Одномерные нестационарные задачи электромагнитоупругости проводников тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Московский авиационный институт (государственный технический университет)

На правах рукописи

Лемешев Виктор Александрович

Одномерные нестационарные задачи электромагнитоупругости проводников

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 2 ЛЕН 2010

Москва - 2010

004614912

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» Московского авиационного института (государственный технический университет).

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Вестяк Владимир Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Солдатенков Иван Алексеевич

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Рогов Анатолий Алексеевич

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Защита состоится 15 декабря 2010 год а в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д212.125.05 в Московском авиационном институте (государственный технический университет) по адресу: 125993, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

Ваш отзыв (в двух экземплярах, с печатью организации) просьба отправлять на вышеуказанный адрес.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственный технический университет).

Автореферат разослан: \0j . \ \. цо | (J

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.125.05 к.ф.-м.н., доцент Федотенков Г.В.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Механика снизанных нолей и. в частности, электромапштоупрушсть, является одним из самых актуальных и востребованных направлений современной механики. Приложения задач электромапгатоуиругости встречаются в большом количестве инженерных задач из различных технических отраслей, таких как авиастроение, машиностроение, строительство. При этом, как правило, наибольший интерес представляют динамические задачи, т.к. они позволяют прогнозировать поведение материала непосредственно после изменении состояния внешней среды, в период, когда наиболее вероятно возникновение необратимых изменений.

В то же время, на сегодняшний день так до конца и не выработаны методы аналитического исследования динамических связанных задач электромапштоунругости.

Формулировки динамических задач электромапштоунругости были даны достаточно давно, в СО-70-е годы XX-века, однако аналитических решений они не содержали. Значительная часть исследований была направлена либо на разработку численных методов исследования задач электромапштоунругости, либо на сведение этпх задач к статическим и квазистатическнм задачам. Численные методы, при всей своей несомненной эффективности, обладают рядом недостатков. Например, они имеют склошгость к накоплению ошибок, ограниченно пригодны для прогнозирования. Кроме того, для тестирования численных методов все же необходимы некоторые эталонные решения.

Работа посвящена разработке аналитических методов решения одномерных задач электромагаитоупругостн. Подобные задачи возникают, в частности, при исследовании поведения достаточно больших однородных пластин (ближе к геометрическому центру пластины задачу можно условно считать одномерной). Вдобавок, исследование одномерных задач позволяет подготовить и проработать методы исследования двух- н трёхмерных задач. Сложность решения подобных задач вызвана наличием динамической составляющей в условиях, а так же произвольным, возможно достаточно сложным,

характером этой составляющей. Дополнительно следует учитывать возможные особенности в начальном распределении зарядов но проводнику.

Методы исследования. В постановке задачи использовались уравнения теории упругости, уравнения Максвелла. Ома и Лоренца. Для решения использовались метод малого параметра, функции Грина, интегральное преобразование Лапласа в сочетании с разложением изображений в ряды по экспонентам и точным обращением.

Для проведения расчётов были разработаны специальные динамические библиотеки, а гак же комплекс программ для обработки результатов. Окончательный анализ и построение графиков проводилось в среде для символьных вычислений Maple 12.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных в работе результатов и выводов подтверждается использованием апробированных моделей МСС н математических методов решения начально-краевых задач, а так же сравнением с некоторыми имеющимися данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, а так же с эталонными задачами механики твёрдого тела.

Научная новизна. Впервые даны аналитические решения связанных одномерных задач электромагиитоупругости. Приведен способ решения связанных задач электромагпнтоупругостп с примененном метода малого параметра. Приведены алгоритмы расчёта оригиналов соответствующих решений в пространстве изображений. Показана связь между упругими и электромагнитными свойствами материалов. Разработана методика расчёта перемещений напряженности электростатическог о поля. Выявлена достаточно быстрая (ходимость рядов но малому параметру.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных мероприятиях:

1. Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец (2008..... 2010 гг.)

2. Международная научно-техническая конференция «Актуаль-

ные проблемы прикладной механики и прочности конструкций», Ялта (2009 - 2010 гг.)

3. Международная конференция «.Современные проблемы .механики и математики». Львов (2008 г.)

4. VII Международная конференция «Научно-технические проблемы прогнозирования надёжности и долговечности конструкций и методы их решения». Санкт-Петербург (2008 г.)

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 7 работ, из них в журналах, рекомендованных ВАК.....2 статьи.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объем работы 114 страниц, работа содержит 13 рисунков, библиографический список состоит из 75 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, формулируется цель, научная новизна, применимость и практическая ценность исследований и разработок.

В главе 1 «Постановка одномерных нестационарных задач для электромагнитоуиругих тел» проведён анализ современного состояния исследований в области нестационарных задач электромагнито-упругости, дана постановка задач электромапштоупругости в произвольной криволинейной системе координат.

Постановка задач электрсшагннтоупругоетп состоит из механической и электромагнитной частей. В качестве соотношений, описывающих механическую часть, приняты [1, 2|:

• Уравнения движения:

¡ ;; г,

рш> = 1 + ш = —-, V = —- (1)

где w = w*ei, v = t?'e<, u — u'e; и F = F'e,-.....векторы ускорения, скорости, перемещения и объёмных сил; <т — a'^ejej.....

тензор напряжений; ej, е3.....базис системы координат; Vj

ковариантная производная; I.....время; р.....плотность.

• Соотношения Коши:

4 = \ (Vs«i + V.;"<) (2)

• закон Гука:

(ту = + '2//Zij,B — divu (3)

Электромагнитная составляющая задачи описывается еледую-иш ми акт юшеп и я ми:

• уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

_ 13В __ 4тг, ldD _

rot-E =---—. rot-H = —j H---—. divD = 47xpe (4)

с at с с at, '

где E г= E% и H = /Те,- - напряженности электрического и магнитного полей; D = D'e,- и В = В% - индукции электрического а магнитного полей; j — /'в; - плотность тока; с -скорость света, ft. - объёмная плотность зарядов.

• закон Ома:

Во = (В)„ = Bfa.peO = (ре)0

• ллнеарнзованная сила Лоренца:

pF = F(; = Р(ЯЕ + реЕо + - ([jo, В] + [j, Во]),

С [О/

Е0 = (Е)0 = Ffa.j,, = (j)0 = jje,-G

связь между индукцией и иацряжёниостыо магнитного ноли:

В = цеИ (6)

• связь между индукцией и напряжённостью электрического ноля:

Б = ¡гЕ (7)

где А и /I - упругие постоянные Ламе; д^.....компоненты метрического тензора; £ и ¡ге - коэффициенты диэлектрической и магнитной проницаемости.

Начальиое состояние рассматриваемой системы:

(р)о = р. Но = Мо = ("'% = - И„ = 0 (8)

В0 = //,Но. Б0 = еЕо (10)

где Х,о.....ток смещения в начальном состоянии.

Таким образом, (1).....(10) задают замкнутую систему уравнении

относительно перемещений, НДС и напряженности п индукции нолей в произвольной декартовой системе координат.

В дальнейшем все уравнения будем рассматривать сразу в безразмерной форме. При этом основными безразмерными параметрами будут О: н 7, которые характеризуют связь между электромагнитными и упругими свойствами среды:

£ Е1 АтсаЬ , .

В главе 2 система уравнений (1).....(10) рассматривается в контексте исследования распространения волн в электромапштоунрух'ом полупространстве или слое [4. 0|. Предполагается, что волны распространяются только "вглубь" слоя, т.е. вдоль оси с. Показано, что в

такой постановке -задача является одномерной только при отсутствии магнитного поля:

и = {(Ми/:и.г)} (12)

В = 0

Так же предполагается, что электростатическое поле изменяется только вдоль оси

В такой постановке система уравнений (1) (10) может быть сведена к системе из двух уравнений относительно двух неизвестных (/ и /•.":

¡¡ = / + о(ад'! (13)

Ё + чЁ = -мй (14)

Система- (13) (14). дополненная однородными начальными условиями, может быть решена с использованием преобразования Лапласа (,•? - параметр, верхний индекс -<Ь>> соответствует изображению):

- «V + а| (Е«Е1<) = 0 (15)

Е1- = -р<фи\Ъ{») = (16)

* + 7

Система (15) (16) допускает аналитическое решение, однако его вид не позволяет осуществить обратное преобразование Лапласа. Поэтому для дальнейшего решения воспользуемся методом малого параметра:

и{г,т)^%п{гл)ат, Е^т)^Ет{г,т)оГ (17)

П~() »1=0

Тогда коэффициенты ¡¡ядов (17) могут быть найдены из следу-

ющей системы соотношений:

^Р—Ч-Л. (Ю)

(=. - /т (г, ») = 6(й) ~ (20)

= -А^4(т>0) (21)

Дополним систему граничными условиями в одной из следующих форм (здесь г* граничная поверхность):

• несмешанные механические условия:

"1:=*. = иЛт)-. (22)

«г=:,=5Лг) (231

• нетривиальное электромагнитное условие:

= (24)

где С/», 5* и Е* - заданные на поверхности г — г, перемещение, напряжение и напряжённость электрического но.ля.

Уравнение (18) решается непосредственно, а для решения уравнений (19) воспользуемся интегральным представлением через функцию Грина:

о1 ы, *) = с\ <е, 8) в"'" + с2 , в) е- + О^ {г, з) (25)

где функция Грина определяется как решение задачи: д-С1

~т ~ ¿о1 =¿(2-0, ЫС1\Е!%,:::: 0 . 0. = —(>соЮ1 (26)

здесь ¿(г).....дельта-функция Дирака.

Окончательно, решая задачу на функцию Грииа и задачу (18), для перемещений получим следующие рекуррентные соотношения (* - свёртка. по времени):

• для граничпых условии на перемещения:

№ (О C^m-l +-г-О

4- Я (г_)

Lo

-Я (—т_)

Кп-1 <) = "т—1 «) ~ 7«т-1 (6 *) * в"7'

Т- ~ т — z, т+ = г + z (27)

где пулевое приближение:

ио (г, г) = 1Г0 (г - г)

для силовых граничных условии:

(=. т) - 2 \ I So № [/'*-> & r + z-О <%+

Я (г_)

i?0 (О lJ'm~l (i.r-г-О^-

.0

11т-1 ((, I) = «,„-! 0 - 7«)»-1 (с о * <~':<

т_ = т - = г + г (29)

нулевое приближение:

щ

{2,т) = Н{т~г) | 5 (О А

(30)

о

• для граничных условий на напряжённость электростатического ноля рекуррентная формула совпадает с формулой для условий на перемещения, а пулевое приближение совпадает с (28) при учете связи между изображениями граничных условий:

Примеры расчётов приведены на рисунках 1-3. Глава 3 посвящена решению задачи о распространении волн от сферической полости в электромагннтоупругом полупространстве

В качестве разрешающей системы соотношений принимаются уравнения (1).....(10). при этом предполагается, что волны распространяются только вдоль радиуса, а магнитное поле отсутствует. Тогда, проводя рассуждения, аналогичные главе 2, для перемещений и напряженности электростатического ноля получаем систему уравпе-

.1

(31)

13, 7].

ннй:

и

д2и 2 ди _ 2« О г- г дг г2

+

— -г- О РлЕ + Ец

ОЕ 2 Е

От ^ г

(32)

Е -1- 7Е = —Рьцй

дополненную граничными условиями вида:

,J

Рис. 1. Подупрострашггво. Перемещения при с = 0.5. Цифрами обозначено количество слагаемых в рядах по малому параметру.

• Кинематические граничные условия:

пчг о- JíifL

r-(.v-l)

• Силовые граничные условия:

(rs + 1) (Tír~r^

«п (г- s) = ~

Sk(s)(rs+ 1)

„-(»'-г о)«

f-.s (i!2 -i ,9 -I- I)

• Граничные условия для электростатического поля:

V¡j ir. s) = —

/'• ! (Г) Г2 (5+1) i» (5)

(35)

Для решения полученной системы воспользуемся преобразованием Лапласа но времени п методом малого параметра (по аналогии с (17)), что позволяет свести задачу к системе уравнений на коэффн-

Рис, 2. Картина перемещений для граничных условий на перемещения (4 члена, ряда, по малому параметру)

циенты:

дг2 ' г дг I г2

I о;

(>г2 г дг

— + 5- | и;л = /да-! (г, в) (т > 1), (38)

2Еа'

/ш-1 (Г, а) = - АО + -- , -

дг

Ет = -ЛоЬ<4 2:0)

(39)

Решение уравнения (37) находится непосредственно, а для решения уравнений на старшие коэффициенты (38) воспользуемся интегральным представлением:

К.

(г.

(40)

где - функция Грина, являющаяся ограниченным решением задачи:

04,".; 21Ю1 /2

-> 1 » (41)

дг2 ' г дг

Рис. 3. Картина перемещений для граничных условие на электростатическое поле (4 плена ряда по малому параметру)

Решая (41) и используя решение (37), (40). для коэффициентов рядов по малому параметру можно построить следующие рекуррентные соотношения:

• для граничных условий на перемещения и напряжённость полей:

ит (г, г) =

Г

= 7Г АО Ю Ео (О ¿г

£г

9\ (г, Ч! * ит~1 (Л, О -

А* (О Я) (О

ГТГЛ (С: Г, I) * и„,.....[ (С, п - и.„.....1 (е О

+ - Н (г - г 4-1) х 2 г

РеО (£) £Ь (С)

91 (г, <) * «»г~1 (С- <) - (С-

..... .... )

здесь * означает свёртку по времени т. а функция Ц\ н <]2 имеют СЛЕДУЮЩИЙ вид:

<71 ' • чг ")

g-iir.tr) =

(/и (Г. О + -Г+ 2 (»•, О е.....'т

921 (г, С) + + №2 (г, ?) е-"'7 + я23 ( г, ,

Я(т

912 М = -~Я10 (ТГ)7?2(-70.

521 (г, ч) = £ {ч [г (2 + 7)-1]+ 4г} - (г, ().

1 ■+■■ 7

дп (г,О

72(1" 7 ) 1 — 7'

для аиовых граничных условий:

и„, {г. г)

-г!

(г, 7-г + £) - (г, Т-г-О

2 т2 ~Р~ ->г2

Г-Г + £)-Я(т-Г-£))-^--

.....1 (г, г) (1.е

= (43)

Вкупе с оригиналами для нулевых приближения данные рекуррентные соотношения позволяют вычислить перемещения, используя ряды но малому нараметру.

Примеры расчётов приведены на рисунках 4-0. В главе 4 рассматривается усложнённый вариант задачи из главы 3: полость в пространстве заменена на толстостепную сферу. На уровне постановки задачи это означает наинчне ещё одной гтгашщы

Pin-. 4, График зависимости перемещений при г = 1,5 по времени. Цифрами обозначено количество слагаемых в рядах по малому параметру.

Put:. С. Гряфпк зависимости перемещений при г = 2 но времени. Цифрами обозначено количество слагаемых и рядах но палому параметру.

В качестве граничного условия на внешней поверхности сферы используется однородное условие на перемещения:

«(n^U, =0 (44)

здесь i'i .....внешний радиус сферы.

Схема решения задачи для толстостенной сферы в общих чертах совпадает со схемой решения для полости, существенные разлн-

J \\

Рис. 6. График зависимости перемещешш при г = 1.5 по »[измени для силовых граничных условий.

чия возникают при отыскании оригиналов нулевого приближения и функции Грина. Их изображения по Лапласу имеют вид:

• нулевое приближение:

'X'

4(Г, s) = sltf (s) ]Г (р;!л $)е*{Ь-г+г*] - О;;(г. s)e""s!".....г'нч>;) е

■п ■■■■.!)

= .sCtf (в) J2 (pf;(r, - Qf;(r, =

= ittf (л) S1' (r,i) (45)

где функции /"' и Q'; определяют«; рекуррентными соотношениями:

/>f(n*) = P^ir-.sjY (~*г,)У(з) = Pl(r, s)Yn(—sr\)Ynis).

(46а)

= QLMs)Y(-*n)Y(s) =

(40 b)

slirAs)

!''■(,■. s) = /''•(,-.«).

Qo(r>s) = PL(-r,s)Y(-srl)

функция Грина:

n=0

Ц^ЛуНг-Л-*) (47)

ще:

= Y*+1(-»№m-ts)Bo(-rs)t (48)

(49)

г£/р с .л _ ^'(-«'^^''(^^(-^дом

s3

Ro(.-(s)Ra(ra)e-*r-e - П(ф)Ни(-г*у(г-У

(52)

Tin = 2ri — — r + 2nft,

= Г + £ - 2 + 2nh, Tin = 2(n + l)h - £ + r, Tin = £ - r + 2n/t

Из приведённых соотношении можно сделать вывод, что вид равенств (46а).....(51.) относительно s практически одинаков (а именно

рациональная функция от а), а это означает, что процедура обращения для всех этих равенств, по-сути, одна и та же. Поэтому достаточно продемонстрировать сё па примере Р,\\

Заметим, что отыскание оригинала функции сводится к вычислению интеграла от этой функции, иомножешюй на экспоненту, но комплексной полуплоскости. Задача интегрирования, в свою очередь, может быть сведена к задаче о вычислении вычетов в полюсах функции. Т.к. вышеприведённые функции являются рациональными, отыскание их полюсов не представляет проблем. При этом сама процедура вычисления вычета так же может быть сведена к рекуррентным соотношениям. Так, у функции Р/- в точке ^ = 1/г\ имеется полюс кратности п— 1, так что вычет в этой точке вычисляется по формуле:

res Г!;<Г =

1

lim {(s-stf Pï (г, s) е~) =

1

(?) - 1)! .*-K«i dsb 1 1

(„. _ 1)1 »4», ds<n-V

((« ~ Sx)nPL(r,s)Y"(-sn)Yn{S)e°r) =

1нп

lira

(}(n-l)

(n - 1)! (-Г,)" а-м, i/s(»-0

PL(r, s) (.sn + I)'

(1 + .s)

(53)

Если в этом соотношении несколько раз последовательно применить формулу Лейбница:

гее

1

(п - 1)! dd"-v)

1

1

lini

(ri - 1)1 (-п)" ""',>/*<■"-» 1

(-П)"

где

bUllim ^

«-+SJ !

¿.(I"«)'

то мы придем к. рекуррентной относительно коэффициентов формуле для вычисления вычетов. Схожим образом вычисляются и оригиналы функции в (48)-(51).

Рис. 7. Перемещения на г = 1,5. цифрами обозначено количество слагаемых в ряду по милому параметру.

Рис. Перемещения на г = 1,2, цифрами обозначено количество слагаемых в ряду но малому параметру.

Таким образом, для толстостенной сферы так же может быть построена рекуррентное соотношение для коэффициентов рядов по малому параметру. С использованием этой формулы были проведены

Рис. 9. Общая картина перемещений прп учете четырех слагаемых ряда по малому параметру.

расчёты для перемещений и получены результаты, представленные на рисунках 7-9.

Основные выводы и результаты работы

Основные результаты и выводы по диссертационной работе следующие.

1. Даны постановки одномерных нестационарных связанных задач злектромагнитоупругосги для однородных изотропн ых проводников в прямоугольной декартовой и сферической системах координат. Доказано, что условием одномерности является отсутствие магнитного поля.

2. Разработан и реализован часлевио-шшштический алгоритм решения одномерных нестационарных связанных задач электроупругости, для однородных изотропных проводников для полупространства, плоского слоя, пространства со сферической полостью и толстостенной сферы.

3. Показано, что непосредственное построение решения связанных задач затруднительно. Поэтому предложено для этого кяас-

са задач использовать метод малого параметра, под которым понимается коэффициент связи электрического и механического полей.

4. Построены начально-краевые задачи для каждого коэффициента рядов по малому параметру. Показано, что нулевой коэффициент этих рядов соответствует чисто упругой задаче. Решение начально-краевых задач для последующих коэффициентов предложено строить в интегральном виде с единым ядром -функцией Грина упругой задачи.

5. Получены явные выражения для одномерных функций Грина при различных тинах граничных условий (кинематических, электрических и силовых) для полупространства, плоского слоя, пространства со сферической полостью и толстостеппой сферы.

6. Предложен и реализован метод вычисления оригинала по Лапласу для любой рациональной функции, основанный на применении формулы Лейбшща и теории вычетов.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах

1. Вестяк В.А., Лемешев В.А. Распространение нестационарных радиальных возмущений от цилиндрической полости в электромаг-нптоуирутой среде // Материалы XIV международного симпозиума ''Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова, Т. 1. Москва: 2008. С. 59 -6(1.

2. Веетяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Плоские нестационарные волны в электромапиггоупругом полупространстве н слое // Современные проблемы механики и математики. В 3-х томах. Львов, 2008. Т. 1. С. 65 07.

3. Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметрнчных возмущений от сферической полости в электромапиггоупругом нростапстве // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения: Труды Международных конференций. Изд-во Политехнического университета, 2008. Т. 2. С. 58-65.

4. Вестяк В.А.. Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны в электромапшто.упругом полупространстве и слое Ц Доклады Академии Наук. 2009. Т. 426, № 6. С. 747-749.

5. Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные колебания толстостенной электромапштоупру-гой сферы // Импульсные процессы в механике сплошных сред: матер. Междупар. научи, коиф. Николаев: КП «Миколаевська обласна друкария», 2009.........17-21 авг. С. 26.....27.

С. Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны в электромагннтоунругом полупространстве и слое // Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 2. Чебоксары: ГУН «ИПК «Чувашия»», 2010. С. 27-29.

7. Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных радиальных возмущений от сферической полости в электромапштоупругой среде // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 434. № 2. С. 180 -188.

Отпечатано в ООО «Копировальный Центр «МАРОСЕЙКА» Тираж 100 экз. Подписано в печать 11.11.2010г. г.Москва, ул. Маросейка, д.15 www.vp24.ru

Введение

Глава 1. Постановка одномерных нестационарных задач для электромагнитоупругих тел.

1.1. Современное состояние исследований.

1.2. Уравнения движения электромагнитоупругой среды

1.3. Граничные условия для электромагнитоупругих тел

Глава 2. Одномерные нестационарные задачи электро-магнитоупругости в прямоугольных декартовых координатах

2.1. Постановка задач для полупространства и плоского слоя

2.2. Распространение нестационарных возмущений в электромагнитоупругой полуплоскости

2.3. Полуплоскость под действием поверхностных кинематических и электрических возмущений.

2.4. Полуплоскость под действием поверхностных силовых возмущений

2.5. Распространение нестационарных возмущений в плоском электромагнитоупругом слое.

Глава 3. Распространение нестационарных радиальных возмущений от сферической полости в электромагнитоупругой среде.

3.1. Уравнения радиальных колебаний тел со сферическими границами

3.2. Постановка одномерной задачи для пространства ^ю^ сферической полостью

3.3. Решение задачи методом малого параметра.

3.4. Построение функции Грина для пространства со сферической полостью

3.5. Разрешающие интегральные соотношения и примеры расчетов

Глава 4. Нестационарные радиальные колебания толстостенной электромагнитоупругой сферы.

4.1. Постановка одномерной задачи для толстостенной сферы

4.2. Разрешающая последовательность краевых задач в пространстве преобразований Лапласа.

4.3. Построение функций Грина для толстостенной сферы

4.4. Разрешающая рекуррентная последовательность краевых задач в пространстве оригиналов.

4.5. Примеры расчетов.

Актуальность проблемы. Механика связанных полей и, в частности, электромагнитоупругость, является одним из самых актуальных и востребованных направлений современной механики. Важность этого направления обусловлена большой значимостью подобных задач для прикладных направлений. Приложения задач элек-тромагнитоупругости встречаются в большом количестве инженерных направлений, таких как авиастроение, машиностроение, строительство. При этом, как правило, наибольший интерес представляют динамические задачи, т.к. они позволяют прогнозировать поведение материала непосредственно после изменения состояния внешней среды, в период, когда наиболее вероятно возникновение необратимых изменений.

В то же время, на сегодняшний день так до конца и не выработаны методы аналитического исследования динамических связанных задач электромагнитоупругости.

Формулировки динамических задач электромагнитоупругости были даны достаточно давно, в 60-70-е годы ХХ-века, однако аналитических решений они не содержали. Значительная часть исследований была направлена либо на разработку численных методов исследования задач электромагнитоупругости, либо на сведение этих задач к статическим и квазистатическим задачам. Численные методы, при всей своей несомненной эффективности, обладают рядом недостатков. Например, они имеют склонность к накоплению ошибок, ограниченно пригодны для прогнозирования. Кроме того, для тестирования численных методов все же необходимы некоторые эталонные решения.

Работа посвящена разработке аналитических методов решения одномерных задач электромагнитоупругости. Подобные задачи возникают, в частности, при исследовании поведения достаточно больших однородных пластин (ближе к геометрическому центру пластины задачу можно условно считать одномерной). Вдобавок, исследование одномерных задач позволяет подготовить и проработать методы исследования двух- и трёхмерных задач. Сложность решения подобных задач вызвана наличием динамической составляющей в условиях, а так же произвольным, возможно достаточно сложным, характером этой составляющей. Дополнительно следует учитывать возможные особенности в начальном распределении зарядов по проводнику.

Методы исследования. В постановке задачи использовались уравнения теории упругости, уравнения Максвелла, Ома и Лоренца. Для решения использовались метод малого параметра, функции Грина, интегральное преобразование Лапласа в сочетании с разложением изображений в ряды по экспонентам и точным обращением.

Для проведения расчётов были разработаны специальные динамические библиотеки, а так же комплекс программ для обработки рёзультатов. Окончательный анализ и построение графиков проводилось в среде для символьных вычислений Maple 12.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных в работе результатов и выводов подтверждается использованием апробированных моделей МСС и математических методов решения начально-краевых задач, а так же сравнением с некоторыми имеющимися данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, а так же с эталонными задачами механики твёрдого тела.

Научная новизна. Впервые даны аналитические решения связанных одномерных задач электромагнитоупругости. Приведен способ решения связанных задач электромагнитоупругости через метод малого параметра. Приведены алгоритмы расчёта оригиналов соответствующих решений в пространстве изображений. Показана связь между упругими и электромагнитными свойствами материалов. Разработан методика расчёта перемещений напряженности электростатического поля. Выявлена достаточно быстрая сходимость рядов по малому параметру.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных мероприятиях:

1. Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец

2008 - 2010 гг.)

2. Международная научно-технической конференция «Актуальные проблемы прикладной механики и прочности конструкций», Ялта (2009 - 2010 гг.)

3. Международная конференция «Современные проблемы механики и математики», Львов (2008 г.)

4. VII Международная конференция «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения», Санкт-Петербург (2008 г.)

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 6 работ, из них в журналах, рекомендованных ВАК - 2 статьи.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объем работы 114 страниц, работа содержит 13 рисунков, библиографический список состоит из 75 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, приведены основные положения, выносимые на защиту, изложено краткое содержание работы по главам.

В главе 1 в первом параграфе приводится обзор публикаций, по-свящённых задачам электроупругости и электромагнитоупругости. Из него следует, что основное внимание исследователей было посвящено статическим и квазистатическим задачам электроупругости и электромагнитоупругости. При этом в качестве методов исследования чаще всего применялись численные методы, а характер связи полей имел простейший вид. В тех же случаях, когда решались динамические задачи электромагнитоупругости, характер временной зависимости зачастую был непроизвольным, а заранее определённым, либо упрощённым. В то же время обзор свидетельствует, что постановка задач электромагнитоупругости проработана достаточно детально, и может быть сформулирована различными способами.

Во втором параграфе приводится общая постановка задач электромагнитоупругости для однородных изотропных проводников с различной пространственной конфигурацией для произвольной криволинейной системы координат. Приводятся общие ограничения и гипотезы, в рамках которых проводилось исследование. Построена общая замкнутая система уравнений для задач электромагнитоупругости.

Третий параграф первой главы посвящен рассмотрению различных граничных условий, которые встречаются в задачах электромагнитоупругости, а так же приводятся основные формулы для одномерного случая.

Глава 2 посвящена отысканию решений для задач о распространении нестационарных электромагнитных волн в полупространстве и плоском слое.

В первом параграфе конкретизация постановки задачи, данной в главе 1 для случая декартовой системы координат. Получены выражения для всех соотношений, входящих в общую постановку, а так же для граничных условий. Ход рассуждений схож для случаев слоя и полупространства. Для решения используется преобразование Лапласа по времени. В результате система уравнений в пространстве изображений сводится к одному уравнению для изображения перемещений. Однако решения этого уравнения выражаются через функции Бесселя, порядок которых зависит от параметра преобразования Лапласа. Это делает невозможным непосредственный переход в пространство оригиналов. Поэтому для решения применяется метод малого параметра. В результате уравнение сводится к системе уравнений для коэффициентов рядов по малому параметру, в качестве которого выбран коэффициент связи между полем перемещений и электромагнитным полем а. Дальше ход решения различается для слоя и полупространства.

Во втором параграфе детально рассматривается задача для полупространства. Для нулевого приближения (первого члена ряда по малому параметру) она решается непосредственно, а для отыскания коэффициентов при старших степенях применяется интегральное представление с ядром в виде функции Грина. С использованием этого представления получены рекуррентные соотношения, связывающие коэффициенты рядов по малому параметру. Найдены оригиналы коэффициентов, проведены расчёты и представлены результаты, которые указывают на довольно высокую скорость сходимости рядов по малому параметру.

Третий параграф второй главы посвящен задаче для слоя. Различия между задачей для полупространства и для слоя заключаются в том, что во втором случае для того, чтобы найти оригиналы нулевого приближения и функции Грина приходится использовать разложение в ряды по экспонентам. Четвёртый параграф этой главы содержит примеры расчётов для различных значений координаты и времени.

В главе 3 приводится исследование нестационарной задачи о распространении возмущений от сферической полости в электромаг-нитоупругом пространстве. В первом параграфе приводится общая постановка одномерной задачи электромагнитоупругости в сферической системе координат. Приводятся аналоги уравнений из главы 1, производится сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве изображений Лапласа.

Во втором параграфе приводится уточнение системы для случая сферической полости. В третьем параграфе приводится первая часть решения, заключающаяся в использовании метода малого параметра и отыскании нулевого приближения. Четвёртый параграф посвящен построению соответствующей функции Грина, а так же отысканию её оригинала. Наконец, в пятом параграфе приводятся окончательные рекуррентные интегральные соотношения в пространстве оригиналов. В целом, за исключением усложнённых уравнений для нулевого приближения и функции Грина, решение задачи для сферической полости схоже с решением задачи для полупространства.

Глава 4 посвящена наиболее сложной задаче - задаче о нестационарных электромагнитных колебаниях сферического слоя (толстостенной сферы). Наличие двух граничных поверхностей приводит к существенному усложнению отыскания оригиналов как нулевого приближения, так и функции Грина. С этой целью используются приложения теории вычетов, что, в сочетании с формулой Лейбница, позволяет построить разрешающие рекуррентные соотношения. Разработаны программы для отыскания оригиналов коэффициентов, состоящие из специальной библиотеки для вычислений и подпрограммы, позволяющей связывать библиотеку и среду вычислений Maple. Приведены примеры расчётов, указывающие на эффективность метода.

В заключении приводятся основные достигнутые результаты работы.

Основные результаты и выводы по диссертационной работе следующие.

1. Даны постановки одномерных нестационарных связанных задач электромагнитоупругости для однородных изотропных проводников в прямоугольной декартовой и сферической системах координат. Доказано, что условием одномерности является отсутствие магнитного поля.

2. Разработан и реализован численно-аналитический алгоритм решения одномерных нестационарных связанных задач электроупругости для однородных изотропных проводников для полупространства, плоского слоя, пространства со сферической полостью и толстостепной сферы.

3. Показано, что непосредственное построение решения связанных задач затруднительно. Поэтому предложено для этого класса задач использовать метод малого параметра, под которым понимается коэффициент связи электрического и механического полей.

4. Построены начально-краевые задачи для каждого коэффициента рядов по малому параметру. Показано, что нулевой коэффициент этих рядов соответствует чисто упругой задаче. Решение начально-краевых задач для последующих коэффициентов предложено строить в интегральном виде с единым ядром -функцией Грина упругой задачи.

5. Получены явные выражения для одномерных функций Грина при различных типах граничных условий (кинематических, электрических и силовых) для полупространства, плоского слоя, пространства со сферической полостью и толстостенной сферы.

6. Предложен и реализован метод вычисления оригинала по Лапласу для любой рациональной функции, основанный на применении формулы Лейбница и теории вычетов.

Заключение

1. Голотина J1.A., Денисюк Е.А., Клигман Е.П. и др. Свзанные проблемы МТДТ: Учебное пособие. Часть 3. Электровязкоупру-гость. Пермь: ПермГУ, 2007.

2. Ворович Е.И., Пряхина О.Д., Селезнев A.B. и др. Об ассимп-тотике решений связанных задач электроупругости // Известия вузов Северо-Кавказского региона. Естественные науки. 2000. № 2. С. 24-26.

3. Бурак Я.И., Гачкевич А.Р., Подстригач Я.С., Чернявская JI.B. Термоупругость электропроводных тел. Наукова думка, 1977. С. 247.

4. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И., Сеник H.A., Фильштинский M.J1. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т.2 Статические и динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел. Москва: КомКнига, 2005. С. 374.

5. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1977. Р. 272.

6. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций. Том 5. Электроупругость. Киев: Наукова Думка, 1989. С. 280.

7. Баева А.И., Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела с полостями и плоскими трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 32. С. 64-79.

8. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. Учеб.: для Вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. С. 416.

9. Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Распространение волн в электромагнитоупругих средах. Москва: URSS, 2003. С. 336.

10. Баева А.И., Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела // Прикладная механика. 2003. Т. 39, № 1. С. 90-98.

11. Бабаев А.Э., Савин В.Г., Джулинский A.B. Аналитический метод решения задачи излучения нестационарных воли сферическим пьезопреобразователем // Теоретическая и прикладная механика. 2003. Т. 3. С. 195-199, 213.

12. Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Плоские нестационарные волны в электромагнитоупругом полупространстве и слое // Современные проблемы механики и математики. В 3-х томах. Львов, 2008. Т. 1. С. 65-67.

13. Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны в электромагнитоупругом полупространстве и слое // Доклады Академии Наук. 2009. Т. 426, № 6. С. 747-749.

14. Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Устойчивость движения. Москва: Наука, 1964.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Справочная математическая библиотека. Москва: Физматгиз, 1966.

16. Селезов И.Т., Селезова JI.B. Волны в магнитогидроупругих средах. Киев: Наукова думка, 1975. С. 163.

17. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1976.

18. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. Москва: Наука, 1979.

19. Багдасарян Г.Е., Даноян З.Н. Плоская магнитоупругая задача Лэмба // Механика. 1983. № 3. С. 68-76.

20. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. Москва: Наука, 1988. С. 470.

21. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Об одной обратной задаче электроупругости // Современные проблемы механики сплошной среды: труды 4-ой Международной конференции. Т. 1. Ростов-на-Дону: 1998. 27-28 октября. С. 84-88.

22. Баблоян A.A., Мелкумян С.А. Смешанная задача электроупругости для пьезокерамического клина с электродами // Доклады HAH Армении. 1999. Т. 99, № 1. С. 45-51.

23. Григорян Э.Х., Саркисян JT.B. Дифракция сдвиговых электроупругих поверхностных волн на крае электропроводящего упругого слоя // Известия национальной АН Армении. Механика. 1999. Т. 52, № 1. С. 30-39.

24. Саргисян A.M., Хачикян A.C. Об особенностях напряжений в двух задачах электроупругости для кусочно-однородного тела // Известия национальной АН Армении. Механика. 1999. Т. 52, № 1. С. 40-45.

25. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Коэффициентные обратные задачи электроупругости // Современные проблемы механики сплошной среды: труды 5-ой Международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону: 2000. 12-14 октября. С. 48-52.

26. Бардзокас Д.И., Сеник H.A. Контактные задачи электроупругости // Механика контактных взаимодействий. Москва: Физмат-лит, 2001. С. 583-606.

27. Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного полупространства // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 33. С. 83-90.

28. Подильчук Ю.Н., Прощенко Т.М. Общая задача электроупругости для трансверсально-изотропного однополостного гиперболоида вращения // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 32. С. 16-27.

29. Паньков A.A., Соколкин Ю.В. Электроупругость пористых пье-зокомпозитов // Математическое моделирование систем и процессов. 2002. № 10. С. 95-102, 147.

30. Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Исследование электроупругого состояния анизотропного полупространства с отверстиями и трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 73-83.

31. Баева А.И., Калоеров С.А. Исследование электроупругого состояния анизотропного полупространства с отверстиями и трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 73-83.

32. Баева А.И., Калоеров С.А. Электроупругое состояние цилиндра с полостями и трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2003. № 38. С. 36-43, 196-197.

33. Бай A.B., Сторожев В.А. Нормальные электроупругие волны в слое произвольного среза пьезокристалла кварца // Консонанс-2003: Акустический симпозиум. Киев: 2003. — 1-3 октября. С. 252-257.

34. Филыптинский JI.A., Ковалев Ю.Д. Смешанная симметричная задача электроупругости для слоя, ослабленного сквозными туннельными полостями // Механика композитных материалов. 2004. Т. 40, № 4. С. 549-554.

35. Мелкумян С.А., Тоноян B.C. Об одном классе контактных задач электроупругости для пьезокерамической полуплоскости с вертикальными разрезами // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 62-74.

36. Ковалев Ю.Д., Стативка E.H. Смешанная кососимметричная задача электроупругости для неоднородного цилиндра // Теоретическая и прикладная механика. 2005. № 41. С. 83-90, 208.

37. Кирилюк B.C., Левчук О.И. Электроупругое напряженное состояние пьезокерамического цилиндра с радиальной поляризацией // Прикладная механика. 2006. Т. 42, № 9. С. 59-69.

38. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. Москва: Физматлит, 2006. С. 273.

39. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Нестационарные одномерные задачи для электромагнитоупругой среды // Вторая Всерос. научн. конф. по волновой динамике машин и конструкций. Тезисы докладов. Нижний Новгород: 2007. С. 18.

40. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. Москва: Физматлит, 2008. С. 352.

41. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Линейные уравнения движения термоэлектромагнитоупругой среды // Методи розв' язування прикладних задач мехашки деформ!вного твердого тша: Зб1рник наукових праць Дншропетр. нацюн. ун-та. 2009. № 10. С. 57-62.

42. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Москва: Наука, 1965.

43. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В двух томах. Москва: Наука, 1970. С. 492.

44. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. Москва: Издательство МГУ, 1971. С. 248.

45. Короткина М.Р. Электромагнитоупругость. Москва: Издательство МГУ, 1988. С. 302.

46. Фильштинский JT.A. Некоторые сингулярные решения в электроупругости // Прикладные проблемы механики тонкостенных конструкций: сборник научных статей института механики МГУ. Москва: Издательство МГУ, 2000. С. 316-328.

47. Стащук М.Г. Оценка упругой деформации металлического цилиндра от электродного потенциала // Физико-химическая механика материалов. 2000. Т. 36, № 1. С. 47-50.

48. Саркисян Л.В. Дифракция сдвиговых поверхностных волн на крае электропроводящего конечного упругого слоя // Известия национальной АН Армении. Механика. 2000. Т. 53, № 3. С. 52-58.

49. Гололобов В.И. Конечноэлементный подход к задачам о гармонических колебаниях электромеханических систем // Доклады национальной АН Украины. 2001. № 2. С. 55-60.

50. Филыптинский Л.А. Фундаментальные решения уравнений электроупругости для пьезокерамического слоя в -й3 // Механика композитных материалов. 2001. Т. 37, № 3. С. 377-388.

51. Даноян З.Н. Электроупругие поверхностные волны Лява в пьезо-электриках // Проблемы механики тонких деформируемых тел. Сборник. Посвящается 80-летию академика НАН Армении С.А. Амбарцумяна. Ереван: Гитютун, 2002. С. 177-187.

52. Вовк Л.Н. Динамические задачи теории упругости для тел сложной структуры. Издательство Ростовского государственного строительного университета, 2003. С. 168.

53. Подильчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных системах координат // Прикладная механика. 2003. Т. 39, № 2. С. 14-54.

54. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для пьезокерамической пластины // Труды 21-ой Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов: Издательство СГТУ, 2005. 14-16 ноября. С. 242-248.

55. Кирилюк B.C. О взаимосвязи решений контактных задач теории упругости и электроупругости для полупространства // Прикладная механика. 2006. Т. 42, № 11. С. 69-84.

56. Григорьева Л.О. Численное решение начально-краевой задачи электроупругости для полого пьезокерамического цилиндра с радиальной поляризацией // Прикладная механика. 2006. Т. 42, № 12. С. 67-75.

57. Власенко В.Д. Численное решение вариационных задач электроупругости // 32-я Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Екатеринбург: Дальнаука, 2007. — 26 августа 4 сентября. С. 56.

58. Григорьева Л.О. Колебания пьезокерамического цилиндра при нестационарном электрическом возбуждении // Прикладная механика. 2007. Т. 43, № 3. С. 73-79.

59. Гречихин Л.И. Физика. Электричество и магнетизм. Современная электродинамика. Минск: ИООО «Право и экономика», 2008.

60. Andre Nicolet, В. Movchan Alexander, Sebastien Guenneau,

61. Frederic Zolla. Asymptotic modelling of weakly twisted electrostatic problems. / / Comptes rendus de l'Academie des Sciences. Mecanique. 2006. T. 334, № 2. C. 91-97.

62. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, Ed. by M. Abramowitz, I.A. Ste-gun. New-York: Dover, 1972.

63. Helsing J. Corner singularities for elliptic problems: special basis functions versus "brute force" // Communications in numerical methods in engineering. 2000. T. 16, № 1. C. 37-46.

64. Rajapakse R.K.N.D., Chen Y., Senjuntichai T. Electroelastic field of a piezoelectric annular finite cylinder // Internations Journal Solids and Structures. 2005. T. 42, № 11-12. C. 3487-3508.

65. Rakshit M., Mukhopadhyay B. An electromagnetothermoviscoelastic problem in an infinite medium with a cylindrical hole // International Journal of Engineering Sciences. 2005. T. 43, N2 11-12. C. 925-936.

66. Tianhu He, Xiaogeng Tian, Yapeng Shen. A generalized electromagnetothermoelastic problem for an infinitely ling solid cylinder // European Journal of Mechanics A/Solids. 2005. T. 24, № 2. C. 349-359.1.K

67. Yang J.S. Equations for the ' ;ion and flexure of electroelastic