Прямые и обратные задачи для системы дифференциальных уравнений электромагнитоупругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Новосибирский государственный университет

Меражов Илхом Завкидинович

Прямые и обратные задачи для системы дифференциальных уравнений электромагнитоупругости

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Р Г В од О г ИЮН 1997

На правах рукописи

Новосибирск 1997

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Яхно В. Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бухгейм А. Л.

кандидат физико-математических наук, доцент Авдеев А. В.

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М. А. Лаврентьева СО РАН

1Г) /С*"

Защита диссертации состоится __1997 г. в ' ~ часов

на заседании диссертационного совета К 063.98.04 в Новосибирском государственном университет по адресу: 630090, Новосибирск, 90, ул. Пи-рогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан "^1" 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук, ^

профессор '¡^/(/Ог^ Шелухин

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современное развитие радиотехники, автоматики. вычислительной и измерительной техники тесно связано с применением пьезоэлектриков. При деформировании пьезоэлектрических тел в них появляются электрические заряды, пропорциональные деформациям. Термодинамический анализ показывает существование обратного эффекта, которых! проявляется в возникновении механических напряжений в пьезоэлектрике под действием электрического поля. Математические модели процессов, происходящих в пьезоэлектрических телах описываются специальной системой дифференциальных уравнений электромагнитоупругости. Актуальность темы, таким образом, обусловлена как научным, так и прикладным характером проблематики.

Настоящая работа продолжает исследования А. С. Алексеева, Ю. Е. Аниконова, А. С. Благовещенского, А. Л. Бухгейма, С. И. Кабани-хина, М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, В. Б Сурнева, В. Г. Яхно и др.

Цель работы состоит в исследовании прямых и обратных задач для системы дифференциальных уравнений электромагнитоупругости неоднородных сред.

Научная новизна включает исследования новых постановок:

- прямых и одномерных обратных задач для "медленных" волн;

- прямой и одномерной обратной задачи электромагнитоупругости;

- многомерных прямых и обратных задач в линейном приближении.

Для этих задач полученны теоремы существования, единственности

и устойчивости решения.

Общая методика исследования. При исследовании прямых и обратных задач в диссертации были использованы методы исследования ¿—гиперболических систем первого порядка, гиперболических уравнений второго порядка из работ К.Фридрихса, С.К.Годунова, А.М.Бло-хина, В. Г. Романова. В диссертации также были обобщены методы исследования одномерных обратных задач, разработанные ранее В. Г. Романовым, В. Г. Яхно применительно к обратным задачам для систем упругости и электродинамики. При этом исследование прямых задач проводилось в таком объеме и виде, какой необходим для исследования обратных задач.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск, 1992), Международном симпозиуме по компьютерной томографии (Новосибирск, 1993), Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995), Международном семинаре по обратным задачам геофизики (Новосибирск, 1996), на научных семинарах отдела математических методов геофизики ВЦ СО РАН "Математические задачи геофизики" (рук. акад. РАН Алексеев A.C.), на семинарах лаборатории волновых процессов ИМ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН Романов В. Г.), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики" (рук. проф. Блохин A.M. ), на семинарах кафедры математических методов геофизики НГУ "Обратные задачи математической физики" (рук. проф. Бухгейм А. Л.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. Содержит 132 страницы текста. Список литературы содержит 37 наименований.

Содержание работы. Во введении дается краткий обзор литературы, обсуждается актуальность рассмотренной темы, излагается цель работы и дается аннотация основных ее положений.

Полная система дифференциальных уравнений электромагнитоупру-гости состоит из следующих уравнений:

д2и 3 дТ -

Ir 13D л 10В rot *=-_, го tE = --, (2)

divD = 0, divß = 0. (3)

Здесь х = {ху,х2,х$) G R3, p = p(x) — плотность неоднородной среды, p(x) > 0 , и — («1,м2,1гз) — вектор смещений с компонентами щ — Ui(x,t), i — 1,2,3, Е = (Ei,E2,E3) и II — (Hi,H2,H3) — векторы элек-

трической п магнитной напряженности с компонентами Е} = Е](х, £). Н] = Я;(:с,<), ^ = 1,2,3, Б = 02,— вектор электрической индукции с компонентами £>_, = ^ = 1,2,3, с — скорость света.

Для компонент тензора напряжений (), компонент векторов электрической и магнитной индукции 03(х, ¿), В]{х, () имеют место представления

Тц= X) - Ц еЦ}Ек, ¿ = 1,2,3, 7 = 1,2,3,

¿,;=1 их1 к=\

з з ди^

В] = I] е]кЕк + £ В] = 7 = 1,2,3,

Лг=1 ¡М=1 ах1

где сцы = с^ы{х) - модули упругости, = еН]{х) ~ пьезоэлектрические модули, с,-у = £ц (х) - диэлектрические модули, ц = //(х) - магнитная проницаемость.

Система (1)-(3) описывает распространение связанных электромаг-нитоупругих волн. Связь упругих и электромагнитных процессов определяется пьезоэлектрическими модулями среды.

В общем случае уравнения (1)-(3) связывают три ветви "медленных" упругих волн с двумя ветвями "быстрых" электромагнитных волн. Однако если мы интересуемся только распространением медленных волн и пренебрегаем при этом малыми поправками я/с, в/с2 (в - скорость распространения упругих волн), то можно положить формально в уравнениях (1)-(3) скорость света с = оо. При этом система уравнений (1)-(3) распадаются на две группы. Система уравнений (1) вместе с квазистатическими уравнениями

<1пг£ = 0, го№ = 0, £ = (4)

образуют первую группу, а вторую группу уравнений составляют уравнения

rot.fr = 0, <1™Я = О,

определяющие магнитное поле при с — оо.

Симметричность тензора напряжении сводит число независимых модулей упругости с 81 до 21. Далее полагаем с,да = суш = с,-^ = сну, екц = «к},, = Если принять, что са/? = Сфи где а = (у),

р = (Ы) в соответствии с обозначениями (11) —> 1, (22) —» 2, (33) —> 3, (23) = (32) 4, (13) = (31) 5. (12) = (21) 6, то матрице независимых модулей упругости молено придать вид симметрической матрицы порядка 6x6, поскольку в паре индексов (г,]) порядок не играет роли и существует только шесть различных парных комбинаций.

Эта работа связана с исследованием прямых и обратных задач для выписанных выше систем дифференциальных уравнений электромаг-нитоупругости (1), (2) и электроупругости (1), (4).

Полный набор характеристик электромагнитоупругой среды дается в литературе в виде матрицы

' са0(6 х 6) еа*(6 X 3) ^ ^ ека{Ъ х 6) е0-(3 х 3) ] ' В данной работе будем рассматривать анизотропные среды кубической структуры, т. е. матрица характеристик среды имеет следущий вид:

\

СП си С12

си Сп си 0 0

С12 С12 си

О

с44

О

еи

О

с44

ем

с44 О

еи

Си О

ей

О е14 £ О

е

О е

Прямые задачи состоят в решении задачи Коши и начально-краевой задачи при заданных коэффициентах в граничных и начальных условиях, а обратные задачи - в определении неизвестных коэффициентов, входящих в рассматриваемые системы дифференциальных уравнений как функции точки пространства, если дополнительно задается некоторая информация о решении.

В первой главе диссертации рассмотрена система дифференциальных уравнении электроупругости (1), (4) в области х = (жь ж2, х3) 6 И3, £ 6 И, гз > 0, со следующими начальными и граничными условиями:

и«|ко=0, г = 1,2,3, (5)

О

О

/

Е{ |«о= 0, ¿ = 1,2,3, (6)

^Ъ |гз=+о= г = 1,2,3, (7)

р 1*э=+о= д{х 1,^2,*)> д^ |х3=+о= о. (8)

Далее предполагаем, что модули упругости сц, 012,044, плотность р, пьзоэлектрический модуль сц и диэлектрический модуль е зависят только от переменной £3, причем р, £ — положительные функции из класса С2(Л), /?'(-|-0) = 0, а вектор-функция (сц, 012,044, ей) принадлежит классу л,

Л = {(сп(1з),С12(хз),044(13),ен(13)) : о44 > о, Сц > си, Сц + 2С12 > 0, с'и(+0) = О, С44(+0) = О, Он, 044 £ с2(11+), 012 6 С(Н+), 614 6 С^Кч.)}, Б.+ = [0, сю).

Рассмотрены следующие прямые задачи для системы дифференциальных уравнений электроупругости (1), (4)-(8).

Прямая задача I. Пусть = -^(¿)е!1/11, ^ = 1,2,3, где и — параметр, V > 0, д = 0. Требуется определить вектор-функцию (и,<р), удовлетворяющую равенствам (1), (4)-(8).

Далее решение прямой задачи I будем обозначать (и1,^1)

Прямая задача II. Пусть = 0, .7 = 1,2,3,е/ = в^)е"/11, где V — параметр, и > 0. Требуется определить вектор-функцию (и, ср), удовлетворяющую равенствам (1), (4)-(8).

Решение прямой задачи II будем обозначать (иц,1рц).

Имеет место следующая теорема о существовании единственного решения прямых задач I и II.

Теорема 1.1. Пусть Т - фиксированное положительное число. Тогда в сделанных предположениях решения прямых задач I и II существуют и единственны в классе вектор-функций /С(Т),

К{Т) ={(и,<р) : {и1,и2,из,<р),и, = е'^г/Дх3,*,!/), 9 = е™*ф{хз, у), иь 6 € ^((0, со); С(Д(Г))),3 = 1,2,3},

Д(Т) = ■.xz>0,0<t<T- г4(хз)},г4(хз) = . —

Более того, у решений (и1,^1), (ип,'*рп) корректно определены следы и'(0,0,*,0), «"(0,0,^0), ^«"(0,0,^0) в сЧи).

Основной предмет исследований первой главы составляет следующая обратная задача.

Обратная задача 1.1. Пусть р,е — заданные положительные постоянные. Требуется определить вектор-функцию (011,012,044,614) £ Л, компоненты которой входят в дифференциальные уравнения (1), (4), если компоненты решений прямых задач I, II удовлетворяют следующим равенствам:

иЪ{х1,х3,1,1>) |Х1=01гз=011/=+0= Л2(*),

— к{(хь х3, г, V) |х1=0,х3=0,1'=+0= (9)

о

— «"(хь^з,^!/) |х1=0,хз=0,1'=+0=

где 3 — 1,2,3,4, - известные функции при t £ [0,Г].

Теорема 1.2. Пусть Г, X — фиксированные положительные числа. Тогда для существования вектор-функции (011,012,044,614) £ Л, являющейся при Х3 £ [0,Х] единственным решением обратной задачи 1.1, необходимо, чтобы данные обратной задачи ] = 1,2,3,4, удо-

влетворяли следующим условиям:

МО ес3[0,г], л,(+о)>о, ¿ = 1,2,

М*) ес2[о,т], ЛД+0) = 0, ¿ = 3,4, (10)

Теорема 1.3. Пусть Т — фиксированное положительное число, функции ] = 1,2,3,4, удовлетворяют условиям (10). Тогда най-

дется X* > 0 такое, что существует вектор-функция (011,012,044,614) £ Л, которая при хз £ [0, Х*\ является единственным решением обратной задачи 1.1 отвечающим информации I £ [0,Т], 3 = 1,2,3,4.

Теорема 1.4. Пусть Т,тп,М — фиксированные положительные числа,

гп < М, 1\ = — Т, X =

гп

МТ _ ГтТ

гп 2' °~УМ2"'

Пусть наборы функций (сц, сц, С44, е^) и с^, е*и) являются ре-

шениями обратной задачи 1.1, отвечающими соответственно инфор-мациям Нк({),1\ к = 1,2,3,4, t 6 [О,Г], и такие, что

(сц. с12,с44,е14), {с*п, с*п, с*и, е*н) € А0(т,М,Х).

Тогда имеет место оценка

||сц - с^КХо) + ||с12 - сУ(Хо) + ||С44 - сУ(*о) + Цен - еи\\(Хо) <

< С

Е \\hk - hlUT) + ||Аз - h'MTi) + ||Л4 - KMT) *=1

где С — некоторая константа, зависящая от величин m, М, Т. Класс вектор-функций Ло(т,М,Х) С А определяется следующим образом:

А0(т,М,Х) = {(clbc12,c44,ei4) 5 Л, ||сц||2(Х) < М, сп >'т,

IMhPO < М, с44 > т, ||с12||(Х) < М, ЦенЦ^Х) < М),

IHIW = IMIc[o.*], II " UX) = || • ||с.м.

Во второй главе в области х = (arj, х2,х3) б КД £ £ R, £3 > О, рассмотрена полная система дифференциальных уравнений (1), (2). Введем обозначения

dui з gUl

L'i = -q^, та - Tij = ¿J a —1,2,3, i,j - 1,2,3.

Система дифференциальных уравнений (1), (2) сводится к симметрической ¿-гиперболической по Фридрихсу системе дифференциальных уравнений первого порядка:

где U = [ui,U2,U3,T1,r2,T3,ri,T5,T6,Ei,E2,E3,Hi,IIi,HzY, матрицы Aj, j = 0,1,2,3, симметрические, Ло — положительно определенная.

Далее будем считать, что F = F(x3,t), <р — <р(х3), д = g(t) - заданные вектор-функции, удовлетворяющие условиям

F(x3,t) е сг([0,п L2(R+)) nC([0,T];V72!(R+)),

а вектор-функция (р, сц, С12, С44, е, р, сц) принадлежит классу Л), Ai = {(/»(хз),си(яз),^2(2:3)^44(2:3),^(^з),^(^з),ei4(x3)) : р > 0, е > 0, /х > 0, с44 > 0, сц > си, сц 4- 2ci2 > О, (р, сц, С12, С44, е, р, сц) е C1(R+)}.

Прямая задача 2.1. Пусть F(x3,t), U0{x3),g(t), {р,сп,сп,с44,£,р,ец) - заданные вектор-функции, удовлетворяющие описанным выше условиям. Требуется определить функцию U = U(x,t) в области t > О, х — (хх,х2,хз), (xi,x2) 6 R-2, £3 > 0, удовлетворяющую системе дифференциальных уравнений (11), а также следующим начальным и краевым условиям:

i7(®,0) = (12)

G0U{xux2,0,t)=g{t). (13)

Здесь Gq — заданная матрица 5 х 15, которая обеспечивает диссипа-тивность краевых условий.

Теорема 2.1. В сделанных предположениях решение прямой задачи 2.1 существует и единственно в классе функций

^([O.rjjLaiR2 х R+))nC([0,T];W21(R2 х R+j) и имеет место следующая оценка устойчивости

\\ит<ст{о)+с2^хтт,

где

/ у/2

||l7||(i)= / {U^dxidxidxi ,

\R2 х R+ j

C\, C2 — постоянные, независящие от решения задачи.

Далее рассмотрим набор вектор-функций F1, <рi = 1,7. Решение U задачи (11)—(13) при F = F1, ip = <р1 будем обозначать через U1.

Обратная задача 2.1. Пусть F'(x3,t), <р(хз), g(t) — заданные вектор-функции удовлетворяющие выше описанным условиям. Пусть

(р, Сц, С)2, С44, е, ц, ец) — неизвестная вектор-функция из класса Л^ Требуется определить эту вектор-функцию, если относительно решений и1(хзадач (11)—(13), I — 1,7 известно, что

ВоЕ/'и^Л'ф, / = Т77, (14)

где Во — известная матрица.

Теорема 2.2. Пусть X, т, М — фиксированные положительные числа, т < М , Т — МХ. Пусть Г'(хг^) € С1 (11+ х [О, Г]), ^{х3) 6 С'(11+), д{1) е С!([0,Т]), и при г = 0, :г3 е [0,Х]

det

Н П ^ ^

^ ^ ^

13

Ф 0, ^(13) = О, / = 1,4;

сЫ

П Ц

п п

ф 0, <р1 = 0,1 = 6,7.

Пусть наборы функций

(р, Сц, с12, С44, г, д, в!4) и (р*,с*и,с*12,с14,£*,ц*,е*ы)

являются решениями обратной задачи 2.1, отвечающими соответственно информациям /г'(г) и < 6 [0, Г], I — 1,7 и такие что

{р, сц, С12, с44, г, И, ем), (р*, Сц, с*2, С44, с*, /г*, е^4) € Л[(т, М, X).

Тогда имеет место оценка

IIр - /||(Х) + ||Сц - Сц||(х) + ||с12 - сЫ|(Х) +

+ ||с44 - еда) + \\е - е*|| (*) + - р*\\(Х) +

+\Ы-еи\\(х)<с£1\\п1-}1,мп

1=1

где С — некоторая константа, зависящая от величин т. М, X; Л1 (т,М,Х) = {(р,сп,сп,си,£,ц,еи) € Ль ||р||1 < М,р > тп, \\ca\U < М, сц > т,г = 1,4, 11

||е||1 < М,е > т, |И|1 <М,ц>т, ||е14||1 < М).

В третьей главе рассмотрена система дифференциальных уравнений электромагнитоупругости в области х — (х\, х2, х$) 6 И3, 0 < 13 < Н, I 6 И, переписанная во второй главе в виде симметрической I;-гиперболцческой по Фридрихсу системы дифференциальных уравнений первого порядка:

а4+üA'i¡+Q

и = 0, 0 < х3 < Н,

(15)

Щко = 0, (16)

= 9и Сги |13=Н = 92- (17)

Здесь (?!,£?2 — заданные матрицы, которые обеспечивают диссипатив-ность краевых условий, д\, д2 — известные функции.

Предположим, что функции р{х), 5ц(х), 512(2:), 544(2:)) Кх)>

ец{х) представлены в области (£1,22) 6 2:3 £ в виде:

Р{х) = р° + р1{х), 5ц(а:) = в?! + вп(х). в^а:) = + я}2(а:), 344(е) = 844 + «44(х), е(х) = е0+е1(1), ц{х) = ц° + ц\х), (18) еи{х) = е\4(х), е°и - О,

где р°, я^ц, 1 544, е°, рР — известные постоянные, удовлетворяющие условиям:

г"> о,

44

> 0, £° > 0, ц° > О,

'11

+ 2S\2 > О

5п

+ *12 > О,

(19)

а функции р1^), a'Íi(íc), 512(^)1 ^44(3:), ^(я), еи(х) и при-

надлежат классу функций С([0, #]; Z^R2))- Здесь su = -Cn д °12,

si2 = S44 = —, А = (с12 - сц)(сц + 2ci2).

А С44

Рассмотрим задачу об определении функции U(x,t), представимой виде:

U(x,t) =U°(x,t) + U1{x,t), (20)

где U°(x,t) — решение следующей задачи: ,д

dt

3 f) 3=1

J dXj

U»- 0, 0 < хг < Я,

(21)

(22) (23)

-А +Я1 и0, 0 <х3<Н,

и1 и<0 = О, С1и%3=0 = 0, С2их\х^н=0.

(24)

(25)

(26)

Прямая линеаризованная задача 3.1. Пусть А®, j = 0,1,2,3, б1, С2 — известные постоянные матрицы, Л], 1 = 0,1, 2,3, ()1{х) — известные гладкие матрицы, д^ </2 — заданные вектор-функции. Требуется определить неизвестную вектор-функцию II вида (20).

удовлетворяющие условиям (19), д\,д2 £ £'. Тогда существует единственное решение и°{х,г) £ С/,х3(К+ х (0,Н);£'(Т12)) задачи (21)-(23).

Теорема 3.2. Пусть р°, е°, ц° — известные постоянные,

удовлетворяющие условиям (19), р1(х), ¿^(х), а-12(я), ^(я), ^(х). р1[х), е|4(х) — известные функции из класса С([0, II]-, ¿2(В-2))- Пусть 11°-х°,Х2 - .^з, — решение задачи (21)—(23), причем функция и°(х,1) считается заданной в классе £/¿(11+ х (0,#);£'(112)), (а^Хг) £ Н2 — параметр. Тогда задача (24)-(26) имеет единственное решение

Применим преобразование Фурье к равенствам (21)—(26). Введем обозначения:

Теорема 3.1. Пусть р°, «12, ^44, £°, — известные постоянные.

и1(хих2,х^,х°1,х°) е С([0,Г];5'(К4 х (0,Я))).

1.3

= [(к* - ик)х°к + укхк] | ¿х^х2йх°^х°2.

Пусть вектор-функция £/0'(г/, £3, ¿) — решение следующей задачи

+_ г" £ ^Хз' =0> 0 -13 -я' (21а)

иш\ = о

и 1«о '

каждая со своим граничным условием

(22а) (23а)

где 1 = 1,2,3,4;

е1 = (0,1,0,0,0), е3 = (0,0,0,0,1), е;' = (0,0,0,1,0), ¿ = 2,4. Пусть вектор-функция ии(и,х3^,к) — решение следующей задачи

д

д

0 < х3 < Н,

и1

|«о

0,

С1?/1'! =0, С?2!/1'! „=0,

113=0 ' I х3=Н '

(25а) (2ба)

где I = 1,2,3,4; }[^,х3 ,и,к) = -

д_

-г £ ккА1(и1 + «и и2 + х3) + + кь уг + к2,, х3)

Л=1

и°'(-к,х

Обратная линеаризованная задача 3.1. Пусть А1-, j = 0,1,2,3, С?1, С2 — известные постоянные матрицы. Требуется определить неизвестные функции в^х), /¿'(я), £1{х), е}4(х), входящие в дифференциальное уравнение (24) в качестве элементов матриц Л}(х), ] — 0,1,2,3, С}1^), если для решения задачи (24)-(26) выполнены следующие равенства

101^1—К2—0,гз=Я

= ¿ = 2,3,

где = 1,4 — известные функции, матрица Г такая, что

Т*А°Т = 7 — единичная матрица, Т*А\Т = 7>о — диагональная матрица.

А, = <Над(\\, а°, о, о, -а§, а§, -а?, 0, а§, -а§, 0, а°, -а§, 0),

1

А-

1

А° -л2 —

с0 I с0

а» =

— А;-я компонента вектора

Пусть

а(®1,®2) = ен13=я-

Теорема 3.3. Пусть 77 — фиксированное положительное число, р°, 511' ^12? е°, - известные постоянные, удовлетворяющие условиям (19), а числа А?, ¿ = 1,2,3, такие, что А^ > А^ > А?; а(х1,х2) € Ь2(112) — заданная функция. Тогда для существования функций 544(ж), ц1(х), е1{х) е}4(а;) £ С([0,7/]; ^(И2)), являющихся единственным решением обратной линеаризованной задачи 3.1, отвечающим информации

III

а г

277

Л,-(/сь кеВЛ0<*<¿ = 2,3

к £ И-2,

необходимо и достаточно, чтобы

2Я

Ж

< г <

2Я

- а?'

1 а2

-—А^кы^бС

5

„ 277

"•Ж.

+0) = 0, /г^кь +0) = 0, 1 З2 /Г 27Г1 ^

^Ыкы^г) есЦо, -^-|;£2(112)],

«1 {Н

Ь2{кии2,+0) = 0, /г2(кь^2,+0) = 0,

/ц(кь и2, г) е С

2 Я

;Ь2(112)], ;Ь2(И2)

а?

2Я 2Я' • АГ

Теорема 3.4. Пусть Н — фиксированное положительное число, •511> /и° — известные постоянные, удовлетворяющие условиям

(19), а числа А°, ; = 1,2,3, такие, что А® > А2 > А®.

, (^./Ле1*^) €С([0,Я];Ь2(112))

— решения обратных задач, отвечающие соответственно информациям

2 Н

к 6 И2,0 < г <

2Я

А°з'

2Я

А?'

7 = 2,3, 2 Я

АГ

Тогда

<

+||е1_еЬ||(Я) + ||е14-е1Л|(Я)<

+ 11*3 - Л5|| + тах ||Л4 - Л;||2(<) ,

3 ' А®'- - А^ '

+

где

1М1(Я) = тэх/ / ^(жьгг^з.О!2^!^

о<х3<я £

1/2

1|г(0 = / /

и2

1/2

С — постоянная, зависящая от Я, ] = 0,1,2,3.

Основные результаты диссертационной работы.

• Выделен класс корректно поставленных прямых многомерных задач электроупругости и решена одномерная обратная задача электроупругости об определении модулей упругости и пьезоэлектрического модуля.

• Система уравнений электромагнитоупругости сведена к симметрической ¿-гиперболической системе по Фридрихсу первого порядка. Используя теорию симметрических ¿-гиперболических систем проведено исследование устойчивости решения одномерной обратной задачи для системы дифференциальных уравнений электромагнитоупругости общей анизотропии.

• Доказаны теоремы существования и единственности решения прямой и обратной многомерных линеаризованных задач для системы дифференциальных уравнений электромагнитоупругости. Получены оценки устойчивости решения многомерной линеаризованной обратной задачи.

Список работ по теме диссертации

1. Merazhov I.Z., Yakhno V.G. One-Dimensional Inverse Problem for Electric-Elasticity Equation// TVP/VSP, Utrecht, The Netherlands, 1994. P. 70-74.

2. Merazhov I.Z., Yakhno V.G. Direct and Inverse Problem for Electromagnetic-Elasticity Equation // Computerized Tomography - TVP/VSP, Utrecht, The Netherlands, 1995. P. 332-335.

3. Меражов И.З., Яхно В.Г. Прямые и обратные задачи для системы дифференциальных уравнений электромагнитоупругости // Обратные задачи геофизики: Тр. междунар. семинара. Новосибирск, 1996. С. 134-137.

4. Меражов И.З., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи для системы уравнений электроупругости // Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Тез. докл. Всесоюзн. конф. Новосибирск,1992. С. 66-67.

5. Merazhov I.Z., Yakhno V.G. Direct and Inverse Problem for Equations System of Electromagnetic-Elasticity. Abstracts. Novosibirsk, 1993. P. 91.

6. Меражов И.З., Яхно В.Г. Теорема устойчивости решения одномерной обратной задачи для системы уравнений электромагнитоупругости // Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики: Тез. докл. Новосибирск, 1995. С. 68.

7. Меражов И.З. Яхно В.Г. Прямые и обратные задачи для системы дифференциальных уравнений электромагнитоупругости// Обратные задачи геофизики: Тез. докл. междунар. семинара. Новосибирск, 1996. С. 70.