Совместные диофантовы приближения нулями гладких функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Институт Математики Академии Наук Беларуси

УДК 511.36

Бересневич Виктор Вячеславович

СОВМЕСТНЫЕ ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ НУЛЯМИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Минск, 1996

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Берник В.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Нестеренко Ю.В.,

доктор физико-математических наук, профессор Салихов В.Х.

Оппонирующая организация: Белорусский государственный университет

Зашита состоится 25 октября 1996 г. в 1600 на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.01 при Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Сурганова И

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси

Автореферат разослан 1996 г.

Учёный секретарь совета по защите диссертаций, кандидат физико-математических наук

^¿уС^ В.В.Беняш-Кривец

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В работе изучаются диофанто-вы аппроксимационные свойства точек кривых и связанные с ними вопросы приближения действительных чисел нулями гладких функций, образованных целочисленными линейными комбинациями координатных функций этих кривых и 1. Интерес к метрическим теоремам о диофантовых аппроксимационных свойствах точек кривых берёт своё начало с работ И. П. Кубилюса, В. Г. Спринджука и В. Шмидта. Уже первые результаты, полученные в этом направлении, сразу же нашли своё применение и позволили определить правильный порядок меры трансцендентности почти всех чисел (гипотеза Малера о мере множества 5—чисел).

Изучение диофантовых аппроксимационных свойств кривых имеет большое значение как для развития метрической теории диофантовых приближений, так и в плане приложений в математической физике. Прежде всего представляет интерес доказательство так называемых свойств экстремальности многообразий1. Наиболее изученным является случай многообразий большой размерности и топологического произведения многообразий и наиболее сложным и менее изученным — случай, когда их размерность меньше п/2 и выполены только общие аналитические условия. Особую трудность представляет собой задача об экстремальности кривых. Тем не менее, её актуальность наиболее велика в связи с тем, что многообразия большей размерности можно исследовать с помощью метода расслоений Пяртли2.

Более тонкий подход к изучению диофантовых аппроксимационных свойств многообразий проявляется в так называемых теоремах хинчинов-ского типа. Фактически, они представляют собой критерий того, выполняется ли определённое диофантово свойство для почти всех точек многообразия или только на подмножестве нулевой меры. Единственным ограничением является требование монотонности функции, стояшей в правой части неравенств. Первая теорема такого сорта была получена А. Я. Хинчиным при изучении приближений действительных чисел рациональными. Позднее он дал обобщение своей теоремы на случай совместных приближений. Обшая теоремы хинчиновского типа о совместных приближениях точек п-мерного пространства была доказана А. В. Трошевым и её неоднородный аналог — В. Шмидтом. М. М. Додсон получил аналог теоремы хинчиновского типа для многообразий М С К" размерности (ИшЛ< > тш(2, п/2)

1 Сприкожух В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. -М.: Наука, 1977.-143 с.

2 Шртли А. С. Дяофантовы приближения на подмногообразиях Евклидова пространства // Функциональный анализ и его приложенля.-1969.~Т. 3, N. 4.—С. 59-62.

со специальными геометрическими свойствами. В ряде работ исследован случай сходимости. Однако до настоящего времени не было известно ни одного полного аналога теоремы Хинчина для кривых.

Применение понятия размерности Хаусдорфа позволяет проводить различия между множествами нулевой меры, возникающими при изучении заданных аппроксимационных свойств точек подмногообразий К". А. Бэй-кер и В. Шмидт3 разработали общий подход, позволяющий находить оценки снизу для размерности Хаусдорфа таких множеств. Их метод основан на построении регулярной системы точек на множестве нулей функций из определённого класса, после чего оценка снизу для размерности Хаусдорфа получается с помощью общего утверждения. Построение регулярных систем тесно переплетается с вопросами приближений действительных чисел нулями гладких функций. Кроме того, при доказательстве метрических теорем широко используются факты распределения нулей.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является получение метрических теорем о диофантовых приближениях точек гладких кривых и, на их основе, теорем о приближениях действительных чисел нулями гладких функций из соответствующих этим кривым классов функций. Основные задачи диссертации: доказательство эффективных метрических теорем для приближений нуля значениями целочисленных многочленов и применение полученных результатов для исследования вопросов приближения действительных чисел квадратичными ирра-циональностями и вопросов распределения квадратичных иррационально-стей; развитие методов доказательства теорем об экстремальности кривых и их обобщений на случай совместных приближений, доказательство таких теорем и применение полученных результатов к вопросам совместных приближений действительных чисел нулями гладких гладких функций и вопросам распределения нулей гладких функций.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми. Для доказательства ряда теорем применён в значительной мере усовершенствованный метод существенных и несущественных областей. В него вошли новые идеи об использовании максимального числа диофантовых неравенств (теоремы 3.1 и 4.1) и новые идеи классификации распределений (доказательство теоремы 4.1). Также новым является применение эффективных метрических теорем к изучению распределения алгебраических чисел (глава 2).

Практическая значимость полученных результатов. Теоремы

3 Baker A, Shmidt IV. Diophantine approximation and Hausdorff dimention // Proc. London. Math. Soc.-1970.-Vol. 21.-P. 1-11.

о диофантовых приближениях точек многообразий и, в частности, кривых находят применение при решении некорректных граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными, где часто вопрос корректности нехоторой граничной задачи оказывается связанным с так называемой проблемой малых знаменателей4. Влияние малых знаменателей состоит в том, что в решениях дифференциальных уравнений, представленных рядами Фурье, имеется бесконечно много членов с коэффициентами, знаменатели которых сколь угодно близки к нулю, что обуславливает расходимость данных рядов. Во многих задачах такого типа малые знаменатели имеют вид линейной формы с целыми коэффициентами:

ai»! + ... + а„х„, а,- G Z, г,- G Ж.

При этом точка х = (»i,...,®,,), как часто оказывается, лежит на некотором подмногообразии Л4 £ Ж". Метрический подход к проблеме малых знаменателей состоит в том, что анализ сходимости рядов, представляющих решение, проводится только для множества точек х, удовлетворяющих некоторым оценкам вида

\aixi +...+апхп\ > СН~Р,

которые справедливы всех х £ JA за исключением некоторого малого множества. Малость этого множества может определятся как в терминах меры (мера этого исключительного можества нулевая), так и в терминах размерности Хаусдорфа.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Для множества

Bi{Q,e) = {®6/:3Pe P2{Q) такой, что |Р(*)| < е}, где I с [0,1] — интервал, Q ¡Е N, Q > 10, е е К, 0 < е < \Q~2, справедлива эффективная оценка меры вида C£Q2\I\ + 0(|/|<Э-1'2 + Q'1 InQ), где С — постоянная, (теорема 2.1).

2. Множество квадратичных иррациональностей вместе с функцией Ф(а) = (Я( а)) образует регулярную систему точек (предложение 2.1).

3. Если дана монотоно убывающая положительная функция натурального аргумента ij>, то множество А[гр), которое состоит из тех (г, у) 6

4 Пташкик Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными проиэводными.-Киев: Наукова думка, 1984.-264 с.

Ж2, для которых неравенство |Р(а;) — у\ < где Л = Н{Р),

имеет бесконечное число решений в многочленах Р с целыми рациональных коэффициентами, имеет нулевую или полную, меру Лебега если, соответственно, сходится или расходится ряд ^(ч) (тео-

рема 2.2).

4. Для натурального п (2 < п < 4) и п—раз непрерывно дифференцируемые функции Д, /г,...,/п ■ I —* ® такие, что для почти всех х £ / вронскиан их производных отличен от нуля, действительных чисел V и ш, для которых тт(и,гя) >п — Зии + ги>п — 1, множество (г, у) £ 12, для которых система неравенств

имеет бесконечное число решений в Г = а„/п + .. .+01/1+00 (а,- € 2), имеет нулевую меру Лебега на плоскости (теорема 3.1).

5. Произвольная трёхмерная четырежды дифференцируемая кривая, у которой кручение почти всюду отлично от нуля, экстремальна (теорема 4.1).

Личный вклад .¡соискателя. Результаты глав 2 и 3 получены соискателем самостоятельно. Результаты главы 4 получеы в соавторстве.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на международном математическом конгрессе в Цюрихе (Швейцария, 1994 г.), на международной конференции "Диофантовы приближения" в Обер-вольфахе (Германия, 1996 г.), на международной математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (г. Минск, 1993 г.); на международной конференции "Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел" (г. Воронеж, 1995 г.); на научных семинарах в Московском государственном университете и Институте математики АН Беларуси.

Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в работах списка опубликованных работ по теме диссертации.

Структура и объём диссертации. В диссертации имеется перечень условных обозначений, введение, общая характеристика работы, 4 главы, список использованных источников. Полный объём — 96 е., из них 4 с. занимает список использованных источников (43 наименования).

№)1 < ВД-",

V

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В первой главе диссертации дается обзор литературе по теме и выбор направления исследований. Первый параграф посвящен экстремальным многооббразиям, под которыми понимают такие многообразия М, почти все точки которого плохо приближаемые. Некоторая точка х— (»1,..., хп) £ Ж" называется плохо приближаемой, если неравенство

при любом и) > п имеет не более конечного числа решений в ао,..., ап £ Ъ.

Дается обзор известных результатов по экстремальным многообразиям и экстремальным кривым. Наиболее известные среди последних — это экстремальность кривой Гп = {(¿п, ...,<) : 4 6 (В.Г.Спринджук) и экстремальность плоской кривой Гг = (»(«), 2/(5))> заданной трижды непрерывно дифференцируемыми функциями, кривизна которой почти всюду отлична от нуля (В.Шмидт).

В параграфах 2 и 3 первой главы дается обзор результатов по совместным приближениям точек кривых и по теоремам хинчиновского типа для приближений точек кривых. В § 4 дается обзор, связанный с приближением действительных чисел нулями гладких функций и распределением нулей гладких функций.

Вторая глава диссертации посвяшена изучению аппроксимапионных свойств целочисленых многочленов второй степени и распределению квадратичных иррациоальностей. Для доказательства теорем используются эффективные оценки мер множеств действительных чисел, имеющих заданные аппроксимационные свойства. Специальный метод позволяет находить определенные оценки для сумм вида |-0(-Р)|-1/'2 от дискриминанта £)(Р). Первый результат этой главы — это эффективная теорема о мере множества действительных чисел из короткого интервала, имеющих заданную точностью аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов второй степени (§ 2.1 и § 2.2).

Теорема 2.1. Пусть I обозначает интервал аз отрезка [0,1], Q Е N, Q > 10, е 6 Ж, е > 0. Рассмотрим множество Bi{Q, е) = {х € 1: 3 Р G P2(Q) такой, что |Р(г)| < е]. Пусть е < \Q~2. Тогда

tii(Br(Q,e)) < 40|7И?2(1 + ||2| + m^Q-1 lnQ)+ (2Q~1/2 + 2\I\-lQ~l In Q) .

Здесь Рг(<3) обозначает множество целочисленных многочленов второй степени, имеющих высоту не боьлше Q. Доказательство теоремы 2.1 разбивается на два подсдучая: 1) случай суммирования мер, когда многочлены имеют кратный рациональный корень (§ 2.1); 2) случай, когда многочлены имеют различные корни (§ 2.2). На основе этой теоремы изучаются вопросы приближения действительных чисел квадратичными иррациональ-ностями и вопросы распределения квадратичных иррациональностей на отрезке [0,1] (§ 2.3).

Предложение 2.1. Для любого интервала I С [0,1] существует постоянная Но, которая не превосходит большего из корней уравнения = |/|/24, такая, что для любого Н > Но существует набор квадратичных иррациональностей an,...,at, лежащих в отрезке [0,1], таких, что H(a¡) < СХН, |a¿ - aj\ > С2Н~3, (i ф j), i > С3|/|#3, !Р/(а;)| > С4Я, (1 < i < i), где С\, Сг, Cz, — абсолютные постоянные, Р{ — минимальный многочлен для a¡.

Устанавливаются конкретные значения, которые могут принимать постоянные С1,Сг,Сз, С4: С\ = 1601, Сг = Сз = 5, С4 = Непосредственно из предложения 2.1 и определение регулярной системы точек5 следует, что множество квадратичных иррациональностей на отрезке [0,1] вместе с функцией Ф(а) = Я(а)3 обзазует регулярную систему точек.

Эффективные оценки мер множеств действительных чисел, на которых с заданной точностью аппроксимируется нуль целочисленным многочленом позволили впервые получить полный аналог теоремы Хинчина для приближений точек кривой.

Теорема 2.2. Пусть ф — монотоно убывающая положительная функция натурального аргумента, и множество А(гр) состоит из тех (rjf) € для которых неравенство

|а2х2 + ají + а0 - у| < А~ VCOi

где h = max(|ao|, |oi|, 1аг|), имеет бесконечное число решении в целых рациональных ao,ai,a2. Тогда мера Лебега 'А(ф) нулевая или полная, если,

00

соответственно, сходится или расходится ряд

«=1

Параграф 2.4 содержит вспомогательные утверждения, составляющие основу метода доказательства этой теоремы. Само же доказательство теоремы 2.2 проводится в три этапа: 1) доказательство для случая сходимости (§ 2.5); 2) доказательство того, что мера А{ф) положительна в случае рас-

&Берник В.И., А/ельиичук Ю.В. Диофавтовы приближения н размерность Хаусдорфа.-Миняс: Наука и техника, 1988.-144 с.

ходимости (§ 2.6); 3) доказательство того, что в случае расходимости А(ф) имеет полную меру (§ 2.7).

В третьей главе изучаются совместные приближения точек гладких кривых и совместные приближения нулями гладких функций из класса F{fi, •••,/n) = {-F(z) = а0 + öi/i (х) 4- ... + anfn(x) : а0,...,ап £2}, где /ь • • ■ I /п — «—раз непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке I, вронскиан производных от которых почти всюду отличен от нуля. Основным результатом третьей главы является следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть дано натуральное п (2 < п < 4) и п—раз непрерывно дифференцируемые на некотором интервале I функции Л, /г, • • - , /п такие, -что для почти всех х £ I вронскиан их производных отличен от нуля. Пусть даны действительные числа v и w, для которых mm(u, w) > п — 3. Если v + w > п — 1, то множество (х, у) £ I2, для которых система неравенств

\F{x)\<H{F)~\ |F(y)| < H(F)"»,

где H(F) = max(|an|,.. .,|ао|)> имеет бесконечное число решений в F £ •^(/ь • ■ -1 fn), имеет нулевую меру Лебега на плоскости.

Для доказательства теоремы 3.1 применяется в значительной степени модифицированный и дополненный метод существенных и несущественных областей. Анализ условия на вронскиан проводится в § 3.2, где выводится ряд полезных следствий, позволяющих использовать максимальное число ограничений на функции и производные. Параграфы 3.1-3.4 содержат вспомогательные утверждения. Случай п = 2 доказывается на основании леммы Бореля-Кантелли (§ 3.5). Базовая схема рассуждений, применяемая для случаев п — 3 и 4, описывается в § 3.6. Параграфы 3.7 и 3.8 посвящены доказательству теоремы 3.1 для п = 3 и 4.

Изучение совместных приближений точек плоскости парами корней функций из класса T(f\,. ■ -,fn) на основе теоремы 3.1 позволяет Установить совместное распределение нулей функций из класса T{fi,. ■ ■, fn) (2 < n < 4) (§ 3.9):

Следствие 3.1. Пусть 2 < п < 4 и mia(v, w) > п — 3 и v + w < п— 1. Тогда существует счётное множество А, состоящее из пар (c>ri,ö2) таких, что Qj и с*2 одновременно являются корнями некоторой функции F £ F{fi, • • •) fn), которое вместе с функциями <$i(ä) = H(ä)v+1 и Фг(й) = H(ä)w+1, где H(ä) = min H(F), H(F) = max(|a0|,..., |a„|) для FtHh...../»)\{o)

F(a,)=0 (i=l,2)

F = anfn +... + aifi + ao, образует регулярную систему точек на плоскости.

Четвертая глава диссертации посвящена доказательству теоремы об экстремальности трехмерных гладких кривых, заданных общими аналитическими условиями.

Теорема 4.1. Пусть /i, /2,/з — четырежды непрерывно дифференцируемые на некотором интервале I функции такие, что для почти всех х G I вронскиан производных от них отличен от нуля. Тогда, для любого е > 0 множество х £ I, для которых неравенство

Ыз(х) +...+ «!/! (х) + Gol < H(F)-3"£

где H(F) = шах(|аз|,..., |ао|), имеет бесконечное число решений в ао, ■. •, аз €2, имеет нулевую меру Лебега.

Доказательство этой теоремы распадается на несколько подслучаев. Первый — случай, когда для х существует бесконечное число решений неравенства |^(х)| < H(F)~z~e в F 6 -^(/ь/г./з) таких, что выполнено |F'(x)| > H(F)~1~£1/4 (§ 4.3). Второй — случай, когда справедливо |F"(í)| < H(F)1~eи первая производная удовлетворяет |F'(x)| < H{F)~l~c!A (§ 4.4). Последний случай — |F"(r)| > fí(F)i~e^2 и |^'(х)| < H(F)~1~e^4. Он сводится к доказательству того, что мера множества х, для которых существует бесконечно много решений сисемы

Г \F{x)\<H(F)-^, \ \F(x)\ < H(F

в F € -^(/í, /2), где 7 > 0, равна нулю (§ 4.5). Последнее утверждение составляет основную трудность доказательства теоремы 4.1 и является предметом рассмотрения параграфа 4.6.

ВЫВОДЫ

• Построена наилучшая регулярная система точек на множестве ква-' дратичных иррациональностей: доказано, что множество Á¡ квадратичных иррациональностей вместе с функцией Ф(а) = (Я(а))3 образует регулярную систему точек.

• Впервые получен полный аналог теоремы Хинчина для кривых. Этот результат устанавливает наилучний порядок неоднородных приближений точек плоской кривой {(í2,í): i 6 К}.

• Для n-мерных евклидовых пространств (п < 4) доказана теорема о совместных приближениях точек кривых, задаваемых произвольными п—раз непрерывно дифференцируемыми функциями такими, что

вронскиан производных отличен от нуля почти везде; построена регулярная система точек на множестве пар корней функций из класса, образованного всеми целочисленными линейными комбинациями координатных функций такой кривой и 1.

• Гладкие пространственные кривые, имеющие почти везде ненулевое кручение, экстремальны.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бересневич В.В. О зависимости порядков приближений точек плоских кривых и вектора производных // Весщ АН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук-1996, ,Л/£ З.-С. 125-129.

2. Бересневич В.В. О совместных приближениях точек гладких кривых с точной правой частью. // Международная конференция "Проблемы алгебры и кибернетики", посвященной памяти академика С.А.Чунихина. Тез. Док л .-Гомель, 1995.-Ч. 1.-С. 23.

3. Бересневич В.В. Обобщение метрической теоремы Хинчина для неоднородных диофантовых приближений. // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел. Тез. Докл. конф.-Воронеж, 1995.-С. 16.

4. Бересневич В.В. Совместные приближения нуля значениями гладких функций // Becni АН Беларусь Сер. ф!з.-мат. навук.-1994, N° 3-С. 20-25.

5. Бересневич В.В., Берник В.И. О распределении нулей гладких функций в Ш2. // Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского. Тез. Докл.-Минск, 1993.-Ч. 1,-С. 6.

6. Бересневич В.В., Берник В.И. Экстремальные гладкие кривые в трёхмерном евклидовом пространстве // Доклады АН Беларуси-1994-Т. 38, Яг 3,-С. 9-12.

7. Beresnevich V. V., Bernik V.l. On a metrical theorem of W. Schmidt // Acta Arithmetica.-1996.-Vol. 75, 3.-P. 219-233.

РЕЗЮМЕ Бересневич Виктор Вячеславович Совместные диофантовы приближения нулями гладких функций

Ключевые слова: диофантовы приближения, целые числа, алгебраические числа, многообразие, кривая, нуль функции, регулярная система, экстремальность.

В работе исследуются диофантовы аппроксимационные свойства кривых и связанные с ними свойства приближения действительных чисел нулями гладких функций и распределения нулей гладких функций. Используется метод существенных и несущественных областей.

Основные результаты. Доказано, что множество квадратичных ир-рациональностей вместе с функцией Ф(а) = (Я(а))3 образует регулярную систему точек. Получен полный аналог теоремы Хинчина для кривых для неоднородных приближений точек плоской кривой {(¿2,0 : < е Ж}. Для га-мерных евклидовых пространств (л < 4) доказана теорема о совместных приближениях точек кривых, задаваемых произвольными п.—раз непрерывно дифференцируемыми функциями такими, что вронскиан производных отличен от нуля почти везде. Построена регулярная система точек на множестве пар корней функций вида а„/п +.. . + 01/1 + ао- Доказано, что гладкие пространственные кривые, имеющие почти везде ненулевое кручение, экстремальны.

Все результаты диссертации являются новыми. Они могут быть использованы при решении некорректных граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

РЭЗЮМЕ Бераснев1Ч Шктар Вячаславаш'ч Супольныя дыяфантавы набл1жанш нулям! гладк1х функций

Ключавыя словы: дыяфантавы набл1жанш, цэлыя лш, алгебра1чныя лйн, мнагастайнасць, крывая, нуль функцьп, рэгулярная астэма, экстр-эмальнасць.

У рабоце даследуются дыяфантавы аппрокамацыйныя уласщвасщ крывых 1 звязаныя з ¡м1 уласшвасш набл1жання рэчакных лпсау нулям! гладких функцый 1 размеркаванне нулёу гладюх функцый. Выкары-стоуваецца метад ¡стотных I нектотных абсягау.

Асноуныя вынш. Даказана, што мноства квадратичных ippaixbi-янальнасцяу разам з функцыяй Ф(а) = (Я(а))3 утварае рэгулярную cicT-эму пунктау. Атрыманы поуны аналаг тэарэмы Хшчына для крывых для неаднародных набл1жанняу пунктау плоскай крывой {(t2,t) : t G Ж}. Для эуклщавых прасторау памернасш п (п < 4) даказана теарэма пра суполь-ныя набл1жанш пункцтау крывых, як\я азначаюцца адвольным! п—разоу непарыуна дыферэнцавальным1 функцыям! ташм1, што врансюян ix вы-творных няроуны нулю амаль усюды. Пабудавана рэгулярная сктэма пунктау на мностве пар нулёу функцый выгляду оп/п + • • • + Qih + ао-Даказана, што гладк1я просторавыя крывыя, яш амаль усюды маюць не-нулявое кручэнне, экстремальныя.

Усе BbmiKi дысертацьп з'яуляюцца новым!. 1х можна выкары-стоуваць пры рашэнт некарэктных межавых задач для дыферэнцыяльных раунанняу з частковым! вытворным1.

SUMMARY Beresnevich Victor Vjacheslavovich Simultaneous diophantine approximations by zeroes of smooth functions

Key words: diophantine approximation, integers, algebraic numbers, manifold, curve, zero of function, regular system, extremality.

Diophantine approximation properties of curves and corresponding approximation properties of reals by zeros of smooth functions as well as distribution of these zeros are investigated in the thesis. The method of essential and non-essential : domane is used.

The main results are the following. The set of quadratic irrational numbers together with function Ф(а) = (#(a))3 is a regular system. It is obtained a commplete analog of Kchincine's theorem for inhomogeneous approximation of points of the curve {(i2, i) : i £ Ж}. For euclidian spaces of dimention n (n < 4) it is proved a theorem on simultaneous approximations of points of smooth curve, which is defined by any гг—times contineously differentiable functions, that Wronskian of their derivative being not equal to zero almost everywhere. There is a regular system on the set of pares which are roots of functions being of the form an/n + ... + a^fi + a0. It is proved that any 3-dimentional space curve being of non-zero tortion almost everywhere is extremal.

All the results are knew. They could be applied in solving singular differential equations with partial derivatives.