О числах с заданными диофантовыми свойствами и выигрышных множествах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 511.36

Ахунжанов Ренат Камилевич

О ЧИСЛАХ С ЗАДАННЫМИ ДИОФАНТОВЫМИ СВОЙСТВАМИ И ВЫИГРЫШНЫХ МНОЖЕСТВАХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре теории чисел механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. 6. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук Н.Г. Мощевитин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Берник, кандидат физико-математических наук, доцент Б.М. Матвеев

Ведущая организация: Хабаровское отделение

Институт прикладной математики ДВО РАН

Защита диссертации состоится 14 мая 2004 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 апреля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ, профессор

В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена исследованию классических объектов, возникающих в теории диофантовых приближений: множеств плохо приближаемых чисел и векторов, векторов заданного диофантового типа и множеств связанных с нормальными числами.

Постановки задач связанных с этими объектами восходят к Л. Дирихле, Л. Кронекеру, Э. Борелю, Г. Минковскому и другим классикам. Ими занимались такие известные математики как А.Я. Хинчин, В. Ярник, Дж. Кал-селе, Г. Давенпорт, П. Эрдеш, В. Шмидт, Н.М. Коробов.

Исследованию свойств плохо приближаемых чисел, нормальных чисел, а также чисел, не являющихся нормальными, посвящено много работ как в России так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также с приложениями уделено внимание в монографиях Дж. Касселса1, В. Шмидта2, Л. Кейперса и Д. Нидеррейтера3, Р. Тихого и М. Дрмоты4 и других.

С одной стороны, для исследования многомерных задач, связанных с линейными диофантовыми приближениями, в подобного рода вопросах естественно использовать восходящие к Г. Минковскому и Г.Ф. Вороному методы геометрии чисел (см. монографию5). С другой стороны, в 1966 году В. Шмидтом6 (см. также7) был разработан новый метод исследования плохо приближаемых и анормальных чисел связанный с использованием метрической модификации игры Банаха-Мазура, который позволил получить ряд фундаментальных результатов.

В настоящей диссертации мы продолжаем исследование плохо приближаемых чисел и множеств анормальных чисел с использованием указанных выше геометрического метода и метода выигрышных множеств В. Шмидта. Отметим, что результаты В. Шмидта, связанные с выигрыши остью

'Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений //Москва, Мир, 1961.

'Шмидт В. Диофантовы приближения //Москва, Мир, 1983.

3Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей //Москва, Наука, 1985.

4Drxnota M., Tichy R.F. Sequences, Discrepancies and Applications //Lecture Notes in Mathematics 1631, Springer, 1997.

sGruber P.M., Lekkerkerker C.G. Geometry of numbers //1987.

6Schmidt W.M. On badly approximable numbers and certain games //Trans. Amer. Math. Soc., 1966. 623. pp. 178-199.

TSchmidt W.M. Badly approximable systems of linear forms //J. Number Th. 1969. 1. pp. 139-154 __

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ ) I БИБЛИОТЕКА I

tnmpdWf^jO^} о» wayfcuH.yj

множеств анормальных и плохо приближаемых чисел, носили, в основном, качественный характер. В настоящей диссертации мы разрабатываем количественный вариант метода В. Шмидта, а также получаем оценки для хаусдорфовой размерности возникающих у нас множеств. Помимо этого, мы устанавливаем ряд новых результатов, связанных с существованием наборов вещественных чисел, обладающих совместными диофантовыми приближениями специального вида. Отметим, что вопросам метрической теории диофантовых приближений, связанных с рассматриваемыми нами задачами, посвящена книга В.Г. Спринджука8, а вопросам, связанным с размерностью Хаусдорфа — книга В.И. Берника и В.Ю. Мельничука9. Также отметим, что в последнее время к подобного рода вопросам вновь проявился интерес в связи с теорией динамических систем (см. монографию А.Н. Старкова10 и серию работ Д. Клейнбока11,12,13).

Результаты настоящей диссертаций также связаны с исследованиями распределения лакунарных и сублакунарных последовательностей, проводившимися в работах П. Эрдеша14, А.Д. Поллингтона15 и Д. де Матана16, и с некоторыми эргодическими теоремами Г. Фюрстеберга17 и М. Бошер-ницана18 (см. также19). Особо отметим, что совсем недавно задачи, связанные с исследованием лакунарных последовательностей, изучающиеся в диссертации, оказались полезными при исследовании хроматических чисел

'Спринджук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений //Москва, Наука, 1977.143 с.

'Берник В.И., Мельничук Ю.В. Диофантовы приближения и размерность Хауедор-фа //Минск, 1988.

'"Старков А.Н. Динамические системы на однородных пространствах //Москва, 1999, 353 с.

"Kleinbock D.Y. Flows on homogeneous spaces and diophantine properties of matrices //Duke Mathematical Journal, 1998. Vol. 95, .N>1, pp. 107-124.

"Kleinbock D.Y. Badly approximable systems of affine forms //Rutgers University, 1998. Preprint

13Kleinbock D.Y., Lindenstrauss E., Weiss B. On fractal measures and diophantine approximation //Brandéis University, 2003. Preprint

"Erdos P. Repartition modulo 1 // Lecture Notes in Mathematics 1975. Vol. 475. Springer Verlag. New York

"Pollington A.D. On the density of sequence {n*0} //Illinois J. Math. 1979. 23. pp. 511702.

"de Mathan D. Numbers contravening a condition in density modulo 1 //Acta Math. Hungar. 1980. 36. pp. 237-241.

lTFurstenberg H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation //Math. Systems Theory 1 1967. pp. 1-49.

"Boshernithan M.D. Elementary proof of Furstenberg's Diophantine result //Proc. Amer. Math. Soc. 1.1994. Vol 122 pp. G7-70.

"Boshernitzan M. Density modulo 1 of dilations of sublacunary sequences //Adv. in Math. 108 1994. pp. 104-117.

некоторых множеств. В связи с этим мы упомянем И. Ружи и др.20

Научная новизна работы.

Основные результаты полученные в диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Количественная теорема о числах, не являющихся нормальными ни по какому основанию.

2. Результат о существовании множества действительных чисел а таких, что ||2n3ma|| отделено от нуля медленно убывающей функцией.

3. Теорема о существовании и хаусдорфовой размерности множества плохо приближаемых векторов, все проекции которых также плохо приближаемы.

4. Доказательство существования s-мерных векторов, допускающих бесконечно много <£>(?) (1 + е)-приближений,' но не допускающих ни одного ^(^-приближения для функции <p{q) = o(q~l/s).

Методы исследования.

Основными инструментами при исследовании рассматриваемых задач являются метод выигрышных множеств В. Шмидта, конструкции де Матана-Поллингтона и их обобщения. В многомерных задачах активно используются соображения геометрии чисел, точнее, геометрической теории диофантовых приближений, некоторые из которых развивались Н.Г. Мо-щевитиным.

Теоретическая и практическая ценность..

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании канторовых множеств, возникающих в теории диофантовых приближений и оценках хаусдорфовой размерности. Они могут быть полезными при исследовании распределения по модулю 1 дробных долей быстро растущих последовательностей. Также результаты могут иметь приложения в некоторых вопросах приближенного анализа, теории динамических систем, теории функций, и в вопросах, связанных с хроматическими числами дистанционных графов.

Апробация работы.

Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством

^Ruzsa I.Z., T\iza Zs., Voigt M. Distance Graphs wish Finite Chromatic Number //Journalof Combinatorial Theory, 2002. series В 85 pp. 181-187.

Ю.В. Нестеренко, Н.Г. Мощевитина, А.Б. Шидловского,

2. 'Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н.Г. Мощевитина, А.В. Устинова,

3. "Арифметика и геометрия" под руководством Н.Г. Мощевитина, A.M. Рай городского,

4. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством С.С. Рыш-кова.

5. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством Н.П. Дол-билина, Н.Г. Мощевитина.

Также автор выступал с докладом на международном семинаре по дискретной математике, проводившемся в январе 2004 года на механико-математическом факультете МГУ, и участвовал в работе VIII Международной конференции, "Образование, экология, экономика, информатика", проводившейся в городе Астрахань в сентябре 2003 года.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы:

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы включающего 37 наименований. Общий объем диссертации 70 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Содержание главы 1.

Поскольку глава 1 в диссертации самая большая, то мы разобьем ее содержание на четыре пункта.

а) О выигрышных множествах В. Шмидта.

В. Шмидтом в работе21 (см. также книгу22) было ведено понятие (с*,/?)-игры и а-выигрышных множеств на прямой и в n-мерном пространстве. Мы не будем вдаваться в подробности, отметим, лишь, что основными фактами, доказанными В. Шмидтом являются, во-первых, что пересечение не более чем счетного числа а-выигрышных множеств есть снова а-выигрышное множество и, во-вторых, что всякое а-выигрышное

2lSchmidt W.M. On badly approximable numbers and certain games //Trans. Amer. Math. Soc. 623. 1966. pp. 178-199.

иШмидт В. Диофантовы приближения //Москва, Мир, 1983.

множество имеет максимальную размерность Хаусдорфа (например, если речь идет об а-выигрышном множестве на вещественной прямой, то его размерность Хаусдорфа равна единице). Все необходимые определения и подробные доказательства соответствующих теорем можно найти в третьей главе книги23.

б) Об анормальных числах.

Вещественное число а называется нормальным по основанию с/ если дробные доли {<7па} равномерно распределены на отрезке [0,1]. Хорошо известно24, что почти все (в смысле меры Лебега) вещественные числа нормальны по каждому натуральному основанию большему единицы. В работе25 В. Шмидт показал, что каждое из множеств Ич чисел, не являющихся нормальными по натуральному основанию является а-выигрышным и, следовательно их пересечение несчетно и имеет хаусдорфову

размерность единица. Отметим, что в своей предыдущей работе26 он (не используя технику выигрышных множеств) доказал, что если, натуральный ряд разбить на два множества Г^\{1} = АиВ таким образом, что для любых выполнено то найдется несчетное множе-

сгво чисел х, которые будут нормальны по всем основаниям из Л, и не будут нормальны ни по одному основанию из В. В последнее время вновь стал проявляться интерес к конструкциям анормальных чисел. Так, числа, не являющиеся нормальными ни по какому основанию, были построены А.Н. Коробовым в работе27 в виде специальных рядов, и Г. Мартином в работе28 в виде чисел Лиувилля. Мы получили следующий результат, представляющий собой количественную модификацию результатов В. Шмидта. (Всюду ниже будет означать расстояние до ближайшего целого числа, также для положительного к будет использоваться обозначение к = тах{А:,3}.)

мШмидт В. Диофантовы приближения //Москва, Мир, 1983. г4Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное- распределение последовательностей //Москва, Наука, 1985.

^Schmidt W.M. On badly approximable numbers and certain games //Trans. Amer. Math. Soc. G23. 19GG. pp. 178-199.

,eSchmidt VV.M. Ober die normalitât von zahlen zu verschiedenen basen //Acta. Arithm. 7.1962. pp. 299-309.

"Коробов A.H. О числах, не являющихся нормальными ни по какому основаг нию //Диофантовы приближения. (Математические записки Т. 2) М. 1996, С. 74-76.

MMartin G. Absolutely anormal numbers //The Mathematical Association of America, Monthly. 108 2001. pp. 74G-754.

оо

Теорема 1. Пусть е>0, (21832) о А= ^ I i»,. Тогда су-

,=1 Д Inj)

ществует множество Р„ вещественных чисел х такое, что для любого целого для любого х€Рх, длялюбого n£No выполнена оценка

||9":г||>ехр(-2Л*9(1пд)1+г)

и дляразмерности Хаусдорфа HD(PX) множества Рх выполнена оценка

В диссертации это утверждение является следствием 1 теоремы 1.2. Более слабый результат был опубликован автором в работе29.

Другой результат главы 1, получающийся посредством количественного варианта метода выигрышных множеств связан с поведением последовательности (2"Зта)~т_0. Г. Фюрстенберг30 доказал, что для иррационального а дробные доли {2n3ma} всюду плотны, а М. Бошерницан в работе31 дал элементарное доказательство этого факта. Мы же устанавливаем следующий результат.

оо

Теорема 2. Пусть е>0, (21832) и А= У\ . 'и.. Тогда qj-

j=l j(lnj)

ществует множество Рк вещественных чисел х таких, что для любого целого неотрицательного числа п и любого натурального числа j выполнена оценка

\\2пУх\\> ехр (-2Ащ (lnj)1+e)

и дляхаусдорфовойразмерност и выполнена оценка

В диссертации это утверждение является следствием 2 теоремы 1.2. В доказательствах теорем 1 и 2 возникает необходимость пересекать некоторые (выигрышные) множества. Для этого, действуя по методу В. Шмидта, нужно находить в натуральном ряде семейство попарно непересекающихся арифметический прогрессий. Отметим, что основное место где модернизирован метод В. Шмидта связано именно с возможностью

иАхунжанов Р.К. Об анормальных числах //Математические Заметки, 2002. т. 72. в. 1. с. 150-152.

30Furstenberg H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation //Math. Systems Theory 1 1967. pp. 1-49.

3IBoshernithan M.D. Elementary proof of Furstenberg's Diophantine result //Proc. Amer. Math. Soc. 1.1994. Vol 122 pp. 67-70.

"оптимального" вложения в натуральный ряд счетного семейства арифметических прогрессий. Формулировка соответствующего необходимого вспомогательного утверждения выглядит следующим образом.

Лемма. Пусть (uj)^i — последовательность положительных дей-

00

ствительных чисел, таких ч д а существует последо-

J-1

вательность непересекающихся арифметическихпрогрессий

Pj={neN I п=т} (mod dj)},

(где m.j и dj — некоторые натуральные числа) таких что Vj/2<dj^Vj. В диссертации это утверждение является леммой 1.5.

в) О лакунарных и сублакунарных последовательностях. Пусть ф(х) — положительнозначная функция натурального аргумента х, монотонно убывающая к нулю при х-+оо, Q=(ín)í£=i — некоторая достаточно быстро растущая монотонная последовательность положительных (целых) чисел и а — некоторое вещественное число. В настоящем пункте мы приведем результаты главы 1 о неразрешимости в натуральных п диофантового неравенства

В отличие от результатов главы 1 сформулированных в пункте б), доказательства теорем, которых мы сформулируем в настоящем пункте, не используют соображения, связанные с выигрышными множествами и базируются на подходе де Матана-Поллингтона (см.32,33). Через ND(Q) мы обозначаем множество таких вещественных а для которых последовательность дробных долей {ínc*}» п=1,2,3,... не всюду плотна на отрезке [0,1]. Напомним, что через HD(P) мы обозначаем хаусдорфову размерность множества Р действительных чисел.

П. Эрдеш в работе34 поставил следующий вопрос: верно ли, что если Q={fn I п=1,2,3,...} — последовательность натуральных чисел, такая что при любом натуральном п выполнены неравенства

3Jde Mathan D. Numbers contravening a condition in density modulo 1 //Acta Math. Hungar. 1980. 36. pp. 237-241.

MPollington A.D. On the density of sequence {nt0} //Illinois J. Math. 1979. 23. pp. 511702.

J4Erdös P. Repartition modulo 1 // Lecture Notes in Mathematics 1975. Vol. 475. Springer Verlag. New York

(такого вида последовательности называются лакунарными), то ND(Q)^Q? Положительный ответ на этот вопрос был дан де Мата-ном35 и Поллингтоном36. Они доказали, что если Q — последовательность неотрицательных действительных чисел, такая что выполняется (2), то HD(ND(Q))=1. Отметим, что М. Бошерницан в работе37 доказал, что если Jim 17=1, то HD(ND(Q))=0.

Сформулируем теперь наш новый результат о последовательности {2n3ma}. Упорядочим множество чисел вида 2n3"1 (n,m€No) в порядке возрастания Si=1,S2=2,S3=3,S4=4,s5=6... Как уже отмечалось в пункте б), Г. Фюрстенберг38 (см. также39) доказал, что для иррационального а множество дробных долей {2n3ma} всюду плотно на отрезке [0,1] и, стало быть,

liminf ||s„q||=0.

Отметим, что в настоящее время удовлетворительных результатов нет о характере стремления величины ||sna|| к нулю. Результат состоит в следующем.

Теорема 3. Множество вещественных чисел сх таких, что с некоторой положительной константой С (а) и для любого натурального п выполнено Hepae<fysfltu\\> ^^, имеетразмерностъХаусдорфа 1.

В диссертации это утверждение тривиально следует из утверждения 2 параграфа §1.5.

Теорема Заявляется следствием более общей теоремы 4.

Рассмотрим последовательность (fcr)^0 натуральных чисел, такую, что /со=1, и для нее определим последовательность (пг)^0, положив nr=fco+... +kr, reNo.

Теорема 4. Пусть 0<5о<1- Пусть задана строго монотонно возрастающая последовательность положительных вещественных чисел (*n)5iLi» последовательность натуральных чисел (Av)^Lo и положителъ-

Mde M&than D. Numbers contravening a condition in density modulo 1 //Acta Math. Hungar. 1980. 36. pp. 237-241.

^Poliington A.D. On the density of sequence {n*0} //Illinois J. Math. 1979. 23. pp. 511702.

37Boshernitzan M. Density modulo 1 of dilations of sublacunary sequences //Adv. in Math. 108 1994. pp. 104-117.

MFurstenberg H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation //Math. Systems Theory 1 1967. pp. 1-49.

S9Boshernithan M.D. Elementary proof of Furstenberg's Diophantine result //Proc. Amer. Math. Soc. 1. 1994. Vol 122 pp. 67-70.

позначная функция тр(п) такие, что

сходится при 0<5<5о- Тогда существует несчетное множество дей-ствительныхчисел Лф такое, что длялюбого аб.4^, и для любого n€N выполняется неравенство

причем

НБ(Л^)

В диссертации это утверждение является теоремой 1.4.

Если (надлежащим образом выбрав параметры) применить теорему 4 к лакунарной последовательности (£п)^1> то получится в точности результат де Матана-Поллингтона. Основной интерес представляет применение теоремы 4 к последовательностям субэкспоненциального роста. Отметим, что если целочисленная последовательность растет медленнее, чем

ехр(п^), /3<1/2, то применение теоремы 4 дает тривиальный результат —

00

при оптимальном выборе параметров ряд £ "Ф{п) будет сходится и, со-

71=1

гласно метрической теореме, о которой мы скажем в следующем пункте, неравенство (3) будет асимптотически выполняться для почти всех а.

Приведем пару примеров, когда теорема 4 дает нетривиальные следствия.

Пример 1. Пусть последовательность £„ растет следующим образом: £„ ~ ехр[щ1*), где 1/2^/?<1. Тогда теорема 4 обеспечивает существование множества ^действительных чисел хаусдорфовой размерности НО (Л) =1 такого, что для каждого а € Л с некоторой положительной постоянной при любом натуральном п выполнено неравенство

Пример 2. Пусть последовательность £п растет следующим образом: х ехр(7?п/1пп). Тогда из теоремы 4 вытекает следующий результат.

Существует множество Л" действительных чисел хаусдорфовой размерности ЕГО (Л) =1 такое, что для каждого а € Л с некоторой положительной постоянной 7=7(ат) при любом натуральном п выполнено неравенство

г) О метрических результатах.

Чтобы показать нетривиальность сформулированных в пункте в) утверждений сделаем несколько замечаний о метрических результатах касающихся того случая, когда £„ являются целыми числами.

с»

Общеизвестно (см.40), что если ряд ^ сходится, то для почти всех

П=1

(в смысле меры Лебега) действительных чисел а существует положительная константа такая, что при всех п будет выполняться неравенство

1М11 >К(аЩп).

С другой стороны, в случае расходимости р я , 'Ф{п) и ч н о й яв-

П=1

ляется ситуация, когда неравенство (1) для почти всех а. имеет бесконечно много решений в натуральных п. Процитируем, например, соответствующий результат Дж. Касселса из работы40. Напомним, что возрастающая последовательность (¿п)^! целых чисел называется Е--последовательностью, если имеет место соотношение

limmf ^ у~>0>

niN

где Цг, обозначает количество дробей вида ¿-,0<j<tn не представимых в

виде j- с натуральным г и q<Tl.

Теорема Дж. Касселса40 утверждает, что если (inJJJLi является

00

последовательностью, то в случае расходимости р я , а в е н -

П=1

ство (1) имеет для почти всех а бесконечно много решений в натуральных п.

40Cassels J.W.S. Some metrical theorems in Diophantine approximaion. (I) //Proc.

Отметим, ЧТО осГлх" " "казали Р. Дуффин и А. Шеффер , в случае расходимости р я е для всякой целочисленной Последовательного 1

сти неравенство (1) имеет для почти всех бесконечно много ре-

шений в натуральных п. Примеры последовательностей, не являющихся ^-последовательностями, были построены Дж. Касселсом в той же рабо-

42

те .

Отметим также, что всякая лакунарная последовательность, очевидным образом, является -последовательностью и что последовательность из предыдущего пункта также, очевидно, является Е-последовательностью.

Обзор классических результатов метрической теории диофантовых приближений можно найти в книге43,

2. Содержание главы 2.

Вектор а= (а^аг,... ,ап) называется плохо приближаемым п-мерным вектором, если существует такая положительная константа С=С (а), что при любом натуральном д выполнено неравенство

max М

l<i<n

Дж. Касселс в работе доказал, что существует континуальное множество плохо приближаемых п-мерных векторов, при С (а) ^Сп>0 (здесь С„ — константа, зависящая только от размерности п).

Теорема Дж. Касселса была усилена и упрощена Г. Давенпортом45. Несколько позднее все тот же В. Шмидт46, используя технику выигрышных множеств, установил, что множество плохо приближаемых -мерных векторов имеет хаусдорфову размерность п. Основной результат главы 2, состоит в следующем.

4lDuffin R.J., Schaeffer А.С. Khintchine's problem in metric Diophantine approximation //Duke Math. J. 8 1941. 243-255.

42Cassels J.W.S. Some metrical theorems in Diophantine approximaion. (I) //Proc.

43Спринджук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений // 1977. Москва

"Cassels JAV.S. Simultaneous Diophantine Approximation (II) //Proc. London Math.

45Davenport H. A Note on Diophantine Approximation //Studies in Math. Analysis and

46Schmidt VV.M. Badly approximable systems of linear forms //J. Number Theory, 11969.

Теорема 5. Пусть /={1,2,...иданнабор из 2'—1

положительных констант. В пространстве К® рассмотрим множество

Рд= {хек* I УдеН Зф® : гаах||9х4||>^, где п=и}.

Пусть { — натуральное число, такое что выполняется неравенство

и пусть

(здесь п=|./|), тогда множество Рд не пусто и имеет хаусдорфову размерность

1п

В диссертации это утверждение является теоремой 2.1.

Таким образом, мы устанавливаем существование достаточно большого множества таких плохо приближаемых наборов, что все их поднаборы тоже являются плохо приближаемыми в своей размерности, причем в полученной нами теореме все константы эффективно вычислены. Аналогичный качественный результат можно получить методом выигрышных множеств В. Шмидта.

3. Содержание главы 3.

Пусть <р(у) — некоторая вещественнозначная функция вещественного аргумента. Натуральное число р называется совместным <р-приближением к вектору ûf=(aj,..., а,)бЕ®, если

тгос | |pQj 11 = тзх тт|р<х,-д|<у>(р)-

Н.Г. Мощевитин в работе47 (обобщая теоремы Дж. Касселса48 и В. Яр-ника19 (см. также50) и отвечая на вопрос СБ. Стечкина) доказал, что

47Мощевитин Н.Г. О совместных диофантовых приближениях. Векторы заданного диофантова вида //Математические заметки, т. 61, в. 5, 1997, с. 70С-719.

44CasseIs J.W.S. Simultaneous Diophantine Approximation (II) //Proc. London Math. Soc. 1955. Т.З. Л"» 5. C.435-448.

49Jarnik V. Uber die simultanen diophantischen Approximationen //Math. Zeitschr. 33 1933. p. 505-543.

50Jarnik V. Un Theoreme d'existence pour Les Approximations Diophantiennes // L'Enseignement mathematiqe, T. 25 19C9. p. 171-175.

JÇI,

если <,о(у)=0(у~1!'), у—>оо, то найдется континуальное семейство векторов допускающих бесконечно много совместных -приближений, но не допускающих ни одного совместного ¿^-приближения с некоторой очень маленькой положительной константой Отметим, что значение константы <г, из процитированной теоремы работы51 можно сделать существенно лучше, используя соображения Давенпорта-Шмидта из52,53, однако вдеи из этих работ не позволяют полностью устранить имеющийся зазор в константу

Следующий результат главы 3, уточняет предыдущие результаты.

Теорема б. Пусть ф(р) —монотонно убивающая положительная функция, "ф{р)*=о( 1) при р-*оо и ip(l)^A=A(s). Тогданайдетсяконти-нуальное семейство векторов q=(qi, ..., QJ)GKJ, таких что каждый из нихдлялюбогоедопускаетбесконечномного (1+£) -приближений, но не допускает ни одного ^у-приближения.

В диссертации это утверждение является следствием • 2 теоремы 3.1.

Этот результат нетривиален в размерности s>l. В размерности s=l, как известно, имеются результаты подобного рода и для функций. ■ф{р)=0{\) — теоремы о луче Холла. Обзор результатов на эту тему можно найти в монографии Т. Кузика и М. Флахив54. Особо отметим, что наши методы не устраняют зазор в константу в случае <р(у)=0(у~^') и что соответствующая задача известна как сложная и нерешенная.-

4. О размерности Хаусдорфа.

Сделаем еще одно замечание. Для оценки снизу хаусдорфовой размерности интересующих нас множеств в теоремах 1, 2, 3, 4 и б можно применять теорему Эглестона55. В наибольшей (необходимой нам) своей общности эта теорема выглядит так.

Теорема. Пусть Ak= U .....'*> где- Вк''".....~ s-мерный

l<4<Ni (о<1<к)

51Мощевитин Н.Г. О совместных диофантовых приближениях. Векторы заданного диофантова вида //Математические заметки, т. 61, в. 5, 1997, с. 706-719.

"Davenport Н. A Note on Diophantine Approximation //Studies in Math. Analysis and Related Topics, Stanford Univ, 19C2. pp. 77-81.

мШмидт В. Диофантовы приближения //Москва, Мир, 1983.

MCusick T.W., Flahive М.Е. The Markoff and Lagrange spectra // Mathematical surveys and monographs, Number 30, 1989.

MEggleston H.G. Sets of fractional dimension which occur in some problems of number theory //Proc.London Math. Soc., voL 54 (1951-52). pp. 42-93.

кубсребромдлины Гк (fc^No) и

.....при 1

int (в£А.....PI int (bJ,A--U-,A) =0, при ий<г^ЛТь

00 fc

ПоложимА— fj j4jt и 7*= J7 -/V*. что 0<so^s и что при

к=0 1=1

любомй<5ъ сходитсяряд

Тогда множество А имеет хаусдорфову размерность HD(>l)^so.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Н.Г. Мощевитину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. АХУНЖАНОВ Р.К. Об анормальных числах //Матем. заметки. 2002. Т.72. № 1. С.150-152.

2. АХУНЖАНОВ Р.К. Об (а,/3)-выигрышных множествах и анормальных числах //Образование, экология, экономика, информатика: Тезисы докладов VIII Международной конференции. — Астрахань: АГТУ. 2003. С.46.

3. АХУНЖАНОВ Р.К. О векторах заданного диофанового типа //Дискретная математика и ее приложения: Материалы УШ Международного семинара. — Москва: МГУ. 2004. С.337-339.

4. АХУНЖАНОВ Р.К. О некоторых диофантовых задачах, связанных с выигрышными множествами В. Шмидта //Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004. № 417-В2004.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М В. Ломоносова. Подписано в печать

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /t0

Тираж 100 экз. Заказ

J/

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001 г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. А.М. Ляпунова.

* - 7 О 3 9

Перечень условных обозначений.

ВВЕДЕНИЕ.

Содержание работы.

ГЛАВА 1. ОБ АНОРМАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ И СУБЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ.

1.1. О лакунарных и сублакунарных последовательностях.

1.2. О метрических результатах.

1.3. Новые результаты об анормальных числах и лакунарных последовательностях.

1.4. Общие результаты о субэкспоненциальных последовательностях.

1.5. Частные результаты о субэкспоненциальных последовательностях.

1.6. О хаусдорфовой размерности.

1.7. О выигрышных множествах.

1.8. О вложении непересекающихся арифметических прогрессий в натуральный ряд.

1.9. Доказательство теорем 1.1 и 1.2.

1.10. Доказательство теорем 1.3 и 1.4.

1.11. Доказательство утверждений из параграфа 1.5.

ГЛАВА 2. О ПЛОХО ПРИБЛИЖАЕМЫХ ЧИСЛАХ.

2.1. О результатах Дж. Касселса, Г. Давенпорта и В. Шмидта.

2.2. Формулировки новых результатов.

2.3. Вспомогательные результаты.

2.4. Доказательство теоремы 2.1.

ГЛАВА 3. О ВЕКТОРАХ ЗАДАННОГО ДИОФАНТОВА ТИПА.

3.1. О векторах с заданным порядком аппроксимации.

3.2. Формулировки и результаты.

3.3. Лучи и цилиндры.

3.4. Вспомогательные утверждения.

3.5. Специальная последовательность цилиндров.

3.6. Доказательство теоремы 3.1.

Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к теории диофантовых приближений.

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию классических объектов, возникающих в теории диофантовых приближений: множеств плохо приближаемых чисел и векторов, векторов заданного диофантового типа и множеств связанных с нормальными числами.

Постановки задач связанных с этими объектами восходят к J1. Дирихле, JL Кронекеру, Э. Борелю, Г. Минковскому и другим классикам. Ими занимались такие известные математики как А.Я. Хинчин, В. Яр-ник, Дж. Касселс, Г. Давенпорт, П. Эрдеш, В. Шмидт, Н.М. Коробов.

Исследованию свойств плохо приближаемых чисел, нормальных чисел, а также чисел, не являющихся нормальными, посвящено много работ как в России так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также с приложениями уделено внимание в монографиях Дж. Касселса [6], В. Шмидта [14], JI. Кейперса и Д. Нидеррейтера [7], Р. Тихого и М. Дрмоты [21] и других.

С одной стороны, для исследования многомерных задач, связанных с линейными диофантовыми приближениями, в подобного рода вопросах естественно использовать восходящие к Г. Минковскому и Г.Ф. Вороному методы геометрии чисел (см. монографию [28]). С другой стороны, в 1966 году В. Шмидтом [36], [37] был разработан новый метод исследования плохо приближаемых и анормальных чисел связанный с использованием метрической модификации игры Банаха-Мазура, который позволил получить ряд фундаментальных результатов.

В настоящей диссертации мы продолжаем исследование плохо приближаемых чисел и множеств анормальных чисел с использованием указанных выше геометрического метода и метода выигрышных множеств В. Шмидта. Отметим, что результаты В. Шмидта, связанные с выигрышностью множеств анормальных и плохо приближаемых чисел, носили, в основном, качественный характер. В настоящей диссертации мы разрабатываем количественный вариант метода В. Шмидта, а также получаем оценки для хаусдорфовой размерности возникающих у нас множеств. Помимо этого, мы устанавливаем ряд новых результатов, связанных с существованием наборов вещественных чисел, обладающих совместными диофантовыми приближениями специального вида. Отметим, что вопросам метрической теории диофантовых приближений, связанных с рассматриваемыми нами задачами, посвящена книга В.Г. Спринджука [10], а вопросам, связанным с размерностью Хаусдор-фа — книга В.И. Берника и В.Ю. Мельничука [5]. Также отметим, что в последнее время к подобного рода вопросам вновь проявился интерес в связи с теорией динамических систем (см. монографию А.Н. Старкова [11] и серию работ Д. Клейнбока [30], [31], [32]).

Результаты настоящей диссертации также связаны с исследованиями распределения лакунарных и сублакунарных последовательностей, проводившимися в работах П. Эрдеша [24], А.Д. Поллингтона [34] и Д. де Матана [33], и с некоторыми эргодическими теоремами Г. Фюрсте-берга [27] и М. Бошерницана [15], [16]. Особо отметим, что совсем недавно задачи, связанные с исследованием лакунарных последовательностей, изучающиеся в диссертации, оказались полезными при исследовании хроматических чисел некоторых множеств. В связи с этим мы упомянем И. Ружи и др. [35].

Цель работы.

1. Построение чисел, не являющихся нормальными ни по какому основанию, и получение количественных оценок, построение множеств действительных чисел полной хаусдорфовой размерности, плохо приближаемых рациональными числами со знаменателями вида 2n3m, и получение общих количественных результатов методом выигрышных множеств В. Шмидта.

2. Получение результатов о наборах действительных чисел, которые являются плохо приближаемыми одновременно со всеми своими подна-борами (теоремы существования и оценки хаусдорфовой размерности).

3. Доказательство теорем существования векторов заданного дио-фантового типа.

Методика исследования. Основными инструментами при исследовании рассматриваемых задач являются метод выигрышных множеств В. Шмидта, конструкции де Матана-Поллингтона и их обобщения. В многомерных задачах активно используется соображения геометрии чисел, точнее, геометрической теории диофантовых приближений, некоторые из которых развивались Н.Г. Мощевитиным.

Научная новизна. Основные результаты полученные в диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Количественная теорема о числах, не являющихся нормальными ни по какому основанию.

2. Результат о существовании множества действительных чисел а таких, что ||2n3mai|| отделено от нуля медленно убывающей функцией.

3. Теорема о существовании и хаусдорфовой размерности множества плохо приближаемых векторов, все проекции которых также плохо приближаемы.

4. Доказательство существования 5-мерных векторов, допускающих бесконечно много <p(q)(l + е)-приближений, но не допускающих ни одного </?(д)-приближения для функции ip(q) = o{q~l!s).

Достоверность результатов. Решения всех задач получены с помощью строго обоснованных математических методов и снабжены доказательствами и необходимыми ссылками на литературу. Отмечается согласованность полученных результатов с результатами других авторов. Достоверность результатов также основывается на строгости и подробности приведенных в диссертации доказательств.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании кан-торовых множеств, возникающих в теории диофантовых приближений и оценках хаусдорфовой размерности. Они могут быть полезными при исследовании распределения по модулю 1 дробных долей быстро растущих последовательностей. Также результаты могут иметь приложения в некоторых вопросах приближенного анализа, теории динамических систем, теории функций, и в вопросах, связанных с хроматическими числами дистанционных графов.

Апробация работы. Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю.В. Нестеренко, Н.Г. Мощевитина, А.Б. Шидловского,

2. "Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н.Г. Мощевитина, А.В. Устинова,

3. "Арифметика и геометрия" под руководством Н.Г. Мощевитина, A.M. Райгородского,

4. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством С.С. Рышкова.

Также автор выступал с докладом на международном семинаре по дискретной математике, проводившемся в январе 2004 года на механико-математическом факультете МГУ, и участвовал в работе VIII Международной конференции, "Образование, экология, экономика, информатика", проводившейся в городе Астрахань в сентябре 2003 года.

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], [4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы включающего 37 наименований. Общий объем диссертации 70 страниц.

1. Р.К. Ахунжанов, Об анормальных числах // Математические Заметки, том 72, номер 1, 2002, стр. 150 — 152.

2. Р.К. Ахунжанов, Об (а,/?)-выигрышных множествах и анормальных числах // Тезисы докладов VIII Международной конференции "Образование, экология, экономика, информатика", Астрахань, сентябрь 2003.

3. Р.К. Ахунжанов, О некоторых диофантовых задачах, связанных с выигрышными множествами В.Шмидта// Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004. № 417-В2004.

4. Р.К. Ахунжанов, О векторах заданного диофанового типа// Дискретная математика и ее приложения: Материалы VIII Международного семинара. — Москва: МГУ. 2004. С.337-339.

5. В. И. Б ерник, Ю.В. Мелъничук, Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа, Минск, 1988.

6. Дж.В.С. Касселс, Введение в теорию диофантовых приближений, М., 1961.

7. Л. Кейперс, Г. Нидеррейтпер, Равномерное распределение последовательностей, М., 1985.

8. Н.М. Коробов, Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки, том 55, выпуск 2, февраль 1994, с. 83 90.

9. Н.Г. Мощевитин, О совместных диофантовых приближениях. Векторы заданного диофантова вида // Математические Заметки, том 61, выпуск 5, май 1997, стр. 706 — 719.

10. В. Г. Спринджук, Метрическая теория диофантовых приближений, М.: Наука, 1977. 143 с.

11. А.Н. Старков, Динамические системы на однородных пространствах, М. 1999, 353 с.

12. Н.И. Фельдман, Седьмая проблема Гильберта., М., МГУ, 1987.

13. М. Холл, Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

14. В. Шмидт, Диофантовы приближения. М.,Мир.,1983.

15. M.D. Boshernithan, Elementary proof of Furstenberg's Diophantine result // Proc. Amer. Math. Soc. 1 Vol 122 (1994), 67 70.

16. M. Boshernitzan, Density modulo 1 of dilations of sublacunary sequences // Adv. in Math. 108 (1994), 104 117.

17. J. W.S. Cassels, Some metrical theorems in Diophantine approximaion. 1// Proc. Cambridge Phil. Soc. V. 46 (2), 1950, 209 218.

18. J. W.S. Cassels, Simultaneous Diophantine Approximation (II) // Proc. London Math. Soc. (3), 5 (1955) pp. 435 448.

19. T.W. Cusick, M.E. Flahive, The Markoff and Lagrange spectra // Mathematical surveys and monographs, Number 30, 1989.

20. H. Davenport, A Note on Diophantine Approximation // Studies in Math. Analysis and Related Topics, Stanford Univ, pp. 77 — 81. 1962.

21. M. Drmota, R.F. Tichy, Sequences, Discrepancies and Applications // Lecture Notes in Mathematics 1651, Springer, 1997.

22. R.J. Duffin, A.C. Schaeffer, Khintchine's problem in metric Diophantine approximation // Duke Math. J. 8 (1941), 243 — 255.

23. H.G. Eggleston, Sets of fractional dimension which occur in some problems of number theory // Proc.London Math. Soc., vol. 54 (1951 52). pp. 42 - 93.

24. P. Erdos, Repartition modulo 1 // Lecture Notes in Mathematics Vol. 475. Springer Verlag. New York, 1975.

25. V. Jarnik, Uber die simultanen diophantischen Approximationen // Math. Zeitschr.,33 (1933), p. 505 543.

26. V. Jarnik, Un Theoreme d'existence pour Les Approximations Diophantiennes // L'Enseignement mathematiqe, T. 25 (1969), p. 171 175.

27. H. Furstenberg, Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation // Math. Systems Theory 1 (1967), 1 -49.

28. P.M. Gruber, C.G. Lekkerkerker, Geometry of numbers, 1987.

29. G.H. Hardy, J.E. Littlewood, The lattice points of a right angled triangle. II // Abh. Mat. Semin. Hamburg Univ., Bd. 1, (1922), s. 212 249.

30. D.Y. Kleinbock, Flows on homogeneous spaces and diophantine properties of matrices // Duke Mathematical Journal, Vol. 95, No. 1, p. 107 124 (1998).

31. D. Y. Kleinbock, Badly approximable systems of affine forms // Rutgers University, Preprint (1998).

32. D. Y. Kleinbock, E. Lindenstrauss, B. Weiss, On fractal measures and diophantine approximation // Brandeis University, Preprint (2003).

33. D. de Mathan, Numbers contravening a condition in density modulo 1 11 Acta Math. Hungar. 36 (1980), 237 241.

34. A.D. Pollington, On the density of sequence {rik9} // Illinois J. Math. 23 (1979), 511 702.

35. I.Z. Ruzsa, Zs. Tuza, M. Voigt, Distance Graphs wish Finite Chromatic Number // Journalof Combinatorial Theory, series В 85 p. 181 187 (2002).

36. W.M. Schmidt, On badly approximable numbers and certain games // Trans. Amer. Math. Soc., 623 (1966), p. 178 199.

37. W.M. Schmidt, Badly approximable systems of linear forms // J. Number Th. 1, p. 139 154 (1969).