Резонансные эффекты при излучении волн в стратифицированных сдвиговых потоках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

О "Л

V \ " На правах рукописи

11 т

&

РЕЗНИК Станислав Николаевич

РЕЗОНАНСНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ПОЛУЧЕНИИ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СДВИГОВЫХ ПОТОКАХ

01.04.03-радиофйзика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фиаико-математическнх наук

Н.Новгород - 1997

Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород.

Научный руководитель:

кандидат физ.-мат. наук, Ю. И. Троицкая

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук Ю.В. Чугунов,

кандидат физ.-мат. наук, O.P. Козырев.

Ведущая организация: Нижегородский научнотисследовательский

радиофизический институт

Защита состоится " аз» ЛЛ&Л- 1997 года часов на заседании диссертационного совета Д 063.77.09 при ННГУ им.. Н.И. Лобачевского по адресу: 603600, г. Нижний Новгород, проспект Гагарина 23, ННГУ,корп. 4,радиофизический ф-т,ауд. $0*3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.В. Черепенников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Черепковское получение быстро движущихся источников в покоящихся средах представляет собой хорошо изученную-область гидродинамики и электродинамики. Случай, когда среда представляет собой плоскопараллельный поток, скорость которого зависит от поперечной координаты, изучен мало. Здесь наибольший интерес представляет ситуация, когда скорость движения источника совпадает со скоростью потока на некотором уровне. В окрестности этого уровня реализуется резонансный механизм взаимодействия волн с потоком.

Независимо от конкретной физической природы исследуемого излу-чения(радио, акустика, волны в плазме, внутренние гравитационные волны и т.д.), указанный резонансный механизм приводит к эффектам типа неустойчивости волн в потоках либо к их затуханию. При этом в обмене энергией с волной принимают участие частицы, движущиеся со скоростями, близкими к фазовой скорости волны, а направление энергообмена определяется разностью чисел частиц, обгоняющих волну и отстающих от нее в окрестности резонанса. Имеется плазменно-гидр о динамическая аналогия: сходство резонансного взаимодействия в гидродинамических потоках нестратифицированной жидкости и кинетических эффектов типа затухания Ландау плазменных волн. Эти эффекты объясняются черепковским излучением и поглощением плазменных волн быстро движущимися электронами.

В случае распространения внутренних гравитационных волн в стратифицированной жидкости важную роль играет значение числа Ричардсона Ri = N2¡и2г) (N - частота Вяйсяля, uz - градиент скорости течения), взятого в критической точке. При Ric <1/4 возможно усиление волн при резонансном взаимодействии в окрестности критического уровня(критическом слое). При Ric > 1/4 хорошо известен результат, состоящий в том, что в линейном приближении энергия волны поглощается в критическом слое. Влияние поглощения в критическом слое на черенковское излучение волн движущимся источником, радиационную силу и динамику среднего течения до сих пор не рассматривалось. Настоящая работа представляет собой попытку восполнить этот пробел на примере внутренних гравитационных волн. При этом будут использоваться методы, применяемые обычно в радиофизике при исследовании задач, связанных с распространением волн в неоднородных средах.

Измерения, проведенные за последние несколько десятков лет показали, что внутренние волны играют большую роль в процессах вертикального обмена в атмосфере и океане, поэтому изучение механиз-

мов их генерации представляет собой важную практическую задачу. К основным источникам внутренних волн в океане относятся: а) Пульсации атмосферного давления и напряжения трения ветра, спектральные компоненты которых удовлетворяют дисперсионному соотношению для внутренних волн, б) Поверхностные волны, генерирующие внутреннюю волну в результате резонансного трехволнового взаимодействия, в) Приливы, г) Сдвиговые течения. Генерация внутренних волн сдвиговыми течениями происходит в результате неустойчивости последних. Необходимым условием появления такой неустойчивости является Ш < 1/4 в какой-либо точке потока(Яг = тт[Ы2¡11^, Ы2/У^] > 1/4 -минимальное градиентное число Ричардсона) д) Неровности подстилающей поверхности(дна), обтекаемые крупномасштабными течениями.

Оценки, приведенные в показывают, что потоки энергии от этих источников к внутренним волнам примерно одного порядка, но в пределах нижнего километрового слоя океана главным источником внутренних волн является именно д). Особенно важна роль этого источника внутренних волн в атмосфере, где характерные значения чисел Ричардсона велики (порядка 100) и поток динамически устойчив. Основной характеристикой эффективности излучения внутренних волн является сила волнового сопротивления, действующее на препятствие в потоке. Изучение генерации внутренних волн при обтекании крупномасштабными а/гмосферными течениями горных систем, а также взаимодействия генерируемых волн с течениями и деформации последних является, поэтому, важной практической задачей. В связи со сложностью таких задач для реальных атмосферных течений и горных рельефов представляет интерес рассмотрение простых теоретических моделей, позволяющих выяснить основные особенности картины подветренных волн и волнового сопротивления. В последние годы подробно изучены модели генерации внутренних волн двумерными или трехмерными неодноднородностями дна при обтекании двумерными потоками стратифицированной жидкости с различными профилями и 11 (г), а также погруженными телами, движущимися в покоящейся жидкости. При этом, однако, не изучался случай, в котором скорость потока на некотором уровне совпадает со скоростью обтекаемого препятствия. На этом уровне возникает критический слой (КС) для подветренных волн, в котором их фазовая скорость совпадает со скоростью потока. Хорошо известно, что КС является областью сильного взаимодействия волн с потоком, в его окрестности происходит интенсивное поглощение или излучение волн, а также их сильная рефракция, поэтому присут-

ствие КС в потоке оказывает значительное влияние как на картину подветренных воли, так и на силу волнового сопротивления, действующую па препятствие.

Критические слои для подветренных волн действительно существуют при обтекании препятствий реальными атмосферными течениями. При обтекании неподвижных препятствий двумерными сдвиговыми потоками критические уровни для подветренных волн появляются в том случае, когда скорость потока обращается в нуль на некоторой высоте, а выше - меняет направление. В то же время измерения показывают, что в реальных атмосферных условиях скорость ветра не обращается в нуль, а меняет направление в некотором диапазоне высот - велопауое, так что течение является трехмерным. При этом, как будет показано ниже, в потоке всегда присутствуют критические уровни для отдельных гармоник внутренних волн, излучаемых препятствием.

Стационарная постановка задачи обтекания препятствия потоком является идеализацией. В реальных условиях источник изучения внутренних волн появляется в стратифицированной среде в некоторый момент времени, так что стационарная картина подветренных волн устанавливается не сразу, а по прошествии некоторого времени, поэтому представляет интерес рассмотрение нестационарных процессов генерации внутренних волн. Вопрос о временной динамике силы волнового сопротивления, действующего на препятствие в потоке с нестационарным КС до сих пор не рассматривался. Здесь наряду с волнами непрерывного частотного спектра излучаются также свободные моды дискретного спектра, что определяет особенности волнового сопротивления локализованной неоднородности дна, возникающей в некоторый момент времени в стратифицированном сдвиговом потоке.

Существенно более сложными оказываются задачи обтекания препятствия потоком в случае, если КС - сильно нелинейный. Гармонические внутренние волны, распространяясь в потоке с нелинейным КС деформируют профиль среднего течения. В предыдущих работах было показано, что наиболее сильная деформация происходит в случае устойчивого потока(Дг > 1/4). Представляет интерес применить результаты этих работ к исследованию обтекания стратифицированным сдвиговым потоком синусоидального гофра.

Таким образом, для решения задачи о динамике трехмерного потока над горным массивом необходимо построение относительно простых двумерных и трехмерных, а также нестационарных и нелинейных моделей обтекания препятствий потоками с КС. Деформация пото-

ка над горным массивом определяется силой волнового сопротивления, действующей на него, поэтому расчет этой силы в каждом конкретном случае является важным.

Целью работы является исследование качественных особенностей распространения внутренних волн и волнового сопротивления неодно-родностей в стратифицированных сдвиговых потоках с крититически-мп слоями для излучаемых ими волн.

Научная новизна работы: Вычислена сила волнового сопротивления, действующая на двумерные и трехмерные неоднородности в стратифицированных сдвиговых потоках с критическими слоями. Рассмотрены случаи двумерных и трехмерных неоднородностей. В случа.е умеренных и больших чисел Фруда и умеренных чисел Ричардсона она в несколько раз превышает соответствующую величину для однородного потока с той же скоростью обтекания.

Рассчитаны временные ¡зависимости силы волнового сопротивления, действующей на двумерную неоднородность, формирующуюся по определенному временному закону в стратифицированном потоке с нестационарным КС. При малых числах Фруда эта зависимость сильно от-, личается от квазистационарной благодаря значительному вкладу волн дискретного спектра.

В рамках квазилинейного приближения исследована деформация потока, меняющего направление с высотой, над твердой случайно - неоднородной поверхностью. Показано, что плотность энергии потока не меняется со временем, а его деформация определяется средней силой волнового сопротивления, действующей на единицу площади обтекаемой поверхности.

Исследована временная эволюция стратифицированного сдвигового потока над синусоидальной поверхностью в режиме с квазистационарным КС. Показано, что перепад завихренности через КС зависит от времени осциллирующим образом. Эта зависимость найдена при условии слабого отражения волны от КС методом возмущений.

Научная и практическая ценность работы: Проведенное в работе исследование особенностей черепковского излучения источников в среде с резонансными уровнями может быть применено к задачам геофизической гидродинамики, в частности - к исследованию орографических возмущений в потоках с велопаузой над горными массивами.

. Исследование зависимостей волнового сопротивления, действующего на неоднородности границы, от параметров потока и неоднородно-стей, может быть применено для улучшения численных моделей, описывающих динамику ветра над топографией.

Нестационарная модель, рассмотренная в работе, применима также для рассчета волн, излучаемых топографической неоднородностью, в условиях порывистого ветра.

Результаты, полученные при изучении деформации потока над двумерными и трехмерными неоднородностями подстилающей поверхности, могут быть полезны при тестировании численных моделей, описывающих динамику ветра над реальными горными массивами.

Апробация работы:Основные результаты работы докладывались на Международной школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости"(Москва 1993), Международной конференции "Динамика атмосферы и океана"(Москва 1996), Генеральной ассамблее Европейского Геофизического общества(1996), а также на семинарах ИПФРАН.

Структура и обьем диссертации Диссертация состоит из Введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 160 страниц, включая список литературы из 98 наименований и 37 рисунков.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Найдена сила волнового сопротивления, действующая на двумерное локализованную неоднородность дна в стратифицированном сдвиговом потоке. Показано, что присутствие КС сильно влияет на величину волнового сопротивления. В частности: а) При умеренных и больших числах Фруда и умеренных числах Ричардсона волновое сопротивление в несколько раз больше, чем в случае однородного потока с той же скоростью обтекания неоднородности, б) При малых числах Фруда и умеренных числах Ричардсона волновое сопротивление в потоке с КС меньше, чем в случае однородного потока.

2. Впервые найдена горизонтальная компонента радиационной силы, действующей на тело, движущееся в потоке с КС. Подробно изучены ее зависимости от параметров потока.

3. Показано, что критические слои всегда присутствуют при получении волн неоднородностями в потоках, поворачивающихся по высоте независимо оттого, какова зависимость модуля скорости от высоты.

4. Получено выражение для силы волнового сопротивления, действующей на нестационарную неоднородность в стратифицированном сдвиговом потоке с КС.

5.Показано, что модуль скорости потока, возникающего в некоторый момент времени над твердой случайно-неоднородной поверхностью и меняющего направление с высотой, не меняется со временем, а зависимость угла, определяющего направление скорости потока, от вертикальной координаты и времени, удовлетворяет уравнению простых волн.

6. Показано, что при слабом отражении волны, излучаемой неподвижным синусоидальным гофром, от КС, профиль среднего течения осциллирует со временем. Найдена зависимость силы волнового сопротивления, действующего на период гофра, от его высоты.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обоснование постановки задачи и краткое описание современного положения дел в этой области, сформулированы цели и кратко изложено содержание диссертации.

В 1-й и 2-й главах исследованы особенности волнового сопротивления двумерных и трехмерных локализованных неоднородностей в установившихся стратифицированных сдвиговых потоках, содержащих КС. В начале 1-й главы дан обзор теоретических и экспериментальных работ по обтеканию препятствий однородными потоками стратифицированной жидкости.

Наиболее простая модель обтекания двумерной локализованной неоднородности дна потоком с постоянными сдвигом и частотой Вяйсяля (Яг > 1/4), скорость которого обращается в нуль на некоторой высоте над поверхностью, а выше - меняет направление, рассмотрена в п.1.1. Высота препятствия предполагается малой, так что для описания волнового поля справедливо линейное приближение как внутри, так и вне КС. Основными параметрами задачи являются числа Ричардсона Ш и Фруда Рг = VIЫа, где II - скорость обтекаения, а -ширина препятствия. С использованием правила обхода Линя получено выражение для пространственной фурье - компоненты функции тока возмущений. Достаточно простые выражения для волнового поля получаются при /V « 1, Ш > 1, когда она определяется лишь длин-

новолновыми компонентами излучаемых препятствием волн, а также в случае больших чисел Ричардсона, когда для описания волнового поля справедливо ВКВ-приблнжение. Показано, что волновое поле спадает при удалении от препятствия при произвольных значениях чисел Ш и Рг. Вычислена горизонтальная сила, действующая на препятствие благодаря излучению им внутренних волн. Выражение для волнового сопротивления может быть записано в виде:

В = ГГ) = 4Гг),

г Г г Г

оо

о

где Ф(к/Гг) = £(ка)/На - безразмерный спектр возвышения, к = - безразмерное волновое число.

Функция f имеет смысл потока импульса, уносимого к-й гармоникой единичной амплитуды от препятствия и поглощаемый затем в КС. Заметим, что при постоянных N1111 предел Ш —> оо соответствует однородному потоку, обтекающему препятствие со скоростью С/. В этом случае передаточная функция:

Г к^/(1-к2),0<к< 1

1 0, к > 1

Главное отличие передаточных функций в сдвиговом и в однородном потоках состоит в том, что в случае сдвигового потока / отлично от нуля, строго Говоря, при любом /с, а в случае однородного - только при к < 1. Это отражает тот факт, что в однородном потоке волны при к > ко = N/11 становятся неизлучаемыми, т.е. зависимость амплитуды от вертикальной координаты становится экспоненциальной, поскольку локальная частота волны оказывается больше частоты плавучести, и они не дают вклада в волновое сопротивление. В неоднородном потоке локальная частота стремится к нулю при приближении к КС, поэтому те волны, амплитуда которых зависела от г по экспоненциальному закону вблизи поверхности, становятся распространяющимися при приближении к КС. В результате, строго говоря, все гармоники возмущения вносят вклад в волновое сопротивление. С этим связано основное отличие зависимостей волнового сопротивления от параметров течения в однородном и сдвиговом потоках. Исследование зависимости волнового

сопротивления от параметров Ш и показало, что при Рг ~ 1(случай наиболее интенсивного получения волн и умеренных Ш волновое сопротивление в несколько раз превышает соответствующую величину в однородном потоке(Дг = оо). В случае же Рг « 1, когда волновое сопротивление определяется, длинными волнами, его величина несколько падает из-за уменьшения коэффициента возбуждения длинных воли в присутствии сдвига. Далее обсуждаются границы применимости стационарного приближения.

Для того, чтобы выяснить, к каким новым эффектам приводит расположение тела на некоторой высоте с/ над поверхностью, в п.1.2 рассмотрена задача о движении тела в потоке(его характеристики такие же, как и в п.1.1, скорость которого на некоторой другой высоте го совпадает со скоростью тела. Как и в п.1.1, волновое поле оказывается спадающим при удалении от тела. В отличие от результатов п.1.1, горизонтальная сила, действующая на тело, складывается из волновых потерь засчет поглощения в КС волн, излучаемых телом, и горизонтальной компоненты подъемной силы, возникающей в потоке с завихренностью в присутствии волновой вертикальной компоненты скорости. Знаки этих сил противоположны. Передаточные функции, имеющие тот же смысл, что ц в п. 1.1 зависят, кроме волнового числа, еще и от параметра ¿/гц. При некоторых значениях волнового числа (с1/го > 0 -фиксировано) они обращаются в нуль. Это происходит потому, что для таких значений к падающая на КС и отраженная от поверхности волны равной амплитуды складываются в противофазе на высоте </, где расположен источник, и соответствующая гармоника не излучается. При умеренных числах Ричардсона и малых числах Фруда "подъемная сила" может превосходить волновые потери и полная волновая горизонтальная сила, действующая на тело, станет отрицательной.

Как говорилось выше, скорость потока в реальных атмосферных условиях не обращается в нуль, что необходимо для существования КС для подветренных волн в двумерном потоке, а плавно меняет направление с высотой в велопаузе, поэтому необходимо рассмотрение трехмерных моделей. Во 2-й главе рассмотрена задача о волновом сопротивлении трехмерного локализованного препятствия при обтекании стратифицированным ветром, одна компонента которого однородна по вертикали, а другая имеет постоянный сдвиг. При этом волновое сопротивление представляет собой сумму вкладов двух компонент спектра: непрерывного и дискретного. В качестве примера рассмотрены два типа неоднородностей: горный хребет и симметричное препятствие. По-

строены ¡зависимости волнового сопротивления от параметров задачи. Производится сравнение со случаем однородного потока.

В п.1.1 указано, что стационарное приближение в реальных условиях не всегда справедливо, поэтому требуется рассмотрение нестационарных моделей. В третьей главе рассматривается нестационарная модель генерации внутренних волн в потоках с КС. Рассмотрена одна из возможных постановок задач об установлении стационарного значения волнового сопротивления локализованной неоднородности в стратифицированном сдвиговом потоке с нестационарным критическим слоем. Постановка задачи аналогична п.1.1, но локализованная неоднородность начинает формироваться в определенный момент времени, так что в окрестности уровня, где скорость потока обращается в нуль, возникает нестационарный КС. С помощью перехода в "конвективную"' (движущуюся вместе с потоком): систему координат, выводится интегральное уравнение для пространственной фурье-компоненты возмущения горизонтальной скорости на поверхности гц(Т), необходимой для нахождения волнового сопротивления: .

Т

ик(Т) + гщ(Т) + Ш ![ик{т) - (г - Т - г>*(г)]^,(т - Т - г)г/г = О, о

где хик - возмущение вертикальной скорости на обтекаемой поверхности, которое находится из граничного условия непротекания, ^ -гипергеометрическая функция, параметры которой зависят от числа Ричардсона.

Показано, что волновое поле состоит из волн непрерывного частотного спектра, имеющих КС, и волн дискретного спектра, не имеющих КС. Построены зависимости волнового сопротивления от времени при различных параметрах задачи: числах Фруда и Ричардсона. Обсуждается, в какой области параметров эти зависимости кваоистационарны.

Четвертая глава посвящена исследованию резонансного нелинейного взаимодействия внутренних волн со средними течениями при обтекании препятствий. Как уже говорилось выше, КС являются областями сильного взаимодействия волн с течениями. В них происходит передача импульса от волн к среднему течению и наоборот. Гармонические

внутренние волны, распространяясь в потоке, деформируют профиль среднего течения из-за резонансного взаимодействия с ним в окрестности КС. В предыдущих работах было показано, что наиболее сильная деформация происходит в случае устойчивого потока (Ш > 1/4): при распространении гармонической внутренней волны на фоне устойчивого двумерного сдвигового течения с вязко-диффузионным нелинейным КС, формируется профиль средней скорости, в котором значения завихренности по разные стороны от КС оказываются различными. Временная динамика профиля скорости среднего течения с таким скачком завихренности, а также трансформация поля внутренней волны при взаимодействии с таким течением исследовалась в квазистационарном приближении. В п.4.1 эти результаты применены к задаче об обтекании сдвиговым потоком синусоидального гофра. Здесь скачок завихренности через КС оказывается уже не постоянным, а зависящим от времени по сложному осциллирующему закону, что приводит кос.цил-ляциям среднего течения.

Для исследования взаимодействия гармонических внутренних волн со средними течениями при наличии КС необходимо решать задачу о КС в нелинейной постановке, что требует численных расчетов. Ситуация упрощается, если рассмотреть внутреннюю волну с широким спектром. В этом случае в первом (квазилинейном) приближении можно пренебречь взаимодействием спектральных составляющих и учесть лишь изменение среднего течения. КС теперь будет обладать конечной шириной и амплитуда внутренних волн остается ограниченной вблизи КС. Такая задача о распространении цуга внутренних волн на фоне первоначально устойчивого сдвигового течения рассматривалась ранее, причем 'делался вывод о дестабилизации течения по истечении некоторого времени. В п.4.2 рассмотрена задача о деформации среднего течения при обтекании случайно-неоднородной поверхности трехмерным сдвиговым потоком, меняющим направление с высотой. В отличие от постановки задачи главы 3, где поток плавно изменял направление при удалении от поверхности, здесь предполагается наличие сдвигового слоя на некоторой высоте от поверхности, в котором поток меняет направление. Вне этого слоя течение предполагается однородным, что исключает дискретный спектр. Положение КС для каждой гармоники, излучаемой неровностями подстилающей поверхности, зависит от направления ее волнового вектора. Для случая статистически-однородного случайного поля возвышений поверхности выводится уравнение для компонент скорости среднего течения. Показано, что модуль скорости среднего

течения на каждом уровне z не зависит от времени, а для угла, определяющего направление среднего течения получено уравнение, решением которого являются простые волны Римана. Таким образом, сдвиг среднего течения растет и по истечении некоторого времени происходит его де стабилизация.

В заключении сформулированы полученные в работе результаты.

Большая часть результатов диссертации опубликована в следующих работах:

1. Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Волновое, сопротивление локализованной неоднородности дна стратифицированному сдвиговому потоку, имеющему критический слой //Изв. РАН. Физика Атм. и океана. 1996. т.1. С.133-140.

2. Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Волновое сопротивление плоского локализованного источника, движущегося в стратифицированном сдвиговом потоке, имеющем критический слой: Препринт ИПФ РАН N373. Н.Новгород. 1995. 24с.

3. Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Волновое сопротивление плоского локализованного источника, движущегося в стратифицированном сдвиговом потоке, имеющем критический слой //Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1997. В печати

4. Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Волновое сопротивление локализованной топографической неоднородности в стратифицированном сдвиговом ветре с велопауаой: Препринт ИПФ РАН N400. Н.Новгород. 1996. 29с.

5. Резник С.Н. Волновое сопротивление локализованной неоднородности дна в стратифицированном сдвиговом потоке с нестационарным критическим слоем: Препринт ИПФ РАН N421 Н.Новгород. 1997. 21с.

6. Reznik S.N., Troitskaja Yu.I. Wave resistance of the local obstacles in the flows with the critical layers// Annales Geophysicae Part II, Oceans, Atmosphere,Hydrology and Nonlinear Geophisics. 1995. Suppl II. V.14, P.C601

7.Reznik S.N., Troitskaya Yu.I. Quasi-steady dissipative nonlinear critical layer in a stratified shear flow// Physics of fluids.' 1996. V.8, N12. P.3313-3328.

8. Reznik S.N., Troitskaja Yu.I. Wave drag of the local bottom topography in a stratified shear flow with the critical layer// Annales Geophysicae Part II, Oceans, Atmosphere,Hydrology and Nonlinear Geophisics. 1993. Suppl II. V.12, P.C526

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.............................................................3

1 ГЛАВА Черенковское излучение двумерных источников в потоках с критическими слоями..........14

2 ГЛАВА Радиационная сила, действующая на трехмерную локализованную неоднородность границы потоке, меняющем направление с высотой...................67

3 ГЛАВА Нестационарные эффекты при генерации внутренних волн в стратифицированном сдвиговом потоке с резонансным уровнем..................................96

4 ГЛАВА Нелинейные эффекты при генерации внутренних волн в стратифицированных сдвиговых потоках с критическими слоями..............................118

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................150

БИБЛИОГРАФИЯ................................................153