Нестационарные краевые задачи для упругих и линейно-вязкоупругих кусочно-однородных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

- б ЛПр Рс)

"" ' Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Пшенпчнов Сергей Геннадиевич

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГИХ И ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГИХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ.

Специальность 01.02.04 -Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математическнх наук

Москва 1998

Работа выполнена в Государственном Институте физико-технических проблем.

Научный консультант:

д.ф.-м.н., профессор И.А. Кийко

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н., профессор Ю.Н. Новичков д. т. н., профессор П.Ф. Сабодаш д. ф.-м. н., профессор Л.В. Никитин

Ведущая организация:

Институт Проблем Механики РАН.

Защита состоится " /X " 1998 г. в 16-00 час. на засе-

дании диссертационного совета Д.053.05.03 при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан ". /6 /У7Л- 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.03 при МГУ д.ф.-м.н., профессор

С.В. Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Результаты фундаментальных исследований в области динамики кусочно-однородных лпнейно-вязкоупругнх сред пграют большую роль при проектировании сложных технических сооружений и находят широкое применение в геофизике, сейсмологии, дефектоскопии.

Однпм из важных направлении исследований в области динамики кусочно-однородных упругих и вязкоупругих тел, наряду с разработкой новых моделей, численными методами и экспериментами, является развитие аналитических методов и расширение множества аналитически решенных нестационарных краевых задач. Математическая сложность данной проблемы является главной причиной того, что, несмотря на известные к настоящему времени публикации на эту тему, многие важные задачи остаются до спх пор не исследованы или же исследованы не полностью. К ним относятся нестационарные задачи для лпнейно-вязкоупругпх многослойных тел с произвольным количеством плоскопараллельных, цилиндрических пли сферических границ раздела слоев, рассматриваемые во всем диапазоне изменения времени при вязкости, которую нельзя считать малой, п в отсутствии предположений о наличии зависимости между наследственными свойствами материала разных слоев. Вызывают также большой интерес вопросы, связанные с получением аналитических решений неодномерных нестационарных задач для упругих многослойных тел с неплоскопараллель-ными границами раздела слоев, в частности, слоистых цилиндров.

Таким образом, аналитические исследования нестационарных краевых задач рассматриваемого класса и связанные с этим математические проблемы представляются весьма актуальными.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Работа проведена с целью построения новых аналитических решений линейных нестационарных динамических задач для упругих и лпнейно-вязкоупругнх кусочно-однородных (слоистых) тел с произвольным числом границ раздела. Эти решения должны быть справедливы во всем диапазоне изменения времени при вязкости, которая не является малой, и при отсутствии зависимости между наследственными ядрами составляющих тела слоев.

Для этого в диссертации используется метод интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением транс-

формант в пространство оригиналов. Чтобы осуществить и строго обосновать методику обращения, в диссертации формулируется п доказывается теорема и два утверждения, касающиеся общих свойств решений рассматриваемых нестационарных краевых задач в пространстве трансформант. Это дает возможность эффективно применить известные приемы контурного интегрирования п теорию вычетов.

С помощью построенных аналитических решений исследуются нестационарные волновые процессы в кусочно-однородных упругих и лпнейно-вязкоупругих телах с конкретными геометрическими и физпко-механпческими параметрами.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Сформулирована и доказана теорема, определяющая достаточные условия того, чтобы решение трансформированной с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени нестационарной краевой задачи динамики кусочно-однородного линейно-вязкоупругого тела не имело точек ветвления на всей комплексной плоскости.

Сформулированы и доказаны два утверждения, касающиеся асимптотических свойств решения указанной трансформированной задачи в окрестностях точек накопления особенностей. Теорема и оба утверждения позволяют строго обосновать представление оригинала в виде ряда по вычетам, что выражает собой новый подход к решению нестационарных задач исследуемого класса, заключающийся в сведении их к более простым задачам о собственных колебаниях.

С помощью интегрального преобразования Лапласа по времени и на основании установленных в диссертации свойств трансформант получены ранее неизвестные аналитические решения ряда нестационарных задач для кусочно-однородных упругих и лпнейно-вязкоупругих тел.

Указан естественный способ ускорения сходимости рядов, которые представляют собой решения рассматриваемых задач.

На основе построенного аналитического решения нестационарной задачи для упругого цилиндра с произвольным числом слоев разработан способ исследования переходных процессов в упругом цилиндре с радиальной неоднородностью произвольного вида.

Построенные решения реализованы на ЭВМ и исследованы нестационарные процессы в ряде конкретных цилиндрических конструкций.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ОСНОВНЫХ НАУЧНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ обеспечивается выбором известной модели, адекватно отражающей волновые процессы в

наследственно-упругих кусочно-однородных средах прп малых деформациях, строгим математическим обоснованием всех этапов проводимых исследований и сопоставлением с результатами других авторов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ работы заключается в том, что исследованные теоретические вопросы позволяют применить эффективный способ построения аналитических решении целого ряда практически важных динамических задач для кусочно-однородных линейно-вязкоуиругих тел и с их помощью проследить переходные процессы в элементах конструкций, широко распространенных в современной технике. Полученные аналитические решения создают основу для исследования задач оптимизации слоистых конструкций, а также могут быть использованы в сейсмологии и геофизике.

Результаты диссертации могут играть важную роль при тестировании алгоритмов, создающихся на базе того или иного численного метода решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела. Именно такое применение нашли некоторые из полученных результатов [7, 10].

Построенные аналитические решения можно использовать в качестве составной части вычислительных процедур, предназначенных для динамических расчетов сложных технических объектов (подобного рода пример содержится в [9]).

Представленные в диссертации исследования выполнялись в соответствии с тематическим планом Государственного Института физико-технических проблем, а также в соответствии с планом совместных работ ГосИФТП и Института машиноведения РАН в рамках Государственной научно-технической программы "Безопасность населения и народнохозяйственных объектов с учетом риска возникновения природных и техногенных катастроф".

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные научные результаты диссертации доложены на 11-й Международной зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1997 г.); на семинарах Государственного института физико-технических проблем; на семинарах кафедры теории упругости, кафедры газовой н волновой динамики и кафедры композитов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова; на семинарах Московского автомеханического института, Института проблем механики РАН и Института прикладной механики РАН.

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах,

список которых приводится в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она содержит 200 страниц, включая 30 рисунков п 19 стр. списка литературы со 197 наименованиями.

На защиту выносится:

1. Формулировка и доказательство теоремы, определяющей достаточные условия отсутствия на всей комплексной плоскости точек ветвления решения трансформированной с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени нестационарной краевой задачи динамики кусочно-однородного лпнейно-вязкоупругого тела.

2. Формулировка и доказательство двух утверждений, касающихся асимптотических свойств решения указанной трансформированной задачи в окрестностях точек накопления особенностей. Строгое обоснование представления решения исходной нестационарной задачп в оригиналах в виде ряда по вычетам.

3. Предложение естественного способа ускорения сходимости рядов, представляющих собой решения задач рассматриваемого класса в оригиналах.

4. Построение с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени ранее неизвестных аналитических решений ряда задач нестационарной динамики кусочно-однородных упругих и линейно-вязкоупругпх тел.

5. Разработка способа исследования переходных процессов в упругом цилиндре с радиальной неоднородностью произвольного вида на основе построенного аналитического решения нестационарной задачп для упругого цилиндра с произвольным числом слоев.

G. Исследование с помощью численной реализации построенных аналитических решений нестационарных процессов в ряде цилиндрических конструкций с конкретными геометрическими и физико-механическими параметрами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулирована цель диссертационной работы, дано краткое оппсанпе ее содержания и приведен перечень положений, выдвигаемых на защиту.

В первой главе, состоящей из двух разделов, содержится краткий обзор научных работ по нестационарной динамике линейно-упругих и лпнейно-вязкоупругих тел (соответственно разделы 1.1 и 1.2)

Исследования в области динамики лпнейно-упругих тел берут свое начало с основополагающих трудов Рэлея, Лэмба и Лява и связаны впоследствии с именами В.И. Смирнова н С.Л. Соболева, впервые предложившими строгий математический подход к решению задач о распространении неодномерных волн в упругих средах, В дальнейшем проблеме построения решений нестационарных упругих задач были посвящены работы В.А. Бабешко, В.М. Бабича, А.Г. Багдоева, В.В. Болотина, Л.М. Бреховских, И.И. Воровича, А.Г. Горшкова, Э.И. Грп-голюка, В.Т. Гринченко, А.Н. Гузя, Н.В. Зволинского, М.Ш. Исрапло-ва, Б.В. Кострова, П.В. Крауклнса, В.Н. Кукуджанова, Г.И. Марчука, Л.А. Молоткова, Л.В. Никитина, Ю.Н. Новпчкова, К.И. Огурцова, Г.И. Петрашеяя, В.Б. Поручпкова, П.Ф. Сабодаша, Ю.Э. Сенидкого, Л.И. Слепяна, Д.В. Тарлаковского, И.Г. Филиппова, Л.М. Флптмана, Е.И. Шемякина, Ю.С. Яковлева, Е.Г. Янютпна, J.D. Acheubach, С. Atkinson, L. Cagniard, А.Т. De Hoop, W.M. Ewing, К.F. Graff, N.A. Haskell, E. Hopf, W.S. Jardetzky, A.W. Maue, J. Miklowitz, F. Press, R. Skalak, N. Wiener, J.R. Willis и других авторов.

Вопросы распространения нестационарных волн в линейно-вязко-упругпх средах исследовались в трудах Ф.Б. Бадалова, Ю.М. Блпт-штейна, В.Г. Гоголадзе, O.A. Егорычева, М.Х. Ильясова, И.А. Кийко, В.И. Козлова, A.A. Локшина, Ф.Г. Максудова, С.И. Мешкова, У .К. Ни-гула, Б.Р. Нуриева, М.Б. Расулова, М.И. Розовского, П.Ф. Сабодаша, Ю.В. Суворовой, И.Г. Филиппова, И.М. Хайковича, Е.И. Шемякина, I. Abubakar, J.D. Achenbach, R.T. Arenz, D.S. Berry, B.D. Coleman, M.E. Curtin, O.W. Dillon, H. Kolsky и других ученых.

Обзор известных результатов в области исследования нестационарной динамики кусочно-однородных упругпх и линейно-вязкоупругих тел показывает, что несмотря на большое количество трудов, посвященных как теоретическим проблемам, так и решению конкретных

задач, ряд вопросов остается открытым. Так, например, даже в одномерном случае до сих пор нет аналитического решения нестационарной задачи для тел сферической и цилиндрической формы, состоящих из произвольного числа вязкоупругпх слоев, которое было бы справедливо во всем диапазоне изменения времени и при этом наследственные ядра материала слоев были бы независимы друг от друга, а вязкость не являлась малой. Известные аналитические решения таких задач построены либо для начальных этапов процесса деформпровання, либо при малой вязкости, или же (в случае плоскопараллельных границ слоев) в предположении наличия периодичности изменения свойств материала от слоя к слою.

Аналитическое решение нестационарной плоской задачи для цилиндра, состоящего из произвольного числа упругих коаксиальных слоев и подверженного воздействию неосесимметричной нагрузкп, известно лпшь в форме содержащей интегралы Фурье или Меллина весьма сложного вида, возникающие в результате применения соответствующих интегральных преобразований к исходной системе уравнений и краевым условиям.

В разделе 1.2 на основе анализа современного состояния проблемы построения решений задач рассматриваемого класса определяются основные направления и метод исследований в рамках предлагаемой диссертации. В качестве метода построения новых аналитических решений нестационарных задач для кусочно-однородных упругих и вязкоупругпх тел выбран метод интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением в пространство оригиналов. Несмотря на своп преимущества (универсальность, возможность рассмотрения негладких по времени внешних воздействий), использование преобразования Лапласа обладает существенным недостатком, заключающемся в проблеме отыскания оригинала после того, как получено решение в изображениях.

Лапласова трансформанта решения нестационарной задачи для составного линепно-вязкоупругого тела, как правило, имеет весьма сложную структуру и содержит функции комплексной переменной, обладающие точками ветвления. Последнее может существенно затруднить построение оригинала, поскольку использование теории аналитических функшш в данном случае требует выделения однозначных ветвей изображения и в результате приводит к необходимости вычисления

сложных интегралов вдоль соответствующих разрезов на комплексной плоскости. Это особенно актуально для лннейно-вязкоупругих кусочно-однородных тел с большим количеством составляющих. Кроме того, контурное интегрирование требует строгого математического обоснования каждого своего этапа, в то время как выражения для трансформант зачастую не дают возможности непосредственного применения леммы Жордана.

Исходя из вышеизложенного сформулированы основные задачи дис-серташш, которые отражены в выдвигаемых на защиту положениях.

Вторая глава, состоит из пяти разделов (2.1 - 2.5) и посвящена исследованию некоторых общих свойств решений динамических задач линейной вязкоупругостп в пространстве изображений Лапласа. В последующих главах эти свойства будут использованы при построении решений в оригиналах для конкретных случаев. Несмотря на то, что все рассмотренные в предлагаемой работе задачи касаются динамики упругих и лпнейно-вязкоупругих составных тел с однородными изотропными составляющими, тем не менее, ряд общих теоретических положений данной главы сформулпрован п доказан без указанных ога-нпченпн на свойства составляющих, т.е. последние могут быть, вообще говоря, неоднородными и анизотропными.

В данной главе сформулирована и доказана теорема, определяющая достаточные условия, при которых решение в изображениях задач исследуемого класса не имеет точек ветвления на всей комплексной плоскости. Сформулированы п доказаны два утверждения, об асимптотическом поведении решения в изображениях в окрестностях точек накопления особенностей, в том числе и бесконечно удаленной. Эти утверждения, наряду с теоремой, позволяют во многих случаях строго обосновать построение решений задач рассматриваемого класса в оригиналах в виде разложения в ряды по вычетам в особых точках изображений.

Отдельный раздел настоящей главы посвящен исследованию частных случаев упругих и лпненно-вязкоупругпх динамических задач, для которых существует полная ортогональная система собственных форм колебаний. Для этих случаев приведена общая структура решения в изображениях и установлен характер его особых точек. В заключительном разделе рассмотрено общее представление решения в оригиналах и указан способ ускорения сходимости соответствующих рядов.

В разделе 2.1 формулируется и доказывается теорема о точках ветвления изображения.

Пусть тело занимает область трехмерного пространства и состоит из N вязкоупругпх составляющих (С = С\ и С? и... и С,у), в пределах каждой из которых плотность рп(х), а также компоненты тензоров мгновенных значении коэффициентов жесткости С^у(х) и вязкоупругпх ядер разностного типа £), п — 1,2,.., IV, х(х\,х-1,хз) £ Сп являются гладкими функциями координат х\,х-2,хз. При этом выполняются соотношения

_ _ М») А») _ А") _ А")

причем функции Для каждого х 6 Сп удовлетворяют условию

затухающей памяти.

В декартовой системе координат я,- система уравнений динамики и материальные соотношения для каждой из областей Сп имеет вид

аЦ(М) - Рп^/^.^ + /,0,)(х,<) = 0, (1)

с= СЙ(1)иЦ(х,0 - /7Й?,(М - т)н<?](х,т)<1т,

о

1,},к,1 = 1,2,3, х = х(хих-2,х^) ев,,, п - 1,2, ...,ЛГ,

('О Лп) (»0 - с

где и) , , сг^- - компоненты векторов перемещении и объемных

сил, а также тензора напряжений, £ - время; индекс после запятой

означает частную производную по соответствующей координате, по

повторяющимся нижним индексам предполагается суммирование.

Условия на внешней границе тела Б:

а^\х)а\],\х,^Ч(х) +№(х)и<Г)(х^) = ^""(М), (2)

х е Е, < > 0, г',;', к = 1, 2,3, 1 < т < Ы,

где , -функции, определяемые типом граничных условий, п^ - компоненты вектора единичной нормали к границе, тп пробегает номера составляющих тела, имеющих общие точки с границей Е. Начальные условия примем в виде

«!">(*,()) ^(я), ) = Ь\п>(х), (3)

г = 1,2,3, *£(?„, п = 1,2,

На поверхностях контакта соседних р-п п д-й составляющих тела предполагается выполнение условий непрерывности:

и^ОМ) =и\ч)М (4)

а\?(х, = а\?(х, *)»Л*)> х 6 Ер7, г', 7 = 1,2,3.

После применения к уравнениям (1) и условиям (2), (4) интегрального преобразования Лапласа по времени в пространстве изображений получим систему уравнений

$}(*, *) - Р»(фЧг}п){х, *) + Г1п\х, з) +

+рп(х)\ва^(х) + ь1'\х)}= 0, (5)

г, , к, I — 1, 2,3, п = 1,2,.., ЛГ, х(х1,х2,х3) е Сп

с граничными условиями

«^(лО^С*. + №\х)и}т\х, .5) = ф£т)(х, ,•), (6) х£Е, г,7'Д-= 1,2,3, 1 < т < /V,

и условиями непрерывности

и!р)(х,*) = и!1)(х,Я), (7)

= 5-/)(г,5)гг;(х), х Е г,] = 1,2,3,

где 5 - комплексный параметр преобразования Лапласа, Г,'?^,

Ф-"' - изображения функций и|п), 7^1, Л'"', У'!"', (*\.7,М = 1,2,3, п = 1,2,.., Л/).

Если формально принять в (5) - (7) = О, Ф^0 = 0, а[п) = О, = 0, то получим однородную систему

^}{х,з)-рп{х).,Щп\х,8) = 0, (8)

с условиями (7) и однородными граничными условиями

а1'Г,(х)5!Г,(х, ,)„,.(*) + №\х)и}т>(х,*) = 0, (9)

геЕ, г, ¿к = 1,2,3, 1 < т < /V,

Будем считать я изменяющимся не только в области существования изображении, а на всей комплексной плоскости С. Тогда отметим, что соотношения (7) - (9) описывают процесс установовшпхся свободных колебаний рассматриваемого тела с комплексной частотой ш = я/г (г = \[—1), где « принадлежит множеству й собственных значений задачи

(7) ~ (9).

Рассмотрим задачу (5) - (7) при .5 изменяющемся на всей комплексной плоскости С, заметив, что в правой полуплоскости С решение этой задачи совпадает с Лапласовой трансформантой функции и\"\х, 1).

Теорема

Пусть множество 5 счетно, а функции з), Ф\"'\у, з), я),

г^,к,1 = 1,2,3, 1 < т < N однозначны на С при всех х Е С, у 6

Тогда при любом х £ С? решение и\п\х, в), ¿ = 1,2,3, п = 1,2,.., N задачи (5) - (7) не имеет точек ветвления на С.

Приводится доказательство теоремы, при этом указывается, что также не имеют точек ветвления на С при всех х £ С.

Отметим, что для решения задачи (5) - (7) при в 6 С точки множества 5 заведомо будут особыми точками.

Доказанная теорема может существенно облегчить отыскание оригинала «^"'(г, если функция «), ] =1,2,3, п = 1,2, ..,ЛГ, рассматриваемая как решение задачи (5) - (7) при в € С, определена и дифференцируема по в в С всюду за исключением не более чем счетного множества особых точек (при этом, разумеется, множество 5 не более чем счетно). В этом случае, согласно доказанной теореме, функция [/)"'(;г, в) не имеет точек ветвления в С и, следовательно, построение оригинала не требует выделения однозначных ветвей изображения и не приводит к необходпмостп вычисления сложных интегралов по берегам соответствующих разрезов. Для использования теории вычетов достаточно выяснить асимптотическое поведение и<-п\х,.ч) в окрестностях особых точек и, в том числе, при .5 —» оо.

Кроме особенностей, определяемых видом функций , ф[т', , решение задачи (5) - (7) имеет особенности в точках множества 5, поэтому при использовании теории вычетов решение в оригиналах может быть представлено в форме, содержащей ряд, члены которого соответствуют частотам установившихся свободных колебаний рассматриваемого тела.

Поскольку условия теоремы требуют отсутствие точек ветвления функции 7,-д?|(.г', s) на всей комплексной плоскости, сингулярные вязко-упругпе ядра в дальнейшем из рассмотрения исключены.

В разделах 2.2 и 2.3 сформулированы и доказаны утверждения, касающиеся асимптотических свойств функции комплексной переменной специального вида в окрестностях предельных точек множества ее особых точек. При исследовании нестационарной динамики лпнейно-вязкоупругпх тел с помощью преобразования Лапласа по времени эти утверждения позволяют во многих случаях дать строгое обоснование известной процедуре построения оригинала по его изображению путем трансформирования контура Меллина в замкнутый контур и дальнейшего применения теоремы о вычетах.

В разделе 2.2 проводится общий анализ решений в изображениях задач рассматриваемого класса в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пусть решение Uj"\x,s), j = 1,2,3, л = 1,2,..,N задачи (5) -(7) для любого х £ G представляет собой функцию, не имеющую точек ветвления на С и аналптпчную на С всюду за исключением не более чем счетного множества 5„ особых точек. Пусть при этом предельные точки множества Su образуют конечное множество, включающее бесконечно удаленную точку (при этом S С Su). Отметим, что для случая линейной вязкоупругостп прп ядрах определенного вида предельной точкой множества особых точек Su может быть не только бесконечно удаленная.

Для упрощения записи у функций [/]"* и uj"' опустим верхний п нижний индексы, а также аргумент х, обозначая исследуемые функции через U(s), s £ С и u(t).

Пусть { s*}, р — 1,2, ..Р - все предельные точки множества 5„, отличные от бесконечно удаленной. Обозначим s — а + ilj . Как известно, согласно формуле Меллина, правилам контурного интегрирования и теореме о вычетах, оригинал u(t) можно представить в виде

оо 7=i

lim / U(x, sylds - £ lim f U(x, s)e«ds, ¿m k—oo/ ¿7n „_i t—oo J

где s,, (q — 1,2,...)- изолированные точки множества Su, д\!'\ р = 1,2,..., Р - последовательность непрерывных замкнутых контуров, стягивающаяся к точке s*, 4 - последовательность непрерывных контуров, которые примыкают слева к контуру Меллина с абсциссой а — at л которые начинаются соответственно в точках а, + iu>k, а заканчиваются в точках et, — TüJk, при этом ни один из контуров не содержит точек множества Su, а в пределе замкнутый контур, образованный 4 и отрезком контура Меллина (V = а», — Шк < и < Шк, стремится охватить всю полуплоскость слева от контура Меллина.

Если функция U допускает построение таких последовательностей {¡¿}, {<?[},что выполняются соотношения

lim [ U(s)e*lds = 0; (10)

Jt—>00 j h

lim / U(s)estds = 0, p = 1,2, ...P, t > 0, (11)

k—>oo J

то оригинал u(i) представляется в виде бесконечной суммы вычетов

сю

u(*) = £ /?csi=,J{7(.s)esi], (12)

,=i

которые вычисляются во всех изолированных особых точках U(s).

Сформулируем условия, которым должна удовлетворять функция U, достаточные для существования такой последовательности контуров {4}, чтобы выполнялись соотношения (10).

Утверждение 1

Пусть для функции комплексной переменной U{s) справедливо соотношение U(s) = U(s), s Е С, где черта означает комплексное сопряжение, и выполняются следующие асимптотические условия: (А). Существует действительная константа «о > 0 , такая, что при s —> оо и одновременном выполнении неравенства а < — ао функция U($) = U{гс1*) стремится к нулю равномерно относительно ф, 7г/2 < ф < Зтг/2.

(Б). В произвольной полосе конечной ширины а'1' < а < а'2' при —► оо имеет место асимптотическое представление

U{s) = H{s)/Z{s), Z(*)=tt+

где функция £(«) - аналитпчна в области |я| > ?•„ (?•„ - некоторая положительная константа) всюду за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки, причем

£(•*) = СКкь«2,--,клг),

где к„ = е'7"^, 71 = 1,2уп - действительные константы, функция ( непрерывна по всем своим аргументам: а, а функции (¡(в) = (¡(а + гш) п Н(э) = Н(а + гш) стремятся к нулю равномерно относительно п-, «О < а < а^ при |ш| —» оо .

Тогда существует последовательность контуров {Ь}, & - 1,2,..., таких что выполняется соотношение (10).

Следует подчеркнуть, что сформулированные условия допускают случай, когда С/(.9) имеет особые точки, накапливающиеся в бесконечности и расположенные в конечной ширины полосе с границами, параллельными мнимой осп. В то же время, в утверждении 1 выделены именно те общие асимптотические условия, которым удовлетворяют решения задачи (5) - (7) (при всех значениях пространственных координат) во многих конкретных случаях и которые достаточно легко проверяются.

Далее приводится доказательство утверждения 1.

В разделе 2.3 формулируются условия для С/, достаточные для существования такой последовательности контуров

{д[р\} Р = 1,2,..., Р, к = 1,2,...,

чтобы выполнялись равенства (11).

Рассмотрим функцию [/(.?), аналитичную всюду на С за исключением не более чем счетного множества особых точек

Пусть и(.з) представляется в виде {/(«) = Ф(-',/?ь/?2> ■■■¡Рь), гДе /3; = .<>/71 - А/(.5), I = 1,2, ..,Ь. Функции А^в) аналитичны всюду в С за исключением конечного множества точек, при этом предельными точками множества 5и, помимо бесконечно удаленной, являются нули выражений 1 — А|(я). Предположим также, что все нули каждого из выражений 1 — А^и) простые, причем 1 — Л/(0) ^ 0, / = 1,2,.., Ь.

Выберем некоторую точку я = я* из множества {я*}, р = 1,2,..,Р, являющуюся корнем одного или более, уравнений 1 — Ат = 0. В целях удобства дальнейшего изложения для каждой точки из множества {«*}

введем свою перенумерацию величин ß\, ß-i, ••, А, так, чтобы равенства 1 — Л,„(-5*) = 0 выполнялись для первых М номеров т = 1,2,.., М < L, при этом М будет зависеть от выбранной точки s = ■$* множества {s *}.

Для точек из малой окрестности s* введем обозначение s = s* + re's, О < в < 2 тт.

Утверждение 2

Пусть рассматриваемая функция U(s) = ty(s,ßi,ß2,-ißb) в малой окрестности определенной выше точки s = s* обладает следующими свойствами:

(А). Существует действительная константа Со > 0, такая, что при s —► s* и выполнении неравенств \Re(ßm)\ > Со, т = 1, 2,.., М выражение (s — в*)Ф стремится к нулю равномерно относительно полярного угла в.

(Б). Для произвольной положительной константы Cj при s —+ s* и выполнении неравенства < cj для каких-либо номеров Ц, (j = 1,2,.., J) из множесва т = 1,2,.., М имеет место асимптотическое представление функции Ф в форме

Ф = f, !l<f\ , у f{s) = i>{rur.u...Tj), = i = l,2,..,J, /(*) + /1(«)

где функции h, /1, xj> зависят от набора {h,h, причем функция

f(s) является всюду за исключением точки s = s* аналитической в области, определяемой соотношениями \Rc.(ßii )| < с\ и |s — s*| < rt (i\ - некоторая положительная константа), функция ф непрерывна по всем своим аргументам ту, а функция /i (•■>') = fi(s* + геа) и выражение (.s — s*)h(s) — re'eh(s* + rel°) при s —> s* стремятся к нулю равномерно относительно 9.

Тогда вокруг точки s = s* существует последовательность окружностей (7t, к = 1,2,..., не проходящих через точки множества 5и, с центрами в точке s* и стремящимися к нулю радиусами прп к —> оо, таких, что

lim / -ßb)estds =0, t > 0.

k—OO j

9к

Сфорулированным условиям удовлетворяют решения в изображениях целого ряда нестационарных динамических задач для лпнейно-вяз-коупругих тел кусочно-однородного строения в каждой точке этих тел,

прп этом функции Л/(я) определяются изображениями соответствующих вязкоупругпх ядер, выражающихся конечной суммой экспонент.

Далее приводится доказательство утверждения 2.

В разделе 2.4 рассмотрены некоторые частные случаи задачи (1) - (4), когда имеется возможность провести анализ решения в изображениях более подробно. Одно из возможных представлений такого решения дано для случая линейной упругости, а также линейной вяз-коупругости, когда ядра всех составляющих тела определяются лишь одной функцией.

В разделе 2.5 рассматривается общее представление решения задач исследуемого класса в оригиналах, получаемое с помощью теории вычетов (12), когда выполняются равенства (10) и (11). Исследуется вопрос о разложении решения линейно-вязкоупругой задачи в оригиналах в ряд по собственным формам соответствующей задачи о свободных колебаниях.

Предложен способ ускорения сходимости рядов по вычетам (12), представляющих решение в оригиналах. Пусть прп 5 —+ со имеет место асимптотическое соотношение ?/]"*(х, я) ~ У-п\х, я), х £ С„, ] = 1,2,3, тг = 1,2,..,ДГ, причем функции \г1"\х,з) имеют более простой вид, чем [/]"'(£,«) и допускают обращение как с помощью теории вычетов (по формуле, аналогичной (12)), так и некоторым другим способом, приводящим к построению оригинала в виде конечной суммы

известных функций. Тогда для оригинала ¿), ] = 1,2,3, п =

1,2,.., N можно записать выражение

+ (13)

}(*,*) = £ Яе*.,=.5,{[/]">(*, зК'] - £ Ч=1 ,=1

в — - особые точки функции У)П\х, $).

Функции представляющие собой результат асимптотиче-

ского обращения .5) при в -+ со, приближенно описывают дина-

мический процесс в рассматриваемом теле лишь на начальном этапе его развития. Поскольку при —+ оо С/]"' ~ то при расчетах по формуле (13) для достижения желаемой точности потребуется меньшее количество членов ряда по вычетам выражения £/]"^е!<, соответствующих большим значениям |.57|, чем при расчетах по формуле (12).

Строгую оценку улучшения сходимости рядов таким способом следует находить отдельно в каждом конкретном случае.

Применение к исходной задаче (1) - (4) преобразования Лапласа п указанной выше методики отыскания оригинала предполагает, что решение более простой задачи (5) - (7) для трансформанты известно. Это ограничивает класс нестационарных лпнейно-вязкоупругих задач, допускающих построение аналитических решении с помощью предлагаемого подхода. В то же время, можно утверждать, что данный подход применим по крайней мере для слоисто-однородных линейно-вязкоупругих тел цилиндрической, эллиптической, конической формы с конечной областью распространения возмущений прп гладких по координатам (в пределах каждого слоя) внешних нагрузках, массовых силах и начальных условиях, а также согласованных граничных условиях, когда нахожденпе решения (5) - (7) осуществимо с помощью метода разделения переменной.

Третья глава посвящена построению аналитических решений одномерных нестационарных задач динамики для кусочно-однородных тел, все компоненты которых представляют собой линейно-вязкоупругие изотропные слои. Наследственные ядра выбираются в виде конечной суммы экспонент независимо друг от друга. Для получения решений используется методика, описанная в предыдущей главе. Рассмотрена плоская задача для бесконечного полого цилиндра с произвольным числом коаксиальных слоев прп осесимметричном нагружении внешней и внутренней боковых поверхностен. Рассмотрена аналогичная радиально-симметричная задача для полой многослойной сферы, а также одномерная задача о нормальном нагружении поверхности кусочно-однородного слоя с плоскопараллельнымп границами раздела составляющих.

В разделе 3.1, состоящем из пяти подразделов, строятся решения указанных задач в изображениях, затем исследуется структура множества особых точек этих решений и проводится проверка условий, достаточных для того, чтобы соответствующие оригиналы представлялись суммой вычетов в особых точках свопх изображений. Полученные решения в оригиналах справедливы в любом диапазоне изменения времени как при малой, так и прп большой вязкости. Исследована сходимость рядов, представляющих оригиналы. Приведены результаты численной реализации аналитического решения для слоистых линейно-

вязкоупругпх цилиндров с конкретными данными. Изучено влияние вязкости и указаны вязкоупругие параметры материала слоев, оказывающие наиболее существенное влияние на динамический процесс.

В разделе 3.2 рассмотрен многослойный цилиндр в частном случае, когда все слои линейно-упругие. Представлено решение в оригиналах и приведены результаты, подтверждающие возможность замены цилиндра с произвольной радиальной неоднородностью при исследовании в нем нестационарных процессов многослойным цилиндром. Приведен пример расчета параметров нестационарного процесса для цилиндра, экспоненциально-неоднородного по радиусу.

В четвертой главе строятся аналитические решения неодномерных упругих и линейно-вязкоупругнх динамических задач для однородного и кусочно-однородного цилиндров. Наследственные ядра выбираются в виде конечной суммы экспонент. Используется разложение в ряд Фурье по одной из пространственных координат и интегральное преобразование Лапласа по времени. Обращение трансформант проводптся с помощью методики, описанной во второй главе.

В разделе 4.1 строятся аналитические решения нестационарных осесимметричных задач для однородного линейно-вязкоупругого цилиндра конечной длины. Рассмотрен случай воздействия нормальной нагрузки на один из его торцов при свободном втором торце и отсутствии нормального перемещения боковой поверхности, а также трения на ней. Кроме того, рассмотрен случай, когда к боковой поверхности цилиндра приложена касательная нагрузка в предположении отсутствия нормального перемещения этой поверхности. Решения представлены в виде двойных рядов, внешний из которых соответствует разложению в ряд Фурье, а внутренний - разложению каждого члена ряда Фурье, представляющего изображение, в ряд по вычетам. Для частного случая линейно-упругого цилиндра решения обеих задач выписаны отдельно. Указан путь построения решений аналогичных задач для линейно-вязкоупругих цилиндров кусочно-однородного строения с ядрами экспоненциального типа.

В разделе 4.2 строится аналитическое решение плоской нестационарной задачи для неосесимметрично нагруженного бесконечного цилиндра с произвольным числом коаксиальных лпнейно-вязкоупругпх однородных слоев. Решение получено в виде двойного ряда, где внешний соответствует разложению по угловой координате, а внутренний

- разложению каждого члена ряда Фурье для изображения в ряд по вычетам. Для случая, когда слои линейно-упругие решение выписано отдельно. На основе построенного решения исследовано нестационарное поведение упругого трехслойного цилиндра с конкретными физико-механическими параметрами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации решена проблема построения новых аналитических решений ряда линейных нестационарных динамических задач для упругих и линейно-вязкоупругпх кусочно-однородных тел с произвольным числом границ раздела. Полученные решения справедливы во всем диапазоне изменения времени при вязкости, которую нельзя считать малой, и при отсутствии зависимости между наследственными ядрами однородных составляющих исследуемых тел.

В качестве метода построения решений выбран метод интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением трансформант в пространство оригиналов. Для осуществления и строгого математического обоснования методики обращения в диссертации сформулирована и доказана теорема и два утверждения, касающиеся свойств указанных трансформант. Это позволило представить оригиналы в виде рядов по вычетам и предложить новый подход к исследованию нестационарных задач для лпнейно-вязкоупругпх кусочно-однородных тел, заключающийся в сведении их к более простым задачам о собственных колебаниях.

В диссертации разработаны следующие основные положения.

1. Сформулирована п доказана теорема, определяющая достаточные условия, прп которых решение трансформированной с помощью преобразования Лапласа по времени нестационарной краевой задачи для кусочно-однородного лпнейно-вязкоупругого тела не имеет точек ветвления на всей комплексной плоскости.

2. Сформулированы и доказаны два утверждения, касающиеся асимптотических свойств решения трансформированной задачи в окрестностях точек накопления особенностей. Вместе с теоремой эти утверждения позволили математически строго обосновать представление решения рассматриваемой нестационарной задачи в оригиналах в впде ряда по вычетам.

3. Предложен естественный способ ускорения сходимости рядов, представляющих собой решения задач исследуемого класса.

4. Построены новые аналитические решения ряда нестационарных задач для однородных и кусочно-однородных упругих и линейно-вязкоупругих тел:

а) осесимметричной плоской задачи для вязкоупругого многослойного цплпндра. радпально-ашметрпчной задачи для вязкоупругой слоистой сферы п одномерной задачи для вязкоупругого кусочно-однородного слоя с плоскопараллельнымп границами раздела составляющих;

б) осеспмметрпчных задач для однородного упругого п вязкоупругого цилиндров конечной длины при действии нормальной нагрузки на один из торцов, а также касательной поверхностной нагрузки прп отсутствии нормального смещения этой поверхности;

в) плоской задачи для упругого и вязкоупругого многослойных цилиндров, подверженных неосесимметричному нагружению.

о. Разработан способ исследования распространения волн в упругом цилиндре с произвольной радиальной неоднородностью на основе аналитического решения нестационарной плоской осесимметрпч-ной задачи для многослойного упругого цилиндра, б. Для кусочно-однородных упругих и линейно-вязкоупругпх цилиндров полученные решения реализованы на ПЭВМ и изучен процесс распространения волн в слоистых цилиндрах с конкретными геометрическими и физико-механическими параметрами.

Таким образом, в диссертации получены новые теоретические результаты в области нестационарной динамики кусочно-однородных лннейно-вязкоупругнх тел. На основе проведенных исследований построены новые аналитические решения нестационарных задач указанного класса и изучены переходные волновые процессы деформирования в ряде слоистых конструкций.

Список научных публикаций по теме диссертации

1. Булычев Г.Г., Пшенпчнов С.Г. Сплошной двуслойный линейно-упругий цилиндр под действием динамической нагрузки. - М.: ВИНИТИ. Деп. N 727-84. 1984. - 18 с.

2. Булычев Г.Г., Пшеничнов С.Г. Двуслойный линейно-упругий полый цилиндр под действием динамической нагрузки. - М.: ВИНИТИ. Деп. N 728-84. 1984. - 21 с.

.3. Булычев Г.Г., Пшеничнов С.Г. Динамика двуслойного линейно-упругого цилиндра прп разрывной нагрузке // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. N 6. - С. 54 - 58.

4. Булычев Г.Г., Пшенпчнов С.Г. Динамика многослойного лннейно-упругого цилиндра при осеспмметрпчной нагрузке. // Строит, механика и расчет сооружений. 1988. N 2. - С. 47 - 50.

5. Булычев Г.Г., Пшенпчнов С.Г. Распространение упругих волн в слоистом цилиндре // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303. N 5. - С. 1074 - 1078.

G. Булычев Г.Г., Пшенпчнов С.Г. Осеспмметричная задача динамики длинного упругого неоднородного цилиндра // Строит, механика и расчет сооружений. 1989. N 4. - С. 35 - 37.

7. Булычев Г.Г., Пшенпчнов С.Г. Сравнение численного и аналитического решений задачи нестационарной динамики двухслойного цилиндра // Сб. науч. тр. Методы численного и аналитического моделирования многочастпчных систем. - М.: ИФТП. 1989. - С. 63 -69.

8. Булычев Г.Г., Пшенпчнов С.Г. Об исследовании нестационарной динамики тонкостенных конструкций // Сб. науч. тр. Информационная технология и численные методы анализа распределенных систем. - М.: ИФТП, 1992. - С. 3 - 7.

9. Булычев Г.Г., Пшенпчнов С.Г. Численное моделирование процессов динамического разрушения железобетонной шахты и окружающей ее среды при взрыве в стволе шахты // Сб. науч. тр. Динамика сложных систем. - М.: ИФТП. 1993. - С. 12G - 146.

10. Булычев Г.Г., Пшенпчнов С.Г. Исследование нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при ударных нагрузках // Известия РАН. МТТ. 1995. N 3. - С. 188 - 196.

11. Пшенпчнов С.Г. Распространение одномерных волн в кусочно-однородных вязкоупругнх телах // Докл. АН СССР. 1990. Т. 315. N 3. - С. 5GG - 570.

12. Пшеничнов С.Г. Аналитическое исследование одномерной динамической задачи взаимосвязанной термоупругости для слоя // Сб. науч. тр. Релаксационные процессы и явления в активных средах. -М.: ИФТП. 1990. - С. 95 - 102.

13. Пшенпчнов С.Г. Особенностп использования преобразования Лапласа при решенни линейных начально-краевых задач механики деформируемого твердого тела // Сб. науч. тр. Исследование процессов в распределенных системах п средах. - М.: ИФТП. 1991. - С. 35 - 39.

14. Пшенпчнов С.Г. Аналитическое решение одномерных задач динамики кусочно-однородных вязкоупругих тел // Известия АН СССР. МТТ. 1991. N 1. - С. 95 - 103.

15. Пшенпчнов С.Г. Некоторые особенности использования преобразования Лапласа при решении линейных задач нестационарной динамики деформируемых твердых тел // Докл. РАН. 1994. Т. 339. N 1. - С. 48 - 51.

16. Пшенпчнов С.Г. К вопросу об исследовании нестационарной динамики упругих тел с помощью преобразования Лапласа // Сб. науч. тр. Нелинейные явления в открытых системах. - М.: Гос.ИФТП. 1995. - С. 142 - 149.

17. Пшенпчнов С.Г. Построение оригинала для трансформанты Лапласа с помощью теории вычетов в задачах динамики линейно-вязкоупругих тел // Сб. науч. тр. Нелинейные явления в открытых системах. Вып. 8. - М.: Гос.ИФТП. 1997. - С. 79 - 87.