Диофантовы приближения элементами регулярных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЩДЕШЯ НАШ БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ДОМБРОВСКИЙ ИГОРЬ РОШШЩДОВИЧ

даФАНТОШ 'ПРИНЛИШЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМИ РЕГУЛЯРНЫХ сисям

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1991

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси

Научный руководитель - доктор фиэико-матеыатических наук,

старший научшй сотрудник ВЕШИК Василий Иванович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник ВОРОНИН Сергей Михайлович

кандидат фчзико-математических неук, доцент ЧИРСКИЙ Владимир Григорьевич .

Ведущее учреждение - Московский государственный педагогический университет

Защита состоится в 1 ^ часов

на заседании специализированного соврта Д.006.19.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Оур-ганова, II.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси. .

Автореферат разослан " -3 " 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

А.С.Ралинчук

OBÜAF ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш и состояние вогтрста, В дянноЯ диссертации d терминах меры Лебега и размерности Хаусдорфа кссяедуется ряд вопросов теории диофантогьгх приближений.

Определение. Пусть М- - множество точек некоторого метрического пространства. Для любого (3"> О определи;.!

t ГА1,f, f) - ихf ¡Ё ( ctia,m Jc )f

где точная нижняя грань рассматривается по псспооуожь-м гшелодо-вательностям шаров ; Jz> ., . d*(bm, JL i- Q f образующих покрытие множества . Положим

i (м о) - et*, е (м)Р; п

т J <Г—> О J

Тогда число

1 = itdt {/•' * (М,?)~-0]

называется размерностью Хаусдорфа шегеества J 'I и обозначается clim М

Размерность Хаусдорфа, с момента применения её Урнияом к Безиковичем (1929, 1931) для описания кпсяесгва действителен: чисел имеющих заданный порядок аппроксимации ршиональкыми становится важным инструментом метрической теории чисел. Зто сб'глс-няется пренде всего тем, что для различения множеств, удовлетворявших определённым диофантовкм условия!/ мера Лебега сказывается слишком грубой. Различные множества зачастую имеет одну и ту яе меру Лебега. В таких случаях для описания их метрических свойств удобно использовать размерность Хаусдорфа.

Значительные продвижения с применением размерности Хаусдорфа и вопросам метрической теории чисел были подучены ерником ^ при обобаении своих тхе результатов на случай совместных приближений, P.C. Бэйкером*^ при рассмотрении задачи о приближении

Jarnik V. Uber die simultanen diophantichen Approximationen// Math. J. 193t. Bd 33. S. 505 - 543.

Baker R.C. Singular n-tuples and Ilausdorff dimensioa// Math. Proc. Cerabr. Phii. Öoc. 1978. Vol. 83. P. 37 - 59.

нуля значениями .»¡^¡ейной Формы с независимыми над (¡J коэффициентами, Боеи и додесном ', а затем в более общем случае Ю.Кун-руи при определении размерности Хаусдорфа исключительных множеств , возникающих в задачах с произведением совместных приближений и произведение.'.-: линейных форм. Последние результаты интересны еде и тем, что наыли применение при анализе устойчивости гшлкльтоновых систем в теории Колмогорова - Арнольда - Мозера.

Как правило, при определения значения размерности Хаусдорфа (лнояоетв, возникающих"теории диофантовых приближений, главную трудность составляет проведение оценки размерности этих множеств снизу.

В IcJ?0 г. А.Бпйкер и В.Шмидт^ предложили метод, позволив-ий с единых позиций взглянуть на получение оценок снизу. Он основан на понятии регулярной системы (см. (2)). Сами Бэйкер и Шмидт применили этот метод при получении нинней оценки размерности Хаусдорфа множества действительных, хорошо приближаемых алгебраическими ограниченной степени.

Пользуясь методом Бзйкера - Шмидта, удалось построить регулярные систем? и подучить оценки размерности Хаусдорфа для множеств, вогнихаших при приближении действительных чисел нуля*;.-. гладких функций (Р.С.Бэйкер), при изучении диофантовых

т i

Во voy J.I?., 2о «bon K.M. The fractional dimension of sets whose eiiml tanccuß rational approximations have errors with small prodakt// Bull. London Math. Soc. 1970. Vol. 10. P. 213 - 218. ^ Yi K>'urui. Hausdorff dimension and simultaneous rational approximation// J. London Math. Soc. 1981. Vol. 24. P. 79 - 84. Baker A., Schmidt W. Diophantine approximation and HausdorfX dimension// Proc. London Math. Soc. (3), 1970. - Vol. 21. -P. 1 - 11.

приближений на окружности (Ю.В.Мельничук), при приближениях нуля значениями целочисленных, а такие целочисленных в ©Р многочленов (В.И.Берник, И.Л.Мороцкая) и ряда других (см.б).).

Заметим однако, что для многомерных диофантоЕых приближений большинство результатов в терминах размерности Хаусдорфа получены лишь тогда, когда путём определённых преобразований рассматриваемый случай иохно свести к одномерной задаче. Поотоцу рассмотрение с точки зрения Хаусдорфа совместных приближений элементами регулярных систем с покоординатно различными показателями аппроксимации (существенно многомерный, не сводимы* к одномерному случай) является естественной и назревшей задачей,

Цельи.данной работы является развитие методов нахождения размерности Хаусдорфа и их применение к диофантпвым приближениям. х

Метоцы исследования. Для получения метрической теоремы главы Г1 используется модификация метода существенных и несущественных областей, предложенного В.Г.Сприн^яуком '. Результаты главы Щ основаны на использовании схемы метода Бэйкера -Шмидта для проведения оценок размерности Хаусдорфа снизу.

Научная новизна. В диссертации р_юррботан метоп, получения оценок снизу размерности Хаусдорфа для исключительных множеств, возникающих в задачах совместных диофантовых приближений с заданным порядком аппроксимации. Метод даёт возможность производить точные оценки при покоординатно различных порядках аппроксимации, то-есть в случае не сводимом к известной лемме Бэйкера-- Шмидта.

Ряд примеров, в которых удалось подучить точное значение размерности Хаусдорфа, возникающих в теории диофантоЕых приближений множеств, шпострирует действие метода.

Наряду с результатами о размерности Хаусдорфа получен также метрический результат относительно приближений нуля значениями многочленов специального вида. Приближения многочленами такого вида обобщают традиционно встречашиеся в теории диофантоЕых приближений понятие совместных приближений.

Берник Р.И., Мельничук Ю.В. Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа. - Минск: Наука и техника, 1988. - 144 с.

'Спринддук В.Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. -Минск: Наука и техника, 1967. - 184 с.

- 5 -

Основные положения. выносимые на защиту:

1. Изучены метрпчес;о:о характеристик!! совместных приближений нуля многочленами вида (I).

2. Подучен аналог лемш Бэйкера -^Шмидта для оценки снизу размерности Хаусдорфа точек из , имеющих заданный порядок аппроксимации элементами регулярных систем.

3. Определено точное значение размерности Хаусдорфа множества точек , имежих высокий, покоординатно различный порядок аппроксимации векторами из ¡Р12 с алгебраическими координатам:'. .

4. Приведены оценки размерности Хаусдоофа одного класса множеств, возникающих в связи с исследованием поведения тригонометрических сумм по простым числам.

5. Разработан метод сценок снизу размерности Хаусдорфа множеств, хорошо приближаемых элементами регулярных систем в .

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при оценке размерности Хаусдорфа различных, возникающих в теории дисфаитовых приближении множеств.

Результаты диссертации также могут быть использованы для описания класса некорректных задач при исследовании ряда задач математической физпки, разрешимость которых связана с проблемой малых знаменателей.

Апробация работы. Результаты диссерищии докладывались на Всесоюзной школе "Конструктивные метода и алгоритмы теории чи-к сел" (Минск, 1989), республиканской конференш"! "Теория чисел и её приложения" (Ташкент, 1990), на математическом семинаре Западного ня;*чного центра (Львов), а также неоднократно на семинаре "Теория чисел" (Минск, 1987-1990).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-6 .

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, содержащего 52 наименогания. Общий объём работы 104 страницы.

СЩРИАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор результатов по те\«з днссерта- : иии, обосновывается актуальность тематики к формулируются основные результаты ее.

Первая глава работы носит вспомогательный г арок?*:-, р. Она состоит из двух частей, в первой из которых вводится ряд стандартных определений и лемм метода существенных и нес.учзестзеннь.'х областей В.Г. Сприндхука и проводится необходимая подеотовитгльлая работа для доказательства метрической тесреу:: главы П. Докоза.-тельства некоторых ип приведённых лемм содержат незначительного модификацию на случай прпводимих полиномов по сряннекто е- аналогичными леммам;! из работ В,Г. Спринддуна^ и В.И. Б^рника4^.

Во второй части -ано определение регулярно., скст^да.

Определе! л е. Счётное множество Г шх чисел вместе с положитольноэначнсЯ фущсп^^;; /V а опреде--ленной на Г называют регулярной системой (Г, /V} , если для лтобого интервала существуем полошодькое .}( (,] ') такое, что для любого 13) найдутся "ламенгы

¡^1 , ... ^ из р такие, «то для любы* I у $ «•

№¡¿3 > ^ ([¿) £ к ;

I ? с, \ л к >

(2)

•где

с, -- с, (Г)

о \

Здесь ае кратко описана схема метода БоЙкера - Шмидта для проведения нижних оценок размерности Хоусдорфз., а тшгао приведено естественное обобщение понятия регулярной систем! для точек на плоскости и дан ряд примеров регулярных систем точек на плоскости.

®^Берник Р.И. Метрическая теорема о совместном приближении нуля значениями целочисленных многочленов // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1980. - Т. 44, № I. - С. 24-35.

Во второй главе изучаются совместные прибликения нуля целочисленными полиномами специального вида. В метрической теории чисел задача оценки степени алпроксимации нуля целочисленными многочленами возникает в связи с классификацией действительных чисел, предложенной Малером. Доказывая известную гипотезу Малера, В.Г.Сприндаук^ показал, что точная верхняя грань \Х/ > О » для которых неравенство

1РМ1

для почти всех ¿0 & [й имеет бесконечное число решений в целочисленных полиномах Р(х) * степени и и высоты Н, равна Ц .

На случай совместных приближений этот результат ¿ыл обобщен В.И.Берником . Он в частности, нашел точную верхнюю грань тех %&> О » КО'ГОРЫХ бесконечное число решений в целочисленных полиномах Р(Х) ♦ Д™ почта всех Со- [сО/} ^ Ц^* имеет неравенство

Л 1Р{соЛ*Н

Главным результатом главы П является следующая теорема:

Теорема I. Пусть

- XX/

(I)

целочисленные полиномы порядка П. и высоты Н; СО - > ) ~ вещественней вектор. Пусть, далее (Си) - точная верхняя гоань ТЁК \Х/> О . для которых неравенство

1Р1и>,)1 ¡0(^)1-Н'""

имеет бесконечное число решений в парах полиномов $ (%) • Тогда, для почти всех СО ^ 17?

Результаты этой теоремы будут существенно использованы в главе Ш при построении регулярной системы на плоскости для оценки размерности Хаусдорфа множг -;тва М п,$ Теорема I имеет также самостоятельное значение так как приближения многочленами вида (I) можно рассматривать как обобщение понятия совместных приближений.

в монографии 6) поставлен вопрос о размерности Хаусдорфа ЯИГсства Мп(£„£г) - ^Х 6 ,

для которых система неравенств

;г - <*гI * Н 7 Jgí + рг> п+1

имеет бесконечное число решений в алгебраических сС ^ } 2 степени не выше ц и являющиеся корнями одного и того же целочисленного неприводимого многочлена высоты ^ .

Вопросам общего реиенип поставленной, а также других подобных задач посвящена глава Ш данной работы. В ней рассматриваются приближения ¡элементами-регулярных систем на плоскости с покоординатно различными показателями аппроксимации, В этом случае сначала доказываются леммы I:, 16, 17, являющие собой двумерный аналог леммы Бэйкера .- Шмидта, а потом на основе этих лемм оцениваются? снизу размерности различных множеств. Например, для множества Щ>» £ .£>{+£>..

получено (теорема 2)

---^ , у^

п + 4

¿2

> п+1

Подобным образом подучено точное значение размерности Хаусдорфа множества 5 тех ^^Д2 .

для которых покоординатная аппроксимация с порядками и производится корнями !£■ и @ многочленов Р (X.) и О (х.) соответственно, рассмотренных в главе П. Согласно теореме 3,при

И

V.

j>z . J- m

То, что вторые части формул для размерности в обоих рассмотренных выше случаях зависят только от одного параметра р 2 » может на первый взгляд показаться странным, но является лишь отражением факта перехода от фрактального множества с размерностью между двойкой и единицей к фрактальному множеству с размерностью между единицей и нулем.

Хорошо, известно, что оценка сверху тригонометрической

суммы

где суммирование ведется по простым числам р ) сА. - фиксированное действительное число, оС & (0,4) зависит от характера.аппроксимации числа сЛ рациональными дробями.

В 9) рассматривается вопрос о размерности Хаусдорфа мно- . жества тех сС €■ ■(&, 1) I для которых

Swy^TiiN) (in7WV

-F

o<S ± i ;

где - число простых с условием

/¿Р ^ N • При этом естественным образом возникает за-

дача определения размерности Хаусдорфа множества (X ß ) » которое определено ниже. ^

Для любых действительных чисел ¿%j3 ] 0 ft ß через £ обозначим множество тех ^¿е (Ü, J), Для

19' Pollioott М. // Israel Jornul of Math. - 19вв. - V. 55 -P. 199 - 212.

которых существует бесконечно много натуральных чисел А/ таких, что для любых целых чисел & > удовлетворяющих условиям Д/^ ^ а с /]/■# . (7)= 1 • выполняется неравенство ' ' '

I оС - I >

В главе Ш диссертации о множестве £ ( V ^ Д J установлено следующее ^ /

Теорема 4. Л' Г/ у. д ) = г

Этот результат получек автором диссертации совместно с В.Т.Вильчинским. Автору принадлежит оценка снизу.

Большое число приложений, которые имеют'лемма Бэйкера -Шмидта и диофантовы приближения элементами регулярных систем, является серьезным стимулом для создания их аналогов в Д -мерном случае. Этой задаче посвящена четвертая глава данной работы. В ней вводится понятие регулярной системы ^ /""* Д/у ¡^п)

в ¡¡^ . Рассматривается множество ¡^ .«.' (5" ) * ~ тех е для которых система неравенств •'

/§, - < М фГ6''

1£„-<г»1< (К

7) 1 — <3>»

имеет бесконечное число решений в (Г\ А//,..., ^

при Д/^ =•» • =• /Уд ' Теорема 5 дает оценку снизу размерности Хаусдорфа этого множества. В случае Л»/ из теоремы 5 можно извлечь ту же инфор шип для приложений, которая была извлечена из леммы Бэйкера - Шмидта во всех вышеприведенных примерах. В случае произвольного П она может послужить орудием для получения оценки снизу размерности Хаусдорфа, например, для множества { ... , ^Зл ) . построенного наподобии

Мп (^,/2) '

В заключении обсуждается одна гипотеза выдвинутая в 6), а также другие развития к приложения, которые могут иметь результаты данной диссертация.

Автор искренне признателен своему научному руководителю доктору физико-математических наук Бернику В.И., а также кандидату физико-математических наук Мельшщуку Ю.В. за постановку ряда задач, постоянное внимание и помощь.

Работы, опубликованные по теме диссптации

1. Домбровский И.?. Совместные приближения нуля многочленами с целыми рациональными коэффициентами // Тезины докладов всесоюзной конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (Дрогобыч, 30 мая 1989 г.). - Дрогобыч, 1989. - С. 59.

2. Домбровский И.Р. Совместные приближения действительных чисел алгебраическими числами ограниченной степени // Докл. ЛИ БССР. - 1989. - Т. 33, № 3. - С. 205-200.

3. Донбровский И.Р. Приближения нуля значениями целочисленных многочленов с заданным числом совпадающих коэффициентов // Тезисы докладов Всесоюзной школы "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел". - Минск, 1989. - С. 49.

4. Домбровский И.Р. Метрические характеристики совместных приближений нуля значениями многочленов с заданным числом совпадающих коэффициентов. - Мн., 1990. - 43 с. - (Препринт / АН БССР, Ин~т математики; № 9 <409)).

5. Домбровский И.Р. Множества типа конторовского и хорошо аппроксимируемые векторы в // Тезисы докладов республиканской конференции "Теория чисел и ее приложения". - Таш- 1 кент, 1990. - С. 35

6. Вильчинский В.Т., Домбровский И.Р. Размерность Хаусдорфа и оценки тригонометрических сумм по простым числам // Изв. АН БССР, сер. фио.-мат. наук. - 1990. - № I. - С. 3-6.