Динамика кусочно-однородного цилиндрического тела, погруженного в упругую среду (плоские задачи) тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

»'3 1 1 3% •

московский институт электронного машиностроения

На. правах рукописи

атоев Амон Варотович ■

динамика кусочно-с/щородкого цилиндри-

О

ЧЕСКОГО ТЕМ ДОГРУЖЕННОГО В УПРУГУЮ СР5Ж

(ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ) '. -

( 01.02.04 - Мехашкэ деформируемого гвбрдого тела )

автореферат ' диссертации на соискание учбной. степени кандидата физико-математических наук

Москва-1Э^

Работа выполнена на кафедре "Математическое моделирование Зизико-кеханичвских систем " Московского института электронного машиностроения.

Научный руководитель' Доктор технических наук,

профессор Трояновский И.Е.-Научный консультант: Кандидат физико-математических наук Сафаров И-И-

,Официальные ошоненва= Доктор физико-математических

наук, профессор Кравчук A.C. Доктор технических наук, профессор г&грсаидов М-М-

Ведущая организация: Институт механики сцлощшх сред (г. Пермь)-

Защита состоится О- ^ 1992 г-

час

на заседажм Специализированного.совета Д 063-68.01 Московского ¡института электронного машиностроения по адресу: ЮЭ028. Москва. Б.Вузовский пер-. 3/12.

,'С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке ШЭМ-Авторефорат разослан

jQ U.C.xSf^CL- 1Эд2 г

УченьЛ секретарь Спзщ'.а^'.зигои.'^июго совета кф.м н

С

В.М.Ягажж

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Задачи, связанные с исследованием стационарного и нестационарного взаимодействия волны с абсолютно жесткими и деформируемыми преградами и с тонкостенниш элементами конструкций,находящимися в различит средах, привлекают физиков,математиков и механиков своэй современностью.актуальностью, сложностью и многообразием явлений, связанных с различными механическгояии физическими процесса!.®. " -

Развитие современных огргслой машиностроения и строительства требуют точного значения наяряженно-дефорлированного состояния конструкций при различного рода динамических воздействиях. При проектирования изделий и сооружений в различных областях .новой техники', судостроении, ядерной энергетике и ре-акторостроенюа, а также'в связи с расчетами на сейсмостойкость возникает необходимость учитывать влияние среды, окрунащей • конструкцию и тела различной конфигурации..

Теоретическое исследование колебаний силосных многослойных кусочно-однородных систем рривлекает внимание многочисленных . ■ исследователей в нашей стране и зарубехом. Это обусловлено тем, что во многих областях техники, строительстве подземных сооружений, в том числе ракетной и авиационной промышленности все ча^е приходится сталкиваться с необходимостью рассчета полей нзпряяз-- ' ний и деформаций, возникающих при различного рода воздействиях.-Несмотря на значительные результаты в этой области, проблема развития и создания аналитических и численных методов расчета -

кусочно-однородных систем под действием гармонических'и импульсных нагрузок продолжает сохранять спою актуальность. В настоящей работе, в обличив ох известны, изучается кусочно-однородная система, связанная с бескоаэчныш средами. Настоялся работа посвящена изучению этих проблем.

Такка изучается дифракция гармонических и нестационарных волн'на цилиндрическом слоистом теле. Цзль работы состоит:

1) В разработке,обосновании и апробации катодиси алгоритма и расчета кусочно - однородных механических систем.

2) В показании влияния кусочно-однородности на напряженно -дефор>мироваше и частотные характеристики системы.

3) В проведении исследования дифракции стационарных и нестационарных золн на цилиндрическом слоистом теле, находящемся в

безграничной упругой среде. В выявлении резонансных явлений в

■ • ' ■ " ■ ■ ■ • .1 кусочно - однородных механических систему в диапазоне

безразмерных волновых чисел. •

Метод исследования состоит в аналитическом и численном ью-

Г ^ ^

долироьании на ЭЕМ процесса --динамики кусочно - однородных цилиндрических тел,-.погруженных'в упругую среду. . Научно - практическая значимость. Изменение собственных частот и показателей демпфирования с зависимости от гесь'.отричаских и физпка-кахашгавских параметров системы представляет научный и прикладной интерес. В раоотз получена необходимая как в практическом,- так и в теороти'аском плане юф>рмация о некоторых физических закономерностях напри-

аекно - дефорщфованных и спектральных характеристик кусочно -однородных цилиндрических тел.5'

Полученные в работа результаты могут быть 'использованы в инженерной практика расчета' сейсмостойкости подземных сооружений. Предложенные в работа алгоритм могуть быт обобщены на задачи более еысокой размерности. Кроме того, результаты могут быть использованы при разработав•новых моделей кусочЕо - однородных систем, находявдхся в вязко - упругой.среде.

Научная новизна.

Впервые решена задачи о собственных колебаниях кусочно - . однородных цилиндрических тел, находящихся в безграничной упругой среде. Проведены аналитические и численные исследования-динамики кусочно - однородных цилиндрических тел, контактирующих с деформируемой средой.

Досуовэрность результатов, полученных в диссертации, обоснована применением классических уравнений теории упругости, яс-кальзсвзяябм апробированных математических методов, исследованием на сходимость численных схем ресения задач, э такие сравнением результатов с репонижи, полученными ракэе другими авто-раж!.

Апробация работы.'Основные результаты диссертации докладывались я обсуждались на : VII Всесоюзной конференции но динамике оснований, Фундаментов и подземных сооружений ( Дне и- ■ ропэгрозен 1989 г.), Республиканской ксяфзрбяцид по сплоапкм средам, посвященной памяти академика Х.А.Рахмзтулияа ( Ташкент

I

198Э г.), Республиканской конфэре^плпт по прочности и фордизме-

ненке элементов конструкций при воздействии ф;:зико - механических нолей ( Киев 1990 г.). на научных семинарах кафедра Математического моделирования фкзико - механических систем Московского института электронного мгшшюстроекйя ( Москва 1932 г. ).

. • Публикации. По материалам выполненных исследований- опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения трех глав, заключения г списка литература из 111 наименований , изложенных, на 97 страницах машинописного текста, содержат 41. рисунка, 13 таблиц - всего 129 страниц.

- СОДСТМШЕ РАБОТЫ Во вввданки обосновывается актуальность выбранной темы, исследования. Дан обзор публикаций, связанных с темой ксследова- .

вия. Сформулирована цели работы и излагался общие .сведения о 1-к

работе по 'главам.

В первой главе 1фиводатся общая катештетзская постановке задачи динамики кусочно - одаородзах кехаякчесюа систем.

В качестве примера кусочно-однородаак. кехаяичвских систем ,

приводится многослойная цшшдрачйская скствма.-

О

3 щизшдрической системе коордьшат (г,е,з) рассмотрим изотропное упругое тело У, состоящее из кусочно-однородных тел (3=1 .М) - Тело V погружено в'однородную упругую среду. 1'разненке деиаения кагдого куска записаны в потенциалах перемещения:

1 5 Фч -V 1 д %

-яр.- 4--^ = Г, .(х; 1;); -4--р4 = Г?.(х; г) (1)

3 С . <31 ^ 3 С . 23

где (р^ - скалярный, $ - векторный потенциал, V - двухмерный

оператор Лапласа, ■/( и Св;)= ■/ц^/р^'

скорости продольных и поперечных волн, я - постоянные

Лямэ, р^ - плотность, и - внеиниэо нагрузки, 3-го

элемента. 4 ■

Для решения волнового уравнения (1) между кусками стзеятся

условия жесткого и скользящего контакта. Внутренная поверхность

свободна от напряжений

аг в = аг г = 0 . при г = г0 (2)

Для обеспечения единственности рз-лекия прл собственных и вгэуг-

данвых колебаниях ставятся условия' на бесконечности: яодызз

.условия излучения Зожеррэдъда при вынуяденшх колебаниях

С

На У г -г ¿а ,<р. = С, Нп Ф, = о,

(3)

г- г яр < ■)

, Ля тГг [ + } - О, Ш ф

укоро'юнчда уаповпя Зсгягрр^льда пга собственна* колебаниях:

о

т.е. не требуется затухание нэ бесконечностн. а^ к р^ -еолеоеыэ числа. ...

Для каждой конкретной задачи условия (3) и (4,} прамут соот-ветствушна вид.

1. Собственные колебания ( Г1 ^ =0). ■ Решение уравнения (1) имеет вид:

' <Р3(х, X) ' ' 9* ( 5) •

ей

(5)

гдэ СЪ П11+101- комплексная собственная частота, которую нооб-ходао определить. На бесконечности - укороченные условия (4), для каздой компоненты <р* и ' ф* .

2. Установившиеся вынузздешша колебания: внешние воздействия и движения системы (1) периодичны по времени

(к=1,2), П -.заданная действительная частота. Кз бесконечности -'Польше условия Зокмерфельда (3),для кадай компоненты ' ср* и ф* .

3. НоустаноЕИвшеся вынуздешше колебания. Прша;з части X, ^ и равны нулю при 1x0, при 1>0 они произвольные. В момент г = О ставятся-начальные условия

йл(х,0) = ило(5),

0йл(х,о)/м = и,0(х),

(6)

тде и^— вектор перемедэшш. На бесконечности условия нэ ставятся.

4. Дифракция'гармонических ( нестационарных ) волн,

Л

1з бесконечности приходит падаюшая гармоническая ( нестационар-1ая ) волна. Для отраженных волновых полей задача решается по I. 2 ( по.п. 3 ).

Рассмотрен ход решения взаимодействия гармонических волн з многослойных цилиндрических телах. При решении данной задачи } цилиндрических координатах падающие волны также представляйся в цилиндрических координатах:

\дэ

Ф,р)=<р0 ^ «п£п/п(а1г)созлее~£иг - . (?)

п=0 '

Г 1 при л = О п I 2 при п > 1

<Г (а .¡г Г-функция Бесселя ( - го рода, п - го порядка,..

волновое число сжатия, ш - круговая частота. Решение волнового уравнешя- (1) с учетом условий (2) и (3) водится к решению трансцендентному алгебраическому уравнению виде: • .

[С] ф = {?) (8)

т

дв {Ч} = а11;„с1Н, В1И. й1К; .... а11>53_1 , в^,} атрица столбец, который в дальнейшем определяется, Р> = (0,0, ..., Р1Ы.Р2Н ) - матрица столбец внешних нагрузок, С] - нэвыродденкая квадратичная матрица размерности

4- 2)х(417 +■ 2),элемента которого являются функции Бесселя и

го

Ханкеля 1-го к 2-го рода к-го порядка. Система ашгэбраатаскгх . уравнений (8) с комплексными коэффициентами решается методом Гаусса, с выделением гл&вного элемента.

При отсутствии внесних нагрузок ■ (Р) = о задача (1) с уче-' ,. том условий (2) к (4) сводится.к комплексному трансцендентному уравнению в виде:

[СЭ = 0 (9)

которая реиается.в данной работа таслэшо катода &шэра.

При решении кестацкозарной задачи пркпе^аэтся штегральноэ -преобразование Фурьэ по Ерамаш. Рггзнсэ вэлкоього ураьтзнзя (1) в изображениях вырггазгся, о;>оз кадзфшздзовгащув ©варе* Бесселя 1-го в 2-го рода. Обратное срсоЗразох.гн1-а ссуг;:сл.'л£-' . ется именно мзтодам Рс^барга. В шргоЗ г&хз дшз: вычисление фушщдп Бессзля и Но&*зна п-го порядка с ксшлехс-ваш аргукэнта}гя& хгривэдан .апгораго.посзроашя хграетэрягск-' ческого уравнения (9), пнп&шния Езсобстаэыаих Еахсгрглов методом Рокбергг:.

Бо второй гяэБв расшатрпвавтся собсчщшг кодо&шкл кг-ооч1Ю - .однородного цгхггщричвского тела, яавдяцргося Е уцрух'с!: среда. 0

йсследуешэ в данксзИ главе задачи о собственных колабанг-ях погруженной в упругую срэду обагочза(слоа) заключается ъ ЕгхозденпЕ тех 5= Йр+И^. - шшлэкснах частот, ери которых (Э) совместно с условием излучения (4) шэзт ненулевое решение в классе бесконечно дай^реЕцгруеккх функций.Показано, что рассматриваемая задача нмэет' дискретный спектр, располокергный в ни&шй

ксгжокенсй плоскости 1еП < 0 и сиа®тричнр относительно «никой сз - осн.

В качестве прз:эра рассматриваются пекоторзэ задачи соб-стгзнет. кслзбзЕгй циизщрпчоскаго тзла, даль которых показать ялаяпке кусо'-Ео-одйсродаостя на кстгшюкснкз частота систокя.

Для рздэавкгцх колэбанпй Еяясортче ского отворотил колуч-э-ео частотное уравнение нзда: • • ' '■

- П^Н^' (О,) + п,(1' (В,) « о

{10)

Г£9 Ь, --• 1.

гц,

1 +

1-2г> 1-2.г>,

"":сло, Н - ргг.т-гус схсзр

£3^=" а,П - .Сззразйорпоэ

гсогЛйиу.епт Пузссснр,

) :: п|1>(0 ) - йшякт: Г".т:::алл 1-го рода, 0-го и 1-го по-

ПИСЗ.' РОЗУЛЬТЯТУ рЕС1ЭТСЗ

гпздстапппы в теб.'гшо :

V 0,1 0,2 0,-3 0,4 '

пЗ Оч 2.25770-01 2.02,370-01 2.555^0-01 2.3'; 70В--01

-й 0, 5.6516В-01 4.ТС--54В-01 3.5515В-01 2.1С?ПВ'0!

локзззта, что б оОяазтз а,Н << 1 су^гстсупт кажлексязз

ЧОСТОТН, и Б 06Л2СГ5 а Й » 1 СуГЦЭСТЕуЭТ ацото ШШЮ частота п1 = - I/ Ъ,. В случае несйпмгБ'.ых кзторизлоз т^« 0.5 » А,-- 0.

При рэдаальнкх колебаниях 1;:гшцрячсскоЗ. оболочки получено ^гаетт'—• "раьнаниэ ввда:

-

(11) •

о

h/R; v2= 1 - v2;

E, 1 -v2 1

V

E01+v, 1-2v,

a0)= b2+ 1; b2= h2/12R2; 0,= cys,; nQ= — R;

о

CQ= /е0/р0- скорость распростроения волн в стержне,

1/2 с

. С0

S,= - = Т) Е

Ср1

(1+^)0-21»,)

1-v,

; г, = Pi/Pd; Е = Е/Е0;

Ср1 = ■/ (Х1 + )/р1 - скорости распространения продольных

волн в безграничной среде. Численные результаты уравнения (11) представлены в таблице 2, при следушда параметрах: 1^= 0.05, т] = О.t, vQ= Q.25, v,=0.20. Если толщина оболочки стремится к Нули, т.е.,при iij -> 0 из уравнения (11) следует (10).

Установлены области существования комплексных и чисто мни-.частот в зависимости от различных физико - механических плрау-лров систему " окрукаюцая среда - оболочка

• Также получено частотное уравнение вида (9) для осесим-метричных .колебаний цилиндрического слоя, находящегося в упругой среде. Матрица (Cl имеет рззмерност (3x3), ее элемента вцража-стся через функции Ханкеля 1-го рода, 0-го и 1-го порядка. Изме-■ ïieiS'.e собственных частот и показателей демпфирования в зависимости от различных параметров систеш представлена в виде таблиц.

ТаЛшгца 2,

°И01 ПХ01

о.аз 3.78520-02. -1.103813-02

0.05 ■ 4.54340-02 -2.255413-02

о.оэ б. 32521)-С32 -4.209513-02

0.12 1 .Б025В-01 ' -' -1.05052-01

0.15 2.632213-01 -1.36912-01

0.18 3.00500-01 -1.17180-01

0.21 3.1655В-СИ -2.15653-01

0.24 3.267011-01 -2.17760-01 ■

В аналогично! постзвовке решена задачи о нвосесижэтриззшк собственных- колебаниях кусочно - однородных упругих цилиндрических систем типа " среда - отверстие. среда - слой

среда — оболочка Для каждой из вше указанных систем шь лучены частотные уравнения (9) и-решены численно методом Шзл-лзра. Изнэкэние комплексных собственных частот в зависимости от различии параметров слетела представлено з-таблицах и рисунках

В трэтьоЯ главе рассматривается дифракция гармонических н нестационарных во® на'цилиндрическом, слоистом теле. Для ' определения напряженно •- деформированного состояния в окрестности цилиндрического слоя требуется найти рееэгш волнового уравнения (1) 'при заданных граничных (2), (3) и начальных (в) условиях. На Саснснгчясстя требуется вшюяаениэ условия голу--

чепия (3) для потенциалов отраженных волн.

Исследовано поведение максимального кольцевого напряжения

о* в зависимости от безразмерных волновых чисел, вв

Показано, что а уменьшением дифракционного параметра D / X., т.е. при увеличении.длины волны значения безразмерного кольцевого напряжения увеличиваются и стремятся к статистическому решению (рис. 1- рис. 2".).Уменьшение толщины слоя приводит к увеличению концентрации напряжений для относительно жестких ело-' ев. Для мягких слчоев в области 0,3 < Ъ/К < 0,45 получается противоюлонная картину. Влияние толщины слоя менее заметно в области коротких.волн (рис.3).

tfjtoeденные исследования показывают, что кривизна фронта упругих волн существенно влияет на величину и распределение

напряжений, возникающих на границе мевду сооружением и окру-'.к j Еакщей средой. Максимальное значение кольцевого напряжения,

согласно решению для циоской волны,.равно 8,2 при В-ъ/2 .и 2,1 при ' е=а (pircad). В аналогичной постановке, ркзгяк задачи дифракции упругих волн па щцщцвричёской оболочке. Сравниваются результаты, подученные дашакичзеккки катодам: теораи упругости fF теории оболочек (рвс.5).

Таккэ рассмотрена задача да^раквии ностационарных boje нь цилиндрическом теле. Исследовано поведение кольцевого напряжения в зависимости от различных параметров•системы. Показано, что если время обтекания достигает половины тогда макс.л.^ль-

яоэ значение кольцевого напряжения pssiío mas о* - 3,7702

* о при 6 = 72 .

■я *

о <2

в'Х -ß

BIC. 4

16m I

в-1

г ( к

F*.

и \

а

:R

-

a'j tQ (.5 " 2,s

IV.С. 5

соответственно аервпя а вторая группа ítcxqiKüx дгщнах, • гозг.с.т a ты для слол.

та

В ззклнйвнш сфорчулироваш осцовннэ результаты диссертации:

1. Предлоээна постановка t задачи о затухаишдх собственных колебаниях слоистных кусочно - однородных цилиндрических тел, погруженных в бесконечную .упругую среду.

Z. Разработан алгоритм для вычисления функция Бессаля и Ханкеля п -го порядка от комплексного аргумента. Численно доказана Сходимость цилиндрических функций. Для вычисления "интегралов с переменными границам! разработан алгоритм Ромберга с повкзенной точностьп.

3. Решена задача о собственных затухающих колебаниях кусочно -однородных щлиндрических тел, находящихся в безграничной упругой среде. Рассмотрены осэсиммвтричные и неосеиаметричные колебания кусочно - однородного цилиндрического тела. Показано, что рассматриваемая задача имеет дискретный спектр, расподокэн-ный в нижней комплексной плоскости Im < Q и симметрично относительно мнимой Q - оси.

4.--Решена задача о да^акции гармонических и нестационарных волн на цилиндрическом теле.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: '

1. Уубораков Я.Н., Сафаров И.И., Сабиров П., Атоев А.Б.

дифракция сейсмических волн на упругом цилиндрическом

сооружении.// Ред.к. Изв. АН УзССР. Рук. деп. в ВИНИТИ.

К 7217 - Б83, 36 с.

2. Сафаров И.К., Атоев А.Б, Собственные колебания многослойного цилиндрического'тела, находящегося в безгражгшсй

вязкоупругоа среде.// Ред.ж. Изв. АН УзССР. Рук.деп. в ВИНИТИ. N 1426 - В89, 34 с. 2. Сафаров И.И.", Атоев А.Б., Кулдашев Н.У. Колебания кусочно-

однородного упругого тела, погруженного в однородную упругую среду (плоская задача).// Изв. АН УзССР, сер.тех. наук. 1990. N 6.-с.24. ©

4. Трояновский И.Е., Сафаров И.И., Атоев A.B. Плоские задачи динамики кусочно - однородного тела, погруженного в упругую среду.// Изв. АН УзССР. сер.тех. наук. 1991. N 1.-е.33.

5. Сафаров И.И., Атоев А.Б., Кулдашев Н.У. Собственные и вынужденные колебания цилиндрических тел, находящихся в упругой '

. среде (плоская задача).// Изв. АН УзССР. сер.тех.наук. 1991. И 3.-е.29.

Б. Атоев A.B.', Трояновский И.Е. Колебание цилиндрического тела ■ находящегося безграничной среде.// Тез. докладов респ. конф. посвященной памяти акад. АН УзССР Рахматудлина Х.А."Механика сплошных сред". Ташкент, апрель 1989. -с.21 7. Атоез ¿.Б., Сафаров И.И., Трояновский И.Е, Колебания цилиндрического слоя, находящегося в вязкоупругоа среде. //Тез." VII - Есесовз.^сонф. ДОФ и подземнцх сооружений, Днепропетровск, 25-27 сентябрь 1939 г.

;8. Исматов Х.Б., СафаровИ-И., Атове к.Б., Рахимова А.

Распространение стационарных волн в пластинке, содержащей цплиндрэтескую неоднородность. // Тез. Рес. конф. по прочности к фариаизмзкение элементов конструкций при воздействии физико-механических полей. Киев, 1990 !