О некоторых метрических проблемах теории диофантовых приближений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511 72 + 511 464

Михайлов Сергей Владимирович

О НЕКОТОРЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМАХ ТЕОРИИ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

ООЗ172234

Специальность 01 01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

003172234

Работа выполнена на кафедре теории чисел Механико-математического факультета Московского государственного университета имени МБ Ломоносова

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

член-корреспондент РАН,

профессор Юрий Валентинович Нестеренко

доктор физико-математических наук, профессор Евгений Михайлович Матвеев кандидат физико-математических наук, доцент Виктор Тимофеевич Марков

Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 20 июня 2008 г в 16 ч 40м на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Московский государственный университет имени M В Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультет МГУ имени M В Ломоносова (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 20 мая 2008 года

Ученый секретарь

диссертационого совета Д 501 001 84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

/

А О Иванов

Общая характеристика работы Актуальность темы

Изучение приближений действительных чисел рациональными позволяет многое сказать об арифметической природе чисел На этом пути впервые было доказано существование трансцендентных чисел, иррациональность £(3) и тд Метрическая теория диофантовых приближений началась, по-видимому, со знаменитой теоремы о приближении действительных чисел рациональными, доказанной А Я Хинчиным 1 в начале прошлого века, в которой утверждается, что для почти всех (в смысле меры Лебега на R) действительных чисел х отрезка [а, 6] неравенство

-1<Ш (1)

Я Я

имеет бесконечно много решений в целых числах р и натуральных числах q,

оо

если ряд ф(д) расходится (здесь ib(x) — монотонно убывающая неотрица-«=1

тельная функция, определенная на R+). Причем, если вышеуказанный ряд сходится, то таких чисел х почти нет Перепишем неравенство (1) в виде

\qx-p\<i>(q) (2)

Вместо (2) естественно рассмотреть более общее неравенство, в котором под

знаком абсолютной величины стоит многочлен произвольной фиксированной

степени п с целыми коэффициентами Пусть п

Р(х) = У^а-jX3, а3 € Z, 0 < j < п, Я(Р) = max |а,|

з=о

Обозначим через Ln(ip) множество х £ R, для которых неравенство

|Р(я)| < H~n+1ip(H), Н = Н(Р)

имеет бесконечное число решений в полиномах Р(х) 6 Z[x] степени не выше п Задача о мере множества Ln(ip) имеет давнюю историю Так, в 1932г К

'А Khmtschine, Math Ann , 1924, Bd 92, 115-125

Малер2 предположил, что при ф{Н) = Н~х, А > 1, множество Ьп{ф) имеет нулевую меру Эту гипотезу доказал В Г Спринджук3 в 60-х годах прошлого века Спустя несколько лет А Бейкер4 улучшил теорему Спринджука и предположил, что для множества Ьп(ф) справедливо утверждение, подобное теореме Хинчина в случае сходимости Это предположение было доказано в 1980-х годах В И Берником5 Спустя примерно десятилетие В В Бересне-вич6 доказал нужное утверждение и в случае расходимости соответствующего ряда Вскоре эти результаты были обобщены7 на поля комплексных и р-адических чисел

Другое направление для обобщений теоремы Спринджука заключалось в переходе от многочленов одной переменной к многочленам многих переменных Было выдвинуто предположение8, что для почти всех (в смысле ш-мерной меры Лебега) точек £ € Rm неравенство

\р(0\<н-"-% Н = Н{Р)

имеет лишь конечное число решений в полиномах Р € Ъ[х\, ,хт] степени не выше п, где N = С™+п — 1 (число различных нетривиальных мономов от т переменных степени не выше п), е > 0 — вещественное число Эта гипотеза была доказана9 в конце прошлого века Д Клейнбоком и Г Маргулисом, как следствие их общей метрической теоремы о диофантовых приближениях точек на аналитических многообразиях

аК МаЫег, Math Ann, 1932, Bd 105, 131-139

3В Г Спринджук, Доказательство гипотезы Малера о мере мноокества S-чисел, Изв АН СССР, сер мат, 29 2, 1965, 379-436

4 A Baker, Ргоо Roy Soc Lond , 1966, V А 292, р 92-104

5В И Берник, О точном порядке приближения нуля значениями целочисленных многочленов, Acta Anth, 53 1, 1989, 17-28

eV Beresnevich, On approximation of real numbers by real algébrate numbers, Acta Anth , 90 2,1999, 97-112

'В И Берник, Д В Васильев, Тр Ин-та математики НАН Беларуси, 1999, т 3, 10-20, Э И Ковалевская, Прел № 8 (547), Тр Ин-та математики НАН Беларуси, 1998,14с

8В Г Спринджук, Проблема Малера в метрической теории чисел, Минск Наука и техника, 1967, Заключение, §3, Проблема В

°D Y Klembock, G A Marguhs, Flows on komogeneous spaces and Diophantme approximatton on manifolds, Ann Math , 148, 1998, 339-360

Описанные выше теоремы характеризуются общим свойством — полиномы, участвующие в их формулировках, имеют ограниченную степень, растет лишь их высота Н(Р) Далее мы перейдем к рассмотрению ситуации, когда меняются и высота полинома и его степень Исторически сложилось при изучении этой ситуации использовать некий агрегат степени полинома и его высоты Назовем типом многочлена Р величину

i(P) = deg Р +In Я(Р)

Пусть £ — вещественное число, трансцендентное над Q, г > 0 — также вещественное Будем говорить, что £ имеет тип трансцендентности sí т, если для любого многочлена Р(х) € Z[x], Р ф 0 выполнено неравенство

№1 >е-с^Т,

где с\ > 0 — константа, зависящая, вообще говоря, от но не от многочлена Р Это определение было дано С Ленгом10 в 1966 г

Пусть вещественное трансцендентное число £ имеет тип трансцендентности < т Используя принцип Дирихле, можно доказать, что т ^ 2 Задача определения типа трансцендентности для конкретного числа £ очень сложна Например, п имеет11 тип трансцендентности < 2 + е для любого положительного £ Можно ли утверждать, что ж имеет тип трансцендентности < 2, не известно до сих пор

В 1971 г К Малер предложил12 классификацию трансцендентных чисел, основанную на понятии функции порядка вещественного числа £ В связи с предложенной классификацией Малер сформулировал несколько проблем Одна из них — предположение о том, что почти все вещественные числа имеют тип трансцендентности ^ 2 Это предположение было доказано13 Ю В

I0S Lang, Introduction to transcendental numbers, Addison-Wesley senes m math , 1966, гл 5, §1, с 45

ПН И Фельдман, Аппроксимация некоторых трансцендентных чисел, Известия Ак наук СССР, сер мат, 15, 1951, 53-74, теорема 4, с 72

12K Mahler, On the order function of a transcendental number, Acta Arith ,18,1971, 63-76

13Ю В Нестеренко, Функция порядка для почти всех 'чисел , Матем заметки, 15 3, 1974, 405-414

Нестеренко в 1973 г Кроме того, было установлено, что почти все точки £ € Rm имеют тип трансцендентности < m + 2 и выдвинуто предположение, что на самом деле почти все точки £ € Rm имеют тип трансцендентности <т + 1 (определения, связанные с понятием типа трансцендентности, дословно переносятся с одномерного на многомерный случай, аналогом трансцендентного числа £ е M является точка f 6 Жт, координаты которой алгебраически независимы) Опять же, используя принцип Дирихле, можно доказать, что точка £ S Rm не может иметь тип трансцендентности < m + 1 — е ни для какого положительного е

В 1981 г Ю В Нестеренко доказал14, что почти все (в смысле меры Ха-ара15) точки ( двумерного пространства над полем р-адических чисел имеют тип трансцендентности < 3 Это была первая точная оценка в случае, когда размерность пространства больше 1 Доказательство было не только продолжением идей вещественного случая, но и использовало новую технику — переход от работы с многочленами кольца Z[x 1,^2] к работе с однородными идеалами кольца Z[а^хь^г] Для идеалов были введены понятия степени, высоты и значения в точке в проективного пространства Qp Эти величины обладали свойствами, аналогичными соответствующим характеристикам многочленов Подобная техника впервые появилась16 в связи с разработкой методов доказательства алгебраической независимости чисел, и уходит своими корнями в общую теорию исключения В работах Ю В Нестеренко17 и П Филиппона18 эта теория получила дальнейшее развитие

14Ю В Нестеренко, О мере алгебраической независимости почти всех пар р-адических чисел, Матем заметки, 36 3,1984, 295-304

15П Халмош, Теория меры, M , 1953, гл 9, §58

16Ю В Нестеренко, Оценки порядков нулей функций одного класса и их приложение в теории трансцендентных чисел, Изв АН СССР, Сер мат, 41 2, 1977, 253-284

17Ю В Нестеренко, Оценки характеристической функции простого идеала, Матем сб , 123 1,1984,1134, Об алгебраической независимости алгебраических степеней алгебраических чисел, Матем сб , 123 4, 1984, 435-469, Оценки числа нулей функций некоторых классов, Acta Anth, 53 1,1989,29-46, Ю В Нестеренко, О мере алгебраической независимости значений функций Рамануджана, Труды Математического Института имени В А Стеклова, 218, 1997, 299-334

1ВР Phihppon, Critères pour l'tndepéndance algébrique^ Inst Hautes Études Sei Publ Math 64, (1982), 5-52,

Проблема определения типа трансцендентности может быть поставлена не только для вещественных и р-адических, но и для комплексных чисел В начале 80-х годов прошлого века Г В Чудновский предположил19, что почти все (в смысле 2тп-мерной меры Лебега) точки £ € Ст имеют тип трансцендентности < m+l Это предположение было доказано Ф Аморозо20 в 1990г (как и в вещественном случае, используя принцип Дирихле, можно доказать, что точка £ G С"1 не может иметь тип трансцендентности < m + 1 — е ни для какого положительного е) Отметим, что справедливость аналогичного утверждения в вещественном случае не является непосредственным следствием теоремы Аморозо, поскольку множество в Ст, имеющее 2т-мерную лебегову меру ноль, может пересекать подмножество Rm с Ст по множеству положительной m-мерной меры Доказательство Аморозо существенно использует "комплексность" ситуации, и его не удается адаптировать ни к вещественному, ни к р-адическому случаю

В диссертации доказывается точная оценка для типа трансцендентности почти всех точек как вещественного, так и р-адического и комплексного многомерных пространств

Цель работы

Целью работы является изучение меры алгебраической независимости координат точек конечномерного пространства над полями вещественных, комплексных и р-адических чисел Перед автором были поставлены следующие задачи

• получить оценки меры алгебраической независимости для координат почти всех точек конечномерного вещественного пространства в терминах типа трансцендентности, точные в зависимости от показателя степени,

• изучить возможность обобщения вышеуказанного результата на случай

Lemmes de zeros dans les groupes algébriques commutatifs, Bull Soc Math Rrance 114, (1986), 355-383, Errata et addenda, ibidem 115, (1987), 397-398, I'mdepéndance algébrique et K-fonctions, 3 Reme Angew Math 329, (1981), 66-81

1SG V Chudnovsky, Contribution to the theory of transcendental numbers, AMS, 19, 1984, гипотеза 1 3 ^F Amoroso, Polynomials with high multiplicity, Acta Anth , 56, 1990, 345-364

конечномерного пространства над полем комплексных чисел и над полем р-адических чисел

Методы исследования

В работе используются методы теории диофантовых приближений, теории меры, коммутативной алгебры и теории р-адических чисел

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно Основные результаты диссертации следующие

• Доказано, что почти все точки конечномерного вещественного пространства имеют тип трансцендентности, на единицу больший размерности пространства,

• Доказано, что почти все точки конечномерного пространства над полем р-адических чисел имеют тип трансцендентности, на единицу больший размерности пространства,

• Получено новое доказательство того, что почти все точки конечномерного комплексного пространства имеют тип трансцендентности, на единицу больший размерности пространства

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер Используемая в работе техника может быть применена в дальнейших исследованиях в метрической теории диофантовых приближений, в том числе для исследования возможности получения аналогичных результатов над полем формальных степенных рядов

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались

• на научно-исследовательском семинаре по теории чисел под руководством Н Г Мощевитина и Ю В Нестеренко в ноябре 2006 года,

• на международной конференции "Diophantme and analytic problems m number theory" в феврале 2007 года,

• на научно-исследовательском семинаре по теории чисел под руководством А А Карацубы, Н Г Мощевитина и Ю В Нестеренко в сентябре 2007 года

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-3]

Структура и объем работы

Диссертация изложена на 70 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 35 наименований

Содержание работы

Во введении описана история возникновения проблем, рассматриваемых в диссертации, упомянуты основные достижения, имеющиеся в изучаемой области, и сформулированы ключевые результаты, полученные в работе автора

Введем обозначения, полезные в дальнейшем Пусть Р — многочлен с целыми коэффициентами, зависящий от т переменных Обозначим с^Р — степень Р по совокупности переменных, Н(Р) — максимум модулей коэффициентов Р и г(Р) = degP + 1п Н(Р) — тип многочлена Р

Первая глава посвящена доказательству следующей теоремы

Теорема 1. Для почти всех (в смысле т-мерной меры Лебега) точек £ € Кт существует положительная константа с = с(£) такая, что для любого многочлена Р € 2[х1, ,1т], Р ф 0 справедливо неравенство

|Р(?)| >

Изложим план доказательства этой теоремы Он имеет метрическую и алгебраическую части Начнем с метрической

Назовем точку £ 6 Кт хорошей, если для нее выполнено условие теоремы 1, и назовем £ плохой, если она не является хорошей Обозначим П — множество всех плохих точек и По ~~ множество плохих точек £ € Кт

с условием < 1, где |£| = тах Теорема 1 утверждает, что лебегова мера множества П равна нулю

Первый шаг — переход от всего пространства к единичному кубу. Оказывается, что при доказательстве теоремы 1 можно ограничиться рассмотрением точек £ € Rm с условием |£| ^ 1, то есть точек единичного куба В диссертации доказано, что при сдвигах на вектор с целочисленными координатами хорошие точки переходят в хорошие, а плохие точки — в плохие Поэтому множество П содержится в объединении всевозможных сдвигов множества По на вектора с целочисленными координатами, а этих сдвигов счетное число

Второй шаг — построение вспомогательного семейства множеств меры ноль. Отметим, что если координаты некоторой точки f € Km алгебраически зависимы (над Q), то эта точка не может быть хорошей, так как найдется ненулевой многочлен Р с целыми коэффициентами, обращающийся в ноль в точке £ Обозначим через So множество точек единичного куба в Rm с алгебраически зависимыми (над Q) координатами Имеет место строгое включение So С fio

Построим семейство множеств ¿"(тьтг), характеризуемое следующим свойством — для любой точки £ £ 5(гьг2)\5о существует бесконечная последовательность различных многочленов Q € Z[x¡, ., хт] таких, что величина \Q(g)\ "мала", а абсолютное значение некоторой частной производной |<5Í,(0I "большое" по сравнению с |Q(£)|

Дадим формальное определение Пусть Т\,Т2 — положительные вещественные числа, п — натуральное число Обозначим через Вп(т\,т2) множество точек £ € Rm, |£| ^ 1, для каждой из которых существует многочлен Q Е Z[xi, , xm] такой, что

t(Q)<n, |Q©K e-Tl"m+\ max

dQ дх,

(!)

-T2tt'"

И пусть

S(ti,t2) = Г) (J Вп(тит2),

N=1n>N

то есть 5(rbr2) — множество точек, каждая из которых содержится в бесконечном числе множеств Вп Можно доказать, что при т\ > тг + ^ мера множества S{t\ , то) равна нулю

Третий шаг — доказательство включения По с S'JSq. Оказывается, можно так подобрать положительные параметры т\, тг (с условием т\ > тг + —{), что с множеством S — S(t\, Тг) будет выполнено включение

fio С S U So- (3)

Это включение доказывает теорему, поскольку мера каждого из множеств S, So в правой части (3) равна нулю

Приведем схему доказательства включения (3) (это и есть алгебраическая часть доказательства теоремы 1) Для этого нам потребуются некоторые алгебраические понятия Пусть Q[a:o,. • •, xm] — кольцо многочленов от переменных хо, ,хт над Q, I — некоторый однородный идеал в этом кольце Напомним, что идеал I кольца многочленов <0>[жо, , хт] называется несмешанным., если все его примарные компоненты имеют одинаковую размерность, равную размерности идеала I Показателем р-примарного идеала I называется наименьшее натуральное число п с условием рп С. I Под размерностью dim I однородного идеала I мы понимаем его проективную размерность В частности, для простого однородного идеала р его размерность равна degtrQ(Q[xo, , хт)/р) - 1

Для однородного несмешанного идеала I можно определить понятия степени идеала deg I, логарифмической высоты идеала h(I), и величины идеала в точке ^ проективного комплексного пространства Cm+1, обозначаемой |/(£ )| Эти величины по своим свойствам напоминают аналогичные характеристики многочлена В том виде, в котором указанные величины использу-

ются в диссертации, они впервые были определены Ю В Нестеренко21

По аналогии с типом многочлена, можно определить понятие типа идеала I формулой

t(I) = deg/ + h(I)

Определим некоторые множества точек, используя характеристики идеалов Пусть А = А (т) — достаточно большое вещественное положительное число, зависящее от т

Обозначим Аг — множество точек % = (£1,. ,£m) е ffim, |£| < 1, £ £ So, для которых существует бесконечная последовательность различных однородных несмешанных идеалов I С Q[®o,®i> i®m] таких, что

dim/ = г — 1, ln. ,£m)| < -А3>(7))^, 1

Положим по определению Ао = 0 Можно доказать, что условие f ^ So обеспечивает, что величина |/(l,£j, ,£m)| отлична от нуля, поэтому Аг определено корректно

Аналогично Вг — множество точек £ € Km, |£| < 1, £ ^ So, для которых существует бесконечная последовательность различных однородных простых идеалов р с Q[a?o, . , ®m] таких, что

dimp = г — 1, 1п|р(1,еь l^r^m

Чтобы определить множество S, следует задать параметры n, т% Для этого нам понадобится

Лемма 9 Пусть р С Q[a;o,Xi, ,гт], то ^ 1 — простой однородный идеал,

г = dimp + 1 > 1 Пусть L = mmí(JS), где минимум берется по всем од-

Еер

народным многочленам идеала р Тогда существует однородный многочлен F 6 р П Z[xo, .,а;т] такой, что некоторая его частная производная не лежит в идеале р и при этом

t(F) < С2 = С2(т).

21Ю В Нестеренко, О мере алгебраической независимости значений фупкций Рамануджана // Труды Математического Института имени В А Стеклова, 218, 1997, 299-334

Теперь мы можем определить

5 = 5(тьг2), п = ^А(4с2Гт-\ тг = тх-~

4 ТП1

Относительно определенных выше множеств можно доказать следующие включения (леммы 10,11,12)

Аг С Д., г = 1, . тп, Вг С Лг_х и 5, г = 1, тп, По С Ат и 50.

Из этого сразу следует справедливость цепочки включений

По \ 50 С Лт с Вт С Лт_! и5с . С Аг и Я С Д и 5 С 5,

что равносильно (3) и доказывает теорему 1.

Во второй главе диссертации доказывается аналог теоремы 1 над полем комплексных чисел

Теорема 2. Для почти всех (в смысле 2т-мерной меры Лебега) точек £ € Ст существует положительная константа с = с(£) такая, что для любого многочлена Р 6 Ъ[х\, , хт], Р ф 0, справедливо неравенство

|Р(?)| > е-«^

Доказательство теоремы 2 проводится в соответствии со схемой, изложенной выше Есть лишь небольшие изменения в метрических леммах Третья глава посвящена р-адическому аналогу теоремы 1 Теорема 3. Для почти всех (в смысле меры Хаара) точек £ £ существует положительная константа с = с(£) такая, что для любого многочлена Р £ Щх\, ■ ,хт], Р ф 0 справедливо неравенство

|Р(!)|Р>е-^т+1 13

Тот факт, что р-адическая норма неархимедова, позволяет упростить некоторые доказательства с технической точки зрения. На самом деле, именно теорема 3 была получена автором первой И уже потом были внесены изменения в некоторые доказательства, позволившие получить теоремы 1 и 2 и изложить все три теоремы единообразно

Благодарности

Автор благодарит своего научного руководителя — члена-корреспондента РАН, профессора Ю В Нестеренко — за постановку задач, многочисленные плодотворные консультации и огромную моральную поддержку Автор также благодарен всем сотрудникам кафедры теории чисел за поддержку.

Работы по теме диссертации

[1] Михайлов С В , Тип трансцендентности для почти всех точек т-мерного вещественного пространства, Математический сборник, 2007, № 10, Том 198, стр 67-88

[2] Михайлов С В , Тип трансцендентности для почти всех точек т-мерного комплексного пространства // Успехи математических наук, 2008, № 2, Том 63, стр 175-176

[3] Михайлов С В, О некоторых метрических проблемах теории диофан-товых приближений // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 02 11 07 К4 1017-В2007. 57 с

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 19.0$ о* Формат 60x90 1/16 Уел печ л £> 76" Тираж /ОО экз Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

1 Вещественный случай

1.1 План доказательства теоремы.

1.2 Переход от всего пространства к единичному кубу.

1.3 Метрические леммы.

1.4 Конструкция многочлена, "маленького" в заданной точке

1.5 Алгебраические основания

1.6 Доказательство теоремы 1.

2 Комплексный случай

2.1 Переход от всего пространства к единичному кубу.

2.2 Метрические леммы.

2.3 Конструкция многочлена, "маленького" в заданной точке

2.4 Доказательство теоремы 2. Отличия от вещественного случая

3 р-адический случай

3.1 Переход от всего пространства к единичному кубу.

3.2 Метрические леммы.

3.3 Конструкция многочлена, "маленького" в заданной точке . '

3.4 Доказательство теоремы 3. Отличия от вещественного случая

Изучение приближений действительных чисел рациональными позволяет многое сказать об арифметической природе чисел. На этом пути впервые было доказано существование трансцендентных чисел, иррациональность £(3) и т.д. В то же время с точки зрения теории меры действительные числа поразительно похожи. Метрическая теория диофантовых приближений началась, по-видимому, со знаменитой теоремы о приближении действительных чисел рациональными, доказанной А.Я. Хинчиным [25] в начале прошлого века. Пусть ф(х) — монотонно убывающая неотрицательная функция, определенная на fi(A) — мера Лебега измеримого множества А С М, I — [а,Ь] — некоторый интервал.

ТЕОРЕМА ХИНЧИНА. Пусть Li(ip) — множество действительных чисел же/, для которых неравенство р х-q

Ш' (!) имеет бесконечно много решений в целых числах р и натуральных числах q. Тогда

00

О, если Y1 ^{я) <

7=1

KLiW) = {

00 i(/), если Yl^iQ) — <7=1 оо

В случае сходимости ряда ^ условие монотонности if)(q) можно опу

7=1 стить (см. [18], гл. 1, §1), а в случае расходимости без условия монотонности теорема неверна (см. [18], гл. 1, §2, теорема 6). Перепишем неравенство (1) в виде qx-p\<i/;(q). (2)

Тогда можно говорить о разрешимости неравенства (2) в многочленах первой степени с целыми коэффициентами. Естественным обобщением этого является рассмотрение многочленов произвольной фиксированной степени п. Пусть п р(х) = азхflj 6 Z, О < j < и, Я(Р) - шах \aj\. (3) j=о

Обозначим через Ьп(ф) множество х G М, для которых неравенство

Р(х)\ < Я = Я(Р) (4) имеет бесконечное число решений в полиномах Р(х) € степени не выше п. Задача о мере множества Ln{ф) имеет давнюю историю. Так, в 1932г. К. Малер [28] предположил, что при 'ф(Н) — ЯА, Л > 1, множество Ln(ip) имеет нулевую меру. Его гипотезу доказал В.Г. Спринджук [16] в начале 60-х годов прошлого века. Спустя несколько лет А. Бейкер [22] улучшил теорему Спринджука и предположил, что для множества Ln{ф) справедлива теорема Хинчина в случае сходимости. Это предположение было доказано в 1980-х годах В.И. Берником [1]. Спустя примерно десятилетие В.В. Бересневич [23] доказал и случай расходимости. Вскоре эти результаты были обобщены на поля комплексных и р-адических чисел в работах [2], [5].

Другое направление для обобщений теоремы Спринджука было задано в работе [17], а именно, была высказана следующая гипотеза (см. [17], Заключение, §3, Проблема В. 2):

Гипотеза. Пусть т — натуральное, Р Е Щх\,. ,хт] — многочлен совокупной степени не выше п, N = С™+п — 1 (число различных нетривиальных мономов от т переменных степени не выше п), е > 0 — вещественное число. Тогда для почти всех (в смысле т-мерной меры Лебега) точек £ € Мт неравенство

Р©| <Я~ЛГ-£, Н = Н(Р) имеет лишь конечное число решений в полиномах Р G Щх\,. ,хт] степени не выше п.

Эту гипотезу можно назвать обобщением теоремы Спринджука на многомерный случай. Она была доказана в конце прошлого века Д. Клейнбоком и Г. Маргулисом [26], как следствие их общей метрической теоремы о дио-фантовых приближениях точек на аналитических многообразиях.

Описанные выше теоремы характеризуются общим свойством — полиномы, участвующие в их формулировках, имеют ограниченную степень, растет лишь их высота Н(Р). Далее мы перейдем к рассмотрению ситуации, когда меняются и высота полинома и его степень. Исторически сложилось при изучении этой ситуации использовать некий агрегат степени полинома и его высоты. Назовем типом многочлена Р величину t{P) = degP + lntf(P).

Пусть £ — вещественное число, трансцендентное над Q, т > 0 — также вещественное. Будем говорить, что £ имеет тип трансцендентности ^ т, если для любого многочлена Р{х) € Z[ж], Р ф 0 выполнено неравенство

Р(б\ > <гсЛР)", где Ci > 0 — константа, зависящая, вообще говоря, от но не от многочлена Р. Это определение было дано С. Ленгом в 1966 г. (см. [27], гл. 5, §1, с. 45),. только вместо t(P) использовалась величина size(P) = max(lni7(P), degP). Поскольку эти величины связаны соотношением size(P) ^ t(P) ^ 2size(P), то определение, данное здесь, эквивалентно оригинальному определению Лен га.

Будем говорить, что тип трансцендентности £ равен т, если £ имеет тип трансцендентности ^ т и существует бесконечная последовательность различных многочленов Р(х) 6 Z[x], для каждого из которых выполнено неравенство где с2 = с2(£) > 0.

Пусть вещественное трансцендентное число £ имеет тип трансцендентности ^ т. Используя принцип Дирихле, можно доказать, что т ^ 2.

Задача определения типа трансцендентности для конкретного числа £ очень сложна. Например, 7Г имеет тип трансцендентности ^ 2 + е для любого положительного е (это следует из результатов, полученных Н.И. Фельдманом в 1951 г., см. [19], теорема 4, с.72). Можно ли утверждать, что тип трансцендентности тг равен 2, неизвестно до сих пор.

В 1971 г. К. Малер [29] предложил классификацию трансцендентных чисел, основанную на функции порядка числа £

ОН £) ^suplny^yp где супремум берется по всем многочленам Р е Щх\ таким, что 2degPL(P) ^ и, а Ь{Р) — сумма модулей коэффициентов Р. Числа и £2 назовем принадлежащими одному классу, "если их функции порядка эквивалентны в следующем смысле: а(и) ~ Ь(и), если одновременно а(и) » Ь(и) и Ь(и) » а(и), где запись а(и) » Ь(и) означает, что существуют константы Л > 0, 7 > 0, wo > 0 такие, что для всех и > щ выполняется неравенство а(их) ^ ^ф(и). Отметим связь между понятиями типа трансцендентности и функции порядка. Трансцендентное число £ имеет тип трансцендентности ^ т тогда и только тогда, когда для его функции порядка справедливо 0(и I £) << lnTit. Это утверждение легко следует из определений и того факта, что

In (2despL(P)) <2i(P).

В связи с предложенной классификацией Малер сформулировал несколько проблем. Одна из них — предположение о том, что для почти всех вещественных чисел £ справедливо

0(и | О » In2 и.

В терминах типа трансцендентности это эквивалентно утверждению о том, что почти все вещественные числа имеют тип трансцендентности ^ 2. Это предположение было доказано Ю.В. Нестеренко [8] в 1973 г, а именно, была установлена

Теорема. Для почти всех точек £ G R существует константа Сз = сз(£) > 0 такая, что для любого многочлена Р € Щх], Р ф 0 справедливо неравенство т)I > е-^1. (5)

Отметим, что из теоремы Спринджука следует, что при фиксированном п для почти всех точек £ е М неравенство

Р(0| < Н~п~е = е{-п~£)1пН, Н = Н(Р) имеет лишь конечное число решений в полиномах Р € Z[x], deg Р ^ п. Таким образом, для почти всех точек £ € М можно указать константу С4 = c<i(n,€) > 0, такую, что для всех многочленов Р G Щх], deg Р ^ п справедливо неравенство

Это показывает, что, с одной стороны, оценка Спринджука точнее, чем (5), но, как мы уже указывали, оценка (5) имеет место для любого ненулевого целочисленного полинома, без каких-либо ограничений на его степень.

Определения, связанные с понятием типа трансцендентности, дословно переносятся с одномерного на многомерный случай; аналогом трансцендентного числа £ е R является точка £ € Rm, координаты которой алгебраически независимы. В работе [8] доказывается, что почти все точки £ 6 Rm имеют тип трансцендентности ^ т + 2 и выдвигается предположение, что на самом деле почти все точки £ 6 Мт имеют тип трансцендентности ровно га + 1. Опять же, используя принцип Дирихле, можно доказать, что точка £ € Мт не может иметь тип трансцендентности ^ га +1 — е ни для какого положительного е.

Рассуждения работы [8] применимы и в р-адическом случае, то есть когда £ — (£ь • • • > £m) £ а, вместо абсолютной величины и меры Лебега используется р-адическая норма и мера Хаара в Q™, инвариантная относительно сдвигов (см. [20], гл. 9, §58); и могут быть получены оценки, аналогичные вещественному случаю. В 1981 г. Ю.В. Нестеренко [И] доказал, что почти все точки £ е Qp имеют тип трансцендентности ровно 3. Это была первая точная оценка в случае, когда размерность пространства больше 1. Доказательство было не только продолжением идей вещественного случая, но и использовало новую технику — переход от работы с многочленами кольца Z[x 1, £2] к работе с однородными идеалами кольца Z[xо, жь жг]. Для идеалов были введены понятия степени, высоты и значения в точке в проективного пространства Qp. Эти величины оказались очень удачно определены, поскольку обладали свойствами, аналогичными соответствующим характеристикам многочленов. Подобная техника впервые появилась в работе Ю.В. Нестеренко [9] в связи с разработкой методов доказательства алгебраической независимости чисел, и уходит своими корнями в общую теорию исключения. В работах Ю.В. Нестеренко [10], [12], [13], [15] и П. Филиппона [31], [32], [30] эта теория получила дальнейшее развитие.

Проблема определения типа трансцендентности может быть поставлена не только для вещественных и р-адических, но и для комплексных чисел. В начале 80-х годов прошлого века Г.В. Чудновский предположил (см. [24], гипотеза 1.3), что для почти всех' (в смысле 2т-мерной меры Лебега) чисел £ е Ст существует константа С5 = Cs(£) > 0 такая, что для любого многочлена Р «Е Щрс\,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство

Р©| > e-wr+1. (6)

Это предположение было доказано Ф. Аморозо [21] в 1990 г. То есть было установлено, что почти все точки £ £ Ст имеют тип трансцендентности ^ m -Ь 1. Отметим, что справедливость аналогичного утверждения в вещественном случае не является непосредственным следствием (6), поскольку множество в Ст, имеющее 2т-мерную лебегову меру ноль, может пересекать подмножество IRm С Сто по множеству положительной m-мерной меры. Доказательство, изложенное в [21], существенно использует "комплексность" ситуации, и его не удается адаптировать ни к вещественному, ни к р-адическому случаю. Если доказательство Аморозо условно разделить на метрическую и неметрическую составляющую, то неметрическая часть основана на переходе от работы с многочленами кольца Z[xi,., жт] к работе с однородными идеалами кольца Z[xq,xi, . ,хт], и использует результаты работ [9], [10], [12].

Основным результатом настоящей диссертации является утверждение о том, что почти все точки £ € Мто имеют тип трансцендентности ровно т -+- 1, то есть доказывается гипотеза, выдвинутая в [8], и одновременно аналог теоремы Аморозо в вещественном случае:

Теорема 1. Для почти всех (в смысле т-мерной меры Лебега) точек £ G существует положительная константа с = с(£) такая, что для любого многочлена Р G Щх\,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство

РШ>е-а{РГН

Доказательству этой теоремы посвящена первая глава диссертации. Техника, используемая в доказательстве, может быть легко перенесена на комплексный и р-адический случаи. Во второй главе диссертации рассматривается комплексный случай, то есть дается новое доказательство теоремы Аморозо:

Теорема 2. Для почти всех (в смысле 2т-мерной меры Лебега) точек £ € Ст существует положительная константа с = с(£) такая, что для любого многочлена Р е Z[xi,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство

Р©| >

Доказательство этой теоремы имеет лишь небольшие отличия от доказательства теоремы 1, поэтому вторая глава существенно использует результаты первой.

В третьей (последней) главе диссертации доказывается р-адический аналог теорем 1 и 2:

Теорема 3. Для почти всех (в смысле меры Хаара) точек £ £ Q™ существует положительная константа с = с(£) такая, что для любого многочлена Р G Z[xi,. ,жт], Р ф 0 справедливо неравенство

Тот факт, что р-адическая норма неархимедова, позволяет упростить некоторые доказательства с технической точки зрения. На самом деле, именно теорема 3 была получена автором первой. И уже потом были внесены изменения в некоторые доказательства, позволившие получить теоремы 1 и 2 и изложить все три теоремы единообразно.

Результаты диссертации опубликованы в работах [33], [34], [35].

Доказательство основного результата диссертации — теоремы 1 — можно условно разбить на метрическую и алгебраическую части. Метрическая часть использует идеи работы [И] и является относительно элементарной, в отличие от метрической части доказательства теоремы Аморозо. Алгебраическая часть, как и у Аморозо, использует технику перехода от многочленов к идеалам, но требует привлечения новых результатов, появившихся позднее 1990 года. В 1996 г. Ю.В. Нестеренко [14] был получен ряд результатов о степени трансцендентности полей, порожденных значениями модулярных функций; в частности, была доказана алгебраическая независимость чисел 7г и в71". Хотелось бы особо отметить лемму 5.4 работы [14] — нетривиальная алгебраическая конструкция из доказательства этой леммы была положена в основу леммы 9, которая является важным звеном в доказательстве основной теоремы настоящей диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — члену-корреспонденту РАН, профессору Ю. В. Нестеренко — за постановку задач, множество плодотворных консультаций и огромную моральную поддержку.

1. Берник В.И., О точном порядке приближения нуля значениями целочисленных многочленов, Acta Arith., 53:1, 1989, 17-28.

2. Берник В.И., Васильев Д.В., Тр. Ин-та математики НАН Беларуси, 1999, т. 3, 10-20.

3. Боревич З.И., Шафаревич И.Р., Теория чисел, М., 1985.

4. Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, М., 1963.

5. Ковалевская Э.И., Преп. № 8 (547), Тр. Ин-та математики НАН Беларуси, 1998, 14с.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1976.

7. Ленг С., Основы диофантовой геометрии, М.: Мир, 1986.

8. Нестеренко Ю.В., Функция порядка для почти всех чисел, Матем. заметки, 15:3, 1974, 405-414.

9. Нестеренко Ю.В., Оценки порядков нулей функций одного класса и их приложение в теории трансцендентных чисел, Изв. АН СССР, Сер. мат., 41:2, 1977, 253-284.

10. Нестеренко Ю.В., Оценки характеристической функции простого идеала, Матем. сб., 123:1, 1984, 11-34.

11. Нестеренко Ю.В., О мере алгебраической независимости почти всех пар р-адических чисел, Матем. заметки, 36:3, 1984, 295-304.

12. Нестеренко Ю.В., Об алгебраической независимости алгебраических степеней алгебраических чисел, Матем. сб., 123:4, 1984, 435-469.

13. Нестеренко Ю.В., Оценки числа нулей функций некоторых классов, Acta Arith., 53:1, 1989, 29-46.15