Математические модели бесстолкновительной плазмодинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА.

На правах рукописи. и • л Марков Борис Анатольевич

'к)

УЖ 517.958

Математические подели бесстолкпозителыюй плазмсдкпаиики

Специальность 01.01.03 "Математическая физика"

Автореферат диссертации па солсканне учёшй степени кандидата фззнкэ-ыатенатнческнх паук.

МОСКВА-1995 г.

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.Г.Свешников.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.НЛнестровскй доктор физико-математических наук, профессор А.М.Попов.

Ведущая организация: Институт прикладной математики им.

М.В.Келдыша.

Защита состоится 19 уГ года в /Гчас.*~мин. на заседании

Диссертационного совета К 053.05.18 на физическом факультете Московского

государственного университета. (, СЩУД-

О !/

Адрес МГУ: 119899, г.Москва, Ленинские горы.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан "/3" ¿4Ь 19б-> г.

Учёный секретарь Диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, доцент П.А.Поллков.

Актуалыгость тепы.

Для ряда физических устройств, широко применяемых как в фундаментальных исследованиях, так и в промышленности (СВЧ-генератор, плазменный ускоритель с азимутальным дрейфом электронов и ряда других) необходимо изучение физического прибора "как целою" с учётом взаимосвязи всех процессов. При проведении экспериментов такой подход является естественным. Однако он требует затрат больших средств и времени, а интерпретация полученных гкспериментальных результатов нередко затруднительна. Всё это приводит к необходимости построения так называемых "глобальных" математических моделей, которые достаточно полно, самосогласованным образом отражают работу физической модели в целом.

Одним из сбщчх способов описания физических процессов данного класса задач являете.? рассмотрение самосогласованной системы кинетических уравнений, описывающих динамику заряженных частиц, совместно с полной нестационарной системой уравнений Максвелла для эволюции электрического и магнитного полей.

Однако подход к моделированию таких систем, основанный на рассмотрении полной системы кинетических уравнений в области локализации зарядов и токов и уравнений Максвелла в области, расширяющейся со временем по формуле О = сГ, где Б — диаметр области, с — скорость света, Г — время, прошедшее с начала моделирования, сталкивается с очень серьёзными трудностями при численной реализации — из-за ограниченности ресурсов современных ЭВМ. Это препятствие принципиально, так как такой способ описания охватывает все физические процессы, протекающие в приборе. Разномасштабность физических процессов, рост области моделирования со временем, накладывают такие требования на ресурсы ЭВМ, которые не могут быть выполнены в обозримом будущем (например, условием применимости дискретной модели, основанной на системе уравнений Власова-Максвелла, является соразмерность геометрических размеров прибора и характерной длины волны возбуждаемого электромагнитного поля).

Тем не менее, можно значительно упростить описание процессов в приборе и не рассмтривать расширяющуюся область моделирования. Для решения первой из указанных проблем можно использовать предположение о "бегстолк-

новительном* поведении всех или части частиц в приборе. Для решения второй проблемы можно использовать условия тала условий излучения.

Задачей диссертации является построение таких математических моделей плазменного ускорителя с азимутальным дрейфом электронов и СВЧ-генератора, которые не требовали бы решать уравнения Максвелла в неограниченной области, были бы достаточно простыми (не учитывали бы столкновений частиц в приборах), и давали бы достаточно хорошее согласие с экспериментом.

Цель и задачи работы.

Целью диссертации является разработка таких математических медалей бес-столкновительной плазмодинамикн, которые позволили бы сравнительно просто (т.е. так, чтобы полученные уравнения, с одной стороны, можно было бы решать хотя бы численно; с другой стороны, решение этих уравнений давало бы достаточно хорошее совпадение с экспериментальными данными) описывать все или некоторые процессы в ряде приборов, использующих в качестве рабочего тела заряженные частицы (в СВЧ-генераторе, ускорителе с азимутальным дрейфом электронов, ловушке типа "галатея"). Для решения этой проблемы необходимо:

1. Выделить те компоненты заряженного пучка, столкновениями которых в данном случае моделирования можно пренебречь или описывать более простым способом (в вырожденном случае можно рассматривать прибор без частиц — например, при рассмотрении динамики проводников с током в ловушке "галатея").

2. Если рассматриваются электромагнитные поля в неограниченной области, то можно провести фиктивную границу области и поставить на ней условия типа условий излучения.

Научная новизна работы состоит в следующем:

— Разработана математическая модель плазменного СВЧ-генератора с самосогласованной эмиссией электронов из катода. В результате вычислительного эксперимента исследован неизвестный ранее эффект самоподдерживающейся эмиссии электронов из катода, возникающий при определённой разности потенциалов в катод-анодоном промежутке.

— Для рада геометрий (конус, волновод с фланцем и тл.) получены нестационарные локальные (конус) и нелокальные по пространству (волновод с флан-

цем) условия типа излучения для волнового уравнения.

— Сформулированы нелокальные условия излучения для открытого сочленения двух волноводов разных радиусов в двумерном случае.

— Разработана одномерная стационарная модель плазменного ускорителя с азимутальным дрейфом электронов. Исследован эффект выраженной пороговой ионизации в канале ускорителя в зависимости от затравочной ионизации.

— Для ряда систем проводников, помещённых в сверхпроводящие коробки, проведено исследование равновесия и устойчивости.

Практическая ценность работы.

Результаты работы могут быть использованы:

При инженерной разработке ловушек класса "галатеи" — для изучения положений равновесия и устойчивых конфигураций проводников с током, расположенных в ловушке.

При разработке плазменного ускорителя с азимутальным дрейфом электронов — для конфигурирования магнитного потока в канале ускорителя и для расчёта потока нейтрального газа и заряженных частиц за срезом канала ускорителя (для электрореактиввого двигателя это — одна из важнейших характеристик)

При расчетах электромагнитного поля в системах, сопряженных с коническими рупорами.

При расчете сочленения двух планарных волноводов разных поперечных сечений.

Аппробадия работы.'

Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах кафедры маг тематики физического факультета МГУ, а так же на семинаре кафедры автоматизации физического эксперимента факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 4-х статьях.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

Во введении рассмотрена актуальность темы, её научное и практическое значение.

Первая глава посвящена численному моделированию сильноточного релятивистского СВЧ-генератора.

В п.1 рассмотрена математическая модель генератора: система уравнений Власова-Максвелла, описывающая одномерную динамику зашгниченных электронов в канале ускорителя. В, предположении аксиальной симметрии задачи система уравнений Максвелла распадается на две системы уравнений для разных компонент полей — для Н$,Е„Ег и Нт,Е},Нг Для системы уравнений Нв,Ег,Ег и для частиц строится консервативная по энергии разностная схема. Однако данная схема не удовлетворяет закону непрерывности тока. Для того, чтобы избежать этой трудности, вводится поправочный коэффициент К, который используется для коррекции полей, зарядов и токов в соответствии с уравнением непрерывности. Так как задача решается в ограниченной области, то для учета ухода излучения на бесконечность используются парциальные нестационарные условия типа условий излучения, которые позволяют правильно учесть излучение системы. Отметим, что постановка таких условий необходима, так как в противном случае в области будет происходить нефизическое накопление энергии поля — или нефизические потери ее. Это быстро приведет к разрушению итерационного процесса или, в лучшем случае, к нефизическому результату.

В п.2 рассмотрена модель автоэлектронной эмиссии для самосогласованных нелинейных задач сильноточной СВЧ-электроники. Ранее исследовались численно плазменные и вакуумные СВЧ-генераторы цилиндрической геометрии в предположении постоянства силы тока инжектируемого пучка. При этом значение силы тока не определялось каким-либо способом из внутренних параметров модели, а задавалось, исходя из усреднённых натурных экспериментов. Поэтому используется нестационарная самосогласованная модель, основанная на решении полной системы уравнений Максвелла и кинетического уравнения Власова; ток инжекции определяется из соотношения Фаулера-Нордгейма:

¿2=а§ехр (-Ъф3'2в(а)/Ег),

Ф

где — ток инжекции, а,6,е — постоянные, Ег — напряжённость электри-

ческого поля на катоде, а = в. \ ф — потенциал катода, в(а) — функция

Ф

Нордгейма. Основной результат моделирования состоит в том, что ток инжек-щта имеет ярко выраженный импульсный характер; при этом амплитуда тока инжекции достигает значительной величины даже в те моменты времени, когда внешнее поле между анодом и катодом отсутствует: амплитуда возникшего в системе электромагнитного поля настолько велика, что инжекция электронов становится самоподдерживающейся.

Во второй глазе приведён ряд условий типа условий излучения для волнового уравнения, уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца.

В п.1 рассмотрены нестационарные условия типа условий излучения для различных геометрий. Эти нестационарные условия представляют собой соотношения, связывающие на некоторой (как правило, фиктивной) границе решение волнового уравнения и его производные:

ду 02

(где К — некоторые интегральные операторы, для локальных условий типа условий излучения в К входит только интегрирование по времени, для нелокальных — и по пространству, и — решение волнового уравнения, Г — граница, вдоль которой рассматривается условие типа условий излучения). В зависимости от сложности геометрии системы эти условия получаются либо локальными, либо — нелокальными. Так, для конуса эти условия имеют вид, аналогичный парциальным условиям для шара, полученным А.Р.Майковым, АЛ.Поездом, А.Г.Свешниковым, С.А.Якуниным1, но более сложные — ядра интегральных соотношений представляют собой не полиномы Лежандра, а функции (Лежандра):

=я = + МгиЩт=я,

'Журнал вычислительной математики и математической физики, 1989 г., вып. 2 "Разностные схемы начально-краевых задач для уравнений Максвелла в неограниченной области"

•е-

Щг) = А[»(т)бт

Н-т)*

«-Л

Яй'ЧРиГ-Ъ * <«-г

Здесь М — интегральный оператор свёртки, М' — интегральный оператор свёртки, ядро которого продифференцировало по аргументу, Р*, — функции Лехандра, г — радиальная координата в системе сферических координат (г, 0), г = й — фиктивная граница, и^ — »-гармоника фурье-разложения функции «(г,^) по собственным функциям поперечного сечения, — собственное значение, соответствующее номеру ¿. Знак "+" в выражении для Мт выбирается, если й > I - г, и — если й < < - г. Для волновода с фланцем условия типа условий излучения существенно нелокальны и представляют собой интегральные соотношения, в которые помимо интеграла по времени, обычного для всех условий типа излучения, входит так же и интеграл по стыку волновода и фланца; при этом собственные функции этого интеграла не совпадают с собственными функциями цилиндрического волновода. Решение такой системы требует применения несложных численных методов. Для трёхмерных геометрий получены условия излучения для рупора, составленного четырьмя металлическими плоскостями, сечение которого представляет собой ромб, со вложенным в вето металлическим стержнем, представляющим собой две плоскости, перпендикулярные поперечным сечениям стержня и проходящими по осям симметрии ромба^навдгичные условия получены и для более сложного рупора со стержнем," так же составленного из металлических плоскостей, но сечение которого — правильный многоугольник (стержень — набор плоскостей, перпендикулярных поперечным сечениям рупора й проходящих по осям симметрии поперечного сечения).

Для ряда плоских рупоров, форма которых описывается произвольной дифференцируемой функцией, удалось построить разложение, связывающее на фиктивной границе функцию к её нормальные производные. При этом нормальная производная решения задачи вдоль фиктивной границы представляется в рупоре в виде разложения по системе неортогональных "рупорных" функций, а в

ллоском прямом волноводе — полиномом. Ортогонализовав "рупорные* функции, получим "гауссову" систему интегральных уравнений, которую можно последовательно решать, используя преобразования свёртки.

В п.2 рассмотрены условия типа условий излучения для уравнения Лапласа з полуполосе. Эти условия связывают компоненту фурье-разложения решения уравнения Лапласа и его нормальную производную вдоль любой из линий, перпендикулярной границам полуполосы — в этом смысле они аналогичны парциальным условиям излучения. Такие условия применимы при моделировании ряда приборов, в которых заряженные частицы локализованы в малой области, а область, где необходимо решать уравнение Лапласа, содержит ряд полос.

Так же рассмотрены непарциальные условия типа условий излучения для открытой стыковки двух волноводов — эта задача появляется при синтезе волноводных систем, когда необходимо состыковать два плоских волновода разных поперечных сечений с заполнением. При этом форма границы на конечном открытом участке может описываться неизвестной заранее функцией. Полученные условия излучения представляют собой нелокальные интегральные соотношения, связывающие решение уравнения Гельмгольца и его нормальную производную вдаль открытого стыка волноводов. Необходимость постановки условий типа условий излучения связала с медленным убыванием на бесконечности решения уравнения Гельмгольца в плоском случае.

Третья глава диссертации посвящена численному моделированию ускорителя с азимутальным дрейфом электронов.

В п.1 описана физическая постановка проблемы, физические предположения и приведены основные уравнения математической модели ускорителя. Основными физическими предположениями модели являются следующие: считается, что электроны в канале ускорителя замагничены, и их движение можно рассматривать как движение единого тела, вращающегося в аксиально-симметричном канале с постоянной скоростью. Считается, что ионизация в канале ускорителя происходит только из-за столкновений нейтральных частиц газа и электронов, яри этом ионизация является однократной. Считается, что функция распределения электронов по скоростям может быть описана однопараметрической финитной функцией. В этих предположениях можно выписать одномерное уравнение для изменения плотностей нейтрального газа, ионов и электронов; считая пдаз-

му б канале ускорителя квазинейтральной, можно рассматривать только ионы и нейтральный газ.

В п.2 обсуждается разностная схема решения задачи. Разностная схема представляет собой обычный метод частиц, применённый к системе с ионизацией. При этом возникает ряд трудностей, связанных с разболткой решения при выгорании нейтрального газа. В этом случае оказалось достаточным использовать другую модель ионизации, просто вычитая плотность ^онизующей компоненты из плотности нейтрального газа. Другая трудность состоит в неограниченно большом росте ионизации в рабочем режиме ускорителя. Эта проблема связана с нестационарностыо задачи и решается введением физического предположения об ограниченности роста плотности ионов в данной точке канала ускорителя. (Так как, в действительности, если ускоритель вообще работеат, то средняя за достаточно большой промежуток времени сила оказывается близкой к кулю и достаточно мало меняется вдоль канала.) Такое предположение, хотя и является достаточно грубой аппроксимацией, позволяет, тем не менее, получить хорошие результаты, не прибегая к нестационарной модели.

В п.З приведены результаты численного моделирования системы. Основным результатом расчётов явилось подразделение режимов работы ускорителя на два ярко выраженных режима. В первом случае в канале ускорителя протекает интенсивная, бурная ионизация нейтрального газа вплоть до его полного "выгорания" (рабочий режим работы ускорителя). Во втором случае ионизация практически отсутствует (режим без ионизации). При этом между режимами не удалось найти сколько-нибудь плавного перехода — начальные данные жёстко обусловливают либо рабочий режим, либо режим без ионизации.

Четвёртая глава диссертации посвящена синтезу конфигураций галатей.2 В главе рассмотрен ряд систем миксин, помещённых в сверхпроводящие коробки различных форм. При этом основное внимание уделено колебаниям проводников, вопросам равновесия и устойчивости конфигураций миксин. В п.1 вводится понятие фундаментальное понятие левитационной частоты, определяемой как

3"Галатея" — плазменная ловушка, содержащая набор катушек с током и проводников, помещённых в плазму ."Мнксина" — проводник, помещённый в плазму. Термины предложены в 1992 г. А.И. Морозовым в связи с разработкой ловушек данного класса.

частота колебаний од иночного прямого проводника над сверхпроводящей плоскостью. Далее рассматриваются усложняющиеся системы миксин: прямая гать в сверхпроводящей трубе, нить в торе (в этом пункте вводится "шланговое" приближение А.И.Морозова, соответствующее большинству реальных ситуаций, где параметры поперечного сечения кожуха малы в сравнении с его диаметром); равновесия системы миксин, расположенных на окружностях разных радиусов, равновесия системы винтовых миксин, динамика нити с током в торе прямоугольного сечения. Рассматривается так же способ гашения колебаний миксин — при помощи нанесённого на сверхпроводящую стенку слоя материала с конечной проводимостью. Часть этих задач решается точно, часть - в шланговом приближении; вопросы точности и правомерности шлангового приближения рассмотрены в последнем пункте главы.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты работы состоят в следующем:

— Рассмотрена математическая модель плазменного СВЧ-генератора с самосогласованной эмиссией электронов из катода. В результате вычислительного эксперимента исследован эффект самоподдерживающейся эмиссии электронов из катода, возникающий при определённой разности потенциалов в катод-анодоном промежутке.

— Для ряда геометрий (конус, волновод с фланцем и т д.) получены нестационарные локальные (конус) и нелокальные по пространству (волновод с фланцем) условия типа условий излучения для волнового уравнения.

— Получены нелокальные условия излучения для открытого сочленения двух планарных волноводов разных поперечных сечений.

— Построена одномерная стационарная модель плазменного ускорителя с азимутальным дрейфом электронов. Обнаружен неизвестный ранее эффект выраженной пороговой ионизации в канале ускорителя в зависимости от затравочной ионизации.,

— Для ряда систем проводников, помещённых в сверхпроводящие коробки, проведено исследование равновесия и устойчивости.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения диссертации:

— Математическая и дискретная модель самосогласованной автоэлектронной эмиссии элетронов из катода в плазменном СВЧ - генераторе.

— Метод и алгоритм построения нестационарных условий типа условий излучения для волнового уравнения в ряде областей (конусе, волноводе с фланцем и т.д.)

— Математическая и дискретная модель плазменного ускорителя с азимутальным дрейфом электронов.

— Условия равновесия и устойчивости для систем проводников в сверхпроводящих коробках.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Б.А.Марков, АД.Поезд "Нестационарная самосогласованная модель автоэлектронной эмиссии из металлического катода.", Вестник МГУ, сер.З, физика, астрономия, 1992 г., т.ЗЗ, N 4., стр.27-30

2. Б.А.Марков, С.А. Якунин "Результаты численного моделирования плазменного ускорителя.", Вестник МГУ, сер.З, физика, астрономия, 1994 г., т. 35, N1., стр.13-19.

3. Марков Б.А., Поезд АЛ., Якунин С.А. "Алгоритм решения уравнения Пуассона в неограниченной области", Журнал вычислительной математики и математической физики, 1994 г., т.34, N 2, стр.72-76

4. Марков Б.А., Морозов А.И. "Динамика миксин в сверхпроводящих трубах", Письма в ЖТФ, 1994 г., N 10, стр.3-8.

Подписано в печать 02.01.1995 т. Формат 60x84/16. Бумага Л I. Объём 0,75 п.л. Тира* 100 акз. Заказ #1.

Ротаяршт НИЩ МГУ 119899. Москва, Воробьёвы гори