Возбуждение сфокусированных волновых мод движущимися источниками тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

'V'- ; п 1__

■ • ' Ч-' <■«

'? о лп- п На правах рукописи

«•> ••••я Ц>,\ ■)

СИМОНЕНКО Ирина Ивановна

ВОЗБУЖДЕНИЕ СФОКУСИРОВАННЫХ ВОЛНОВЫХ МОД ДВИЖУЩИМИСЯ ИСТОЧНИКАМИ

01.04.05 - оптика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1998

Работа выполнена в отделе квантовой электроники Научно-исследовательского института физики Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Борисов В.В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Нерух А.Г. кандидат физико-математических наук Уткин А.Б.

Ведущая организация - Военная Инженерно-Космическая Академия имени А.Ф. Можайского

Защита диссертации состоится " Я- 1998 г.

в ¿¿~5&>час. на заседании диссертационного совета К 063.57.10 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан " 2 £ " 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Тимофеев Н.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача формирования сфокусированных вЬлнбвых мод — волновых возмущений, локализованных в свободном пространстве и сохраняющих неизменной свою про-с+ранЬтйенно-временную структуру при распространении, составляет часть проблемы возбуждения направленных электро-магнйтйых полей (импульсов) движущимися источниками. Сфокусированные волновые моды первоначально были эвристически получёны Н. Бриттенгамом (1983) [1] и формально построены как установившиеся решения однородного волнового уравнения и системы уравнений Максвелла, удовлетворяющие специальному условию — "гауссовому" распределению на гиперплоскости — Плоскости, перемещающейся со скоростью фронта волны ([2], А. СёзгИнер, 1985). Позднее были получены сфокусированные волновые моды типа Бессель-Гаусс ([3], П. Оверфельт, 1991).

Теоретические исследования сфокусированных мод стимулируются нерешенными в настоящее время вопросами их реализаций. Известны три решения системы уравнений Максвелла, описывающие сфокусированные волновые моды и имеющие сходную структуру — установившиеся моды типа Гаусс, Эрмит-Гаусс [2], Бессель-Гаусс. Однако неясно, удовлетворяют ли такие решений принципу причинности, возможно ли возбуждение (формирование) сфокусированных мод и, в частности, реализующие их источники (П. Иллион [4], [5]), так как решение задачи формирования волновой моды типа Гаусс нулевого порядка и связанное с ним решение волнового уравнения с источником, бегущий rio линии со скоростью света [6], касаются простого случая аксиально-симметричных волн.

Целью данной работы является изучение формирования и распада сфокусированных волновых мод источниками, распределёнными на движущемся круговом контуре, и описание пространственно-временной структуры электромагнитных полей, возбуждаемых такими источниками. Основное внимание уделяется локализованным волнам типа Бессель-Гаусс.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены явные выражения, описывающие формирование и распад сфокусированных волновых мод типа Бессель-Гаусс порядка т в пространственно-временном представлении. В силу того, что поставленные в работе задачи — начальные, полученные решения волнового уравнения и системы уравнений Максвелла удовлетворяют принципу причинности. Предложенные источники позволяют ответить на вопрос о возможности возбуждения сфокусированных волновых мод типа Бессель-Гаусс. Проведено исследование формирования и распада установившихся мод типа Бессель-Гаусс порядка ш и определена пространственно-временная область их существования. Рассмотрено формирование направленных электромагнитных волн, имеющих сингулярности (особенности) на круговом контуре, принадлежащем волновому фронту. Такие волны соответствуют классу, ранее выделенному Г. Бейтманом (1915) [7], но их явное описание в пространственно-временном представлении в доступной нам литературе отсутствует.

Практическая значимость работы. Методика построения решений задач возбуждения волн источниками, распределенными на круговом контуре постоянного и меняющегося радиуса, может быть применена при решении различных задач электродинамики неустановившихся процессов. Полученные явные решения в пространственно-временном представлении целесообразно использовать при исследовании возбуждения волн сложной пространственно-временной структуры в оптике, геофизике, электронике, в задачах распространения волн (электромагнитные поля источников на контуре, покоящемся или движущемся с постоянной скоростью; волны точечных источников, движущихся по винтовой линии, или токов, распределенных на расширяющемся круговом контуре).

Результаты диссертационной работы представляются интересными в связи с теоретическими и экспериментальными исследованиями электромагнитных полей, сопровождающих поглощение жесткого излучения, где импульс макроскопического

тока, перемещающийся со скоростью света, формируется при поглощении энергии пакета у — квантов веществом [8], [9]. С темой работы непосредственно связаны прикладные проблемы создания нетрадиционных излучателей электромагнитных волн и диагностика неоднородностей естественного и искусственного происхождений.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1) Явные решения неоднородного волнового уравнения в пространственно-временном представлении в терминах неустановившихся мод цилиндрической системы координат, источники распределены на круговом контуре постоянного радиуса, покоящемся или движущемся со скоростью равной или меньшей скорости фронта сигнала.

2) Исследования формирования и распада сфокусированных волновых мод типа Бессель-Гаусс и пространственно-временной области их существования, возможные источники.

3) Явные решения в пространственно-временном представлении электродинамической задачи возбуждения волн с сингулярно-стями на фронте в терминах мод цилиндрической и сферической систем координат, источник — радиальный ток, распределенный на расширяющемся круговом контуре, принадлежащем сферической волновой поверхности.

4) Формирование направленных электромагнитных волн источниками на расширяющемся круговом контуре, в пределе переходящих к сфокусированным модам.

5) Установившиеся локализованные решения однородного и неоднородного телеграфных уравнений с коэффициентами, произвольно зависящими от переменной обобщающие известные сфокусированные моды типов Гаусс и Бессель-Гаусс.

Публикации и апробация работы.

Основные результаты исследований, изложенных в диссертации,

опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата, и докладывались на следующих конференциях: 15-th International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (june 27- july 1,1995, St. Petersburg);

International Seminar "Day On Diffraction* 97" (June 3-5, 1997, St. Petersburg);

Региональная ХХШ конференция по распространению радиоволн (28-30 октября, 1997, С. Петербург).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и двух приложений. Диссертация содержит 115 страниц основного текста, 14 рисунков. Список литературы включает 67 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по проблеме сфокусированных волн, обсуждается актуальность темы диссертационной работы, и формулируются основные научные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся основные уравнения, используемые в диссертационной работе и излагается методика построения их решений, которая состоит из следующих этапов [10]: векторы электромагнитного поля выражаем через скалярную функцию (однокомпонентный вектор Герца), тем самым векторную задачу сводим к скалярной; решение скалярной задачи строим с помощью метода неполного разделения переменных В.И. Смирнова (в цилиндрической системе координат отделяем радиальную и угловую переменные р и ср, в сферической системе координат — угловые переменные S, <р); уравнение, зависящее от временной переменной т и одной пространственной (переменная z в цилиндрической системе координат или переменная г в сферической системе координат) решаем методом Римана; в цилиндрической системе координат получаем явные решения в пространственно-

временном представлении с помощью известных выражений для интегралов, содержащих произведение трех функций Бесселя [11].

Во второй главе получены установившиеся решения однородного и неоднородного телеграфного уравнений в трехмерном пространстве с произвольными коэффициентами, зависящими от переменной ^ = с 1 - ъ, где с - скорость света. Решения представлены в виде разложения по модам цилиндрической системы координат. При определенных условиях на гиперплоскости пространственно-временная структура волновых функций сходна со структурой волновых мод типов Гаусс и Бессель-Гаусс. Обсуждаем применение полученных решений для описания электромагнитных волн (включая локализованные) в неоднородной среде за фронтом ионизации, движущемся со скоростью света, когда параметры среды — функции переменной ^ (время наблюдения, отсчитываемое с момента прихода фронта ионизирующего импульса в точку наблюдения).

Третья глава посвящена рассмотрению волн, возбуждаемых источниками, распределенными на круговом контуре (неподвижный контур или контур, начинающий в фиксированный момент времени поступательное равномерное движение со скоростью, меньшей или равной скорости света). Временная зависимость источника произвольна Получаем явные выражения для волновых функций в пространственно-временном представлении в виде разложений по неустановившимся модам цилиндрической системы координат. Коэффициенты разложения находим с помощью обратного преобразования Фурье-Бесселя, используя аналитические выражения для интегралов, содержащих произведение трех функций Бесселя. При перемещении контура со скоростью света выражение для волновой функции имеет простой вид:

2 1 Тт (х)

-1ехр(1шф)1ах Мт'(х))--(1)

с(т - г) ш Т (1 -х2)1/2

(р + а)2

где Т = шах [ 0,1/2 [х + г--]],

' 1 ' X - 2

постоянная а > 0, т = с 1 — временная переменная, 1т (х) — модифицированная функция Бесселя первого рода, Тт (х) — полиномы Чебышева первого рода, функции £ т(т (х)) определяются из Фурье-разложения источника (правой части волнового уравнения) б(р-а)

3 =——— 8(г-т)Г(ф, г>т), б(х-хо) — функция Дирака (2) Р

в ряд по тригонометрическим функциям. Приведенное соотношение — исходное для последующего анализа формирования и распада'сфокусированных волновых мод типа Бессель-Гаусс.

В четйёртой главе находим решения системы неоднородных уравнений Максвелла при нулевых начальных условиях. Полагаем, что отлична от нуля только радиальная составляющая вектора плотности тока. Выражая компоненты векторов электромагнитного поля в сферической системе координат через одноком-понентнЫй вектор Герца, приходим к скалярной задаче, уравнение которой сводим к волновому уравнению. Находим решение волнового уравнения в переменных цилиндрической системы координат с помощью неполного разделения переменных В.И. Смирнова и формулы Римана. Используя полученные разложения, составляющие векторов электромагнитного поля в сферической системе координат представляем в виде разложения по неустановившимся модам цилиндрической системы координат. Построенное разложение представляет собой ряд Фурье, коэффициенты которого записаны с помощью обратного преобразования Фурье-Бесселя. Выполнив обратное преобразование Фурье-Бесселя, находим явные решения волнового уравнения в пространственно-временном представлении для источников, распределённых на расширяющемся круговом контуре. Следуя "[12], мы строим разложение составляющих векторов поля в тер-

минах сферических гармоник (неустановившихся мод в сферической системе координат) для произвольного радиального тока и источников, распределенных на расширяющемся круговом контуре.

В пятой главе обсуждаем формирование и распад сфокусированных волновых мод, родственных модам Бессель-Гаусс. Мы получаем данные моды, как решение начальной задачи неоднородного волнового уравнения, описывающее как установившийся, так и переходной процессы, для источника, распределенного на круговом контуре, стартующего в начальный момент и движущегося поступательно со скоростью света и, одновременно, как решение однородного уравнения с условиями на двух гиперплоскостях (задача Гурса).

Полагая в выражении (2) f (ф, z, т) = F (ф ) exp (oci z + 0,21) и Т = 1

2 2 2

при выполнении условия т > (р + а) + z (установившейся процесс), приходим к разложению волновой функции, каждое слагаемое которого описывает сфокусированные волновые моды типа Бессель-Гаусс:

Ш

1 9

2 тг а p+a aap

--Ц Cm exp (i m ф) exp [ — [t + z--]]1т[-],

с (т - z) m 2 т -z t-z

где а = cti + а2.

Полученные результаты позволяют ответить на вопросы о соответствии сфокусированных волновых мод (р, ф, z, т) принципу причинности и о возможном их источнике. Отметим, что мы находим простое соотношение, связывающее слагаемые разложения решений неоднородного 4Vn и однородного уравне-

г in

ний = с/ л • д/ д §2 , £2 - с t + z, что существенно, так как интерпретация последнего вызывает затруднения. Распад

сфокусированных волновых мод рассматриваем исходя из решения более общей задачи, учитывающей конечное время существования источника.

Используя результаты главы 4, строим решения, описывающие направленные волны, возбуждаемые источниками на расширяющемся круговом контуре, в пределе переходящие к сфокусированным волновым модам нулевого порядка. Рассматриваемая задача существенно нестационарна, установившийся режим у данных волновых мод отсутствует. Такие решения позволяют дать описание особенностей пространственно-временной структуры электромагнитных полей, возбуждаемых при поглощении расходящегося жесткого излучения.

В первом приложении даётся анализ системы уравнений Максвелла в переменных Р, ф.

Во втором приложении кратко обсуждаем особенности частоты электромагнитных волн, включая сфокусированные волновые моды, возбуждаемые источниками, перемещающимися со скоростью света по прямой линии.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) Получены установившиеся решения однородного и неоднородного телеграфных уравнений с коэффициентами, произвольно зависящими от переменной с\-г. Установлено простое соотношение, связывающее решения однородного и неоднородного телеграфных уравнений. Найденные волновые функции обобщают известные установившиеся сфокусированные моды типов Гаусс и Бессель-Гаусс. Показано, что сфокусированные моды типа Бессель-Гаусс не удовлетворяет гауссовому поперечному распределению тока (или гауссовому условию на гиперплоскости 2; 1=0).

2) Получены явные решения в пространственно-временном представлении начальной задачи возбуждения электромагнитных волн источниками (током), распределёнными на круговом контуре постоянного радиуса, покоящемся или движущемся со ско-

ростью меньшей или равной скорости света, временная зависимость источника — произвольна Волновые функции (и, соответственно, выражения для составляющих вектора магнитной индукции) описывают как установившийся режим, так и процесс его установления.

3) Построены решения системы неоднородных уравнений Максвелла в терминах мод цилиндрической системы координат для произвольного радиального тока. Разложение векторов электромагнитного поля в сферической координатной системе — ряд Фурье, коэффициенты которого представлены в виде обратного преобразования Фурье-Бесселя.

4) Получены явные решения начальной задачи для волнового уравнения в пространственно-временном представлении в случае источника, распределённого на расширяющемся круговом контуре, принадлежащем сферической волновой поверхности, в терминах мод цилиндрической системы координат. Найденные волновые функции позволяют описать электромагнитное поля радиального тока, при этом вычисление составляющих вектора индукции магнитного поля сводится к дифференцированию.

5) Для волновых функций (и связанных с ними составляющих вектора магнитной индукции) построены явные выражения в пространственно-временном представлении в терминах сферических гармоник; источник распределен на расширяющемся круговом контуре, принадлежащем сферической волновой поверхности.

6) Получено корректное описание волновых функций, имеющих сингулярности на круговом контуре, принадлежащем волновому фронту (класс решений, выделенный Г. Бейтманом [7]).

7) Найдены решения неоднородного и однородного волновых уравнений, описывающие как установившийся режим (сфокусированные моды типа Бессель-Гаусс), так и переходной процесс. Определена пространственно-временная область существования установившегося режима. Рассмотрено формирование и распад волновых мод типа Бессель-Гаусс; источник волн распределен на круговом контуре постоянного радиуса, движущемся

со скоростью света. Найдены соотношения, связывающие решения неоднородного и однородного уравнений, что позволяет интерпретировать решения последнего.

8) Для источников на расширяющемся круговом контуре, построены волновые функции, описывающие направленные волны, в пределе переходящие к сфокусированным волновым модам, что дает возможность адекватно описать пространственно-временную структуру электромагнитных полей, возбуждаемых при поглощении расходящегося жесткого излучения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Brittingham N. Focus wave modes in homogeneous Maxwell's equations: transverse electric mode. J.Appl.Phys. 1983, V. 54, pp. 1179-1189.

2. Sezginer A. A general formulation of focus wave modes. J. Appl. Phys. 1985, V. 57, pp. 678-683.

3. Overfelt P.L. Bessel-Gauss pulses. Phys. Rev. A 1991, V. 44(6), pp. 3941-3947.

4. Hillion P. Nondispersive waves: interpretation and causality. IEEE Trans.Anten.Prop. 1992, V. 40, pp. 1031-1035.

5. Hillion P. A dilemma with causality. IEEE Trans. Anten.Prop. 1989, V. 37, pp. 1604-1608.

6. Борисов В.В. Электромагнитные поля неустановившихся токов. С.-Петербург, Изд. С.-Петербургского университета, 1996, 207 с.

7. Бейтман Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн. М., 1958, стр. 180.

8. Longmire C.L. On the electromagnetic pulse produced by nuclear explosions. IEEE Trans. EMC Сотр. 1978, V. 20(1), pp. 3-13 .

9. Karzas W.J., Letter R. Detection of the electromagnetic radiation from nuclear explosion. Phys.Rev. В 1965, V. 137(5), pp. 1369-1378.

10. Мананкова A.B. Электромагнитное излучение источников над

и

идеально проводящей расширяющейся сферой. Известия вузов, радиофизика, 1972, т. 15(2), стр. 211-220.

11. Macdonald Н. М. Note on the evaluation of a certain integral contaning Bessel's functions. Proc. of London Math. Society. Ser. 2, 1909, Vol. 7, pp. 142-149.

12. Borisov V.V., Manankova A.V., Utkin A.B. Spherical harmonic representation of the electromagnetic field produced by a moving pulse of current density. J.Phys. A: Math. Gen., 1996, V. 29, pp. 4493-4514.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Borisov V.V., Simonenko I.I. Transient waves generated by a source on a circle. Journal of Physics A 1994, V. 27(18), pp. 6243-6252.

2. Borisov V.V., Ivanov E.I., Simonenko I.I., Smirnov V.B. On electromagnetic waves generated by the spike pulse of hard radiation. SPIE 1996, V. 2796, pp. 197-201.

3. Borisov V.V., Simonenko I.I. Formation of Bessel-Gauss focus wave modes. Can J.Phys. 1997, V. 75, pp. 573-579.

4. Borisov V.V., Simonenko I.I. Construction of Bessel-Gauss type solution for the telegrath equation. J.Phys. I France 1997, V. 7, pp. 923-930.

5. Borisov V.V., Simonenko 1.1. Transient waves produced by a source on the expanding circle. Proceedings of Day on Diffraction-97, St.-Petersburg, june, 1997, pp. 80-85.

6. Borisov V.V., Simonenko I.I. Transient waves produced by a source on the expanding circle. Abstracts Trans Black Sea Region Symposium on Applied Electromagnetism, Greece, Hellas, april 1996, p. 4.

7. Борисов B.B., Валиев Ф.Ф., Симоненко И.И. Формирование электромагнитных волн узконаправленными у- квантами и частицами высокой энергии. Тезисы международного совещания "Свойства ядер, удалённых от долины стабильности", Обнинск, июнь 1997, стр. 328.

8. Симоненко И.И. Неустановившиеся волны источников, распределённых на круговом контуре с меняющимся радиусом. Тезисы ХХШ региональной конференция по распространению радиоволн, С.-Петербург, октябрь 1997, стр. 82.