Аппроксимация нуля значениями аналитических функций специального вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДЛРСТВНШЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6

\

шин

Сакчимп ВЛЛДИМ!1Р0Ш1А

АППРОКСИМАЦИЯ НУДЯ ЗНАЧЕНИЯМИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Специальность 01.01.01 - "Математический анализ"

Автореферат диссертации на соискание ученой отепопя кандидата фиэико-матвматяческих наук

Минск 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Белорусского государственного педагогического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Берник В.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Радано Я.В. кандидат физико-математических наук, доцент Желуцввнч Ф.Ф.

Оппонирующая организация:

Гродненский государственный университет

Защита состоится ^ июня 1995 г. в 10 часов на заседании Совета по защите диссертаций К 056.03.05 в Белорусском государственном университете по адресу: 222050, г.Шнек, пр.Ф.Скоршш, 4, ауд.206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан мая 1995 г.

Ученый секретарь

Совета по защите диссертаций,

кандидат физико-математических .

наук, доцент МО^д^ Князев П.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При исследовании областей схсыгс .-•:•: ч единственности разложения функций в тригонометрический ряд, ¿яассифтсацяи римановых поверхностей, описании пппп

том г,™ смысле пренебрежимо малые. Это вызвало необходимость рассматривать различнее характеристики малости множеств. В формулировках теорем из области метричоской теории диофантовых приближений утверждается выполнение определенных алпроксимационных свойств для всех чисел или наборов чисел, за исключением множеств нулезой меры Лебега. В некоторых случаях метрическая характеристика числовых множеств, основанная на мере Лебега, оказывается слишком грубой. В настоящее время для описания различных характеристик малости множеств привлекаются такие понятия, как трансфинитный диаметр (ёмкость), потенциал, мера и размерность Хаусдорфа.

С метрической точки зрения анализируются не только задачи, касающиеся действительных и комплексных чисел, но также р-ацических чисел, формальных степенных рядов и вообще элементов всех пространств, в которые введена мэра.

Цель работы - исследование приближений нуля значениями яяататпчоскпх функций специального вида в терминах теории меры, ёмкости множества и размерности Хаусдорфа.

Методика исследования. В диссертации используется метод Бэйкера-Шмидта для оценок снизу размерности Хаусдорфа, а таете развитие метода существенных и несущественных областей, позволяющее получать оценки сверху для размерности.

Научная новизна. В диссертации получены теорема Т, позволяющая получать оценки размерности Хаусдорфа из оценок ёмкости некоторых множеств комплексных чисел; теорема 2, устанавливающая новую метрическую характеристику приближений точек комплексной кривой в С" и являющаяся аналогом теоремы Пяртли для комплексного, случая, а также получены оценки снизу и сверху размерности Хаусдорфа множества А/л( V) - множества комплексных чисел 2 , пум которых

неравенство ( Р { 5 )/ «г И имеет бесконечное число решений в целочисленных полиномах Р ( 2 ).

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при исследовании областей сходимости и единственности разложения функций в тригонометрический ряд, при описании особенностей аналитических и гармонических функций. Диссертация может служить материалом для чтения спецкурса по метрической теории дио-фантовых приближений, а также для чтения некоторых специальных разделов курса высшей математики.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались на математической конференции, посвящённой 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Шнек, 1992), на научно-практической конференции аспирантов ЕГПУ (Минск, 1993), семинарах кафедры математического анализа БГПУ (руководитель - доцент Стельмашук Н. Т.) и лаборатории теории чисел Академии наук Беларуси' (руководитель - профессор Бер-ник В.И.).

По теме диссертации опубликовано 6 работ, перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих II параграфов, и списка литературы из 69 наименований. Общий объём работы - 92 страницы машинописного текста.

' СОДЕРЯАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся краткий обзор литературы, связанной с темой диссертации, обосновывается актуальность темы диссертационной работы и кратко излагается ее содержание.

Первая глава посвящена понятиям трансфинитный диаметр и размерность Хаусдорфа, которые играют существенную роль в современных вопросах теории функции комплексного переменного как некоторые специфические способы измерения замкнутых множеств на комплексной плоскости.

В § 1.1 вводится понятие трансфинитного диаметра ограни-

ченного бесконечно замкнутого множества точек на плоскости

. Опираясь на тождественность трансфинитного диаметра я постоянной Чебымева, приводятся несколько предложениД на вычисление трансфинитного диаматра некоторых ограниченных замкнутых множеств, а также приводятся пш» у».«-

"Г^тгзо*.ишь »Winmotm». rpanCWrfilTHOPrt m»f '"JTJ2 «. li".J6wH9ri

Жордака, то есть к обычным мерам множества, принятым в анализе.

В § 1.2 рассматривается понятие размерности Хаусдорфа, применение которого в диофантовых приближениях оказалось наиболее плодотворным. Кроме традиционных применений в теории чисел и теории функций, это понятие оказалось тесно связанным о энтропией в теории вероятностей, и в самое последнее время обнаружилось содержательное использование его в теории динамических систем при описании турбулентного течения жидкости.

§ 1.3 посвящен связи трансфинитного диаметра и размерности Хаусдорфа. Доказана теорема I. позволяющая получать оценки размерности Хаусдорфа из оценок ёмкости некоторых множеств комплексных чисел: '

Если tif >• П — i И Сиг есть мно-

жество точек / 2 е (¡2 : l для бесконеч-

ного числа полиномов Р/з) <£ 2 [Р.] , то

dim Сиг -

Во второй главе рассматриваются метрические свойства одного класса аналитических функций, играющие важную роль в вопросах изучения малых значений последовательностей функций.

В § 2.1 рассматриваются диофантовы приближения на дифференцируемых многообразиях. Оценка сяизу_для модуля скалярного произведения F (¿С ) в ( 1/> , Д.),. где

а - ( о., ..., ао, я.-е z , у =

... . (Я )) и функции .....(JC)

rt + I раз непрерывно дифференцируемые функции действи-

тельной переменной ¿С , для которых вронскиан производных для почта всех ¿С. (в смысле меры Лебега) отличен от нуля, характеризует арифметические свойства точки ¿С , лежащей на 1фивой & Р . Определяя Ц л , # (иГ) как ^ множество х £ # , для которых неравенство имеет бесконечное число решений в векторах О- , через

(.'иГ) обозначим меру Лебега множества Один из основополагающих фактов теории диофантовых приближений состоит в том, что К Л , ф ( п ) - 8 ДЛЯ любой кривой ^ . В ряде задач математической физики возникает необходимость получать оценки снизу для более общих, чем кривых. При сделанных относительно 'Т предположениях Пярт-ли доказал, что щ К («О = 0 при пг^-лЧп .

В.И.Берником был установлен тот же факт, но ужа при ^г V

В § 2.3 доказывается теорема 2, устанавливающая новую метрическую характеристику приближений точек комплексной кривой в <£л и являющаяся аналогом теоремы Пяртли для комплексного случая.

Теорема 2: Пусть /< ( 2 ), ... , -/п{ 2) аналитические функции в круге А^.С 2 ) с центром в точке 2„ радиуса 2 > о. полопта, а « ( а*, а*.....я») &

ЛА(0), Трг ) а ( I, ■/, (а )..... (2 ) ),

Р{ £ ) = ( (X , •/ (г* ) скалярное произведение, ■ ^ = ^ ^ ' Тогда т почти ВС0Х 2 е № -2» ) неравенство //г/г)/ имеет при - 3

только конечное число решений в векторах а. .

Доказательство теоремы 2 базируется на большом количество вспомогательных лемм, изложенных в § 2.2.

Заключительная третья глава содержит применение размерности Хаусцорфа при изучении множеств комплексных чисял с заданным порядком аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов.

В § 3.1 приводятся леммы о многочленах, на которые будут опираться доказательства теорем об оценках снизу и сверху размерности Хаусдорфа множества А'п ("^О. Одни из лемм

iroiK • родственно переносятся из области действительных в области томплэксшл чисел, доказательство других требует ио-которих : ополнитолыгах рассуждений, связанных со спецификой ноля комплексных чисел.

Ti Ло.Чr"S"."ZZZCi gdiia4: ГВЯЗЛТППСС С ЬичИйлвнмем

оти Хяусдорфа, основную трудность составляет получение оценок снизу.

В § 3.2 вводится понятие регулярной системы точек, основанной в 1970 году Бэйкером и Шмидтом, позволяющей с единых позиций взглянуть на получение оценок снизу. Центр тяжести перемещается на конструирование регулярной системы точек, что во многих задачах весьма нопросто. Но затем оценка снизу получается единообразно с помощью результата Еэйке-ра и Шмидта.

В § 3.3 доказывается теорема 3 о регулярности множества алгебраически-комплексных чисел:

Для алгебраического d. через Н ( с^ ) обозначим высоту zt . Положим ^ ( 2 ) = 2 ^£'л/пТ7) . Тогда множество алгебраических с* с функцией ///*() — Ц*iHM)) обращуэт регулярную систему.

Обозначая через ( V) множество комплексных , таких, что для любого ^ гг существует бесконечно i.iiioro алгебраически-комплексных чисел ci степени не лоо п. , удовлетворяющих неравенству Jf — о(/< {4M)) здесь ш доказывается теорема 4:

При -V Ü—L имеем £

dem HJ^)

В § 3.4 и 3.5 устанавливаются оценки сверху размерности Хаусдорфа множества Мц (У), то есть множества комп-^ лекс[шх чисел 2- , для которых неравенство / Р/2)/ Н~ имеет число решений в целочисленных полиномах Р ( 2 ), в различных диапазонах изменония i/" . Доказываются следующие теоремы:

Теорема 5: При /г = 2 имеем сЬ'т Л^¡(Г) ^

_________________________ гГ-И

Теорема 6: Пусть Р{ 2 ) а. Л' , £ ). Обозначив

через У ( V) множество в & О , для которых неравенство IР ( г» ) / имеет бесконечное число решений в полиномах Р ( 2 ) с условием 0 ^ р, (..Р ) £ I. Тогда

сй-т А^ /<г) *

¿еорема 7: Цусть Р (2 ) & Р^ { М, £ ) и

¿а >■ ^ — . Тогда для множества Л^ (V)

имеем

ои -т

Г® /-Л „ М±1 - гау

Учитывая доказанные частные случаи, считаем в дальнейшем: Теорема 8; При - —^ V ^ 4 г) 3 имеем

¿2

1Г+/

сит А/п1тг) ^

В § 3.5 доказывается теорема 9: При V 4 П + 3 имеем

сй п1 Ма/тг) ^ п±£

1Г4У

• Параграфы 3.4 и 3.5-дате оценку размерности Хаусдорфа мно жаства Л^ ( V ) во всем диапазоне изменения параметра V .

Теоремы 8, 9 и 4 дают окончательный результат в ьнадизе размерности Хаусдорфа множества Ул ( V):

Ли Ы)- Ш

На защиту выносятся следующие результаты: I. Использование оценок трансфинитного диаметра для полу-

.«кия оценок сверху размерности Хаусдорфа множеств комплексных .,:сел, удовлетворяющих некоторым диофантознм ограничения:.,.

2. Опенка снизу для показателя степени, начиная с которой -.ацанная аппроксимация нуля значениями аналитических функций, выполняется только для множества кула^пз

•?. "олучспгз xúihuíx» яня««т»я разг&рсэсгз Suyunopga множества комплексных чисел с заданной мерой трансцендентности.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Берник Б.И., Сакович Н.З. Регулярные системы комплексных чисел.//Докл.Акад.наук Беларуси. - 1994. - Т.38, й 5. - С. 10-13.

2. Берник В.И., Сакович Н.В. Трансфинитный диаметр и размерность Хаусдорфа некоторых множеств комплексных счисел. //Линейные функционально-дифференциальные соответствия: Сб.научн.ст. /Г/инскя;: гос.пед.ия-т; Редсовет. Ю.А.Быкодоров и др. - 1&шск,

•593. - С. 71-75.

3. Ковалевская Э.И., Сакович Н.Б. Аналог теоремы Пяртли дот аналитических функций комплексного переменного. //Изв.Акад.наук :иларуси. Сер.фяз.-мат.наук. - 1394. - Уз 4. - С. 16-20.

4. Коваяовскал З.'Л., Сакович Н.З. О метрических свойствах од~ -ого класса аналитических функций. //Актуальные проблемы обучения и воспитания; Сб.ст. /Могилев, гос.под. ин-т; Ста. ред. .».В.;.'ацзчко. - ^огглэз, 1993. - С. 95-93.

гз. Ковалевская 3.::., Сакович Н.В. Применение метрической теории диофантовых приближений в поле комплексных чисел к задачам /атематическо": физики. //Международная математическая конферен-7*я, посвященная 200-летию со дня рождения К.И.Лобачевского,

3 декабря 1902 г.. Тез.докл.:.В 2 ч. /Акад.наук Респ.Беларусь, твлорус. гос. ун-т. Минский гос. пед. ин-т. - Минск, IS93. -:.:. - С. 16.

G. СаковХч II.У. Ацзнк! зверху памернасц1 Хаусдорфа мноствау самплексных л1кау, як1я мавдь зададзеную меру трансцзндэнтнас-//Удасканаленне прафес12на-педагаг1чнай дзейнасцГ у с/час-ia:i с1стзме апукацы1: 36. навук. арт. /Бел^руск1 дзяржауны 79Ц. ун-т; Рэдсавет: Б.А.Бенедз1ктау, М.Т.Стзльмашук I 1нш. -•Тнск, 1991. - С.195-291.

7. Сакович Н.В. Размерность Хаусцорфа и распределение значений целочисленных многочленов в С* //Изв. Акад. наук Беларуси. Сер. фив.-мат.наук..- 1995. й 2. -*с.П-14.

Резюме

Саков1ч Наталля Уладз1м1рауна "Апракс1ыацыя нуля значэнняк1 анал1т1ГЧШ1* tfiymmua onaimnrrr „от,о

1^>аисф1н1тны цыяметр, мера Лебега, памернасць Хаусцор$а, дыяфантавы набл1кэнн1, рзгуляриая с1стэма.

Даследавшш тэрэтыка-мноствавыя характарыстык1 шоствау > комплексных л 1кау, у як1х модул1 аналГгытаых функцыЗ спецыяль-нага выгляду з зададзеным парадкам апракс1мувдь нуль. Атрымана сувязь пам1ж трансф1н1тным дцямотраг.: I памеряасцю Хаусдорфа та-

к!х м'юствау. Лтрыманы аналаг тэарэмы Пяр?л1 з указанием г/яжы пераходу у мностза .тары нуль. Пабудазана рэгулярная с1стэма камплекснкх алгебра!чных л1нау, Даказаны камплоксны варшшт гТпотэзы Бэйкера-ВЫдта аб пакернасц1 Хаусдорфа мноствау л1кау з зададзенаи weраю трансдэндэнтнасц!.

Summary

SakoTicii liatalija Vladinirovm "Approximation of soro by valuoa of analytio opeoial f.'irm functions"

The capacity, Lebesque measure, Hausdorff dimension,

Diophantlno approximation, regular system

v/o investigate theoretic-oet charactcriatica of complex number oeto where modulus of analytic apeclal form functions approximate saro with given order. We find a connection between the capacity and Hauadorff dimensions of these sets. We 'get the analogy of PJartli's theorem where a boundary of a passage into the set of xero measure is indicated. We prove a complex variant of Baker-Schmidt's hypotaeois about Hauadorff dimension of number sets with given measure of transcendence.

Резюме

Сакович Наталья Владимировна "Аппроксимация нуля значениям аналитических функций1 специального вида"

Трансфинитнцй диаметр, мера Лебега, размерность Хаусдорфа, диофантовы приближения, регулярная система.

исследованы теоретико-множественные характеристики множеств комплексных чисел, в которых модули аналитических функций специального вида с заданным порядком аппроксимируют нуль. Установлена связь между трансфинитным диаметром и размерностью Хаусдорфа таких множеств.- Получен аналог теоремы Пяртли с указанием границы перехода во множество меры нуль. Построена регулярная система комплексных алгебраических чисел. Доказан комплексный вариант гипотезы Бэйкера-Шмицта о размерности Хаусдорфа множеств чисел с заданной мерой трансцендентности.

Сакович "Наталья Владимировна

Аппроксимация нуля значениями аналитических функций специального вида

Подписано к печати .os. 95.' Формат 60x84 I/I6 Бумага $ I. Объем п.л. Заказ Ji2¿3. Тираж 100 экз. Отпечатано на ротапринте Белгосуниверситета 220080 Шнек, ул.Бобруйская, 7.