Динамический режим электронного транспорта через примесь в одномерной системе взаимодействующих электронов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Учреждение Российской академии наук Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котелышкова РАН

На правах рукописи

005003023

Шапиро Дмитрий Сергеевич

Динамический режим электронного транспорта через примесь в одномерной системе взаимодействующих электронов

01.04.07 Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 ДЕК 2011

Москва - 2011

005003023

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Артеменко Сергей Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор

Фейгельман Михаил Викторович,

кандидат физико-математических наук Рожков Александр Владимирович

Учреждение Российской академии наук Институт физики твердого тела РАН

Защита состоится 23 декабря 2011 года, в 10— на заседании диссертационного совета Д 002.231.01 при ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН по адресу: 125009, Москва, ул. Моховая, д.И, корп.7.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.

Автореферат разослан 18 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

С.Н. Артеменко

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Физика одномерных электронных систем является сравнительно новым направлением современной физики конденсированного состояния. Одномерные электронные системы могут быть реализованы в очень тонких проводниках, у которых размеры в поперечных направлениях имеют порядок фермиевской длины волны электронов данного проводника. В этом случае происходит размерное квантование, размерность электронной системы понижается и электроны становятся эффективно одномерными. В течении последних двух десятилетий стало возможным технологически создавать и исследовать транспортные свойства таких проводников. К ним относятся полупроводниковые квантовые проволоки, металлические атомные цепочки на поверхности диэлектрика, углеродные наиотрубки, краевые состояния в квантовом эффекте Холла, длинные проводящие органические молекулы. Существенным отличием одномерных систем от систем более высоких размерностей заключается в том, что взаимодействующие одномерные электроны не являются "стандартной" ферми-жидкостью с одночастичными возбуждениями, так как взаимодействие электронов в одномерном канале всегда является большим эффектом и не может рассматриваться в рамках теории возмущений. В результате, в отличие от двумерного и трехмерного случаев, вместо ферми-жидкости стабильным состоянием в одномерии является жидкость Латтинджера с коллективными возбуждениями зарядовой и спиновой плотности. Именно коллективный характер собственных возбуждений приводит к новым эффектам - даже единственная примесь, дефект или неидеальный контакт подавляют линейную проводимость. До сих пор механизм проводимости в одномерных системах не является полностью изученным, так как он сильно отличается от стандартных механизмов электронного транспорта. в физике твердого тела. Важно отметить, что интерес к одномерным

проводникам связан не только с качественно новыми физическими характеристиками, которые возникают из-за межэлектронного взаимодействия, но также и с современной тенденцией миниатюризации электронных приборов, сопровождающейся переходом к нанометровым размерам элементов. Исходя из этого, тему представленной диссертации можно считать актуальной.

Целью диссертационной работы явилось исследование электронного транспорта через примесь в одномерной электронной системе, в рамках которого построено теоретическое описание нового режима проводимости, заключающегося в том. что достаточно высокое постоянное напряжения на контактах приводит к генерации переменного тока. Этот новый режим по своим проявлениям напоминает, например, эффект Джозефсона, кулоновскую блокаду или движение волны зарядовой плотности в квази-1Б системах. Теоретическое исследование заключалось в решении задачи о протекании тока в случае как короткодействующего, так и дальнодействующего взаимодействия между электронами, изучение влияния флуктуаций на проводимость и выяснение области параметров системы, при которых возможно наблюдение эффекта.

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что при расчетах использовались проверенные современные методы теоретической физики, признанием полученных результатов научной общественностью при обсуждениях на научных семинарах и конференциях, а также положительными рецензиями статей, при публикациях результатов исследования в научных журналах.

Практическая значимость. В работе предсказан новый режим электропроводности, которому соответствует эффект высокочастотной генерации переменного тока при приложенном постоянном напряжении на контактах к 1Б системе. Результаты исследования этого эффекта важны для понимания фундаментальных транспортных и флуктуационных свойств одномер-

ных квантовых проводников и могут иметь практическое применение при разработке элементной базы наноэлектроники.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предсказан динамический режим электронного транспорта в одномерной системе взаимодействующих электронов с единственной примесью, который по своим проявлениям похож на эффект Джозефсона.

2. Вычислены вольт-амперные характеристики квантовой проволоки с примесью в случае короткодействующего межэлектронного взаимодействия. Получено, при напряжении больше порогового значения Vt происходит резкий рост постоянного тока сопровождающийся генерацией переменного тока с частотой f = //е. Пороговое напряжение Vt равно потенциалу примеси, перенормированному флуктуациями.

3. Установлено, что для существования эффекта необходимо, чтобы температура была ниже величины порядка Vt, а длина больше критической длины порядка vp/Vr-

4. Вычислен спектр флуктуаций тока в режиме генерации. Спектральная плотность флуктуаций имеет вид максимума на частоте генерации со степенным спаданием спектра.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на российских и международных конференциях:

1. 6th International Workshop on Electronic Crystals "ECRYS-2011", Каржез, Франция, 24-30 августа 2011 г.

2. Advanced Research Workshop "Fundamentals of electronic nanosystems" NanoPiter 2010, Санкт-Петербург, 29 июня - 2 июля 2010 г.

3. Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления в твердых телах, Троицк, 17 июня 2010 г.

4. XXXV Совещание по физике низких температур, Черноголовка, 29 сентября - 2 октября 2009 г.

5. 16th International Conference on Electron Dynamics In Semiconductors, Optoelectronics and Nanostructures "EDISON 16", Моипелье, Франция, 24 - 28 августа 2009 г.

6. XII International Conference For Young Researchers: Wave Electronics and Its Applications in Information and Telecommunication Systems, Санкт-Петербург 26 - 30 мая 2009 г.

7. Конференция "Актуальные проблемы физики высоких давлений и твердого тела", Туапсе 20 - 31 сентября 2008 г.

8. 5th International Workshop on Electronic Crystals "ECRYS-2008", Каржез, Франция, 24-30 августа 2008 г.

9. 16-th International Symposium "Nanostructures: Physics and Technology", Владивосток, 2008 г.

10. Internationsl Workshop "Recent Developments in Low Dimensional CDW Conductors", Скрадин, Хорватия, 2006 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных статей, из них 8 статей опубликованы в журналах, включенных в Перечень ВАК, в том числе 6 статей российских |А1, А2, A3, А4, А5, А6] и 2 статьи [А7, А8] в зарубежных журналах, и 5 статей в сборниках трудов отечественных н зарубежных конференций.

Личный вклад автора заключается в участии в постановке задачи и построении теоретического подхода, на основе которого строится решение, в проведении аналитических и численных исследований, в написании научных статей и их подготовке к публикации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка публикаций по теме диссертации и списка цитированной литературы. Работа содержит 67 страниц, 3 рисунка и список литературы.

Содержание работы

Во введении сформулированы цели диссертационной работы, обсуждается ее актуальность и достоверность, аргументируется научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов и представлены научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся общие сведения о проводниках с Ш электронной системой, объясняются главные отличия их свойств от систем более высоких размерностей, дается определение состояния жидкости Латтиндже-ра, которое является альтернативой ферми-жидкости в Ш случае, поскольку одночастичные возбуждения, электроны и дырки, имеют очень большое затухание и ферми-жидкостное состояние становится нестабильным. Рассказывается о широко используемых теоретических методах 1Б физики модели Томонаги-Латтипджера и методе бозонизации, который заключается в переходе от двухкомпонентного ^-оператора к полям смещения зарядовой и спиновой Ф„ плотностей, а также сопряженных им операторам импульса врр [1-3). Такая операторная замена позволяет отобразить гамильтониан взаимодействующих фермионов с любом характере межэлектронного взаимодействия на сумму двух гамильтонианов, квадратичных относительно Фр]ГТ.

Таким образом, модель Томонаги-Латтинджсра позволяет представить Ш систему как электронное состояние не с одночастичньши электронами и дырками, а с коллективными бозонным возбуждениями. Сначала будет рассмотрен бесспиновый случай, когда есть только одно зарядовое иоле смещения Фр, у которого, для краткости, индекс р будет опущен.

Далее рассказывается о том, что единственная примесь в Ш канале подавляет линейную проводимость, вместо которой появляются степенные зависимости кондактанса от напряжения и/или температуры С? ос Vй, V » Т и С ос Т", V <С Г, причем степень а > 0 определяется характером и силой межэлектронного взаимодействия. В этом свойстве проявляется существенное отличие жидкости Латтинджера от ферми-жидкости.

Как известно, вокруг примеси создается 2кр фриделевская осцилляция электронной плотности, которой в бозонизованном виде соответствует оператор р2к„ = крсоз(2крх + Ф). Термодинамическое усреднение Р2кг = (р2кР) дает выражение для ее формы, которая обладает характерным для жидкости Латтинджера степенным спаданием амплитуды /(ж) ос 1/х®

Р2кг{х, Ь) ос екр/(х) соз(2крх)

Фриделевская осцилляция шганингуется на примеси, и чем сильней межэлектронное взаимодействие, тем оказываются меньше квантовые флуктуации поля Ф и, как следствие, пиннинг оказывается более сильным. Упомянутая слабая проводимость со степенными характеристиками объясняется коллективным квантовым туннелированисм электронной плотности через минимумы статической фриделевской осцилляции. В терминах поля Ф это соответствует туннелированию среднего (Ф) через минимумы потенциала стиральной доски {>2кр — крсоз(2крх + Ф). Вопрос о теоретическом описании механизма протекания тока через примесь многократно рассматривался в ряде работ, в которых вычислялись ВС 1—У характеристики в рамках ренормгруп-

пы [4-G], Бете-анзатца [7] п рефермионной техники [8]. Эти подходы основаны на предположениях, что все процессы в системе являются стационарными, а функции распределения частиц, налетающих на примесь, имеют равновесный характер. Однако такие предположения не являются корректными, если рассмотреть поведение системы при достаточно высоких напряжениях V, когда должен быть дешшнинг фриделевской осцилляции, что в Ф-прсдставлении означает скатывание (Ф) по стиральной доске с сильным наклоном, который определяется приложенным напряжением V к контактам. В разделе " Постановка задачи" сформулирован альтернативный подход, основанный на решении нестационарного уравнения Гайзенберга для оператора поля смещения Ф с граничными условиями на контактах. Этот подход позволяет построить решение при достаточно высоких приложенных напряжениях, когда V > V?, при которых происходит депшшинг фриделевской осцилляции и качественно меняется механизм электронного транспорта: происходит переход от известного режима квантового туннелирования [4-8] в новый режим, соответствующий движению фриделевской осцилляции как целого [А2, A3, А5, А7, А8]. В разделе "Основные результаты" рассказывается, что DC ток Idc при этом сильно возрастает и на его фоне происходит генерация переменного тока с частотой / = /дс/е из-за неравномерности такого движения. Пороговое напряжение Vj- определяется потенциалом примеси, перенормированным флук-туациями. По своим проявлениям этот эффект напоминает движение волны зарядовой плотности в квази-lD проводниках, кулоновскую блокаду и нестационарный эффект Джозефсона, а термодинамически усредненное уравнение на (Ф(t)), которое описывает ток в 1D системе /(£) = |д4(Ф(<)), напоминает уравнение Джозефсона для сверхпроводящей фазы.

В случае, когда в системе есть кулоновское дальнодействующее взаимодействие, то 4&jr-K0Mn0iieiiTa коррелятора плотность-плотность спадает медленнее, чем любая степень х как е'с[9]. Это означает, что в системе с

кулоновским взаимодействием существует почти дальний порядок и формируется 4кр "вигнеровский кристалл", который вместе с фриделевской осцилляцией может двигаться как целое и тем самым определять проводимость (готовится к печати в [10]).

Во второй главе приводится выражения для гамильтониана Томонаги-Латтинджера для бесспиновой системы и для спсктра коллективных возбуждений, который оказывается аналогичен спсктру акустических фононов

Отсюда видно, что взаимодействие у затравочных фермионов дч приводит только к перенормировке скорости волн в бозонизованном гамильтониане у„ = -¡РЧ Безразмерным параметром, который характеризует взаимодействие в модели Латтинджера, является

Отталкиванию соответствует 0 < Кр < 1, невзаимодействующему случаю -Кр — 1, и Кр > 1 - притяжению. В системе с металлическим затвором происходит экранирование дальнодействующего кулоновского взаимодействия, потенциал взаимодействия становится диполь-дипольным и интегрируемым, поэтому его принято моделировать локальной функцией (в импульсном представлении это означает, что д = const) и стандартный латтинджеровкий параметр не зависит от q.

В третьей главе рассматривается постановка граничной операторной задачи для бесспиновой и беспримесной одномерной системы с короткодействующем взаимодействием и идеальными (геометрически плавными по сравнению с Хр) контактами, к которым приложено заданное напряжение U^ii(t). В рамках решения дифференциального операторного уравнения для поля

1

смещения Ф и граничных условий для термодинамических средних [11], вычисляется линейный отклик на V = Ur— Ui и U = (Ur + Ui)/2. Кондактанс как функция частоты приложенного напряжения оказывается осциллирующей величиной, которая не убывает в пределе большой длины системы, например, в отличие от результатов [12]. Если считать, что напряжение на контактах меняется по гармоническому закону v(t) = ucos^oíi то

г К picos ^ + 1) cos Lú0i + sin ^ sin щ1 I(t,±±) = GqvKp——-ь---—-^--

В изложенном подходе результат для коидактанса не убывает с ростом L. Это является следствием того, что электрическое поле не входит в уравнения движения, так как электрический ток определяется только разностью химпотенциалов в электродах, информация о которых содержится в граничных условиях. Падение напряжения происходит на контактах, а не внутри проволоки, так как контакты являются наиболее геометрически резкой областью во всей системе квантовой проволоки и электродов. А именно, предполагается, что длина области перехода между 1D и 2 (3D) электродом много меньше L. Линейный отклик появляется на ненулевой частоте, даже когда приложенное напряжение одинаково на обоих контактах (то есть V = 0) или когда у проволоки только один контакт. Это происходит из-за плазмонного характера зарядовых возбуждений, которые приводят к перераспределению электронной плотности внутри 1D системы (готовится к печати в [13])

Z(u) = i-Go

, „ 1 iúL 1 + м--тг tan ——

и кр ¿v

. d, 1 , ujL\ 1 + i - + — tan" — (j K„ 2v J

где Со = ¿д - квант проводимости.

Далее построено обобщение для флуктуаций в беспримесной системе. А именно, с помощью операторных граничных условий [А1] выводится соотно-

шснис. между флуктуациями поля смещения в центре проволоки ф = Ф - (Ф) и числа частиц Р = 2-kvf{Nr - NL) - V, влетающих в левый и правый контакты, которые обладают равновесными корреляционными функциями (ДАЫ) =2mj(coth§ + 1)

Здесь coth^ соответствует функции распределения коллективных возбуждений, а осциллирующий множитель - их плотности состояний.

В четвертой главе главе рассматривается 1D система с примесью в х = 0 и адиабатическими контактами bi = ±Ь/2. Предполагается, что потенциал примеси [/¿(ж) имеет ¿-образный вид. Полный гамильтониан бесспиновой жидкости Латтинджра с примесью в х — 0 есть сумма стандартного гамильтониана Томонаги-Латтинджера и примесной части [1], в которую входит только косинус cos 2Фо от локального оператора смещения в х = 0 (здесь 40(t) = 4(t,x=0))

irhVF

н

где

((Эх0)2 + dx - ~WiCoa2b0,

Wi =

Ui(x)e2ikFXdx.

соответствует компоненте примесного потенциала. Плавная компонента примесного потенциала никак не влияет на электронный транспорт и ее можно исключить из гамильтониана после унитарного преобразования, в то время как быстрая компонента, соответствующая косинусу, оказывается релевантной в рамках ренормгруппового преобразования при межэлектронном отталкивании, когда К„<1 (см., например, [3]). Релевантность означает, что процессы 2/сг рассеяния электронов назад нельзя корректно учесть по теории возмущений и они должны приводить к качественно новым эффектам.

Из этого гамильтониана с помощью стандартного коммутационного соотношения между Ф и 0 и граничных условий на операторы на контактах выводятся уравнения на термодинамическое среднее от оператора поля смещения в точке примеси Фо = (Фо)

аФо(0 +

сВД-^ - ^(¡ш^ФоМ) = У/2,

и на оператор флуктуаций в точке примеси ф = Фц — Фц

(1)

М1Р(!-Ь)6Р(Ь), (2)

2(0 =

27Г 6 йы 2я-е

(3)

н>0

К„

2{Крсо5 - гвт^

¿1 =

Функции памяти 2, F характеризуют процессы отражений собственных возбуждений жидкости Латтинджера от контактов. Отражения происходят даже от идеального контакта, если есть разница между константами взаимодействия в 1Б и в электродах. Поскольку рассматривается Ш система с межэлектронным отталкиванием и невзаимодействующая ферми-жидкость в массивных электродах, то коэффициент отражения коллективных волн плотности

1 -к„ 1+к„

¿0.

Совместное решение двух связанных уравнений (1,2) полностью описывают протекание тока через примесь. Уравнение па среднее соответствует наблюдаемому току, так как

Щ = -^Фо(г),

7Г

а операторное уравнение на (2) описывает релаксацию, так как оно представляет собой связь между неравновесными флуктуациями внутри 1Б системы и флуктуациями электронной плотности в термостате, которым является

равновесная ферми-жидкость в массивных электродах. В последнем разделе этой главы делается обобщение для функций памяти 2, Р. в зависимости от импедансов внешней нагрузки и шунтирующего сопротивления, соединенного параллельно с квантовой проволокой.

В общем виде решить эти два уравнения сложно из-за негауссовых флук-туаций, которые присутствуют в примесном гамильтониане и в уравнениях движения и виде зт2Фо. Но в случае сильного межэлектронного взаимодействия и высоких приложенных напряжений можно построить строгое решение, описывающее генерацию переменного тока, ограничившись моделью гауссовых флуктуаций.

В четвертой главе представлено решение в квазиклассическом пределе аномально сильного короткодействующего межэлектропного отталкивания Кр <С 1, когда, как видно из (2), квантовые флуктуации исчезают и решение задачи о протекании тока сводится только к единственному уравнению на среднее Фо(4) (1). В [АЗ, А7] найдено аналитическое решение для (1) в случае, если в системе есть затухание плазмонов v, а ее длина Ь «р/г/. В системе без затухания результаты качественно сохранятся, но вычисления будут более объемными. В этом случае отраженные плазмоны на частотах ш > и затухают и отражения от контактов оказываются несущественными, так как в функциях памяти Е (3) перед каждой п-й ¿-функцией появится дополнительная затухающая экспонента Уравнение на термодина-

мическое среднее (1) при Ь >> станет следующим

&Ф0 + К№{вш2Ф0(Ь) ~ (8ш2Фо(0>|) = ~ - И^(яп2Фо(0)« (4)

Оно напоминает уравнение Джозефсона и является интегрируемым, его решение

Такое нестационарно решение существует при напряжении выше порогового V > Vf, которое в квазиклассическом пределе равно удвоенному потенциалу примеси 2W,. Амплитуда осцилляции /ай = 2КР\\]. а частота пропорциональна среднему току / — //е. В противоположном случае V < Vj существует только постоянное решение для фазы Фо = const, соответствующее нулевому току. При V > VT из решения для I(t) можно вычислить DC падение напряжения на примеси Ц и, соответственно, найти соотношение на I — ^-характеристику

о0к„

В области высоких напряжений кондактанс насыщается до баллистической величины бо, так как ОС падение напряжения на примеси убывает

В пятой главе рассматривается аналогичная задача для более реалистичной реализации 1Б системы, когда характер межэлектронного отталкивания описывается кулоновским дальнодействующем потенциалом и когда в ней есть спиновая степень свободы. На примеси происходит нарушение спин-зарядового разделения и флуктуации в спиновом канале, в частности, приводят к перенормировке амплитуды генерации и порогового напряжения в зарядовом канале. Подробное изучение нестационарных эффектов и флук-туаций в спиновом канале было сделано в работе [14], в которой построено точное решение для негауссовых флуктуации в рамках рефермионной подстановки. Для величины флуктуаций в зарядовом канале оказывается важен длинноволновый предел, так как в чистой жидкости Латтинджера флуктуации огромны именно из-за инфракрасной расходимости. Но, помещая примесь в Ш систему, инфракрасная расходимость устраняется и флуктуации становятся подавленными. В случае кулоновского взаимодействия матрич-

ный элемент взаимодействия зависит от д

Км и ТгтФш' (5)

Сила кулоновского отталкивания характеризуется безразмерной величиной

7 =

eÜVf

где диэлектрическая проницаемость е - это характеристика среды, окружающей проволоку. В реальных системах 7 может быть больше или порядка единицы, так как Vf ~ Ю7 cm/sec, что на три порядка меньше скорости света с

7 = ^— « 1-Ю 137cvf

Из (5) видно, что в длинноволновом пределе Кр —> 0, то есть, кулоновское взаимодействие с любой силой 7 всегда аналогично короткодействующему аномально сильному отталкиванию. Учитывая это свойство кулоновского взаимодействия, в области высоких напряжений К Vy можно построить строгое решение в рамках самосогласованного гармонического приближения для слабых флуктуаций в зарядовом секторе возбуждений.

Два гейзенберговских уравнения на спиновый и зарядовый сектора, которые описывают проводимость в такой системе, выводятся из бозонизованного гамильтониана с учетом спина

дьФр +Z®Wi sin %/2Ф„ cos у/2Фа = V/y/2 + F ® Рр, (6)

дА + Wi sin >/5ф, cos у/2Ф„ = Ра. (7)

Здесь ® означает свертку по времени, а оператор Pv относится к флуктуа-циям плотности заряда и спина в электродах; "спиновое напряжение" в уравнении (7) отсутствует, так как считается равным нулю. Их решение можно построить в пределе высоких приложенных напряжений V 3> Vj следующим

образом. Используя решение [14] для спинового канала с сильными флуктуациями и квачиклассическое решение для Фp(i) = V/y/2t + Iacsu\Vt при V » Vt, можно вычислить слабые флуктуации в зарядовом канале в термодинамическом пределе Lоо, когда фурье-образ функций памяти имеет достаточно простой вид

= Fu = cos tLu

Сводя гайзепберговское уравнение к локальному в точке х = 0, появляется эффективный параметр отталкивания

7 Vlnv

Благодаря тому, что 0> инфракрасная расходимость при вычисле-

нии (фр) устраняется более эффективно, чем в случае короткодействия. Эта величина вычисляется в рамках самосогласованного гармонического приближения, заключающегося в следующей подстановке

sin 2фр -> 2<^е_2(^(г)>,

которая позволяет линеаризовать уравнение (G) на неизвестный оператор флуктуаций на примеси фр, выразив его через Рр в термостате, обладающий равновесными корреляционными функциями. После этого становится возможным вычислить среднее (ф2р), которое при Т = О f НKpMdu 1 . . /мм

Отсюда видно, что флуктуации очень слабо зависят от верхней энергии обрезания Л, являющейся большим параметром.

В последних двух разделах этой главы приводятся выражения для амплитуды осцилляции

UV) GoVt

фуЫ^ 17

и нелинейной поправки для DC I—V характеристики Ini ~ IlJV

IniiV) = Go-

у/Щ

4V

которые найдены в пределе V » Vf. В этом случае их легко вычислить из уравнения движения (6) по теории возмущений, где малым параметром будет VT/V.

Пороговое напряжение - это потенциал примеси, перенормированный флуктуациями в зарядовом и спиновом каналах

Уг = 2Ж;(cos 2Ф„)е-2Ф> * ^ In щ exp In In

В шестом разделе построено приближенное решение для бесспиновой системы с короткодействнем (Кр = const) в рамках самосогласованного гармонического приближения для флуктуаций. В этом этом приближении в пределе получается линейное уравнение (здесь предполагается, что L —у оо)

dtcj>+W(t)<jj(t) = /(0, W{t) = 2KpWie'2^ cos 2Ф0(*), f(t) =

Решением которого является

Ф =

dtj(t Oe-^W*.

dhF(t-tx)P(h (8)

0)

Из пего можно вывести уравнение на (<r(£)} t t

dt

dt3

(10)

-00 -00

Для него найдено строгое рентение в пределе высоких напряжений V Ур, которому соответствует постоянная (фг) = ((<^2(0)); и малые по сравнению

с единицей осциллирующие части (?>2(í)) = {v) +ccosujüt + ss'muj0t, частоты которых совпадают с частотой генерации переменного тока lo q - eV/h. Малость с, s < 1 позволяет разложить подынтегральную экспоненту и существенно упростить (10). Именно предположение о ненулевых осциллирующих составляющих в ((¿2(í)} позволяет найти нетривиальное конечное решение, так как оказывается, что характерная для чистой жидкости Латтинджера инфракрасная расходимость устраняется на энергии IVq и clac. Результат вычислений следующий: постоянная по времени часть

и малые осциллирующие части r(t))

7Г KpWq KpiVfj 2V2 _ Кр

с =---7"—, 5 =--77— m 9, Wq = \'т-

кс

( *./k¡Vt ^ 1-!К'

2К ' К * W2' и Лу/1^1ГР

2^/Г^ЩУ \ /

Это решение описывает неравновесные флуктуации и оно определено при высоких частотах генерации V :» Ут и достаточно сильном взаимодействии Кр < 1/2. В отличие от уже рассмотренного случая кулоновского взаимодействия, постоянная часть флуктуации (ф2) может оказаться достаточно большой при конечных Кр и это отражается на более сильной перенормировке амплитуды осцилляций и порогового напряжения Ут по сравнению со случаем кулоновского дальнодействия. А именно, при увеличении напряжения V флуктуации увеличиваются, приводя к уменьшению амплитуды осцилляций, так как 1ас ~

Решение для флуктуаций можно найти также при V < Ут, когда в рамках гауссовой модели ток / = 0. В принципе, слабый I ф 0 со степенными 1-У характеристиками можно было бы получить, есть учесть негауссовы флуктуации в уравнениях движения. В рамках гауссового приближения пороговое напряжение Ут = 21¥1е~2(ф2> и конечный ответ для (ф2) определен

19

при Кр < 1

к„

К Л {\¥Л

Стоит заметить, что такая же степень появляется в выражении для Тв в решении с помощью Бете-анзатца [7]; Тв является характерным напряжением, выше которого БС /—У характеристика выходит на линейную.

Результаты с учетом конечной длины системы для амплитуды осцилляции ___

/ас « КРУТ ^ у ) у (1 + ЛГ2) _ (1 _ ЛГ2) соз

и нелинейной поправки к БС 1-У характеристике в режиме генерации (рис.1)

2К,

1п1 = Кр—

V V V

гк„

к" -ъУ

1-2Кр Уг (1 + - (1 - eosw0£ьJ Осцилляции в зависимости от Ь, V возникают из-за резонансных эффектов, связанных с отражениями "плазмонов" от контактов.

В разделе "Спектральная плотность шума генерации" вычисляется коррелятор, соответствующий переменному току генерации

(/({)/(<')) = ® (вт(У4 + 2ф{1)) яп(УГ + 2фЦ'))), (11)

который выражается через коррелятор

(ф(Ш')) = ~ [е-1УоТШ(И^ог) + еиг°тЕ1(-ад] , т=1-£.

В результате вычислений термодинамического среднего (11) в рамках гармонического приближения удается найти выражение для спектра шума генерации при V ~Э>Ут

1

1-2А' '

Рис. 1. Нелинейная поправка /„((К А',) а БС I-V характеристике I = боУ - 1„1

который представляет собой максимум на частоте генерации еУ/Н со степенным спаданием хвостов. Выражения для фурье-образа функции памяти 2,ы фигурирует в (3).

Для кулоновского взаимодействия аналогичный коррелятор будет иметь более слабое спадание

. . 1 Л» Ли3 А

С учетом этого выражения результат для спектральной плотности шума генерации будет следующим

И?

Шумовая линия в случае дальнодействия всегда оказывается достаточно узкой. даже при умеренной силе отталкивания -у.

В разделе "Критические Тс и Ьс: \'т уэ Т, V сделано обобщение для решения на конечные длины и температуры. Показано, что полученное ре-

шение, соответствующее конечному (02(О}> то есть, когда существует эффект генерации /«г-^е-2^^, возможно при достаточно низких температурах ниже Тс и больших длинах Ь > Ьс

Если одно из этих условий не выполняется, то происходит динамический фазовый переход - конечное решение для (ф ) исчезает, остается только тривиальное решение (ф2) = сю. Иными словами, амплитуда колебаний и остальные характерные параметры эффекта резко падают до нуля и проводимость переходит в обычный баллистический режим. На рис.2 представлен результат численного расчета для величины порогового напряжения в зависимости от Г, Ь, а на рис.3 - фазовая диаграмма эффекта генерации.

Рис. 2. Зависимость порогового напряжения Уг от Т, Ь в единицах Уг(Т=0, £->оа)

В последнем разделе "3-й кумулянт" в качестве обоснования применимости гармонического приближения приводится результат вычисления К{1) =

Рис. 3. Фазовая диаграмма эффекта

{ф1(Ь)фо(0)}, где фу - это негауссова поправка к решению фс, вычисленном в гармоническом приближении из операторного уравнения (2). Кумулянт при совпадающих временах

/ф=0)

(1 - 2К„)>У*

УА

1п

оказывается существенно меньше гауссовой части (ф2)у»ут—->(1-2к ) и исчезает при Кр 0 и Кр —? 1/2.

В заключении сформулированы главные результаты, представленные в диссертации.

Список публикаций

[А1] Артеменко С. Н., Асеев П. ГГ., Шапиро Д. С. Электронный транспорт в коррелированном квантовом проводе с объемными контактами // Пись-

ма в ЖЭТФ. 2010. Т. 91. С. 659-663.

[А2] Shapiro D.S., Artemenko S. N. and Remizov S. V. Dynamic regime of conduction in a ID system with a single impurity // JETP. 2010. Vol. 111. Pp. 263-268.

[A3] Artemenko S. N., Remizov S. V. and Shapiro D.S. Impurity induced coherent current oscillations in one-dimensional conductors // JETP Letters. 2008. Vol. 87. Pp. 792-796.

[A4] Артеменко C.H., Шапиро Д.С. Термоэлектрический эффект в квазиодномерном проводнике, находящемся в состоянии Латтинджера, стабилизированном примесями при низких температурах // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52. С. 743.

[А5] Артеменко С. Н., Ремизов С. В., Шапиро Д. С. Генерация джозефсонов-ского типа в одномерном проводнике // Нелинейный мир. 2009. Т. 6 С. 499.

[А6] Шапиро Д. С., Артеменко С. Н. Низкотемпературная термо-ЭДС квазиодномерного проводника в состоянии Латтинджера, стабилизированном примесями // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. С. 377.

[A7j Artemenko S. N., Remizov S. V., Shapiro D. S, Vakhitov R. R. Effect of impurity pinning on conduction and specific heat in the Luttinger liquid // Physica B: Condensed Matter. 2009. Vol. 404. Pp. 447 451.

[A8] Artemenko S. N., Shapiro D. S., Vakhitov R. R., Remizov S. V. Impurity induced current oscillations in one-dimensional conductors / / Journal of Physics: Conference Series. 2009. Vol. 193. P. 01211.

Цитированная литература

[1] Giamarchi Т. Quantum Physics in One Dimension. Oxford: Calendon Press, 2003.

[2] Schuiz H. G.; Cuniberti G., Pieri P. Fermi liquids and Luttinger liquids, Lecture notes of the Chia Laguna (Italy), cond-mat/9807366, 1997.

[3] Gogolin A. 0., Nersesyan A. A. and Tsvelik A. M. Bosonisation and strongly correlated systems, Cambridge University Press, 1998.

[4] Kane C. L., Fisher M. P. A. Transport in a one-channel Luttinger liquid // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68. Pp. 1220 -1223.

[5] Matveev K. A., Glazman L. I. Coulomb blockade of tunneling into a quasi-one-dimensional wire // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 70. Pp. 990 -993.

[6] Furusaki A., Nagaosa N. Single-barrier problem and Anderson localization in a one-dimensional interacting electron system // Ph}'s. Rev. B, 1993. Vol. 47. Pp. 4631 4643.

[7] Fendley P., Ludwig A. W. W., Saleur H. Exact, nonequilibrium transport through point contacts in quantum wires and fractional quantum Hall devices // Phys. Rev. B. 1995. Vol. 52. Pp. 8934-8950

[8| Egger R., Grabert H. Applying voltage sources to a Luttinger liquid with arbitrary transmission // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 58. Pp. 10761-10768

¡9] Schuiz H. J., Wigncr crystal in one dimension // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. Pp. 1864.

[10] Artemenko S. N., Shapiro D. S., Vakhitov R. R., Remizov S. V. Sliding regime

of conduction in "one-dimensional Wigner crystal" // готовится к печати в журнале Physica В: Condensed Matter

[11] Egger R., Grabert H. Applying voltage sources to a Luttinger liquid with arbitrary transmission // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 58. Pp. 10761-10768.

[12] Сабликов В. А., Щамхалова Б. С. Динамическая проводимость взаимодействующих электронов в открытых мезоскопических структурах // 1997. Письма в ЖЭТФ. Т. 66. С. 40

[13] Артеменко С. Н., Корпич В. Г., Шапиро Д. С. Линейный отклик квантовой проволоки с объемными контактами // готовится к печати в журнале Радиотехника и электроника

[14] Артеменко С. Н., Вахитов Р. Р., Ремизов С. В. Спиновая поляризация при протекании тока через примесь в коррелированном одномерном про воднике // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 94. С. 343-347.

Подписано в печать:

17.11.2011

Заказ № 6285 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www. autoreferat.ru

Введение

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Электронный транспорт в Ш. Общие сведения.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Основные результаты.

Глава 2. БОЗОНИЗАЦИЯ В 1Б СИСТЕМАХ.

2.1. Введение в методы.

2.2. Бесспиновый гамильтониан. Спектр коллективных состояний

Глава 3. ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ В ЧИСТОЙ СИСТЕМЕ.

3.1. Постановка граничной операторной задачи.

3.2. Решение граничной задачи для среднего (Ф).

3.3. Динамический кондактанс.

3.4. Линейный отклик для тока на контактах.

3.5. Флуктуации в чистой системе.

Глава 4. ПРИМЕСЬ В 1Б: ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Примесный гамильтониан.

4.2. Основные уравнения на ток и флуктуации.

4.3. Перенормировки, связанные с учетом внешней цепи.

Глава 5. ПРИМЕСЬ В 1Б: НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО ТИПА

Глава 6. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ЭФФЕКТ В СПИНОВОЙ СИ

СТЕМЕ С КУЛОНОВСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

6.1. Постановка операторной задачи.

6.2. Точное решение для флуктуадий спина.'.

6.3. Строгое решение для слабых флуктуадий в зарядовом канале

6.4. Амплитуда осцилляций, нелииейпость 1—У характеристики, пороговое напряжение.

Глава 7. ЭФФЕКТ ГЕНЕРАЦИИ В БЕССПИНОВОЙ СИСТЕМЕ С ЛОКАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ. СИЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ.

7.1. Строгое решение для флуктуадий в динамическом режиме в рамках гармонического приближения.

7.2. Пороговое напряжение.

7.3. Спектральная плотность шума генерации

7.4. Критические Тс и Ьс] Ут vs Т, Ь.

7.5. 3-й кумулянт.

Актуальность работы. Физика одномерных электронных систем является сравнительно новым направлением современной физики конденсированного состояния. Одномерные электронные системы могут быть реализованы в очень тонких проводниках, у которых размеры в поперечных направлениях имеют порядок фермиевской длины волны электронов данного проводника. В этом случае происходит размерное квантование, размерность электронной системы понижается и электроны становятся эффективно одномерными. В течении последних двух десятилетий стало возможным технологически создавать и исследовать транспортные свойства таких проводников. К ним относятся полупроводниковые квантовые проволоки, которые получаются из двумерных систем с помощью расщепленного затвора, металлические атомарные цепочки на поверхности диэлектрика, углеродные нанотрубки, краевые состояния в квантовом эффекте Холла, длинные проводящие органические молекулы. Самое главное отличие одномерных систем от систем более высоких размерностей заключается в том, что взаимодействующие одномерные электроны не являются "стандартной" ферми-жидкостью с одночастичными возбуждениями, так как взаимодействие электронов в одномерном канале всегда является большим эффектом и не может рассматриваться в рамках теории возмущений. В результате, в отличие от двумерного и трехмерного случаев вместо ферми-жидкости стабильным состоянием является жидкость Латтинджера с коллективными возбуждениями зарядовой и спиновой плотности. Именно коллективный характер собственных возбуждений приводит к новым эффектам - даже единственная примесь, дефект или неидеальный контакт нарушают закон Ома и подавляют линейную проводимость. До сих пор механизм проводимости в одномерных системах не является полностью изученным, так как он сильно отличается от стандартных механизмов электронного транспорта в физике твердого тела. Поэтому актуальность и важность темы представленной диссертации не вызывают сомнений.

Целью диссертационной работы явилось теоретическое исследование электронного транспорта через примесь в одномерной квантовой проволоке и обоснование нового режима проводимости, при котором при приложении постоянного напряжения происходит генерация переменного тока. Исследование этого режима заключалось в решении задачи о проводимости при различных характерах взаимодействия и в обобщениях для конечных длин и температур.

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что при расчетах использовались проверенные современные методы теоретической физики, признанием полученных результатов научной общественностью при обсуждениях на научных семинарах и конференциях, а также положительными рецензиями статей, при публикациях результатов исследования в научных журналах. Научная и практическая значимость работы. В работе предсказан'' новый эффект высокочастотной генерации переменного тока при приложенном постоянном напряжении. Этот эффект важен для понимания фундаментальных транспортных и флуктуационных свойств одномерных квантовых проводников, что необходимо для разработки элементной базы наноэлектро-ники. Личный вклад автора заключается в участии в построении теоретического подхода, участие в постановки задачи, проведении аналитических и численных исследований, в участии в написании научных статей и их подготовке к публикации.

Достоверность, полученных результатов подтверждается тем, что при расчетах использовались проверенные современные методы теоретической физики, признанием полученных результатов научной общественностью при обсуждениях на научных семинарах и конференциях, а также положительными рецензиями статей, при публикациях результатов исследования в научных журналах. Научная и практическая значимость работы. В работе предсказан новый эффект высокочастотной генерации переменного тока при приложенном постоянном напряжении. Этот эффект важен для понимания фундаментальных транспортных и флуктуационных свойств одномерных квантовых проводников, что необходимо для разработки элементной базы напоэлектро-ники. Личный вклад автора заключается в участии в построении теоретического подхода, участие в постановки задачи, проведении аналитических и численных исследований, в участии в написании научных статей и их подготовке к публикации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предсказан динамический режим электронного транспорта в одномерной системе взаимодействующих электронов с единственной примесью, который по своим проявлениям похож на эффект Джозефсона.

2. Вычислены вольт-амперные характеристики квантовой проволоки с примесью в случае короткодействующего межэлектронного взаимодействия. Получено, при напряжении больше порогового значения Vt происходит резкий рост постоянного тока I, сопровождающийся генерацией переменного тока с частотой f = 1/е. Пороговое напряжение Vt равно потенциалу примеси, перенормированному флуктуациями.

3. Установлено, что для существования эффекта необходимо, чтобы температура была ниже величины порядка Vt, а длина больше критической длины порядка vp/Ут■

4. Вычислен спектр флуктуаций тока в режиме генерации. Спектральная плотность флуктуаций имеет вид максимума па частоте генерации со степенным спаданием спектра.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на российских и международных конференциях:

1. 6th International Workshop on Electronic Crystals "ECRYS-2011", Каржез, Франция, 24-30 августа 2011 г.

2. Advanced Research Workshop "Fundamentals of electronic nanosystems" NanoPiter 2010, Санкт-Петербург, 29 июня - 2 июля 2010 г.

3. Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления в твердых телах, Троицк, 17 июня 2010 г.

4. XXXV Совещание по физике низких температур, Черноголовка, 29 сентября - 2 октября 2009 г.

5. 16th International Conference on Electron Dynamics In Semiconductors, Optoelectronics and Nanostructures "EDISON 16", Монпелье, Франция, 24 - 28 августа 2009 г.

6. XII International Conference For Young Researchers: Wave Electronics and Its Applications in Information and Telecommunication Systems, Санкт-Петербург 26 - 30 мая 2009 г.

7. Конференция "Актуальные проблемы физики высоких давлений и твердого тела", Туапсе 20 - 31 сентября 2008 г.

8. 5th International Workshop on Electronic Crystals "ECRYS-2008", Каржез, Франция, 24-30 августа 2008 г.

9. 16-th International Symposium "Nanostructures: Physics and Technology", Владивосток, 2008 г.

10. Internationsl Workshop "Recent Developments in Low Dimensional CDW Conductors", Скрадин, Хорватия, 2006 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных статей, из них 8 статей опубликованы в журналах, включенных в Перечень ВАК, в том числе 6 статей российских [1-6] и 2 статьи [7, 8] в зарубежных журналах, и 5 статей в сборниках трудов отечественных и зарубежных конференций.

Личный вклад автора заключается в участии в формулировке постановки задачи и построении теоретического подхода, проведении аналитических и численных исследований, в написании научных статей и их подготовке к публикации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка публикаций по теме диссертации и списка цитированной литературы. Работа содержит 66 страниц, 3 рисунка и список литературы.

Заключение

В качестве заключения приводятся основные результаты, полученные в диссертации

1. Предсказан нестационарный эффект проводимости в Ш системе с единственной примесью и с сильным межэлектронным взаимодействием. По своим проявлениям, этот эффект напоминает нестационарные эффекты Джозефсона, движения волны зарядовой плотности в квази-Ш проводниках и кулоновской блокады. Эффект обуславливается взаимодействием постоянного тока с фриделевской осциляцией электронной плотности, а также с 4кр-"вигнеровским кристаллом"около примеси в случае дальнодействующего кулоновского взаимодействия в системе.

2. Утверждается, что режим квантового туннелирования через минимумы потенциала, созданного фриделевской осцилляцией, который характеризуется хорошо известными степенными I—V характеристиками со слабым током, может существовать при достаточно малом приложенном напряжении, когда фриделевская осцилляция запинингована на примеси. При достаточно высоких напряжениях V > Ут должны быть депиннинг фриделевской осцилляции вместе с 4кр~"вигнеровским кристаллом'^ их движение как целого, что приводит к сильному возрастанию БС тока и к генерации переменного тока при приложенном постоянном напряжении.

3. Эффект существует при достаточно сильном короткодействующем взаимодействии, когда 1Б система находится на экранирующем затворе, и при умеренном дальнодействующем кулоновском отталкивании, когда экранирующего затвора нет. При таких параметрах межэлектронного взаимодействия флуктуации оказываются сильно подавлены и становится возможным существование нестационарного решения для тока как функции времени.

4. В рамках модели жидкости Латтинджера построено строгое решение операторного гайзенберговского уравнения для оператора смещения электронной плотности, которое соответствует эффекту генерации. Решение построено в квазиклассическом пределе аномально сильного коротко-действия Кр<^1 при У>Уг и для системы со спиновой степенью свободы и дальнодействием. Для короткодействия в области высоких У~^>Ут нестационарное решение с учетом квантовых флуктуаций построено при <1/2.Такие параметры эффекта, как амплитуда осцилляций, критические температура и обратная длина убывают с ростом напряже--1 Кр ния 1ас^Тс^Ьс ос1 ¡У^--кр . Это убывание происходит из-за роста квантовых флуктуаций при больших У - потенциал примеси эффективно становится меньше.

5. При температурах выше Тс и длинах, меньших, чем Ьс, происходит динамический фазовый переход, когда амлитуда осцилляций падает скачком до нуля и проводимость переходит в обычный баллистический режим. При этом флуктуации становятся бесконечными и амплитуда примеси эффективно исчезает.

6. Вычислен спектр генерационного шума, который представляет собой максимум на частоте генерации, который имеет степенное спадание хвостов. В случае кулоновского взаимодействия шумовая линия оказывается достаточно узкой. Вычислены 1—У характеристики в области высоких: У, которые могут иметь различный вид в зависимости от реализации 1Б системы. Возможны осцилляции БС кондактанса из-за резонансных отражений плотности заряда от контактов в результате генерации, а также ¿'-образность I—V характеристики в случае большой длины системы и сильного затухания плазмонов. Также ожидается появление ступеней по напряжению, если есть внешняя модуляция потенциала затвора, приложенного напряжения V(t) или локального потенциала Wi(t), роль которого может играть не только примесь, но и искусственный точечный контакт.

7. Вычислена частотная зависимость кондактанса в чистой жидкости Лат-тинджера с идеальными контактами, которая имеет осциллирующий вид по частоте из-за процессов отражения плазмонных возбуждений от контактов, а также линейный отклик на переменное одинаковое напряжение на контактах, возникающий из-за процессов распределения электронной плотности в 1D системе.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю С.Н. Артеменко - за научное руководство и постоянное внимание к работе, а также коллегам К.Э. Нагаеву, C.B. Ремизову, P.P. Вахитову, П.П. Асееву, В.Г. Корнич - за совместную работу и подробное обсуждение многих, вопросов. Автор также благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований и Фонду некоммерческих программ "Династия"за финансовую поддержку, оказанную при проведении исследований, на основе которых написана данная диссертация.

1. S.N. Artemenko, P.P. Aseev and D.S. Shapiro, Pis'ma v ZhETF, 91, 659 (2010).

2. S. Shapiro, S. N. Artemenko and S. V. Remizov, JETP, Volume 111, Number 2, Pages 263-268 (2010)

3. S.N. Artemenko, S.V. Remizov and D.S. Shapiro, Pis'ma v ZhETF, 87, 792 (2008) JETP Lett. 87, 692 (2008)].

4. C.H. Артеменко, Д.С. Шапиро, Радиотехника и электроника, 2007 г ,т.52, №6, стр.743 (2007).

5. С.Н. Артеменко, С.В. Ремизов, Д.С. Шапиро, Нелинейный мир, № 6, стр. 499 (2009)

6. Д.С. Шапиро, С.Н. Артеменко, Нелинейный мир, № 5, стр. 377' (2007)

7. S.N. Artemenko, S.V. Remizov and D.S. Shapiro, Physica B: Condensed Matter, Volume 404, Issues 3-4, Pages 447-451 (2009)

8. S.N. Artemenko, D.S. Shapiro, R.R. Vakhitov, S.V. Remizov, Journal of Physics: Conference Series, 193, 012119 (2009).

9. O.M. Auslaender et al, Science, 308, 88 (2005).

10. H. W. Yeom , Y. K. Kim, E. Y. Lee, K.-D. Ryang, and P. G. Kang, Phys. Rev. Lett. 95, 205504 (2005).

11. M. Bockrath et al., Nature (London) 397, 598 (1999).

12. H. Ishii, H. Kataura, H. Shiozawa, H. Yoshioka et al, Nature 426, 540 (2003). Phys. Rev. Lett., 95, 205504 (2005).

13. X. G. Wen, Phys. Rev. Lett. 64, 2206 (1990); Phys. Rev. B 44, 5708 (1991).

14. A.N. Aleshin et al, Phys. Rev. Lett., 93, 196601 (2004).

15. T. Giamarchi, Quantum Physics in One Dimension, Clarendon Press, Oxford (2003).

16. C.L. Kane and M.P.A. Fisher, Phys. Rev. Lett., 68, 1220 (1992).

17. K.A. Matveev and L.I. Glazman, Phys. Rev. Lett., 70, 990 (1993).

18. A. Furusaki and N. Nagaosa, Phys. Rev. B, 47, 4631 (1993).

19. P. Fendley, A. W. W. Ludwig, H. Saleur Phys. Rev. B 52, 8934-8950 (1995)

20. R. Egger, H. Grabert, Phys. Rev. B, 58, 10761-10768 (1998)

21. S. N. Artemenko, D.S. Shapiro, R.R. Vakhitov, S.V. Remizov «Sliding regime of conduction in "one-dimensional Wigner crystal"», to be published in Physica B: Condensed Matter

22. D.I. Maslov and M. Stone, Phys. Rev. B 52, R5539 (1995).

23. V.V. Ponomarenko, Phys. Rev. B 52, R8666 (1995).

24. I. Safi and H.J. Schulz, Phys. Rev. B 52, R17040 (1995).

25. V. A. Sablikov and B. S. Shchamkhalova, Pis'ma v ZhETF, 66, 40 (1997) JETP Lett. 66, 41 (1997)].

26. S. N. Artemenko, V.G. Kornich, D.S. Shapiro «Linear response of a quantum wire with bulk leads», to be published in Journal of Communications Technology and Electronics

27. R. Egger, H. Grabert, Phys. Rev. Lett. 77, 538 (1996); ibid 80, 2255 (1998); Phys. Rev. B 58, 10761 (1998).

28. A.O. Gogolin, A.A. Nersesyan and A.M. Tsvelik, Bosonisation and strongly correlated systems, Cambridge University Press (1998).

29. H. J. Schulz, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 1864.

30. S. N. Artemenko, R. R. Vakhitov Письма в ЖЭТФ, том 94 выпуск 4, стр. 343 (2011).

31. К.A. Matveev, Phys. Rev. В 51, 1743-1751 (1995)

32. Н. G. Schulz, G. Cuniberti, P. Pieri, Fermi liquids and Luttinger liquids, Lecture notes of the Chia Laguna (Italy), cond-mat/9807366 (1997)

33. R. Shankar, Bosonization in Condenced Matter

34. A.M. Цвелик, Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния, Физматлит, Москва (2002).

35. S. Coleman, Phys. Rev. D, 11, 2088 (1975).

36. S. Mandelstam, Phys. Rev. D, 11, 3026 (1975).

37. R. Egger, H. Grabert, Phys. Rev. Lett., 77, 538 (1996).

38. M.A. Cazalilla, F. Sols and F. Guinea, Phys. Rev. Lett., 97, 076401 (2006).