡:Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена теории полумодулей инфраполуединиц, геометрии идеальных пространств ( Loo -модулей) измеримых вектор-функций, теории линейных и нелинейных операторов в них и их приложениям к задачам о разрешимости нелинейных операторных и интегральных уравнений Гаммерштейна л краевым задачам для систем уравнений математической физики.

Теория нелинейных интегральных уравнений,- восходящая к фундаментальным исследованиям А.М.Ляпунова', Э.Шмидта, П.С.Урысона и получившая дальнейшее развитие в работах Л.Лихтенштейна, А.Гаммерштейна, М.Голомба, первоначально строилась в классических пространствах С непрерывных функций и (La, интегрируемых (в смысле Лебега) с квадратом функций. Однако, к началу шестидесятых годов после исследований М.А.Красносельского, А.И.Поволоцкого, М.Н.Вайнберга и других авторов в классических вариантах теории были обнаружены весьма существенные "дефекты". В частности, теория нелинейных интегральных уравнений в пространствах С не позволяла исследовать разрывные решения нелинейных уравнений (в частности, уравнения с разрывными нелинейностями) и была излишне сложной технически из-за "плохой" геометрии пространства С ; теория же в пространствах {La (даже после привлечения пространств ÍLp ) позволяла рассматривать нелинейные интегральные уравнения только со степенными нелинейностями. Именно в связи с этим обстоятельством М.А.Красносельский и Я.Б.Рутицкий предложили и обосновали возможность применения к исследованию интегральных уравнений с произвольными нелинейностями пространств Орлича, введенных'в анализе В.Орличем еще в тридцатых годах, в первую очередь, в связи с теорией рядов Фурье.

В те же годы развивалась и теория систем нелинейных интегральных уравнений. Их анализ проводится по аналогии со скалярным случаем, причем в качестве пространств, в которых эти уравнения рассматривались, использовались сначала прямые суммы пространств Лебега Lp , а затем и

- 3 - '

пространств Орлича .

В шестидесятых годах П.П.Забрейко и А.И.Поволоцкий впервые предложили и обосновали возможность применения к исследованию интегральных уравнений общих идеальных пространств (в частности, и пространств Лоренца Ал и пространств Марциякевича )• Следует отметить, что идеальные пространства измеримых скалярных функций (иначе, функциональные банаховы пространства, пространства Кёте, ■ банаховы структуры и др.') рассматривались по разним поводам еще в • пятидесятых и шестидесятых годах Ж.Дьедонне, Х.Эллисом, И.Гальпериным, Г.Лоренцем, Д.Вергеймом, В.А.Люксембургом и А.Зааненом, Ю.И.Грибановым, П.П.Забрейко, В те же годы в связи с потребностями вариационного исчисления' и теории оптимизации начала развиваться теория пространств ■ Орлича вектор-функций (причем не только конечномернознач-ных, но и бесконечномерноэначных). Однако, в работах по нелинейным интегральным уравнениям продолжали использоваться прямые суммы пространств Лебега, Орлича (и более общих идеальных пространств). Естественно, что использование прямых сумм пространств скалярных функций для исследования систем нелинейных интегральных уравнений позволило, как в скалярном случае, рассматривать уравнения с нелинейностями сколь угодно "большого" роста. Но (и это было замечено не оразу!) теория нелинейных интегральных уравнений Гаммер-штейна, основанная на использовании прямых сумм пространств скалярных функций, не охватывала многие олучаи нелинейносте? имевдих существенно различный рост, по различным направлениям.

В этой связи было желательно для анализа интегральных уравнений с такими нелинейностями попытаться использовать теорию пространств Орлича вектор-функций, построенную в работах М.Скаффа, А.Д.Иоффе, А.Козека, З.Шателейна, Э.Жинера, Б.Турэта, АВ.Л.Левина, И.В.Шрагина, и др. До 1986 года было известно несколько вариантов такой теории, различающихся предположениями о порождающих пространства ' N -

_ 4 -

функциях (выпуклых нормальных интегрантах). Оказалось, что с точки зрения приложений к нелинейным интегральным уравнения.» ни один из этих вариантов не обеспечивает необходимой общности. Основными "недостатками" в указанных вариантах пространств Орлича вектор-функций и введенных позднее

B.Л.Левиным,. С.Кастэном, А.Каминской банаховых пространств измеримых вектор-функций, являются следувдне. Во-первых,

в их построениях предполагались выполненными различные дополнительные и часто весьма существенные ограничения. Во-вторых, до настоящего времени оказались не изученными в полном объеме такие важные для применений к .нелинейным интегральным уравнениям свойства, как сепарабельность, критерии компактности и абсолютной ограниченности, условия слабой (в различных смыслах) сходимости и т.п. В-третьих, совершенно не изучались-свойства различных линейных и пели-' нейных операторов в таких пространствах. И, наконец, подхода А.Д.Иоффе, З.Шателейна, Э.Нинера, А.Козека, В.Л.Левина,

C.Кастэна и др. не позволяют добитьсявяолной общности упомянутых результатов, необходимых для применений к нелинейным уравнениям. Лишь в 19В5-1987 гг. в работах П.П.Забрей-ко и автора была предложена теория пространств Орлича вектор-функций, достаточно хорошо приспособленная г. исследованию интегральных уравнений.

В 1985-1987 гг. П.П.Забрейко были введены идеальные пространства (конечномернозначных) измеримых вектор-функций, как модули над алгеброй Ь существенно ограниченны:; измеримых скалярных функций и построена- общая теория этих пространств. Эти новые пространства содержат как частные . случаи прямые .суммы (бохнеровские варианты) идеальных пространств скалярных функций, упомянутые выше варианты пространств Орлича, а также банаховы пространства измеримых вектор-функций, рассмотренные в 1985-1987 гг. В .Л Левиным, С.Кастэном и А.Каминской.

Систематическое использование пространств Лебега, и Орлича для изучения разрешимости в пространствах Соболева краевых задач для эллиптических (квазилинейных) дифферея-

циальных уравнений в частных производных и систем таких уравнений впервые было дано в работах М.И.Вишика в первой половине шестидесятых годов. Затем, В.И.Юдович, Ю.А. Ду-бинский, С.И. Похожаев, Н.Трудингер уточнили нелинейности

в эллиптических уравнениях при использовании полученных ими теорем вложения пространств Соболева в пространства Ор-лича. В семидесятых и восьмидесятых годах в работах Т.До-налдсонаД.-П.Госсеза,Н.Трудингера и Т.Доналдсона,А.Фужера, Т. Лакруа и др. широко использовались пространства Ор-лича скалярных функций для изучения разрешимости в пространствах Соболева-Орлича краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с коэффициентами нестепенного роста; в те же года для таких задач начали использоваться пространства Орлича вектор-функций в работах А.Д. Иоффе, Ш. Баррила и Р. Ваудена, B.C. .Климова и их коллег.

Естественно было попытаться для анализа краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений использовать идеальные -пространства. В настоящей работе впервые предпринимается попытка продвинуться и в этом направлении.

Цель настоящей работы состоит в построении геометрии (в частности, теории двойственности)идеальных пространств ( Lo*-модулей и банаховых Ь^-модулей) вектор-функций, теории линейных и нелинейных операторов в таких пространствах и их применения к теории интегральных уравнений и краевым задачам для эллиптических дифференциальных систем и уравнений.

Методика исследования. Первоначальная теория идеальных пространств скалярных функций основана на анализе свойств упорядоченности, порожденной конусом неотрицательных функций. При переходе к идеальных пространствам (модулям над алгеброй Loo ^ вектор-функций ситуация резко меняется. Уяв пространства Орлича вектор-функций не являются К-пространствами (и даже полуупорядоченными пространствами относительно естественной упорядоченности, порожденной конусом вектор-функций с неотрицательными компонентами). В этой связи в работах С. Кастэна, Р. Рокаделлара, А.Д. Иоффе и В.М. Тихомирова, В.Л. Левина и др. был развит тон- б -

кий аппарат (так называемый выпуклый анализ в пространствах измеримых вектор-функций), основанный на хорошо развитой теории измеримых многозначных отображений.

Однако, при нашем построении теории идеальных пространств вектор-функций выяснилось два важных обстоятельства. Во-первых, математический аппарат выпуклого анализа можно свести к минимуму - только к теореме об измеримом выборе для измеримых многозначных отображений и простейшим следствиям из нее (среди которых стоит отметить леммы А,Ф.Филиппова о неявных функциях). Во-вторых, обнаружено, что идеальные пространства вектор-функций, введенные'П.П.Забрейко, являются "упорядоченными" в некотором новом некласоическом смысле, а именно, введенное диссертантом множество инфра-полуединиц (измеримых по С.Кастэну специальных многозначных отображений) в таких пространствах является полумодулем, являющимся порядково полной алгебраической системой счетного типа (этот факт является следствием свойства порядковой полноты алгебры измеримых множеств и некоторых свойств выпуклых множеств в конечномерном пространстве).

Соответствущие результаты об этом полумодуле инфра-полуединиц приводят, во-первых, к простой схеме исследования идеальных пространств вектор-функций, в частности, построению теории двойственности таких пространств и, во-вторых, к достаточно богатой теории линейных и нелинейных операторов, действующих в них. В частности, они позволяют естественным образом ввести модуль линейного оператора в таких пространствах (он оказывается "линейным" оператором в полумодулях инфраполуединиц). Далее, они позволяют обнаружить естественность и полезность применений интегралов Аумана и Бохнера многозначных отображений к изучению интегральных операторов в таких пространствах.

Отметим еще, что множество инфраполуединиц идеальных пространств вектор-функций является полукольцом в смысле В.П.Маслова со специальной операцией сложения без вычитания; наша конструкция полумодулей инфраполуединиц идейно близка к некоторым конструкциям В.П.Маслова.

Построенная теория идеальных пространств вектор-функций и операторов в таких пространствах позволяет получить ряд результатов (новых уже для одного уравнент ния) о разрешимости систем нелинейных операторных и интегральных уравнений Гамыерштейна и краевых задач для квазилинейных систем уравнений в частных производных с "сильными" нелинейностями.

Научная новизна. В диссертации предложен и развит новый подход к построению теории идеальных пространств (модулей и банаховых модулей над банаховой алгеброй и ^ ) вектор-функций и теорий операторов и уравнений в таких пространствах, основанный на анализе введенного диссертантом нового математического объекта - полумодуля инфраполуединиц и операторов в таких полумодулях (это построение в скалярном случае эквивалентно анализу конуса неотрицательных функций и теории положительных относительно такого конуса операторов). Основными результатами диссертации являются :

1. Теория нового математического объекта - полумодулей инфраполуединиц (измеримых по С. Кастэну специальных многозначных отображений) и построенные на ее основе теория идеальных в смысле П.П. Забрейко пространств (модулей и банаховых модулей над банаховой алгеброй I» во ) вектор-функций и теория линейных и нелинейных (интегральных) операторов в таких пространствах;

2. Получение новых (уже для одного уравнения) теорем о разрешимости нелинейных операторных и интегральных уравнений Гаммерштейна и краевых задач для квазилинейных эллиптических дифференциальных систем с "сильными" нелинейностями, основанных на новой теоретико-функциональной схеме и на теории идеальных пространств ( Ьов-модулей) вектор-функций и теории операторов в таких пространствах.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Предложенный и развитый в диссертации новый подход построения теории идеальных пространств ( Ьсэ-модулей) вектор-функций и соответствующие ему результаты тлеют естественные применения в теории интерполяции линейных и нелинейных операторов; в интенсивно развивающихся в последнее время теориях интегральных и дифференциальных включениях; к теорема)* вложения типа С.Л. Соболева-С.М. Никольского для пространств вектор-функций, которые и обобщенные производные которых имеют различный по различны» направлениям рост; и такхе в интенсивно развивающейся теории функционально-дифференциальных стохастических уравнений Ито с вольтерровскими (в частности, суперпоэиционно измеривши) дегффициен-тами.

Полученные з диссертации новыэ тоорзш о разрешимости нелинейных интвгральнгпс уравнений приводят гс новым признака« существования вт*уясденнш: периодических колебаний в существенно нелинейных одноконтурных и многононтурнцх системах управления. Установлении в диссертации новые теоремы о разрешимости краэкэс задач для квазилинейных эллиптических систем с "сильными" нелииейностями также приводят к новым теоремам существования для ряда "возмущецшд" конкретных краевых задач нелинейной механики (механики вязкошгасти-ческих сред, механики упругости и др.),. т.о. таких "возмущенных" вариантов классических краевых задач нелинейной механики, где воздействующая на механическую систему "сила" не фиксирована, а зависит от "состояния системы" в виде оператора суперпозиции от "состояния системы".

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах БГУ по функциональному анализу (руководитель - профессор Я.В. Радыно), на семинаре по функциональным уравнениям в Воронежском инженерно-строительном институте (руководитель - профессор Я.Б. Рутицкий), на семинарах по нелинейному анализу в институте проблем управления АН СССР (руководители -профессор М.А. Красносельский, доктор физико-математи-• ческих наун A.B. Покровский), на семинаре ВГУ под руководством профессоров С.Г. Крейна и Е.М. Семенова, на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах в г. Челябинске (1986 г.), Тамбове (1987 г.), Ульяновске (1990 г.), Нижнем Новгороде (1991 г.), на второй Международной конференции по функциональным пространствам в Познани (Польша, сентябрь 1989 г.).

Публикации. На защиту выносятся только результаты, полученные лично автором. Они были опубликованы в работах С I - 12 3 (см. также ещо в С 13 - 16 ] ).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка" сокращенных слов и основных обозначений, трех глав и списка литературы, она изложена на 341 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 322 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даются основные положения и краткий очерк истории по идеальным пространствам скалярных функций,. бохнеровским вариантам идеальных пространств вектор-функций, небохнеровским пространствам Орлича вектор-Лун-кций и их применениям к теории интегральных уравнений и краевым задачам для эллиптических дифференциальных уравнений. Здесь же излагается методика исследования и основные результаты работы.

Первая глава посвящена полумодулям инфраполуединиц и геометрии идеальных пространств вектор-функций. Она состоит из 6 параграфов.

§ 1.0 носит вспомогательный характер. Здесь приводятся определения измеримых (по СЛСастэну) многозначных отображений и связанных с ними измеримых интегрантов, основная теорема об измеримом выборе для нормального (т.е. измеримого и замкнутозначного) многозначного отображения и несколько ее простых следствий (в частности, леммы А.Ф.Филиппова о неявных функциях).

§1.1. посвящен первой части теории нового математического объекта - полумодулей инфраполуединиц идеальных пространств вектор-функций. Он состоит из 26 пунктов. В п. I.I.I - п. I.I.I2 вводятся основные определения и соответствующие ил предварительные вспомогательные утверждения.■ Приведем необходимые определения.

Пусть OC!R^ ( *&m ~ "SHiR74-) ) - полное сепа-

рабельное метрическое пространство (соответственно, ограниченных ) замкнутых, выпуклых и уравновешенных подмножеств евклидова пространства IR™ , снабженное метрикой Хаусдор-фа. По аналогии с пространством S ((R'm) измеримых на П вектор-функций через 5(Фт)( SCW1) ) обозначил полное метрическое пространство всех измеримых на Л функций со значениями в O'GJV'H соответственно,здесь C^/Ofcjt*) - некоторое множество, <Г-алгебра его подмножеств, неотрицательная У-конечная и полная счетно аддитивная мера; без ограничения общности можно предполагать, что атомы множества п состоят из точек. Относительно обычных алгебраических операций сложения и умножения на число из Со , + о®) и упорядоченности по, включению пространства и SC'SV11') являются структурно упорядоченными полумодулями в стандартном понимании.

Пусть В fe S(Om) . Множество зирр b = bcs^-loij С IX назовем носителем . Б . Положим

SOR14) : , (I)

U , ¿r = и \ B(s) . (2)

ь л?0 ь Л),О

Функция ¿tg, принадлежит множеству SC^""0) ; здесь SGC™)-множество всех функций из SCO'"1') . принимающих значения в множестве SC'm'= SCCOVM всех подпространств пространства IR""1- . Оказывается, что = ЬШ + SCB) , SCAА-> = ЛSCA> (А,В6 SCO-^XeR) .

Простейшим примером элементов из SC'ft'™1) служат функции

ЬхСь) = conv {хы,-зс<»} Об ; (3)

•здесь через umv обозначается выпукла^ оболочка соответствующего множества. Множество РГ с. S (Ж™--) назовем идеалом, если 5СЕ>х")<1.рГ (х £ (V"} » что эквивалентно тому, что oísctjv- , если х 6 ff и M(íl), 1ИII 1 (здесь М(П)= t; - банахова алгебра всех измеримых

ограниченных в существенном на -П. скалярных функций); выпуклое идеальное множество АГ назовем выпуклым идеалом; идеальное векторное пространство X с SflR1"1) - идеальным пространством (Ш) вектор-функций (это определение Ш X эквивалентно тому, что X является модулем над алгеброй М(П) ).

Пусть Xc.SCüVO - Ш. Положим

s^p Х= sup {SUfp Ikon.xt х} Л = {&*<

KW = { Ь€ SCO™) : SCB) с^, Ew(x) = EW(X) П ЗДП, E00»{bt ЕжСХ):Р^ь*€5ССв)(хеХ) (4)

Е (х) =. § (х^П SCBW) , - 12 -

Е0(хь ЕС(Х) П ЬСЗЬ^ \ /

здесь Р-^ - оператор умножения на характеристическую

функцию множества 1> 6 . Элемент Ь 6-

(В^-ЕСХ^^ Б & Е-о00 ) назовем инфраполуединицей (соответственно, полуединицей, единицей) в Л .'В скалярном случае ( ш - 1 ) Е(Х) = Е^Х) сводится к множеству

-V

X многозначных функций Ь^ , где х - произвольная функция из конуса неотрицательных функций в X .В векторном случае ( т у 1 '), Е (X) £ ЕЛ(Х) .

Оказывается, что для Ш Хс ЪСВ1*') ПРИ любом £>0 существует такая полуединица Ь£ £ » что

тп

м [>рр х \ ьиф ь з < £ и в =1 5 (*4ех>»

где почти при всех $ 6Й справедливы равенства

^ Сь)-) — О (С ф j (здесь - нормированная з

эквивалентная ^ мера; С')-4) - скалярное произведение в (Я'™- ). В силу этого утверждения устанавливается существование такой функции ^ 6 ЭС^7"1) (называемого нами векторного носителя), для которой х€ 5>Сс£^) Ос 6-Х)

и из X & зда (X 6 X) . где <£€ следует, что

с £ ' . Далее, дЯя каадой х € 5(<£ь) (В€ Е„,(Х)) существует такая последовательность -О.^ £ , что

£1П Т ьи^р X и Ргг.^*- ^ ^ Е> » 53 частности, для каждой ЬОС^) существует такая последовательность Ос , что £^5иРРХ и Р^ X 6 X ;

Итак, имеем следующую диаграмму

•ъСЪ™) ЪСХГ»)

„ и и и

X .:--> X с Ео(Х)

! п п л,

EWM d £ W э Е0СХ>

1 и и и

% cSCDc SCCT} л ъсо-^) SO™)

. Для выпуклого идеала 1Y"C SCR'*1') аналогично определяются множества EwO'O » Е 0V) и т.п. и векторный носитель X jy .

В п. I.I.I3 - I.I.I5 вводятся в изучение параметрические базисы в SC^bC^7*) и соответствующая параметрическая

функция мер Лебега (ь, , необходимые, в частности,

для доказательства следующей важной теоремы - "Пусть Л СГ SCR"1) - Ш. Тогда полумодуль инфраполуединиц Е W(X) ( E.w(?0 ) является порядково полным полумодулем счетного типа, порожденным в полумодуле семейством X^iB^'-^tX} ".В частности, любое семейство •JVc. SC©^) обладает супремумом и для Ш X имеет место формула = s*f ^• .

Ниже, семейство -т. измеримых вектор-функций {х^ : с =i7m } назовем параметрическим базисом в SCt SCSC4) , еедя- почти при всех s € Л ненулевые векторы из семейства негторов ^¿СО •• ^ = \ } составляют базис в «СС*> . Окззыдается, что каждый элемент 5(£т)

обладает параметрическим базисом.

В пл. I.I.I6-I.I.I7 изучается структура инфраподуединш Ь £ S^S)™) . В частности, получается следующая важная

- 14 -

теорема об аппроксимации любой инфраполуединицы подобными многограннозначными инфраполуединицами: "Пусть Ь^ЬС^). Тогда существуют такие измеримые селекторы х*,.», 5(Е>) и ушнереальная, зависящая лишь от размерности тп » константа Бт , что ■• Í - является параметрическим базисом в X k и

w, та .

2 Ь а. В cr ? X 5 • (6) L~ i *¿ ^ 1

Следует отметить, что ^ 7 1 в векторном случае

В л. I.1.19 даются стандартное определение интеграла

Бохнера (-ft) S & Kv С здесь КуОИГ')-

Л

пространство всех непустых компактных выпуклых подмножеств

tRTn" , снабженное метрикой Хаусдорфа; Б •' -Л.'-» Ку((К7п) -измеримое по С.Кастэну многозначное отображение) и стандартное определение интеграла Аумана равенством

(SO S = ? s xCs)dj<(s): х £ $>СВ)П LCXJ.R'") \

si J Ifí 3 •

Здесь установлено новое полезное для исследовании интегральных операторов утверждение: "Измеримое по Кастэну комнакт-нозначное отображение bO¡ -О. Я1^ интегрально ограничено в том и только том случае, когда все селекторы его уравнове ценной выпуклой оболочки cocí Б (О € SCS^) являются интегрируемыми на -О- вектор-функциями";

В пп. I.I..20 - 1.1.21 .вводятся и изучаются функционалы

\\мх = suf{iixiix осе SCB)} (веасаг)^ (7) |1Ы!Х = : С&е (8)

здесь F^C5^ - относительная граница множества ВО) ; С X ;> И "д ) - нормированное идеальное пространство (НИП)

в SCtR""1} > т.е. нормированный модуль над банаховой

алгеброй в стандартном понимании ( ||<*эс|| $ IHN ||xl|

Л M(il) X

(^tх£Х)) . Оказывается, в частности, что ||ВЦ^<°о

(Ь€ Е^(Х)") (это означает ограниченность в X единичного шара нормированного пространства М ^ , снабженного нормой = Ст1^Д?-0 •. х£ \ 5>(Ь)j) и что

-йт. ll^vbll =0 ^Bfc EW(X0)) (это означает абсолютную fVCDHO ^ *

ограниченность в X0 единичного шара М D )» здесь X =

{xt X: (im IIP^II = О } - правильная часть НИП X . J^CDbO * Л

Далее, соответствущие функционалу II Е> II * результаты • (в частнооти, утверждение " ■= 0 ■ в том и только

том случае, когда Ь =. О ") позволяет доказать в § 1.2 теорему о непрерывном вложении НИП X в ^ С (R™) .

НИП Хс S C(Rm) назовем банаховым идеальным пространством (БИП) ,если X полно по норме (т.е. X является банаховым модулем, над банаховой алгеброй H(fi') в стандартном понимании). Так в пп. I.I.22 - I.I.26 излагаются специальные вопросы о инфраполуединицах в БИЛ. Устанавливается непустота множества единиц ( ) Для БШ X . Доказано, что БИЛ , где Е> 6 SÖST), изоморфно некоторому пространству Какутани типа (м) .

Здесь же вводится (и изучается) двойственный к выпуклому идеалу W• выпуклый идеал Пг* равенством

SGXp : <х)Х'>3 1 (xesr)}. (9)

в частности, установлено существование для ограниченного в SflRinrl') выпуклого идеала такой функции А € SCft™), что ^A=*fr = ifiг* и <x'x/>^i-Cxeir, х'е SCA^) •

Это утверждение играет важную роль в построении теорий двой ственности ИП в § 1.3.

В п. I.I.I8 и п. I.I.26 изучаются ряцы инфраполуединт

оказано, что ряд Е> = 2. Е> - iLLp 21 В, , где

00 -n=t ^ VSCO^^i * Ь-и. £ S(Ow) (тг € N) принадлежит SC^m) в том и толь-о том случае, когда множество (J В. ) огранлче-

0 в SCCR1^) . Установлен аналог свойства Рисса-Фишера для ядов инфра полу единиц в БШ X : "Если В^бЕ (X) 6 М )

оо I • оо '

: X l\E>J\v<«i , то Ьи = 21 В ^ является нфраполуединицей из EW(X) и l|£5<JI у ^ -2- И 5.JI <•<>"..

Л и 1 Д

§1.2 посвящен общей теории идеальных пространств век-юр-функций. Установлены непрерывное вложение НШ X в ¡етрическое пространство S(lR'm') и ограниченность в S(K™) ¡диничного шара Я . Доказаны векторные аналоги критериев [.П.Забрейко о V-ограниченных и YV -ограниченных шожествах в БШ X и абсолютной ограниченности множества ! правильной части Х° БШ X ; критериев М.А.Красно-¡ельского - Я.Б.Рутицкого о сходимости последовательностей

1 предкомпактности множеств в /(0 ; критерии сепарабель-юсти X и Л° . Доказано, что кавдая сходящаяся в БШ

X последовательность € X содержит "Ц- ограни-генную сходящуюся почти всюду подпоследовательность х-,,

к

-ограниченность i3c-nkf означает,что {^n^c 5(B)

1ля некоторой инфраполуединицы Ь€ EW(X)). Приводится аналог теоремы П.П.Забрейко о строении единичного шара в ЗИП.

§ 1.3 посвящен теории двойственности идеальных про-зтранств вектор-функций. Вводится двойственное к ИП KC-SdR711) идеальное пространство X' равенством X = к'б SGC^) •' <х, х'х°о . Установлено равенство

ef в случае НШ X . Для регулярного линейного

X X' j

функционала £ Х"4) . определенного на Ш X вво-

дим модуль ЕДХ) £0, + °°) равенством |41 Ь = «f{$CO: (6£ Е^(Х)){ модуль If) является линей-

шм в полумо,дуле инфраполуединиц EW(X) . Соответствую- 17 -

цие результата об этом модуле а.'зчолкют доказать совпадение пространства (ш)-непрспцанис функционалов и Х/ ;

векторные аналоги теоромы Пос;1ды-Хью:.:та о разложении Лебега для регулярных (и ненрерквньх) функщияалов; теорем

A.В.БухвалоЕа-Г.Я.Лозановского о замкнутых в SGRm) выпуклых ы,[го:лествах в Ш (и ЕШ). Здесь не установлены векторные аналоги критерия Т.Мсри-И.Амзмш-Х.Накано о почти 'совершенности и совершенности НИП; критерия рефлексивности

B.Люксембурга-А.Заанена и критерия Т.Андо - К.Дьедонне -П.П.Забрейко о секвенциально Г -слабой предкомпактности множеств для ЕШ.

§ 1.4 посвящен примерам бгнаховых идеальных пространен вектор-функций - пространствам Орлича L^ вектор-функций, порожденным произвольными H -функциями (выпуклыми нормальными интегрантами) M(s, и): П >; (R[о, <*>) • Здесь излагаются основные определения и факты, касающиеся этих пространств, доказательство которых было дано в кандидатской диссертации автора.

§ 1.5 посвящен второй части теории полумодулей инфра-полуединиц идеальных пространств вектор-функций, представляющей самостоятельный интерес и являющейся необходимой для главы 2 и § 3.1 а линейных интегральных операторах -это результаты о порождающих ИП и НШ семействах инфрапо-луединиц; о расширении Е ^ полумодуля f: W(X ) инфраполу-

едшиц (это банаховый идеальный модуль как простран-

ство с острым воспроизводящим замкнутым конусом EW(X) в смысле М.Г.Крейна); о введенной автором билинейной форме f (• > ■) в полумодуле '5Ь(Ц*'г,г) и др.

Глава 2 посвящена изложению теории ф -преобразований ф (Х1>"ч X ^ и_интерполяции идеальных пространств вектор-функций. Приводим необходимые определения и результаты. Пусть ф : îi"'1 х-к'Ь1п'п-_-.> ~ однородная

и вогнутая функция. Двойственную к функции ф функцию ф' определим соотношением

(Ф(в4.»-»ЬП>.й) с. £ <5; , Ai) (в£ € ЪГС ) | .

здесь (А; Ь) - {Си, V) : ut А, В } . Тогда ф = ф " ? масс таких функций ф обозначается через Ь*("71ъ,"Г"'Ч|'тг>)« 1иже через обозначается .совокупность всех пеубываздих,

эднородных и выпуклых ко ¡R1^ = [о, + [О, + «о) функций

t - -> (R , для каждой из которых справедливы не-

равенства с0 VÖmÖ St S'Cu) <; V(u, u) ;• через ij- ' обозначается двойственная к функции i}/ функция, определенная равенством v'cv-)^ {(и,»?-') ^(-О-4": + Теперь пусть fy С S C/RmO - ЕШ. Тогда могло определить Б1Ш ф CXivjX^c S(tpr,r') С нормой

IIх 1Ф X-n) j 'р II- ¡п^^СИВи!^ !|БЛ|| ) :

. Установлен аналог теоремы Г.Я.Лозановского с уточнением Е.И.Бережного о том, что

(ФСХ1,.",Хп),'г)/ = (Ф'0«^-|Х^.Ф/) . Далее, вводится т.-мерная характеристическая функция, ф : ТЦрЦу*-

J

точного интерполяционного функтораЭ^сопоставляя каэдой паре единичных шаров А и 5 пространств {Дд к еди-

ничный шар ф^. (А,5) интерполяционного пространства

.IR^ ) ; здесь IR? = UXA .снабженное

" А>0

нормой Hull _ =thfiA>0: U.6AA I . (R^

Для фу (XojXi) доказан аналог интерполяционных

теорем П.П.Забрейко и В.И.Овчинникова; в частности, установлено, что если линейный оператор Т является ограниченным как оператор из БИП Х0 в Б® ^о и из БШ Xj_ в БИП ■У* ( Х0,Х1)У0|У с SCIR"1))» то он является и ограничен- 19 -

ным оператором из ф^. (Хо, в ф^. (Уо' , У^ ) ,

В главе описывается реализация предыдущих результатов дм пространств Орлича вектор-функций.

Глава 3 посвящена применениям идеальных пространств вектор-функций к линейным и нелинейным операторам и нелинейным уравнениям; она состоит из 5 параграфов, три перв! из которых посвящены операторам, а два последних - уравне ниям.

§ 3.1 посвящен теории линейных интегральных операто] Введем для линейного интегрального оператора

Кх(Ч) = ^ Woi»b>xCs> 4.^(5,) (pcfcDOO) (10) модуль

здесь kC-fcjS^ - ядро К , являющееся измеримой на

Six-

матричнозначной функцией и - область определение

оператора (10) как оператор из SGR™) в SdR™") ; DGO является идеальным в смысле П.П.Забрейко пространством. Оказывается, что модуль является "линейным" опера-

тором, действующим из полумодуля инфраполуединиц Ew(t)(K

в полумодуль

и почти при всех

справедливы равенства

IKlBOO = (fc^kft^BfeU^fc) = Ш S^kft,*) BfrU.j^

здесь ^гс-п.^ С: 5(Е>) - некоторая зависящая от В п< следовательность* Соответствующие результаты об этом модуле позволяют стандартным рассуждением получить для лит ных интегральных операторов основные результаты теории р( гулярных-операторов, т.е. таких, которые преобразуют Ц,- 20 -

раниченные множества в "Ц.-ограниченные множества (при эм понятие положительности не появляется); доказать век-рные аналоги теоремы С.Банаха о непрерывности, теоремы З.Забрейко - Ю.И.Грибанова о слабой непрерывности и су-ствовании двойственного оператора, известных теорем о мпактности по мере и компактности, теорем о Ц-ограни-нных и V -коог^аниченни (мажорируемых) операторах.

В § 3.2 предлагается теория однозначных и многозначных ераторов суперпозиции в идеальных пространствах и про-ранствах Орлича вектор-функций. Здесь впервые устанавлива-ся общие теоремы о необходимых и достаточных условиях, при торых многозначный оператор суперпозиции (х~) =.

> , порожденный многозначной функцией Каратеодо-

, действует из одного пространства Орлича в угое и обладает .такими свойствами как непрерывность, огра-ченность и абсолютная ограниченность; многозначные и век-рные аналоги теорем Ю.Аппеля - П.П.Забрейко о свойствах прерывности, ограниченности и локальной ограниченности :ератора , порожденного суперпозиционно измеримой

:огозначной функцией 'О , в идеальных пространствах.

В § 3.3 приводится(новая уже в скалярном случае) так 1зываемая параметрическая теорема Радоиа-Никодимэ об плюральном представлении частично аддитивных операторов 'векторных мер"), определенных на алгебре Ог и прпнима-1их значения в метрическом пространстве 5С21,1К',)(здесь 2 - другое пространство с мерой); из этой теоремы ;андартно вытекают векторные аналоги критерия интегральной )едставимости А.В.Бухвалова для линейных операторов, крите-1Я Дреновского-Орлича-Аппеля-Забрейко для функционалов и зитерия Де Леона для абстрактных операторов Урысона в идейных пространствах.

В § 3.4 получаются две общих (новых уже для скаляргух равнений) теоремы (теоремы 3.4.1 и 3.4.2) о разрешимости заевых задач для квазилинейных эллиптических систем х - $ х ; здесь ^ - "сильная" нелинейность, а Ь -1бо слабо нелинейный в смысле М.И.Вишика - Ю.А.Дубинского

эллиптический оператор cl б е-от , либо псевдол но тонный в смысле Х.Брезиса оператор CL£ ÊTBM)) ( в чг аосги, оператор "вариационного исчисления" Ж,Лере - Ж.Лис са), лц<5о обобщенно монотонный в смысле Ф.Браудера -И.В. Окрышшкй < L€ 6*C6S) ), либо псевдомонотонный othoci тельно дополнительной системы пространств в смысле Н.Госс за оператор С L € 6С(гМ) ) ; в связи с этими теоремг ми введена в изучение классы и д

Эти теорема стандартным образом переносятся на случай вариационных неравенств эллиптического типа.

Ниже оформляется одно простейшее следствие теоремы 3.4.1 (для L € ЗДПЛС №H),L€^CBS) ) о разреш мости краевой задачи

L х = oí > х е V i си)

здесь - -оператор суперпозиции, порож-

денный функцией Каратеодори -Ç(s,и); Г2 x(R'*4--> (Rrn' ; / ® к к \ V^Wp CQ)çVç Wp (£1^) - рефлексивное банахово

пространство обобщенных вектор-функций со значениями в IR

L - формальный эллиптический оператор порядка як порождающий оператор L : V V * . Ниже Zc5 GR*") • "минимальное" БИЛ," в которое непрерывно вложено V ( Z найдется с помощью теорем вложения). Пусть X, У, Р БИЛ, 2с Г и выполнены следующие условия:

Pi ) L : V V * - ограничен и либо семинепрерыве) и псевдомонотонен, либо обобщенно монотонен в смысле Ф.Браудера — И.В.Скрыпника;

Ра) существует такая функция Каратеодори HCs>и.}:

ПхК™ Со,««) .что (u, -{Cs,u)) НО,и) и < Ьх, х >, - НС=с1->0 (НэсИу^*) при некотором \ > О Рз ) вложение 2 с. У абсолютно ограничено и существует такая .функция Каратеодори 5(4/0«): ЛхК"^ [о,«' что (u,|(5,u)) < bCS/U) и оператор суперпозиции БС-3 действует из У в Ц(Л) ;

Рч ) либо , X - Р и £ действует из Р в

' , либо 7- с. X и Х-» Р; преобразует ограниченное нояество в Р -слабо абсолютно ограниченное множество, ибо вложение 2. с. X абсолютно ограничено и ^ Дей-твует из X в Р' .

Тогда краевая задача (13) имеет решение в Ус. X .

В случае Ьб \в частности, в случае линей-

ого оператора) можно выбросить лишнее условие Рз • тога получается утверждение, содержащее как частные случаи езультаты, установленные автором в соавторстве с Ю .Айлеем и П.П.Забрейко [II] другим методом.

Теорема 3.4.2 относится к разрешимости краевых задач Ь х =. ^ ее в Г-ослабленном смысле (здесь Ь € <§*СБМ) ли и ГС&М) ), рассмотренном впервые Ф.Брауде-<ом. Приводам одно простейшее следствие теоремы 3.4.2 для лучая Ь€&СВЙ) .Г^О,** Е , что

оогветствует задаче Дирихле. Итак, пусть ^ ; \у ^("12) •"к ^ > СП.) - дифференциальный оператор(.1 +1. =1) .

'оворят, .что краевая задача х = 4х , х £

1азрешима в (Ц^-ослабленном смысле, если существует та-

■ая хш £ &ркСП) - что

Пусть ЬШ'т) - ЕИП и ^ = !Ьр# при кр-Ст».,

2. = И л при кр > п и Т. - при кр = п. }

силу теорем вложения С.Л.Соболева и С.И.Похожаева- Н, рудингера). Пусть выполнены указанные выше условия Ра , Рз , Рц для Р =. Ь о«, и следующее условие

ограничен, се-

инеирернвен и псевдомонотонен.

- 23 -

десь

Тогда краевая задача L эс =. ^ Cxi (х £ Wpk(Xl)) разрешима е L^ -ослабленном смысле.

Отметим, что в работах Ф. Браудера, Ф. Браудера-Х Брезиса, П. Хессе, Ж.-П. Госсеза, К. Вэбба, Ж.-П. Гос-сеза-В. Мустонена, Ж.-П. Госсоза-А. Бенкиране и др. уд! лось рассмотреть только случай, когда (т.е. H0v4=. Е>С*уТО = 0 ) и vn = Г . Нам удает< избежать этих ограничений с помощью новой теоретико-функциональной схеме, основанной на анализе предельноп перехода при релаксации нелинсйностей £(s,u) и на теории идеальных пространств'и операторов в них. Други< аспекты и методы исследования разрешимости задач L х = ^ предлагались С.И. Похожаевым, С. Фучиком, Ь.А. Дубине-ким, O.A. Ладыженской, И. Нечасом, И.В. Скрыпником, П. Рабиновиче», Н. Трудингером, Л. Ниренбергом, Ж. Мавэно; Д. Де Фигузйредо, X. Берзстицки, Ж.-П. Госсезом-А. Ана] -А. Фондой, X. Брозисом, П.-Л. Лионсом, Л.Д. Кудрявцевы«, П.И. Лизоркиньш и С.М. Никольским, O.A. Олейник и В.А. Кондратьевым и многими другими математиками до настоящего времени.

В заключительном пункте 3.4.7 параграфа 3.4 при ai лизе двух конкретных примеров (задача отыскания упруго-пластического кручения упрочняющих стержней и трехмерная задача упруго-пластического равновесия тела в дефО] мационной теории пластичности) объясняется схема приме! ния теорем 3'.4Л и 3,4.2 к некоторым "возмущенным" кра! вин задачам нелинейной механики типа L-х = ; ЗД1

Li - линейный или нелинейный дифференциальный onei тор эллиптического'типа, позволяющий определить "coctoj ние равновесия", эс. механической системы при воздейс вии "возмущенной" "силы" fi. = £C=0 • Следует отметит] что при применении теорем 3.4.1 и 3.4.2 используется не торые специфические свойства типа монотонности и коэрц тивнасти оператора L , установленные раньше в изве ных работах Л.М. Качанова, И.И. Воровича, В.И. Юдовича Л.Ы. Качуровского, Ю.А. Дубинского, И.В. Скрыпника, П.

олова и В.П. Мясникова, B.C. Климова и др., в которых установлен и ряд классических теорем о разрешимости возмущенных" краевых задач нелинейной механики типа isfi , где - фиксированная независящая от сос-

шия системы" х воздействующая на систему "сила".

В-§ 3.5 предлагаются две (новыя ytzs для скалярннх шнений) теоремы о! разоешк-.гасти операторных и интаграль-: уравнений Гаммопятейна = в условиях, когда

шнейность и.) удовлетворяет одной или несколь-

t односторонним оценкам, а линейный оператор К яп-зтея позитивным в смысле H.A. Красносельсяого-А.А. Са-зского или квазипозитнвным оператором в (L »при

эм не предполагается, что хотя бы один из'операторов

4 , £ К , К А~а $ А* С А = i ( К + К.*)) действуй и, тем более, непрерывен в каком-либо пространстве фукк-й. В связи с этими теотемаш вводятся и изучается класса наховых идеальных пространств УГ(Ю , )Т( ¡<j Т*) »

3_(4»К) » и классы нелинейиссгой

и класса Г]0(5) для пара .Эти

в теорзш охватывают как частназ случаи теорем, Полунине в работах А. Гаммерятейна, ?.(. Голомба, U.A. Красно-льского, М.А. Красносельского и Я.Б. Рутнцкого, А.И. полоцкого, А.П, Махмудова и А.И. Поволоцкого, H.H. Вайн-¡рга и И.В. Шрагина, П.П. Забрзйко и А.И. Позолоцяого,

ШеФера, В. Петри, П.П. Забрзйко, снова H.A. Красносель-¡ого (1974) и других математиков. Эти теорош основаны, одной стороны, на новой теоретико-функциональной схеме, , с другой стороны, на теории идеальных в с?.?ысло П.П. 1брейко идеальных пространств ( Ьоо-модулой) вектор-декций и теории линейных (интегральных) операторов и опо-1торов суперпозициии в таких пространствах.

Ниже формулируется одно простейшее следствие теоремы .5.1 для интегральных уравнений Гаммерштейна х = .

усть X , Г , IL с. S(IRm) - БШ. Пусть внпол-эны условия:

1) ГсХс И2(Д)сХ'с п' ;

2) оператор К -»И-щСЯ) положительно определенный, компактный и самосопряженный оператор с наиболь шим собственным значением ;

3) оператор К действует из А** в )( и спра ведливы равенства <Кх, (*» 'у X' )

4) интегральный оператор К действует из Г' в &

5) почти при всех 5 € -С2 выполняется неравенство (и, 0,4»)) $ с Си; и) + 4Сз) , где -6-е ЬСП.) , и справедлива оценка с |ч ^ < 1 ;

6) выполняется указанное выше условие Р4 для нелинейности

Тогда уравнение х =. К % х имеет по крайней мере одно решение из X .

Отметим, что во всех известных теоремах о разрешимости уравнений х -К^х вместо условия 4 всегда предполагается дополнительно, что либо Ц-х'-^Х компактен либо интегральный оператор К действует из X' в 1Ъ а,СП.) • либо К: Г' Р' правилен в смысле П.П. За рейно относительно пары С Р ' (Ь аСП1)) .

В заключительном пункте 3.5.7 параграфа конкретными примерами объясняется схема применения теорем 3.5.1 к задаче о вынужденных периодических колебаниях в существенно нелинейных управляемых системах - задаче о Т-периоди-ческих решениях классической одноконтурной и многоконтурной системы управления, динамика которой описывается системой уравнений

(м)

здесь Ь: сг) = г Г* + ... +■ а--4.. М: (4) -

|>0 г 1 + + Ь^. • - взаимно простые многочлены с вещественными коэффициентами, причем ¿е^ = р^ > ( ¿^О ) - степень соот&етствупцего многочлена), функция ^С5'"1»-) предполагается Т-перио-дической по времени 5 функцией Каратеодори.

Ниже излагается простой такой результат. Пусть П. (и):

а

<*Н1И0-,Ц) = «i n^/lM-Ki)^ (15)

огда как известно, если - «я < а • < ( , L, j ) < + •*»,

о задача о Т-периодических оешениях системы (14) эквива-ентна задаче о разфшимостк систем интегральных уравнении аммерштейна ;

Т

S ^.(i-SiTUf.CSxl-^^lAb (jsǣ),(I6)

0 о J 1

цесь -R.^. (-t )T ) - импульсно-частотная характеристика инейного звенья с передаточной функцией W^. г . IjC^/CLijCï) - MjOî] ; причем нормальный (т.е. оммутирупций с своим сопряженным) линейный интегральны.*! гсератор К* соответствующий линейной части (16),яв-яется позитивным в (L jT3(т.е. »>; уравнению (16) применима теорема 3.5.1.

Ниже оформулнруется простейшее условие разрешимости пя системы (14) и (16). Пусть конечш все числа ^ц {М^-, Lj)j аполнены неравенства i"Ij - Д. n(Mj(Lj) > Л dtjHj- ,н условия:

1) почти при всех s £ -П выполняется неравенство

•m-

Z. u:i.c5,u) $ z s-; + Mi)' ; здесь

справедливы неравенства 8j < "^(Mj, Lj) Ci = ÎJmV»

2) оператор суперпозиции -g a действует

3 (L етСо,ТЗ в (L 1D»/T3.

Тогда система управления (14) имеет по крайней мэре оно Т-периодическое решение из iL^Co /ТЗ .

Отметим, что в работах A.M. Красносельского вместо ус-эвия 2 дополнительно предполагается, что оператор суперпо-*ции $ действует из IL J^iUb IL ¿Го,7] ; следствие тео-

вны 3.5.1 улучшает некоторые результаты A.M. Красносель-*ого.

Таким образом, в диссертации излагаются следующие ?зультаты:

- введение нового математического объекта - полумоду- 27 -

лей инфраполуединиц идеальных пространств (модулей над 6 наховой алгеброй Ь^о ) вектор-функций и их теория (Еве ние инфраполуединиц, полуедшшц, единиц и векторного нос теля как измеримых по С.Кастэну специальных многозначных отображений; порядковая полнота полумодулей инфраполуедг существование ортогональной полуединицы; теорема об апп£ симации произвольной инфраполуединицы подобными многогре значными инфраполуединицами с универсальной константой г добия; результаты об интегралах Бохнера и Аумана многоз* ных отображений, в частности, об эквивалентности интегр! емости по Бохнеру для инфраполуединицы и интегрируемое« всех ее измеримых селекторов; свойство Рисса-Фишера дл} рядов инфраполуединиц; результаты о билинейных формах в лумодулях инфраполуединиц);

- общая теория и теория двойственности идеальных п] странств вектор-функций (непрерывное вложение нормирова! идеальных пространств (т.е. нормированных модулей над бг ховой алгеброй Ь «> ) в метрическое пространство изм( мых вектор-функций; критерий абсолютной ограниченности 1 жеств; критерии сходимости и лредкомпактиости; условия I парабельносги банаховых идеальных пространств (т.е. банаховых модулей над банаховой алгеброй Ь <« введение модуля регулярного функционала, определенного . лумодулях инфраполуединиц; общий вид линейных непрерывн функционалов; разложение Лебега для' сопряженных простра критерии почти совершенности, совершенности и рефлексив ги; критерий секвенциальной г -слабой предкомпактност множеств; теоремы о выпуклых замкнутых по мере множеств

- теория ф -преобразований и интерполяции идеал ных пространств вектор-функций, в частности, введение мерных характеристических функций интерполяционных функ ров, определенных в полумодулях специальных Еыпуклых мн жеств т-мерного евклидова пространства;

- теория линейных интегральных операторов в введен пространствах (введение модуля линейного интегрального ратора, являющегося "линейным" оператором в полумодуле фраиолуединиц; свойство непрерывности таких операторов;

- 28 - I

новные георемы о регулярных операторах; свойство слабой ¡прерывности и существования двойственного оператора; об-ie теоремы о компактности по мере и компактности; теоре-[ о u -ограниченных и V -коограниченных (мажорируемых) [ера торах );

-'условия действия, ограниченности, абсолютной ограни-¡нности однозначногр и многозначного оператора суперпози-ш в идеальных пространствах и пространствах Орлича век->р-функций;

- получение новых (уже для скалярных уравнений) теорем разрешимости операторных и интегральных уравнений Гаммер-:ейна, в частности, распространение теорем о разрешимости

i новый класс пространств (класс идеальных'в смысле П.П.За->ейко пространств вектор-функций);

- получение новых (уже для скалярных уравнений) теорем разрешимости краевых задач для систем квазилинейных урав-¡ний с частными производными эллиптического типа с "силь-1ми" нелинейностями.

В заключение автор выражает глубокую благодарность юему учителю Петру Петровичу Забрейко, под руководством дорого он работает со студенческой скамьи, за постоянное [имание и детальное обсувдение результатов работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [i - 12] из следующих работ: Nguyêiï Hong Thái. Serai-moduli di infrn-semiunita' in лра-ideali di Funzioni Vettoriali // Preprinta Universita labria (Cosenza, Italy). 1990. II p.j Rend. Mat. Ital. '91. V. . p.

Нгуен Хонг Тхай. Теория полумодулей инфраполуединиц идейных пространств вектор-функций и ее применения к интег-Iльным операторам// Доклады АН СССР. 1991. Т. 317 , № 6 . 1303 -1307.

Забрейко П.П., Нгуен Хонг Тхай. К теории пространств >лича зектор-функций// Доклады АН БССР. 1987. Т. 31, № 2. 116—119.

4. Забрейко П.П., Нгуен Хонг Тхай. Теория двойственности идеальных пространств вектор-функций // Доклады АН СССР. I9S0. Т. 311, U 6. С. 1296 - 1299.

5. Забрейко II.П., Нгуен Хонг Тхай. Линейные интегральные оператора в идеальных пространствах вектор-функций// Доклады АН ЮСР. 1988. Т. 32, 1е 7. С. 587 - 590.

6. Hguygfj HSng Thai, Zabrejko P.P. Ideal spaces of veoto: functions and their applications // Thesis of invited lei tureo of Second International Conference in Function Spaces. Poznan(Foland), August 28 - September 2, I9S9. P. 30

7. Нгуен Хонг Тхай. Оператор суперпозиции в пространства: Орлича вектор-функций // Доклады АН ЮСР. 1987. Т. 31, № С. 197 - 200.

8. Нгуен Хонг Тхай. О разрешимости нелинейных интегральш уравнений Гаммерштейна// Тезисы докладов ХЛ Всесоюзной ш. ли по теории операторов в функциональных пространствах. Тамбов, 14-20 сентября 1987 г. 4.2. С. 22.

9. Забрейко П.П., Нгуен Хонг Тхай. Новые тюренн о paapei мости операторных и интегральных уравнений Гаммерштейна/, Доклады АН СССР. 1990. Т. 312, lb I. С. 28-31.

10. Нгуен Хонг Тхай. О разрешимости краевых задач для кв; зилинейных уравнений в идеальных пространствах вектор-фу! ций// Тезисы докладов ХУ Всесоюзной школы по теории опер; торов в функциональных пространствах. Ульяновск, 5-12 cej тября 1990 г. Ч. 2. С. 29.

11. A.ppell J. Nguyen H6ng Tha'i, Zabrejko P.P. General Exi tence Theorems for Quaailinear Elliptic Systems without V. no tonicity // J. Math. Analysis and Applications. 1990. 7. 145, H I (January). P. 26-38.

12. Забрейко П.П., Hiyen Хонг Тхай. Новые теоремы о разр! шимости операторных и-интегральных уравнений Гаммерштейн; //Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27 , /М . С. 672 682 ..

13. Забрейко И.П.Нгуен Хонг Тхай. Пространства Орлича Bei тор-функций// Тезисы докладов XI Всесоюзной школы по Teoj операторов в функциональных пространствах. Челябинск, 26

I пая 1986 г. Ч. I. С. 41.

Забрейко П.П., Нгуен Хонг Тхай. Конусы вектор-функций пространствах Орлича вектор-фулкций. Свойства нормалыюс-I и воспроизводимости// Известия АН БССР. 1990. Сер. _физ.-)т. наук. № 3. С. 30-34.

i. Забрейко П.П., Нгуен Хонг Тхай. Некоторые свойства упо-щоченности в пространствах- Орлича вектор-функций//Йззес-1Я АН ЮСР. 1991. Сер. физ.-мат. наук, й i . C.32-3T . б. Nguyen Hong Thai, Zabrejko P.P. Ideal Spaces of vector-unction and Applications // In Bôôtc (Ed.t J .^usielak:) : roo. of Second International Conference in Function paces (August 28 - September 2, 1989, Poznan, Polan,d). sipzlg: Teubner - Texte zur Mathematik, Ï99I. J?. 11 3 _ 119.

т. печ. л. 4,9 Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ Отптчятпнп на потаптнте БГУ им. В.И. Ленина Р.20050, Минск, Бобруйская, 7

шпсано к печати Ч S'ï„ ^ AT Формат 60x84 ? 'Iß