Диффузионные и радиационные эффекты при нелинейном резонансном взаимодействии волн с потоками тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ



На правах рукописи

ТРОИЦКАЯ Юлия Игоревна

ДИФФУЗИОННЫЕ И РАДИАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ РЕЗОНАНСНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВОЛН С ПОТОКАМИ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 1998

Работа выполнена в Институте Прикладной Физики РАН, г.Нижний Новгород

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

В.П.Докучаев

доктор физико-математических наук, профессор

Ю.А.Кравцов

доктор физико-математических наук Н.Н.Романова

Ведущая организация:

Научно-исследовательский радиофизический институт

Защита состоится " " ноября 1998 г. в ' / часов на заседании диссертационного совета Д 003.38.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Институте прикладной физики РАН по адресу: 603600, г.Нижний Новгород, ул.Ульянова, 46.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной физики РАН

Автореферат диссертации разослан " * " " октября 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета доктор физико-математических наук профессор ^'Ю .В.Чу гунов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Исследование взаимодействия волн с потоками занимает значительное место в различных областях физики: механике жидкости и газа, включая геофизическую гидродинамику, физике плазмы, астрофизике. Наиболее интенсивным является резонансное взаимодействие, при котором фазовые скорости волн совпадают со скоростями определенной части частиц потока. Примером такого взаимодействия является линейное и нелинейное затухание Ландау продольных волн пространственного заряда на электронах разреженной плазмы [1*]. Его аналогом в общей теории нелинейных волн является адиабатическое взаимодействие длинных и коротких волн в условиях группового синхронизма [2*]. Необходимость рассмотрения резонансного взаимодействия волн с потоками возникает и в гидродинамике при исследовании устойчивости плоско-параллельных потоков [3*, 4*]. При этом в задачах геофизической гидродинамики становятся существенными эффекты плавучести, обусловленные плотностной стратификацией жидкости в вертикальном направлении [3*, 5*, 6*]. К рассмотрению аналогичного резонансного взаимодействия волна-частица сводится и задача о нелинейном взаимодействии спиральной волны со звездами вблизи радиуса коротации в дисках галактик [7*].

К настоящему времени наиболее изучено резонансное взаимодействие волн с потоками в бездиссипативном приближении, которое применимо для достаточно быстро протекающих процессов. Для изучения асимптотики поведения системы волна-поток на больших временах необходимо учитывать диффузию его частиц в пространстве, на котором задано их распределение. При этом возникают новые нелинейные эффекты. Появление резонансных областей означает возникновение неравновесности распределения частиц потока, осредненного по волновым возмущениям, а диффузионные процессы приводят к нелокальному эффекту деформации всего распределения частиц (а не только его узкой резонансной области).

Совместный эффект нелинейности и диффузии был впервые рассмотрен в гидродинамической задаче о квазистационарном КС в плоскопараллельном потоке однородной несжимаемой жидкости, скорость которого меняется в поперечном направлении [8*]. Построение теории, описывающей подобные эффекты в потоках с сильной устойчивой стратификацией, является важной нерешенной проблемой геофизической гидродинамики, а также представляет интерес с точки зрения общей теории нелинейных волн. Кроме того, представляется важным изучение нелокальных диффузионных эффектов в потоках другой физической при-

роды, например в плазме, при умете диффузии распределения частиц в пространстве скоростей.

Резонансное взаимодействие волн с потоками может сопровождаться как поглощением, так и усилением волн в зависимости от знака их энергии и распределения частиц потока. При наличии поглощения стационарное поле волн может существовать только при наличии внешних источников. В связи с этим возникает проблема, связанная с описанием излучения источниками волн, находящихся в резонансе с потоком. В частности, такая проблема возникает при рассмотрении излучения внутренних гравитационных волн (ВГВ) в стратифицированных сдвиговых потоках при наличии критических слоев. Излучение ВГВ локализованными источниками изучалось многоми авторами (см. обзор [9*]). Однако случай резонанса между излучаемыми волнами и потоком ранее не исследовался. Необходимость рассмотрения такого случая возникает в динамике атмосферы при описании взаимодействия орографических возмущений и ветра, имеющего велопаузу. При этом интерес представляет не только излучение волн источниками, но и обратное воздействие излучаемых волн на поток.

Ряд специфических особенностей взаимодействия волны с потоком возникает при наличии сильной диффузии. Необходимость рассмотрения такого случая возникает в задаче о генерации поверхностных волн турбулентным ветром, которая имеет важное геофизическое приложение.. При этом рассматривается волновое возмущение в двуслойной жидкости вода-воздух, где в воздухе имеется турбулентный сдвиговый поток - ветер, а в воде - дрейфовое течение. Причем из-за большой разницы плотностей воды и воздуха эта задача аналогична задаче о взаимодействии плазменных волн со слабым пучком частиц. При наличии сильной, типичной для турбулентных потоков, диффузии завихренности критический слой становится широким, и, кроме того, имеет место интенсивная диффузия завихренности из его окрестности. В этих условиях основным нелинейным эффектом при взаимодействии волн с ветром является нелокальная деформация профиля скорости среднего потока, которая обусловлена эффектом детектирования. Эта деформация вызывается диффузионными процессами и оказывается основным фактором, который приводит к' нелинейному ограничению нарастания волн в потоках в режиме слабонадкритической генерации волн. К настоящему времени построена модель, учитывающая нелинейную компоненту вязкого декремента поверхностных волн в жидкости [10*]. При этом для нелинейной поправки к ветровому инкременту сделана лишь оценка [11*]. Нерешенной остается проблема количественного определения нелинейной поправки к ветровому инкременту, входящей в коэффициенты

уравнения Гинзбурга-Ландау, описывающего генерацию слабонелинейных поверхностных волн на воде.

Проблема генерации волн ветром тесно связана с проблемой взаимодействия длинных и коротких поверхностных воли, возникающей при построении теории радиоизображения длинных волн на воде [12*], [Ь'Г]. В последнее десятилетие активно обсуждается роль модуляции ветрового инкремента брегговской компоненты спектра коротких поверхностных волн в присутствии длинных [12*, 14*]. Она вызывается различными условиями генерации коротких волн вдоль фазы длинной волны. Наблюдения показывают (см. [13*]), что гидродинамическая модуляционная передаточная функция (МПФ), описывающая модуляцию брегговской компоненты поверхностных волн, характеризуется большим абсолютным значением и фазой, имеющей большой разброс, но в большинстве случаев близкой к нулю. В настоящее время не существует последовательной теоретической модели, описывающей особенности гидродинамической модуляционной передаточной функции.

Итак, проблемы, рассматриваемые в настоящей диссертации, представляют собой разные аспекты теории нелинейного резонансного взаимодействия волн с потоками. Они относятся к общей теории нелинейных воли, представляющей собой раздел современной радиофизики. Несмотря на то, что в диссертации рассмотрены в основном гидродинамические потоки (за исключением одного примера из физики плазмы), полученные результаты могут быть использованы в других разделах нелинейной физики.

Актуальность поставленных задач обусловлена как общетеоретическим интересом к исследованию диссипативных и радиационных аффектов в теории нелинейного взаимодействия волн с потоками, так и их значением в геофизических приложениях.

Цель работы и задачи исследований. Основной целыо диссертации является развитие теории нелинейного резонансного взаимодействия волн с потоками с учетом нелокальных эффектов, вызванных совместным действием диффузии и радиационных сил.

Поставленная цель определяет конкретные задачи, решаемые в работе:

- построение асимптотической теории нелинейного диссинативного кри-

тического слоя в динамически устойчивом стратифицированном сдвиговом потоке;

- исследование излучения внутренних гравитационных волн локализо-

ванными источниками в стратифицированных сдвиговых потоках

в условиях резонансного обмена импульсом между волнами и потоком;

- развитие слабонелинейной теории генерации волн на поверхности воды

турбулентным ветровым потоком вблизи порога устойчивости;

- построение и анализ моделей, описывающих трансформацию спектра

коротких поверхностных волн в присутствии длинных поверхностных волн с учетом эффекта модуляции инкремента коротких волн

Научная новизна. В диссертации построена асимптотическая теория азаимодействия внутренней гравитационной волны с динамически устойчивым стратифицированным сдвиговым потоком в критическом слое (КС), где существенны как нелинейные, так и диффузионные эффекты (вязкость, теплопроводность). Эта задача долгое время оставалась важной нерешенной проблемой теории взаимодействия волн с геофизическими потоками. Определены соотношения, связывающие средние и волновые поля по разные стороны от КС. Рассмотрена асимптотическая эволюция течения в окрестности КС на больших временах, обусловленная диффузией завихренности во внешнюю область. Выяснены особенности этого течения, обусловленные тем, что в динамически устойчивом стратифицированном сдвиговом потоке величина перепада средней завихренности по разные стороны от КС имеет тот же порядок, что и среднее течение.

Излучение внутренних гравитационных волн в стратифицированных сдвиговых потоках локализованными источниками впервые исследовано для случая, когда фазовая скорость волн совпадает со скоростью потока на некотором уровне. Показано, что при этом имеет место существенное возрастание радиационной силы, действующей на источники, обусловленное изменением дисперсионных свойств излучаемых волн.

В рамках проблемы генерации поверхностных волн турбулентным ветром разработана квазилинейная модель, которая основана на использовании системы уравнений Рейнольдса, выраженной в криволинейных координатах и замыкаемой посредством градиентной аппроксимаций для турбулентных напряжений. С использованием этой модели впервые количественно определены коэффициенты эволюционного уравнения, описывающего генерацию поверхностных волн вблизи порога устойчивости. Конкретные расчеты проведены для волн на воде конечной глубины и волн на глубокой воде, покрытой упругой пленкой.

Построена последовательная теоретическая модель, учитывающая нелинейные эффекты при возбуждении волн ветром, которая позволяет

описывать и рассчитывать модуляцию ветрового инкремента коротких поверхностных волн в присутствии длинных. Соответствующие оцен-, ки контрастов спектров коротких поверхностных волн, рассчитанных с учетом эффекта модуляции инкремента, находятся в удовлетворитель-.ном количественном соответствии с имеющимися экспериментальными данными.

Научное и практическое значение. Научное значение диссертации состоит в том, что в ней решен ряд принципиальных вопросов теории взаимодействия волн с потоками. На ряде конкретных примеров изучена роль диффузионных процессов при нелинейном резонансном взаимодействии волна-поток. Изучены особенности радиационных сил, действующих на различные источники при излучении волн в сдвиговых потоках в условиях резонанса волн с потоком. Разработаны численно-аналитические Модели, описывающие генерацию волн турбулентными потоками, позволяющие в этом случае продвинуться в понимании механизмов энергообмена волна-поток, а также решить ряд конкретных задач.

Результаты, полученные в диссертации, также представляют практический интерес прежде всего для геофизических приложений. Проведен расчет радиационных сил и деформации стратифицированного сдвигового потока над случайно-неоднородным полем возвышений подстилающей поверхности. Эти результаты могут быть использованы для оценки влияния орографических возмущений (внутренних гравитационных волн в атмосфере, излучаемых при обтекании горных массивов) на ветровой поток, имеющий велопаузу.

В рамках квазилинейной генерации волн ветром определены уровни насыщения волн на воде, покрытой упругой пленкой. Эти результаты могут быть использованы при определении контрастов поверхностных волн в сликах на поверхности воды, вызванных присутствием пленок поверхностно-активных веществ.

Предложена теоретическая модель для расчета модуляции инкремента коротких поверхностных воли в присутствии длинных. Она основана на квазилинейном описании генерации поверхностных волн, разработанном в настоящей диссертации. Модель использована для расчета контраста спектра коротких поверхностных волн в присутствии длинных, оценка которого необходима при построении теории радиоизображения длинных поверхностных волн.

Апробация работы и публикации. По теме диссертации опубликовано 24 статьи в ведущих научных журналах, трудах российских и

международных конференций, препринтах ИПФ РАН. По материалам диссертации сделано более 20 докладов на международных, всесоюзных и республиканских конференциях, симпозиумах и семинарах, в том числе на семинарах ИПФ РАН, факультета математики Университета г.Берген (Норвегия), на XXII Ассамблее Европейского геофизического общества (Гаага,1996), II и III Европейских конференциях по механике жидкости (Варшава, 1994, Геттинген,1997), II Международной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Нижний Новгород,1994), Международной конференции "Динамика атмосферы и океана" (Москва, 1995), школах-семинарах "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва 1992, 1993, 1994).

Личный вклад автора. Все работы по теме диссертации написаны при личном участии автора, из них 12 - без соавторов. Работы, по материалам которых написан п.3.3, выполнены на паритетных началах в соавторстве с В.П.Реутовым, а п.3.5 - с А.Д.Дженкинсом (A.D.Jenkins). Под руководством автора выполнен цикл работ, совместных с С. Н. Резником, у которого автор являлась руководителем кандидатской диссертации. Их материалы вошли в гл.2.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 361 страницу, в том числе 274 страницы машинописного текста, 73 рисунка (71 страница). Описок литературы включает 189 наименования ( 16 страниц).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 95-05-15325а, 96-05-65128, 98-05-64651), а также грантов INTAS - (93-1373, 97-1665).

КРАТКОЕ ООДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основные цели и задачи, выдвигаются положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации развивается асимптотическая теория, описывающая диссипативные эффекты при нелинейном резонансном взаимодействии волн малой, но конечной амплитуды с потоками в случае слабой диффузии.

В 1.1 перечисляются рассмотренные задачи и обсуждаются общие подходы к их решению.

В 1.2- 1.4 подробно исследовано резонансное взаимодействие внутренней гравитационной волны с потоками жидкости или газа, в которых скорость 1:1 о(~) и плотность />о(~) неоднородны по вертикали. В диссертации рассматриваются потоки, в которых выполнен критерий линейной устойчивости Майлса - градиентное число Ричардсона

а '1[>о 41/2

Ш = /V2/ [¿ио/(ЬУ >1/4, где N = [ - — —г- ) - частота плавучести.

\ ро л: У

Предполагается, что амплитуда волны е мала, а ее фазовая скорость с на некотором уровне совпадает со скоростью потока: 1/о(-е) — сВ 1.2 построена асимптотическая теория стационарного нелинейного диссипативного критического слоя (КС!) в стратифицированном сдвиговом потоке с Ш >1/4. Если е 1, а число Рейнольдса Не = V/(ик) 1 (II - характерная скорость потока, и - коэффициент вязкости, к - волновое число возмущения), то далеко от КС! справедливо линейное невязкое приближение. Комплексная амплитуда функции тока удовлетворяет уравнению Тейлора-Гольдштейна, которое имеет особенности в резонансных точках гс. Тогда его решение имеет точки ветвления при : — гс.

Для обхода особенностей в настоящей диссертации рассматривается совместное действие нелинейности и диссипации в стационарном КС!, который формируется на больших временах после начала взаимодействия волны с потоком. Определены основные качественные свойства этого течения. Возникает перепад завихренности или "излом" профиля скорости при переходе через КС. При Ш >1/4 величина этого перепада сравнима с величиной невозмущеннон завихренности. В стационарном КС радиационная сила уравновешивается вязкой, поэтому величина перепада завихренности через КС пропорциональна перепаду радиационного напряжения. В безразмерном виде соответствующее равенство может быть записано следующим образом:

А(Г+-1)=/1+ (1 - |Я|2) - ,1 \Т\\

Р ли,

Здесь I + = —

/ dUf) dU0

J dz dz ±

- значения завихенности по разные

стороны от КС; А = (elle) 1 - параметр нелинейности, имеющий смысл числа Рейнольдса течения внутри КС; /г+ = yJjQ- — 1/4; Р = \/Ri— 1 /4;

Ri - число Ричардсона течения со стороны прохождения волны, R, Т -коэффициенты отражения и прохождения.

Скачка частоты плавучести, аналогичного скачку завихренности, при переходе через КС! не возникает, поскольку вертикальный поток массы во внутренних гравитационных волнах отсутствует. Это означает, что

число Ричардсона в течении со стороны падения волны Ш+ = Ш/\ \ < Ш.

Важным свойством диссипативного нелинейного КС является появление отраженно!) волны. Хорошо известно, что внутренняя гравитационная волна не испытывает отражения на однородном профиле завихренности. В то же время, волна малой, но конечной амплитуды отражается от течения с профилем завихренности, имеющего скачок при переходе через КС.

Перепад завихренности и коэффициент отражения являются функциями числа Ричардсона Ш и параметра нелинейности Л. Соответствующие зависимости, полученные на основе численного решения уравнений гидродинамики в окрестности КС спектральным методом представлены на рис 1 (а. б, в). Из рис.1 видно, что при Л —> 0 (с ростом амплитуды падающей полны) значение числа Ричардсона со стороны падения полны Ш+ стремится к 1/4, а коэффициент отражения - Н = - к минус

единице.

(а)

Рис.1. Зависимость скачка завихренности через критический слой (а) модуля (б) и фазы (в) коэффициента отражения от параметра нелинейности X: 1 - 11И>.5,2 - ЯМ. 3 - И =2,4 - И=3.

Появление скачка завихренности (или "излома" профиля скорости) означает, что отклонение профиля скорости'от первоначального растет с расстоянием от КС, т.е. деформация является нелокальной. Возникает вопрос о реализуемости такого профиля. Ответ на него может быть получен из решения начальной задачи о падении внутренней волны на КС, которая рассматривалась в 1.3. Для среднего профиля скорости £/о было получено диффузионное уравнение, в котором роль источника играет радиационная сила. Уравнение имеет простой физический смысл: средняя горизонтальная сила, действующая на жидкую частиЧУ определяется ба-

лансом вязкой и радиационной сил. Начальными и граничными условия^ ми являются отсутствие возмущений профиля скорости, соответственно, в начальный момент времени и на бесконечности.

Эволюция течения на больших временах определяется свойствами асимптотики решения диффузионного уравнения. На временах т ¿2/А (<$ - ширина КС), течение во внутренней области КС становится ква-зистацпонарным. При этом, как и в стационарном случае, формируется скачок завихренности. Из-за наличия вязкости происходит диффузия завихренности во внешнюю область. В результате от КС к невозмущенпой области течения формируется переходная область, которая была названа диффузионным пограничным слоем (ДПС). Масштаб ДПС растет пропорционально диффузионной длине у/Хт. КС представляет собой точку на профиле скорости течения, где скорость сохраняется равной фазовой скорости волны (по определению критического слоя), и имеется "излом" на профиле (его масштаб (5 конечен, но мал по сравнению с Профиль скорости с такими свойствами может реализоваться только при условии, что КС-смещается навстречу падающей волне. Аналогично смещение наблюдалось ранее в численном [15*] и лабораторном [1()*] экспериментах, однако не имело качественного объяснения.

В случае, когда перепад завихренности через КС не зависит от времени, течение в ДПС является автомодельным, а закон смещения КС имеет вид: г/ = яу/Хт. Для этого случая в 1.3 найдены зависимости параметров течения в КС (значения завихренности по обе стороны от КС, константы з в законе смещения КС и т.п.) от единственного параметра - перепада потока импульса через КС.

Также и 1.3 рассматривается взаимодействие, волны с потоком в КС и ДПС. Поскольку профиль скорости в ДПС зависит от времени (расширяется и смещается навстречу падающей волне), то коэффициент отражения волны от ДПС, поток импульса в ней и перепад завихренности через КС, вообще говоря, непостоянны во времени. Наоборот, что для того, чтобы перепад завихренности через КС был постоянным, амплитуда волны, падающей из области невозмущенного течения, должна зависеть от времени некоторым специальным образом.

Иными словами, если волна излучается, например, при обтекании постоянного,во времени препятствия, помещенного в невозмущенную область потока, то перепад потока импульса через КС зависит от времени. Такой случаи изучался в 1.4. Роль источника выполняла поверхность синусоидальной формы с малой, но конечной амплитудой возвышений. При этом течение в ДПС не является автомодельным, однако профиль его скорости может быть найден приближенно в достаточно широком диапазоне параметров, когда выполняются следующие упрощающие

предположения. Во-первых, если число Ричардсона не слишком близко к 1/4, то поток импульса в волне, прошедшей через КС, пренебрежимо мал, и перепад потока импульса практически равен алгебраической сумме потоков импульса в падающей и отраженной волнах. Во-вторых, поскольку временная зависимость потока импульса возникает из-за отражения от переменного профиля скорости в ДПС, то можно ожидать, что при малом коэффициенте отражения зависимость от времени будет слабой. Как показывают оценки, (см. рис. 1(6)) при Ri > 1 и А > 0.2 коэффициент отражения менее 0/2. В :>том случае решение диффузионного уравнения можно искать в виде разложения по малому параметру - коэффициенту отражения. При этом зависимость параметров течения от времени имеет характерный вид: cos (In г). Добавки к автомодельному профилю скорости выражаются через функции параболического цилиндра. Итак, получен парадоксальный факт: деформация первоначально постоянного стратифицированного сдвигового потока, обтекающего препятствие, форма которого не зависит от времени, оказывается переменной во времени. Эта временная зависимость обусловлена отражением волн от неоднородного профиля завихренности в ДПС', который 'зависит от времени.

В 1.5 изучены особенности деформации функции распределения электронов в горячей плазме при резонансном взаимодействии с. продольной волной пространственного заряда. При этом использовался модельный интеграл столкновений в форме Фоккера-Планка, наиболее просто позволяющий учесть эффект диффузии распределения электронов в пространстве скоростей. Предполагалось, что амплитуда волны е и эффективная частота столкновений и - малые параметры. В этом случае задача допускает решение методом сращиваемых асимптотических разложений. Использовалась схема построения внешних и внутренних разложений, аналогичная использованной в работе [8*] при рассмотрении правил обхода КС для волны конечной амплитуды в сдвиговом потоке вязкой жидкости. При этом внешнее решение искалось в виДе разложения по степеням е'В [8*] было показано, что при учете диффузии завихренности формируются перепады через КС ее среднего, значения порядка е1/2. Аналогичные скачки функции распределения при переходе через область захваченных частиц возникают при учете диффузии распределения электронов в пространстве скоростей.

Это означает, что деформация функции распределения имеет место не только в резонансной области, но и за ее пределами, т.е. является нелокальной (см.рис.2). Величина скачка функции распределения AF зависит от параметра А, определяющего отношение эффективного периода столкновений элёктронов и периода колебаний захваченных электронов.

Параметр А полностью эквивалентен параметру нелинейности, имеющему смысл числа Рейпольдса внутри КС и определяющему соотношение нелинейных и диффузионных эффектов. При А, стремящемся к бесконечности (убывании амплитуды падающей волны), ДР стремится к нулю, а при А, стремящемся к нулю, - к некоторой постоянной.

ад Декремент затухания Ландау

волны пространственного заряда конечной амплитуды можно представить в виде:

?ь=2

_ V шрш д/0

к2 ду \к

ш-

Рис.2. Схема нелокальной деформации функции распределения при учете диффузии частиц в пространстве скоростей.

Здесь <р есть функция А. При А —>■ оо (уменьшении амплитуды волны) <р стремится к 7г , а при А —>• 0 (увеличении амплитуды волны) 97 стремится к ну-

лю пропорционально е

-3/2

Заметим, что задача, рассмотренная в 1.5, представляет собой пример "гидро-плазменной" аналогии, когда результаты, полученные в гидродинамике, используются в физике плазмы.

Во второй главе диссертации исследуются качественные особенности излучения волн локализованными источниками в стратифицированных сдвиговых потоках, когда имеется КС для излучаемых волн. Рассматриваются потоки (типичные для океана и атмосферы), в которых выполнен критерий линейной устойчивости Ш >1/4. Предполагается, что для волновых полей справедливо линейное приближение, т.е. для обхода особенностей в критических слоях можно использовать правило обхода Линя (являющееся аналогом правила обхода Ландау). Особое внимание в главе 2 уделяется расчету радиационных сил, действующих как на источники волн, так и на поток. Эта часть работы представляет интерес для геофизических приложений, поскольку позволяет оценить воздействие, оказываемое орографическими возмущениями на ветер, вектор скорости которого меняет направление по высоте.

В 2.1 перечисляются задачи, решаемые этой главе.

В 2.2 рассматриваются модельные задачи о генерации волн ма!лой амплитуды локализованными двумерными источниками различной формы в стратифицированном сдвиговом потоке с постоянными сдвигом скорости и0г и частотой плавучести N.

В 2.2.1 рассмотрена задача о стационарном обтекании неподвижного двумерного локализованного возвышения на плоской поверхности. Пред-

полагалось, что на некоторой высоте от поверхности имеется уровень, где скорость потока обращается в нуль, а выше - меняет направление. Вначале методом Фурье была рассчитана картина волновых возмущений, формирующаяся при обтекании неровности подстилающей поверхности таким потоком. Показано, что в рассматриваемом случае возмущения затухают при удалении от препятствия за счет поглощения волн в КС. В этом случае радиационная сила О определяется только вертикальным потоком импульса (радиационным напряжением), поглощаемым в

КС.

00

В = I |ф |2 / (ае, Яг) с1т.

Здесь ае= к11/М - безразмерное волновое число, (/ - скорость обтекания поверхности, - число Фруда, Ф ^^т-) * спектр возвышений локализованной неоднородности подстилающей поверхности, / (эй, Ш) - функция, имеющая смысл радиационого напряжения в к-й гармонике единичной амплитуды. Она определяется дисперсионными свойствами излучаемых волн и зависит от параметров среды. Функция / была названа передаточной функцией (см.рис.3).

Рис.3. "Передаточная функция" для волн, генерируемых при обтекании препятствия на дне стратифицированного сдвигового потока: 1 -1*1=0.25, 2 -1*1=1, 3 -

Пунктирные линии - характерная форма спектра возвышения: а - Бг«1, б - Бг-!, в - Бг»!

Рг

Рис.4. Зависимость радиационной силы от числа Фруда при постоянном числе Ричардсона: 1 - И=0.25,2 - И=1,3 - И=3, 4 - И=10,5 - И=оо

Из рис.3 видно, что в однородном потоке (Ш = со) при ж> 1 (к > N/11) волны становятся нераспространяющимися, поскольку их собственная частота к[/ становится больше частоты плавучести. В сдвиговом потоке локальная собственная частота Ш0 (г) стремится к нулю при приближении к КС!, поэтому псе волны являются распространяющимися и вносят вклад в радиационную силу. При этом с ростом сдвига скорости коэффициенты возбуждения волн с большими волновыми числами увеличиваются.

Также на рис.3 пунктиром представлена характерная форма спектра возвышений поверхности при различных числах фруда Сравнивая кривые передаточной функции и спектра, можно объяснить изменение вида зависимостей радиационной силы В от .Рг, представленных па рис.4, при уменьшении числа Ричардсона Иг. 1) значение максимума волнового сопротивления растет в несколько раз по сравнению с однородным потоком; 2) положение максимума смещается в сторону больших чисел Фруда Fr; 3) при малых Рг волновое сопротивление падает, при больших - существенно возрастает.

В 2.2.2 описаны новые эффекты, которые возникают, когда источник волн расположен на некоторой высоте над твердой поверхностью. Источником волн являлось тело цилиндрической формы, движущееся со скоростью Ко,.совпадающей со скоростью потока на некотором уровне. Тело моделировалось источником массы. Вычислялась горизонтальная компонента радиационной силы : — В\ — Оч- 0\ - сила, действующая на тело за счет излучения волн, поглощаемых затем в КС (или радиационные потери); П-> - сила, обусловленная эффектом Магнуса. Расчеты показали, что при Ш ~ 1 обе компоненты силы сравнимы по величине.

Как свидетельствуют гидрометеорологические наблюдения, для атмосферных потоков характерно присутствие велонаузы, где ветер поворачивается с высотой. Для описания взаимодействия такого потока с волнами, излучаемыми при обтекании неоднородностей подстилающей поверхности, необходимо построение трехмерных моделей. С этой целью в 2.3 исследованы качественные особенности радиационных сил, действующих на трехмерные локализованные неоднородности в потоках, меняющих направление, с высотой.

Рассмотрен сдвиговый поток с профилем скорости V (г) = Но (г) хо + Ко (г) уо (начало координат расположено на поверхности; ось л направлена вверх; Хо,Уо - единичные орты в горизонтальной плоскости), стратифицированный по плотности с частотой плавучести N (z). Он обтекает твердую поверхность с локализованным возвышением, ("читается, что в потоке выполнен критерий устойчивости Нл = Ы1 / (1/^ + У^) > 1/4. Важно заметить, что при любом профиле скорости, поворачивающемся

по высоте (если Цо (г) ф аУо (г)), имеется диапазон уровней, на которых волновые вектора волн, излучаемых при обтекании поверхности, перпендикулярны вектору скорости, т.е. возникают критические слои. Вычислена радиационная сила, действующая на препятствие. Вклад в нее вносит излучение свободных волн, представляющих собой собственные моды волновода, возникающего для внутренних гравитационных волн в сдвиговом потоке. Такие моды не имеют критических слоев. Также вклад в радиационную силу вносят вынужденные волны, в которых вертикальные волновые потоки импульса (радиационные напряжения) на поверхности отличны от нуля. Такие волны либо имеют КС, в которых происходит поглощение волновой энергии, либо потоки волновой энергии в них отличны от нуля на бесконечности. Спектр волновых чисел таких вынужденных возмущений непрерывен.

В 2.3 кратко обсуждается пример расчета радиационной силы, дей-ствуюхцей на локализованное симметричное препятствие гауссовой формы в потоке с линейным профилем скорости, Г/о (г) = {/пгг, Уо (г) = V, и постоянной частотой плавучести. Отмечено, что радиационная сила, действующая на такое препятствие, направлена под углом к скорости потока на поверхности. Причем величина поперечной силы одного порядка с величиной продольной силы при умеренных числах Ричардсона.

В 2.4 в квазилинейном приближении исследуется обратное воздействие на поток волн, излучаемых при обтекании неровной поверхности. Рассматривается стратифицированный сдвиговый поток, поле возвышений поверхности задается случайной функцией с(х,у). Принимается во внимание, что трехмерный профиль скорости ветра, [/ (г, £) = 11а (.г, з?о 4- Ко (г, <) ?7о I и частота плавучести N (г, <) могут зависеть от времени. Предполагается, что вектор скорости в начальный момент времени поворачивается на угол, больший тг при изменении г от 0 до оо. В этом случае для любой гармоники излучаемого волнового поля найдется уровень, на котором скорость ветра перпендикулярна волновому вектору, т.е. КС. Тогда подветренные волны, соответствующие собственным модам дискретного спектра, отсутствуют, и деформация потока происходит только за счет резонансного поглощения волн в критических слоях. Для этого случая в квазилинейном приближении выведена система уравнений для компонент скорости потока. Из нее следует, что модуль вектора скорости не зависит от времени, а меняется лишь угол, определяющий его направление.

Конкретный вид уравнения, определяющего изменение направления вектора скорости, выведен для случая больших чисел Ричардсона и малых чисел Фруда (число Фруда определяется радиусом корреляции поля возвышений подстилающей поверхности). Тогда для всех эффектив-

но излучаемых гармоник справедливо длинноволновое приближение по горизонтальному волновому числу и ВКБ-приближение в вертикальном направлении. В этом случае угол отклонения вектора скорости от первоначального направления удовлетворяет уравнению простых волн Ри-мана. При этом коэффициент уравнения определяется величиной радиационной силы, действующей на единицу площади поверхности. Найденное решение показало, что деформацию испытывает профиль скорости ветра в слое от подстилающей поверхности до уровня, где он меняет направление на противоположное. На больших временах вектор скорости в этом слое стремится к направлению, противоположному его направлению вблизи поверхности.

В третьей главе рассмотрено резонансное взаимодействие волн с потоком в условиях сильной диффузии. При этом оно происходит эффективно в некоторой широкой области, часто не связанной с резонансным уровнем. В то же время, присутствие такого уровня остается весьма существенным, поскольку это может обеспечить изменение знака энергии волн или диссипации и, как следствие, нарастание волн. Кроме того, присутствие даже слабо выраженного резонанса приводит к увеличению амплитуды волновых полей и усилению нелинейных эффектов. При этом наиболее существенным является эффект детектирования, приводящий к деформации потока, осредненного по волновым возмущениям. Другой нелинейный эффект, генерация гармоник, оказывается существенно слабее. Это дает возможность использовать квазилинейное приближение даже для волновых пакетов с узким спектром. Заметим, что квазилинейное приближение в такой интерпретации существенно отличается от традиционного, которое используется в случае достаточно широкого спектра волн, имеющих случайные фазы. В данном, случае оно применяется для описания резонансного взаимодействия'квазигармонической волны с потоком в условиях сильной диффузии.

Нелинейные диффузионные эффекты в случае сильной диффузии рассмотрены на примере генерации поверхностных волн на воде турбулентным ветром.

В 3.1 обсуждаются особенности резонансного взаимодействия волна-поток в условиях сильной диффузии и перечисляются задачи, решаемые в 3-й главе.

В 3.2 построена модель турбулентного пограничного слоя над взволнованной водной поверхностью, которая используется в дальнейшем для изучения нелинейного взаимодействия волн с ветром. В ней учитывается турбулентное дрейфовое течение в воде. Гидродинамические поля в воде и воздухе описывались в рамках системы уравнений Рейнольдса в криволинейных ортогональных координатах, одна из координатных линий

которых совпадает с взволнованной водной поверхностью. Для замыкания этой системы использовались различные гипотезы:

1) Градиентная модель, в которой турбулентные потоки импучьса предполагаются пропорциональными тензору деформаций поля средней скорости. Коэффициент пропорциональности и, называемый эффективным коэффициентом вязкости, полагался заданной функцией координат, выражение для которой было получено в [17*] на основе экспериментов с турбулентным пограничным слоем на гидродинамически гладкой поверхности.

2) Модель вязко-упругой турбулентности, в которой коэффициент вязкости основного потока совна,дает с и, а эффективная вязкость волновых возмущений - комплексная величина, которая может быть получена из простых релаксационных уравнений для турбулентных напряжений. При этом эффективный комплексный коэффициент вязкости практически совпадает с V вблизи поверхности, но убывает при удалении от нее.

3) Квазиламинарная модель, в которой пренебрегалось волновыми возмущениями турбулентных напряжений (см. [18*]).

Вычислялась мнимая часть частоты поверхностной волны, которая равна разности ветрового инкремента и вязкого декремента. Последний рассчитывался с учетом ветрового дрейфового течения в воде. Было показано, что при слабых и умеренных ветрах (скорость трения ветра ut <40см/с) его влияние мало. При этом, чтобы получить значения вязкого декремента, согласующиеся с данными измерений, для аппроксимации турбулентных напряжений в воде необходимо использовать либо вязко-упругую, либо квазиламинарную модели (которые дают близкие результаты). В то же время, значения ветрового инкремента мало чувствительны к выбору модели в широких диапазонах длин волн (от сантиметровых до метровых) и скоростей ветра. Рассчитанные значения инкремента ветровых волн находятся в хорошем количественном согласии с данными вычислений, проведенным ранее как в рамках простых моделей ([18*, 19*], так и с использованием сложных моделей, использующих гипотезы замыкания высокого порядка (например, [20*]), а также с имеющимися экспериментальными данными [21*].

Интерпретация найденных качественных свойств инкремента поверхностных волн основывалась на анализе баланса энергии волновых возмущений ветрового пограничного слоя и дрейфового течения. Для этого из системы уравнений для волновых возмущений в линейном приближении было выведено уравнение баланса энергии квазимонохроматической волны. Расчеты в рамках обсуждаемых моделей показали, что в широком диапазоне длин волн (от сантиметров до метров) область энергообмена волны с воздушным потоком лежит в переходной области от вязкого

подслоя к турбулентному пограничному слою, где эффективные коэффициенты вязкости в разных моделях имеют близкие значения. Именно поэтому значение ветрового инкремента слабо чувствительно к выбору Модели турбулентности. Напротив, область энергообмена волны с дрейфовым течением в воде существенно шире: она попадает в логарифмический пограничный слой, где коэффициенты вязкости в различных моделях различаются существенно. И значение вязкого декремента существенно зависит от выбора модели.

На основании результатов, полученных в 3.2, для использования в дальнейших исследованиях была выбрана наиболее простая модель, которая хорошо согласуется с экспериментом. В рамках этой модели для описания турбулентного воздушного потока использовалась простая градиентная модель, а в воде пренебрегалось турбулентным течением. В 3.3 с использованием такой аппроксимации построена квазилинейная модель генерации волн ветром.

Рассматривается турбулентный пограничный слой над водной поверхностью, искривленной двумерной гармонической волной с амплитудой а. Для описания волновых возмущений в воздухе, индуцированных поверхностной волной, используется система уравнений в переменных функция тока-завихренность, выраженная в криволинейных координатах, которая является следствием системы уравнений Рейнольдса. Ее решение ищется в виде суммы среднего поля и основной гармоники, удовлетворяющих системе связанных уравнений. В уравнения для средних полей входят слагаемые порядка а2, описывающие вертикальный волновой перенос импульса. Среднее радиационное напряжение зависит от вертикальной координаты. Это приводит к деформации среднего профиля скорости (/„ (г), которая и определяет зависимость ветрового инкремента волны от ее амплитуды. На основании численного решения полученной системы определялся безразмерный коэффициент взаимодействия волны с ветром'/?, пропорциональный ветровому инкременту уа.

Для волн малой амплитуды нелинейная добавка к /? квадратична по амплитуде: /? = /?0 + /?1 (ка)2, а уа = + (&а)2.

На рис.5(а,б) представлены зависимости /?о и от скорости трения ветра при разных длинах волн. Из рисунка видно, что |/?1| |/?о|. Это неравенство служит обоснованием для применимости квазилинейного приближения в этой задаче, поскольку учет всех остальных эффектов дает поправки к /?) порядка /?о.

Квадратичная поправка к инременту ветровых волн необходима при построении теории генерации ветровых волн вблизи порога устойчивости. Амплитуда волн а при слабонадкритической генерации удовлетво-

il3 4

—I-1-1-

0.04 006

(a)

—i—i—i .

0.08 0.1 u

-100

-150-

0.06 (6)

—i-r-

0.08 .

Рис.5. Зависимости линейного коэффициента взаимодействия волн с ветром Р0(а) и параметра нелинейности (5^(6) :

1 - к=0.3 м"1; 2 - к=0.5 м'\ 3 - к=1 м"1; 4 - к=2 м'1; 5 - к=4 м'1.

ряет уравнению Гинзбурга-Ландау:

д2а

ugr

д2а

да Уу. -dt 2г дх2 2кс ду2

= Ra (ut - utc) - (г'5 + р + \а\2 а.

Здесь и„с - пороговое значение скорости трения ветра; ке - волновое число маргинально устойчивого возмущения; vgr - его групповая скорость;

R = / du* ; S, р - нелинейные поправки к частоте и вязкому

/ u.=u,c

декременту.

В 3.4 исследован случай, когда изменение порога генерации волн осуществляется за счет вариации глубины жидкости. На основании численной модели в линейном приближении построены зависимости пороговых значений скорости трения ветра и волнового числа от глубины жидкости (рис.6а,б).

Нелинейная поправка к ветровому инкременту -Д1' вычислялась в рамках квазилинейной модели, описанной в 3.3. Для расчета нелинейной поправки к вязкому декременту р был развит метод, основанный на использовании криволинейных координат, в которых координатные линии близки к линиям тока вне вязких пограничных слоев вблизи поверхности и дна. Зависимость нелинейных поправок к инкременту представлена на рис.бв.

Видно, что практически для всех глубин жидкости 7а°\ а

Р ~ 7а ) т-е- с хорошей точностью нелинеиная поправка к ветровому инкременту определяет соответствующий нелинейный коэффициент уравнения Гинзбурга-Ландау. Исключение составляет область глубин вблизи

и (см/с)

8Н

-40

2 3 а(см)

(а)

2 3 с1(см)

(б)

2 3 сНсм)

(В)

Рис.б. Зависимость от глубины жидкости (а) - порогового значения скорости трения ветра; (б) - безразмерного волнового числа маргинально устойчивого возмущения; (в) - нелинейной поправки к инкременту, нормированной на значение линейного ветрового инкремента. 1- нормированная нелинейная поправка к ветровому инкременту (1), (ои .. ,.(0)

у /уа, 2. - нормированная нелинейная поправка к вязкому декременту р/у ,

3 - сумма величин, изображаемых кривыми 1 и 2. Пунктир - нормированная нелинейная поправка к ветровому инкременту, вычисленная с учетом 2-й гармоники.

<1 » 0.5 ч- 0.7 см, где имеет место резонанс между основной гармоникой возмущения, его второй гармоникой и средним течением. В этом диапазоне параметров уравнение Гинзбурга-Ландау несправедливо, и динамика волн описывается более сложной системой связанных уравнений.

В 3.5 в рамках той' же модели вычислялись коэффициенты уравнения Гинзбурга-Ландау для волн на воде, покрытой упругой пленкой. В этом случае параметром, определяющим порог генерации является модуль упругости пленки Е. Расчеты в рамках численной модели показали. Что зависимости мнимой части частоты от волнового числа имеет характерный вид с двумя максимумами в коротковолновой и длинноволновой областях, поэтому определялись два порога генерации, соответственно, для длинных и коротких волн. Для вычисления нелинейной поправки к инкременту использовалась квазилинейная модель. Для нелинейной поправки к вязкому инкременту были сделаны оценки, которые показали, что она пренебрежимо мала. Аналогично рис.6, на рис.7 представлены зависимости пороговых параметров и нормированной нелинейной поправки к инкременту от управляющего параметра - упругости пленки Е. Большие значения относительной величины нелинейной поправки к инкременту подтверждают применимость квазилинейной модели для ее расчета.

о

К(СМ) Саноиадуляден-амофокусцкмп

и(сы/с)

Е (Дна/см) (б)

у(1>,/> а а

Е (Дин/см)

(в)

Рис.7. Волновое число маргинально устойчивого возмущения (а); пороговое значении скорости трения ветра (б); нормированная нелинейная поправка к инкременту (в) как функция упругости пленки. Сплошная линия - соответствует коротковолновой моде, пунктирная - длинноволновой моде.

Четвертая глава посвящена применению нелинейной модели генерации волн ветром, развитой в главе 3, к проблеме модуляции коротких поверхностных волн. Эта проблема возникает при построении теории радиоизображения длинных поверхностных волн, поскольку короткие волны обусловливают рассеяние радиоволн на морской поверхности в соответствие с механизмом Брегга. При этом контраст коротких (бреггов-ских) поверхностных волн определяет гидродинамическую компоненту модуляционной передаточной функции рассеянного радиосигнала (гидродинамическую МПФ). В последнее время широко обсуждается механизм модуляции коротких поверхностных волн за счет ос.цилляций их ветрового инкремента в присутствии длинной волны [12*, 14*]. Различные модели этого эффекта, их следствия и влияние на модуляцию спектра коротких поверхностных волн рассматривается в главе 4.

В.4.1 содержится введение к главе 4, в котором перечислено ее содержание.

В 4.2 приводятся результаты наблюдений модуляции коротких поверхностных волн в присутствии длинных. Приведены общие свойства гидродинамической МПФ из [13*]. МПФ представляет собой комплексную величину МТР = \МТР\^'РМТ1', равную отношению глубины модуляции спектра коротких волн к крутизне длинной волны. При этом модуль МПФ, равный 5-15, растет с периодом длинной волны и убывает с ростом скорости ветра. Фаза МПФ <рмтр как правило близка к

нулю, но возможны ее существенные вариации. Возможные механизмы модуляции спектра коротких волн перечислены В обзоре [12*]. Первый из них - консервативная трансформация коротких волн на неоднородном поле течений длинной волны. Этот механизм является существенным, но он дает значения модуля \MTF\, убывающие с ростом периода длинной волны, что противоречит экспериментальным данным. Второй механизм связан с модуляцией инкремента коротких волн в присутствии длинных.

Для его рассмотрения использовалась модель турбулентного пограничного слоя над взволнованной поверхностью, основанная на использовании уравнений Рейнольдса, выраженных в криволинейных координатах. Поскольку на поверхности воды имеется двухмасштабное возмущение, то было необходимо произвести "двойное" преобразование координат. Вначале выполнялось преобразование от декартовых координат к "длинноволновым", в которых одна из координатных линий совпадает с полем возвышений в длинной волне. Следующим шагом производился переход от "длинноволновых" координат к "коротковолновым", в которых координатная линия совпадает с поверхностью воды, искривленной коротковолновым возмущением на фоне длинноволнового. При этом "коротковолновому" преобразованию подвергалась как функция тока среднего течения, так и ее длинноволновое возмущение. В результате были получены две связанные системы уравнений для длинноволновых и коротковолновых возмущений. На основании их численного решения находился модулированный ветровой инкремент, который при достаточно малой крутизне длинной волны можно представить в виде

В — Во (1 + кат cos (kx —uit — <рт)) ,

здесь и, к, а - частота, волновое число и амплитуда длинной волны.

В 4.3 приводятся результаты расчета модулированного ветрового инкремента, полученные в рамках различных моделей замыкания уравнений Рейнольдса. При этом предполагалось, что амплитуды коротких волн настолько малы, что они могут быть рассмотрены в линейном приближении.

В 4.3.1 представлены результаты, полученные в рамках квазиламинарной модели. При этом коэффициент модуляции инкремента коротких волн оказывается пропорционален коэффициенту модуляции градиента скорости в вязком подслое М = 2с (ckva)1/2 / и^. Значение М растет при уменьшении скорости ветра и с ростом периода длинной волны, что качественно соответствует наблюдаемым свойствам гидродинамической МПФ. Однако значения модуля коэффициента модуляции инкремента оказываются недостаточно велики, чтобы объяснить данные эксперимента количественно. Причина этого расхождения состоит в том, что в

квазиламинарной модели пренебрегается волновыми возмущениями турбулентных напряжений.

В 4.3.2 сделана оценка влияния турбулентного обмена на модуляцию инкремента коротких волн в рамках простой модели турбулентного пограничного слоя над взволнованной водной поверхностью. Турбулентный поток представлялся в виде двуслойной жидкости. Вязкий подслой, в котором эффективный коэффициент вязкости мал, моделировался тонким слоем покоящейся невязкой жидкости, прилегающим к поверхности воды. Логарифмический пограничный слой, в котором скорость меняется по медленному закону, а эффективная вязкость велика, аппроксимировался слоем жидкости, движущимся со скоростью, примерно равной скорости потока на границе вязкого подслоя (12и,). Коэффициент вязкости считался постоянным, а его величина оценивалась на основании рассмотрения энергообмена волны с потоком. Генерация поверхностных волн в рамках такой модели обусловлена механизмом "отрицательной вязкости", когда диссипация происходит в движущейся среде, причем скорость движения такова, что в системе отсчета, где среда покоится, волна имеет отрицательную энергию. В такой модели коэффициент модуляции инкремента коротких волн определяется отношением средних и длинноволновых компонент скорости воздушного потока, и его модуль равен с/ (6и»), а фаза близка к ж.

В 4.3.3 приведен расчет коэффициента модуляции инкремента коротких волн в присутствии длинных в рамках градиентной аппроксимации турбулентных напряжений в воздушном пограничном слое. Зависимости амплитуды и фазы коэффициента модуляции ветрового инкремента от нормированной фазовой скорости длинной волны имеют следующие характерные особенности: 1) т имеет минимум при с/и» ~20; 2) значения т велики при больших фазовых скоростях длинной волны и растут почти линейно с ростом с; 3) фаза <рт меняется от 0 до —7г с ростом с/и». Эти качественные особенности объясняются формой длинноволновых возмущений области энергообмена короткой волны с потоком, которая для сантиметровых волн располагается в переходной области от вязкого подслоя к турбулентному пограничному слою.

С использованием рассчитанных значений коэффициента модуляции инкремента в рамках релаксационной модели вычислялась гидродинамическая МЦФ (рис.8). Параметры волн и ветра соответствовали эксперименту [22*].

Из рис.8 видно, что модуляция инкремента существенно влияет на значения гидродинамической МПФ. Линейная модель дает значения модуля МПФ, близкие к измеренным экспериментально, но не может объ-

яснить величину фазового сдвига.

«Гц)

Рис. 8. Зависимость гидродинамической МПФ от частоты длинной волны, рассчитанная в рамках линейной теории. Длина короткой волны 2.3 см

Сплошные линии - с учетом модуляции инкремента, пунктирные -без учета модуляции инкремента. Скорости трения ветра: 1 - 16 см/с,

(ГГц)

Рис. 9. Зависимость гидродинамической МПФ от частоты длинной волны, рассчитанная в рамках квазилинейной теории. Длина короткой волны 2.3 см. Сплошные линии - с учетом модуляции инкремента, пунктирные - без учета модуляции инкремента. Скорости трения ветра: 1-16 см/с, 2-30 см/с, 3-50 см/с.

Параметр разгона N=10.

Фактически ветровые волны имеют конечную амплитуду, и необхо-

димо учитывать нелинейные эффекты взаимодействия волн с ветром. Наиболее существенный эффект - это деформация средней скорости ветра. Поскольку ветер генерирует волны на поверхности воды, т.е. передает им часть своего импульса, то его скорость должна убывать. Появляется отрицательная добавка к профилю скорости ветра, что, в свою очередь, эквивалентно возрастанию параметра шероховатости.

В 4.4 рассмотрена модельная задача о трансформации коротких ветровых волн в присутствии волны зыби с частотой много меньшей частоты пика в спектре ветровых волн. Для таких низкочастотных волн коэффициент модуляции инкремента брегговской волны (являющейся одной из гармоник в спектре ветровых волн) пропорционален коэффициенту модуляции турбулентного касательного напряжения. В'присутствии волны зыби профиль скорости ветра осциллирует, и возникают вариации параметра шероховатости. Это вызывает дополнительную модуляцию длинноволнового возмущения турбулентного вязкого напряжения по сравнению с линейным случаем, когда она находится в противофазе с возвышением водной поверхности. При этом фазы коэффициентов модуляции турбулентного касательного напряжения й ветрового инкремента брегговской волны сдвигаются к нулю.

Расчет нелинейного эффекта модуляции параметра шероховатости проводился в квазилинейном приближении, описанном в 3.3. Коэффициент модуляции спектра коротких (брегговских) волн рассчитан в рамках релаксационной модели с учетом коэффициента модуляции инкремента. Считалось, что спектр ветровых волн задается формулой JONSWAP.

Результаты расчетов для параметров ветра и воли, соответствующих эксперименту [22*], представлены на рис.9.

Видно, что учет конечности амплитуды ветровых волн дает значения модуля и фазы гидродинамической МИФ, удовлетворительно согласующиеся с имеющимся натурным данными.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

I. Построена асимптотическая теория, описывающая нелокальные эффекты, обусловленные процессом слабой диффузии, при резонансном взаимодействии квазигармоиических волн малой, но конечной амплитуды с потоками разной физической природы, в случае произвольного соотношения между нелинейностью и диффузией.

1. Изучено взаимодействие внутренних гравитационных волн с плоскопараллельными стратифицированными сдвиговыми потоками в

нелинейно-диссипативном критическом слое (КС), формирующемся в окрестности резонансного уровня, в котором скорость потока совпадает с фазовой скоростью волны. Покачано, что совместное действие радиационной силы во внутренней области КС и диффузии завихренности во внешнюю область приводит к установлению течения, в котором асимптотические значения средней завихренности по разные стороны от КС постоянны, ио различны по величине. При выполнении условия линейной динамической устойчивости (Ш >1/4) возникающие перепады завихренности окатываются сравнимыми про порядку величины с ее невозмущенным значением. Возникает волна, отраженная от неоднородности завихренности в КС. С ростом амплитуды падающей волны значение средней завихренности со стороны падения стремится к пороговому значению линейной устойчивости (число Ричардсона равно 1/4), а коэффициент отражения - к минус единице.

2. В режиме нелинейного дпссипативного КС исследовано квазнстацио-нарное асимптотическое поведение течения, формирующегося при падении внутренней гравитационной волны на динамически устойчивый стратифицированный по скорости и плотности поток, скорость которого на некотором уровне совпадает с фазовой скоростью волны. Показано, что диффузия завихренности приводит к формированию нелокальной переходной области от К(' к невозмущенному течению, названной диффузионным пограничным слоем (ДПС). При этом происходит смещение КС навстречу падающей волне. Для средних полей найдено автомодельное решение, справедливое в случае постоянного перепада завихренности через КС. Определены его параметры в зависимости от внутреннего числа Рейнольдса в КС, которое определяет соотношение между нелинейными и диффузионными эффектами для волнового поля в резонансной области. Определена структура и временная динамика ДПС, формирующегося при обтекании неровной поверхности потоком стратифицированной жидкости, меняющим направление на некотором уровне.

II. Для динамически устойчивых стратифицированных сдвиговых

потоков исследованы особенности излучения волн локализованными источниками, обусловленные наличием резонансных уровней.

1. Проведен расчет радиационных сил, действующих на локализованные препятствия различной формы, обусловленных излучением внутренних гравитационных волн в стратифицированных сдвиговых потоках. Показано, что изменение дисперсионных характеристик волн

в присутствии сдвигового потока приводит к существенному возрастанию радиационных сил по сравнению с однородным потоком. Определены качественные особенности радиационных сил, действующих на тела в потоках с ненулевой средней завихренностью. 2. В квазилинейном приближении исследована деформация профиля скорости потока, вызванная резонансным взаимодействием с волнами, излучаемыми при обтекании статистически однородного случайного поля возвышений подстилающей поверхности. Показано, что модуль вектора скорости потока не меняется во времени, а угол, определяющий его направление, удовлетворяет уравнению простых волн Римана. При малых числах Фруда и умеренных числах Ричардсона величина деформации потока определяется средней радиационной силой, действующей на единицу площади поверхности.

III. Изучены особенности нелинейного резонансного взаимодействия волн с потоками в условиях сильной диффузии. Анализ проведен применительно к проблеме генерации поверхностных волн конечной амплитуды турбулентным воздушным потоком (ветром).

1. Предложена модель, описывающая ветровую генерацию поверхност-

ных волн на воде с учетом турбулентной диффузии импульса в воздушном потоке и нелинейных эффектов при взаимодействии волны с ветром. Модель основана на использовании i) уравнений Рейнольдса, выраженных в ортогональных криволинейных координатах; ii) градиентной аппроксимации турбулентных потоков импульса; iii) квазилинейного приближения для волновых возмущений. В рамках этой модели проведен расчет нелинейных поправок к инкременту, обусловленных нелокальным эффектом деформации среднего потока.

2. Построены модели генерации гравитационно-капиллярных поверх-

ностных волн турбулентным ветром вблизи порога устойчивости при различных граничных условиях на дне и поверхности воды. На основании линейной модели генерации волн турбулентным ветром определены зависимости пороговых значений скорости трения ветра и волнового числа наиболее неустойчивого возмущения от управляющего параметра (глубины жидкости или модуля упругости пленки). Для случая, когда волновое число наиболее неустойчивого возмущения не совпадает со значениями, при которых основная гармоника находится в резонансе со второй гармоникой или со средним течением, рассчитаны коэффициенты уравнения Гинзбурга-Ландау.

IV. С целью развития теории радиоизображения длинных поверхностных волн построена модель, позволяющая рассчитать гидродинамическую компоненту модуляции рассеянного радиосигнала, которая учитывает эффект трансформации брегговской компоненты спектра коротких поверхностных волн. В модели учитываются осцилляции ветрового инкремента коротких поверхностных волн, вызванные присутствием длинных. Показано, что учет модуляции инкремента коротких волн в рамках линейного приближения дает большие (12-15) значения модуля гидродинамической компоненты модуляционной передаточной функции радиосигнала (гидродинамической МПФ) на частоте воли зыби близкие к экспериментально измеренным. При этом значения фазы близки к -тг, что противоречит наблюдениям. Предложена квазилинейная модель модуляции ветрового инкремента коротких поверхностных волн, учитывающая деформацию профилей скорости воздушного потока и его длинноволнового возмущения, вызванную нелинейным взаимодействием с. полем ветровых волн. Оценки, проведенные в рамках упрощенной модели, показывают, что учет нелинейных эффектов при взаимодействии волн с ветром и длинноволновым возмущением позволяет улучшить соответствие рассчитываемых значений фазы гидродинамической МПФ наблюдаемым величинам по сравнению с линейной моделью.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ'ДИССЕРТАЦИИ

[1] Троицкая 10.И. Вязко-диффузионный нелинейный критический слой в стратифицированном сдвиговом потоке // Препр. ИПФ АН СССР. N 230. Горький. 1989. 31с.

[2] Троицкая 10Л1 Квазистационарный вязко-диффузионный критический слой в устойчиво стратифицированном сдвиговом потоке // Препр. ИПФ АН СССР. N258. Горький. 1990. ЗКс.

[3] Yu.I. Troitskaya Viscous diffusion nonlinear critical layer in a stratified shear flow // J. Fluid Mecli. v.233. 1991. p.25-4«.

[4] Резник C.H., Троицкая 10.И Волновое сопротивление локализованной неоднородности дна стратифицированному сдвиговому потоку, имеющему критический слой // Изв. РАН. ФАО. 1996. т.32. N 1. с. 133-140.

[5] Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Волновое сопротивление плоского локализованного источника, движущегося в стратифицированном сдвиговом потоке, имеющем критический слой // Препр. ИПФ РАН N373. Н.Новгород. 1995. 24 с.

[6] Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Волновое сопротивление локализованной топографической неоднородности в стратифицированном сдвиговом ветре с велопаузой // Препр. ИПФ РАН N400. Н.Новгород. 1995. 29с.

[7] Reznik S.N., Troitskaya Yu.I Wave resistance of I,lie local obstacles in the flows with the critical layers. // Ann. Geophys. Supplement II to v.14. Oceans, Atmosphere, Hydrology and Nonlinear Geophysics. 1995. p. C541.

[8] Reznik S.N., Troitskaya Yu.I Resonant effects in the wind flow with velopause over bottom topography // Ann. Geophys. Pt. II. Oceans, Atmosphere, Hydrology and Nonlinear Geophysics. 199(5. N15. 465C.

[9] Yu.I .Troitskaya, S.N.Reznik Quasi-steady dissipative nonlinear critical layer in a stratified shear flow // Phys.Fluids, 1996, v.8. N12. p.3313-3328

[10] Резник C.H., Троицкая Ю.И. Волновое сопротивление плоского локализованного источника, движущегося в стратифицированном сдвиговом потоке, имеющем критический слои // Известия РАН. МЖГ. 1997. N1. с. 131-140

[11] Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Квазилинейная модель деформации стратифицированного ветра с велоиаузой над случайно- неоднородной поверхностью // Препр. ИПФ РАН N455. Н.Новгород. 1995. 15с.

[12] Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Квазилинейная модель деформации стратифицированного ветра, меняющего направление над случайно-неоднородной поверхностью // Изв.ВУЗов - Радиофизика. 1998. в печати.

[13] Yu.I.Troitskaya Wind excitation of surface waves in the coupled turbulent. shear flow. A simple model of visco-elastic turbulence Prepr. IAP RAS N425. N.Novgorod. 1997. 44р.

[14] Yu.I.Troitskaya Effect of wind turbulent drift How on the wind growth rate of the centimeter surface waves // Ann. Geophys. Supplement II to v.15. Oceans, Atmosphere, Hydrology and Nonlinear Geophysics. 199(i. p. C465.

[15] Реутов В.П.; Троицкая Ю.И. О нелинейных эффектах при взаимодействии волн на воде с турбулентным ветром // Известия РАН. ФАО. 1995. т.31. N 5. с.825-834.

[16] Реутов В.П., Троицкая Ю.И. Нелинейный инкремент ветровых волн на воде и их возбуждение вблизи порога устойчивости // Изв.ВУЗов - Радиофизика. 1995. т.38. N3-4. с.206-210.

[17] Ю.И.Троицкая Эволюционное уравнение для слабонелинейных ветровых волн на поверхности жидкости конечной глубины. Известия РАН. ФАО. т.33. N 3. 1997. с. 364-376.

[18] Yu.I.Troitskaya, А.I).Jenkins A quasi-linear model for wave generation in water covered by surfactant films under a turbulent wind, near the stability threshold // J.Phys.Oceanogr. 1998. (submitted).

[19] Ю.И.Троицкая Модуляция скорости роста коротких капиллярно-гравитационных ветровых волн в присутствии длинных // Препр. ШТФ РАН N314. М.Новгород. 1992. 32 с.

[20] Yu.I.Troitskaya. Modulation of the growth rate of short, surface capillary-gravity wind waves by a long wave. //J.Fluid Mech. v.273. p. 169-187. 1994.

[21] Ю.Н.Троицкая Механизм модуляции волнами зыби скорости роста коротких поверхностных волн, возбуждаемых турбулентным ветром // Известия РАН. ФАО. 1997. т.ЗЗ. N4. с.525-535.

[22] Ю.И.Троицкая Модуляция скорости роста короткой поверхностной волны, возбуждаемой турбулентным ветром в присутствии длинной // Препр. ИПФ РАН N391, Н.Новгород. 1996. 38 с.

[23] Yu.I.Troitskaya Modulation of the short surface waves riding on a swell wave under the turbulent, wind. Quasi-linear model of the growth rate modulation // Ann. Geophys. Supplement VI to v.16. Nonlinear Geophysics & Natural Hazards. 1997. p. CI 130.

[24] Ю.И.Троицкая Модуляция коротких поверхностных волн в присутствии длинных. Эффект модуляции скорости роста. // "Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование", сб. трудов под ред.В.И.Таланова и Е.Н.Пелиновского, Н.Новгород, 1998.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[Г] Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика М.: Наука, 1981.

[2*] А.Я.Басович, В.И.Таланов Адиабатическое взаимодействие волн. Нелинейные волны. Самоорганизация, с. 147-166. 1985 г.

[3*] С.А.Маслоу Неустойчивости и переход в сдвиговых течениях, в кн. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности, под ред.Х.Суинни, Дж.Голлаба, М.:Мир, 1981. с.218-270.

[4*] Craik A.D.D. Wave interactions and fluid flows. Cambridge University Press. 1985.

[5*] Триттон Д.Дж., Девнс ГГ.А. Неустойчивости в геофизической гидродинамике. В кн. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности, под ред.Х.Суинни, Дж.Голлаба, М.:Мир, 1981. с.271-3 К).

[6*] Maslowe S.A. Critical layers in shear (lows // Ann.Rev.Fluid Mech.. 1986, v.18, P.405-432.

[7*] . Шухман И.Г. Вопросы теории нелинейных и диссипативных процессов в динамике гравитирующих систем, жидкости и плазмы. Диссертация на соискание ученой степени , доктора физ-мат наук, Иркутск, 1986.

[8*] Haberrnan К. Critical layers in parallel flows // Stud.Appl.Math., 1972, v.51,N2, P. 139-161.

[9*] Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники. Мех.жидк. и газа. 1987. т.21. с.93-179.

[10*] Красильников В.А., Павлов В.И. О нелинейном затухании плоских монохроматических волн на поверхности жидкости // Вестник Моск.унив. Физика н астрономия. 1972. т.13. N 1. с.94-98.

[11*] Fabrikant A.L. On nonlinear water waves under a light wind and Landau type equations near the stability threshold // Wave Motion. 1980. V.2. P.355-360.

[12*] Smith J.A. Modulation of short wind waves by long waves // "Surface Waves and Fluxes", v.l. p.247-284. Kluwer. Academic Publishers. Nutherlands.1990.

[13*] Hasselmaii K„ U.K. Raney, \V,.I.Plant. W.Alpers, R.A.Shuchaian, D.R. Lyzenga, C.L.Rufenach, M.J.Tucker Theory of synthetic aperture radar imaging: a MARSEN view // .J. Geophys. Res. v. 90. 4659-4686. 1985.

[14*] V.N.Kudryavtsev, C.Mastenbroek, V.K.Makin Modulation of wind ripples by long surface waves via the air flow: a. feedback mechanism // Boundary Layer Metheorology. 1997. v.83. p.99-116.

[15*] Fritts D. The nonlinear gravity wave - critical layer interaction. // J.Atm.Sc.i. v.35. p.397-413, 1978.

[16*] Koop (»., McGee B. Measurements of internal gravity waves in a continuously stratified shear flow. // J.Fluid Mech.v.172. p.453-480. 1986.

[17*] Смольяков А.В. Спектр квадрупольного излучения плоского турбулентного пограничного слоя // Акуст.ж.1973.Т.19.вып.З. С.420-425.

[18*] Miles J.W. On the generation of surface waves by shear Hows. Part 4. // J.Fluid Mech. 1962. v. 13. p.433-448.

[19*] Valenzuela G.R. The growth of gravity-capillary waves in the coupled shear flow //J.Fluid Mech. 1976. v.76. p.229-250.

[20*] C.'halikov D. Numerical simulation of the boundary layer above waves . // Bound.-Layer Meteor. 1986. v.34. p.63-98.

[21*] Plant W. A relationship between wind stress and wave slope // Л.Geophys. Res. 1982. v.87. p. 1961-1967.

[22*] Plant W.J., Keller W.C., Cross A. Parametric dependence of ocean wave-radar modulation transfer functions //.I.Geophys. Res. 1983. v.88. p.9747-9756

Юлия Игоревна Троицкая

ДИФФУЗИОННЫЕ И РАДИАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ РЕЗОНАНСНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВОЛН С ПОТОКАМИ

Автореферат

Подписано к печати 2.10.98 г. Формат 60x90 1/16. Бумага писчая № 1.

Усл. печ. л. 2,06. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 110 экз. Заказ № 78. Бесплатно.

Отпечатано на ротапринте в Институте прикладной физики РАН, 603600, г. Н. Новгород, ул. Ульянова, 46

ТУ

<5? оА 99 -

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ

Президиум ВАК Р о с с и

и !

(решение от

присудил ученую степень ДОКТОРА

I Начальник управления ВАК I

наук России

Ьа правах рукописи

ТРОИЦКАЯ Юлия Игоревна

УДК 533.9:532.5

ДИФФУЗИОННЫЕ И РАДИАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ РЕЗОНАНСНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВОЛН С

ПОТОКАМИ

01.04.03-радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 1998

Содержание

ВВЕДЕНИЕ............................................ 6

1 Асимптотические модели диффузионных эффектов при нелинейном резонансном взаимодействии волн с потоками .............'...-.................................. 26

1.1 Введение .............................. 26

1.2 Нелинейный стационарный диссипативный критический

слой в стратифицированном сдвиговом потоке......... 28

1.2.1 Постановка задачи. Внешняя задача, скейлинг..... 28

1.2.2 Особенности асимптотического поведения средних полей при переходе через критический слой...... 34

1.2.3 Внутренняя задача. Спектральная модель диссипа-тивного" нелинейного критического слоя. ....... 37

1.2.4 Численное определение параметров нелинейного дис-сипативного критического слоя. ............ 44

1.3 Нелинейный квазистационарный диссипативный критический слой в стратифицированном сдвиговом потоке..... 58

1.3.1 Введение........................... 58

1.3.2 Постановка задачи. Качественные особенности течения в окрестности критического слоя.......... 60

1.3.3 Нелокальная структура среднего потока, обусловленная процессами диффузии................ 68

1.3.4 Автомодельная деформация среднего течения в диффузионном пограничном слое .............. 71

1.3.5 Волновые возмущения п диффузионном пограничном

1.3.6 Правила обхода квазистаиионарного диссипативно*-

нелинейног-о критического слоя. . ............. 82

1.4 Нелинейные диффузионные эффекты при излучении волн источниками'в потоках с резонансными слоями......... 88

1.5 О деформации функции распределения-электронов при нелинейном затухании Ландау ленгмюровской волны в слабо-столкновительной плазме. ....... . . ........... 93

1.6 Выводы...............................102

2 Резонансные эффекты при излучении волн локализованными источниками в потоках с переменной плотностью (линейные и квазилинейные модели) ..................106

2.1 Введение ..............................106

2.2 Сопротивление излучения двумерных источников в стратифицированных сдвиговых потоках при наличии критических слоев .................................107

2.2.1 Радиационная сила, действующая на двумерное возвышение поверхности...................107

2.2.2 Особенности радиационной силы, действующей на цилиндрический источник, движущийся над твердой поверхностью.........................118

2.3 Особенности сопротивления излучения трехмерных источников при наличии критических слоев ..............135

2.4 Квазилинейная модель деформация потока при обтекании случайно- неоднородной топографической неоднородности. . 143

2.4.1 Постановка задачи ....................,143

2.4.2 Приближение больших чисел Ричардсона........151

2.5 Выводы................................156

3 Эффекты турбулентной диффузии при взаимодействии поверхностных волн с ветром, .......................160

3.1 Введение ..............................160

3.2 Модели генерации поверхностных волн турбулентным воздушным потоком .........................161

3.2.1 Невозмущенное течение......................164

3.2.2 Уравнения гидродинамики в криволинейных координатах, зависящих от времени ..............166

3.2.3 Волновые возмущения турбулентных напряжений. Модель вязко-упругой турбулентности........ . 170

3.2.4 Дисперсионное уравнение для поверхностных волн в присутствии турбулентных сдвиговых потоков в воде

и воздухе. Численная процедура.............175

3.2.5 Энергообмен поверхностной волны с турбулентными потоками в воде и воздухе................177

3.2.6 Сравнение с имеющимися экспериментальными и теоретическими результатами...............194

3.3 О нелинейных эффектах при взаимодействии волн на воде с

турбулентным ветром.......................207

3.3.1 Основные уравнения....................208

3.3.2 Квазилинейное приближение . . . ............210

3.3.3 Численная модель и расчет инкремента ........216

3.4 Эволюционное уравнение для слабонелинейных ветровых

волн на поверхности вязкой жидкости конечной глубины . . 223

3.4.1 Пороговые значения скорости ветра и волнового числа для волн на воде конечной глубины.........225

3.4.2 Нелинейная поправка к фазовой скорости периодической волны на поверхности бесконечно глубокой жидкости (консервативная задача)..............231

3.4.3 Вычисление коэффициентов уравнения Гинзбурга-Ландау............................234

3.5 Квазилинейная модель генерации турбулентным ветром волн

на воде, покрытой упругой пленкой...................247

3.5.1 Эволюционное уравнение для слабо-нелинейных волн вблизи порога устойчивости...............249

3.5.2 Пороговые значения параметров задачи........250

3.5.3 Нелинейная поправка к инкременту...........253

3.6 Выводы...............................256

Влияние модуляции инкремента коротких поверхностных волн на трансформацию их спектра в присутствии длинных волн (линейные и квазилинейные модели) .........261

4.1 Введение ..............................261

4.2 Формулировка проблемы и общие уравнения .........262

4.2.1 Имеющиеся экспериментальные результаты......262

4.2.2 Основные механизмы модуляции коротких волн в присутствии длинных...................265

4.2.3 Уравнения гидродинамики для двухмасштабных волновых возмущений.....................267

4.2.4 Модель вязко-упругой турбулентности.........274

4.2.5 Дисперсионные соотношения для длинных и коротких волн в системе вода-воздух ...............276

4.3 Модуляция ветрового инкремента коротких поверхностных волн в присутствии длинных. Линейное приближение .... 282

4.3.1 Квазиламинарная модель Майлса............282

4.3.2 Модель отрицательной турбулентной вязкости.....293

4.3.3 ' Градиентная модель турбулентного пограничного

слоя.............................301

4.3.4 Трансформация спектра коротких поверхностных волн в присутствии длинных...............313

4.4 Влияние нелинейности ветровых волн на их модуляцию в присутствии длинных поверхностных воля...........317

4.4.1 Нелинейная релаксационная модель трансформации спектра коротких поверхностных волн в присутствии длинных........................... 317

4.4.2 Среднее течение и длинноволновое возмущение .... 320

4.4.3 Коротковолновое возмущение..............324

4.4.4 Расчет коэффициента модуляции инкремента и гидродинамической модуляционной передаточной функции...........................333

4.5 Выводы ....... ....... . . ...............339

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................342

Библиография..........................................347

1 ^ ^ ГЦ .Сл х х 11 Л/

Исследование взаимодействия волн с потоками занимает значительное место в различных областях физики: механике жидкости и газа, включая геофизическую гидродинамику [1, 2, 3, 4, 5, б, 8, 9], физике плазмы [10, 11, 12, 13, 14, 15], астрофизике [16, 17]. В последнее время интенсивно развивается универсальный подход к описанию и интерпретации взаимодействий между волнами и потоками на языке коллективных явлений. Понятие "коллективные явления" впервые было использовано в физике плазмы при описании макроскопических процессов, происходящих при взаимодействии волн с частицами [15]. В настоящее время этот термин используется более широко. При этом представление о частицах, их распределении и силах взаимодействия определяется физической природой рассматриваемых сред.

Так в разреженной плазме частицами являются реальные электроны и ионы, свободно движущиеся в электрических и магнитных полях, а статистической характеристикой, описывающей их коллективные свойства, является функция распределения по скоростям [15]. Развитие плазменно-гидродинамической аналогии показало, что к описанию взаимодействия волн с плоскопараллельными гидродинамическими потоками применимы1 подходы, развиваемые в бесстолкновительной плазме [11, 12, 18, 19, 21, 20, 22, 23]. При этом роль частиц играют макроскопические объемы среды. И может быть задана функция распределения таких частиц, определяемая зависимостью скорости потока от поперечной координаты [24]. Сравнительно недавно было показано [25], что на языке коллективных явлений также может быть рассмотрено адиабатическое взаимодейстивие длинных и коротких волн. При этом аналогом частиц являются пакеты коротких волн, а их распределение задается спектром волнового действия. Кроме

того, подход, основанный на идеологии коллективных взаимодействий, используется в астрофизике при описании волн в гравитирующих системах с вращением [16, 17]. Несмотря на общие закономерности, взаимодействие волн с потоками в разных средах имеет свои особенности, иногда облегчающие, а иногда затрудняющие рассмотрение конкретных явлений, В связи с этим взаимное влияние исследований в разных областях имеет существенное значение.

В настоящей диссертации рассматривается резонансное взаимодействие волн с потоками, при котором фазовые скорости волн совпадают со скоростями определенной части частиц потока. Наиболее известным примером такого взаимодействия является линейное и нелинейное затухание Ландау продольных волн пространственного заряда на электронах разреженной плазмы [14, 10]. Его аналогом в общей теории нелинейных волн является адиабатическое взаимодействие длинных и коротких волн в условиях группового синхронизма, когда фазовая скорость длинных волн близка к групповой скорости коротких [25]. Необходимость рассмотрения резонансного взаимодействия волн с потоками возникает и в гидродинамике при исследовании устойчивости плоско-параллельных потоков, например, пограничного слоя или слоя смешения [26, 4, 5, 8]. При этом в задачах геофизической гидродинамики становятся существенными эффекты плавучести, обусловленные плотностной стратификацией жидкости в вертикальном направлении [27, 28, 5]. К рассмотрению аналогичного резонансного взаимодействия волна-частица сводится и задача о нелинейном взаимодействии спиральной волны со звездами вблизи радиуса коротации в дисках галактик [20].

Наиболее просто волны малой амплитуды в потоках можно описать в линейном приближении, пренебрегая диссипативными эффектами (столкновениями частиц, вязкостью и т.п.). В этом случае уравнение, описывающее гармонические волновые возмущения (линеаризованное уравнение Власова, уравнение Рэлея, уравнение Тейлора-Гольдштейна и т.п.), име-

ет особенность в резонансной точке. Это означает, что в некоторой ее окрестности .линейное 'бездмссипативное приближение неприменимо, и необходимо учитывать ряд дополнительных факторов: конечность амплитуды волновых полей (нелинейность), диссипацию, конечность ширины спектра волновых полей или комбинацию этих факторов. При этом область, в которой существенны указанные факторы, в гидродинамике называется критическим слоем (нелинейным, диссипативным, нестационарным или диссипативно- нелинейным и т.п. в зависимости от учтенных факторов). В физике плазмы критическому слою (КС) можно поставить в соответствие область захваченных частиц.

Если перечисленные выше факторы достаточно слабы, то их влияние существенно только внутри резонансной области. Во внешней области для волновых полей применимо линейное бездиссипативное стационарное приближение. При этом для описания взаимодействия волны с потоком применим метод Сращиваемых асимптотических разложений, разработанный применительно к задачам гидродинамики [29].

К настоящему времени наиболее изучено резонансное взаимодействие волн с потоками в бездиссипативном приближении, начиная с работы Ландау [30] о резонансном затухании волны пространственного заряда на электронах плазмы, и работ Кейза и Дикого [31, 32, 33] о гидродинамической устойчивости плоскопараллельных потоков, где были выведены правила обхода особых (резонансных) точек на основе решения линейной начальной задачи. Как в теории плазмы [34, 35], так и в гидродинамике [36, 37, 38, 18], в бездиссипативном приближении было рассмотрено резонансное взаимодействие потока с волной конечной амплитуды. Причем в [18] была показана не просто качественная применимость плазменно-гидродинамической аналогии, но и доказана тождественность эволюционных уравнений, описывающих взаимодействие волна-ноток в бесстолкновительной плазме и плоскопараллелыюм потоке невязкой жидкости. В геофизической гидродинамике в бездиссипативном приближении изучалось падение внутрен-

ней гравитационной волны на стратифицированный сдвиговый поток с КС, причем задача решалась как в линейном [39],'так и в нелинейном приближении [40, 41, 42]. При этом оказывается, что линейные уравнения для волновых полей в стратифицированном -сдвиговом потоке тождественны уравнениям, описывающим колебания электрического потенциала, в волнах пространственного заряда в сильно замагниченной плазме с неоднородным профилем скох>ости [11, 43]. В бездиссипативном приближении энергообмен волны с потоком имеет место в узкой резонансной области (КС, области захвата и т.п.). В этой же области происходит деформация распределения частиц (образования "плато" на функции распределения частиц плазмы, выравнивание профиля завихренности сдвигового потока и т.п.).

Бездиссипативное приближение применимо для достаточно быстро протекающих процессов. Для изучения асимптотики поведения системы волна-поток на больших временах необходимо учитывать диффузию его частиц в пространстве, на котором задано их распределение. В случае частиц плазмы - это пространство скоростей; в случае адиабатического взаимодействия длинных и коротких волн - пространство волновых чисел коротких волн; в случае КС в сдвиговом потоке - физическое пространство. При этом возникают новые нелинейные эффекты, причем сколь угодно слабая диффузия на достаточно больших временах приводит к принципиальному изменению картины деформации среднего распределения частиц по сравнению с бездиссипативным случаем.

Диффузионные процессы в разных пространствах описываются, соответственно, различными функционалами (интеграл столкновений Ландау в плазме [14], дифференциальный вязкий оператор в гидродинамике ньютоновской жидкости, дифференциальная аппроксимация 'интеграла столкновений в форме Фоккера-Планка [14] и т.п.). Наиболее простое описание диффузии существует в гидродинамике. Именно поэтому совместный эффект нелинейности и диффузии был впервые рассмотрен в гидродинамической задаче о квазистационарном КС в плоскопараллельном потоке

однородной несжимаемой жидкости, скорость которого меняется в поперечном направлении [44]. Впоследствии этот эффект был рассмотрен для случая слабостратифицированной жидкости [45], -

Взаимодействие волна-поток происходит следующим образом. Внутри КС действует радиационная сила, которая в стационарном случае уравновешивается. вязкой силой. При этом в КС действует источник завихренности. Из-за наличия вязкости происходит диффузия завихренности. В результате ее асимптотические значения по разные стороны от КС оказываются различными. Это означает, что деформация потока становится нелокальной. Построение теории, описывающей подобные эффекты в потоках с сильной устойчивой стратификацией является важной нерешенной проблемой геофизической гидродинамики, а также представляет интерес с точки зрения общей теории нелинейных волн. Кроме того, представляется важным изучение нелокальных диффузионных эффектов в потоках другой физической природы, например, в плазме, при учете диффузии распределения частиц в пространстве скоростей.

Резонансное взаимодействие волн с потоками может сопровождаться как поглощением, так и усилением волн в зависимости от знака их энергии и распределения частиц потока. При наличии поглощения стационарное поле волн может существовать только при наличии внешних источников. В связи с этим возникает проблема, связанная с описанием излучения источниками волн, находящихся в резонансе с потоком. Достаточно просто такая задача решается в случае, когда источник излучает гармонические волны. При этом возможно рассмотрение излучения как линейных, так и нелинейных волн. В более реалистичном случае локализованных источ-, ников проблема описания излучения волн в неоднородных потоках очень сложна, и ранее она изучалась только при отсутствии резонанса между излучаемыми волнами и потоком [46, 47, 48]. При наличии резонанса эта задача допускает достаточно простое аналитическое решение лишь в линейном приближении, когда для обхода особенности в резонансной точке

используется правило Ландау [14] или Линя [26]. При этом в квазилинейном приближении может быть исследована деформация среднего потока, которая вызывается его резонансным взаимодействием с нолем волн, излучаемых шумовым источником: с конечной шириной спектра. В случае двумерных плоскопараллельных потоков подобная задача была рассмотрена в [49]. При учете трехмерности потоков могут возникнуть к новые эффекты.

Ряд специфических особенностей взаимодействия волны с потоком возникает при наличии сильной диффузии. Необходимость рассмотрения такого случая возникает в задаче о генерации поверхностных волн турбулентным ве�