Решение одномерных нестационарных задач динамики кусочно-однородных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Постановка и уравнения задачи о радиальных колебаниях Nслойных вязкоупругих шара и цилиндра.

§ 1. Постановка задачи о радиальных колебаниях кусочнооднородных шара и цилиндра.

§ 2. Преобразование Лапласа. Уравнения для образов граничных перемещений и напряжений. Оператор перехода.

§ 3. Свойства оператора перехода.

§ 4. Об обращении преобразования Лапласа.

§ 5. Уравнения движения границ упругой сферы. Сравнение результатов с известными.

§ 6. Асимптотические системы уравнений для больших и малых времен.

ГЛАВА 2. Решение асимптотических систем уравнений. Сравнение с известными точными решениями.

§ 1. Спектральные уравнения асимптотических систем. Расположение собственных чисел на комплексной плоскости.

§ 2. Решение неоднородных асимптотических систем уравнений разложением по собственным формам колебаний.

Расчет амплитуд колебаний.

§ 3. Алгоритм получения асимптотического решения (t —> ©о)

§ 4. Конструкции, состоящие из N линейно-упругих слоев.

§5.0 ядрах релаксации вязкоупругих материалов.

§ 6. Сравнение полученного решения с известным точным для случая экспоненциальных ядер.

§ 7. Точное решение для материалов с малой вязкостью.

§ 8. Точное решение для пакета, ядра релаксации которого пропорциональны одной общей экспоненте.

§ 9. Преимущества, недостатки и перспективы метода.

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Стремительное развитие ряда отраслей промышленности все сильнее влияет на требования, предъявляемые к прочностным свойствам конструкционных материалов. Во многих случаях, оправданным является применение конструкций кусочно-однородного строения, в частности, многослойных сферических или цилиндрических. Изменяя свойства материалов слоев, составляющих такие пакеты, можно существенно расширить свойства конструкций по сравнению с однородными. Особенно ярко это проявляется в условиях нестационарного динамического воздействия. Использование в таких пакетах не только упругих, но и вязкоупругих слоев, обладающих демпфирующими свойствами, позволяет улучшить прочностные свойства конструкций при нестационарных нагрузках. Таким образом, фундаментальные исследования в этой области становятся исключительно необходимыми для оценки надежности и долговечности сложных конструкций и сооружений.

Изучению вопросов нестационарного поведения сред посвящено достаточно много работ. Ведя отсчет от фундаментальных трудов Рэлея, Лява, Лэмба, можно обозначить несколько основных этапов развития методов решения этого класса задач, связанных с именами Смирнова, Соболева (метод функционально-инвариантных преобразований), Г.И. Петрашеня, Г.И. Марчука, И.И. Огурцова, Л.М. Флитмана, Л.И. Слепян, В.Б. Поручикова [38], М.Ш. Исраилова [17], С. Atkinson, L. Cagniard, А.Т. De Hoop (метод интегральных преобразований) и т.д. Вышеперечисленные работы, в основном, посвящены линейно-упругим средам. Большое количество работ посвящено нестационарным волнам в неоднородных или кусочно-однородных упругих средах. Здесь следует упомянуть Лява [27], Г.И. Петрашеня [37], Л.А. Молоткова [31], П.В. Крауклиса [37], В.В.

Болотина, Ю.Н. Бабича [1], Ю.Н. Новикова, JI.M. Бреховских [3], Е.А. Ильюшину [15], Н.А. Шульгу, А.Г. Горшкова, Г.Г. Булычева [4-7], И.Н. Молодцова [28-30] ], J.D. Achenbach [52].

Исследование вязкоупругих сред можно найти в работах Вольтерра, Ю.Н. Работнова [45,46], А.А. Ильюшина [12]-[14], Б.Е. Победри [14], П.М. Огибалова, Е.И. Шемякина, М.А.Колтунова [20-22], В.В. Москвитина [32], Р. Кристенсена [23]. Нестационарными волнами в вязкоупругих средах в разное время занимались: И.А. Кийко [18], Е.И. Шемякин [50,51], Ф.Г. Максудов, М.Х. Ильясов [16,18], Желтков В.И [10,11], J.D. Achenbach [52], Haskell N.A. [54]. Нестационарные волны в вязкоупругих средах кусочно-однородного строения также рассматривались многими исследователями: И.Г. Филипповым [48] , П.Ф. Сабодашем [47], Б.Р. Нуриевым [34], М.Х. Ильясовым [16,18], М.Б. Расуловым [44], В.И. Козловым, Н.К. Кучером [19], Пшеничновым С.Г [39-43]. Dillon O.W [53].

В то же время задачи нестационарной динамики кусочно-однородных вязкоупругих тел по-прежнему оставляют много вопросов. Даже в одномерном случае решения задач получены при существенных ограничениях: малая вязкость, ограниченный диапазон времени. Большинство полученных решений относится к экспоненциальным ядрам релаксации. Существенную трудность для решения представляют сингулярные ядра, которые, как известно, лучше аппроксимируют релаксационные свойства. Отсюда следует

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью предлагаемой работы являлось создание новых эффективных методов практического решения задачи о радиальных движениях N- слойного сферического или цилиндрического вязкоупругого пакета для широкого класса ядер релаксации и произвольного динамического воздействия на границах, а также изучению общих свойств рассматриваемых систем.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Рассмотрена задача о радиальных колебаниях многослойных шара или цилиндра. Предполагалось, что движение начинается из состояния покоя, массовые силы отсутствуют, а границы однородных слоев склеены (равенство нормальных перемещений и напряжений). На границах пакета задана или нормальная нагрузка, или радиальное перемещение. Материалы слоев линейно-упругие или линейно-вязкоупругие. К системе уравнений динамики, условиям контакта и граничным условиям применено преобразование Лапласа по времени. Получена система алгебраических уравнений, связывающая образы перемещений и напряжений границ раздела однородных слоев. Изучены ее свойства, на основании которых получены асимптотические системы дифференциально-разностных уравнений в оригиналах при больших и малых временах. Это позволило применить к задаче общую теорию таких уравнений и построить эффективный метод решения поставленной задачи. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые научные результаты:

1. В образах преобразования Лапласа получена замкнутая система линейных уравнений, связывающая перемещения и радиальные напряжения границ N - слойных вязкоупругих шара или цилиндра.

2. В этой системе ключевым является оператор F^, связывающий образы перемещений и радиальных напряжений внутренней и внешней границ однородного слоя следующим образом: и+1 т ' п т-ти ^

12

Fn F,

V^n+l / F22)

U"

Sn J и имеющим смысл оператора перехода между границами раздела однородных слоев. Изучены свойства оператора перехода на комплексной плоскости, необходимые для последующего обращения системы. Эти свойства сформулированы в виде трех утверждений.

3. На основании доказанных утверждений и известных теорем операционного исчисления, получена асимптотическая система дифференциальных уравнений, описывающих смещения и напряжения на границах однородных слоев при больших временах, позволяющих по любой заданной нагрузке (или перемещениям) на границах пакета определить смещения и радиальные напряжения на внутренних границах. При малых временах эта система дает приближенное решение.

4. Для экспоненциальных ядер релаксации получена система дифференциально-разностных уравнений, описывающих движения границ слоев при малых временах.

5. Исследован спектр колебаний конструкций . Изучено расположение собственных чисел на комплексной плоскости. Реализован численный метод определения собственных частот конструкций из произвольного числа слоев.

6. На основе найденных спектров построен алгоритм нахождения приближенного решения начально-краевой задачи при произвольной нагрузке на границах пакета.

7. Для некоторых частных случаев получены точные решения задачи: для упругих сферы и цилиндра; для многослойных конструкций из материала с малой вязкостью; для пакета, ядра релаксации всех слоев которого приближены одной общей экспонентой.

ОБОСНОВАННОСТЬ И ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечивается строгостью использованных математических методов и сравнением с результатами других авторов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ. Разработка новых эффективных методов практического решения задач о распространении радиальных возмущений в многослойных упругих и вязкоупругих конструкциях определяет значимость данной работы при расчете различных сооружений.

АПРОБАЦИЯ. Работа велась в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ. Ее результаты обсуждались:

1. на научных семинарах кафедры теории упругости МГУ;

2. на конференции «Ломоносовские чтения» (МГУ, апрель,2002);

3. на конференции «Проблемы математики, механики и информатики» (ТулГУ, ноябрь, 2002).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в двух работах [35,36].

СТРУКТУРА РАБОТЫ. Весь объем диссертации включает 10Zстраницы.Основное содержание работы отражено во Введении, 2 главах и заключении, изложенных на 80 страницах. Кроме этого диссертация родержит список литературы из 54 наименований и Приложения из 4 программ. Каждой главе предшествует краткое описание рассматривающихся там вопросов и полученных результатов. Нумерация формул ведется по Главам и параграфам. Так номер (1.4.3) означает третью формулу §4 первой Главы.

БЛАГОДАРНОСТИ. Выражаю искреннюю признательность своему научному руководителю доценту Молодцову Игорю Николаевичу, а также коллективу кафедры теории упругости за поддержку, внимание к работе и ценные советы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа содержит следующие результаты: В Главе 1 в образах преобразования Лапласа получена замкнутая система линейных уравнений, связывающая образы перемещений и напряжений границ N - слойных вязкоупругих шара или цилиндра, § 1. Изучены свойства системы, сформулированные в виде трех утверждений, § 2. На основании этих свойств и известных теорем операционного исчисления получена асимптотическая система дифференциальных уравнений, описывающая смещения и напряжения на границах слоев при больших временах, позволяющих по любой заданной нагрузке (или перемещениям) границ пакета определить смещения и напряжения на внутренних границах, а по ним полные поля перемещений и напряжений. При малых временах эта система дает приближенное решение задачи, § 6. Для экспоненциальных ядер релаксации получена система дифференциально-разностных уравнений, описывающих движения границ слоев при малых временах, § 7.

В Главе 2 исследованы спектры и моды колебаний рассматриваемых систем, § 1,2, на основании которых сформулирован и реализован алгоритм построения асимптотических решений, § 3. Проведено сравнение полученных решений с известными точными решениями для экспоненциальных ядер, § 6. Для некоторых частных случаев получены точные решения систем граничных уравнений: для упругих сферы и цилиндра; для материала с малой вязкостью; для пакета, ядра релаксации всех слоев которого приближены одной экспонентой, §4, 7,8.

1. Бабич Ю.Н. Волновые процессы в двухслойном толстостенном цилиндре при локальном импульсном нагружении. // Проблемы прочности. 1988. № 5. С. 64-69.

2. Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. -М. :Наука. 1969.

3. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. -М. :Наука. 1973. -343 с.

4. Булычев Г.Г., Пшеничнов С.Г. Двухслойный линейно-упругий полый цилиндр под действием динамической нагрузки. М.:ВИНИТИ. Деп. № 728-84. 1984. -21 с.

5. Булычев Г.Г., Пшеничнов С.Г. Динамика многослойного линейно-упругого цилиндра при осесимметричной нагрузке. // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 6. С. 54-58.

6. Булычев Г.Г., Пшеничнов С.Г. Распространение упругих волн в слоистом цилиндре. // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303. №5. С. 10741078.

7. Булычев Г.Г., Пшеничнов С.Г. Исследование нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при ударных нагрузках. Известия РАН. МТТ. 1995. № 3. С 188-196.

8. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций 4.1. -М. :Издательство иностранной литературы. 1949. С.799.

9. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. -М. :Наука. 1974. -542 с.

10. Ю.Желтков В.И., Хромова Н.Г. Способ исследования динамической реакции вязкоупругих тел. //В сб. «Мех. деф. тв. тела.» -Тула. :Изд. ТулГУ. 1994. -С. 48-54.

11. Желтков В.И. Экспериментально-теоретическое обеспечение динамических задач линейной вязкоупругости. Дисс. на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук. - Тула: Тульский гос. ун-т. 2000. -262с.

12. Ильюшин А.А. Метод аппроксимации для расчета конструкций по линейной теории термовязкоупругости. // Механика полимеров. 1968. №3. С. 210-221.

13. З.Ильюшин А. А., Огибалов П.М. Квазилинейная теория вязкоупругости и метод малого параметра. // Механика полимеров. 1962. №2. С. 170-189.

14. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. -М. :Наука. 1970. -280 с.

15. Ильюшина Е.А. Колебания кусочно-однородной упругой среды с плоскопараллельными границами раздела. // Механика полимеров. 1976. № 4. С.687-692.

16. Ильясов М.Х. О решениях неоднородных волновых уравнений линейной вязкоупругости. // Доклад АН АзССР. 1980. № 12. С.13-17.

17. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракции волн. -М. Издательство МГУ. 1992. -204 с.

18. Кийко И.А., Ильясов М.Х. Динамическое кручение вязкоупругих цилиндрических стержней. // Механика полимеров. 1975. № 3. С. 482-492.

19. Козлов В.И., Кучер Н.К. Динамическое поведение многослойных цилиндрических конструкций при нестационарных нагрузках. // Проблемы прочности. 1980. № 5. С. 97-103.

20. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. -М. :Высшая школа. 1976. -277 с.

21. Колтунов М.А. К вопросу выбора ядер при решении задач с учетом-ползучести и релаксации. Н Механика полимеров, 1966, №4.

22. Колтунов М.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. -М.:Высшая школа. 1975. -277 с.

23. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. -М. :Мир. 1974. -338 с.

24. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного обращения преобразования Фурье и преобразования Лапласа. -М. :Наука. 1974. -223 с.

25. Лаврентьев М.А., ШабатБ.В. Методы теории функции комплексного переменного. -М. :Наука. 1987. -688 с.

26. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. -М. :Госиздат. техн.-теор. лит. 1950. -432 с.

27. Ляв А. Математическая теория упругости. -М. :ОНТИ. 1935. -674 с.

28. Молодцов И.Н. Исследование динамики многослойного неоднородного полого шара. Дис. канд.физ.-мат. наук. -М. 1982. -110 с.

29. Молодцов И.Н. К динамике многослойного полого шара. -Рига.:Изд. Зинатне. 1984.-С. 1109-1112.

30. Молодцов И.Н. Об исследовании динамики многослойного неоднородного полого шара. // Вестник Московск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1981, №1 с. 82-86.

31. Молотков JI.A. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. -Л. : Наука. 1984. -202 с.

32. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. -М.-Наука. 1972. -328 с.

33. Новацкий В. Теория упругости. -М. :Мир. 1975. -872 с.

34. Нуриев Б.Р. Удар по вязкоупругому слоистому композиту. // Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1985. №4. С. 35-41.

35. Перов М.А. Решение одномерных задач динамики кусочно-однородных тел .//Сб. научн. тр. Проблемы математики, механики и информатики. Вып. ТулГУ 2002.

36. Перов М.А. Решение одномерных задач динамики многослойных вязкоупругих тел. //Сб. трудов конференции молодых ученых. МГУ, -М: 2003.

37. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. Оптимальныепредставления полей волн в моделях основного эталонного типа. -Л.:Наука. 1985. -302 с.

38. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. -М.:Наука. 1896. -328 с.

39. Пшеничнов С.Г. Аналитическое решение одномерных задач динамики кусочно-однородых вязкоупругих тел. // Известия АН СССР. НТТ. 1991. № 1.-С. 95-103.

40. Пшеничнов С.Г. Построение оригинала для трансформанта Лапласа с помощью теории вычетов в задачах динамики линейно-вязкоупругих тел. // Сб. научн. тр. Нелинейные явления в открытых системах. Вып. 8. -М.: Гос. ИФТП. 1997. -С.79-87.

41. Пшеничнов С.Г. Распространение одномерных волн 'в кусочно-однородных вязкоупругих телах. // Докл. АН СССР. 1990. Т. 315. № 3. -С. 566-570.

42. Расулов М.Б. Распространение продольных вязкоупругих волн в трехслойном полупространстве. // Материалы 4-й респ. конф. Молодых ученых по математике и механике. Механика. -Баку. :Элм. 1983. -С. 239-243.

43. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.:Наука. 1988.-712 с.

44. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.:Наука. 1977. -384 с.

45. Сабодаш П.Ф. Распространение продольных вязкоупругих волн в трехслойной среде. //Механика полимеров. 1971. № 1. -С. 151-156.

46. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. -М.:Машиностроение. 1983. -269 с.

47. Шабат В.В. Введение в комплексный анализ. -М.:Наука. 1969.-576 с.

48. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. -Новосибирск. :Изд-во Новосиб. ун-та. 19(?8. -337 С.

49. Шемякин Е.И. Распространение нестационарных возмущений в вязкоупругой среде. Докл. АН СССР. 1955. Т. 104. № 1. -С.34-37.

50. Achenbach Y.D. Wave propagation in elastic solids. -Amsterdam.: North-Holland Pull. Co. 1973. -427 p.

51. Dillon O.W. Transient stresses in non-homogeneous viscoelastic (Maxwell) materials. // Y. Aerospace Sci. 1962. V. 29. № 3. -P. 284-288.

52. Haskell N.A. The dispersion of surface waves in multilayered media. // Bull. Seism. Soc. Amer. 1953. V. 43. № 1. -P. 17-34.