Алгоритмы вычисления цилиндрических функций Бесселя и их нулей в комплексной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА I. Вычисление цилиндрических функций Бесселя в комплексной области . II

§1.0 вычислении цилиндрических функций

Бесселя. II

§ 2. Вычисление функции

§ 3. Вычисление функции Т ^

§ 4. Об асимптотических формулах для цилиндрических функций

ГЛАВА II. Комплексные нули функций (JL)f £ j и их производных

§ I. Вычисление нулей функций

I* (*)

§ 2. Вычисление нулей производных $ $ (i)

§ 3. О двойных нулях производных функций у* (*) и (z).

ГЛАВА III. Комплексные нули функции ее производных

§ I. Вычисление нулей функции Yv> в случае 1? ^ О

§ 2. Вычисление нулей производной Yjj (%) в случае О У/ 0.

§ 3. О комплексных нулях функции Y-tf (зЬ)f

§ 4. О комплексных нулях производной Y-? (zj

§ 5. О двойных нулях производных функции Yg (£)

ГЛАВА 1У. Комплексные нули функций Ханкеля //, (%■)

Н^ {%) , функции Бе с селя ^ и их производных

§ I. Вычисление нулей функций //Jj н .w.

§ 2. Вычисление нулей производных //. (%-) н'Г(*> » ./.

Заключительные замечания

Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенна из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках ( особенно в астрономии, механике и физике ). В ряде задач математической физики ( см., например [39] , [40] , [55] [7б] ) встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс ( иногда и тот и другой ) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью. В большинстве опубликованных работ, посвященных вычислению функций Бесселя, рассматривались случаи, когда: а) индекс и аргумент принимают действительные значения; б) индекс принимает целые или действительные значения, а аргумент - комплексные значения; в) индекс принимает чисто мнимые значения, а аргумент - действительные значения. При этом применялись различные методы вычислег-ния: разложения в ряды [47, с.375] , рекуррентных соотношений [27] , [70] , [71J , [46] , квадратурных формул [61] , [5ч] , [60] , [66] , [43] , [51] , [53] , [29] , [44] , [8l] , а также другие методы аппроксимации [22] , |~60] .

Для общего случая, когда индекс и аргумент принимают комплексные значения, опубликована работа [7] , в которой применяется метод перевала к интегралу Сонина-Зоммерфельда для бесселевых функций [21] . Однако реализация этого метода оказалась довольно сложной, а основанная на нем ФОРТРАН-программа работает очень медленно и имеет небольшую точность.

Укажем также следующие работы, в которых изложены алгоритмы или содержатся программы: работа [зо] содержит программу на языке АЛГОЛ для вычисления функций Бесселя и %L (2.) при комплексном i ; алгоритм основан на разложении в ряды и на квадратурных формулах; в [77] содержится ФОРТРАН-программа для вычисления функций J Щ и J ^ (2) при целых уи и комплексных £ ; алгоритм основан на рекуррентных соотношениях; в [26] приводится алгоритм и краткое описание ФОРТРАН-программы для вычисления функций , Y^ fe) , Н^ ,

Н^ С^) » при целых /и и комплексных g

При практической реализации тех или иных алгоритмов на ЭВМ оказывается, что в различных областях изменения аргумента и индекса приходится использовать различные методы. Поэтому разумная комбинация этих методов и выяснение областей их оптимальной применимости является важной задачей при вычислении функций Бесселя.

Помимо самих функций Бесселя и их производных во многих задачах механики, физики и др. используются нули этих функций. Во многочисленных работах, посвященных нулям функций Бесселя, в основном исследовались и вычислялись вещественные нули ( см., например, [18] , [28] , [49] , [69] , [82] ). Однако в ряде прикладных задач ( например, в задачах о конформных отображениях, осуществляемых при помощи функции Бесселя У у (%) (см. [56] ) возникает необходимость в вычислении мнимых нулей.

Нули функций Бесселя , Yy (?) > ^СЮ > nf(z) и их производных довольно часто возникают в задачах механики, решаемых методом интегрального преобразования Лапласа. Достаточно сослаться на некоторые задачи об обтекании тел в сверхзвуковой аэродинамике [59] , [75J , об устойчивости атмосферных течений [8] , [32] , в теории ; дифракции волн [5] , [21] и др.

Впервые обстоятельному исследованию комплексных нулей функции (5) посвятил свою работу [52] немецкий математик

- б

Гурвиц. Он предложил общий метод исследования нулей заданной аналитической функции, применил его к функции % ) и доказал теорему о числе и расположении мнимых нулей функции .

Применяя другой метод, к аналогичным результатам пришел англичанин Макдональд [64] . В дальнейшем довольно громоздкие доказательства Гурвица были сильно упрощены и дополнены ( см. [82 ,0. 483] , [57] , [68] ). /

Исследованию нулей производной (%} посвящена работа [57J , в которой доказывается теорема о числе мнимых нулей функции (%) ; в этой работе впервые поднимается вопрос о существовании двойных нулей функции Jj (%)

Исследованию мнимых нулей функции Y^ (2-J при целом fy посвящены работы [50 J и [73] ; в последней кроме качественного исследования нулей содержатся асимптотические разложения при больших И/ , позволяющие вычислять с небольшой точностью эти нули. ^

Среди работ, посвященных нулям функций Hj fe) следует отметить [65J , [82] , [9] , [l2] , [4l] , [42] , [б2] . Основополагающей здесь является работа Макдо-нальда [65J , в которой он исследовал нули в области^ не связанные с существенно особой точкой оо . В [82, с. 511] Ватсон продолжил эти исследования в область - Kfo ^ OA^'k ± Я 2С .

Что касается работ, посвященных вычислению мнимых нулей, то их, по-видимому, очень мало. В препринтах [3] , [4] , используя методы теории функций и известное разложение в цепную дробь отношения функций Бесселя, вычисляются мнимые нули функции У,) , однако результаты вычислений приведены только в виде графиков.

В работах [37] , [67J , подтверждая гипотезу Лензе [57J о существовании двойных нулей, вычисляются двойные нули функции с высокой точностью.

В [36] приведены первые 50 мнимых нулей функций Y^ (it) и Н^ с Ю дес. зн. для YU = 0 и I, вычисленные методом обратной интерполяции.

В работах [58J и [74] методом двумерной интерполяции вычислены комплексные нули функции %-уи (%) при Hs =2(1)10.

Однако в этих работах не проведено обстоятельное теоретическое исследование поведения нулей и не содержатся надежные методы выбора начальных приближений к нулям. Необходимость такого выбора вызвана сложностью поведения исследуемых функций вблизи мнимых нулей и, как следствие этого, расходимостью итерационного метода Ньютона при плохой начальной аппроксимации нуля.

Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов вычисления с большой точностью мнимых нулей всех цилиндрических функций Бесселя и их производных, когда индекс принимает вещественные значения. Предложенный подход позволяет аналитически оценивать все комплексные нули и выяснять закономерности их расположения, а также получать числовые значения нулей с высокой точностью. Построенный алгоритм основан на применении итерационного метода Ньютона, начальные приближения для которого находятся из приближенного решения некоторых трансцендентных уравнений.

Поскольку для применения метода Ньютона требуются вычисления функций Бесселя и их производных в комплексной области, а соответствующие для наших целей алгоритмы отсутствуют, то пришлось разработать и такие алгоритмы, о которых более подробно будет сказано ниже. Все разработанные алгоритмы реализованы в виде программ на языке ФОРТРАН для ЭВМ БЭСМ-б, по ним проведены многочисленные вычисления.

Переходим теперь к более детальному изложению содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена построению алгоритмов вычисления всех рассматриваемых функций Бесселя в комплексной области. На основе комбинации методов разложения в ряды, рекуррентных соотношений и асимптотических разложений строятся устойчивые алгоритмы вычисления этих функций с высокой точностью. При этом исследуются вопросы не только теоретической, но и практической сходимости известного метода рекуррентных соотношений, а также предлагается некоторая его модификация, позволяющая несколько ускорить соответствующие вычисления.

В последнем параграфе первой главы приводятся некоторые необходимые известные результаты из теории функций Бесселя. Здесь же приведены новые асимптотические формулы для функций Бесселя и их производных, которые в дальнейшем играют важную роль при вычислении нулей. Численная проверка этих формул показывает, что в определенных областях изменения аргумента и индекса эти формулы довольно хорошо приближают значения самих функций.

Во второй главе исследуются комплексные нули функций Бесселя , Ij (Зг) и их производных. Находятся приближенные формулы, позволяющие вычислять все комплексные нули функций

Зг) и Ij (&) , Кг ££0 ; строятся траектории в виде "лепестков") движения нулей при изменении V ; устанавливаются свойства расположения этих нулей на"глазообразной" кривой и чередования нулей функций и их первых производных и др. По разработанным алгоритмам вычислена таблица большого числа нулей с 8 дес. зн., часть из которых приведена в диссертации.

В § 3 главы 2 исследуются двойные нули первой, второй и третьей производных функций С/у и I j (%) , Показано, что на каждом единичном интервале изменения (-п-19 - faj » = 1,2 ., в правой ^ -полуплоскости существует по одному двойному нулю функций 4 (г; и Il(Zr) и по два двойных нуля функций ^ и j'y (zj . Вычислены и приведены по 100 первых двойных нулей этих функций с 8-9 дес. зн. и построены диаграммы образования и распада этих нулей. Показано, что для значений индексов в точках двойных нулей имеет место свойство стремления их дробных частей к определенным пределам.

В главе 3 исследуются нули функции Неймана Ytf (gj и ее производной. В §§ I и 2 исследуются мнимые нули функции и ее производной в случае ^7/0 . Так же как и для функции ^ fej показано, что нули определенным образом связаны с двумя особыми точками % ~ 0 и £ = с*? , и при увеличении ^ происходит постепенный переход нулей из области > 9 в область |j?| ^ 9 • Находятся аппроксимации нулей, строятся траектории их движения при изменении и приводятся таблицы первых 5 мнимых нулей функций Y^ и Y^ (%) с 8 дес. зн. для ) = 0(1)5.

В §§ 3 и 4 исследуются нули функций Y^ (%) и Y \} при ^ ^ 0 . Показывается, что при уменьшении )) нули в области \2:\движутся по лепесткам, аналогичным лепесткам нулей функций ^ (i) и ^Уу (%:) , а в области > --удаляются от начала координат некоторым немонотонным образом. Приведены траектории движения этих нулей, а также установлены свойства чередования мнимых нулей функции Y^ (Jt) и ее производной.

В § 5 исследуются двойные нули первой, второй и третьей производных функции Y9 . Показано, что на каждом единичном интервале изменения ^ = О» I» •••» существует один двойной нуль функции Y Два двойных нуля функции Yo • Помимо этого, как показано, существует один двойной нуль функции Y ^ (%) при > 0 . Вычислены и приведены по 100 первых двойных нулей этих функций с 8-9 дес. зн., установлены свойства стремления дробных частей индексов в точках двойных нулей к определенным пределам. ,В главе 4 исследуются комплексные нули функций (%) ,

Ю (г) н; (г) , ну & и их производных. Для нулей функций ^(г) и в области -1С/& ^ cw^Z с находятся аппроксимации, позволяющие вычислять эти нули с высокой точностью, а также строятся траектории нулей при изменении ^>,0. Показано, что здесь также происходит постепенный переход нулей из области |£|> ^ в область й $ , причем при каждом полуцелом значении индекса счетное множество этих нулей проходит через особую точку °° . Исследованы и вычислены некоторые нули в области < zЗГ, которые не были замечены предыдущими исследователями. Приводятся таблицы с 8 дес. зн. первых 5 нулей функций и Х9 (%) , - % ^ £ ^ зтс/х ,

V? = 0(1)5.

В заключительных замечаниях показан устойчивый алгоритм вычисления самих функций Бесселя, связанный с отсутствием комплексных нулей функций (%) , ^ (%) и 1\) (&) в области ^ , 9 > о , (ах/1 . Также отмечается использование результатов данной работы в ряде задач климатологии и др.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. На основе комбинации методов разложения в ряды, рекуррентных соотношений и асимптотических разложений строятся высокоточные и устойчивые алгоритмы вычисления всех цилиндрических функций Бесселя в случае, когда индекс и аргумент принимают как действительные, так и комплексные значения. Исследуется вопрос теоретической и практической сходимости метода рекуррентных соотношений и предлагается его модификация,

2. Приведены новые асимптотические формулы для функций Бесселя и их производных, которые использованы при вычислении комплексных нулей этих функций.

3. Разработаны алгоритмы, позволяющие аналитически и численно определять приближения для комплексных нулей всех цилиндрических функций и их производных в зависимости от вещественного индекса V . Построены траектории движения этих нулей при : изменении [) и исследованы различные свойства комплексных нулей функций Бесселя и их производных.

4. Обнаружены и исследованы двойные нули первой, второй и третьей производных функций (Щ и У^ (£) , рассмотрены вопросы об образовании и распаде двойных нулей в зависимости от изменения индекса.

5. Составлены программы, позволяющие эффективно вычислять все цилиндрические функции с 10 зн. ц. в случае, когда индекс и аргумент принимают как действительные, так и комплексные значения. В случае вещественных значений индекса составлены рабочие программы вычисления комплексных нулей всех цилиндрических функций и их производных. Вычислено и приведено большое количество комплексных и двойных нулей с 8-9 дес. зн., а также приведены графики и диаграммы, иллюстрирующие качественные характеристики комплексных нулей цилиндрических функций Бесселя.

1. Абрамов А.А., Балла К., Конюхова Н.Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Сообщения по вычислительной математике. М., ВЦ АН СССР, 1981.

2. Библиотека программ"№ I. ФОРТРАН, БЭСМ-6, ВЦ АН СССР. Т.П. Функции Бесселя комплексного аргумента и порядка COMBES. С 303.

3. Бородина И.Н. Вычисление нулей бесселевых функций с комплексным индексом. Препринт Ин-та теор» и эксперим. физ., М., 1975, fe 19.

4. Бородина И.Н. Комплексные нули функций Бесселн. Препринт Ин-та теор. и эксперим.физ., М., 1978, № 98.

5. Булдырев B.C., Молотков И.А. О нестационарном распространении волн в однородных и изотропных средах, разделенных цилиндрической или сферической границами. Учен. зап. Ленингр. ун-та, 1958, Ш 246, серия матем. наук, вып.32, 261-321.

6. Гельфонд А.О., Кубенская И.М. О теореме Перрона в теории разностных уравнений. Изв. АН СССР, 1953, Сер. матем., т.17, № 2, 83-86.

7. Гохфельд И.М. Вычисление и асимптотика цилиндрических функций с комплексным аргументом и индексом. Препринт Ин-та теор. и эксперим. физ. М., 1974, № 83.

8. Дикий Л.А. Об устойчивости плоскопараллельных потоков неоднородной жидкости. Прикл. матем. и механ., I960, т.24, № 2, с.249-257.

9. Дикий Л.А. О корнях функции Уиттекера и функции Макдональ-да комплексного индекса. Изв. АН СССР. Сер. матем., I960, т.24, 112 6, с.943-954.

10. Евграфов М.А. Новое доказательство теоремы Перрона. Изв. АН СССР, 1953. Сер. матем., т.17, Ш 2, 77-82.

11. Турина М.И., Кармазина J1.H. Таблицы модифицированных функций Бесселя с мнимым индексом УС^ (%) . М.: ВЦ АН СССР, 1967.

12. Заволженский М.В., Терсков А.Х. О нулях цилиндрических функций tfCfofe) . 1. вычисл. матем. и матем.физ., 1977, т.17, № 3, 759-762.

13. Керимов М.К., Скороходов С.Л. Вычисление комплексных нулей модифицированной функции Бесселя П рода и ее производных. ,1. вычисл. матем. и матем, физ., 1984, т.24, № 8, 11501163.

14. Керимов М.К., Скороходов С.Л. О вычислении комплексных лей функций Бесселя и и их производных. 1. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, т.24, № 10, 14971513.

15. Керимов М.К., Скороходов С.Л. О вычислении модифицированных функций Бесселя в комплексной области. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, т.24, № 5, 650-664.

16. Керимов М.К., Скороходов С.Л. Программа для вычисления модифицированной функции Бесселя второго рода , когда аргумент j? и индекс i принимают действительные и комплексные значения. П006245. Алгоритмы и программы. 1983, т.4, № 55, с.28.

17. Корнейчук А.А. Оценки решений линейных разностных и дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1965, т.5, 1 4, 768-773.

18. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. Перев. с нем. Виленкина Н.Я. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

19. Кублановская В.Н., Смирнова Т.Н. Нули функции Ханкеля и некоторых других функций, связанных с ними. Тр. Матем. ин-та АН СССР. М., 1959, т.53, с.186-191.

20. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.

21. Летрашень Г.И.," Смирнова Н.С., Макаров Г.И. Об асимптотических представлениях цилиндрических функций. Уч. зап. ЛГУ. Сер. матем., 1953, т.170, 1 27, 7-96.

22. Раппопорт Ю.М. Таблицы модифицированных функций Бесселя1. XJ •НаУка* 1979•

23. Скороходов СЛ. О вычислении комплексных нулей модифицированной функции Бесселя второго рода. Докл. АН СССРт.280, № 2.

24. Скороходов С.Л. О вычислении модифицированных функций Бесселя. Тр. 8 конф. молод, ученых МФТИ, г.Долгопрудный, 1983, ч.1, М., 1983, 60-64. Рукопись деп. в ВИНИТИ I ноября 1983, № 5927-83 Деп.

25. Скороходов СЛ. Программа вычисления модифицированной функции Бесселя первого рода J $ (2) о действительными и комплексными аргументом i? и индексом ^ . Л006571. Алгоритмы и программы, 1983, т.6, № 57, с.38.

26. Ardill R.W.B., Moriarty K.J.M. Accurate Bessel functions

27. Э*(*) • Y»(*b tith*) of integer order and complex argument. Comput. Phys. Communs, 1979, v. 17, № 3, 321-336.

28. Bessel functions. Part II. Functions of positive integer order. Eds Miller J.C.P. et al. British Assoc. Advancement Sci. Math. Tables. Vol. 10. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1952.

29. Bessel functions. Part III. Zeroes and associated values. Ed. Olver F.W.J. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1960.

30. Roy. Soc. Math. Tables. Vol. 7.)

31. Boris J.P., Oran E.S. Numerical evaluation of oscillatory-integrals such as the modified Bessel function УСс^ (x>J • J. Comput. Phys., 1975, v. 17, № 4, 425-433.

32. Burrel K.H. Algorithm 484. Evaluation of the modified Bessel functions and Xt (г) for complex arguments. Communs ACM, 1977, v. 17, № 9, 524-526.

33. Campbell J.B. Bessel functions Xp (S?) and УСp fzj of real order and complex argument. Comput. Phys. Communs, 1981, v. 24, № 1, 97-105.

34. Case K.M. Stability of an idealized atmosphere. I. Discussion of results. Phys. Fluids, 1960, v. 3, 2, 149-154.

35. Crus A., Sesma J. Zeros of the Hankel functions of real order and of its derivative. Math, of Comput., 1982, v. 39, № 160, 639-645.

36. Cruz A., Sesma J. Modulus and phase of reduced logarithmic derivative of the Hankel function. Math, of Comput., 1983, v. 41, № 164, 597-605.

37. Denef J., Piessens R., The asymptotic behaviour of solutions of difference equations of Poincare's type. Bulletin de la Societe Mathem. de Belgique., 1974, t. XXYI, № 2, 133-146.

38. Doring B. Complex zeros of cylinder functions. Math, of Comput., 1966, v. 20, № 94, 215-222.

39. Doring В. Uber die Doppelnullstellen der Ableitung der Besselfunktion. Angew. Inform., 1971, B. 13, № 9,402-406.

40. Drachman В., Chuang C.I. A table of two hundred zeros of the derivative of the modified Bessel functionand a graph of their distribution. J. Comput. and Appl. Math., 1981, v. 7, № 3, 167-171.

41. Ekman V.W. On the influence of the Earth's rotation on ocean-currents. Arkiv for matematik, astronomi och fysik, 1905, Bd. 2, № 11, 1-52.

42. Emde F. Passintegrale fur Zylinderfunktionen von komple-xem Index. Z. angew. Math, und Mech., 1939, Bd 19,101-118.

43. Falckenberg H. Die Anzahl der Nullstellen der Hankelschen Funktionen. Math. Zeitsch., 1932, 35, 457-463.

44. Falckenberg H., Hilb E. Die Anzahl der Nullstellen der Hankelschen Funktionen. Hachr. Akad. Wissensch. Gottin-gen, Math.-Phys. Kl., 1916, 190-196.

45. Gautschi W. Computational aspects of three-term recurrence relations. SIAM Rev., 1967, v. 9, № 1, 24-82.

46. Goldstein M., Thaler R.M. Recurrence techniques for the calculation of Bessel functions. Math. Tables and Other Aids Comput., 1959, v. 13, 102-108.

47. Hilb Е. Die komplexen Nullstellen der Besselschen Funkti-onen. Math. Z., 1922, В 15, 274-279.

48. Hillman A. On the reality of zeros of Bessel functions. Bull. Amer. Math. Soc., 1949, v. 55, № 2, 198-200.

49. Hillman A., Sherman I. Complex zeros of Y^ faj Y^ ( and Yjr fz) • Math. Tables and other Aids to Comput., 1949, v. 3, № 25, 351-352.

50. Hunter D.B. The calculation of certain Bessel functions. Math. Comput., 1964» v. 18, 123-128.

51. Hurwitz A. ttber die Uullstellen der Besselschen Punkti-on. Math. Ann., 1889, B. 33, 246-266.

52. Kiono Т., Murashima S. A method of evaluation of the function Mem* F30* Engrs Kyoto Univ., 1973,v. 35, № 2, 102-127.

53. Krumhaar H. Error estimate for Luke's approximation formulas for Bessel and Hankel functions. Z. angew. Math. undMech., 1965, v. 45, № 4, 245-255.

54. Lamb H. The theory of waves propagated vertically in the atmosphere. Proc. London Math. Soc., 1908, vol. 2, № 7, 122-141.

55. Magnus W., Kotin L. The zeros of the Hankel functions as a function of its order. Num. Math., 1960, v.2, 228-244.

56. Mason J.P. Cylindrical Bessel functions for a large range of complex arguments. Сотр. Phys. Comm., 1983, v. 30, 1-11.

57. McDonald J.H. Zeroes of the Bessel functions. Proc. London Math. Soc., 1898, v. 29, 575-584.

58. McDonald J.H. Zeroes of the Bessel functions. Proc. London Math. Soc., 1899, v. 30, 165-179.

59. Mechel F. Calculation of the modified Bessel functions of the second kind with complex argument. Math. Comput., 1966, v. 20, № 95, 407-412.

60. Heinhold J., Kulisch U. liber die Nullstellen der ersten

61. Ableitung von Besselfunktionen. Comput., 1966, B. 1, 119-126.

62. Obreschkoff N. Uber die Nullstellen der Besselfunktionen. Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 1929, B. 38, 156-161.

63. Olver P.W.J. Introduction to asymptotics and special functions. N. Y.: Acad. Press, 1974.

64. Olver P.W.J. Numerical solution of second-order linear difference equations. J. Res. Nat. Bur. Standards U.S.A,1967, v. В 71, 111-129.

65. Olver P.W.J., Sookne D.J. Note on backward recurrence algorithms. Math. Comput., 1974, v. 26, № 120, 941-947.

66. Olver P.W.J. Tables for Bessel functions of moderate or large orders. Nat. Phys. Lab. Math. Tables. Vol. 6. London: H. M. Stationary Office, 1962.

67. Olver P.W.J. The asymptotic expansion of Bessel functions of large order. Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A, v. 247, 1954, 328-368.74» Parnes R. Complex zeroes of the modified Bessel function 3Cn,(2) • Math* Comput., 1972, v. 26, № 120, 949-953.

68. Randall D.G. Supersonic flow past quasi-cylindrical bodies of almost circular cross-section. Great Britain Aeronaut. Res. Council Repts and Memoranda, № 3067, November, 1955. London: H. M. Stationary Office, 1958.

69. Schrodinger E. The proper vibrations of the expanding universe. Physica, 1939, v. 6, 899-912.

70. Sookne D.J. Bessel functions У and J of complex argument and integer order. J. Nat. Bur. Standards, 1973, B. 77, № 3-4, 111-114; 118-123; 133-136.

71. Stadje W. Probabilistic proofs of some formulas for Bessel functions. Proc. Koninkl. Nederl. akad. wet., 1983, v. A86, № 3, 343-359.

72. Table of the Bessel functions Yp (%) and for complex arguments. N.Y. Columbia Univ. Press, 1950.

73. Temme N.M. On the numerical evaluation of the modified Bessel function of the third kind. J. Comput. Phys.,1975, v. 19, № 3, 324-337.

74. Temme N.M. The numerical computation of special functionsby use of quadrature rules for saddle point integrals. II.

75. Gamma functions, modified Bessel functions and parabolic cylinder functions. Math. Centrum Amsterdam. Afdeing toegepaste wiskunde, 1978, TW 183/78, 1-53.

76. Watson G.N. A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1966. ( Русск. перев.: Ватсон Г.H. Теория бесселевых функций. Перев. с англ. Бермана B.C. М.: Изд-во иностр. лит., 1949 ).

77. Zahar R.V.M. A mathematical analysis of Miller's algo:-rithm. Numer. Math., 1977, v. 27, 427-447.