Функциональные неравенства и метрические характеристики множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Метрические свойства идеальных пространств.

§ 1. Основные классы идеальных пространств.

§ 2. Верхние и нижние оценки норм в идеальных пространствах.

§ 3. Непрерывность специальных вольтерровских операторов в симметричных пространствах.

Глава 2. Функциональные и геометрические неравенства.

§ 4. Емкости компактных множеств.

§ 5. Неравенства для функций, равных 0 на границе.

§ 6. Вариационная емкость проводника.

§ 7. Неравенства для функций, равных нулю на подмножестве 0.

Глава 3. Теоремы вложения для идеальных пространств.

§ 8. Дифференциальные надстройки над идеальными пространствами.

§ 9. Теоремы вложения для однократно дифференцируемых функций.

§ 10. Теоремы вложения для I раз дифференцируемых функций.

Актуальность темы. В диссертации изучаются геометрические свойства идеальных пространств и функциональные неравенства типа теорем вложения. Как научное направление теория вложения классов дифференцируемых функций многих переменных возникла в работах СЛ. Соболева в связи с решением задач математической физики. Соболев определил пространства р(0) функций, суммируемых со степенью р>1 вместе со своими обобщенными производными до порядка I включительно, и, используя доказанные им теоремы об интегралах типа потенциала, интегральные представления функций и свойства усреднений, установил основные соотношения между этими пространствами, называемые теоремами вложения.

В последующие годы теоремы вложения С.Л. Соболева были обобщены и усилены в разных направлениях О.В. Бесовым, Э. Гальярдо, В.П. Ильиным, С.М. Никольским, Л. Ниренбергом и многими другими учеными. Отдельные этапы развития теории вложения отражены в работах [3], [4], [10], [18], [20], [32], [42], [45]-[48], [55], [64], [65], [67], [68], [70], [72], [77]-[79], [82], [85]-[97].

Большинство результатов по вложениям пространств \¥р (Г2) относится к случаю, когда область О удовлетворяет условию конуса. Однако еще до работ С.Л. Соболева были известны отдельные интегральные неравенства типа теорем вложения, справедливые при весьма слабых предположениях об области (неравенства Пуанкаре, Фридрихса, лемма Реллиха). В связи с этим возникла задача описания классов областей, принадлежность к которым эквивалентна непрерывности (компактности) оператора вложения.

Для классических пространств С.Л. Соболева \¥р (О) важные (в некоторых случаях - завершающие) результаты, связанные с решением данной задачи, установлены в работах В.Г. Мазья [56]—[62]. Существенную роль в его 4 исследованиях играют изопериметрические неравенства между объемом и р-емкостью или р-проводимостью множеств.

В последнее время значительно усилился интерес к вариационным и краевым задачам с достаточно общими (вообще говоря, нестепенными) нелинейностями [2], [19], [37], [51], [73]. Пространства Орлича-Соболева играют важную роль в теории краевых задач для уравнений в частных производных с коэффициентами нестепенного роста.

Поэтому представляется достаточно естественной и актуальной задача о распространении результатов В.Г. Мазья на пространства, возникающие из классов (Г2) путем замены пространства Ьр(0) пространством Орлича (или более общим образом - идеальным пространством вектор-функций). Решение этой задачи требует дальнейшего развития теории идеальных пространств, в частности, существенную роль здесь играют геометрические свойства идеальных пространств, связанные с содержательным обобщением понятий верхних и нижних р-оценок.

Цель работы. Доказательство функциональных неравенств типа теорем вложения для идеальных пространств на основе применения емкостных и геометрических характеристик замкнутых подмножеств метрических пространств.

Методика исследования. В работе используются методы теории идеальных пространств [26]-[30], [66], признаки непрерывности специальных вольтерровских операторов [8], [9], [28], [29], [70], интерполяционные конструкции [5]—[7], [24], [32], [47], геометрические неравенства изопериметрического типа [67], [83], связывающие меру множества с его емкостными характеристиками.

Научная новизна. Основные результаты можно резюмировать следующим образом.

1) Получены теоремы вложения для нового функционального пространства, возникающего из пространства Соболева Wp (О) заменой класса 5

Ьр(0) идеальным пространством. В рассмотрение включаются идеальные пространства вектор-функций, не сводящиеся, вообще говоря, к прямому произведению идеальных пространств скалярных функций. При £=\ установлены критерии непрерывности оператора вложения, на основе которых удается установить соотношения вложения между соответствующими пространствами; в рассмотрение включаются области О весьма общего вида.

2) Введены и изучены понятия т-супераддитивности и а-субаддитивности идеальных пространств вектор-функций; ранее близкие понятия £ -вогнутости и ^-выпуклости рассматривались Е.И. Бережным для пространств скалярных функций. Исследовано условие согласования норм в двух и трех идеальных пространствах. Эти условия входят в формулировки критериев непрерывности оператора вложения и справедливости естественных обобщений мультипликативных неравенств.

3) Обнаружены содержательные связи емкостных и метрических характеристик множеств, выражаемые неравенствами изопериметрического типа. При анализе соответствующих емкостных неравенств использовались разнообразные модификации понятия «емкость»: относительная емкость, вариационная емкость и др.

4) Найдены новые приложения теории вольтерровских операторов к теории вложения. На их основе удалось распространить основные результаты на пространства £ раз (£>\) дифференцируемых функций.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории вложения, при исследовании геометрических свойств идеальных пространств, в теории нелинейных краевых и вариационных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на межвузовской научной конференции, проходившей в Орловском государственном университете (март 1997 г.), на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач. 6

Понтрягинские чтения 10.» (ВГУ, май 1999 г.), на семинаре В.П. Громова (Орловский ГУ, январь 1999 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [98]—[102]. Структура диссертации. Диссертация содержит 123 страницы, состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, заключения и списка литературы из 102 наименований.

Заключение.

Обсудим перспективы обобщения полученных в диссертации результатов. Наиболее интересной представляется задача об изучении введенного в работе понятия Р-емкости конденсатора (проводника). Здесь важны и общие свойства Р-емкости, и установление оценок, связывающих Р-емкость с более наглядными метрическими характеристиками множеств типа лебеговых, хаусдорфовых и поперечных мер. С оценками емкостей снизу напрямую связан вопрос об эффективности метода геометрических неравенств в теории вложения. В диссертации эффективно проверяемые оценки емкостей получены лишь для симметричных пространств; переход к более общим пространствам стимулирует изучение соответствующих геометрических неравенств.

Применительно к пространствам I раз дифференцируемых функций (^>1) метод геометрических неравенств развит недостаточно. Он уступает в гибкости и универсальности методу интегральных представлений. Автор полагает, что дальнейшие перспективы метода геометрических неравенств связаны с введением новых метрических характеристик множеств, более глубоким взаимопроникновением аналитических и геометрических методов в теорию вложения.

За пределами диссертации остались приложения емкостных методов к граничным задачам и теории потенциала, вариационному исчислению и теории исключительных множеств. Изучение соответствующих вопросов может составить предмет отдельного научного исследования.

Достаточно перспективной представляется задача о нахождении верхней и нижней оценок норм в БИП. Желательно рассмотреть зависимость тЕ, аЕ от преобразований пространства Е. Ряд утверждений, приведенных в диссертации для БИП, справедливы для более широкого класса банаховых пространств. Это

114 позволяет, например, охватить пространство ВУ(О) функций с ограниченным изменением, пространство С(О) непрерывных в О функций и т.п.

Прилагаемый список литературы не претендует на полноту. В основном он содержит лишь те работы, результаты которых используются в диссертации, а также ряд публикаций обзорного характера. Дополнительная литература может быть найдена в обзорах [1], [3], [12], [13], [15], [24], статьях [2], [10], [17], [18], [20], [21], [25], [26], [42], [44], [64], [71], [81], монографиях [4], [16], [19], [22], [45], [46], [47], [51], [53], [59], [63], [67], [74], [75], [76], [79], [80], [85], [94].

115

1. Андриенко В.А. Теоремы вложения для функций одного переменного.// Итоги науки и техники. Математический анализ. - М.: ВИНИТИ, 1970. - С. 203 -262.

2. Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи.// УМН. 1996. - Т. 51, вып. 6. - С. 89 - 124.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. - 480 с.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М., Кудрявцев Л.Д., Лизоркин П.И. Теория вложения классов дифференцируемых функций многих переменных. // В кн.: Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1970. - С. 38 - 63.

5. Бережной Е.И. Банаховы пространства, вогнутые функции и интерполяция линейных операторов.// Функциональный анализ и его приложения. 1980. - № 4. - С. 62 - 63.

6. Бережной Е.И. Интерполяция положительных операторов в пространствах (p(Xo,Xi).// Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Изд-во Яросл. госуд. ун-та, 1981. - Вып. 6. - С. 3 -12.

7. Бережной Е.И. Об одной теореме Е.Я. Лозановского.// Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Изд-во Яросл. госуд. ун-та. 1983. - Вып. 8. - С.З -18.

8. Бережной Е.И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных пространствах.// Труды МИ РАН. 1993. - Т. 204, вып.З. - С. 3 - 36.

9. Бережной Е.И. Точные оценки максимальных и вольтерровских операторов в идеальных пространствах и их приложения. Автореф. докт. дисс. -Новосибирск, 1994. 20 с.116

10. Берколайко М.З. Теоремы о следах на координатных подпространствах для некоторых пространств дифференцируемых функций с анизотропной смешанной нормой.// Доклады АН СССР. 1985. - Т. 282, № 5. - С. 1042 - 1046.

11. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964. - 212 с.

12. Брудный Ю.А., Крейн С.Г., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов.// Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1986. - С. 3 - 163.

13. Буренков В.И. Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных на всем пространстве.// Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1966.-С.71-155.

14. Бухвалов A.B. Интерполяция обобщенных пространств Соболева и Бесова с приложениями о следах пространств Соболева.// Доклады АН СССР. 1984. - Т. 279, №6.-С. 1293- 1296.

15. Бухвалов A.B. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций.// Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 3 - 63.

16. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. М.: Наука, 1980.-288 с.

17. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.Н., Решетняк Ю.Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными.// УМН. 1979. -Т.34, № 1.-С. 17-65.

18. Волевич Л.Р., Панеях Б.Б. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения.// УМН. 1965. - Т. 20, № 1. - С. 3 - 74.

19. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975. - 394 с.

20. Гельман И.В. Теоремы вложения для некоторых линейных нормированных пространств.// Изв. вузов. Математика. 1960. - № 4. - С. 55 - 65.117

21. Гольдман М.Л. Метод покрытий для описания общих пространств типа Бесова.// Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. -1980- Т. 156. С. 47-81.

22. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.-284 с.

23. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Иностр. литература, 1962. - 895 с.

24. Дмитриев В.И., Крейн С.Г., Овчинников В.И. Основы теории интерполяции линейных операторов.// Геометрия линейных пространств и теория операторов. Ярославль: Яросл. госуд. ун-т, 1977. - С. 31 - 74.

25. Дубинский Ю.А. Некоторые теоремы вложения в классах Орлича.// Доклады АН СССР. 1963. - Т. 152, № 3. - С. 529 - 532.

26. Забрейко П.П. Идеальные пространства функций.// Вестник Ярославского университета. 1974. - Вып. 8. - С. 12 - 52.

27. Забрейко П.П. Идеальные пространства вектор-функций.// Доклады АН БССР. 1987. - Т. 31, № 4. - С. 299 - 301.

28. Забрейко П.П. Исследования по теории интегральных операторов в идеальных пространствах функций. Автореф. докт. дисс. Воронеж, 1968. - 19 с.

29. Забрейко П.П. Нелинейные интегральные операторы.// Труды семинара по функциональному анализу. Воронеж: Воронежск. госуд. ун-т, 1966. - Вып. 8. -С. 3 -148.

30. Забрейко П.П., Нгуен Хонг Тхай. Теория двойственности идеальных пространств вектор-функций.// Доклады АН СССР. 1990. - Т. 311, № 6. - С. 1296 - 1299.

31. Иоффе А.Д., Левин В.А. Субдифференциалы выпуклых функций.// Труды ММО. 1972. - Т.26. - С. 3 - 73.118

32. Кальдерон А.П. Промежуточные пространства и интерполяция. Комплексный метод.// Математика.: Сб. переводов. 1965. - Т. 9, № 3. - С. 56 -129.

33. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. -741 с.

34. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир, 1971.- 126 с.

35. Климов B.C. Емкости множеств и теоремы вложения для идеальных пространств.// Доклады РАН. 1995. - Т. 341, № 5. - С. 588 - 589.

36. Климов B.C. К теоремам вложения анизотропных классов функций.// Матем. сб. 1985. - Т. 127, № 2. - С.198 - 208.

37. Климов B.C. Нетривиальные решения вариационных и краевых задач. Автореф. докт. дисс. Киев, 1990. - 25 с.

38. Климов B.C. О перестановках дифференцируемых функций.// Матем. заметки. -1971. Т. 9, № 6. - С. 629 - 638.

39. Климов B.C. Теоремы вложения и геометрические неравенства.// Известия АН СССР. Серия математическая. 1976. - Т. 9, № 6. - С. 629 - 638.

40. Климов B.C. Теоремы вложения и внешние поперечные меры.// Изв. вузов. 1997.-№ 7.-С. 21-27.

41. Климов B.C. Функциональные неравенства и обобщенные емкости.// Матем. сборник. 1996. - Т. 187, № 1. - С. 41 - 54.

42. Коляда В.И. Перестановки функций и теоремы вложения.// УМН. 1989. - Т. 44,№5.-С. 61-95.

43. Кондратьев В.А. О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений.// Труды ММО. 1967. - № 16. - С. 293 - 318.

44. Королев А.Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Орлича-Соболева.// Вестник Моск. ун-та. Серия математическая. Механика. 1983. - № 1.-С. 32-37.119

45. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1996.-499 с.

46. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. - 272 с.

47. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. - 400 с.

48. Кроль И.Н., Мазья В.Г. Об отсутствии непрерывности и непрерывности по Гельдеру решений квазилинейных эллиптических уравнений вблизи нерегулярной границы.// Труды ММО. 1972. - № 26. - С. 75 - 94.

49. Кругляк Н.Я. Новое доказательство теоремы Рисса-Торина и интерполяционные свойства конструкции Кальдерона-Лозановского. Ярославль, 1983. 8 с. - Деп. в ВИНИТИ № 6909 - 83.

50. Кружков С.Н., Колодий И.М. К теории вложения анизотропных пространств Соболева.// УМН. 1983. - Т. 38, № 2. - С.207 - 208.

51. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.

52. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.; Наука, 1966. -515 с.

53. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике. М.: Наука, 1985. - 352 с.

54. Лозановский Г.Я. Преобразования банаховых идеальных пространств с помощью выпуклых функций.// Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. ун-та. -1978. - Вып. 3.-С. 56- 129.

55. Лу Вень-Туан. К теоремам вложения для пространств функций с частными производными, суммируемыми с различными степенями.// Вестник ЛГУ. Серия "Математика, механика, астрономия." -1961. № 7. - С. 23 - 37.120

56. Мазья В.Г. Задачи Дирихле и Неймана в областях с нерегулярными границами. Автореф. докт. дисс. Ленинград, 1965. - 22 с.

57. Мазья В.Г. Классы множеств и теоремы вложения функциональных пространств. Автореф. канд. дисс. М., 1962. - 15 с.

58. Мазья В.Г. Классы областей, мер и емкостей в теории пространств дифференцируемых функций.// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем.: Фундаментальные направления. 1988. - Т. 26. - С. 159 - 228.

59. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1985. -403 с.

60. Мазья В.Г. О задаче Неймана в областях с нерегулярными границами.// Сиб. матем. журнал. 1968. - Т 9, № 6. - С. 1322 - 1350.

61. Мазья В.Г. О непрерывности в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений.// Вестник ЛГУ. 1970. - Т. 13. - С. 42 - 55.

62. Мазья В.Г.О слабых решениях задач Дирихле и Неймана.// Труды ММО. -1969. Т. 20. - С. 137 - 172.

63. Мазья В.Г., Шапошникова Т.О. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1986. - 403 с.

64. Никольский С.М. О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференцируемых функций многих переменных.// УМН. 1961. - Т. 16, № 5. -С. 63-114.

65. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 455 с.

66. Нгуен Хонг Тхай. Идеальные пространства вектор-функций: геометрия, интерполяция и применения к нелинейным операторам и уравнениям. Автореф. докт. дисс. Минск, 1992. - 30 с.

67. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз,1962. - 336 с.

68. Похожаев С.И. О теореме вложения С.Л. Соболева в случае pl = n.// Докл. научно-техн. конф. МЭИ. 1965. - С. 158 - 170.121

69. Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. M.: Мир, 1973. - 469 с.

70. Розенфельд Е.Г. Обобщенные неравенства Юнга и Харди-Литтльвуда и их применения в теоремах вложения.// Доклады АН СССР. 1976. - Т. 228, № 5. -С. 1045 - 1048.

71. РутицкийЯ.Б. Об операторах с однородными ядрами.// Сиб. матем. журнал.- 1980. Т. 21, № 1. - С. 153 - 160.

72. Семенов Е.М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций.// ДАН СССР. 1964. - Т. 156, № 6. - С. 1292 - 1295.

73. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. - 442 с.

74. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Физматгиз, 1959. - Т. 5. - 665 с.

75. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. -808 с.

76. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. - 333 с.

77. Солонников В.А. О некоторых неравенствах для функций из классов Wf\Rn).// Записки научного семинара. ЛОМИ АН СССР. 1972. - Т 27. - С. 194-210.

78. Солонников В.А., Уральцева H.H. Пространства Соболева./ Учеб. пособие. -Ленинград: Изд-во ЛЕУ, 1981. 69 с.

79. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. -М.: Мир, 1973. 342 с.

80. Трибель X. Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986. - 447 с.

81. Ульянов П.Л. Представление функций рядами и классы <p(L).// УМН. 1972.- Т.27, вып. 2. С.З - 52.

82. Успенский C.B., Демиденко Г.В., Перепелкин B.F. Теоремы вложения и их приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука, 1984. -224 с.122

83. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. -М.: Наука, 1966. 416 с.

84. Харди Г., Литтльвуд Д., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. - 456 с.

85. Adams R.A. Sobolev spaces. New York; San Francisco; London, 1975. - 268 p.

86. Ando T. On products of Orlic spaces. Math. Ann. - 1960. - 140, № 3. - P. 174 -186.

87. Campanato S. II teorema di immersione di Sobolev per una classe di aperti non dotati della proprietta di cono. Ric. di Mat. - 1962. - Vol. 11, № 1. - P. 103-122.

88. Calderon A.P. Lebesgue spaces of differentiable functions and distributions. -Proc. Sympos. Pure Math. 1961. - Vol. 4. - P. 33-49.

89. Choquet G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier. - Vol. 155, № 5. - P. 131395.

90. Deny J., Lions J.-L. Les espases du type de Beppo Levi. Ann. Inst. Fourier. -1953-1954. - Vol. 5. - P.305-370,

91. Donaldson Т., Trudinger N. Orlicz-Sobolev spaces and imbedding theorems. -Journ. of Func. Aral. -1971. V. 8 - P. 52 - 75.

92. Federer H. Geometric measures theory. Berlin: Heidelferg; New York, 1969. -676 p.

93. Gagliardo E. Ulteriori proprieta di aleuni classi di funzioni in piuvariabili. -Ricerche di Math., 1959. V. 8. - P. 24 - 51.

94. Kufher A., John O., Fucik S. Function Spaces.- Praze. 1977. - 389 p.

95. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations. Ann.scuola Norm. Sup. Di Pisa. - 1959. - Ser. Ill, № 13, Facs. II. - P. 115 -162.

96. Trudinger N.J. On imbeddings in to Orlic spaces and some applications. Journ. Math. Mech. - 1967. - V. 17, № 5. - P. 473 - 483.

97. Trudinger N. An imbedding theorem for H°(G,Q) space. Stud. Math. (PRL), 1974.-V. 50, №1.-P. 117-30.

98. Панасенко E.C. Дифференциальные модели: некоторые аспекты теории вложения, связанные с геометрическими свойствами идеальных пространств.//123

99. Соц.-экон. развитие Центральной России на рубеже веков. Орел, 1998. - С. 199-213.

100. Панасенко Е.С. К теоремам вложения анизотропных классов дифференцируемых функций многих переменных.// Материалы межвузовской научной конференции. Вып. 7. - Орел, 1997. - С. 81-86.

101. Панасенко Е.С. Теоремы вложения для анизотропных классов дифференцируемых функций.// Изв. Вузов. Математика. 1999. - № 1. - С. 8082.

102. Панасенко Е.С. Теоремы вложения для классов функций, частные производные которых принадлежат различным симметричным пространствам. Орел, 1997. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ № 3049 - В97.

103. Климов B.C., Панасенко Е.С. Геометрические свойства идеальных пространств и емкости множеств.// СМЖ. 1999. - № 3. - С. 573 - 586.