Математическое моделирование динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

□□34В1823

Кудрявцева Ирина Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ С УЧЕТОМ СТОЛКНОВЕНИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

■

Москва - 2009

003481829

Работа выполнена на кафедре «Математическая кибернетика» в Московском авиационном институте (государственном техническом университете).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Пантелеев Андрей Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки и техники РФ, профессор Киреев Владимир Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Котельников Михаил Вадимович

Ведущая организация:

РНЦ «Курчатовский институт» Институт сверхпроводимости и физики твердого тела

Защита состоится 20 ноября 2009 г. в 10 ч. 00 мин, на заседании Диссертационного совета Д 212.125.14 Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу: 125993, Москва, А-80,ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Ученый совет МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета).

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах.

Автореферат разослан «Л?» О _2009г.

Ученый секретарь Диссертационного совета I к.ф.-м.н., доцент

В.Ю. Гидаспов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение вопросов, связанных с исследованием низкотемпературной плазмы, в настоящее время сохраняет научную значимость. Рассматриваются задачи, связанные с применением низкотемпературной плазмы в приборах электронной техники, проводятся исследования свойств плазмы вблизи электродов в различных средах (в вакууме, ртутных парах и газах). На основе данных исследований осуществляется ряд разработок, в частности, создаются источники бесперебойного питания на базе плазменных элементов и предлагаются конструкции сильноточных коммутирующих приборов.

Значительное внимание уделяется разработке методов диагностики плазмы. Так, стоит задача диагностики сильноионизованной низкотемпературной плазмы вблизи стенок в низкотемпературных узлах термоядерных устройств. Одним из методов диагностики плазмы является зондовый метод. На практике используют зонды различных геометрических форм, наиболее часто применяемые среди них цилиндрические и сферические зонды. Следует отметить, что число измеряемых характеристик зондовым методом и диапазоны их измерений достаточно широки и не имеют аналогов среди других методов диагностики. В то же время работы, посвященные данному методу, не полностью охватывают все важные для практики режимы плазмы, к числу которых можно отнести режим, когда значительное влияние на процессы переноса оказывают столкновения между заряженными частицами. Таким образом, моделирование зондовой диагностики пристеночной плазмы является актуальной задачей, так как полученные результаты расширяют диапазон применения зондовых методов исследования.

Целью работы является исследование динамики пристеночной двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений типа «ион-ион» и «ион-электрон» вблизи заряженного зонда. Для достижения поставленной цели предлагается:

1) рассмотреть три геометрических формы зонда: плоскость, цилиндр и сферу;

2) сформировать математическую модель задачи для случая трех форм зонда, включающую уравнение Фоккера-Планка и уравнение Пуассона;

3) разработать вычислительные модели решения поставленной задачи для каждой из трех геометрических форм зонда, включающие метод и алгоритм решения задачи;

4) разработать соответствующее программное обеспечение для решения задач моделирования динамики пристеночной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц вблизи заряженных зондов;

5) проанализировать результаты моделирования в достаточном для практики диапазоне изменения характерных параметров задачи.

Научная новнзна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:

1. Сформированы модели, описывающие динамику пристеночной плазмы в переходном режиме вблизи заряженных зондов трех различных геометрических форм: плоскости, цилиндра и сферы. Модели позволяют учитывать влияние процессов переноса и столкновений типа «ион-ион» и «ион-электрон» на зондовую характеристику, что ранее детально не рассматривалось.

2. Разработаны вычислительные модели решения поставленной задачи для каждой формы зонда. Для случая плоского зонда разработанные вычислительные модели основываются на двух методах решения, методе Монте-Карло и композиции метода крупных частиц и метода расщепления. Для случаев цилиндрического и сферического зондов разработанные вычислительные модели основываются на методе статистических испытаний Монте-Карло.

3. На основе алгоритмов, сформированных в рамках разработанных вычислительных моделей для каждой из рассматриваемых геометрических форм зонда, создано программное обеспечение. С помощью реализованного программного обеспечения проведено сравнение результатов моделирования для двух случаев: с учетом и без учета столкновений. Исследовано влияние столкновений на характерные параметры плазмы при различных значениях невозмушенных концентраций, потенциала, подаваемого на зонд, характерного размера зонда.

Достоверность результатов подтверждается строгостью применяемых математических методов, а также совпадением результатов с результатами, полученными в работах других авторов.

Практическая значимость диссертационной работы выражается в том, что полученные результаты дополняют и расширяют возможности зондовых методов исследования; позволяют учесть влияние столкновений заряженных частиц в вычислительных моделях, описывающих динамику пристеночной низкотемпературной плазмы в термоядерных установках и в приборах электронной техники.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и симпозиумах: 34,35,36 международные звенигородские конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 2007, 2008, 2009 гг.); международные молодежные конференции "XXXIII Гагаринские чтения", "XXXIV Гагаринские чтения" (Москва, 2007,2008 гг.); XLII Научные чтения памяти К.Э.Циолковского (Калуга, 2007 г.); 2-я Всероссийская конференция ученых, молодых специалистов и студентов «Информационные технологии в авиационной и космической технике - 2009» (Москва, 2009 г.); Progress in Electromagnetics Research Symposium 2009 (Москва, 2009 г.); международная научная школа-конференция молодых ученых по механике «Механика 2009» (Армения,2009 г.).

Диссертация выполнена в Московском авиационном институте (государственном техническом университете), в научно-образовательном

центре "Математические методы оптимизации и идентификации аэрокосмических систем и летательных аппаратов", как часть работ по Государственному контракту 02.740.11.0471 в рамках Мероприятия 1.1 Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях в журналах, входящих в Перечень ВАК, в четырех сборниках трудов, в одном электронном журнале и в трудах научных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации содержит 109 страниц машинописного текста, 40 иллюстраций и список литературы из 103 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность, научная новизна и практическая ценность исследуемой проблемы, формируются задачи и цели диссертационной работы, излагается краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе диссертации рассматривается задача математического моделирования динамики пристеночной плазмы, состоящей из электронов и однозарядных ионов, вблизи бесконечно большой тоскости, заряженной до потенциала <$р. Предполагается, что плоскость является идеально

поглощающей. Электроны, попавшие на плоскость, пропадают, а ионы при ударе о плоскость нейтрализуются. При этом отсутствуют потоки заряженных частиц от стенки в плазму. Также предполагается, что частицы в плазме движутся под действием электрического поля, влияние магнитного поля не учитывается. Начальные распределения ионов и электронов максвелловские.

С учетом столкновений между заряженными частицами следует найти напряженность самосогласованного электрического поля Ё(г,/), функции распределения однозарядных ионов (ФРИ) /, и электронов (ФРЭ)

/е (г,у,;), а также их моменты (плотности токов ионов и электронов у, (?,/) = <?/ <К, 7Л?.0 = е'| /ДгЛОу , где 0 = г,-е, 2, =1 -заряд иона,

е - заряд электрона; концентрации ионов и электронов п,(?,/) = | пе (г,/) = | /е(г,у,()Л")■ Поведение частиц во времени / характеризуется радиус-вектором г и вектором скорости V.

Математическая модель, соответствующая данной физической постановке задачи, имеет вид:

У, (?,?.<) | . Ув^.у,/) | #а(г,0 Э/К(г,у,0 Гэ/а(г,у,/)

Э' " (1)

Э/ ЭЯ /па Эу

Д<р(?,/) = -—(»,. (г,/)-ие(г,0), £(г,/) = -Уф(?,г)>

ео

где первое уравнение - уравнение Фоккера-Планка для частиц сорта а (а = /,е)

„ ГЭ/а(г,5,0>) с оператором столкновении —1-- вида:

второе уравнение - уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля; /а(г,у,<) - функция распределения частиц сорта а; Fa(r,t) = qaË(r,t), где ¿(г,/) - напряженность самосогласованного Г-е, а-е,

электрического поля, да = -! ; ф(г,/) - потенциал самосогласованного

электрического поля; ла(г,/), а = /,е - концентрация частиц сорта а;

- ковариантная тензорная производная второго ранга, символ двоеточия (:) обозначает операцию двойного суммирования;

г п

ц ~ . 2 2 о* о. = 2 2 -Г

4 П£0та гие ^ п^е

ЬыА2а) Ь \2а) 1"-у|

2а =1, а = 1,е; та - масса частицы сорта а; е0- электрическая постоянная; к -постоянная Больцмана; па„,Та„ - концентрации и температуры частиц в невозмущенной плазме.

К системе уравнений (1) необходимо добавить начальные и краевые условия:

гб Пр : /а (Я,у,()|ЯеПр.(5,й)>0 = 0, = Ф„,а = «>, (2)

Яе П„ : Ф^Ои. =», о = .-,е,

, а = /,е;й - внешняя нормаль к

плоскости зонда; Пр, - множество радиус-векторов частиц, концы которых принадлежат плоскости зонда и границе возмущенной зоны соответственно.

Для решения поставленной задачи разработаны две вычислительные модели. Первая модель основывается на методе статистических испытаний Монте-Карло, основой второй модели является композиция метода расщепления и метода крупных частиц.

Вводится декартовая система координат, направление оси ординат которой совпадает с направлением нормали к плоскости. В силу того, что плоскость является бесконечно большой, то количество фазовых переменных можно сократить с шести х,у,г,ух,у до двух у,уу. Система уравнений модели (1)-(2) записывается в безразмерных величинах согласно следующей системе масштабов:

и, =г0 < м Ме =^ м =еМпМ>,

кТт М, , ,„ М„

Мф =——, М, =—Л/?=-=4-, а = /,е.

9 е ' М' ' '

кг

Тогда, с учетом записи оператора столкновений в декартовой системе координат, система уравнений (1)-(2) для безразмерных величин преобразуется к виду:

Э2Ф ■ \ А Эф

(=0: /а(у,г,-0) = /ГЬу. « = «>.

у = 0: /а(°.*,.')|;>0 = 0- Ф(0,(') = Фр,а = /,е, где 8а = £ац~', Еа = ГаооГ~', ца = тат;', Ка = 1п £>а (16ттдцаГ1, 2а = 1, а = /,е,

(4)

С„ =

.,/ /г-э2^ а=/>

3?, Эу:

|2-

Я„ =

Э ¿я , ГГ<*8ее „_„

ЗА/; ./ ЙГЭА,,,

31',, Эу

"В = М\М„

а = е,

ЗУу ЭУу

эо; эо;

количество частиц в кубе, длина стороны которого равна длине Дебая, ¿ш.£ае>Ал>4»е " функции, являющиеся составляющими функций ¿а,Л„ соответственно, - стандартный винеровский случайный процесс.

Далее от полученной системы уравнений (4), содержащей уравнение Фоккера-Планка, осуществляется переход к системе уравнений, включающей стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) Иго:

с1ва0) = аи(1,ви(1))Л+ап(!,ва(1))с1П>а1 а = ¡,е,

э2ф „ .. д Эф

—- = _(п.-ле), Е =-—, (5)

3/ "У

1=0: уу(1 = 0)~/ГЬ\ « = '>; ¿ = 0: /а(0,уу,/)|. ^ = 0, ф(0,/) = фр, а = /,е;

где °а(') = [>'('),^у(')] -значение вектора состояния,

йа=[7^''гА:"{//«+2«/2ес^}]Г"КОЭФФИЦИеНТ сноса> °а°а = Ка°а " коэффициент диффузии.

Для решения полученной системы (5) вычисляются значения напряженности электрического поля Ёу по значениям потенциала ф, найденным из решения граничной задачи для уравнения Пуассона. Граничная задача для уравнения Пуассона решается методом прогонки. Составляющие

коэффициента диффузии ^ , ^ ^ и коэффициента сноса

Эу,, дуу Э0„ дС>у

вычисляются с использованием формул численного дифференцирования и метода Монте-Карло. Для решения СДУ Ито применяется стохастический метод Эйлера. Используя найденные значения вектора состояния из решения системы уравнений (5), определяются концентрации и плотности токов частиц на зонд методом Монте-Карло.

Для решения задачи методом на основе метода крупных частиц и метода расщепления уравнение Фоккера-Планка записывается в виде:

О/а--—5—Г~5 ---—+"а>

Я„ =

(т/^-2+/■)/, а = ;;

7 =т,тс .

К полученной системе применяется модификация метода расщепления, согласно которой исходная задача разбивается на две вспомогательных. Данное разбиение возможно, если правую часть уравнения Фоккера-Планка представить в виде суммы двух операторов, отвечающих за перенос частиц без учета столкновений и с учетом столкновений:

■ ду 2Е„ '

<Уа Эк

э7п = э/а

Эу„

где Са =

1/5^, « = е,

Д„ =

-4я((1/8,-0 + Т/7))/»-№Л)Л. « = *■

Первая задача представляет собой систему уравнений Власова-Пуассона и решается методом крупных частиц Давыдова. Решение данной задачи задает начальные условия для второй задачи, которая при помощи перехода к конечно-разностной системе решается с использованием метода прогонки. Решением второй задачи является искомая функция распределения частиц, на

основании полученных значений которой в возмущенной области вычисляются методом численного интегрирования концентрации и плотности токов частиц на зонд.

На основе алгоритмов, сформированных в рамках разработанных вычислительных моделей, создано программное обеспечение. В качестве среды для разработки использовалась среда для математических расчетов МАТЬ А В 2007а, поскольку она обладает широким спектром возможностей работы с числовой и графической информацией и поддерживает многопоточную обработку данных.

Разработанная вычислительная программа позволяет по заданным начальным значениям скорости направленного движения частиц у_ и потенциала, подаваемого на зонд фр, определить: изменение напряженности самосогласованного электрического поля Ёу[у,}), зависимости плотностей токов частиц на зонд (&?), )е(у>') и концентраций частиц (>•,/), пе(>',/) от времени и пространственной координаты, а также функции распределения частиц /¡[у,Ъу,г), /е(у,*у,<)-

Размер расчетной области для проведения вычислительного эксперимента с использованием метода Монте-Карло выбирался, исходя из достижения приемлемой точности совпадения с результатами метода крупных частиц. Число узлов расчетной сетки для метода Монте-Карло составило Л^хА^ =100x500, для метода крупных частиц Л^хЛ^ = 100x200. Величина шага

по времени не превышала \ =0.001.

Вычислительный эксперимент проводился в два этапа: на первом этапе количество частиц в дебаевском кубе изменялось в диапазоне п0 =105 + 108, что соответствует бесстолкновительному режиму; правая часть уравнения Фоккера-Планка близка к нулю. Причем, чем больше значение данного параметра, тем ближе исследуемый режим к бесстолкновительному. Данный факт позволил сравнить полученные результаты с результатами других авторов. Для второго этапа моделирования значения па полагались равными о0 = 102 +104. При данных значениях параметра п0 реализуется переходный режим, на движения заряженных частиц начинают оказывать существенное влияние кулоновские столкновения. Во всех расчетах полагалось =0,7^/Г„ =\,т1/т1 =1836. Выбранное отношение масс отвечает случаю рассмотрения водородной плазмы.

На рис.1 приведены зависимости напряженности самосогласованного электрического поля, а также плотностей токов ионов на зонд в бесстолкновительном режиме при использовании двух методов решения. Результаты, полученные независимо обоими методами, совпадают. Стоит отметить, что метод крупных частиц является более информативным по сравнению с методом Монте-Карло, поскольку позволяет получить значения функции распределения, дающие возможность явно представить картину влияния на распределения частиц в возмущенной зоне электрического поля и

поверхности зонда. Динамика во времени функций распределения представлена на рис.2. Наблюдается характерный срез, вызванный тем, что не происходит потока частиц с поверхности зонда в область, поскольку поверхность является идеально поглощающей.

а!) 61)

Рис.1. Зависимости а!) напряженности самосогласованного электрического поля и 61) плотности тока ионов от времени для случаев а) применения метода Монте-Карло б) применения метода крупных частиц совместно с методам расщепления фр =—10, Т!оо = 1, =0

Рис.2. Сечения функции распределения ионов вблизи зонда а) 1=1 6)1=2

На рис.3 показаны графики, иллюстрирующие поведение напряженности самосогласованного электрического поля и плотности токов ионов на зонд для случая изменения невозмущенных концентраций п0 =102 + 104. При уменьшении значения п0 характерный экстремум плотности и напряженности сглаживается, ток ионов на зонд уменьшается. Величина экстремума напряженности поля зависит от разности концентраций: чем больше разница, тем больше значение экстремума. В случае переходного режима столкновения приводят к большей подвижности ионов в возмущенной области, разница между концентрациями ионов и электронов по сравнению с бесстолкновительным случаем уменьшается. Объемный положительный заряд у поверхности зонда меньше при наличии столкновений, чем при их отсутствии. Установление самосогласованного поля происходит быстрее.

I /

а1) 61)

Рис.3. Зависимости а1) напряженности самосогласованного электрического поля 61) плотности тока ионов от времени при ф^ = —10, = 1, V,,. = 0 для случаев изменения невохмущенных концентраций

а) п0 = 102 б) Лд = \03в) па = 104

Во второй главе рассматривается задача математического моделирования динамики плазмы, состоящей из электронов и однозарядных ионов, вблизи заряженного до потенциала ¡?р цилиндра радиуса гр. Рассматривается бесконечно длинный цилиндр, для которого выполняется условие: 1р»гру где

длина цилиндра. Предполагается, что на поверхности цилиндра

выполняется условие идеального поглощения. Влияние магнитного поля не учитывается. Начальные функции распределения обоих типов частиц максвелловские. С учетом столкновений заряженных частиц следует найти напряженность самосогласованного электрического поля ¿(г,/), плотности токов ионов и электронов ],(г,1), ]е (г,г); концентрации ионов и электронов п,(г,/), пе(г,ф. Математическая модель, соответствующая данной физической постановке, имеет вид (1) -(2).

Для решения поставленной задачи разработана вычислительная модель на основе метода Монте-Карло. Вводится цилиндрическая система координат так, чтобы ось г совпадала с осью симметрии цилиндра. В силу того, что функции распределения частиц и потенциал самосогласованного электрического поля

инвариантны относительно сдвига по г —=0|, количество фазовых

I. дг Эг )

переменных уменьшается с шести (г, 9, г,уг, уе, у7) до четырех (г, 0,уг, у9) .

Система уравнения модели в цилиндрической системе координат при условии применения системы масштабов (3) преобразуются к виду:

V ! Э/д |

Г Эг г дв

/ \ с \

^8 | 2аК э/„ +

Г 2га 2е„ г Э^е

V ^ ч

Эг

а = 1,е,

Э/

" 2 5,^,9 Эу,ЭУ,

32

1

(6)

Э2ф 1 Эф 1 Э2ф

Эф

" э7'

9 г Э9

1=0: = а = 1,е,

г = гр: /а(ЯрДуг,Ов,/) = 0,ф(гр,?) = ф,,, а = 1,е,

з2л

н„, =

о . 0 „

--> о = е,

ЭА,7 1 д/1,е

—-+ г— . « = '.

ЭА„. 1 ЭА„ ——+■/— > « = е,

у-т&у _

[л а=/,

Для решения поставленной задачи необходимо от системы уравнений (6), содержащей уравнение Фоккера-Планка, перейти к системе уравнений, включающей СДУ Ито:

^„(О = аа$Уа(1))Л + о„(<,Ч'а(<))ЛГ(/), а = >',е,

Э2ф 1 Эф 1 Эф

Эф

1 Эф

» V , » , 1 "У _ с- - \ А _ "V г _ 1

/=0: [>(/) 09(/)]7'-/ГЬу. « = г = г„ : ф(гр,/) = ф„; г = гт: ф(г.,/) = 0, где ❖«(?) = [г(/") 6(?) ОД/) ув(?)]Г, яа(<*,Ч'а(/))= Дл

(7)

( \ ( N Т

-К г 2га \ > + КаНа,г -¡К ¿Л еа ? ч + КаНа,В . оа((,Ч'а(/))о^(,Ч'а(())

= Ка , х,(/ = г,в, а = 1,е, Щ!) - стандартный винеровский случайный процесс.

Решение системы уравнений (7) начинается с вычисления элементов Ё!,з = г,8 вектора напряженности самосогласованного электрического поля с применением методов численного дифференцирования по значениям потенциала ф, полученным из решения граничной задачи для уравнения Пуассона. Граничная задача для уравнения Пуассона решается методом Фурье разделения переменных. Далее вычисляются элементы матрицы диффузии Э2£ш „ ЭАц,- Э/5,.,,

—^—2«£_)5>д = г>е и векхора сноса ——,—— $ = /•,9 с использованием Эу5.ЭУ? Э^ ЭО,

формулы дифференцирования несобственного интеграла по параметру и метода

Монте-Карло. Для решения СДУ Ито применяется стохастический метод

Эйлера. Концентрации и,, йе и токи частиц на зонд ],, }е вычисляются методом

Монте-Карло по найденным из системы уравнений (7) значениям вектора

состояния.

На основе сформированного алгоритма решения задачи в рамках вычислительной модели разработан программный модуль, входящий в состав единого программного комплекса совместно с программным модулем для случая заряженной плоскости. Множество входных данных определяется

заданием скорости направленного движения частиц и потенциала на поверхности цилиндра , что аналогично случаю обтекания плазмой заряженной плоскости, а также радиуса кривизны гр. По заданным начальным данным программа позволяет получить: значения напряженности самосогласованного электрического поля £г(г,8,/),.Ёв(гД/), плотности токов

частиц на зонд у; (г,б/е(гД/) и концентрации частиц /?,■ /?<,(¿Д') в

определенный момент времени и в определенной точке пространства.

Выбор значений параметров для проведения вычислительного эксперимента проводился на основании методических расчетов, а также из соображений достижения приемлемой точности совпадения с результатами других авторов. Таким образом, число узлов расчетной сетки составило NrxNвxNv = 50x50x300,

где Л^ - количество моделируемых реализаций случайного вектора [0Г Од]7. Величина шага по времени не превышала Ат = 0.001.

При проведении вычислительного эксперимента варьировались такие параметры, как потенциал, подаваемый на зонд =-30+2 и радиус кривизны зонда гр =3+100. Во всех расчетах полагалось =0,7]„/Ге_ =1,т,/те =1836. Значения параметра п0, как и для случая заряженной плоскости, варьировались в диапазоне пв = 102 +108. При увеличении значений п0 правая часть уравнения Фоккера-Планка стремится к нулю, влиянием столкновений можно пренебречь. Данный факт позволил сравнить полученные результаты с результатами других авторов. Проведено сравнение по характеру зависимости плотности тока ионов от времени, изменения потенциала и концентраций частиц в пределах возмущенной зоны с подобными результатами, полученными в работах Алексеева, Котельникова. Установлено удовлетворительное соответствие описанных выше результатов. Для гр >10, -16<ф;, <0 значения тока ионов,

полученные в ходе установления, в случае покоящейся плазмы в бесстолкновительном случае сравнивались со значениями тока, полученными Лафрамбуазом, а позже Котельниковым. Имело место совпадение в пределах 10%.

На рис.4 представлены зависимости напряженности самосогласованного электрического поля и плотности тока ионов от времени для различных значений полярного угла 8, полученные для режима, близкого к бесстолкновительному. Нетрудно заметить, что для случая покоящейся плазмы значения напряженности электрического поля и плотности тока для разных значений угла совпадают.

/ /

а!) 61)

Рис.4. Зависимости а!) напряженности самосогласованного электрического поля и 61) плотности тока ионов

т

от времени при П[) = 105 + 108, ф = -10, —= 1, >'««, = 0, г =20 для разных значений полярного угла

а)в = б) в = -

10 8 8

На рис. 5 приведены зависимости от времени плотности тока ионов при наличии и отсутствии столкновений. При незначительном варьировании числа частиц в дебаевском кубе в сторону уменьшения, по сравнению со значением для бесстолкновительного случая, происходят незначительные изменения в поведении плотности тока, что наглядно прослеживается на рис.7. В ходе проведения вычислительного эксперимента наблюдается, что со временем величина объемного положительного заряда вблизи зонда становится меньше величины объемного заряда без учета столкновений при подаче на зонд отрицательного потенциала, как видно на рис.6. Установившееся значение плотности тока ионов с учетом столкновений, полученные в результате вычислений, меньше по сравнению с соответствующим значением без учета столкновений. У,1! ' 1 1 П «/,«„'

Рис.5. Зависимость от времени плотности тока ионов

= -16,= 1, V. = 0, гр = 20

а) с учетом столкновений б) без учета столкновений

г

Рис.6. Изменение концентраций а) ионов б) электронов с учетам столкновений в) ионов г) электронов без учета столкновений в пределах вотщенной зоны

фр = -16, 7;„/7-„ = 1,0„ =0,г,=20

В третьей главе рассматривается задача математического моделирования динамики двухкомпонентной плазмы, которая состоит из электронов и однозарядных ионов, вблизи заряженной сферы радиуса г . На поверхности

тела поддерживается постоянный потенциал, равный цр. Предполагается, что

на поверхности выполнено условие идеального поглощения. Предполагается также, что частицы движутся под действием электрического поля, влияние

магнитного поля не учитывается. Начальные распределения ионов и электронов максвелловские.

С учетом столкновений между заряженными частицами необходимо найти самосогласованное электрическое поле Ё(г,>), плотность токов на зонд ионов и электронов (?,'), ]е (г,1), а также концентрацию вблизи зонда ионов и электронов л, (?,/), Математическая модель, соответствующая данной

физической постановке, имеет вид (1) - (2).

Для решения поставленной задачи разработана вычислительная модель на основе метода статистических испытаний Монте-Карло. Вводится сферическая система координат, в которой положение и скорость частицы определяются переменными (г,у,в,уг, уг, ув). Задача имеет осевую симметрию относительно одной из осей, в силу чего функции распределения и потенциал электрического

да

поля инвариантны относительно вращения вокруг данной оси (-^ = 0, —— = 0).

ду/ ду/

Как следствие, количество фазовых переменных задачи может быть уменьшено до пяти фазовых переменных (г,у/,<9,у ,ув).

Система уравнений модели в сферической системе координат для безразмерных величин преобразуется к виду:

¥ 44+

[

ув , , 2аЁг ЭУ, ' \

г г 2га \ ^

2сЛ ''у 1 ^ д/а _ГЭ/а

2£а г г § ЭО0| (Э/

£ф 2 Эф 1 Э2ф дг2+гдг + г2 дО2'

,Эф . , - Эф - 1 Эф

(8)

г=гр: /а(грДуг,у9,^,() = 0,ф(грД?) = ф,,, а = г,е,

г = = Ф(^,е,/) = 0, а = 1,е,

ехр (-у,2 - у| - у2 ), а =

71~^ехр(-5е(у2+^ + у2)), а = е.

Для решения системы уравнений (8), содержащей уравнение Фоккера-Планка осуществляется переход к системе уравнений, включающей СДУ Ито:

где /Г

^а(') = йа (/, У« ))<Й + аа(?, Ч-а (1))с1№(1), а = ¡,е,

Э2ф 2Эф 1 Э2ф 1 „Эф . ч а Эф „ „ « 1 Эф ,_ч

» = О: [у, (г) У¥(Г) у9(г)]Г - /ГЬ\ а= ¡,е; г = гр: ф(г„,») = ф„; г = ф (*.,») = О, где ❖«(/)=[/(?) 9(г") сг(0^(/)0е(о]г,аа = ^||са_ч||, л,9 = г,у,0,

' 2£„

-рз^вё]

"а.О+Т^

2£„ г Г

т

Щ!)— стандартный винеровский случайный

процесс.

Далее вычисляются элементы вектора напряженности самосогласованного электрического поля , я = г, О методом численного дифференцирования по значениям потенциала ф, полученным из решения граничной задачи для уравнения Пуассона с применением метода Фурье разделения переменных. Для

Э2л . Э2й

вычисления элементов матрицы диффузии —= и вектора

Эу5ЭУ9 Э^ЭУ,

сноса .? = г,\|/,6 применяется формула дифференцирования

несобственного интеграла по параметру и метод Монте-Карло. Решение СДУ Ито находится с использованием стохастического метода Эйлера. Концентрации и токи частиц на зонд вычисляются методом Монте-Карло.

На основе сформированного алгоритма решения поставленной задачи в рамках разработанной вычислительной модели создан программный модуль, который дополняет и расширяет комплекс прикладных программ, созданный для случаев заряженной плоскости и заряженного цилиндра. Входными параметрами программы являются: начальная скорость направленного движения частиц у_, потенциал, подаваемый на зонд фр, радиус кривизны зонда гр. По заданным начальным данным программа позволяет получить: изменение напряженности самосогласованного электрического поля £г(гД/),£е(гД?}, плотности токов частиц на зонд уДгДг), ]е(гД<),

концентрации частиц и((г,8,/),/»„(гД/) в определенный момент времени и в

определенной точке пространства.

Выбор значений параметров для проведения вычислительного эксперимента проводился на основании методических расчетов, а также из соображений достижения приемлемой точности совпадения с результатами других авторов. Таким образом, число узлов расчетной сетки составило А^гхЛГвхЛ^„ =30x50x300, где - количество моделируемых реализаций

случайного вектора [уг ]Г. Величина шага по времени не превышала \ =0.001.

При проведении вычислительного эксперимента аналогично случаю цилиндрического зонда подаваемый на зонд потенциал изменялся в пределах фр =-30+2, значения радиуса кривизны зонда лежали в интервале гр =10+100.

Значения параметра варьировались в диапазоне ло = 102+108. Причем, чем больше значение параметра пв, тем ближе рассматриваемый режим к бесстолкновительному. Данный факт позволяет сравнить полученные результаты с результатами других авторов. Некоторые из них проиллюстрированы на рис.7.

На рис.7 показана динамика изменения напряженности электрического поля и плотности тока ионов во времени в бесстолкновительном случае вблизи поверхности сферы. Из рис.7 следует наличие факта установления, кривые напряженности и плотности тока выходят в некоторый момент времени на стационарные значения. Кроме того, стоит отметить, что характер изменения напряженности электрического поля и плотности тока ионов не зависят от значения угла 8 в силу того, что в начальный момент времени плазма оставалась невозмущенной. Данный факт согласуется с результатами, полученными в предыдущей главе.

а!) Ы)

Рис. 7. Зависимости а1) напряженности самосогласованного электрического поля и 61) плотности тока ионов

от времени при п0 = 105 +108, фр =-10,7]_/Г„ = 1, у„ = 0, гр = 20 для разных значений полярного угла а)в = — б)в = - е)в = -

10 8 4

На рис.8 приведена зависимость плотности тока при наличии и отсутствии столкновений. Наличие столкновений влияет на подвижность ионов, в силу чего начальный процесс установления идет быстрее. В ходе вычислительного эксперимента наблюдается, что плотность тока ионов уменьшается с учетом столкновений в силу изменения значения направленной скорости частиц по сравнению со значением без учета столкновений. На рис.9, который иллюстрирует изменения концентраций частиц с учетом и без учета столкновений в пределах возмущенной зоны, видно, что столкновения влияют на величину концентрации ионов вблизи зонда при подаче на него отрицательного потенциала. Со временем концентрация ионов с учетом столкновений становится меньше по сравнению с бесстолкновительным случаем.

Рис.9. Изменение концентраций а) ионов б) электронов без учета столкновений в) ионов г) электронов с учетом столкновений в пределах возмущенной зоны

Фр =-16,^/7^ = 1,4. = <Ч = 20

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Основным итогом диссертационной работы является разработка и реализация методов математического моделирования динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц, выразившимся в следующих результатах:

1. Разработаны вычислительные модели решения задачи математического моделирования динамики двухкомпонентной плазмы вблизи заряженных зондов трех различных геометрических форм с учетом столкновений между заряженными частицами. В качестве приоритетных геометрических форм были выбраны бесконечно большая плоскость, бесконечно длинный цилиндр и сфера. Вычислительная модель для случая плоского зонда основывается на двух методах: методе статистических испытаний Монте-Карло и методе, являющимся комбинацией метода расщепления и метода крупных частиц. Основой вычислительных моделей для случаев цилиндрического и сферического зондов является метод Монте-Карло.

2. На основе предложенных методов решения в рамках разработанных вычислительных моделей для каждой из геометрических форм зонда сформированы алгоритмы решения задач, а также создано программное обеспечение. Разработанные вычислительные программы для трех

, геометрических форм зонда объединены в единый комплекс программных средств, который позволяет получить и проанализировать результаты моделирования динамики пристеночной области двухкомпонентной плазмы вблизи заряженного тела.

3. Получены и проанализированы зависимости напряженности самосогласованного электрического поля, плотностей токов частиц на зонд и концентраций частиц от пространственных координат и времени в пределах возмущенной зоны с учетом и без учета столкновений типа

Рис.8. Зависимость от времени плотности тока ионов

фр =-10,Г^/Г« = 1,г_ =<>,/>, =20

а) с учетам столкновений б) без учета столкновений

«ион-ион» и «ион-электрон». Результаты моделирования для случая, когда столкновениями между заряженными частицами можно пренебречь, сравнивались с результатами, полученными другими авторами, а также с результатами эксперимента. Установлено, что решения задачи моделирования диагностики пристеночной плазмы вблизи заряженной плоскости, полученные независимо двумя методами, методом Монте-Карло и композицией метода крупных частиц и метода расщепления, совпадают. Применение метода Монте-Карло решило проблему размерности, позволив использовать единую структуру алгоритма решения задачи, а как следствие единую основу для программного обеспечения для всех трех геометрических форм зонда.

4. Для каждой из рассмотренных форм зонда: плоскости, цилиндра и сферы выявлено влияние кулоновских столкновений на характер изменения напряженности электрического поля, плотностей токов заряженных частиц и концентраций заряженных частиц в пределах возмущенной области. Для случая заряженной плоскости проведен анализ перечисленных выше параметров от потенциала, подаваемого на зонд, а для случаев цилиндрического и сферического зондов проанализированы зависимости указанных параметров от радиуса кривизны зондов и от потенциала на зонде.

Публикации в журналах перечня ВАК

1. Кудрявцева И.А., Пантелеев A.B. Динамика пристеночной плазмы вблизи плоского зонда в переходном режиме.// Вестник самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. -Самара, Изд.-во «Самарский университет», №6(65),2008. - с.281-289.

2. Кудрявцева И.А., Пантелеев A.B. Моделирование динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами в случае плоского зонда./Вестник МАИ. Прикладная математика, механика, физика. - М:МАИ, т.16,№2, 2009. - с.114-121.

Публикации в других изданиях

1. Кудрявцева И.А., Пантелеев A.B. Применение метода Монте-Карло для анализа поведения двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами.//Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения: Межвузовский сборник научных трудов. - М.:МИРЭА, 2008. - с.122-128.

2. Пантелеев A.B., Кудрявцева И.А. Формирование математической модели двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц в случае плоского зонда//Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения: Межвузовский сборник научных трудов. -М.:МИРЭА, 2006.-С. 11-21.

3. Пантелеев A.B., Кудрявцева И.А. Применение метода крупных частиц для анализа поведения двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами//Научный вестник МГТУ ГА. Серия математика и физика. - М.:МГТУ ГА, Kai 14, 2007. - с. 67-74.

4. Кудрявцева И.А. Применение метода Монте-Карло для решения задачи зондовой диагностики двухкомпонентной плазмы сферическим зондом в переходном режиме. //Электронный журнал «Труды МАИ», №33,2009.

5. Кудрявцева ИЛ. Исследование динамики пристеночной области сильноионизованной плазмы вблизи заряженного тела.//Сборник трудов молодежной школы конференции молодых ученых «Механика 2009» -Ереван:ЕГУA3, 2009. - с.236-240.

6. Кудрявцева И.А. Моделирование динамики пристеночной плазмы вблизи поверхности сферического зонда с учетом столкновений типа «ион-ион» и «ион-электрон. Труды XVI Зимней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий (Электронный ресурс) - Пермь: ИМСС УрО РАН, 2009. Электрон, оптич. диск. (CD).

7. Кудрявцева И.А. Математическая модель процессов переноса в двухкомпонентной плазме со столкновениями. Тезисы XIV международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2005) 2531 мая 2005, г. Алушта, Крым, - с.259-260.

8. Кудрявг/ева И.А. Алгоритм решения уравнения переноса с учетом столкновений в двухкомпонентной плазме. Тезисы 5 Международной конференции «Авиация и космонавтика» октябрь, 2006, г.Москва.

9. Кудрявцева И.А. Алгоритм решения уравнения Фоккера-Планка применительно к двухкомпонентной плазме на основании решения уравнения Ито. Тезисы VI международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2006) 26 мая - 1 июля 2006, г. Санкт-Петербург, Россия - с.222-223

10. I.A. Kudryavtseva, A.V. Panteleev The application of Monte-Carlo Method to the modeling of two-component plasma with charged particles collisions behavior. Тезисы «20 Международной конференции по теории переноса ICTT-20» 22-28 июля 2007, г.Обнинск. - с.220-221.

\\.Кудряв11ева И.А., Пантелеев A.B. Проблема анализа поведения космической плазмы с учетом столкновений в случае диагностики цилиндрическим зондом. Тезисы конференции «XLII Научные чтения памяти К.Э.Циолковского» 18-20 сентября 2007, г.Калуга, -с.190-191.

12.Кудрявцева И.А. Численное моделирование двухкомпонентной плазмы в случае столкновения между заряженными частицами. Тезисы 34 международной звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу 12-16 февраля 2007, г.Звенигород. - с. 204.

13.Кудрявцева И.А. Анализ поведения двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами. Тезисы XV

международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2007) 2531 мая 2007, г. Алушта, Крым.

14.Кудрявцева И.А., Пантелеев A.B. Анализ поведения двухкомпонентной плазмы со столкновениями между заряженными частицами в случае плоского зонда. Тезисы международной молодежной конференции "ХХХШ Гагаринские чтения" 3-5 апреля 2007., г.Москва. - с.47.

15.Кудрявцева И.А. Задача диагностики двухкомпонентной плазмы зондами различных геометрий в переходном режиме. Тезисы международной молодежной конференции "XXXIV Гагаринские чтения" 1-5 апреля 2008 , г.Москва. - с.61-62.

16. Кудрявцева И.А. Математическое моделирование динамики двухкомпонентной плазмы вблизи плоского зонда в переходном режиме. Тезисы 35 международной звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу 11-15 февраля 2008, г.Звенигород. - с.255.

П.Кудрявцева И.А. Применение метода Монте-Карло для решения задачи зондовой диагностики плазмы в случае сферического зонда Тезисы VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008) 24-31 мая 2008г., г. Алушта, Крым.

18.Кудрявцева И.А. Применение метода Монте-Карло для решения зондовой задачи в случае двухкомпонентной плазмы вблизи цилиндрического зонда. Тезисы юбилейной школы-семинара «Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики» 29 января - 2 февраля 2008. - с.41-42.

19.Кудрявцева И.А. Применение цилиндрического зонда для диагностики столкновительной плазмы. Тезисы 36 международной звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу 9-13 февраля 2009, г.Звенигород. - с.204.

20. Кудрявцева И.А. Моделирование динамики пристеночной плазмы вблизи поверхности сферического зонда с учетом столкновений типа «ион-ион» и «ион-электрон. Тезисы XVI Зимней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий) 24-27 февраля 2009, г. Пермь. - с.222.

21. Кудрявцева И.А. Влияние кулоновских столкновений на параметры пристеночной плазмы вблизи заряженного зонда. Тезисы 2-й Всероссийской конференции ученых, молодых специалистов и студентов «Информационные технологии в авиационной и космической технике - 2009» 20-24 апреля 2009, г.Москва. - с.91-92..

22.I.A. Kudiyavtseva, A.V. Panteleyev Modeling of Two-Component Plasma Dynamics in Near-Wall Region of Charged Probe with Coulomb Collisions. Тезисы Progress in Electromagnetics Research Symposium 2009 18-20 августа 2009, г.Москва. Электрон, оптич. диск. (CD)

Подписано в печать 08.10.2009. Формат 60x84/32. Гарнитура «Тайме». Печать цифровая. Усл. печ. л 6 Тираж 100 экз. Заказ 120. Отпечатано в ООО «Реглет» 514-77-47; 790- 47-77 www.reglet.ru

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ ВБЛИЗИ ПЛОСКОГО ЗОНДА.

1.1. Введение.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Вычислительная модель задачи с применением метода статистических испытаний Монте-Карло.

1.3.1. Метод решения задачи на основе метода статистических испытаний Монте-Карло.

1.3.2. Алгоритм решения задачи в случае применения метода Монте-Карло.

1.4. Вычислительная модель задачи на основе метода расщепления и метода крупных частиц.

1.4.1. Метод решения задачи на основе композиции конечно-разностного метода и метода крупных частиц.

1.4.2. Алгоритм решения задачи в случае применения метода крупных частиц и метода расщепления.

1.5. Реализация алгоритма и результаты численного моделирования.

1.5.1. Описание вычислительного модуля для случая плоского зонда.

1.5.2. Результаты вычислительного эксперимента для случая решения задачи конечно-разностным методом и методом статистических испытаний.

1.6. Выводы по главе 1.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ ВБЛИЗИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗОНДА.

2.1. Введение.

2.2. Постановка задачи.

2.3. Вычислительная модель задачи в случае диагностики плазмы цилиндрическим зондом.

2.3.1. Метод решения задачи на основе метода статистических испытаний Монте-Карло.

2.3.2. Алгоритм решения задачи с использованием метода Монте-Карло

2.4. Результаты численного моделирования.

2.5. Выводы по главе 2.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОГО ЗОНДА.

3.1. Введение.

3.2. Постановка задачи.

3.3. Вычислительная модель задачи в случае диагностики плазмы сферическим зондом.

3.3.1. Метод решения задачи с использованием метода статистических испытаний Монте-Карло.

3.3.2. Алгоритм решения задачи с использованием метода Монте-Карло

3.4. Результаты численного моделирования.

3.5. Выводы по главе 3.

Актуальность проблемы. В настоящее время изучение низкотемпературной плазмы сохраняет научную значимость. Низкотемпературная плазма не только выступает в качестве окружающей среды для космических летательных аппаратов (примером тому может послужить ионосфера Земли, представляющая собой оболочку из разреженной плазмы, солнечный ветер, атмосферы звезд и т.д.), но также используется в качестве рабочего тела во многих приборах и устройствах. К примеру, низкотемпературная плазма применяется в некоторых типах лазеров, технологических плазмотронах, двигателях коррекции орбиты и других устройствах.

Полноценное применение плазмы невозможно без ее всестороннего исследования. Проводятся исследования свойств сильноионизованной низкотемпературной плазмы вблизи электродов в различных средах (в вакууме, ртутных парах и газах). На основе данных исследований осуществляется ряд разработок, в частности, создаются источники бесперебойного питания на базе плазменных элементов и предлагаются конструкции сильноточных коммутирующих приборов.

Значительное внимание уделяется разработке методов диагностики плазмы. Так, стоит задача диагностики сильноионизованной низкотемпературной плазмы вблизи стенок в низкотемпературных узлах термоядерных устройств.

Одним из методов диагностики плазмы является зондовый метод [1-4,79-82]. Данный метод позволяет оценить значения параметров пристеночной плазмы вблизи зонда по зависимости величины тока от потенциала, подаваемого на зонд. На практике используют зонды различных геометрических форм, наиболее часто применяемые среди них цилиндрические и сферические зонды. Следует отметить, что число измеряемых характеристик зондовым методом и диапазоны их измерений достаточно широки и не имеют аналогов среди других методов диагностики. Основываясь на вышесказанном, можно сделать вывод о том, что задача моделирования диагностики пристеночной плазмы является актуальной. Научная новизна. Не оспаривая перечисленных достоинств зондового метода, нельзя не отметить, что в силу того, что он является контактным, возникает сложность в исследовании пристеночной области зонда, которая характеризуется достаточно сложным распределением потенциала и функциями распределения, в общем случае отличными от максвелловских. Кроме того, при взаимодействии частиц с поверхностью зонда возможны течения таких процессов, как рассеяние, поглощение, эмиссия и другие типы взаимодействий. Все это приводит к сложности теоретического описания задачи.

Применимость электрических зондов соответствует следующей классификации [4,5], при условии, что за критериальный параметр взято число Кнудсена (Кп), равное отношению длины свободного пробега частицы к радиусу кривизны зонда: Кп» 1 - молекулярный режим; Кп« 1 - режим сплошной среды; Кп = 1 - переходный режим.

В кинетической, теории основными уравнениями для описания процессов, происходящих в пристеночной плазме, являются уравнение Больцмана и уравнения Максвелла. Уравнение Больцмана согласно [6,74] определяет процессы переноса в однокомпонентном газе, если учитываются только парные столкновения. Уравнения Максвелла описывают влияние электрических и магнитных полей. Система самосогласованных уравнений Больцмана - Максвелла представляет собой математическую модель зондовой задачи. Зондовая задача является классической задачей вычислительной физики, которая включает физическую постановку задачи, математическую модель, обоснование метода решения, проведение численного моделирования, анализ полученных результатов, а также сравнение результатов моделирования с физическим экспериментом с последующим, в случае необходимости, уточнением математической модели.

Подробное изложение применимости кинетических уравнений приведено в работах [6-9,75]. Описание поведения плазмы в электрических и магнитных полях дается в [10-12]. В молекулярном режиме обтекания заряженного зонда потоком плазмы, система уравнений Больцмана-Максвелла превращается в систему уравнений Власова-Максвелла. Для данного режима длина свободного пробега частицы намного превосходит характерный размер задачи, а следовательно столкновениями в возмущенной зоне вблизи зонда можно пренебречь. Интеграл столкновений в правой части уравнения Больцмана становится равным нулю. Молекулярный режим подробно рассмотрен в работах [4,13,69,83-85,88,89], где исследовалось поведение плазмы вблизи заряженных зондов различных геометрических форм, с учетом возникающих поверхностных эффектов, при различной пространственной ориентации зондов относительно набегающего потока, с учетом реакций рекомбинации и ионизации.

В режиме сплошной среды, детально рассмотренном в работах [4,13,14,86,87], для описания динамики пристеночной плазмы использовалась система уравнений, включающая уравнения неразрывности и уравнения движения для заряженных частиц, а также в случае наличия нейтральной компоненты - уравнение Эйлера и уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля.

В переходном режиме, когда длина свободного пробега частицы сравнима с характерным размером задачи, требуется учитывать столкновения между частицами. Математическая модель задачи содержит уравнение Больцмана с ненулевой правой частью и уравнения Максвелла. Даная задача является достаточно сложной, однако ее можно упростить, если рассмотреть слабоионизованную плазму, в которой столкновениями между заряженными частицами можно пренебречь, а рассматривать лишь столкновения типа «ион-нейтрал» и «электрон-нейтрал». Решение задачи при данном предположении описано в работе [15], где уравнение Больцмана предлагается решать методом моментов с упрощенным видом интеграла столкновений согласно модели Крука. Данная модель дает хорошие результаты для режимов, близких к бесстолкновительному. Для режима, близкого к режиму сплошной среды, расчет представлен в работе [16], где предлагается в уравнение движения для ионов ввести член, учитывающий трения при столкновениях. Данное уравнение дополняется уравнением неразрывности и уравнением Пуассона. Кроме того, существуют модели, изученные к примеру в [17,18,19], в которых ток на зонд в переходном режиме вычисляется с помощью интерполяционной формулы по значениям токов, полученным в бесстолкновительном режиме и режиме сплошной среды.

Наиболее полная модель, описывающая процессы, происходящие в переходном режиме при учете столкновений типа «ион-нейтрал и «электрон-нейтрал», приведена в работах [20,21]. Данная модель включает уравнение Больцмана для ионов, уравнение Власова для электронов и уравнение Пуассона.

В случае сильноионизованной плазмы начинают оказывать существенное влияние столкновения типа «ион-ион» и «ион-электрон». Поведение частиц в плазме в этом случае описывается уравнением Фоккера-Планка, впервые предложенным в [22,23]. Исследование влияния столкновений указанного типа при помощи уравнения Фоккера-Планка применяется в задачах, связанных с термоядерным синтезом [24]. Влияние ионных столкновений на характеристику зонда было исследовано в работе [25] экспериментально, однако результаты эксперимента были противоречивы. В задачах, связанных с расчетом пристеночных слоев вблизи заряженных тел, не удалось найти моделей, включающих данное уравнение для описания влияния столкновений типа «ион-ион» и «ион-электрон» на процессы переноса.

Целью данной работы является исследование динамики пристеночной области двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений типа «ион-ион» и «ион-электрон» вблизи заряженного зонда. Для достижения поставленной цели предлагается:

1) рассмотреть три геометрических формы зонда: плоскость, цилиндр и сферу;

2) сформировать математическую модель задачи для случая трех форм зонда, включающую уравнение Фоккера-Планка и уравнение Пуассона;

3) разработать вычислительные модели решения поставленной задачи для каждой из трех геометрических форм зонда, включающие метод и алгоритм решения задачи;

4) разработать соответствующее программное обеспечение для решения задач моделирования динамики пристеночной плазмы вблизи заряженных зондов;

5) проанализировать результаты моделирования в достаточном для практики диапазоне изменения характерных параметров задачи.

Практическая ценность. Применение численного моделирования физических процессов позволяет дополнить физический эксперимент и объяснить полученные в ходе проведения эксперимента результаты, так как вычислительный эксперимент дает возможность проанализировать получаемые зависимости от каждого из параметров в отдельности. В данной работе исследования базировались на численном моделировании, что в условиях сложности поставленной задачи позволило получить метод исследования плазмы исключительно с применением ЭВМ, при этом оставляя свободу выбора геометрической формы и характерного размера зонда, а также потенциала, подаваемого на зонд, и концентраций частиц. Практическая ценность полученных результатов выражается в том, что:

1) вычислительная модель задачи может использоваться при расчетах систем, описывающих поведение сильноионизованной низкотемпературной плазмы вблизи стенок в низкотемпературных узлах термоядерных устройств.

2) разработанные методы расчета переходного режима позволяют учитывать влияние столкновений заряженных частиц в вычислительных моделях, описывающих динамику пристеночной низкотемпературной плазмы в приборах электронной техники.

3) полученные результаты моделирование дополняют картину возможностей зондовых методов исследования.

Результаты, выносимые на защиту. Основные результаты диссертации опубликованы в 2 статьях [26,27] в журналах, входящих в перечень ВАК, в 4 сборниках трудов [28-31], в 1 электронном журнале [32] и 17 тезисах научных конференций [33-49].

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка используемых источников и приложения.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработаны вычислительные модели решения задачи математического моделирования динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами вблизи заряженных зондов трех различных геометрических форм: бесконечно большой плоскости, бесконечно длинного цилиндра и сферы. Вычислительная модель для случая плоского зонда основывается на двух методах: методе статистических испытаний Монте-Карло и методе, являющимся комбинацией метода расщепления и метода крупных частиц. Основой вычислительных моделей для случаев цилиндрического и сферического зондов является метод Монте-Карло.

2. Сформированы алгоритмы решения задач на основе предложенных методов решения в рамках разработанных вычислительных моделей для каждой из геометрических форм зонда. Алгоритмы обладают единой структурой благодаря применению метода Монте-Карло и, как следствие, определяют единую методологию создания программного обеспечения для каждой геометрической формы зонда.

3. Созданы вычислительные программы для трех геометрических форм зонда, которые объединены в единый комплекс программных средств, позволяющий получить и проанализировать результаты моделирования динамики пристеночной двухкомпонентной плазмы вблизи заряженного тела.

4. Получены и проанализированы зависимости напряженности самосогласованного электрического поля, плотностей токов частиц на зонд и концентраций частиц от пространственных координат и времени в пределах возмущенной зоны с учетом и без учета кулоновских столкновений. Проведен сравнительный анализ результатов моделирования для бесстолкновительного случая с результатами, полученными другими авторами, а также с результатами эксперимента. Установлено удовлетворительное согласие описанных результатов. Выявлены закономерности влияния столкновений на ход изменения напряженности электрического поля, плотностей токов заряженных частиц и концентраций заряженных частиц в пределах возмущенной области. Изучены закономерности изменения указанных параметров от следующего ряда факторов: радиуса кривизны зонда, потенциала на зонде.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследована задача моделирования диагностики двухкомпонентной плазмы в переходном режиме зондами плоской, цилиндрической и сферической формы с учетом столкновений типа "ион-ион" и "ион-электрон".

В первой главе диссертационной работы сформирована математическая модель, описывающая динамику процессов переноса и столкновений указанного типа в пристеночной области двухкомпонентной плазмы вблизи заряженного зонда, имеющего форму плоскости. Предложенная математическая модель содержит уравнения Фоккера-Планка и Пуассона. Разработана вычислительная модель решения поставленной задачи, основанная на методе Монте-Карло и композиции метода расщепления и метода крупных частиц. На основе алгоритмов, сформированных в рамках разработанных вычислительных моделей, для двух предложенных методов решения создан вычислительный программный модуль, позволяющий исследовать изменение напряженности самосогласованного электрического поля, плотностей токов частиц на зонд и концентраций частиц в зависимости от начальных параметров плазмы. При решении задачи конечно-разностным методом также получены функции распределения частиц в возмущенной области пространства в различные моменты времени.

Во второй и третьей главах диссертации предложены математические модели задачи зондовой диагностики двухкомпонентной плазмы зондами цилиндрической и сферической формы. Уравнения моделей записаны в цилиндрической и сферической системах координат. Для каждой из форм зонда разработана вычислительная модель решения задач с применением метода статистических испытаний Монте-Карло. Созданы алгоритмы и разработаны вычислительные программные модули, позволяющие отслеживать изменение состояния возмущенной области плазмы с течением времени. Реализованные вычислительные модули для трех геометрических форм зонда объединены в единый программный комплекс, снабженный графическим интерфейсом.

Основным итогом диссертационной работы является разработка и реализация методов математического моделирования динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц, что позволяет расширить диапазон применения зондовых методов исследования.

1. Allen J.Е., Boyd R.L.F., Reynolds P. The Collections of Possitive ions by a Probe immersed in a Plasma // Proc/ Phys. Fluids,№2, p.l 12-116 ,1959.

2. Bernstein LB., Rabinowitz I.N. Theory of Electrostatic probes in low-density plasma. Phys.Fluids, vol.2, №2, p. 112-121, 1959.

3. Альперт Я.Л., Гуревич A.B., Питаевский Л.П. Искусственные спутники в разреженной плазме. М.:Наука, 1964. - 282 с.

4. Алексеев Б.В., Котельников В.А. Зондовый метод диагностики плазмы. М.: Энергоатомиздат,1989. - 240с.

5. Чан П., Тэлбот Л., Турян К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме. М.:Мир, 1978. - 202 с.

6. Алексеев Б.В. Математическая кинетика реагирующих газов. -М.гНаука, 1982.

7. Черчинъяни К. Теория и приближения уравнения Больцмана. -М.:Мир, 1978.

8. Гиршфелъдер Д., Кершисс И., Берд Р. Молекуляная теория газов и жидкостей. -М.:Изд-во иностр. лит., 1961.

9. Клгшантович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем.М.:Янус-КД995.

10. Лифшиц £.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т.Х.:Физическая кинетика. -М.:Наука, 1979. 528с.

11. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы элнктродинамики плазмы. М.:Высшая школа, 1988. - 424с.

12. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. -М. :АтомИздат, 1979. 322с.

13. Котельников M.B. Математическое моделирование обтекание космического летательного аппарата бесстолкновительной плазмой.//Машиностроение и инженерное образование, №1, 2008. — с. 15-20.

14. Котельников М.В., Котельников В.А., Ульданов С.Б. Процессы переноса в пристеночных слоях плотной плазмы. М.:Изд-во МАИ, 2003.-226с.

15. Chou 7.S., Talbot L., Willis D.R. Phys.Fluids, №9, 1966.

16. Self S.A., Shih C.H. Phys. Fluids, 11, 1532,1968.17. Саттон PTK, №2,3,1969.18. Торнтон PTK, №2,204,1971.

17. Talbot L., Chou Y.S. In Raregied Gas Dynamics (C.L. Brundin ed.),vol 11,Academic Press, NewYork, 1969, p. 1723.

18. Котельников M.B. Механика и электродинамика пристеночной плазмы. Дисс. док.физ.-мат.наук. - М.:МАИ, 2008.

19. Котельников М.В. Вольт-амперные характеристики цилиндрического зонда в потоке столкновительной и бесстолкновительной плазмы.//ТВТ, Т.46, №5, 2008, с. 17-20.

20. Montgomery D. С., Tidman D.A. Plasma kinetic theory. New York, 1964.

21. Rosenbluth M.N., MacDonald W., Judd D. Fokker-Planck equation for an inverse-square forse//Phys.Rev., 1957,v. 107,p. 1-6.

22. Трубников Б.А. Приведение кинетического уравнения в случае кулоновских столкновений к дифференциальному виду .//ЖЭТФ,т.34,1958. с.1341-1343.

23. Сонин A.A. Свободномолекулярный зонд Ленгмюра и его применение для исследований поля течения./ТРакетная техника и космонавтика.-№9,1966.- с. 108-119.

24. Кудрявцева H.A., Пантелеев A.B. Динамика пристеночной плазмы вблизи плоского зонда в переходном режиме.// Вестник самарскогогосударственного университета. Естественнонаучная серия. Самара, Изд.-во «Самарский университет», №6(65),2008, с.281-289.

25. Кудрявцева H.A., Пантелеев A.B. Моделирование динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами в случае плоского зонда./Вестник МАИ. Прикладная математика, механика, физика. М:МАИ, т. 16, №2, 2009, с.114-120.

26. Пантелеев A.B., Кудрявцева H.A. Применение метода крупных частиц для анализа поведения двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами//Научный вестник МГТУ ГА. Серия математика и физика. М.:МГТУ ГА, №114, 2007, с. 67-74.

27. Кудрявцева И.А. Исследование динамики пристеночной области сильноионизованной плазмы вблизи заряженного тела.//Сборник трудов молодежной школы конференции молодых ученых «Механика 2009» Ереван:ЕГУАЗ, 2009. - с.236-240.

28. Кудрявцева И.А. Применение метода Монте-Карло для решения задачи зондовой диагностики двухкомпонентной плазмы сферическимзондом в переходном режиме. //Электронный журнал «Труды МАИ», №33,2009.

29. Кудрявцева И.А. Алгоритм решения уравнения переноса с учетом столкновений в двухкомпонентной плазме. Тезисы 5 Международной конференции «Авиация и космонавтика» октябрь, 2006, г.Москва.

30. Кудрявцева И.А., Пантелеев A.B. Проблема анализа поведения космической плазмы с учетом столкновений в случае диагностики цилиндрическим зондом. Тезисы конференции «XLII Научные чтения памяти К.Э.Циолковского» 18-20 сентября 2007, г.Калуга. с. 190-191.

31. Кудрявцева И.А., Пантелеев A.B. Анализ поведения двухкомпонентной плазмы со столкновениями между заряженными частицами в случае плоского зонда. Тезисы международной молодежной конференции "XXXIII Гагаринские чтения" 3-5 апреля 2007., г.Москва. с.47.

32. Кудрявцева И.А. Задача диагностики двухкомпонентной плазмы зондами различных геометрий в переходном режиме. Тезисы международной молодежной конференции "XXXIV Гагаринские чтения" 1-5 апреля 2008 , г.Москва. с.61-62.

33. Кудрявцева И.А. Применение метода Монте-Карло для решения задачи зондовой диагностики плазмы в случае сферического зонда Тезисы VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008) 24-31 мая 2008г., г. Алушта, Крым.

34. Кудрявцева H.A. Применение цилиндрического зонда для диагностики столкновительной плазмы. Тезисы 36 международной звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу 9-13 февраля 2009, г.Звенигород. — с.204.

35. Котельников М.В., Котельников В.А., Кубарев Ю.В. Применение плоского зонда для диагностики потоков плазмы.//Известия Вузов. Электроника, №4,1998,с.346-349.

36. Шаньков A.B. Математическое моделирование процессов переноса вблизи плоских пристеночных зондов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. -М.: МАИ, 1995.

37. Котельников M.B. Математическое и физическое моделирование работы плоского электрического зонда. Дисс. канд. физ.-мат. наук. -М.: МАИ, 1997.

38. Котельников В.А., Гурина Т.А., Демков В.П., Попов Г.А. Математическое моделирование электродинамики летательного аппарата в разреженной плазме М.: Изд. Нац. кад. прикл. Наук, 1999. -256 с.

39. Олдер Б., Фернбах С., Ротенберг М. Вычислительные методы в физике плазмы. М.: Мир, 1974. - 334 с.

40. Семенов В.В., Пантелеев A.B., Руденко Е.А., Бортаковский A.C. Методы описания, анализа и синтеза нелинейных систем управления.- М.: Изд-во МАИ, 1993.

41. Киреев В.И., Пантелеев A.B. Численные методы в примерах и задачах.- М.: Высшая школа, 2006. 480 с.

42. Соболь КМ. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. -311 с.

43. Кочетков Е. С., Смерчинская С. О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:Инфра-М, 2005. — 240с.

44. Пирумов У.Г. Численные методы. М.:Дрофа, 2003. - 224с.

45. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.-512с.

46. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977.-736 с.

47. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск:Наука,Сиб.отд-ние, 1981. - 304с.

48. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, Физматгиз, 1982.

49. Вшивков В.А., Григорьев Ю.Н. Численные методы «частицы в ячейках». Новосибирск, Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 2000.- 184с.

50. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. - 840 с.

51. Дьяконов В.П., Абраменкова КВ., Круглое В.В. MATLAB 5.3.1 с пакетам расширений. М.: Нолидж, 2001. - 880с.

52. Дьяконов В.П., Абраменкова КВ. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999. - 640с.

53. Кайл P.E. Теория электрических зондов цилиндрической формы в свободном молекулярном потоке. РТК, 1968, т.6, №4, с. 161-167

54. Котельников М.В., Аникин H.A. Математическое моделирование обтекания цилиндрического тела потоком бесстолкновительной плазмы.//Вестник МАИ, 2008, т. 15, №4, с. 23-27.

55. Зорич В.А. Математический анализ. Часть И. М.: Наука, 1984. - 640с.

56. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1981. 544с.

57. Милыитейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во Свердл.универ., 1988.

58. Кузнецов Д.Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петебергского универ., 2001.

59. Boltzmann L. Sitzungsber. Kaiserl. Akad/Wiss. 66 (2) 275, 1872.

60. Морозов A.K. Введение в плазмодинамику. М: ФИЗМАТЛИТ, 2008. -616с.

61. Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц. // Математическая энциклопедия.~М.: Сов. Энциклопедия, 1985, т.З, с. 125-129.

62. Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц для задач газовой динамики. Дисс. канд. физ.-мат. наук-М., 1970. -183 с.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. -608 с.

64. Алексеев Б.В., Котельников В.А., Черепанов В.В. К расчету эквивалентной схемы электрического зонда//Физика плазмы. 1982, т.8, вып.З, с.638-641.

65. Горелов В.А., Гладышев М.К., Кипъдюшова Л.А. Экспериментальное исследование электрических пристеночных зондов. Физическая газовая динамика. Тр. ЦАГИ, 1981, с.34 -40.

66. Девятое А.М., Мальков М.А. Диагностика плазмы в магнитном поле. Плоский зонд//Изв.вузов.Сер.физ.1984,№3,с.29-39.

67. Алексеев Б.В., Котельников В.А., Черепанов В.В. Цилиндрический зонд в молекулярном режиме при наличии осевой направленной скорости. М., 1981. Деп. в ВИНИТИ, №1849.

68. Шувалов В.А. Структура ближнего следа за сферой в потоке неравновесной разреженной плазмы. // Геомагнетизм и аэрономия. 1979, т. 19, №4, с. 651-59.

69. Бенилов М.С. К теории сферического электрического зонда в покоящейся слабоионизированной плазме // Изв. Вузов. Механика жидкостей и газов. 1982, №5, с. 145-152.

70. Баум Е., Чепкис Р. Теория сферического электростатического зонда в континуальном режиме. Точное решение // Ракетная техника и космонавтика. 1970, т. 8, №6, с. 105-109.

71. Ульянов К.К Теория электрических зондов в плотной плазме. // Журн. Техн. Физ. т. 40, 1970, с. 790 -797.

72. Демков В.П. Математическое моделирование процессов переноса в плазме с учетом поверхностных эффектов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. -М.: МАИ. 1989.

73. Котельников В.А., Кипаренко Г. Ф. История и перспективы развития электрических зондов и техники зондового эксперимента/Из истории энергетики. М.:3нание, 1984, вып. 14, с. 139-166.

74. Risken И. The Fokker-Planck equation: Methods of solution and applications.//Springer Series in Synergetics.- Springer Verlag, v. 18, 1996.

75. Войтишек A.B., Михайлов i/.АЧисленное моделирование. Методы Монте-Карло. Учебное пособие для вузов. М.: Academia, 2006. 368 с.

76. Соболь ИМ. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1978. 64 с.

77. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Том 2. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Математический институт им.В.А.Стеклова РАН, Наука, 2005. 584 с.

78. Ширяев А.Н. Вероятность. М.:МЦНМО, 2007. 968 с.

79. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.

80. Гидаспов В.Ю., Иванов Н.Э., Ревизников Д.Л. Численные методы. Сборник задач. М.:Дрофа, 2007. 144 с.

81. Элъсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М.: Изд.ЛКИ, 2008. -320 с.

82. Демидович Б.П. Математический анализ. М.:АСТ, 2008. 495 с.

83. Просветов Г.И. Математический анализ: задачи и решения. М.:Бином. Лаборатория знаний, 2008. 208 с.100 .Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.

84. М.:Наука,1977. 440 с. 101. Седов Л.И. Механика сплошной среды.Т.1,П. М.:Лань, 2004. -528,560 с.

85. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов А.Н., Крайко Г.П., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука, 1976.-400 с.

86. ЮЪДимитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.:Высшая школа, 2001. — 575 с.